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二次函数解析式专题ppt
解：〔 1〕作BD⊥y 轴于D
∵C〔0，q〕，AC ∥ x轴 ∴点A的纵坐标为q。
∵A在直线y=x上 ∴A〔q，q〕
∴q=
1
2
×q 2 +pq+q ①
∵ AC∥x轴 ， x轴 ⊥y 轴 ∴ AC ⊥y 轴
又∵ BD⊥y 轴 ∴ ∠BDO= ∠ACO
也可利用 对称性得！
y 1x2 pxq 2
y
D
x12+x22=10 即〔x1+x2 〕 2 - 2 x1·x2
由=1韦0 达定理得：b2-2 c=0 b= -2 ∵ OA<OB
c= -3 ∴ b= -2 ，c= -3 ∴ y=x2-2x-3
P
易得A〔-1，0〕，B〔3，0〕，
C〔0，-3〕。
AO
BH
C
M y=x2-2x-3
〔2〕在抛物线上是否存在点P，使三 角形PAB的面积等于四边形ACMB的面 积的2倍？如存在，求出所有符合条 件的坐标；假设不存在，请说明理由。
又∵DE= 2 ∴ HD=HE=1
∴S=
1
2
×DF
×HE=
-
1
4
t2+1 易得- 2≤t ≤1，t=0时，S最大=1单位2
尝试中考题：
已知：如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上， 点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6），且AB ＝2 10 （1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
H - 2 ODE
y
EE B D
1
∵D在直线y=x上，F在y=
1
2
x2+x-2上
∴D、F的纵坐标分别为t和
用待定系数法求二次函数解析式PPT课件
人教版 九年级上
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质 *第7课时 用待定系数法求二次函数
解析式
提示：点击 进入习题
1 一般式 2 见习题 3 见习题 4 顶点式 5 见习题
6 见习题 7 交点式 8 见习题 9 见习题
答案显示
1．已知函数图象上的三个点的坐标求函数解析式时，设出 二次函数的__一__般__式__，即y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后将三 个点的坐标分别代入解析式，求出待定的系数a，b，c即 可．
2．(2020·陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和 (－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对 称轴为直线l.
(1)求该抛物线的解析式． 解：将点(3，12)和(－2，－3)的坐标代入抛物线的解析式， 得1－2＝3＝9＋4－3b2＋b＋c，c，解得bc＝＝－2，3. 故抛物线的解析式为 y＝x2＋2x－3.
解：如图所示．该曲线 是一条抛物线．
(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有
两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根 据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系： __A_3_A_4_－__A_1_A_2_＝__1____．
4．若已知顶点坐标或对称轴或函数的最值，用待定系数法 求解析式时，一般设___顶__点__式_____，即y＝a(x－h)2＋k.
课堂导练
11．(2020·吉林)如图是人们常用的插线板。可以用_试__电__笔___ 来判断插孔接的是火线还是零线；当把三线插头插入三 孔插座中时，用电器的金属外壳就会与___大__地___相连， 以防止触电事故的发生。
8．(2020·攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1， 0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物 线上的一点．
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质 *第7课时 用待定系数法求二次函数
解析式
提示：点击 进入习题
1 一般式 2 见习题 3 见习题 4 顶点式 5 见习题
6 见习题 7 交点式 8 见习题 9 见习题
答案显示
1．已知函数图象上的三个点的坐标求函数解析式时，设出 二次函数的__一__般__式__，即y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后将三 个点的坐标分别代入解析式，求出待定的系数a，b，c即 可．
2．(2020·陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和 (－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对 称轴为直线l.
(1)求该抛物线的解析式． 解：将点(3，12)和(－2，－3)的坐标代入抛物线的解析式， 得1－2＝3＝9＋4－3b2＋b＋c，c，解得bc＝＝－2，3. 故抛物线的解析式为 y＝x2＋2x－3.
解：如图所示．该曲线 是一条抛物线．
(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有
两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根 据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系： __A_3_A_4_－__A_1_A_2_＝__1____．
4．若已知顶点坐标或对称轴或函数的最值，用待定系数法 求解析式时，一般设___顶__点__式_____，即y＝a(x－h)2＋k.
课堂导练
11．(2020·吉林)如图是人们常用的插线板。可以用_试__电__笔___ 来判断插孔接的是火线还是零线；当把三线插头插入三 孔插座中时，用电器的金属外壳就会与___大__地___相连， 以防止触电事故的发生。
8．(2020·攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1， 0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物 线上的一点．
【例题讲解】求二次函数解析式例 -完整版课件
• 例.已知二次函数图象的顶点为C(1,4)，与x轴左交点为 A(-1,0),右交点为点B，求其解析式.
方法1：一般式（三点式 ）
解
： 分析： 设二次函数的解析式为
y=ax2+bx+c
将A、B、C三点坐标代入
利用待定系数法可得其解析式
设二次函数的解析式 将A、B、C三点坐标代入
为y=ax²+bx+c ∵顶点C的坐标为(1,4)
a-bc 0
a bc 4
9a 3b c 0
∴直线x=1为对称轴 解得：a= -1, b=2, c=3.
∵A、B关于直线x=1对 故二次函数的解析式为:
称，且A点坐标为(-1,0) y= -x2+2x+3
∴B点坐标为(3,0)
• 例.已知二次函数图象的顶点为C（1,4），与x轴左交点为A(-1,0)，右交点为点B，求其解析式.
• 例、已知二次函数图象的顶点为C（1,4），与x轴左交点为A(-1,0)，右交点为点B，求其解析式.
方法3：交点式 分析： 设二次函数的解析式为
y=a(x-x1)(x-x2)
由点A、C坐标可得点B坐标
把点A和点B的坐标代入交点式
再把点C坐标代入可得其解析式
解 设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) ： ∵二次函数图象的顶点为C(1,4)，与x轴的函数的解析式为 y=a(x-h)2+k
把顶点C和点A的坐标代入
利用待定系数法可得其解析式
解 设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k ： ∵二次函数图象的顶点为C(1,4)
∴h=l,k=4. ∴y=a(x-1)2+4 又∵A(-1,0)在二次函数图象上 ∴0=a(-1-1)2+4 ∴a=-1 ∴二次函数的解析式为：y=-(x-1)2+4 即：y=-x2＋2x+3
方法1：一般式（三点式 ）
解
： 分析： 设二次函数的解析式为
y=ax2+bx+c
将A、B、C三点坐标代入
利用待定系数法可得其解析式
设二次函数的解析式 将A、B、C三点坐标代入
为y=ax²+bx+c ∵顶点C的坐标为(1,4)
a-bc 0
a bc 4
9a 3b c 0
∴直线x=1为对称轴 解得：a= -1, b=2, c=3.
∵A、B关于直线x=1对 故二次函数的解析式为:
称，且A点坐标为(-1,0) y= -x2+2x+3
∴B点坐标为(3,0)
• 例.已知二次函数图象的顶点为C（1,4），与x轴左交点为A(-1,0)，右交点为点B，求其解析式.
• 例、已知二次函数图象的顶点为C（1,4），与x轴左交点为A(-1,0)，右交点为点B，求其解析式.
方法3：交点式 分析： 设二次函数的解析式为
y=a(x-x1)(x-x2)
由点A、C坐标可得点B坐标
把点A和点B的坐标代入交点式
再把点C坐标代入可得其解析式
解 设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) ： ∵二次函数图象的顶点为C(1,4)，与x轴的函数的解析式为 y=a(x-h)2+k
把顶点C和点A的坐标代入
利用待定系数法可得其解析式
解 设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k ： ∵二次函数图象的顶点为C(1,4)
∴h=l,k=4. ∴y=a(x-1)2+4 又∵A(-1,0)在二次函数图象上 ∴0=a(-1-1)2+4 ∴a=-1 ∴二次函数的解析式为：y=-(x-1)2+4 即：y=-x2＋2x+3
用待定系数法求二次函数的解析式(新人教版)课件
$ax_3^2+bx_3+c=y_3$
设立待定系数并建立方程组
• 同样，若已知抛物线的对称轴为直线$x=h$，则可设立如 下方程组
设立待定系数并建立方程组
$-frac{b}{2a}=h$
$y=ax^2+bx+c$
解方程组求得待定系数
解方程组求得$a, b, c$的值。
解方程组的方法有多种，如代入消元法、加减消元法等。
提高解决问题能力
在学习过程中，学生将学会如何根据问题条件设立未知数 、建立方程组，从而提高解决实际问题的能力。
为后续课程做准备
本节课所介绍的待定系数法将在后续课程中得到广泛应用 ，如求解二次方程、二次曲线等，因此本节课的学习将为 后续课程打下基础。
THANKS
感谢观看
用待定系数法求二 次函数的解析式(新 人教版)
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 待定系数法介绍 • 用待定系数法求二次函数的解析式 • 实例分析 • 课程总结与展望
01
CATALOGUE
引言
课程背景
01
二次函数是初中数学的重要内容 ，是中考的重点和难点之一。
02
通过学习待定系数法求二次函数 的解析式，学生可以更好地理解 二次函数的性质和图像，提高解 决实际问题的能力。
实际应用举例
通过具体的例题演示如何使用待定系数法求解二次函数解析式，包括如何设立未知数、建 立方程组以及求解过程。
课程对未来的影响和意义
深化对二次函数的理解
通过本节课的学习，学生对二次函数的理解将更加深入， 能够掌握其解析式的求解方法，为后续学习打下基础。
培养数学思维能力
待定系数法是一种重要的数学思维方法，通过本节课的学 习，学生将培养出灵活运用数学思维解决问题的能力。
设立待定系数并建立方程组
• 同样，若已知抛物线的对称轴为直线$x=h$，则可设立如 下方程组
设立待定系数并建立方程组
$-frac{b}{2a}=h$
$y=ax^2+bx+c$
解方程组求得待定系数
解方程组求得$a, b, c$的值。
解方程组的方法有多种，如代入消元法、加减消元法等。
提高解决问题能力
在学习过程中，学生将学会如何根据问题条件设立未知数 、建立方程组，从而提高解决实际问题的能力。
为后续课程做准备
本节课所介绍的待定系数法将在后续课程中得到广泛应用 ，如求解二次方程、二次曲线等，因此本节课的学习将为 后续课程打下基础。
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用待定系数法求二 次函数的解析式(新 人教版)
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 待定系数法介绍 • 用待定系数法求二次函数的解析式 • 实例分析 • 课程总结与展望
01
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引言
课程背景
01
二次函数是初中数学的重要内容 ，是中考的重点和难点之一。
02
通过学习待定系数法求二次函数 的解析式，学生可以更好地理解 二次函数的性质和图像，提高解 决实际问题的能力。
实际应用举例
通过具体的例题演示如何使用待定系数法求解二次函数解析式，包括如何设立未知数、建 立方程组以及求解过程。
课程对未来的影响和意义
深化对二次函数的理解
通过本节课的学习，学生对二次函数的理解将更加深入， 能够掌握其解析式的求解方法，为后续学习打下基础。
培养数学思维能力
待定系数法是一种重要的数学思维方法，通过本节课的学 习，学生将培养出灵活运用数学思维解决问题的能力。
初中数学人教版九年级上册 第二十二章22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式(共21张PPT)
知识应用
有一个抛物线形的立交桥拱，这个 桥拱的最大高度为16m，跨度为40m． 现把它的图形放在坐标系里(如图所示)， 求抛物线的解析式． 解： 设抛物线为y=ax(x-40 ）
根据题意可知 ∵ 点(20，16)在抛物线上，
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值 是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图 象经过点（3，-6）。求aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb、c。
用待定系数法求二次函数的解析式
说一说
说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:
y＝3x2
y= -2x2+3
y= - 4(x+3)2
y=
1 2
(x-2)2+1
y＝x2＋2x＋1
温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0) 特殊形式 • 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
25 5 ∴ 所求抛物线解析式为 y
1
x2 8 x
25 5
知识应用
有一个抛物线形的立交桥拱，这个
桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．
现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，
求抛物线的解析式．
解 设抛物线为y=a(x-20)2＋16
法 二
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
通常选择一般式 y
▪ 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）
通常选择顶点式
o
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，
x 通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
《用待定系数法求二次函数的解析式》PPT课件(甘肃省市级优课)
一设:指先设出二次函数的解析式
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的 解析式，得到关于a、b、c的方程组
三解:指解此方程或方程组
四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中
做一做
1、若抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，
且经过点(1,4)和点(5,0)，求此抛物线解析式?
解：设抛物线的解析式为：
课堂练习
1. 一个二次函数，当自变量x=0时，函数值 y=-1，当x=-2与0.5时，y=0.求这个二次函数 的解析式.
y x2 3 x 1 2
2. 一个二次函数的图象经过（0,0），（-1， -1），（1,9）三点.求这个二次函数的解析 式.
y 4x2 5x
课堂小结
1. 已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式
（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c的 三元一次方程组
a b c 10, a b c 4, 4a 2b c 7. 解这个方程组，得
a=2,b=-3,c=5
∴所求二次函数是y=2x2-3x+5
方法小结
用待定系数法确定二次函数解析的 基本方法分四步完成：一设、二代、
三解、四还原
y a(x 2)2 k 代入（1, 4），（5, 0）得
a k 4 9a k 0
解得：a=- 1 , k 9
2
2
所以抛物线的解析式为：
y 1 ( x 2)2 9
2
2
2、已知二次函数的图像过点A(－1,0)、 B(3,0)，与y轴交于点C2，3且BC＝ ，求二
次函数关系式？
解：设抛物线的解析式为： y a(x 3)(x 1) 由题得C点坐标为（0, 3） 代入解析式得 a 1 所以抛物线的解析式为 y x2 2x 3
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的 解析式，得到关于a、b、c的方程组
三解:指解此方程或方程组
四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中
做一做
1、若抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，
且经过点(1,4)和点(5,0)，求此抛物线解析式?
解：设抛物线的解析式为：
课堂练习
1. 一个二次函数，当自变量x=0时，函数值 y=-1，当x=-2与0.5时，y=0.求这个二次函数 的解析式.
y x2 3 x 1 2
2. 一个二次函数的图象经过（0,0），（-1， -1），（1,9）三点.求这个二次函数的解析 式.
y 4x2 5x
课堂小结
1. 已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式
（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c的 三元一次方程组
a b c 10, a b c 4, 4a 2b c 7. 解这个方程组，得
a=2,b=-3,c=5
∴所求二次函数是y=2x2-3x+5
方法小结
用待定系数法确定二次函数解析的 基本方法分四步完成：一设、二代、
三解、四还原
y a(x 2)2 k 代入（1, 4），（5, 0）得
a k 4 9a k 0
解得：a=- 1 , k 9
2
2
所以抛物线的解析式为：
y 1 ( x 2)2 9
2
2
2、已知二次函数的图像过点A(－1,0)、 B(3,0)，与y轴交于点C2，3且BC＝ ，求二
次函数关系式？
解：设抛物线的解析式为： y a(x 3)(x 1) 由题得C点坐标为（0, 3） 代入解析式得 a 1 所以抛物线的解析式为 y x2 2x 3
二次函数的解析式的三种解法ppt课件
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封面 10
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11
由条件得： 点( 0,-5 )在抛物线上
x o
a-3=-5, 得a=-2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2-4x－5
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封面 4 例题
例题选讲
例 已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）
一般式： 3 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
y=ax2+bx+c
例题选讲
例一般式： 1ຫໍສະໝຸດ y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式： y=a(x-h)2+k
已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、 （1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
由条件得：
a-b+c=10 a+b+c=4
4a+2b+c=7 解方程得： a=2, b=-3, c=5
与Y轴交点的纵坐标是，求这个抛物线的解析式？
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封面 9小结
课堂小结
求二次函数解析式的一般方法：
▪ 已知图象上三点或三对的对应值，
y
通常选择一般式
▪ 已知图象的顶点坐标＊对称轴和最值）
通常选择顶点式
x
o
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，
通常选择两根式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
一次方程组，求出a、
求二次函数解析式共14页PPT资料
如图是某公园一圆形喷水池的效果图，水流在
各方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图坐
标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路
线最高处B（1，2.25），如果你是设计师，那
么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水
流不致落到池外？
y
B A
x
O
C
如图所示是喷灌设备图，水管AB高出地 面1.5米，B处是自转的喷水头，喷出水 流呈抛物线状，点B与水流最高点C的连
二次函数的 解析式
顶点
对称轴
y ax2 （0 , 0 ）
yax2 k （0 , k ）
ya(xh)2 （ h , 0 ）
ya(xh)2k （ h , k ）
y轴 y轴 直线x＝h 直线x＝h
我们生活中有很多“抛物线”的例子， 你能举出几个出来吗？
已知二次函数的顶点在原点，且经过点 （2，4），求该函数的解析式。
解：设二次函数的解析式为 y ax2
把（2，4）代入上式，得：
4a 4
a 1
所以，二次函数的解析式为 y x2
已知抛物线顶点为M（1，2），且过点N （2，4）,求此二次函数解析式。
变式： 已知抛物线顶点为M（－1，－2），且 过点N（2，4）,求此二次函数解析式。
注意：代顶点坐标时的符号处理！
线与水平地面成45°角，BC= 2 2 米。
求水流落地点D到原点O的距离
1、已知抛物线的顶点是（- 2，-3）， 且经过点（-1，-2），求函数解析式；
2、如图，求抛物线的解析式
y
4
2
1
-5
－1 0
x已Leabharlann 抛物线 ya2xb xc(a0)经
二次函数解析式的求法(PPT课件(共24张PPT)
解:∵抛物线的顶点为(2,-1) ∴设解析式为:y=a(x-2)2-1 把点(-1,2)代入
a(-1-2)2-1=2
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设两根式 解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0)
∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入
元山中学九年级四班
年1月12日
有两个交点，则a的取值范围是————
6。抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物
线的对称轴是直线_________，它必定经过
________和____
7。若
为二次函数
的
图象上的三点，则 y1 ， y2 ，y3 的大小关
系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.抛物线y= (k2-2)x2 -4kx+m的对称轴是直线 x=2，且它的最低点在直线y= -k x+2上，求函数
解析式。
9. y= ax2+bx+c图象与x轴交于点A、点B，与y 轴交于点C，OA=2，OB=1 ，OC=1，
求函数解析式
10。若抛物线
的顶点在 x轴的下
方，则 的取值范围是（ ）
Ａa>1． Ｂ．A<1 Ｃ． Ｄ．
11.（天津市）已知二次函数 的图象如图所示， 下列结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0； ④2c<3b；⑤a+b>m(am+b), （ 的实数）. 其中正确的结论序号有（ ）
8 已知抛物线 y=ax2+bx+c
a(-1-2)2-1=2
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设两根式 解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0)
∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入
元山中学九年级四班
年1月12日
有两个交点，则a的取值范围是————
6。抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物
线的对称轴是直线_________，它必定经过
________和____
7。若
为二次函数
的
图象上的三点，则 y1 ， y2 ，y3 的大小关
系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.抛物线y= (k2-2)x2 -4kx+m的对称轴是直线 x=2，且它的最低点在直线y= -k x+2上，求函数
解析式。
9. y= ax2+bx+c图象与x轴交于点A、点B，与y 轴交于点C，OA=2，OB=1 ，OC=1，
求函数解析式
10。若抛物线
的顶点在 x轴的下
方，则 的取值范围是（ ）
Ａa>1． Ｂ．A<1 Ｃ． Ｄ．
11.（天津市）已知二次函数 的图象如图所示， 下列结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0； ④2c<3b；⑤a+b>m(am+b), （ 的实数）. 其中正确的结论序号有（ ）
8 已知抛物线 y=ax2+bx+c
二次函数的解析式课件
弹性力学问题
在弹性力学中，二次函数 可以用于描述物体的应力 和应变关系，以及弹性体 的变形和稳定性等问题。
04
二次函数解析式的性质
二次函数的开口方向与a的关系
总结词：a的正负决定二次函数的开口方 向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
a的符号决定了二次函数的开口方向，这 是判断二次函数增减性的关键。
几何问题
二次函数与几何图形密切相关，可以 用于研究平面几何、立体几何中的一 些问题，例如抛物线、椭圆、双曲线 的性质和图像。
在物理问题中的应用
01
02
03
运动学问题
二次函数可以用于描述物 体在重力作用下的运动规 律，例如自由落体运动、 抛体运动等。
波动问题
在波动现象中，例如声波 、光波等，二次函数可以 用于描述波的传播规律和 性质。
参数的取值还影响抛物线 的顶点位置：顶点的x坐标 为-b/2a，y坐标为(4acb^2)/4a。
03
二次函数解析式的应用
在生活中的实际应用
金融领域
二次函数可以用于描述股 票价格、债券收益率等金 融数据的变动规律，帮助 投资者进行风险评估和预
测。
建筑领域
在建筑设计中，二次函数 可以用于计算结构物的受 力分析、稳定性等，以确 保建筑的安全性和稳定性
最小值为c-b^2/4a，此时二次函数开 口向上；最大值为c-b^2/4a，此时二 次函数开口向下。
二次函数的最小值或最大值在对称轴 上取得，即x=-b/2a处。
05
二次函数解析式的求解方法
配方法求解二次函数解析式
总结词
通过配方将二次函数转化为顶点式，便于分析函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
详细描述
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解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
x＝1，图象上最低点P的纵坐标为
-8，图象经过点(-2，10)，求这 个函数的解析式．
6、已知抛物线的顶点在原点,且 过(2,8),求这个函数的解析式。
7、抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0) 与（12，0）， 最高点的纵坐标 是3，求这条抛物线的解析式
8、已知抛物线与X轴交于A （-1，0），B（1,0）并经过点M （0,1），求抛物线的解析式？
函数模型的选择
▪ 已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式 y
▪ 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）
通常选择顶点式
o
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，
x 通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
一般式： y=ax2+bx+c
例题选讲
解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－3）
由条件得： 点C( 0,-3)在抛物线上
所以：a(0＋1)(0－3)＝－3 得： a＝1
故所求的抛物线解析式为 y= (x＋1)(x－3) 即：y=x2－2x－3
一般式： y=ax2+bx+
例题选讲
c 例2 已知抛物线的顶点在(3,-2),且与x轴两交点
11、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线 y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1 上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足 此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1
又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
一设:指先设出二次函数的解析式
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的 解析式，得到关于a、b、c的方程组
三解:指解此方程或方程组 四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中
小试牛刀
1、已知二次函数的图像过点(0, 0)，(1,－3)，(2,-7) 三点，则该二次函数关系式为__y_____12_x_2___52_x_。 2、若二次函数的图像有最高点为(1,－6)，且经过点 (2，－8），则此二次函数的关系式__y___2_(_x__1_)2__6__
得： a＝1 b= -2 c= -3
故所求的抛物线解析式为 y=x2－2x－3
一般式： y=ax2+bx+c
例题选讲
例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于
A(-1,0），B(3，0)，并且过点C(0,-3)， 求抛物线的解析式？
顶点式： y=a(x-h)2+k
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
2、已知抛物线的顶点坐标为 (-1,-2)， 且通过点(1,10).
3、已知抛物线与x轴交点的横坐标为2和1，且通过点(2,8).
2、已知抛物线的顶点为（-1，-3）与 y轴交点为（0，－5）求抛物线的解 析式？
解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-3
由题意得： 点( 0,-5 )在抛物线上 a-3=-5, 得a=-2
9、 已知抛物线y=-2x2+8x-9的 顶点为A点，若二次函数 y=ax2+bx+c的图像经过A点， 且与x轴交于B（0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次 函数的解析式。
10、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图 象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，6）。求a、b、c。
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
12、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图 所示：
3、若二次函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0) 且过点(3,4)，则此二次函数的关系式为_y__2_(_x__1_)(_x__2)
❖1.已知一个二次函数的图象 经过（－1，8），（1，2）， （2，5）三点。求这个函数的 解析式
1.根据下列条件，求二次函数的解析式：
1、 已知抛物线经过 (2,0),(0,-2), (-2,3) 三点.
说一说
说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标(x+3)2
y=
1 2
(x-2)2+1
y＝x2＋2x＋1
如果要求二次函数解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 中的a、b、c，至少需要几个点的坐标？
温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0) 特殊形式 • 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于
A(-1,0），B(3，0)，并且过点C(0,-3)， 求抛物线的解析式？
顶点式： y=a(x-h)2+k
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
解： 设所求的二次函数为 y＝ax2＋bx＋c
由条件得： 0=a-b+c 0=9a+3b+c -3=c
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2-4x－5
4、二次函数y= ax2+bx+c的对称轴 为x=3，最小值为－2，，且过点 （0，1），求此函数的解析式。
4、抛物线的对称轴是x=2，且过 点（4，－4）、（－1，2），求 此抛物线的解析式。
5、已知二次函数的对称轴是直线
的距离为4,求此二次函数的解析式.
解：设函数关系式 y=a(x-3)2-2
顶点式： ∵抛物线与x轴两交点距离为4,对称轴为x=3
y=a(x-h)2+k
∴过点(5,0)或(1,0)
把(1,0)代入得, 4a=2
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
a=
1 2
∴y=
1 2
(x-3)2-2
方法小结
用待定系数法确定二次函数解析式的 基本方法分四步完成： 一设、二代、三解、四还原
x＝1，图象上最低点P的纵坐标为
-8，图象经过点(-2，10)，求这 个函数的解析式．
6、已知抛物线的顶点在原点,且 过(2,8),求这个函数的解析式。
7、抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0) 与（12，0）， 最高点的纵坐标 是3，求这条抛物线的解析式
8、已知抛物线与X轴交于A （-1，0），B（1,0）并经过点M （0,1），求抛物线的解析式？
函数模型的选择
▪ 已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式 y
▪ 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）
通常选择顶点式
o
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，
x 通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
一般式： y=ax2+bx+c
例题选讲
解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－3）
由条件得： 点C( 0,-3)在抛物线上
所以：a(0＋1)(0－3)＝－3 得： a＝1
故所求的抛物线解析式为 y= (x＋1)(x－3) 即：y=x2－2x－3
一般式： y=ax2+bx+
例题选讲
c 例2 已知抛物线的顶点在(3,-2),且与x轴两交点
11、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线 y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1 上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足 此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1
又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
一设:指先设出二次函数的解析式
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的 解析式，得到关于a、b、c的方程组
三解:指解此方程或方程组 四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中
小试牛刀
1、已知二次函数的图像过点(0, 0)，(1,－3)，(2,-7) 三点，则该二次函数关系式为__y_____12_x_2___52_x_。 2、若二次函数的图像有最高点为(1,－6)，且经过点 (2，－8），则此二次函数的关系式__y___2_(_x__1_)2__6__
得： a＝1 b= -2 c= -3
故所求的抛物线解析式为 y=x2－2x－3
一般式： y=ax2+bx+c
例题选讲
例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于
A(-1,0），B(3，0)，并且过点C(0,-3)， 求抛物线的解析式？
顶点式： y=a(x-h)2+k
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
2、已知抛物线的顶点坐标为 (-1,-2)， 且通过点(1,10).
3、已知抛物线与x轴交点的横坐标为2和1，且通过点(2,8).
2、已知抛物线的顶点为（-1，-3）与 y轴交点为（0，－5）求抛物线的解 析式？
解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-3
由题意得： 点( 0,-5 )在抛物线上 a-3=-5, 得a=-2
9、 已知抛物线y=-2x2+8x-9的 顶点为A点，若二次函数 y=ax2+bx+c的图像经过A点， 且与x轴交于B（0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次 函数的解析式。
10、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图 象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，6）。求a、b、c。
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
12、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图 所示：
3、若二次函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0) 且过点(3,4)，则此二次函数的关系式为_y__2_(_x__1_)(_x__2)
❖1.已知一个二次函数的图象 经过（－1，8），（1，2）， （2，5）三点。求这个函数的 解析式
1.根据下列条件，求二次函数的解析式：
1、 已知抛物线经过 (2,0),(0,-2), (-2,3) 三点.
说一说
说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标(x+3)2
y=
1 2
(x-2)2+1
y＝x2＋2x＋1
如果要求二次函数解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 中的a、b、c，至少需要几个点的坐标？
温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0) 特殊形式 • 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于
A(-1,0），B(3，0)，并且过点C(0,-3)， 求抛物线的解析式？
顶点式： y=a(x-h)2+k
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
解： 设所求的二次函数为 y＝ax2＋bx＋c
由条件得： 0=a-b+c 0=9a+3b+c -3=c
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2-4x－5
4、二次函数y= ax2+bx+c的对称轴 为x=3，最小值为－2，，且过点 （0，1），求此函数的解析式。
4、抛物线的对称轴是x=2，且过 点（4，－4）、（－1，2），求 此抛物线的解析式。
5、已知二次函数的对称轴是直线
的距离为4,求此二次函数的解析式.
解：设函数关系式 y=a(x-3)2-2
顶点式： ∵抛物线与x轴两交点距离为4,对称轴为x=3
y=a(x-h)2+k
∴过点(5,0)或(1,0)
把(1,0)代入得, 4a=2
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
a=
1 2
∴y=
1 2
(x-3)2-2
方法小结
用待定系数法确定二次函数解析式的 基本方法分四步完成： 一设、二代、三解、四还原