一类三角函数有理式的不定积分

三角函数求不定积分方法总结

三角函数求不定积分方法总结三角函数的不定积分是高等数学中的重要内容之一。

在求解三角函数的不定积分时，有一些常用的方法和技巧，本文将对这些方法进行总结。

首先，我们来回顾一下三角函数的定义。

在单位圆上，对于任意一点P(1,θ)，定义正弦函数sin(θ)等于P的纵坐标，定义余弦函数cos(θ)等于P的横坐标，定义正切函数tan(θ)等于P的纵坐标除以横坐标。

根据这些定义，可以得到三角函数的一些性质。

对于三角函数的不定积分，下面是一些常用的方法和技巧：1. 基本积分公式：根据三角函数的基本性质，可以得到一些基本积分公式。

例如，∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C这些基本积分公式在求解三角函数的不定积分时非常有用。

2. 凑微分法：如果需要求解的三角函数积分形式与基本积分公式不完全匹配，可以通过凑微分的方法将积分式子变形。

例如，∫sin^2(x) dx = ∫(1 - cos^2(x)) dx = ∫dx - ∫cos^2(x) dx = x -∫cos^2(x) dx接下来，可以使用换元法或者其他方法继续进行求解。

3. 倒代换法：当求解的三角函数积分中含有三角函数的幂函数时，可以考虑使用倒代换法。

具体步骤如下：1）将三角函数的幂函数的一部分提取出来，用一个新的变量代替。

2）根据新的变量的取值范围，将原积分限进行相应的改写。

3）将原积分表示为新变量的积分形式。

4）对新变量的积分进行求解。

5）将新变量的积分结果转换回原变量。

4. 积化和差公式：对于一些较为复杂的三角函数积分，可以考虑使用积化和差公式进行简化。

例如，积化和差公式之一为：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ±cos(A)sin(B)将三角函数积分中的和差形式利用积化和差公式变换为乘积形式后，便于求解。

5. 稍减一法：当三角函数的幂函数中指数比较大时，可以考虑使用稍减一法。

些可有理化函数的不定积分(Word)

第4节可有理化函数的不定积分4.1三角函数有理式的不定积分设(sin ,cos )R x x 是sin ,cos x x 的有理分式，要做积分(sin ,cos )R x x dx ⎰。

作变换tan2x t =。

2222222112111tan ,cos ,1cos ,cos 122111cos 2x x t x x x t t t +=+==+==-+++221cos 1t x t-=+ 2221sin 2sin cos 2tan cos (1cos )122221x x x x t x t x t t ⎛⎫-===+=+ ⎪+⎝⎭22sin 1tx t =+ 221dx dt t =+2222212(sin ,cos ),111t t R x x dx R dt t t t⎛⎫-=⎪+++⎝⎭⎰⎰ 变成了有理函数的积分。

以上这些公式，可以背下来，也可以练熟推导过程需要时推出来。

tan2xt =总可以把三角函数有理式的不定积分变为有理函数的积分。

因此称它为万能变换。

从上面可以看出，虽然用万能变换总可以把积分做出来，但是它非常麻烦。

因此万能变换只能是最后一招。

【例4.1】求不定积分d 2sin cos 5xx x．解、用万能变换tan 2x t =。

22sin 1t x t =+，221cos 1t x t -=+，221dx dt t=+。

22222222112412sin cos 5151111111322331133tan 1dx dtt t x x t t t dt d t d t t t x C C =--++-+++⎛⎫==+= ⎪++⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰ 【例4.2】求不定积分3sin d 1cos xx x．解、()()322sin sin 1cos cos cos 1cos 1cos 1cos x x xdx d x d x x x x-=-=-+++⎰⎰⎰ ()()21cos 1cos cos cos 2x d x x x C =-=-+⎰（注意：我们这里没有用万能变换。

不定积分公式总结

不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。

三角函数的不定积分计算与应用

三角函数的不定积分计算与应用在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们在各个领域都有广泛的应用。

不定积分是微积分中的基本概念之一，它可以用于计算函数的原函数。

本文将介绍三角函数的不定积分计算方法以及其在实际问题中的应用。

一、三角函数的不定积分计算方法1. 正弦函数的不定积分正弦函数是三角函数中最常见的一种。

对于正弦函数sin(x)，其不定积分可以通过以下公式计算：∫sin(x) dx = -cos(x) + C其中C为常数。

2. 余弦函数的不定积分余弦函数是另一种常见的三角函数。

对于余弦函数cos(x)，其不定积分可以通过以下公式计算：∫cos(x) dx = sin(x) + C同样，C为常数。

3. 正切函数的不定积分正切函数tan(x)的不定积分可通过以下公式计算：∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C其中ln为自然对数，C为常数。

二、三角函数不定积分的应用1. 面积计算三角函数的不定积分可以用于计算闭曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

例如，给定一个函数f(x)，通过计算∫f(x) dx，我们可以得到曲线f(x)与x轴之间的面积。

2. 物理问题三角函数的不定积分在物理学中有广泛的应用。

例如，在运动学中，通过计算加速度函数的不定积分，可以得到速度函数和位移函数。

这在描述物体的运动过程中非常有用。

3. 工程问题三角函数的不定积分在工程学中也有一定的应用。

例如，在电路分析中，通过计算电流和电压函数的不定积分，可以得到电路中的电荷量和电流量。

4. 统计学问题在统计学中，三角函数的不定积分也有一定的应用。

例如，在频率分析中，通过计算函数的傅里叶级数展开式，可以得到信号的频谱分布。

综上所述，三角函数的不定积分计算方法以及其在实际问题中的应用非常广泛。

通过掌握计算方法，我们可以更好地理解三角函数的性质，并将其应用于不同领域的问题求解中。

有理函数、三角函数及一些无理函数的不定积分

1 x 1 1 2 J n 1 2 [ dx] 2 2 n 1 2 2 n 1 n 1 (x a ) a 2a n 1 ( x a ) Jn 1
2 2
x
2 n 1
2( n 1)a ( x a )

2n 3 2( n 1)a
2
J n 1 .
分解后的部分分式必须是最简分式.
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 dx 2 2 x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
2u 1 u 2 1 u 2 du 2 (1 u)(1 u )
(1 u)2 (1 u2 ) 1 u 1 du du du 2 2 (1 u)(1 u ) 1 u 1 u
1 = arctanu ln(1 u2 ) ln | 1 u | C 2
§有理函数、三角函数及一些无理函数的不定积分
1、有理函数的积分 2、三角函数有理式的积分 3、无理函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数.
P ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
A B C 1 , 例2 2 2 x ( x 1 ) x ( x 1) x 1
= -d (cotx )

有理式的不定积分与有理化方法二

补例求 dx . x3 1
解
1 1 1 x2 3 ( 2 ). x 1 3 x 1 x x 1
x2 1 2x 4 1 2x 1 3 dx x 2 x 1 2 x 2 x 1dx 2 x 2 x 1dx
1 (2 x 1)dx 3 dx 2 2 2 x x 1 2 x x 1
化简并约去两端的公因子 x后为 2 x 2 3x 1 A12 ( x 1) 2 A22 ( x 1),
即 2 x 1 A12 x A12 A22 ,
A12 2, A22 1.
得
例2 求
解
1 A Bx C , 2 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x
两端去分母,得或
1 A(1 x 2 ) ( Bx C)(1 2x),
1 ( A 2B) x 2 ( B 2C) x C A.
比较两端的各同次幂的系数及常数项，有
A 2 B 0, 4 2 1 A , B ,C . 解之得 B 2 C 0 , 5 5 5 A C 1. 4 2 1 x 1 5 5 5. (1 2 x)(1 x 2 ) 1 2 x 1 x2
1 d (x ) 1 d ( x 2 x 1) 3 2 1 2 3 2 2 x2 x 1 (x ) 2 4
1 2x 1 2 ln(x x 1) 3 arctan C. 2 3
dx 1 1 1 2x 1 2 x3 1 3 ln(x 1) 6 ln(x x 1) 3 arctan 3 C.
变分子为
B 2

一类三角函数有理式的不定积分

１引言
在大学数学的学习中，三角函数有理式的不定积分解法灵活，要熟悉三角函数的一些基本关系和积分公
式，对大多数学生来说是一个学习难点。常见的方法有直接积分法【・】２３６ — ２４０、换元积分法【ｚ］２９１ — ３００、分部积分法［３１４９ — ５５、配对积分法、拆项积分法、万能变换积分法等等【４＿７】，其中万能变换较易掌握，但万能变换化三角函数有理式为有理函数式后的积分，计算起来往往颇为复杂。事实上，如果式子具有某些特征，那么不用借助万能公式也能轻松解决。在文献［１ — ４］中，详细的讨论了形如
，ｚ，ｍ＝０，１，２， … ；情形二：ｎ＝０，１，２，ｏｏ＂＝０，一１，一２， … ；情形三：ｍ＝０，１，２， … ，ｎ＝０，一１，一２， … ；情形四：ｎ，ｍ＝０，一１，一２， … 。为方便研究我们把这四种情形分别用下列符号表示：
（文山学院数学学院，云南文山６６３０９９）
摘要：文章研究一类三角函数有理式的不定积分，根据不同结构分别讨论不同形式的解法，避免了使用万能公式求解三角函数有理式积分的复杂计算，对于学习积分或者积分的教学有一定帮助。
关键词：三角函数；有理式；不定积分；解法中图分类号：Ｏｉ７４文献标志码：Ａ文章编号：１６７４—９２００（２０１５）０３—００６３—０５
基金项目：文山学院科研基金项目 “ 时标上时滞神经网络的概周期解研究” （１５ｗｓＹ１３）；文山学院重点学科 “ 数学”建

02-22.2三角函数有理式的不定积分p

第二单元 Ch9 不定积分2.2三角函数有理式的不定积分222sin cos 22sin sin cos 22x x x x x =+22tan 21tan 2x x =+22,1t t =+2222212(sin ,cos )d ,d .111t t R x x x R t t t t ⎛⎫-= ⎪+++⎝⎭⎰⎰d 1t t=+⎰ln 1t C =++ln 1tan .2x C =++对三角函数有理式的不定积分, 在某些条件下还可(iii)(,)(,),tan .R u v R u v t x --==若可作变换(i)(,)(,),cos ;R u v R u v t x -=-=若可作变换(ii)(,)(,),sin ;R u v R u v t x -=-=若可作变换?为什么以上变换可使不定积分简化(i),R 若满足条件由代数学知识可知,存在有理0,R 函数使得选用如下三种变换, 使不定积分简化.20(,)(,).R u v R u v u =因此20(1cos ,cos )d(cos )R x x x =--⎰0(ii),,R R 若满足条件则存在有理函数使得20(,)(,).R u v R u v v =类似可得20(1,)d .R t t t =--⎰20(sin ,cos )d (sin ,cos )sin d R x x x R x x x x =⎰⎰20(sin ,cos )d (sin ,cos )cos d R x x x R x x x x =⎰⎰20(sin ,1sin )d(sin )R x x x =-⎰20(,1)d .R t t t =-⎰0(iii),,R R 若满足条件则存在有理函数使得1221d(tan )tan ,1tan 1tan x R x x x ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰1221d ,.11t R t t t⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰2cos 2dcos 12cos cos x x x x -=+-⎰2d 212t t t t =-+-⎰221cos x-+1arctan tan .a x C ab b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a ⎪⎝⎭例4 求不定积分解本题除一般解法(化为有理式的积分)外，还有一种较巧妙的解法.立即知道可由方程组于是就可求得。

高数同济44有理函数三角函数及一些无理函数的不定积分

例4 求积分
1 x(x 1)2dx.
解 x(x11)2dx1 x(x 11)2x1 1dx
1 xd x(x 11)2d xx1 1dx
ln x1ln x (1)C . x1
1
例5 求积分 (12x)(1x2)dx.
解 (12x)1(1x2)dx1542xdx152xx215dx
5 2 ln 1 2 ( x ) 1 5 1 2 x x 2d x 1 5 1 1 x 2 dx
由代数学定理:
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
难点将有理函数化为最简分式之和.
设 Q P((x x))b a 00 x x m n b a 1 1x xm n 1 1 b am n 1 1x x a bn m是真 . 分
例12
求积分
x 3x1
d.x 2x1
解先对分母进行有理化
原式 (3 x 1 x (2 3 x x 1 1 ) (3 2 x x 1 1 )2 x 1 )dx
(3x 12x 1 )dx
1 3 3x1d(3x1)1 2 2x1d(2x1)
2(3x1)2 31(2x1)2 3C .
例1 x3 x2 5x6
化为最简分式之和.
x3 A B ,
待
(x2)(x3) x2 x3
定
x 3 A ( x 3 ) B ( x 2 ),系
数
x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ), 法
A(3A B21,B)3,

三角函数求不定积分方法总结

三角函数求不定积分方法总结三角函数是数学中常见的一类函数，在计算机科学、物理学、工程技术等领域都有广泛的应用。

求三角函数的不定积分是数学中的常见问题，需要掌握一定的方法和技巧。

本文将总结一些求三角函数不定积分的常用方法，并给出相关参考内容。

1. 基本积分公式：对于三角函数，我们可以利用基本积分公式来求不定积分。

2. 倒代换法（合并积分）：有时候，我们可以通过倒代换的方法将一个复杂的三角函数不定积分转化为一个简单的不定积分。

例如，对于积分 $\int\sin^3 x \, dx$，我们可以令 $u = \cos x$，然后利用 $u$ 来表示$\sin x$，并应用基本积分公式。

最后再用 $u$ 代替原来的变量 $x$。

3. 半角公式：半角公式是将一个角的正弦、余弦和切线用另一个角的正弦、余弦和切线表示的公式。

在求三角函数的不定积分中，半角公式可以帮助我们将一个复杂的三角函数变为一个简单的三角函数。

例如，对于积分 $\int \sin^2 x \, dx$，我们可以利用半角公式将其转化为 $\frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx$，然后应用基本积分公式求出不定积分。

4. 积化和差法：积化和差法是一种将乘积形式的函数转化为和差形式的方法。

三角函数有理式不定积分

u
sin x
,
1 u2
dx
1
1 u2
du,
1 sin4
x
dx
1
1 u u2
4
1
1 u2
du
1
u2 u4
du
1 3u3
1 u
C
1 3
cot 3
x
cot
x
C
.
解（三）可以不用万能置换公式.
1 sin4
x
dx
csc2
x(1
cot2 x)dx
csc2 xdx cot2 x csc2 xdx d(cot x) cot x 1 cot3 x C.
x
1 1
u2 u2
dx
x 1
2u122duuu2,
,
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
1 2
u2 2u 1 du
u
1
u2 (
2u
ln u)
C
22
tan2
x 2
tan
x
1
ln tan
x
C
4
22
2
例7
求积分
1
cos x sin
x
dx.
1 u2 2du
解
cos x dx 1 u2 1 u2
例9
求积分
1
3
1 x
2
dx.
解令 t3 x 2 3t 2dt dx,
1
1 3 x 2 dx
3t 2 dt
1 t
t2 11
3
dt t 1
t2 3( t ln | t 1 |) C

不定积分公式总结

dx
2
1
+ C
( 5 ) ∫cos x dx = sin x + C ( 7 ) ∫cot x dx = ln | sin x| + C ( 9 ) ∫csc x dx = ln | csc x - cot x| + C ( 11 ) ∫csc2 x dx = - cot x + C ( 13 ) ∫x 2 +a 2 = ( 15 ) ∫a 2 -x
5
xe
x 2
例
xe (x e x e x e 1
x x x x
(1 x)
dx
( x 1)
2
dx
x 2
1)e (x dx 1 dx 1 C
e
x
dx e
x
e x
2
x
e 1 e x (x
x
x 2
dx e d
x
1)
1)
(x e 1
x
1)
dx 1
dx 1
1 1 x
x
1
x
de
x
x
(三 )特殊函数积分法
1、有理函数的不定积分
2 2
+
1 2
∫
1 √５ + x- x dx
2
dx
= - √5 + x - x +
1 2
∫
√ 21 2 1 √ ( ) - (x - ) 2 2 2 1 2x - 1 2 √ = - 5 + x - x + arcsin( )+ C 2 21 √ 3 x 例 2： ∫ 4 dx x + x2 + 1 与例 1 类似，我们有： 1 1 3 ( ) 4x + 2x x x 4 2 ∫ 4 dx = ∫ dx 2 4 2 x + x + 1 x + x + 1 1 2 4 2 d (x + 1 d( x + x + 1) 1 2) = ∫ 4 ∫ 2 后面套公式就好啦 2 4 x + x2 + 1 4 1 3 √ (x 2 + ) + ( ) 2 2

高等数学有理式的不定积分方法

dx

B 2
2x 2C
[(x
p )2
B (g

p2
)]n
dx
2
4
B 2
2x p 2C p B
(x2 px q)n
dx
B 2
(x2
2x px
p
q)n
dx
C Bp
(x2

2 px
q)n
d
B 2
d (x2 px q)
x 2 C.
19
总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分
都能积出,且原函数都是初等函数.此外,由代数学知道,从理论上说
,多项式Q(x)总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的
乘积,从而把有理函数
P(x) Q(x)
分解为多项式与部分分式之和.因此,
有理函数的原函数都是初等函数.
)
(
B11x x2
C11 1

B21x C21 (x2 1)2

B31x (x2
C31 1)3
)

B12 (x2
x x
C12 1)
.
其中Aij , Bij与Cij均为常数，下面将用待定系数法求出.
6
四种典型部分分式的积分:
1.

A dx xa

Aln
xa
C
2.
比较恒等式两端同次幂的系数，得一方程组： 11
A11 A12 1, 3A11 2 A12 A22 0, 3A11 A12 A22 A32 0, A11 1.
从而解得 A11 1, A12 2, A22 1, A32 2. 故有