保险精算学生命表基本函数

n
px
lxn lx
,n
px
n
qx
1
6.n qx : 表示x岁的存活人，活过n年，并在第n 1年死亡的概率。
n
qx
lxn
lxn1 lx
d xn lx
lxn lx
dxn lxn
n px
qxn
当n 0时，0 qx qx .
n m qx : 表示x岁的人在x n x n m岁之间死亡的概率，
n m qx
d m x n lx
lxn lxmm lx
n px mn px n px
qm xn
0
7.ex : 完全平均余寿或生命期望值，即表示x岁的存活人在以后可望
生存的平均年数。
0
e0 表示确定基数的一个群体的平均寿命。
计算平均余寿的定理
定理1.1 假设死亡人数在每个年龄区间上均匀分布,则平均余寿为:
n qx
lx
lxn lx
ndx lx
当 n 1时 ，1q x q x .
5. px : 生 存 率 ， 表 示 x岁 的 人 在 一 年 内 存 活 的 概 率 ， 即 到 x 1岁 时 仍 然 存 活 的 概 率 。
px
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l x 1 lx
,
px
qx
1
n px : 表 示 x岁 的 存 活 人 再 活 n年 的 概 率 ， 用 公 式 表 示 即 为 ：
e x E [ K x ] k k p x q x k k k q x
k0
k0
而
p x t q x
t 1
2 p x t q x t2
故 k k q x
p k 1 x
k0
k0
由 于 T x K x S x ,故 E (T x ) E (K x ) E (S x )
h 0
hs x
sx
两 边 从 x到 x n积 分 ,得
x n
x ydy
xn x
s y sy
dy
ln
s
y
xn x ln n
px
xn
n
t
n p x e x
e , p e y d y
0 xsds nx
0 xsds
设 T x的 概 率 密 度 函 数 为 g x,则 g x G x,
变 量 ， 下 面 我 们 简 记 为 T。
分 布 函 数 ： G (t) P (T ( x) t) t 0............................t qx 表 示 某 x岁 的 人 在 t年 内 死 亡 的 概 率 。
T x 的 存 活 函 数 为 ：1 G (t ) P (T ( x) t ) t 0.........t px 当 x 0时 ， T 0 X , 正 是 新 生 儿 未 来 余 寿 的 随 机 变 量 。 这 时 ，
假设新生儿未来存活时间或者新生儿的死亡年龄为X，它是一个连续 的随机变量，其分布函数为：
F(x) P(X x), x 0. 注释：表示新生儿在x岁前死亡的概率，对应生命表中xq0.
设 s(x) 1F(x) P(X x), x 0. 注释：表示新生儿活过x岁的概率，对应生命表中x p0,s(x)称为生存函数.
t
1 2
d
xt
例子
Eg3.1已知lx=1000(1-x/120),计算20p30和 20I5q25.
解：
Ex：p69ex3.1,3.2
3.2 生存分布
主要内容： 1 新生儿的生存函数 2 x岁余寿的生存函数 3 死亡力（死亡力度） 4 整数平均余寿和中值余寿
3.2.1 新生儿的生存函数
生命表描述了人口在整数年龄上存活和死亡的规律， 但实际上年龄是人出生后存活时间的度量，它是一个连 续随机变量。
eg 3.2若 当20 x 25时 ,x 0.001, 计 算 2 2q20.
eg 3.3已 知 s x
100 10
x
0
x
100 , 试求15q36
,
36
,
0
e36 ,
m
36
.
是 上 述 T ( x )的 整 数 部 分 ， 我 们 用 K x 表 示 之 ,即
K x k k T x k 1, k 0,1,...
称 之 为 x的 整 值 余 寿 ,其 概 率 分 布 函 数 为 :
P K x k P k T k 1.
设 S x为 x在 死 亡 年 所 活 过 的 分 数 年 龄 ,它 是 0,1上
新生儿在x xt岁间死亡的概率为： P(x X xt) F(xt)F(x)
生命表函数中，lx l0s(x).
3.2.2 x岁余寿的生存函数
对 一 个 x岁 的 人 ， 称 x岁 生 命 ， 用 （ x） 表 示 。
用T x表示他的剩余寿命，则x T x表示此人死亡时的年龄。
显 然 ， 对 一 确 定 x岁 的 某 人 其 剩 余 寿 命 T x 是 一 个 连 续 的 随 机
的连续分布. T (x) K (x) S(x)
3.2.3 死亡力
• 问题的提出：生命表中描述死亡水平的指标是死
亡率 q x ，这里的x是整数，如果x不光是整数，而
是连续变动的，怎么描述在某确切年龄点上的瞬 时死亡水平呢？ • 解决的方案：死亡力度的提出。
死
亡
力
是
描
述
瞬
间
死
亡
水
平
的
指
标
,定
义
: x
0
而且 ex E T x
0 t t pxxtdt
E
T
x2
0
t2
t
px xtdt
t2 d 0 dt
t qx
dt
t2 d 0 dt
t px
dt
t
p xt 2
0
0
t
pxdt
2
0 2t t p x dt
Var T x E T x 2 E T x 2
t qx实际上是一个条件概率：
t
qx
Px
X
t
x
X
x
F
xt F F x
x
sx sx sx
t
x 在 x t x t u的 死 亡 率 t uq x
tu qx P (t T (x) u t) G (u t) G (t)
t u q x t q x t p x u t p x t p x qu x t 在寿险精算中，年龄变量通常取整数，实际上它
在 假 均 匀 分 布 下 , E (S x ) 1
2
所
以
0
,ex
ex
1 2
.
中值余寿是 x的余寿T x的中值, x在这一年之前死亡和之后死亡
的概率相等,都是50%,以m x 表示之.
则 P T (x) m x P T (x) m x 1
2
即:
sx mx
s x 0.5
根 据 生 存 函 数 , 容 易 计 算 出 m ( x).
lim
h 0
s
x sx hs x
h
.
s
x
s
sx x
h
表
示
在
x
x h间 的 死 亡 概 率 ,
s
x
s hs
x x
h
表
示
在
x
x h间 死 亡 概 率 密 度 .
而 lim s x h s x 正 是 生 存 函 数 s x 的 导 数 .
h 0
h
sx sx h sx
x
lim
根据以往死亡人数的统计资料，推测出未 来死亡或生存概率，是计算保险费率的必要依 据。
4.qx : 死 亡 率 ， 表 示 x岁 的 人 在 一 年 内 死 亡 的 概 率 。
(1)q x
dx lx
,x
0,1,
, 1
2
q 1
d 1 l 1
l 1 l l 1
1
n qx : 表 示 x岁 的 存 活 人 在 x岁 到 x n岁 之 间 死 亡 的 概 率 ， 用 公 式 表 示 即 为 ：
x1
Tx
Lxt
t0
0
ex
Tx lx
1 x1
lx
Lxt
t0
1 lx
x1 t0
l
x
t
1
1 2
d xt
1 lx
lx1 lx2 ... l 1
1 2
0
另 ,e x
Tx lx
1 lx
x1
Lxt
t0
1 lx
x
1
l
x
t
t0
lxt1 2
1 lx
x1 t0
保险精算学生命表基本函数
本章主要内容
• 生命表基本函数 • 生存分析 • 非整数年龄存活函数的估计 • 几个死亡时间的解析分布 • 生命表的编制
3.1 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。
地位：生命表是人寿保险用以测定死亡或 生存概率的基础。
2
0 2t t pxdt 0 t pxdt
3.2.4 整值平均余寿与中值余寿
x岁 的 整 值 平 均 是 指 余 寿 x岁 未 来 平 均 存 活 的 整 数 年 数 ,不 包 括 不 满
1 年 的 余 数 寿 命 , 是 整 值 余 寿 随 机 变 量 K ( x )的 数 学 期 望 , 用 e x 表 示 .
g
x
d dt
tqx
d dt
[1
s
x t sx ]
d dt
sx t sx
sx t s x t sx t s x s x s x t t p x x t
所 以 ,
0 t px xtdt 1.
n qx
n 0
t
px xtdt
nm
qx
m n
t
px xtdt
0 1
ex lx
lx1 lx2
l1 12l1x tx01t 12dxt
0
平均寿命为:e0
l10 l1
l2
l1
1 2
1 l0
t01t
12dt
证 明 : 记 Lx表 示 x岁 的 人 在 一 年 内 存 活 的 总 人 年 数 .
Lx
lx
lx1 2
lx1
1 2
dx
记 Tx表 示 x岁 的 在 未 来 存 活 的 总 人 年 数 .