高中数学专题学习：第1讲--集合思想及应用

第1讲 集合思想及应用

一、知识梳理

1．元素与集合：把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．常用数集的符号：自然数集N ，正整数集+N 或*N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ．不含任何元素的集合叫做空集，记为∅．

2．集合与元素的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a

∉A ． 3．集合表示法

列举法：将元素一一列出并用花括号括起来表示集合．

描述法：用集合所含元素的特征性质描述集合．{})(x p I x ∈表示集合A 是由集合I 中具有性质)(x p 的所有元素构成的．

4．集合的关系

子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，我们称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B ，读作A 含于B ．空集是任何一个集合的子集．

真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 为集合B 的真子集，记作A B ．

集合的相等：如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．集合A 与集合B 是相等的，记作A ＝B ．

集合关系与其特征性质之间的关系：设A ＝{})(x p x ，B ＝{}

)(x q x ．

如果A ⊆B ，则)()(x q x p ⇒．如果 )()(x q x p ⇒，则A ⊆B ．

5．集合的运算

交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作：A ∩B ，读作：A 交B ．

并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B ，读作：A 并B ．

补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作：∁U A ，读作：A 在U 中的补集．

二、方法归纳

1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三个特征；对于用描述法给出的集合{}

)(x p x ，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质)(x p ；在读懂集合的基础上尽可能化简集合，化难为易，化隐为显是常用技巧；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题．

2．注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A ＝∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论．

3．数集的运算往往用数轴法．

4．用Card （A ）表示有限集A 的元素个数，则由A ⊆B ，可得Card （A ）≤Card （B ）；由A ＝B ，可得Card （A ）＝Card （B ）；Card （∅）＝0．

5．容斥原理：Card(A ∪B )=Card(A )＋Card(B )－Card(A ∩B )

Card(A ∪B ∪C )=Card(A )＋Card(B )＋Card(C )

－Card(A ∩B )－Card(B ∩C )－Card(C ∩A )＋Card(A ∩B ∩C )

6．n 个元素的集合所有子集个数为n 2，所有真子集个数为n 2－1． 三、典型例题精讲

【例1】若集合}4,,2,1{x A =，}1,{2x B =，A ∩B ＝{1，4}，则满足条件的实数x 的值为 ( )

A ．4

B ．2或－2

C ．－2

D ．2 解析：根据}1,{2x B =，得42=x ，2±=x ，

但}4,,2,1{x A =，由元素的互异性2≠x ．∴2x =-．

答案：C

【技巧提示】牵涉到集合中的元素，必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性． 又例:若3∉{1，a ，2a }，求实数a 的范围．

答案：a ≠0，±1，3，±3

【例2】已知{}1+==x y y M ，{}

1),(22=+=y x y x N ，则集合N M 中元素的个数是 ( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．多个 【错解分析】根据M 为直线1+=x y 上的点集，N 为单位圆122=+y x 上的点集，∴N M 中元素的个数是2，选C ．

解析：根据{}1+==x y y M ，得R M =，为数集，

{}

1),(22=+=y x y x N 为单位圆122=+y x 上的点集， ∴=N M ∅．

答案：A

【技巧提示】用描述法给出的集合一定要先看代表元素，再看代表元素满足的条件．交集是由两个集合的公共元素组成的集合．

又例:设集合{}1),(2-==x y y x A ，{}

1),(22=+=y x y x B ，

则B A 的子集的个数是（ ）

A ．0

B ．2

C ．4

D ．8

解析：显然B A ,都是坐标平面内的点集，抛物线12-=x y 与圆122=+y x 有三个交点，即集合B A 有３个元素， ∴ B A 有8个子集．

答案：D

【例3】若C B A ,,为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有 ( )

A ．A ⊆C

B ．

C ⊆A C ．A ≠C

D ．A ＝∅

解析：∵A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆ C

又∵A ∪B ＝B ∩C ，∴A ⊆C ， 故选A ．

答案：A

【技巧提示】理解集合的运算性质是解答本题的关键．A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆C 就是交运算和并运算的重要性质．本题也可利用文氏图直接得出结论．

集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．

又例:已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{x | x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是 ( )