第七章 常微分方程

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第七章 常微分方程 第二节 一阶微分方程

第七章 常微分方程 第二节 一阶微分方程
3u + 2 3 du = − d x, 2 x u(u +1)
2
两边积分, 两边积分,得
20112011-4-16 高 等 数 学 习 题 课 16
3u + 2 ∫ u(u2 +1) du = −3ln | x | +lnC,
2
3u2 + 2 2 u du = ∫ ( + 2 )du 由于 ∫ 2 u u +1 u(u +1) 1 2 ( = 2ln | u| + ln u +1) +C1 , 2 C 2 2 故方程的通解为 u u +1 = , 3 x
5
例2 求解方程 yd x + (x − 4x)d y = 0.
2
此方程为一个可分离变量的微分方程. 解 此方程为一个可分离变量的微分方程.分离 变量, 变量,得
dy dx = , 2 y 4x − x
dx 1 1 1 = + d x, 2 4 x 4− x 4x − x

两边积分, 两边积分,得
第七章(1) 第七章
习题课
一阶微分方程的解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 三、课外练习题
20112011-4-16
高 等 数 学 习 题 课
1
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 几个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 几个标准类型 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 关键: 关键 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 代换自变量 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换因变量 代换某组合式 代换某组合式
03考研 考研

第七章常微分方程

第七章常微分方程

第七章常微分方程1.微分方程0y 2y 3y =+'-''的通解y=( )A.C 1e -x +C 2e 2xB. C 1e -x +C 2e -2xC. C 1e x +C 2e -2xD. C 1e x +C 2e 2x2.已知)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =( )A.2C 1x +C 2cos xB.2Cx +cos xC.cos x +C (2x -cos x )D.C (2x -cos x )3.下列方程中,是一阶级性非齐次微分方程的是( )A .ydy =(x +y )dxB .xdy =(x 2+y )dxC .9cos =-y x dx dyD .32+=xy dxdy 4.以y =sin 3x 为特解的微分方程为( )A .0=+''y yB .0=-''y yC .09=+''y yD .09=-''y y5.微分方程x xe y y y =+'-''65的一个特解应设为y*=( )A.axe xB.x (ax +b )e xC.(ax +b )e xD.x 2(ax +b )e x6.微分方程22y x xy dx dy +=是( ) A.齐次微分方程B.可分离变量的微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微分方程7.微分方程2(1)(1)0xy dx x dy +-+=是( )A.可分离变量的微分方程B.齐次微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微分方程8.微分方程d e d x y y x x =+是 A.可分离变量的微分方程B.齐次微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微分方程9.微分方程2x y y e -''+= 的一个特解y *=______.10.微分方程2x y y y e -'''+-=用待定系数法求特解*y 时,*y 的形式应设为______.11.微分方程y 〞+y =2e x 的一个特解是y *=_________.12.微分方程10y ''-=的通解y =_____________.13.微分方程x y y sin 3='+'''的阶数是__________.14.微分方程122=+'+''y y y y ·的一个特解=*y ___________.15.微分方程x y 2sin =''的通解为y= .16. 微分方程3y y 2y =+'+''的一个特解为y*=___________.17.求微分方程dy y dx y x=-的通解。

第七章 常微分方程习题课

第七章 常微分方程习题课

7
x3
2
Cx3 .
7
20
例3 求 dy dx
x
y y2 cos
的通解 y
解:将原方程写成
dx 1 x y cos y dy y
x
e
1 y
dy
(
y cos
y
)e
1 y
dy
dy
C
y
(
y
cos
y)
1 y
dy
C
y(C sin y)
21
例4
求通解
2x
y2 3x2
dx
dy 0.
y3
y4
3
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
4
(3) 可化为齐次的方程
形如 dy f ( ax by c )
通解:y Y y*
求特解的方法 待定系数法
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根
设特解 y* xkexQm (x) k 1 是单根 ,
2 是重根
15
(2)
f
(
x)
ex
[
Pl
(1)
(
x)
cos
x
P(2) n
(
x)
sin
x]

设特解
y*
xkex[Rm(1) (x) cosx

2 解得
4b 0,
a 1,
8 b 0,

第七章常微分方程数值解法

第七章常微分方程数值解法

h2 h3 y ( xi 1 ) y ( xi h) y ( xi ) hy '( xi ) y ''( xi ) y '''( xi ) 2! 3!
丢掉高阶项,有
y( xi 1 ) y( xi h) y( xi ) hy '( xi ) yi hf ( xi , yi )
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | ,
那么模型问题在 [ a, b] 存在唯一解。
Lipschitz 连续: | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | .
(1) 比连续性强: y1 y2 可推出 f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) ; (2) 比连续的 1 阶导弱:具有连续的 1 阶导,则
f | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) || ( ) || y1 y2 | L | y1 y2 | . y
常微分方程数值解法
目标:计算出解析解 y ( x) 在一系列节点 a x0 x1 xn1 xn b 处的近似值 yi y( xi ) ,即所谓的数值解。节点间距 hi xi 1 xi ,一般 取为等距节点。
常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类: (1)单步法:在计算 yn 1 时,只用到前一步的值,即用到 xn1 , xn , yn ,则给定初
值之后,就可逐步计算。例如 Euler 法、向后欧拉法、梯形公式、龙格-库塔法;
(2) 多步法: 这 类 方 法 在 计算 yn 1 时 , 除 了 用 到 xn1 , xn , yn 外 , 还 要 用到

微分方程

微分方程

dy P ( x ) y Q( x ) dx
dy 2 dx 2 例如 y x , x sin t t , 线性的; dx dt
yy 2 xy 3, y cos y 1,
非线性的.
高等数学(上)
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
ye
Ce
P ( x ) dx
过定点的积分曲线; 微分方程的图形
y f ( x , y , y ) 二阶: y x x0 y0 , y x x0 y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
高等数学(上)
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
二、齐次方程
三、一阶线性微分方程
cos x C.
所以原方程通解为
y
1 cos x C . x
高等数学(上)
1 sin x 求方程 y y 的通解. x x
1 解 P( x) , x
sin x Q( x ) , x
sin x y x ln x sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C . x x
高等数学(上)
( x, C1 )
例3 求方程 xy

(5)
y
(4)
0 的通解.
(5)
设y
(4)
P ( x ), y
P ( x )
(4)
代入原方程 分离变量,得
xP P 0, (P 0)
1 2 两端积分,得 y C1 x C 2 , 2
原方程通解为
高等数学(上)

第七章 常微分方程

第七章 常微分方程

两边积分


1 1 1 2 2 ln( y 1 ) ln( x 1 ) ln c 2 2 2
通解为
( x2 1 ) ( y 2 1 ) c
⑶ x y dx
1 x dy 0 ;
1 x dy dx 2 y 1 x 1 dy y
2
习题解答:3
y y C1 sin x C2 cos x C1 sin x C2 cos x 0
又 y C1 sin x C2 cos x 中有两个独立的任意常数,且微分方
程 y y 0 是二阶的,所以 y C1 sin x C2 cos x 是该微分
方程的通解.
⒋ 初始条件
用来确定特解的条件称为初始条件。
例1 验证 y C1 sin x C2 cos x 是微分方程 y y 0 的通解。 解 : y C1 cos x C2 sin x , y C1 sin x C2 cos x
把 y 和 y 代入微分方程左端得
工 程 数 学
常 微 分 方 程
广东水利电力职业技术学院 张静华
Tel:38490981
数学教学部
Email:zhangjh@
目 录
第一节 第二节
微分方程的基本概念 一阶微分方程
⒈ 可分离变量的一阶微分方程 ⒉ 齐次方程
⒊ 一阶线性微分方程
第三节 第四节
可降阶的高阶微分方程 二阶常系数线性微分方程
dy y 一般形式: ⑴ f( ) dx x y 解法:令 u , 则 y u x x dy du ux dx dx du f (u ) 代入方程 ⑴ 得 u x dx 1 1 分离变量得 du dx f (u ) u x y 两端分别积分后再用 代替 u x 便得到原方程的通解 .

第七章常微分方程练习题(含答案)

第七章常微分方程练习题(含答案)

第7章 常微分方程一、单项选择题1.微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是( b )A.4阶 B .3阶 C .2阶 D .1阶2.微分方程222y x dxdy x +=是( b ) A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3.下列方程中,是一阶线性微分方程的是( c )A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4.方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是( a )A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25.微分方程y y x 2='的通解为( c )A .2x y =B . c x y +=2C . 2cx y =D .0=y6.微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 ( a )A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8.微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是( a )A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9.微分方程2y xy '=的通解为( c )A .2x y e C =+B . x y Ce =C . 2x y Ce =D .22x y Ce =二、填空题1.微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____;2.微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=; 3.微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=;4.微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<; 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰; 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。

高数 第七章 微分方程常微分方程

高数 第七章 微分方程常微分方程
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
5.微分方程的初始条件、特解
定义5 用来确定 解n 微分方程 F (x, y, y, ,y(n) ) 的0 通解中任意
常数的条件: y xx0 y0 , y xx0 y0 ,
,y(n1)
y , xx0
( n 1) 0
其中 x0, y0, y0 , , y0(n1都) 是给定的值。上述这种条件叫做初始 条件。
(
y) x
的方程,称为齐次方程。
例如(1)2xy d y (x2 y2 ) d x 0
(2)(x2 y xy2 ) d x (x3 y3) 0
2.齐次方程的求解:
在齐次方程
理有
du
(u)
u
dx x
d d
y x
求出积分后,再以
程的通解。
(
y x
y x
) 中,令 u y ,化简并整
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
第一讲 微分方程的基本概念;可分离变量的微分方程方 程
授课题目(章节)§7.1 微分方程的基本概念 §7.2 可分离变量的微分方程方程 教学目的与要求: 了解微分方程的阶及微分方程的解、通解、初始条件、特
解等概念; 2.会识别变量可分离的一阶微分方程,熟练掌握可分离
用常数变易法,令:y ueP(x)dx ,其中u u(x) 为待定函数,
带入原非齐次微分方程d y P(x)y Q(x) ,可解
得:u Q(x)eP(x)d x d x C
dx
因此,非齐次微分方程 d y P(x)y
解为: d x
y
e
P(
x)
d
x
(
Q(x)e P(x)d x

常微分方程初值问题的数值解法

常微分方程初值问题的数值解法

第七章 常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习,我了解了常微分方程初值问题的计算方法,对于解决那些很难求解出解析表达式的,甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。

在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化,然后进行迭代求解。

在这里将初值问题离散化的方法有三种,分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。

常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法,或者可以分为单步法和多步法。

在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值,而多步法则是指计算第n+1个y 的值时,用到了前几步的值。

通过对本章的学习,已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差,但是对线性多步法的求解理解不怎么透切,特别是计算过程较复杂的推理。

在本章的学习过程中还遇到不少问题,比如本章知识点多,公式多,在做题时容易混淆,其次对几种R-K 公式的理解不够透彻,处理一个实际问题时,不知道选取哪一种公式,通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样,,这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。

二、本章知识梳理常微分方程初值问题的数值解法一般概念步长h ,取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=,且M t T ≤,则初值问题000'(,),()y f t y t t Ty t y =≤≤⎧⎨=⎩的数值解法的一般形式是1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-@显示单步法7.2.1 显示单步法的一般形式1(,,),(0,1,...,1)n n n n y y h t y h n M ϕ+=+=-定理7.2.1 设增量函数(,,)n n t y h ϕ在区域00{(,,)|,||,0}D t y h t t T y h h =≤≤<∞≤≤内对变量y 满足Lipschitz 条件,即存在常数K ,使对D 内任何两点1(,,)t u h 和2(,,)t u h ,不等式1212|(,,)(,,)|||t u h t u h K u u ϕϕ-≤-成立,那么,若单步法的局部截断误差1n R +与1(1)p h p +≥同阶,即11()p n R O h ++=,则单步法的整体截断误差1n ε+与p h 同阶,即1()p n O h ε+=。

《高等数学》 第七章

《高等数学》 第七章

C

第三步,求积分的通解: G( y) F(x) C .
其中 G( y) , F (x) 分别是 1 , f (x) 一个原函数. g ( y)
第二节 一阶微分方程
例 1 求微分方程 dy y sin x 0 的通解. dx
解 将方程分离变量,得到 dy sin xdx , y
两边积分,即得
(*)
例如,以上六个方程中,(1)、(2)、(5)、(6)是一阶常微分方程,(3)是二阶
常微分方程,(4)是二阶偏微分方程.
定义 3 如果微分方程中含的未知函数及其所有导数都是一次多项式,则称该方
程为线性方程,否则称为非线性方程.
一般说来,n 阶线性方程具有如下形状:
a0(x) y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y (x) .
第二节 一阶微分方程
例 3 求方程 dy y 1 的解. dx x 1
为方便起见,以后在解微分方程的过程中,如果积分后出现对数,理应都需作
类似下述的处理,其结果是一样的.以例 3 为例叙述如下:
分离变量后得
1 dy 1 dx , y 1 x 1
两边积分得
ln | y 1| ln | x 1| ln C ,
再分离变量,得 du 1 dx ; f (u) u x
第三步,两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1

求出积分后,再用 y 代替 u ,便可得到方程关于 x 的通解. x
第二节 一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解.

将方程化为齐次方程的形式
dy dx
y x
1

7-第七章-常微分方程1

7-第七章-常微分方程1
5/28
-------兔子数量 -------狐狸数量
兔、狐数量 变化相位图
6/28
例7.3 蝴蝶效应 数学家洛伦兹在一次讲演中将大气环流数据对初值的敏感性 形象地解释为“一只蝴蝶在巴西扇动翅膀,会引起德克萨斯 州一场龙卷风”。洛伦兹微分方程模型如下
dx x yz dt dy (y z ) , t [0, 80] dt dz xy y z dt
u x GMx / (x 2 y 2 )3/2 u GMy / (x 2 y 2 )3/2 v v y
初始条件
x (0) (R h ) y(0) 0
u(0) v 0 cos( / 2) v(0) v 0 sin( / 2)
14/28
function u=myfun(t,y) u(1,:)=-8/3*y(1)+y(2)*y(3); u(2,:)=-10*y(2)+10*y(3); u(3,:)=-y(1)*y(2)+28*y(2)-y(3);
8/28
9/28
例7.4 抛射曲线实验 假设阻力与速度成正比,在微分方程中 增加阻力项 x (t ) kx (t ) x (0) 0, x (0) v 0 cos y (t ) g ky (t ) y(0) 0, y (0) v 0 sin 符号计算方法
function z=fun1(t,N) z=0.015*N; ode23('fun1',[1994,2020],12) [T,N]=ode23('fun1',[1994,2020],12)
3/28
例7.2 捕食者与被捕食者问题 海岛上有狐狸和野兔,当野兔数量增多时,狐狸捕食野兔导致 狐群数量增长;大量兔子被捕食使狐群进入饥饿状态其数量下 降;狐群数量下降导致兔子被捕食机会减少,兔群数量回升。 微分方程模型如下

第七章 常微分方程

第七章 常微分方程


1 t RC
,
UC
把初始条件代入得,
E
0 E e0 , 即 E.
所求的充电电路的电压 U C o 的变化规律是
t
U C E (1 e

1 t RC
)
第七章
微 分 方 程
课题二十八 微分方程应用举例
[例 2]生物活体含有少量固定比的放射性 14 C, 其 死亡时存在的 14 C 量按与瞬时存量成比例的速率减 少,其半衰期约为 5730 年,在 1972 年初长沙马王 堆一号墓发掘时,若测得墓中木炭 14 C 含量为原来的 77.2%,试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间. 解 设墓中木炭 14 C 在 t 时含量为x (t ), 由题设有 dx dx kx(k 0), 分离变量得 k dt, dt x kt 两边积分得 ln x ln C kt, 即x Ce .
第七章
微 分 方 程
课题二十八 微分方程应用举例
【授课时数】 总时数:4 学时. 【学习目标】 1、知道一阶和简单的二阶微分方程的解法; 2、会用一阶微分方程解决实际应用问题; 3、会用简单的二阶微分方程解决实际应用问题. 【重、难点】
重点:一、二阶微分方程的定义和解法,由通过复
习引出.
难点:一些实际应用问题用微分方程构建数学模型
5730 t ln 0.772 2139 (年) ln 2
这表明距1972年初马王堆一号墓发掘时,墓中人已 死亡约2139年,由1971 - 2139 =-168(年).
即墓中人辛追夫人死亡时间约为公元前168年.
第七章
微 分 方 程
课题二十八 微分方程应用举例
[例 3] 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔 流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛 满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面 与孔口中心间的距离)随时间 t 的变化规律.

微分方程与差分方程详解与例题

微分方程与差分方程详解与例题

第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分,是描述客观规律的一种重要方法,是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具,微分和积分的知识是研究微分方程的基础。

微分方程作为考试的重点容,每年研究生考试均会考到。

特别是微分方程的应用问题,既是重点,也是难点,在复习时必须有所突破。

【数学一大纲容】常微分方程的基本概念;变量可分离的方程;齐次方程;一阶线性方程;伯努利(Bernoulli )方程;全微分方程;可用简单的变量代换求解的某些微分方程;可降阶的高阶微分方程;线性微分方程解的性质及解的结构定理;二阶常系数齐次线性微分方程;高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;欧拉(Euler )方程;微分方程的简单应用。

【数学二大纲容】常微分方程的基本概念;变量可分离的方程;齐次方程;一阶线性微分方程;可降阶的高阶微分方程;线性微分方程解的性质及解的结构定理;二阶常数齐次线性微分方程;高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念,如阶、解、通解、特解、定解条件等,掌握几类方程的解法:如变量可分离方程,齐次方程,一阶线性微分方程,伯努利方程,可降阶方程等。

理解线性微分方程解的性质和解的结构,掌握求解常系数齐次线性方程的方法,掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。

了解欧拉方程的概念,会求简单的欧拉方程。

会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。

【考点分析】本章包括三个重点容:1.常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。

求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型,并记住解法的推导过程。

2.微分方程的应用问题,这是一个难点,也是重点。

利用微分方程解决实际问题时,若是几何问题,要根据问题的几何特性建立微分方程。

若是物理问题,要根据某些物理定律建立微分方程,也有些问题要利用微元法建立微分方程。

第七章 常微分方程数值解法.

第七章  常微分方程数值解法.
本章解决的问题:一阶常微分方程的初值问题
y f ( x, y), x [a,b]

y(
x0
)

y0
23
7.1 欧拉法和改进的欧拉法
欧拉公式

yi1 yi y0 y( x0 )
h
f
(xi ,
yi )
,
i

0,1,2,
改进的欧拉公式

yi
1

26
引言:
公式构造思想:从泰勒公式出发,寻找更高阶的 数值公式。
例如,泰勒公式计算到二阶可得
y(x + h) = y(x) + yⅱ(x)h + 1 y ?(x)h2 + O(h3) 2!

ìïïïíïïïî
y¢(x) = yⅱ(x) =
f (x, y(x)) df (x, y(x))
dx
=
fx (x, y(x)) +
可证明预测-校正公式的截断误差也为 O(h3)。
18
7.1.2 改进的欧拉法及预测-校正公式
例 取步长h=0.2,用改进的欧拉法的预测-校正公
式求解初值问题的数值解y1 , y2 .
ìïïíïïî
y¢= x + y(0) = 1
y

f (x, y) = x + y, x0 = 0, y0 = 1
预测-校正公式具体是
y( p) 2
=
0.2x1 +
1.2 y1
=
0.2?
0.2
1.2? 1.24
1.528
y2 = y1 + 0.1[(x1 + y1) + (x2 + y2( p) )] = 1.24 + 0.1(0.2 + 1.24 + 0.4 + 1.528) = 1.5768

第七章常微分方程1

第七章常微分方程1
* x * * x
c2 e x
C、 y c1 cos x c 2 sin x 9、微分方程 y y sin x 待定特解的结构是 ( A、 y a sin x C、 y a sin x b cos x 10、微分方程 y y e A、 y Ae
2 2
)是变量可分离微分方程。
7、下列微分方程中, (
dx xt t dt dy xy x 2 C、 dx
A、 A、
B、 x
dx e xt sin t dt dy x2 y2 D、 dx
B、
)是变量可分离微分方程。
dy sin x y 2 dx dy 2x3 3y 2 C、 dx
c2 e x
c2 e
D、 y c1e )微分方程。
1 x 3
c2 e x
3、微分方程 y dx (1 x ) dy 0 是 ( A、一阶线性齐次 C、变量可分离 4、微分方程 xy 2 y 2 x 是 (
4
B、一阶线性非齐次 D、二阶线性齐次 )微分方程。
* * x x * *
x
待定特解的结构是 (
C、 y Ax e
2
x
D、 y Ax e
*
3 x
8、微分方程 y y 0 的通解为 ( A、 y c1e
x
dy e x y cos x dx dy xy 2 y 2 D、 dx
) 。 B、 y (c1 c 2 x )e D、 y (c1 c 2 x )e ) 。 B、 y a cos x D、 y x ( a sin x b cos x ) ) 。 B、 y Axe

高等数学_第7章___常微分方程

高等数学_第7章___常微分方程

第7章 微分方程一、本章提要1. 基本概念微分方程,常微分方程(未知函数为一元函数),偏微分方程(未知函数为多元函数),微分方程的阶数(填空题).齐次方程 :()dy y dxx ϕ=或者()dxxdy yϕ=(计算) 一阶线性微分方程:()()y P x y Q x '+=或者()()x P y x Q y '+=通解公式()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 或者用常数变异法求解.(计算或者填空) 线性相关,线性无关(选择) 可降解(不显含x 或y )的(计算)齐次常系数线性微分方程:特征根法(填空)非齐次常系数线性微分方程:特接用待定系数法. (计算) 微分方程解的结构定理(选择或填空). 换元法也是求解微分方程的重要方法之一. 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗?对本章的学习应特别注意些什么?解析 常微分方程没有通用的求解方法.每一种方法一般只适用于某类方程.在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法.因此,学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型.当然,有时一个方程可能有几种求解方法,在求解时,要选取最简单的那种方法以提高求解效率.要特别注意:并不是每一个微分方程都能求出其解析解,大多数方程只能求其数值解.例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解.解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=,特征根1r =-,所以e xy C -=(C 为任意常数)为所求通解.解二 因为0=+'y y ,所以)0(d d ≠-=y y xy ,分离变量x y y d d -=,两边积分⎰⎰-=x yy d d ,1ln ln y x C =-+, 所以exy C -= (C 为任意常数)三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解.解一 令'=y p ,则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=.将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =,分离变量 y y p p d 4d =, 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ,22111422p y C =⋅+, 2224p y C =+,因为001,2x x yp y =='===,所以222241C =⨯+,可得C 2=0.故224p y =,即 p y =±2.这里'=-y y 2 应舍去,因为此时'y 与y 异号,不能够满足初始条件.将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +.再由y x ==01,得30C =,于是所求解为2e xy =.上面解法中,由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值,使得后续步骤变得简单,这种技巧经常用到.解二 因为''=y y 4,所以40y y ''-=,特征方程 240r -=, 特征根 122,2r r =-=, 于是其通解为2212e e x x y C C -=+, 由初始条件可得C 1=0 ,C 2=1 ,所求特解为 2e x y =.例4 求方程''+=y y x sin 的通解.解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程,其对应的齐次方程为 ''+=y y 0, 特征方程为 210r +=, 特征根12i,=i r r =-,齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+,由于方程0sin e sin y y x x ''+==,i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根,故设特解为(c o s s i n y x a xb x *=+,代入原方程,可得1,02a b =-= 所以1cos 2y x x *=-,于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s .上述解法一般表述为:若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()c o s ()s i nxnh f x P x x P xx αββ=+,那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+,其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,.如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根,则设0k =;如果i αβ±是特征方程的单根,则取1k =. 例5 求解微分方程x xe y y y 42=+'-''。

同济大学高等数学上册第七章常微分方程

同济大学高等数学上册第七章常微分方程

同济大学高等数学上册第七章常微分方程同济大学高等数学上册是大多数理工科专业的学生必修的课程,第七章是关于常微分方程的内容。

常微分方程是数学中的一个重要分支,广泛应用于物理、化学、经济等领域。

掌握常微分方程的基本理论和解法对于理解和应用这些领域的知识具有重要意义。

本章内容主要包括:一阶常微分方程、高阶常微分方程、一阶线性微分方程、可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程、一阶齐次线性非齐次方程、二阶常系数齐次线性方程、常系数非齐次方程等。

一、一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只包含一阶导数的方程。

例如,dy/dx = f(x)。

常微分方程的求解可以采用分离变量法、恰当方程、公式法等。

其中分离变量法是常用的解法之一。

分离变量法的基本思想是将方程两边的变量分离开来,从而达到求解的目的。

二、高阶常微分方程高阶常微分方程是未知函数的导数包含高于一阶导数的方程。

例如,d²y/dx² + p(x) dy/dx + q(x) y = f(x)。

高阶常微分方程的求解可以采用常系数线性微分方程的方法。

常系数线性微分方程是指系数为常数的微分方程,其求解方法相对简单。

三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是指未知函数的导数与未知函数本身之间线性相关的方程。

例如,dy/dx + p(x) y = q(x)。

一阶线性微分方程的求解可以借助于积分因子的方法。

积分因子的选择是使方程两边的未知函数系数相等,从而将方程转化为可积分的形式。

四、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是指未知函数和自变量可以在方程中分离的方程。

例如,dy/dx = f(x)/g(y)。

可分离变量的微分方程的求解可以通过对方程两边的变量分离,然后进行适当的积分得到。

这种方法常用于求解一些特殊形式的微分方程。

五、齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程齐次线性微分方程是指未知函数的导数和未知函数本身之间构成齐次线性关系的微分方程。

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由通解公式即可得到方程的通解为 y Cecosx .
15
例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始
条件 y|x=1 = e 的特解.
解 将所给方程化为如下形式:
dy 1 2x
dx
x2
y 0,
这是一个线性齐次方程,

P(
x)
1
2 x2
x
,

P( x)dx
2 x
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数,所以可以通过积分 求得
C
(
x)
Q( x)dx y1
C
,
代入 y = C (x)y1 中,得 y Cy1 y1
Q( x) dx.
y1
容易验证,上式给出的函数满足线性非齐次方程
y P( x) y Q( x),
18
且含有一个任意常数,所以它是一阶线性非齐次方程
12
若 Q (x) 0,则方程成为
y P( x) y 0,

称为一阶线性齐次微分方程,简称线性齐次方程, 若 Q (x) 0,则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分 方程,简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方 程 ① 所对应的线性齐次方程.
13
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程
y P(x) y 0
称为微分方程的阶. 例如,方程 (1) - (3) 为一阶微 分方程,方程 (4) - (5) 为二阶微分方程. 通常,n 阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y, , y(n)) = 0,
其中 x 是自变量, y 是未知函数,F(x, y, y, , y(n)) 是已知函数,而且一定含有 y(n).
是可分离变量方程. 分离变量,得
两边积分,得
dy P( x)dx, y
ln y P( x)dx lnC,
所以,方程的通解公式为
y Ce P(x)dx
14
例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程,且 P(x) = sin x, 则
P( x)dx sin xdx cos x,
又因为该函数含有一个任意常数,所以 y = Cx2 是一
阶微分方程 y 2 y 的通解.
x
将初始条件 y|x = 1 = 2 代入通解,得 C = 2,故所 求特解为 y = 2x2 .
8
例 3 已知直角坐标系中的一条曲线通过点
(1, 2),且在该曲线上任一点 P(x, y) 处的切线斜
率等于该点的纵坐标的平方,求此曲线的方程.
第七章 常微分方程
第一节:常微分方程的基本概念 第二节:一阶微分方程 第三节:一阶微分方程的应用 第四节:二阶梯微分方程的应用
第一节 微分方程的基本概念
一、微分方程 二、微分方程的解
2
一、微分方程
定义 1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程, 称为微分方程,有时简称为方程,未知函数是一元 函数的微分方程称做常微分方程,未 知 函 数 是 多 元 函数的微分方程称做偏微分方程. 本 教 材 仅 讨 论 常 微分方程,并简称为微分方程.
x
C( x)e 2
1 ex,
2
20
于是,有
C( x) 1ex 2dxxe2C,
2
因此,原方程的通解为
x
x
y C( x)e 2 Ce 2 e x .
解法二 运用通解公式求解.
将所给的方程改写成下列形式:
y 1 y 1 ex , 22

P( x) 1 , Q( x) 1 ex ,
2
2
5
用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称 为初始条件. 通常一阶微分方程的初始条件是
y |xx0 y0 , 即 y( x0 ) y0 . 二阶微分方程的初始条件是 y |xx0 y0 及 y |xx0 y0 , 即 y(x0) = y0 与 y(x0) = y0, 一个微分方程与其初始条件构成的问题,称为 初值问题. 求解某初值问题,就是求方程的特解.
29
定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程 的两个解,则函数
y = C1 y1 + C2 y2 仍为该方程的解,其中 C1, C2 是任意常数.
证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个解, 所以有
y1 p( x) y1 q( x) y1 0,

y2 p( x) y2 q( x) y2 0.
30
又因为y C1 y1 C2 y2 , y C1 y1 C2 y2, 于是有 y + p(x)y + q(x)y
(C1 y1 C2 y2) p( x)(C1 y1 C2 y2 ) q( x)(C1 y1 C2 y2 ) C1( y1 p( x) y1 q( x) y1 ) C2( y2 p( x) y2 q( x) y2 ) =0 所以 y = C1y1 + C2y2 是 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解.
种简单易行的方法,即看它们的比是否为常数事, 实 上 ,
1.
解 使用常数变易法求解.
将所给的方程改写成下列形式:
y 1 y 1 cos x, xx
则与其对应的线性齐次方程
的通解为
y 1 y 0 x
yC. x
23
设所给线性非齐次方程的通解为
y C(x) 1 . x
将 y 及 y代入该方程,得
于是,有
C( x) 1 1 cos x, xx
C( x) cos xdx sin x C.
的通解
y P( x) y Q( x)
在运算过程中,我们取线性齐次方程的一个解为
y1 e P( x)dx ,
于是,一阶线性非齐次方程的通解公式,就可写成:
y e P( x)dx C Q( x)e P( x)dxdx.
上述讨论中所用的方法,是将常数 C 变为待 定函数 C(x),再通过确定 C(x) 而求得方程解的方法, 称为常数变易法.
10
一阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y) = 0.
11
二、一阶线性微分方程
一阶微分方程的下列形式
y P( x) y Q( x)

称为一阶线性微分方程,简称一阶线性方程. 其中 P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数.它的特点 是:右边是已知函数,左边的每项中仅含 y 或 y, 且均为 y 或 y 的一次项.
7
例2
验证方程 y 2 y 的通解为 y = Cx2 (C 为
x
任意常数),并求满足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解.
解 由 y = Cx2 得 y = 2Cx,
将 y 及 y 代入原方程的左、右两边,左边有 y= 2Cx,
而右边 2 y 2Cx, x
所以函数 y = Cx2 满足原方程.
1 x2
dx
ln
x2
1 x
,
由通解公式得该方程的通解 1 y Cx2e x ,
将初始条件 y(1) = e 代入通解, 得 C = 1.
1
故所求特解为
y x2e x .
16
2.一阶线性非齐次方程的解法
设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解, 将 y = C(x)y1 (其中 y1 是齐次方程 y + P (x) y = 0 的解)及 其导数 y = C (x) y1 + C(x) y1 代入方程
24
因此,原方程的通解为 y (sinx C) 1 C 1 sin x. x xx
将初始条件 y() = 1 代入,得 C = , 所以, 所求的特解,即初值问题的解为
y 1 ( sin x). x
25
例 10 求方程 y2dx + (x - 2xy - y2)dy = 0 的通解.
例如,下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均
为未知函数). (1) y= kx, k 为常数; (2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0;
3
(4)
y 1 a
1 y2 ;
(5)
d2q
dt 2
g sinq
l
0
(g, l 为常数).
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数,
4
二、微分方程的解
定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式 的函数,都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有 任意常数的个数与方程的阶数相同, 且任意常数之 间不能合并,则称此解为该方程的通解(或一般解). 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解,称 为方程的特解.
例如方程 y = 2x 的解 y = x2 + C 中含有一个任意 常数且与该方程的阶数相同,因此,这个解是方程的 通解;如果求满足条件 y(0) = 0 的解,代入通解 y = x2 + C 中,得 C = 0,那么 y = x2 就是方程 y = 2x 的特解.
解 将原方程改写为
dx 1 2 y x 1, dy y2
这是一个关于未知函数 x = x(y) 的一阶线性非齐次
方程,
其中
P(
y)
1
2 y2
y
,
它的自由项 Q(y) = 1.
26
代入一阶线性非齐次方程的通解公式,有
x
e
12 y2
y dy
C
e
12 y2
y
dy
dy
1
1
1
y2e y (C e y ) y2(1 Ce y ),
21

P( x)dx
1 dx 2
x 2
,
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