圆锥曲线常见题型及答案

圆锥曲线常见题型归纳

一、基础题

涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：

（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；

（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中

222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；

例题：

（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）

A ．421=+PF PF

B ．6

21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122

2

2

1

=+PF PF （答：C ）；

（2）

方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）

（3）已知点)0,22(Q 及抛物线4

2

x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）

（4）已知方程1232

2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11

(3,)

(,2)22

---）； （5）双曲线的离心率等于25

，且与椭圆14

922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2

214x y -=）；

（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为

_______（答：226x y -=）

二、定义题

对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；

圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：

①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；

③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为

2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2

a x c

=±；

⑤离心率：c

e a

=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。

p e c b a ,,,,

例：（1）若椭圆1522=+m

y x 的离心率510

=

e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：

22）

（2）双曲线（以22

221x y a b

-=（0,0a b >>）为例）：

①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；

③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；

④准线：两条准线2a x c =±； ⑤两条渐近线：b

y x a

=±。

⑥离心率：c

e a

=，双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；

例：（3）双曲线的渐近线方程为y=±3x/4,则双曲线的离心率为______

（4）双曲线22

1ax by -=:a b = （答：4或1

4）；

（5）设双曲线122

22=-b

y a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是

________（答：[,]32

ππ

）；

（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：

①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2

p

，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；

③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；

④准线：一条准线2

p

x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线⇔1e =。

（4）点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；

2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b

y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200

221x y a b +<

例：（6）116252

2=+y x 设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________（答：)161,0(a

）；

（7）已知椭圆上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：

35

3

）； （8）已知抛物线方程为x y 82

=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；

（9）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：7,(2,4)±）；

（10）点P 在椭圆19

252

2=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为

_______（答：

25

12

）；