机器人的空间描述与坐标变换

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2.2平移和旋转坐标系映 射
1.平移坐标变换
BP为坐标系{B}描述的某一空间位
{B}
置，我们也可以用AP（坐标系{A}）描 述同一空间位置。因为两个坐标系具有 相同的姿态，同一个点在不同坐标系下 的描述满足以下关系
A
B
P
{A}
A
P OB
A
PBO
P B P A PBo
（2-4）
OA
图2-3平移变换
第二章 机器人的空间描述和坐标变换
2.1 位姿和坐标系描述
2.2平移和旋转坐标系映射 2.3平移和旋转齐次坐标变换 2.4物体的变换和变换方程 2.5通用旋转变换





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2.1位置方位表示与坐标系描述

1.位置描述
矢量 Ap 表示箭头指向点的位置矢量，其 中右上角标“A”表示该点是用{A}坐标系描述 的。 px
注：固定坐标系变换，矩阵乘的顺序“自右向左”
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2.4物体的变换和变换方程
已知坐标系{B}相对坐标系{A}的描述 求坐标系{A}相对坐标系{B}的描述
B A
A B
T
即齐次变换的求逆问题。
T
一种直接的方法是矩阵求逆，另一种方法是根据变换矩阵的特点直 接得出逆变换。后一种方法更简单方便。
给定 A 计算 BT
ZA
q
P1 XA
图2-7旋转算子
0 sq 1 0 0 cq 0 0
0 0 0 1
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定义了平移算子和旋转算子以后，可以将它们复合实现复杂的映射 关系。变换算子与前面介绍的坐标变换矩阵形式完全相同，因为所有描 述均在同一坐标系下，所以不需上下标描述（坐标系）。
A
P2 T A P1
（2-23）
0 0 1 0
3 0 0 0 0 1 1 0
1
2 2
3 1
2
3
2
0 0
0 0
0 0 12 3 0 0 2 2 1 0 1 0 0
3 1
2
2
0 0
3 0 2 1
也可以按以下方法计算
③{A}沿xA和zA平移3和2，然后绕yA轴转90°，再绕新xA轴转 -30°得{C}
c90 A 0 C R s 90 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 s 90 0 c90 1 0 0 0
YA XA XB
将（2-5）式写成矩阵形式得：
BXT A T B A B A P BY A P B R P BZT A
（2-6）
图2-4旋转变换
式（2-6）即为我们要求的旋转变换关系，该变换是通过两个坐 标系之间的旋转变换实现的。
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3.复合变换
如果两个坐标系之间即存在平移 又存在旋转，如何计算同一个空间点 在两个坐标系下描述的变换关系？ 为了得到位置矢量BP和AP之 间的变换关系，我们建立一个中 间坐标系{C}。
o ②{B}沿zB平移2个单位，然后绕yB轴转90o再绕新x B轴转150 得 系
图2-12楔形块角点坐标
0
3 1 2 2
0 0 1 0 2 3 2 1
1
2 2
3
3
0
1 2 0
2
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1 0 0 1 A A B 因此 CT BT CT 0 0 0 0
0 1 1 0 o v Rot( z,90 )u 0 0 0 0
0 0 o w Rot( y,90 )v 1 0 0 1 0 0
w
v
0 0 1 0
1 0 0 0
0 7 3 3 7 0 0 2 2 1 1 1
如果改变旋转顺序，先对它进行绕y轴旋转90o，再绕z轴旋转90o，结 果如图2-11b所示。比较图2-11a和图2-11b可以发现最后的结果并不相同， 即旋转顺序影响变换结果。 从数学角度解释就是矩阵乘法不满足交换率， Rot(y,90o) Rot(z,90o) Rot(z,90o) Rot(y,90o)。
（2-10 ） （2-11）
T 4矩阵，称为齐次坐标变换矩阵。可以理解为坐标系{B}在固定坐 是 4 标系{A}中的描述。
A B
齐次坐标变换的主要作用是表达简洁，同时在表示多个坐标变换 的时候比较方便。
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2.齐次变换算子
在机器人学中还经常用到下面的变换，如图2-8，矢量AP1沿矢量 AQ平移至的AQ终点，得一矢量AP2。已知AP 和AQ求AP 的过程称之为 1 2 平移变换，与前面不同，这里只涉及单一坐标系。 （2-12） 可以采用齐次变换矩阵表示平移变换 （2-13） P2 Trans( A Q) A P1 Trans( A Q) 称为平移算子，其表达式为
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3.复合变换
复合变换主要有两种应用形式，一种是建立了多个坐标系描述机器人 的位姿，任务是确定不同坐标系下对同一个量描述之间的关系；另一种是 一个空间点在同一个坐标系内顺序经过多次平移或旋转变换，任务是确定 多次变换后点的位置。
如图2-10表示的三个坐标系，已知坐标系 A B {A}、{B}和{C}之间的变换矩阵 BT和 位置 CT 矢量CP，求在坐标系{A}下表示同一个点的 位置矢量AP。
r12 r22 r32
r13 r23 r33
（2-2）
图2-2方位表 示
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3.位姿描述
固连坐标系把刚体位姿描述问题转化为坐标系的描述问题。图2-3 中坐标系{B}可以在固定坐标系{A}中描述为
{B}

A B
R
A
pBo

A
（2-3）
P 描述坐标系 {B}的原点位 Bo
A 旋转矩阵 B 描述坐标系 {B}的姿态，矢量 R 置。
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2.旋转坐标变 换
旋转坐标变换的任务是已知坐标系{B }描述的 A BR 一个点的位置矢量BP和旋转矩阵 ，求在坐标 系{A}下描述同一个点的位置矢量AP。
A A A B px B X T A P T B p y BYA P B pz B Z T A P
ZB
ZA
A
P(BP) YB
（2-5）
A
A
A
P2 A P1 AQ
{A}
A
A
P2
A
P1
P1
A
Q
O
I A Q 图2-6平移算子 Trans( Q) （2-14） 0 1 1 0 0 a A 其中I是33单位矩阵。例如若 Q=ai+bj+ck， 0 1 0 b 其中i、j和k分别表示坐标系{A}三个坐标轴的 Trans(a, b, c) 0 0 1 c 单位矢量，则平移算子表示为
B B A A T A PAo A R PBo B R PBo
（2-29）
逆变换可以直接用正变换的旋转矩阵和平移矩阵表示
B A A T B R T 0 A T A B R PBo 1
（2-30）
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例2-4，如图2-12给出的楔形块角点坐标系，求齐次坐标变换 ①{A}沿xA平移3个单位，再绕新的zA 轴转180o得 {B} c180 s180 0 1 0 0 0 1 0 A c180 0 B R s180 0 1 0 0 0 1 因此
0 0 0 1
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同样，我们可以研究矢量在同一坐标系下的旋转 变换，如图2-9，AP1绕Z轴转q角得到AP2。则
A
YA
A
P2 Rot( z, q z,q)称为旋转算子，其表达式为
sq 0 0 cq 0 0 （2-21） 0 1 0 0 0 1 同理，可以得到绕X轴和Y轴的旋转算子 0 0 cq 1 0 0 0 cq sq 0 Rot( y,q ) Rot( x, q ) sq 0 sq cq 0 0 0 0 1 0 cq sq Rot( z, q ) 0 0
B A
T
A 等价为：已知 B PBo ，求 R 和 A
B A
和 R
B
PAo
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根据前面的讨论，旋转矩阵关系为
B A A 1 A T R B R B R
（2-27） （2-28）
将坐标变换用于坐标系{B}的原点得
B
B
B A PBo A R PBo BPAo
PBo 是坐标系 {B}的原点在坐标系{B}中的描述，显然为零矢量。 由（2-28）式得
Y u X
(a) ZY顺序旋转
Z u X v w Y
如果只关心最后的变换结果，可以按下式计算
w Rot ( y,90o )v
0 1 Rot ( y,90o ) Rot ( z,90o )u 0 0
(b) Y Z顺序旋转 图2-11旋转顺序对 变换结果影响
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计算结果与前面的相同，称R= Rot(y,90o) Rot(z,90o) 为复合旋转算子。
1.齐次变换
坐标变换（2-8）可以写成以下形式
A A P B R 1 0 A
PBo B P 1 1
（2-9）
将位置矢量用41矢量表示，增加1维的数值恒为1，我们仍然用原 来的符号表示4维位置矢量并采用以下符号表示坐标变换矩阵
A B A B R A PBo T 1 0 A B P A T P B
齐次坐标变换总结：
1. 它是坐标系的描述。 A A R 表示坐标系 {B}在坐标系{A}下的描述， 的各列是坐标系 B BT A PBo {B}三个坐标轴方向的单位矢量， 而表示坐标系 {B}原点位置 。 B 2. 它是不同坐标系间的坐标变换。如 A P A T P B A P2 T A P1 3.它是同一坐标系内的变换算子。 齐次坐标变换是复杂空间变换的基础，必须认真理解和掌握。具体应 用的关键是理解它代表的是上面三种含义的哪一种，而不是简单的套用 公式！