Leslie矩阵模型预测人口

Leslie 矩阵模型预测人口
Leslie 矩阵模型的基本概念
参数定义[11]
我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。

再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到：
x k (i )——在时间周期 k 第 i 个年龄段的人数 i =1,2,3,…n
注：这里的x k (1)表示的最低年龄段的人数，如0岁~5岁的人数；一定存在整数n 使得 x k (n )表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。

其他关于人口的参数：
1）b k (i)——在时间周期 k 第 i 年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率
2）d k (i)——在时间周期k 第i 年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率
Leslie 矩阵
1.转移过程
在一个时间周期内x k−1(i )里的人数转移到x k (i +1)里，考虑死亡的人数我们得到如下式子：
11(1)()(1()),1,2,
k k k x i x i d i i n --+=-=
(4-1)
下面来讨论i =0的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间周期k 的第个i 年龄段的女性人数为
1
()2
k x i ，则可以通过女性的年龄别生育率预测第一个递推关系如下：
1111
()()
()2
n
k k k i x i b i x i --==∑ (4-2)
2. 人口发展模型
1
11111111
11
1(0)
(1)(1)()22
2
2
1(0)
00
001(1)00001(1)
0k k k k k k k k k b b b n b n d x x d d n --------⎛⎫- ⎪
⎪- ⎪
=⨯
⎪- ⎪ ⎪
⎪--⎝
⎭
(4-3)
其中
(0)(1)()k k k k x x x x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1111(0)(1)()k k k k x x x x n ----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
(4-4)
为了化简，我们记：
1
1111111
11
1
(0)(1)(1)()22
2
2
1(0)
00
001(1)00001(1)
0k k k k k k k b b b n b n d L d d n -------⎛⎫- ⎪
⎪- ⎪
=
⎪- ⎪ ⎪
⎪--⎝
⎭
(4-5)
则有简写：
1k k x L x -=
(4-6)
则有递推公式:
10k k k x L x L x -==
(4-7)
通过这种方法，我们把人口预测问题的重点落到了一个n 维矩阵运算上。

Leslie 矩阵模型的具体实施
参数变量的分析
1. 五年为单位的时间周期
由于原始数据采集的限制，我们将中国人口按年龄分为0~4岁，5~9岁，10~14岁…90~94岁，95岁以上，一共20个年龄段。

为了满足转移过程，我们也要将Leslie 矩阵模型中的时间周期调整为5年。

下面我们验证5年为单位的时间周期是否满足转移过程。

显然，在任何时间点，0~4岁的人群集合里的元素除去死亡率会全部在五年以后转移到5~9岁的人群集合里，并将原来5~9岁集合中的元素全部取代（5~9岁人群集合里的元素在五年后已全部转移到10~14岁人群集合里），以此类推。

因此，我们可以证明以5年为单位的时间周期满足转移过程。

2.生育率和死亡率的调整 1) 根据时间周期的调整
L 矩阵中唯一的变量是b k (i)和d k (i)。

解决这个问题我们只要求出这两个参数即可。

在原来的Leslie 模型的假设中，单位时间周期为一年。

因此Leslie 矩阵第一行对应的系数是生育率的一半，如第一年过后，0岁的孩子即为一年前总人数的一半（女性人数）乘以生
育率。

同样的，在5年为一个时间周期的假设中，经历五次“生育机会”，即第一年的生育情况代表了下一周期4岁的孩子数量，第二年的生育情况代表了下一周期3岁的孩子数量，以此类推。

在社会环境稳定的情况下，人的生育模式是基本不变的。

因此表现在年龄别生育率上，就全可以假设为常量，于是5年Leslie 矩阵的第一行系数为：
1111555
5
((0),(1),(2)(n))2222
k k k k b b b b ---- (4-8)
Leslie 矩阵的第二行到第 n 行的系数代表了，前一个时间周期到这个以时间周期之间，每一个年龄段的人数死亡的人数，也就是转移过程中的损耗人数。

同样的，在原来的Leslie 模型的假设中，单位时间周期为一年的情况下，第一年过后，1岁的人数为一年前0岁的人数减去0岁人数在上一年的死亡率。

那么，在5年为一个时间周期的假设中，经历五次“死亡机会”，即0岁的人数乘以在五年内死亡的概率，即5
1(1)k d --
综上所述，在5年为一个时间周期，5岁为一个年龄段的假设下，新的Leslie 矩阵如下：
L ′=(
52
b k−1(0)
52
b k−1(1)…
5
2b k−1
(n −
1)
(1−d k−1(0))50
…00(1−d k−1(1))5
…???…?
00
…(1−d k−1(n −1))5
5
2b k−1
(n )0000
)
(4-9)
2) 根据实际情况的调整
我们用某一时期的总和生育率TFR 推算相应时期的年龄别生育率。

注：总和生育率TFR （total fertility rate ）是确定每一年的年龄别生育率的关键因素，也是反映概念总体生育水平的指标。

其具体定义为：若把年龄按照1年为单位分割，一定时期所有育龄女性年龄别生育率的总和；而当年龄分组以5岁为组距时，总和生育率等于年龄别生育率之和与组距的乘积。

b k (i )是在周期K 时第i 年龄组的育龄妇女的年龄别生育率，而分别计算每一时期的年龄别生育率是非常麻烦的事情，而且在较短时间内，年龄别生育率的分布变化是非常微小的，因此我们一般用某一时期的总和生育率来推算相应时期的年龄别生育率。

在本次试验中，每个周期的年龄别生育率都是由2010年人口普查的年龄别生育率作为基准进行推算所得。

01
01
()
()[
]()()
n
k k n
i i b i b i b i b i ===⨯∑∑
(4-10)
其中b 0(i )(i =0,1,…20)为2010年的年龄别生育率，则
1
01
()
()
n
k
i n
i b i b i ==∑∑为第k 时期TFR 与2010
年TFR 的比值。

2)死亡率按照时间的分布的数据很少，然而事实上我们也可以发现，在社会安定，没有战争、瘟疫、人口迁徙等突发状况时，死亡率大致与时间无关（即与k 无关），由此我们能得到
()()k d i d i
(4-11)。