三角形内切圆的性质及应用

三角形内切圆的性质及应用

来看这样一道几何题.

题1如图1所示，ABC △的内切圆⊙I 与三边分别切于点F E D 、、，直线DI

CI BI 、、分别与EF 交于点K N M 、、，直线BN 与CM 交于点P ，直线AK 与BC 交于点G ，过点I 且垂直于PG 的直线与过点P 垂直于PB 的直线交于点Q .证明：直线BI 平分PQ .

【分析】此题表面上复杂，但经过一番抽丝剥茧，最终可以归纳成数个结论的嵌套，实质上难度不大.但是，这些结论在解题中却有着广泛的应用，更是可以成为某些问题的突破口.下面依次分析.

我们看到，本题图形复杂，一些点的位置难以看清.接下来将重新描述它们的位置，以期起到简化问题的效

果.

结论1点I 为BCP △的垂心.证明首先，我们知道四边形BINF 内接于

圆，这是导角容易得到的.因此，°90=∠=∠BNI BFI .同理，°90=∠IMC ，故点I 为垂心，证毕.结论2点G 为边BC 中点.

证明延长DK 交内切圆于S ，过点S 作其切线与三角形两边相交.

我们考虑圆外切四边形BCXY .根据牛顿定理，点K 为CY BX 、的交点.而又BC XY //，可知G 为边BC 中点，这一点不难通过比例线段得到.证毕.

于是，我们可以将点A 和内切圆删除，这并不影响原题的结论.这样一来，原题的图形也就得到了极大的简化.之后的步骤并不复杂.对于正式的证明本文从略，由于它并不是重点.

题1的价值在于它引出了结论1和结论2，尤其是前者，在解题中应用广泛.一般来说，对于涉及内切圆两切点连线的问题，结论1就提供了很好的思路.作出题1中的BCP △作为辅助线，并寻找相似三角线和四点共圆等往往能奏效.

性质1的等价形式有时也被使用.

推论在图1中，延长CM 交AB 于点R ，则MR CM =.下面给出了一些具体的例子以体现上述结论的应用.

例1如图2，在ABC △中，AC AB >，内切圆⊙I 于边AB CA BC 、、分别相切于点F E D 、、，M 是边BC 的中点，BC AH ⊥于点H ，BAC ∠的平分线AI 分别于直线DF DE 、交于点L K 、.证明：K H L M 、、、四点共圆.

【分析】根据推论，自然联想到延长CH 与对边相交.这样一来就不难处理了.证明我们不难知道CL NL =，因此，有BN ML //.这样一来可知ABC LMC ∠=∠.

另一方面，由于CD CE =，再结合AK 平分BAC ∠，

可知LMC ABC AKE ∠=∠=∠.

这样就证明了原题.

例2如图3，M 为BC 中点，AM 与EF 交于点N .两条角平分线分别与EF 交于点Y X 、.

证明：NX

NY

AC AB =

.【分析】根据提供的思路，我们仍然作出图中所示的辅助线.利用垂心的性质，可发现一组角平分线，恰能将所求比例的左边转化到一个三角形的两边.进而，只需证明其与原三

B A E

C G F D

K M N Q

I P X

Y S 图1L B E C

A F D K

M N I H 图2

图3

角形相似即可.

证明通过两组四点共圆，可分别证明

IYD IBD ∠=∠；XYC XBC ∠=∠.

因此，ABC XYD ∠=∠.由此可知ABC DYX △△∽.故

DX

DY AC AB =.另一方面，根据垂心的基本性质，又不难有

YDN XDN ∠=∠.

因此，

NX

NY

DX DY =

.原题得证.

例3如图4，设⊙I 与ABC △两边相切，过I 作BC 的垂线，交⊙I 于F .EF DF 、分别交BC 于点G H 、.又分别连接AH AG 、得到点N M 、.证明：BC MN //.

【分析】这图形本身作为内切圆的推广，自然可以使用内切圆的性质加以证明.这之前，首先要做的工作是使⊙I 成为内切圆.为了达成我们的目的，作出如图所示的辅助线.这样一来，上述结论便有了用武之地.另一方面，我们已经知道BC MN //的充要条件是AF 为FMN △的中线，这由塞瓦定理不难说明.因此，只需构造一条与BC 平行的直线.APQ

△的中位线是一个很好的选择.这之后的处理虽稍有技巧性，也并不难想到.

证明过F 作BC PQ //.延长QI PI 、与直线DF EF 、分别交于点R L 、.

不难证明LR 是APQ △中位线.这一点，只

须分别延长AL AR 、与PQ 相交，结合推论即可得知.

因此，四边形ARFL 为平行四边形.

故LR 被AF 平分.

结合BC RL //，可知HG 被AF 平分.因此，HG MN //.

原题得证.

例4如图5，在锐角ABC △中，AC AB >，I 是其内心，D 是I 在边BC 上的射影.BC 边上的高AH 和CI BI 、分别交于点Q P 、.设O 为IPQ △的外心，延长AO 交BC 于点L .AIL △的外接圆与BC 交于两点L N 、.

证明：

CN

BN

CD BD =

.【分析】原题结论即证明一组调和点列.根据调和点列的定义，自然联想到构造完全四边形.而结论1中的含垂心的三角形就是一个不错的选择.仔细分析图形，可以挖掘到两个关键的性质：一是一组相似三角形，二是OI AI ⊥.这之后处理的思路便自然了.

证明

显然OI AI ⊥.

因此，AI 为⊙O 切线.取PQ 中点T .

则T O I A 、、、四点共圆.

图4

B A E

C D

L G F

M

N P Q R

I

H C

M

N I

X Y

K M O P

Q

R

I

T H

S L N

图5

K

A

A

C

F B

B

D E

D