八年级数学上册第十五章二次根式15.1二次根式第2课时二次根式的性质习题课件新版冀教版
桓台县一中八年级数学上册第十五章分式15.1分式2分式的基本性质教学课件新版新人教版
∠BＣＡ＝ ９0° , ∠A＝ 30 °
Ａ
AB=4 , 求BC之长。
解 : 由定理知识得 BC= A12 B 而AB=4
∴BC=2
Ｂ
Ｃ
2、在Rt△ABC 中 , 如果∠BＣＡ＝ ９0° , ∠A＝ 30 ° , CD 是高 ,
〔1〕BD=1 , 那么BC、AB各等于多少 ;
〔2〕求证 : BD= B1 C= A1 B
A
分析 : ∵ ＡＣ是等边△ABＤ的高
∴ △ABＤ关于直线ＡＣ対称
B
ＣＤ
∴ＢＣ＝ＣＤ
∵ＡＢ＝ＢＤ
∴ＢＣ＝ＣＤ＝
1 2
ＡＢ
在一个直角三角形中 , 如果一个角是30 ° , 那么30 °的角所対的直角边与斜边又有什么关系呢 ？
如下图右 : △ABC 中 , ∠A＝ 30 ° ,
∠BＣＡ＝ ９0° , 问ＢＣ与ＡＢ有怎样的关系 ？
在直角三角形中 , 如果一个锐角等30° , 那么 , 它所対的直角边等于斜边的一半。
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
样的分式称为最简分式
化简分式时,通常 要使结果成为最简 分式或者整式
考考你
早晨 , 小明遇到一道分式化简题 :
⑴ a 2 bc ⑵ a 2 - 2ab ⑶
ab
ab - 2b 2
x2 -1 x2 - 2x 1
a 改対写于或第⑴题aa2,bb小c明的ab解aba法c如下 : c 分解••你从解:认中⑴为, 你他能的看解出法分准式确化吗简？的一般步骤吗 ？ 先提取 －――剔出分子、分母的公因式 ; 再约分 ―－―简化分式 。
八年级数学上册 15.1 二次根式专题训练
第十五章 二次根式15.1二次根式专题一 二次根式(0)a a ≥非负性的综合应用 1.已知实数,a b 满足120a b -+-=，则a b +=_______.2.若3245423y x x =-+-+，求(5)x y 的值.3.已知220xy y x +--=，求x 与y 的值.专题二 利用二次根式的性质将代数式化简4. 把()1a b a b---化成最简二次根式正确的结果是（ ） A.a b - B.b a - C.b a -- D.a b --5.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(3)(5)a a -+-化简后为（ ）A.2B.-8C.82a -D.22a --6.化简：222(2)(1)(2)x x x +--+-.7.已知2()1a <，化简：22(1)a a -.状元笔记【知识要点】1.二次根式 一般地，把形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式.2.二次根式的性质 （1）①a （0a ≥）是一个非负数；②2()a a =（0a ≥）；③2a a ==,(0),(0)a a a a ≥⎧⎨-<⎩（2）①(0,0)a b a b a b ⋅=⋅≥≥；②a a b b=（或a b a b ÷=÷）(0,0)a b ≥>. 3.最简二次根式一般地，如果一个二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，那么我们把这样的二次根式叫最简二次根式.【温馨提示】1.几个非负数的和为零，每一个非负数都为零.2.在式子中若出现a 的形式，就隐含了0a ≥的条件，挖掘隐含条件往往会成为解题的突破口.【方法技巧】常见的非负数有以下形式：①某数的绝对值，形如：a ；②某数的算数a 某数的平方，形如：“2a ”或“2()a b -”.参考答案1.3 解析：∵10,20a b -≥-≥，120a b -+-=，∴10,20a b -=-=，∴1,2a b ==，∴3a b +=.2.解：∵240,420x x -≥-≥，∴240x -=，∴2x =，∴3y =.∴23(5)(5)x y ==35125=.3.解：∵220xy y x +--=，∴(1)2(1)0y x x +-+=，∴(1)(2)0x y +-=. .∵0x ≥，∴10x >20y =，∴4y =.∴0x ≥，4y =.4.D 解析：由题意知0a b -<，原式(()2a ba b a b -=---()()()a b a b b a -=---b a --5.A 解析：由数轴可知35a <<，∴30a ->，50a -<.∴原式=35a a -+-=2.6.解：∵20x -≥，∴2x ≥，∴10x -≤，∴原式=212x x x +--+-=2(1)x x +--+ 2x -=1x +.7.解：2()1a <，∴01a ≤<，∴0a ≥，10a -<，∴原式22(1)a a -=1a a ⋅-=(1)a a -=2a a -.。
精品【冀教版】初二八年级数学上册《15.1.2 二次根式的性质》课件
1
化简:
(1) 125；
(2)
7 14 ;
(3) m 3 n5 (m 0);
(5)
(4) 0.49 x 5 y 6 ( y＞0)；
2
a
2
b
2
a
2
4
b
3
2
2
(ab＞0)；
1 (6) 4 y 4 xy x y y＞ x . 2
知3－导
归
纳
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那
么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
5 6 9 2 如 3 6, 4 5, , , 都是最简二次根式. 4 2 二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的
(4) 0.49 x y 0.7
5 6 2
x y
2 2 3 2
2
x
0.7
2
x y
2 2 3
x 0.7 x 2 y 3 x .
（来自《点拨》）
冀教版八年级数学上册
知1－练
(5)
a b a b a b a b a
式，化简时要先分解因式．
（来自《点拨》）
冀教版八年级数学上册
知1－练
解： (1) 125 25 5 25 5 5 5.
(2)
7 14
7 14 2 7 2 2 7 2 7 2.
(3) m 3 n5 m 2 n4 mn m 2 n4 mn mn2 mn .
第十五章
二次根式
冀教版八年级上册数学教学课件 第十五章 二次根式 第2课时 二次根式的性质
1
2
1
2
2
2
2
2 与其他的二次根式不同
被开方数中不含能开 得尽方的因数或因式
2
2
被开方数不含分母
最简二次根式
2 2
特点归纳如下： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
定义：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简 二次根式．
最简二次根式
练一练：
下列根式是最简二次根式的是( C )
二次根式的性质
归纳： 1.被开方数一定是积的形式，不能出现 a2 b2 a2 b2 的错误． 2.若积的因数或因式不是非负数，应将其化为非负数，再运用性质进
行化简；如 4a3 4 a2 a 4 a2 a 2a a，这里隐
含条件a≤0，易错误得出结果 2a a . 3.最后要检验开出来的数(式)及留在根号内的数(式)，要保证它们都是
非负数．
二次根式的性质
练一练：
若 ab a b 成立，则( B )
A．a≥0，b≥0
B．a≥0，b≤0
C．ab≥0
D．ab≤1
二次根式的性质
问题2
4与 4 是否相等?
99
25与 25 呢?当a≥0，b≥0时，对 a和 a
49 49
bb
的关系提出你的猜想，并说明理由.
事实上， a a 理由如下：因为当a≥0，b＞0时，
例 化简：(1)
75； 8
(2) 40.5.
解：(1) 75 150 25 6 5 6 .
8 16
16
4
(2) 40.5 81 162 162 81 2 9 2 .
24
4
2
2
二次根式的性质
崇仁县第七中学八年级数学上册第十五章分式15.1分式15.1.2分式的基本性质第2课时分式的约分通分
第2课时 分式的约分、通分1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念． 2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．重点运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分． 难点通分时最简分分母的确定；运用通分法则将分式进行变形．一、类比引新1．在计算56×215时，我们采用了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？分式a 2＋ab a 2b ，a ＋bab相等吗？为什么？ 利用分式的基本性质，分式a 2＋aba 2b 约去分子与分母的公因式a ，并不改变分式的值，可以得到a ＋b ab.教师点拨：分式a 2＋ab a 2b 可以化为a ＋bab ，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__．2．怎样计算45＋67？怎样把45，67通分？类似的，你能把分式a b ，cd变成同分母的分式吗？利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．二、探究新知1．约分：(1)－25a 2bc 315ab 2c ；(2)x 2－9x 2＋6x ＋9； (3)6x 2－12xy ＋6y23x －3y.分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式． 解：(1)－25a 2bc 315ab 2c ＝－5abc ·5ac 25abc ·3b ＝－5ac23b； (2)x 2－9x 2＋6x ＋9＝（x ＋3）（x －3）（x ＋3）2＝x －3x ＋3； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y ＝6（x －y ）23（x －y ）＝2(x －y )．若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)2．练习：约分：2ax 2y 3axy 2；－2a （a ＋b ）3b （a ＋b ）；（a －x ）2（x －a ）3；x 2－4xy ＋2y ；m 2－3m 9－m 2；992－198. 学生先独立完成，再小组交流，集体订正．3．讨论：分式12x 3y 2z ，14x 2y 3，16xy4的最简公分母是什么？提出最简公分母概念．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母． 学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤： (1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．4．通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3xx ＋5 .分析：为通分，要先确定各分式的公分母．解：(1)最简公分母是2a 2b 2c . 32a 2b＝3·bc 2a 2b ·bc ＝3bc2a 2b 2c， a －b ab 2c ＝（a －b ）·2a ab 2c ·2a ＝2a 2－2ab2a 2b 2c. (2)最简公分母是(x －5)(x ＋5)． 2x x －5＝2x （x ＋5）（x －5）（x ＋5）＝2x 2＋10xx 2－25， 3x x ＋5＝3x （x －5）（x ＋5）（x －5）＝3x 2－15x x 2－25. 5．练习：通分：(1)13x 2与512xy ；(2)1x 2＋x 与1x 2－x ；(3)1（2－x ）2与xx 2－4. 教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．学生板演并互批及时纠错．6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结． 三、课堂小结1．什么是分式的约分？ 怎样进行分式的约分？ 什么是最简分式？2．什么是分式的通分？ 怎样进行分式的通分？ 什么是最简公分母？3．本节课你还有哪些疑惑？四、布置作业教材第133页习题15.1第6，7题．本节课是在学习了分式的基本性质后学的，重点是运用分式的基本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分母．§18.1 平行四边形的性质教案（1）一、教学目标1知识目标：1、通过经历运用图形的变换探索图形性质的过程，体验数学研究和发现的过程，并得出正确的结论.2、在对平行四边形的原有认识的基础上，探索并掌握平行四边形的性质.2能力目标：培养学生的观察猜想、实践操作、团队合作、数学说理能力和数学语言规范表达的能力.3情感目标：渗透化未知为已知的数学方法；渗透从特殊到一般、从具体到抽象、从感性到理性的辩证思想；渗透严谨求实的科学态度的理念；营造“民主、和谐”的课堂氛围让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验.二、教学重点、难点教学重点：让学生亲历平行四边形性质的“观察——猜想——验证”过程，理解性质内容，并学会用它们进行有关的说理和计算教学难点：通过性质的推导，培养学生独立思考、自主探索的精神，提高分析问题和解决问题的能力.三、教学过程（一）、创设情境、导入新课①多媒体课件展示图片，通过观察图案，指出平行四边形是我们生活中常见的一种图形.②问题情境导入：如图是某区部分街道示意图，其中BC∥AD∥EG，AB//FH∥DC从学校站乘车到书店站只有两条路线有直接到达的公交车，喜羊羊走路线1：学校—E—A—F—书店；美羊羊走路线2：学校—H—O—G—书店.谁先到书店？（二）、概念引入1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 学校书店ACEFGH记作: ABCD 读作：平行四边形ABCD ∵AB∥CD AD∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形.或 ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC 教师提示：平行四边形的对边平行 2、下面的图形中 是平行四边形.（三）探索发现 画一画 1、如何画一个ABCD ？2、我们刚才画平行四边形的过程就是利用了平行四边形的特征，请同学们试一试，用什么方法可以再画一个和ABCD 一样大小的EFGH ？量一量1、以同桌为单位，用直尺,量角器等工具度量你的平行四边形的边和角，并记录下数据，猜想平行四边形的对边对角之间的关系.教师请部分同学公布测量结果.2、用几何画板动画展示运动中的平行四边形的对边、对角之间的关系.让学生加深对平行四边形的对边，对角的认识.转一转在平行四边形ABCD 中连结AC 、BD ，它们的交点记为O.用一枚图钉在O 点穿过，观察旋转后的 ABCD 与是否重合用几何画板动态展示平行四边形绕对角线交点旋转180度的情况，引导学生推出平行四边形的性质.引导学生得出结论124563平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、对角相等 几何语言描述：∵ 四边形ABCD 是平行四边形∴ AB＝CD ，AD ＝BC ．（平行四边形的对边相等） ∠D= ∠B， ∠C= ∠B ．（平行四边形的对角相等）（四）例题讲解 例1 如图,在ABCD 中，已知∠A =40°，求其它各个内角的度数．解 ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴ ∠C =∠A = 40° ∵ AD ∥BC ，∴ ∠B = 180°－∠A = 180° － 40° = 140° ∴ ∠D = ∠B = 140°变式1．已知： ABCD 中， 若∠A＋∠C=80°，你能求出各角的度数吗？说说你的理由．变式2．已知 ABCD 中， 若∠B＝2 ∠A ，你能求出各角的度数吗？说说你的理由． 例2如图，在□ABCD 中，AB=8，周长等于24.求其余三条边的长. 解:在□ABCD 中， AB=CD, AD=BC. ∵ AB=8，∴ CD=8. 又∵AB+BC+CD+AD=24， ∴ AD=BC= = 4.变式1.如图：已知平行四边形ABCD 周长等于16，AB ：BC=3：5, 求平行四边形的各边长．变式2.如图：已知平行四边形 ABCD ，CD=3cm,BC=5cm,AC=4cm, 求 ABCD 的面积． 试一试如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间这些垂线段的长度.1(242)2AB经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等.由此，我们得到平行线的又一个性质：平行线之间的距离处处相等．（五）巩固提高1、（基础题）如图所示，四边形ABCD 是平行四边形 ①若∠A＝120° ，则∠B＝.∠C＝ ；∠D＝．②若AB ＝5，BC ＝3，求它的周长（请写出推理过程）． 解决问题引导学生利用平行四边形的性质解决刚才喜羊羊与美羊羊碰到的问题，2、（提高题）如图所示，在平行四边形ABCD 中BC=9，若BE 平分∠ABC，且把AD 分成两段的长度差为1cm,求CD 的长．（六）小结回顾1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2、平行四边形的性质：（七）作业布置 基础题课本习题18.1第1、2题 中等题对边对边平行且相等角对角相等 邻角互补231ECBDABACDEF C如右图，AB=AC，且AB=5，从等腰三角形底边上任一点，分别作两腰的平行线，求所成的平行四边形AEDF的周长？提高题（深圳中考题）如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ΔABC向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若ΔFDE的周长为8，ΔFCB的周长为22，则FC的长为单项式与单项式相乘1教学目标知识与技能学生能理解并掌握单项式的乘法法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算.正确区别各单项式中的系数，同底数的幂和不同底数幂的因式.过程与方法让学生感知单项式乘法法则对两个以上单项式相乘同样成立，知道单项式乘法的结果仍是单项式;经历探索乘法运算法则的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力.情感、态度与价值观注意培养学生的归纳、概括能力以及运算能力，充分调动学生的积极性，主动性.重点难点重点对单项式运算法则的理解和应用.难点应用单项式与单项式的乘法法则解决数学问题.教学过程一、复习旧知，导入新课我们已经学习了幂的运算性质，你能解答下面的问题吗？1.判断下列计算是否正确，如有错误加以改正.(1)a3·a5=a10;(2)a·a2·a5=a7;(3)(a3)2=a9;(4)(3ab2)2·a4=6a2b4.2.计算:(1)10×102×104=( );(2)(a+b)·(a+b)3·(a+b)4=( );(3)(-2x2y3)2=( ).【教师活动】我们刚才已经复习了幂的运算性质.从本节开始，我们学习整式的乘法.我们知道，整式包括什么？(包括单项式和多项式.)因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式.这节课我们就来学习最简单的一种:单项式与单项式相乘.二、师生互动，探究新知1.一个长方体底面积是4xy，高度是3x，那么这个长方体的体积是多少？【学生活动】小组合作完成，在小组交流讨论后由代表发言.【教师活动】每一步的依据是什么？(乘法交换律)因此4xy·3x=4·xy·3·x=(4·3)·(x·x)·y=12x2y.(要强调解题的步骤和格式)2.仿照刚才的作法，你能解出下面的题目吗？(1)3x2y·(-2xy3)=[3·(-2)]·(x·x2)(y·y3)=-6x3y4.(2)(-5a2b3)·(-4b2c)=[(-5)×(-4)]·a2·(b3·b2)·c=20a2b5c.【教师活动】第(2)题中在第二个单项式-4b2c中出现的c怎么办？【学生活动】由小组讨论归纳单项式乘单项式的法则，教师板书.单项式和单项式相乘，系数与系数相乘，相同字母的幂分别相乘;对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.三、随堂练习，巩固新知1.3x5·5x3= ，4y·(-2xy3)= .2.3×103×5×102= .3.(-3x2y)·xy2= .4.下列计算正确的是( )A.4a2·2a2=8a6B.2x4·3x4=6x8C.3x2·4x2=12x2D.(2ab2)·(-3abc)=-6a2b3【答案】1.15x8，-8xy4×1063.-x3y34.B四、典例精析，拓展新知【例1】边长是a的正方形面积是a·a，反过来说，a·a也可以看作是边长为a的正方形的面积. 探讨:3a·2a的几何意义.探讨:3a·5ab的几何意义.【答案】可以看做是长为a，宽为5b，高为3a的长方体的体积，也可以看作是长为5a，宽为b，高为3a的长方体的体积.【例2】纳米是一种长度单位，1米=109纳米，试计算长为5米，宽为4米，高为3米的长方体的体积是多少立方纳米？【分析】长方体体积=长×宽×高【答案】6×1028(立方纳米)【教学说明】注意单位换算.五、运用新知，深化理解1.边长分别为2a和a的两个正方形按如图形式摆放，则图中阴影部分的面积是( )A.2a2B.2C.5a2-3aD.a22.光速约为3×105 km/s，太阳光照射到地球所需的时间为5×102 s，则太阳与地球间的距离是km.【答案】1.A ×108【教学说明】第1题若学生思维受阻时，引导阴影部分可以转化成哪些图形的积和差？直角三角形的底和高各是多少？六、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.教学反思这节课内容较为简单，在探索单项式乘单项式法则时，注意让学生自己归纳，以提高学生使用数学语言的能力，在推导的过程中，注意每步依据为后面几何证明服务，从而培养逻辑思维能力，变式训练中表达阴影部分面积，旨在培养学生直观图感，将图形语言向数学符号语言转化能力，同时注意转化数学思想的应用.。
冀教版数学八年级上册15.1《二次根式》说课稿
冀教版数学八年级上册15.1《二次根式》说课稿一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.1《二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等基础知识之后，进一步研究根式的一章。
这一节内容主要包括二次根式的概念、性质和运算。
通过学习这一节内容，学生能够更深入地了解根式，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于二次根式这一概念，学生可能还比较陌生，需要通过实例和讲解来理解和掌握。
同时，学生对于根式的运算可能也存在一些困惑，需要通过练习和讲解来加深理解。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
2.过程与方法：通过实例和讲解，培养学生观察、分析和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五.说教学方法与手段1.采用启发式教学法，引导学生主动思考和探索。
2.通过实例和讲解，帮助学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
3.通过练习和讲解，引导学生掌握二次根式的运算方法。
4.利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，增加课堂的趣味性和生动性。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次根式的概念，激发学生的兴趣。
2.新课导入：讲解二次根式的概念和性质，通过实例让学生理解和掌握。
3.课堂练习：让学生通过练习，加深对二次根式的理解和掌握。
4.二次根式的运算：讲解二次根式的运算方法，让学生通过练习掌握。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，帮助学生巩固记忆。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出二次根式的概念和性质，以及运算方法。
可以设计一些图示和，帮助学生理解和记忆。
八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习情况和课堂反馈来进行。
二次根式的概念和性质 PPT教学课件(数学人教版八年级下册)
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根
是二次根式．
数学初中 二次根式的概念和性质
课堂小结
（4）你知道了二次根式的哪些性质？
（ a ）2= a（a≥0） a2 =a（a≥0）
a2 a
（5）我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为 对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
数学初中 二次根式的概念
上面问题中，得到的结果分别是： 3， S， 65 ， h． 5
1 这些式子分别表示什么意义？ 2 这些式子有什么共同特征？
h 分别表示 3，S，65，5 的算术平方根．
这些式子的共同特征是： 都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
数学初中 二次根式的概念
t
1 含有数或表示数的字母； 2 用基本运算符号连接数或表示数的字母． 用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式．
数学初中
课堂小结
二次根式的概念和性质
1 本节课你学到了哪一类新的式子？ 2 二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？ 3 二次根式与算术平方根有什么关系？
数学初中 二次根式的概念
变式 a 取何值时，下列二次根式有意义？ （1） a2 -2a+1 ；（2） -（a-1）2 ．
答案：（1） a为任何实数； （2） a =1．
总结：被开方数不小于零．
数学初中 二次根式的性质
问题1 根据算术平方根的意义填空．
（ 4 ）2= __4___；（ 2 ）2= ___2__；
（2）由 x-2≥0，得 x≥2
数学初中 二次根式的性质
《二次根式》PPT(第2课时二次根式的性质)
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解： (1) ( 1.5)2 1.5;
积的乘方：
(2) (2
5)2 22 (
5)2
45
（ab）2=a2b2
20.
二 a2 (a 0) 的性质
填一填：
a
-4
平方运算
a2
算术平
（-4）2=16 方根
a2
4
0
02=0
0
1
12=1
1
-1
（-141）2 2=1161
1
观察：两 者有什么 关系？
思考：根据前面得出的结论填一填，并说明理由．
一、导入新课：
导入2
PPT模板：www. 1ppt.co m/ mob an/ PPT背景：/beiji ng/ PPT下载：/xiaz ai/ 资料下载：www. 1ppt.co m/zilia o/ 试卷下载：/shiti / 手抄报：/shouc haobao/ 语文课件：/keji an/yuwen/ 英语课件：/keji an/ying yu/ 科学课件：/keji an/kexue/ 化学课件：/keji an/huaxue/ 地理课件：/keji an/dili/
八年级数学上册教学课件《二次根式(第2课时)》
4
4
课堂检测
能力提升题
2.7 二次根式
1.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若 长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 8 24 8 82 3 8 3
课堂检测
能力提升题
2.7 二次根式
2.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b. (1)已知 a 8, b 12 ，求S；
b
探究新知
2.7 二次根式
在前面发现的规律
制呢？
你们都错啦，a≥0， b＞0,b=0时等式两 边的二次根式就没 有意义啦
a b
a b
中，a,b的取值范围有没有限
a,b同号 就可以啦
不对，同乘法法 则一样，a,b都为 非负数.
探究新知
2.7 二次根式
二次根式的除法法则:
a a (a 0,b 0). bb
二次根
整式加
式性质 分配律 减法则
2.7 二次根式
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则. 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
连接中考
2.7 二次根式
1. 2 8 ＝（ B ）
A．4 2
36
6
49 = __7___.
2.7 二次根式
观察两者有什么关系？
探究新知
2.7 二次根式
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4= 9
4； 9
(2) 16 = 16； 特殊
25 25
一般 a a
bb
冀教版八年级上册数学课件(第15章 二次根式)
知1－讲
(1)∵
3
64的根指数是3，∴
是二次根式． x2 1
3
64不是二次根式．
(2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0， ∴ (3)当－5a≥0，即a≤0时， 当a＞0时，－5a＜0，则 ∴ 不一定是二次根式． 5a
是二次根式； 5a
不是二次根式． 5a
(4)
a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不
第十五章
二次根式
15.1
二次根式
第1课时
二次根式的认识
1
课堂讲解
二次根式的定义 二次根式的“双重”非负性
a 0，a 0
二次根式
a
2
与 a 2的性质
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
如图，架在消防车上的云梯AB长为15m， AD∶BD ＝1 ∶ 0.6，云梯底部离地面的距离为2m.你能求出云梯 的顶端离地面的距离AE吗?
a 4
2
是二次根式；
2
a 4 不是二次根式．
∴
不一定是二次根式．
知1－讲
(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0， ∴ 是二次根式． x2 2 x 2
x 是二次根式．
(8)∵|x|≥0，∴
知1－讲
总
结
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根 式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同 时具备二次根式的两个特征：
y 3
2
0, x y 1 0,
所以y＋3＝0，x＋y－1＝0， 解得y＝－3，x＝4，所以x－y＝7.故选C．
知2－讲
人教版初中数学课标版八年级上册 第十五章 15.1 分式 课件(共20张PPT)
问题2 一艘轮船在静水中的最大航速是30千米/时,它沿江
以最大船速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流
航行60千米所用的时间相等，江水的流速是多少?
思考填空
1.长方形的面积为10cm²,长为7cm.宽应为
10
___7 ___cm;长方形的面积为S,长为a,宽应
S
为__a____;
S
?
a
2.把体积为200cm³的水倒入底面积为
33cm²的圆柱形容器中,水面高度为
200 __3_3 __cm;把体积为V的水倒入底面积为S
v 的圆柱形容器中,水面高度为___s ___;
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
例:已知分式
x2 4
，
x2
(1) 当x为何值时，分式有意义?
(2) 当x为何值时，分式无意义?
解:(1)当分母x+2≠0
(2)当分母x+2=0
即 x ≠ -2时
分式 x 2 4 有意义. x2
即 x = -2时
分式 x 2 4 无意义. x2
(3) 当x为何值时，分式的值为零?
(4) 当x= - 3时，分式的值是多少?
梳理
2023八年级数学上册第十五章二次根式15
(1)猜想 5 24=
4
4 15=4
,并验证你的猜想;
(2)请你用含正整数n(n≥2)的等式表示上述规律;
(3)证明你找出的规律;
(4)请你再写出1个具有“穿墙”性质的数.
4
等.
15
答案
8.解:(1)5
5
5 24=
5
24
125
=5
24
5
.
24
(2)规律为: 2−1=n
(3) 2−1=
= 9= 3 .
9
0.09×144
=
0.81×225
0.32 ×122 0.3×12 4
=
= .
0.92 ×152 0.9×15 15
知识点3
最简二次根式
9. [2022石家庄期末]下列选项中,属于最简二次根式的是 (
A.
1
2
B. 4
C. 10
D. 8
答案
9.C
1 2
= ,
2 2
4=2, 8=2 2,故A,B,D项不是最简二次根式.
5a-8=2,14-3a=8,不符合题意;当a=3时,5a-8=7,14-3a=5,符合题意;当a=4时,5a-8=12,14-3
的值为3.
7. 新情境老师讲解“二次根式的性质”时,在黑板上写了下面的一道题作为练习:已知 7=a,
表示 4.9.
甲的解法: 4.9=
49
=
10
49×10 7×70 7× 70
6
(4) 6 35=6
3 −+
=
2 −1
.
2 −1
3
=n
2 −1
最新冀教版初二数学上册第十五章 二次根式 全单元课件
3.为要使二次根式
x2 2x 1 有意义，x应取
B. x<1
D. x=-1
（D ）
A. x>1
C. x=1 4.等式
a2 4 a 2
a 2 成立的条件是（
B.a≥2 D.-2≤a<2
B ）
A.a≥2或a≤-2 C.a≥-2
5.计算：
1 3
解：
2 ; 2
2
第十五章 二次根式
15.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
导入新课
复习引入
1.什么叫二次根式？ 一般地，把形如 a a 0 的式子叫做二次根式，a称为二
次根式的被开方数（式），“
”称为二次根号.
2.我们已经学过哪些二次根式的相关性质？ 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
一个非负数的平方的算术平方根等
2
=
3
5 2
= 5 2
2
2
0.04
=
2
0.04
我们可以换得到:
a
a , ( a 0)
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
典例精析
例2 计算：
2 3 1 5 ; 2 4 3 ; 3 2 解： 3 3 1 5 5; 2
第十五章 二次根式
15.1 二次根式
第1课时 二次根式的相关概念及应用
导入新课
复习引入
平方根的性质是什么？
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0只有两平方根，是0本身； （3）负数没有平方根.
讲授新课
一 二次根式的概念
初中数学八年级上册 5.1二次根式 课件(2)
用 a a0 表示
5.1 二次根式
（第一课时）
构建新知
ห้องสมุดไป่ตู้
二次根式的定义：形如 a （ a0 ）式子
叫做二次根式.
符号 “ ” 叫作二次根号，简称为根号.
根号下的数叫作被开方数.
它具备的特点：
1. 有二次根号“
”；
2.被开方数必须是非负数.
1.请同学们说出几个二次根式；
2. 下列式子：① 0.8 ， ② 8 ， ③ a ，
a 2 =a （a≥0） a (a≥ 0)
a 2 =∣a∣= -a (a≤0)
课堂检测
≥ ≤
C
≤4 >7
3
0.23
20
谢谢！再见！
世界上只有想不到的事，没有做不成的事；世界上只有想不通的人，没有走不通的路。 天下之事常成于困约，而败于奢靡。——陆游 很多时候，感情往往能经得起风雨，却经不起平淡；友情往往能经得起平淡，却经不起风雨。 情感和愿望是人类一切努力和创造背后的动力，不管呈现在我们面前的这种努力和创造外表上是多么高超。——爱因斯坦 古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼 高尚的语言包含着真诚的动机。 只有品味了痛苦，才能珍视曾经忽略的快乐;只有领略了平凡，才会收藏当初丢弃的幸福。 随缘不是得过且过因循苟且，而是尽人事听天命。 天空的高度是鸟儿飞出来的，水无论有多深是鱼儿游出来的。 有两种人是忘不了的，一种是你爱的人，再就是你恨的人，不过往往他们是同一个人。 多一点思考，少一份遗憾。——杨建 读书破万卷，下笔如有神。——杜甫
④
x2
2
y
，⑤
7
，⑥ 2x，其中，是二次根式
的有 ①④⑤ （填序号）