高考数学圆锥曲线专题：椭圆的定义与性质(二)

15 16
， a2
25 ， c2
25 m2
25 m2 25
15 16
16(25 m2 ) 2515 400 16m2 375 16m2 25 m2 25 16
椭圆 C 的方程：
x2 25
y2 25
1
x2 16 y2 25 25
1。
16
例题二：2020 年高考数学新高考Ⅰ卷第 22 题：已知椭圆 C ：
P 为 C 上一点， O 为坐标原点。
（Ⅰ）若 POF2 为等边三角形，求 C 的离心率。
本题解析：如下图所示：连接 PF1 。
半焦距： | OF2 | c ， POF2 为等边三角形 | PF2 || OF2 | c ， PF2O 600 。
焦距： | F1F2 | 2c 。
在 PF1F2 中：根据余弦定理得到： | PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 2 | PF1 | | F1F2 | cos PF2O
例题三：2020 年高考数学新高考Ⅱ卷第 21 题：已知椭圆 C ： x2 a2
y2 b2
1 (a
b
0) 过点 M (2,3) ，点 A 为其左顶
点，且 AM 的斜率为 1 。 2
（Ⅰ）求 C 的方程。
本题解析：第一步：计算左顶点。
令 y 0 x2 1 x2 a2 x a 左顶点 A(a,0) 。 a2
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）的离心率为
2
，且过点
2
A(2,1) 。
（Ⅰ）求 C 的方程。 本题解析：第一步：从离心率的推导 a2 与 b2 的倍数关系。
椭圆离心率为 2 e c 2 c2 1 ， c2 a2 b2 a2 b2 1 a2 2(a2 b2 )
2
a 2 a2 2
16 b2
16 b 2
4 b2
b2 4
椭圆 C 的方程： x2 y2 1。 16 12
例题四：2020
年高考数学北京卷第
20
题：已知：椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1 过点 A(2,1) ，且 a
2b 。
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程。
本题解析： a
2b
a2
4b 2
椭圆 C 的方程：
x2 4b 2
y2 b2
1。
A(2,1) 是椭圆 C ：
x2 4b 2
y2 b2
1 上一点
4 4b 2
1 b2
1
1 b2
1 b2
1
2 b2
1 b2
2
椭圆 C 的方程： x2 y2 1。 82
例题五：2019
年高考文科数学新课标Ⅱ卷第
20
题：已知
F1
， F2
是椭圆
C
：
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）的两个焦点，
y2 m2
1 （ 0 m 5 ）的离心
率为 15 ， A ， B 分别 C 的左右顶点。 4
（Ⅰ）求 C 的方程。
第1页共7页
本题解析： 0 m 5 m2 25 a2 25 ， b2 m2 c2 a2 b2 25 m2 。
椭圆的离心率： e c a
15 4
c2 a2
F1(4,0) ， F2 (4,0) ，焦距 | F1F2 | 2c 8 。
假设：点 M
的坐标为
(
x0
,
y0
)
。
M
(
x0
,
y0
)
在椭圆
C
：
x2 36
y2 20
1上
x2 0
36
y2 0
20
1
y2 0
20
1
x2 0
36
y2 0
方程
焦距 焦点
a, b, c 关系
左右顶点
上下顶点
图像
高考数学圆锥曲线专题：椭圆的定义与性质（二）
第一部分：椭圆的性质相关知识点
焦点在 x 轴
焦点在 y 轴
x2 y2 1 a2 b2
焦点在分母较大的坐标轴
x2 y2 1 b2 a2
2c 左焦点 F1(c,0) ，右焦点 F2 (c,0)
a2 b2 c2
a2
2
a2
2a2
2b2
2b2
a2
椭圆
C
的方程：
x2 2b 2
y2 b2
1。
第二步：椭圆上的点代入椭圆方程。
A(2,1) 是椭圆 C
x2 2b 2
y2 b2
1 上一点
4 2b 2
1 b2
1
2 b2
1 b2
1
3 b2
1 b2
3
ห้องสมุดไป่ตู้
a2 2b2 2 3 6 。
所以： a2 6 ， b2 3 椭圆 C 的方程： x2 y2 1。 63
2
例题六：2019
年高考数学新课标Ⅲ卷理科第
15
题文科第
15
题：设
F1
，F2
为椭圆
C
x2
：
36
y2 20
1 的两个焦点，M
为 C 上一点且在第一象限。若 MF1F2 为等腰三角形，则 M 的坐标为
。
第3页共7页
本题解析：椭圆 C ： x2 y2 1 a2 36 ， b2 20 c2 a2 b2 36 20 16 c 4 36 20
2c 上焦点 F1(0, c) ，下焦点 F2 (0,c)
a2 b2 c2
令
y
0
x2 a2
1
x2
a2
x
a
左顶点 (a,0) ，右顶点 (a,0)
令
y
0
x2 b2
1
x2
b2
x
b
左顶点 (b,0) ，右顶点 (b,0)
令 x 0 y2 1 y2 b2 y b b2
上顶点 (0, b) ，下顶点 (0,b)
c2
(2c)2
2
c
2c
1 2
c2
4c 2
2c 2
3c 2
|
PF1
|
3c 。
根据椭圆的定义得到： | PF1 | | PF2 | 2a 3c c 2a ( 3 1)c 2a
c 2 2( 3 1) 2( 3 1) 2( 3 1) 3 1 椭圆的离心率： 3 1。
a 3 1 ( 3 1)( 3 1) 3 1
令 x 0 y2 1 y2 a2 y a a2
上顶点 (0, a) ，下顶点 (0,a)
长轴 短轴 离心率
准线
2a
2b
e c a
左准线： x a2 ；右准线： x a2
c
c
2a
2b
e c a
上准线： y a2 ；下准线： y a2
c
c
第二部分：椭圆的性质相关题型
例题一：2020 年高考数学新课标Ⅰ卷文科第 21 题理科第 20 题：已知椭圆 C ： x2 25
第二步：计算 AM 的斜率。
根据斜率计算式得到： M (2,3) ， A(a,0) kAM
30 2 (a)
3 2a
1 2
2a
32 a 4
椭圆 C 的方程： x2 y2 1。 16 b2
第三步：椭圆上的点代入椭圆方程。
第2页共7页
M (2,3) 是椭圆 C ： x2 y2 1上一点 4 y 2 1 1 9 1 9 3 b 2 12