第六章《实数》复习 公开课一等奖
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互 为 逆 运 算
有理数
开方
实数
无理数
平方根
立方根
定义
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a（x2 = a），那么这个正数 x 就叫做 a 的 算术平方根 a 的算术平方根记作 读作 “ 根号a ”
a
根号
规定：0的算术平方根等于0 如102 = 100 则100的算术平方根 100 = 10
a
被开方数
2、 已知 | x 3 | y 2 0 2 2 则x 2 xy y 的值是（ ）
( A) 1. ( B) 5. (C ) 25. ( D) 不能确定
二、选择题：
1、(-3)2的算术平方根是（ ） （A）无意义 （B）±3 （ D） 3 （C）-3
2、 已知 | x 3 | y 2 0 2 2 则x 2 xy y 的值是（ ）
第六章 实数小结与复习
学习目标： （1）梳理本章的相关概念，通过回顾平方根、 立方根、实数及有关的概念，强化概念之间的 联系． （2）会进行开平方和开立方运算．
学习重点： （1）进一步加强学生对平方根、立方根以及实 数概念的认识． （2）进一步强化平方根、立方根的联系，有理 数与实数运算的联系．
乘方
已知 17.201 4.147, 那么0.0017201 的平方根是
0.04147
已知 2.36 1.536, 23.6 4.858,
掌 握 规 律
若 x 0.4858 , 则x是
3 3
0.236
已知 5.25 1.738, 52.5 3.744, 则 5250 的值是
3 4.若 3 (4 x) =4-x成立,则x的取值范围是( D ) A.x≤4 B. x≥4 C. 0 ≤x ≤ 4 D.任意实数
一.求下列各式的值： 1.
( 2 1) 2
2. (1 3 ) 2
3.
(1 x)
2
(x≥1)
4.
( x 1) (x≤1)
2
典型例题解析 1
例1、（1） 3 的倒数是
2
解：原方程可化为
1 2 y 2 或y 3 x 1 3 3 当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解
2 4 ( )2 3 9 2 2 3 y 或3 - y 3 3
2 3 125 (x ) 3 27
5 125 ( )3 3 9 2 5 x - 3 3
( A) 1. ( B) 5. (C ) 25. ( D) 不能确定
3、下列语句中正确的是（ D）
(A) -9的平方根是-3 (B) 9的平方根是3 (C) 9的算术平方根是 3 （D） 9的算术平方根是3
4、下列运算中，正确的是（ A） 25 1 (A） 1 1 144 12
（B） (4) 4
把下列各数分别填入相应的集合内：
3
2,
20 , 3
1 , 4
4 , 9
7,
,
0,
5 , 2
5,
2,
3 8,
0.3737737773
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
有理数集合 无理数集合
类型五 实数的运算 例9 计算 ⑴求5的算术平方根与2的算术平方 根之和（精确到0.01） ⑵ ( 5 2) ( 5 2)
(1)立方根的特征 正数有立方根吗？如果有，有几个? 负数呢？ 零呢？ 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。 （2）平方根和立方根的异同点 被开方数 平方根 立方根 有两个互为相反数 有一个,是正数 正数 有一个,是负数 负数 无平方根 零 零 零
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？ 算术平方根
7 8
的大小
与
8 9
的大小
2与 3
2 3 与 2 3
的大小 的大小
实数与数轴 数轴三要素：
原点、正方向、单位长度
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
实数与数轴上的点一一对应
类型四 数轴上的点与实数一一对应的 关系
例8、如图所示：数轴上表示1， 2 的对应点分别为A, B, 点B关于点A的对称点为点C，点C关于点A的对 称点为点B(即AC=AB)，则点C所表示的数是（ ）
自测： 1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 个数？
2
求这
3.已知y= 1 2 x 1 1 2 x 求2（x+y）的平方根 4.已知5+ 11 的小数部分为 m, 7- 23 的小数部分为n,求m+n的值 5.已知满足 3 a a 4 a ,求a的值
6、a、b互为相反数，c与d互为倒数，则a+1+b+ cd= 2 。
8、已知
a - 2 b 3 0,
2
则（a b)
25
;
2
9、 计算： 1 - x x 1 x 1 0 ;
5 2 2 10、 计算： 5 5 5. 3 3 3
11、实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图1－1所示，则 它们从小到大的顺序是 。 c<d<b<a
表示方法
平方根
立方根
3
a的取值
性
正数 0 负数
a≥
0
a
0
a a≥ 0
0 没有
a 是任何数
0 负数（一个）
a
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
质
没有
开方 是本身
0,1
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
0
0,1,-1
a a=
2
a
a
3
3
2
a
a
0
1、什么是立方根？ 若一个数的立方等于a,那么这个 数叫做 a 的立方根或三次方根。
正数 ，负 2、正数的立方根是一个______ 负数 ，0 的立 数的立方根是一个_______ 0 ；立方根是它本身的数 方根是____ 、-1、0 平方根是它本身的数是__ 是1 ______. 0 0、1 算术平方根是它本身的数是______.
⑶
3( 3 1)
一、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。
3.无理数都是无限小数。
（
（
）
）
4.带根号的数都是无理数。
（
）
）
5.两个无理数之和一定是无理数。（
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
8是 64
a 0 a 0
a 0
(a 0)
a a
3
a 为任何数 a a
3
a为任何数
（1）
（4）
169
10 2
（2）
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
0.16
（ 3） 2 14 25
（5） 2
7 9
（1）169
（2）0.16
13和13
（4）100
2.说出下列各数的立方根：
2
（C） 2 2 2
2 2
1 1 1 1 9 （D） 16 25 4 5 20
5、 (5) 2 的平方根是（D ） (A) 5 (B)
5
3
(C) 5 (D) 5
6、下列运算正确的是( D )
(A)
(C)
3
3
1 1 (B)
1 1
3
C A B
0
1
2 2 2
2
A、 2 1 B、 1
2
C、 2 2
D、 2 2
有限小数及无限循环小数
整数
有理数
实 数
分数
正整数 0 负整数 正分数 负分数
自然数
无理数
无限不循环小数
一般有三种情况
正无理数 负无理数
(1)、
2、 “
”， “
3
”开不尽的数
(3)、 类似于0.0100100010 0001
（2） 3 －2的绝对值是 2 3 ；
3
；
。 (3)下列各组数中，互为相反数的是（ ） A．-2与 B.∣- ∣与
C.
与
D.
与
例5、若
3a 4 (4b 3) 0, 求
2
( ab)
2004
的值。
解：∵｜3a+4｜≥0，(4b-3)2≥0 且｜3a+4｜+(4b-3)2=0 ∴3a+4=0，4b-3＝０ ∴a=-4/3，b=3/4 ∴ab2004=〔 (-4/33/4) 2004〕 =1
平方根：a平方根是 a
类型二 实数的相反数、倒数和绝对 值的意义
例2 求下列各数相反数、倒数和绝对 值。 ⑴ 64 ⑵ 121 ⑶ 11 ⑷ 3 2
3
类型三 实数的大小比较 例3 比较 275 与 4 17 的大小
例4 比较 例5 比较 例6比较 例7 比较
3 2 1与 1 2 2
3
3
3 3
3
(D)
1 1
3
c
d
0
b
a
图 1－ 1－ 1 其中：
a b
a+b
d c
-d-c a-d
c b
b-c
ad
12、π的整数部分为3，则它 的小数部分是 ； π-3 10、比较大小：
(1) 3
2 (2)
13
3 2
3 2
(3) 5
2 6
(4) 2 3
二、选择题：
1、(-3)2的算术平方根是（ ） （A）无意义 （B）±3 （ D） 3 （C）-3
平方根的定义
如果一个数X的平方等于a，即X2=a，那么这个数X 叫做a的平方根（二次方根）
a的平方根表示为
a
读作：正，负根号a
a
表示 a的算术平方根
－ a
表示 a的算术平方根的相反数
a
x2 = a
表示 a的平方根
X＝ a
求一个数a的平方根的运算叫做开平方
平方根的性质： 正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
64的平方根是
的平方根
±8
不 要 64的值是 8 搞 错 64的立方根是 了
-4
大于 17小于
-4,-3,-2,-1, ＿＿＿ 11 的所有整数为＿＿＿ 0,1,2,3 .
下列说法正确的是(
B)
A. 16的平方根是 4
B. 6表示6的算术平方根的相反数
C.任何数都有平方根
D. a 一定没有平方根
3
答案：（1） 26 介于5和6之间； 3 （2） 88 介于4和5之间． （3）已知的整数部分为a，小数部分为b， 求b值.
(4) 大于 ，小于
的整数有______个。
实数的相关概念 相反数: a与b互为相反数, 则a b 0. ） a（a 0 绝对值：分类思想 a 0 （a 0 ） a（a 0 ） 倒数：a与b互为倒数, 则ab 1
2
1.说出下列各数的平方根
17 (1) 2 16
(2)
256
(3)
5 2 ( ) 3
4 x
(x≥-4)
4 x
2
3
2x 1
(X为任意实数)
(X为任意实数)
解：原方程可化为 4 2 (3 y ) 9
2 3 （x ） 125 0 1. 9(3 y) 4 2. 27 3
（1） -0.008 0.2
27 （3） 64
3 4
10和10
0.4和0.4 25 5 5 （5） 和 9 3 3
（2） 0.512
64 （3） 25
8 8 和 5 5
ห้องสมุดไป่ตู้0.8
5 5 （4） -15 2 8
典型分析，强调方法
例3 下列各数分别介于哪两个相邻 的整数之间： （1） 26 ； （2） 88 ．
3
17.38
1.已知 x 和 a 的和为0,则x的范围是为( B ) A.任意实数 B.非正实数 C .非负实数 D. 0
2.若- m =
3
3
2
7 8
,则m的值是
( B
)
A
7 8
B
2
7 8
C
7 8
343 D 512
)
3. 若 ( x 2) 2 x 成立,则x的取值范围是( A A.x≤2 B. x≥2 C. 0 ≤x ≤ 2 D.任意实数
有理数
开方
实数
无理数
平方根
立方根
定义
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a（x2 = a），那么这个正数 x 就叫做 a 的 算术平方根 a 的算术平方根记作 读作 “ 根号a ”
a
根号
规定：0的算术平方根等于0 如102 = 100 则100的算术平方根 100 = 10
a
被开方数
2、 已知 | x 3 | y 2 0 2 2 则x 2 xy y 的值是（ ）
( A) 1. ( B) 5. (C ) 25. ( D) 不能确定
二、选择题：
1、(-3)2的算术平方根是（ ） （A）无意义 （B）±3 （ D） 3 （C）-3
2、 已知 | x 3 | y 2 0 2 2 则x 2 xy y 的值是（ ）
第六章 实数小结与复习
学习目标： （1）梳理本章的相关概念，通过回顾平方根、 立方根、实数及有关的概念，强化概念之间的 联系． （2）会进行开平方和开立方运算．
学习重点： （1）进一步加强学生对平方根、立方根以及实 数概念的认识． （2）进一步强化平方根、立方根的联系，有理 数与实数运算的联系．
乘方
已知 17.201 4.147, 那么0.0017201 的平方根是
0.04147
已知 2.36 1.536, 23.6 4.858,
掌 握 规 律
若 x 0.4858 , 则x是
3 3
0.236
已知 5.25 1.738, 52.5 3.744, 则 5250 的值是
3 4.若 3 (4 x) =4-x成立,则x的取值范围是( D ) A.x≤4 B. x≥4 C. 0 ≤x ≤ 4 D.任意实数
一.求下列各式的值： 1.
( 2 1) 2
2. (1 3 ) 2
3.
(1 x)
2
(x≥1)
4.
( x 1) (x≤1)
2
典型例题解析 1
例1、（1） 3 的倒数是
2
解：原方程可化为
1 2 y 2 或y 3 x 1 3 3 当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解
2 4 ( )2 3 9 2 2 3 y 或3 - y 3 3
2 3 125 (x ) 3 27
5 125 ( )3 3 9 2 5 x - 3 3
( A) 1. ( B) 5. (C ) 25. ( D) 不能确定
3、下列语句中正确的是（ D）
(A) -9的平方根是-3 (B) 9的平方根是3 (C) 9的算术平方根是 3 （D） 9的算术平方根是3
4、下列运算中，正确的是（ A） 25 1 (A） 1 1 144 12
（B） (4) 4
把下列各数分别填入相应的集合内：
3
2,
20 , 3
1 , 4
4 , 9
7,
,
0,
5 , 2
5,
2,
3 8,
0.3737737773
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
有理数集合 无理数集合
类型五 实数的运算 例9 计算 ⑴求5的算术平方根与2的算术平方 根之和（精确到0.01） ⑵ ( 5 2) ( 5 2)
(1)立方根的特征 正数有立方根吗？如果有，有几个? 负数呢？ 零呢？ 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。 （2）平方根和立方根的异同点 被开方数 平方根 立方根 有两个互为相反数 有一个,是正数 正数 有一个,是负数 负数 无平方根 零 零 零
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？ 算术平方根
7 8
的大小
与
8 9
的大小
2与 3
2 3 与 2 3
的大小 的大小
实数与数轴 数轴三要素：
原点、正方向、单位长度
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
实数与数轴上的点一一对应
类型四 数轴上的点与实数一一对应的 关系
例8、如图所示：数轴上表示1， 2 的对应点分别为A, B, 点B关于点A的对称点为点C，点C关于点A的对 称点为点B(即AC=AB)，则点C所表示的数是（ ）
自测： 1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 个数？
2
求这
3.已知y= 1 2 x 1 1 2 x 求2（x+y）的平方根 4.已知5+ 11 的小数部分为 m, 7- 23 的小数部分为n,求m+n的值 5.已知满足 3 a a 4 a ,求a的值
6、a、b互为相反数，c与d互为倒数，则a+1+b+ cd= 2 。
8、已知
a - 2 b 3 0,
2
则（a b)
25
;
2
9、 计算： 1 - x x 1 x 1 0 ;
5 2 2 10、 计算： 5 5 5. 3 3 3
11、实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图1－1所示，则 它们从小到大的顺序是 。 c<d<b<a
表示方法
平方根
立方根
3
a的取值
性
正数 0 负数
a≥
0
a
0
a a≥ 0
0 没有
a 是任何数
0 负数（一个）
a
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
质
没有
开方 是本身
0,1
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
0
0,1,-1
a a=
2
a
a
3
3
2
a
a
0
1、什么是立方根？ 若一个数的立方等于a,那么这个 数叫做 a 的立方根或三次方根。
正数 ，负 2、正数的立方根是一个______ 负数 ，0 的立 数的立方根是一个_______ 0 ；立方根是它本身的数 方根是____ 、-1、0 平方根是它本身的数是__ 是1 ______. 0 0、1 算术平方根是它本身的数是______.
⑶
3( 3 1)
一、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。
3.无理数都是无限小数。
（
（
）
）
4.带根号的数都是无理数。
（
）
）
5.两个无理数之和一定是无理数。（
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
8是 64
a 0 a 0
a 0
(a 0)
a a
3
a 为任何数 a a
3
a为任何数
（1）
（4）
169
10 2
（2）
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
0.16
（ 3） 2 14 25
（5） 2
7 9
（1）169
（2）0.16
13和13
（4）100
2.说出下列各数的立方根：
2
（C） 2 2 2
2 2
1 1 1 1 9 （D） 16 25 4 5 20
5、 (5) 2 的平方根是（D ） (A) 5 (B)
5
3
(C) 5 (D) 5
6、下列运算正确的是( D )
(A)
(C)
3
3
1 1 (B)
1 1
3
C A B
0
1
2 2 2
2
A、 2 1 B、 1
2
C、 2 2
D、 2 2
有限小数及无限循环小数
整数
有理数
实 数
分数
正整数 0 负整数 正分数 负分数
自然数
无理数
无限不循环小数
一般有三种情况
正无理数 负无理数
(1)、
2、 “
”， “
3
”开不尽的数
(3)、 类似于0.0100100010 0001
（2） 3 －2的绝对值是 2 3 ；
3
；
。 (3)下列各组数中，互为相反数的是（ ） A．-2与 B.∣- ∣与
C.
与
D.
与
例5、若
3a 4 (4b 3) 0, 求
2
( ab)
2004
的值。
解：∵｜3a+4｜≥0，(4b-3)2≥0 且｜3a+4｜+(4b-3)2=0 ∴3a+4=0，4b-3＝０ ∴a=-4/3，b=3/4 ∴ab2004=〔 (-4/33/4) 2004〕 =1
平方根：a平方根是 a
类型二 实数的相反数、倒数和绝对 值的意义
例2 求下列各数相反数、倒数和绝对 值。 ⑴ 64 ⑵ 121 ⑶ 11 ⑷ 3 2
3
类型三 实数的大小比较 例3 比较 275 与 4 17 的大小
例4 比较 例5 比较 例6比较 例7 比较
3 2 1与 1 2 2
3
3
3 3
3
(D)
1 1
3
c
d
0
b
a
图 1－ 1－ 1 其中：
a b
a+b
d c
-d-c a-d
c b
b-c
ad
12、π的整数部分为3，则它 的小数部分是 ； π-3 10、比较大小：
(1) 3
2 (2)
13
3 2
3 2
(3) 5
2 6
(4) 2 3
二、选择题：
1、(-3)2的算术平方根是（ ） （A）无意义 （B）±3 （ D） 3 （C）-3
平方根的定义
如果一个数X的平方等于a，即X2=a，那么这个数X 叫做a的平方根（二次方根）
a的平方根表示为
a
读作：正，负根号a
a
表示 a的算术平方根
－ a
表示 a的算术平方根的相反数
a
x2 = a
表示 a的平方根
X＝ a
求一个数a的平方根的运算叫做开平方
平方根的性质： 正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
64的平方根是
的平方根
±8
不 要 64的值是 8 搞 错 64的立方根是 了
-4
大于 17小于
-4,-3,-2,-1, ＿＿＿ 11 的所有整数为＿＿＿ 0,1,2,3 .
下列说法正确的是(
B)
A. 16的平方根是 4
B. 6表示6的算术平方根的相反数
C.任何数都有平方根
D. a 一定没有平方根
3
答案：（1） 26 介于5和6之间； 3 （2） 88 介于4和5之间． （3）已知的整数部分为a，小数部分为b， 求b值.
(4) 大于 ，小于
的整数有______个。
实数的相关概念 相反数: a与b互为相反数, 则a b 0. ） a（a 0 绝对值：分类思想 a 0 （a 0 ） a（a 0 ） 倒数：a与b互为倒数, 则ab 1
2
1.说出下列各数的平方根
17 (1) 2 16
(2)
256
(3)
5 2 ( ) 3
4 x
(x≥-4)
4 x
2
3
2x 1
(X为任意实数)
(X为任意实数)
解：原方程可化为 4 2 (3 y ) 9
2 3 （x ） 125 0 1. 9(3 y) 4 2. 27 3
（1） -0.008 0.2
27 （3） 64
3 4
10和10
0.4和0.4 25 5 5 （5） 和 9 3 3
（2） 0.512
64 （3） 25
8 8 和 5 5
ห้องสมุดไป่ตู้0.8
5 5 （4） -15 2 8
典型分析，强调方法
例3 下列各数分别介于哪两个相邻 的整数之间： （1） 26 ； （2） 88 ．
3
17.38
1.已知 x 和 a 的和为0,则x的范围是为( B ) A.任意实数 B.非正实数 C .非负实数 D. 0
2.若- m =
3
3
2
7 8
,则m的值是
( B
)
A
7 8
B
2
7 8
C
7 8
343 D 512
)
3. 若 ( x 2) 2 x 成立,则x的取值范围是( A A.x≤2 B. x≥2 C. 0 ≤x ≤ 2 D.任意实数