算法分析与设计

第一章什么是算法算法是解决一个计算问题的一系列计算步骤有序、合理的排列。

对一个具体问题（有确定的输入数据）依次执行一个正确的算法中的各操作步骤，最终将得到该问题的解（正确的输出数据）。

算法的三个要素1).数据: 运算序列中作为运算对象和结果的数据.2).运算: 运算序列中的各种运算:赋值,算术和逻辑运算3).控制和转移: 运算序列中的控制和转移.算法分类从解法上：数值型算法:算法中的基本运算为算术运算；非数值型算法:算法中的基本运算为逻辑运算.从处理方式上：串行算法:串行计算机上执行的算法；并行算法:并行计算机上执行的算法 算法的五个重要的特性（1） 有穷性：在有穷步之后结束。

（2） 确定性：无二义性。

（3） 可行性：可通过基本运算有限次执行来实现。

（4） 有输入 表示存在数据处理（5） 有输出伪代码程序设计语言（PDL ），也称为结构化英语或者伪代码，它是一种混合语言，它采用一种语言（例如英语）的词汇同时采用类似另外一种语言（例如，结构化程序语言）的语法。

特点：1)使用一些固定关键词的语法结构表达了结构化构造、数据描述、模块的特征；2)以自然语言的自由语法描述了处理过程；3)数据声明应该既包括简单的也包括复杂的数据结构；4)使用支持各种模式的接口描述的子程序定义或者调用技术。

求两个n 阶方阵的相加C=A+B 的算法如下，分析其时间复杂度。

#define MAX 20∑∑∑∑-=-=-=-=====102101010*11n i n i n i n j nn n n n n n n )O()1O(1O(11i ij i j ==∑∑==）)O(N )21O()O()O(21N 1=+=∑=∑==)(N N i i N i i 赋值，比较，算术运算，逻辑运算，读写单个变量（常量）只需1单位时间2). 执行条件语句 if c then S1 else S2 的时间为TC +max(TS1,TS2).3). 选择语句 case A of a1: s1；a2: s2；...； am: sm需要的时间为 max （TS1,TS2 ,..., TSm ）.4). 访问数组的单个分量或纪录的单个域需要一个单位时间.5). 执行for 循环语句的时间=执行循环体时间*循环次数.6). while c do s (repeat s until c)语句时间=(Tc+Ts)*循环次数.7). 用goto 从循环体内跳到循环体末或循环后面的语句时,不需额外时间8). 过程或函数调用语句：对非递归调用，根据调用层次由里向外用规则1-7进行分析； 对递归调用，可建立关于T(n)的递归方程,求解该方程得到T(n).插入排序算法的实现要点：（1）【参数和返回值】确定输入数据个数和数据类型，输出个数和数据类型，数据的组织形式（即逻辑结构：线性表、树、图，线性表还包括栈、队列），数据的存储格式（数组还是链表），函数返回值。

（2）【数据设置】变量定义与初值设定。

要考虑访问的所有数据，包括变量和常量。

每个变量都要考虑它的数据类型、存储结构、访问控制（局部变量、全局变量、静态变量、公共属性、保护属性、私有属性等）和初始值。

（3）【关键代码】要考虑直接转换还是需要建立相应的独立函数。

对于赋值和下标通常可以直接转换。

一些操作，比如数据输入、创建、求长度、查找、排序、插入、删除、显示、修改等操作，通常需要通过建立专门的独立函数来实现，也可以通过系统提供的命令或函数来实现。

归并排序算法的实现要点：（1）【参数和返回值】确定输入数据个数和数据类型，输出个数和数据类型，数据的组织形式（即逻辑结构：线性表、树、图，线性表还包括栈、队列），数据的存储格式（数组还是链表），函数返回值。

参数：序列A[p…r]的子序列A[p…q]和A[q+1…r]，可以表示为区间[p,q],[q,r]指针（或迭代器）p，q，r：p指向第一个子序列的首元素，q指向第二个子序列首元素，r 指向第二个子序列末尾元素之后，单个元素数据长度及比较函数指针。

返回值：无（2）【数据设置】变量定义与初值设定。

要考虑访问的所有数据，包括变量和常量。

每个变量都要考虑它的数据类型、存储结构、访问控制（局部变量、全局变量、静态变量、公共属性、保护属性、私有属性等）和初始值。

（3）【关键代码】要考虑直接转换还是需要建立相应的独立函数。

对于赋值和下标通常可以直接转换。

一些操作，比如数据输入、创建、求长度、查找、排序、插入、删除、显示、修改等操作，通常需要通过建立专门的独立函数来实现，也可以通过系统提供的命令或函数来实现。

序列的划分算法的实现要点：（1）【参数和返回值】确定输入数据个数和数据类型，输出个数和数据类型，数据的组织形式（即逻辑结构：线性表、树、图，线性表还包括栈、队列），数据的存储格式（数组还是链表），函数返回值。

参数：A 是数组或序列p, r分别是整数或者迭代器返回值：分界点位置的整数或者迭代器（2）【数据设置】变量定义与初值设定。

要考虑访问的所有数据，包括变量和常量。

每个变量都要考虑它的数据类型、存储结构、访问控制（局部变量、全局变量、静态变量、公共属性、保护属性、私有属性等）和初始值。

（3）【关键代码】要考虑直接转换还是需要建立相应的独立函数。

对于赋值和下标通常可以直接转换。

一些操作，比如数据输入、创建、求长度、查找、排序、插入、删除、显示、修改等操作，通常需要通过建立专门的独立函数来实现，也可以通过系统提供的命令或函数来实现。

第二章直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。

用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

分治法的设计思想：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

分治策略在每一层递归包括3个步骤：分解 将问题分解成若干个子问题。

治理 递归地解决各子问题。

不过若子问题的规模足够小，就以直接的方式（不再递归）解决子问题。

合并 将子问题的解合并成原问题的一个解。

divide-and-conquer(P){if ( | P | <= n0) adhoc(P); .,Pk ；.,yk); //将各子问题的解合并为原问题的解 }分治法的复杂性分析：一个分治法将规模为n 的问题分成k 个规模为n ／m 的子问题去解。

设分解阀值n0=1，且adhoc 解规模为1的问题耗费1个单位时间。

再设将原问题分解为k 个子问题以及用merge 将k 个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。

用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n 的问题所需的计算时间，则有：11)()/()1()(>=⎩⎨⎧+=n n n f m n kT O n T 通过迭代法求得方程的解：∑-=+=1log 0log )/()(n m j j j k m m n f k nn T递归小结：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。

缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。

解决方法：在递归算法中消除递归调用，使其转化为非递归算法。

1、采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。

该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。

2、用递推来实现递归函数。

3、通过变换能将一些递归转化为非递归，从而迭代求出结果。

二分搜索算法：template<class Type>int BinarySearch(Type a[], const Type& x, int l, int r){while (r >= l){int m = (l+r)/2;if (x == a[m]) return m;if (x < a[m]) r = m-1;else l = m+1;}return -1; }算法复杂度分析：每执行一次算法的while 循环， 待搜索数组的大小减少一半。

因此，在最坏情况下，while 循环被执行了O(logn) 次。

循环体内运算需要O(1) 时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O(logn) 。

第三章动态规划算法总体思想：动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。

不同子问题的数目常常只有多项式量级。

在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。

如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。

分治法与动态规划的相同点：分治法与动态规划，二者要求原问题具有最优子结构，都是将问题分而治之分解成若干个规模较小的子问题。

不同点：分治法是将原问题分解为多个子问题，利用递归对各个子问题独立求解，最后利用各子问题的解进行合并形成原问题的解。

分治法将分解后的子问题看成是相互独立的。

动态规划是将原问题分解为多个子问题，通过计算出子问题的结果构造一个最优解。

动态规划通过迭代法自底向上求解，动态规划将分解后的子问题理解为相互间有联系，有重叠的部分。

knapsack算法实现要点：（1）【参数和返回值】参数：物件个数n，重量数组W（一维整型），价值数组C（一维整型），背包容量C（整型）。

返回值：返回整型二维数组m（2）【数据设置】设置一个（n+1 ）×（c+1 ）二维数表m；循环控制变量i，j（整数）（3）【关键代码】伪代码结构清晰，容易实现。

Floyd算法实现要点：（1）【参数和返回值】参数：图的顶点个数n；图的邻接矩阵：浮点型矩阵w；返回值：返回矩阵D和∏构成的数据结构（2）【数据设置】两个二维数表d和pi（对应矩阵D和∏）；循环控制变量i，j，k（整数）（3）【关键代码】顶点从0～n-1编号。

邻接矩阵D中∞用浮点型最大值代替；父结点矩阵∏中空指针NIL用-1表示；要输出路径还需要实现PRINT-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS算法第四章：贪心算法：依赖于当前已经做出的所有选择，采用自顶向下（每一步根据策略得到当前一个最优解，保证每一步都是选择当前最优的）的解决方法。

贪婪算法设计的3个步骤：（1）分析问题的最优子结构（2）分析问题的贪婪选择性质（3）根据最优子结构和贪婪性质自顶向下计算最优解。

Huffman算法实现要点：（1）【参数和返回值】参数：字符集C及频数数组及个数；返回值：返回二叉树（2）【数据设置】需要最小优先队列Q；循环控制变量i（整数）（3）【关键代码】需要先实现二叉树的数据结构单源最短路径算法实现要点（与prim算法类似）：（1）【参数和返回值】参数：图形矩阵W（浮点型）及顶点数n （整型）及源点s（整型）返回值：返回key和pi的数据结构（2）【数据设置】需要浮点型数组d和整型数组pi，需要最小优先队列Q；需要顶点变量u 和v（整数）（3）【关键代码】需要先实现动态优先队列第六章广度优先搜索BFS算法实现要点：（1）【参数和返回值】数据类型：图的邻接表数组adj和图的顶点个数n，队列操作过程：队列的创建、判空、入队、出队，队列需要指向队首和队尾的指针head和trail 参数：邻接表表示的图g和源点s；返回值：返回数组和d构成的数据结构（2）【数据设置】为了提高可读性，定义枚举类型Color，包含颜色WHITE、GRAY和BLACK。