灰色预测理论详解

GM（1.1）模型
模型符号含义 GM(1，1) →Grey Model(1阶方程，1个变量) GM(1，1)建模过程 令X（0）为GM(1，1)为原始建模序列： X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),……,x(0)(n)) 其中x(0)(k)≥0,k=1,2,...,n X（1） 为X（0）累加生成序列 X(1)=(x(1)(1), x(1)(2),……,x(1)(n))
为由数列x(0)的邻值在生成系数（权）α下的邻值生成数。 特别地，当生成系数为0.5时，则称
z(0)(k) = 0.5x(0)(k) + 0.5x(0)(k −1)
为（紧）邻均值生成数，即等权邻值生成数。 4.级比生成 级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法。对数列端点值的生 成，我们无法采用均值生成填补空缺，只能采用级比生成。 级别生成在建模中可以获得较好的灰指数律。级比生成是级比σ(k)与光滑比 ρ(k)生成的总称。 设原始序列为 X(0）={x(0)(1), x(0)(2),……,x(0)(n)}，称 σ(k)为级比，ρ(k)为 光滑比，其表达式为 σ(k)=x(0)(k)/x(0)(k −1) ρ(k)=x(0)(k)/x(1)(k-1)
设&为待估参数向量，即&=（a,b）T，则灰微分方程的最小二乘估计参数 列满足 &=BT B1 BT Y 其中，
z (1) (2) 1 B= (1) z (3) 1 ... ... (1) z ( n ) 1
则称
x (0) (2) Y n= (0) x (3) ... (0) x (n)
DGM（1，1）模型
) X( 1 (1) 1 (1) 1 X (1) B (1) 1 X (n - 1）
GM(1,1)和DGM(1,1)的关系
•DGM(1，1)模型和GM(1，1)是完全等价的。 •DGM(1，1)模型全面符合灰色预测模型的建模机理.是 一种新的灰色预测模型.或者说是灰色预测模型的一种 新形式。 •其中DGM(1，1)模型更能够精确模拟齐次指数序列。 对于非指数增长序列和震荡序列，应选择微分，差分 混合形态的GM(1，1)；对于接近齐次指数序列的非指 数增长序列和震荡序列，应优先选择DGM(1，1)模型。 •DGM模型可以看做是GM模型的精确形式，当GM模型中 的a取值很小时，二者可替换。
灰色预测理论
胡亚飞 彭
敬
李云飞
吕连磊 苗成林
沈 聪
目录
灰色系统理论简介以及发展 灰色预测理论 —灰色预测简介 —灰色预测类型 —灰色预测模型 —灰色预测检验 案例以及软件实现
灰色系统理论简介
灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年 创立的“以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信 息”不确定系统为研究对象的一门系统科学新学科，具有 原创性的科学意义，是我国对系统科学的新贡献，目前已 受到国内外学术界的广泛重视，并在农业科学、经济管理、 环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、 图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中 得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题。
( 0)
xN (1), xN (2),...,xN (n)
(1)
(0)

( 0)
( 0)
( 0)

为相关因素序列。X i 为 X i 的1-AGO序列 (1) Z1 为 X 1(1) 的紧邻生成序列，则称
灰色系统理论的内容
灰色朦胧集、灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等是灰色系统理论 的基础，从学科体系自身的优美、完善出发，这里有许多问题值得进 一步研究。灰色系统分析除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色 统计评估等内容。灰色序列生成通过序列算子的作用来实现，序列算 子主要包括缓冲算子(弱化算子、强化算子)、均值生成算子、级比生 成算子、累加生成算子和累减生成算子等。灰色模型按照五步建模思 想构建，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机性，挖掘潜在规律， 经过灰色差分方程与灰色微分方程之间的互换实现了利用离散的数据 序列建立连续的动态微分方程的新飞跃。灰色预测是基于GM 模型作 出的定量预测，按照其功能和特征可分为数列预测、区间预测、灾变 预测、季节灾变预测、波形预测和系统预测等几种类型。灰色决策包 括灰靶决策、灰色关联决策、灰色统计、聚类决策、灰色局势决策和 灰色层次决策等。灰色控制的主要内容包括本征性灰色系统的控制问 题和以灰色系统方法为基础构成的控制，如灰色关联控制和GM (1，1) 预测控制等。灰色优化技术包括灰色线性规划、灰色非线性规划、灰 色整数规划和灰色动态规划等。
基础知识
1.灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”
的不确定性系统。 信息不完全包含： 1、系统因素不完全明确； 2、因素关系不完全清楚； 3、系统结构不完全知道； 4、系统作用原理不完全明了。 2.白色系统、灰色系统、黑色系统 白色系统：一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全 充分的。如：存取款系统，存款金额明确，利息固定则最终取款金额就 已知。 灰色系统：一个系统的内部特征是不完全已知的系统。人体是一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ系统， 人的身高、体温、血压等都是已知的，可是，人体内部在结构及部位功 能上还有许多问题尚未可知。 黑色系统：一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它 与外界的联系来加以观测研究。如：观测到的星体。
灰色系统分析法、数理统计法及模糊法对比
灰色系统 内涵 小样本不确定 数理统计方法 大样本不确定 模糊法 界限不确定
依据
手段 特点 要求 目标 信息准则
信息覆盖
生成 少数据 允许任意分布 现实规律 最少信息
概率统计
统计 多数据 要求典型分布 历史统计规律 无限信息
隶属度函数
边界取值 经验（数据） 函数 认知表达 经验信息
常用的灰色预测有五种
（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序 列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或 达到某一特征量的时间。 （2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现 的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 （3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值 发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。 （4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找 该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列， 然后建立模型预测该定值所发生的时点。 （5）系统预测，通过对系统行为特征指标建立一组相互关 联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关 系的变化。
i 0
准备知识 一阶微分方程模型 dx/dt+ax=b 导数的定义
dx x ( t t ) x ( t ) lim dt t 0 t
当Δt很小并取很小的单位1时
x(t+1)-x(t)=Δx/Δt
则离散形式可写为 Δx/Δt=x(1)(k+1)-x(1)(k)=x(0)(k+1) 由dx/dt——Δx/Δt——x(1)(k+1)-x(1)(k)，在[x(1)(k)，x(1)(k+1)]范围内，由于 很短时间内背景值（即x值）不会发生突变，则取均值 z(1)(k+1)=o.5 x(1)(k)+0.5 x(1)(k+1)作为x的值。 则得到灰微分方程为 x(0)(k+1)+a z(1)(k)=b 则可得矩阵方程 x(0)(k+1)=-a z(1)(k)+b Yn=B&
灰色预测
灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息 的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、 与时间有关的灰色过程进行预测。
通过对原始数据的生成处理来和灰色模型的建立， 挖掘、发现、掌握寻求系统变动的规律。生成数 据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的 微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和 未来状态，对系统的未来状态做出科学的定量分 析。
x (k ) x (0) (i ) x (1) (k 1) x (0) (k )
(1)
k
令Z（1）为X（1）的紧邻均值生成序列 Z（1）=（ z(1)(1 ), z(1)(2),…… z(1)(k )） z(1)(k)=o.5 x(1)(k)+0.5 x(1)(k-1) GM(1，1)的灰微分方程模型为 x(0)(k+1)+a z(1)(k)=b 式中称为-a发展系数，b为灰色作用量
预测模型
单序列灰色预测模型
GM（1，1）模型 DGM（1，1）模型 GM（1，N）模型 Verhulst模型
区间灰数预测模型
基于几何坐标法的区间灰数预测模型IGPM-G(1,1) 基于信息分解法的区间灰数预测模型IGPM-P(1,1) 基于灰色属性法的区间灰数预测模型IGPM-D(1,1)
GM（1，N）模型
如果考虑的系统由若干个相互影响的因素组成，设
X1
( 0)
( 0) ( 0) ( 0) x1 (1), x1 (2),...,x1 (n) 为系统特征数据序列，而

X2
( 0)
x2 (1), x2 (2),...,x2 (n)
... ...


( 0)
( 0)
( 0)

XN
(1)
k
累加生成的作用：通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态 势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化。 2.累减生成 对数列求相邻两数值的差，是累加生成的逆运算。 记原始序列为 X(1)=(x(1)(1), x(1)…(2),…),x(1)(n)) 一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n)) 其中，x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1) 累减生成的作用 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模 方 程用来获得增量信息。
单序列灰色预测模型
灰色系统理论认为：系统的行为现象尽管朦胧，数据尽管 复杂，但它必然是有序的，都存在着某种内在规律。不过 这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始 数据中找到某种内在的规律. 灰色生成：建立灰色模型之前，需要对原始时间序列按照 某种要求进行预处理，得到有规律的时间序列数据—生成 列。即对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去 发现内在规律. 常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生 成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍：
灰色系统理论的内容
灰色系统理论经过20多年的发展，已基本建立起一门 新兴学科的结构体系。其主要内容包括以灰色朦胧集为基 础的理论体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰 色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型(GM )为核心 的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控 制、优化为主体的技术体系。
i 0
3.均值生成 设原始序列为 X(0）={x(0)(1), x(0)(2),……,x(0)(n)} ，x(0)(k-1)与 x(0)(k)为数列X(0)的一对（紧）邻值，则称x(0)(k-1)为值，x(0)(k)称为后值。 对于常数α∈(0,1) 则称
z(0)(k)=αx(0)(k) + (1-α)x(0)(k −1)
1.累加生成 通过数列间时刻各数据的依个累加以得到新的数据与数 列，累加所得的新数列叫做累加生成数列。 具体地，记原始数列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(1)(n)) 累加生成序列 X(i)=(x(i)(1), x(i)(2),…,x(i)(n)) 一次累加生成关系
x (k ) x (0) (i ) x (1) (k 1) x (0) (k )
dx (1) ax (1) b dt
为灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的白化方程，也叫影子方程。 将上面所求参数代入白化方程，求得其解为
b b x (1) (k 1) ( x (1) (1) )e ak a a
还原到原始数据
(0) (1) x (k 1) x (k 1) x(k )