例谈不完全归纳法在初中数学中的运用
数学归纳法及应用举例
数学归纳法及应用举例重点难点分析：（1）第一步递推基础，第二步是递推依据，密切相关缺一不可。
（2）归纳思想充分体现了特殊与一般的思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。
（3）归纳—猜想—证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理猜想，从而达到解决问题的目的。
（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较、放缩、配凑、分析和综合法等。
典型例题：例1．证明：=-n(n+1)(4n+3)。
证明：①当n=1时，左，右=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。
②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。
n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2) =-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式成立。
由①②知，当n∈N′时等式成立例2．试证S n=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。
证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。
②假设，n=k时，S k能被9整除，则S k+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=S k+(k+3)3-k3=S k+9(k3+3k+3)由归纳假设知S k+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。
综上所述：命题成立。
点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。
例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。
证明：设适合条件的n个平面把空间分成p n个部分，∴p n=n2-n+2①当n=1时，p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立。
教学中应用“不完全归纳法”的问题与对策
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教 学 方 法
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教学中应用“ 不完全归纳法＂ 的问题与对策
◎ 胡 晓敏 （ 江 省杭 州 市胜 利 小 学 浙 ３ ０ ６ １０１ ）
【 要 】 学数 学教 学 中 经 常 采用 “ 完 全 归纳 法 ” 行 摘 小 不 进 教 学 ， 很 多 时 候学 生还 不 十分 确 信 用这 种 方 法发 现 的结 论 ． 但 在 无 法 ｝ 导 学 生进 行 “ 全 归 纳” 况 下 ， 文 试 图和 大材 中 的很 多 内 容 ， 乘 法 和 加 法 的 运 在 如 算律 、 分数 基 本 性 质 、 不 变 性 质 、 积 汁箅 公 式 、 ３ ５的倍 商 而 ２， ， 数 特 等 ， 都是 让学 生 通 过 观 察 、 测 和验 ｉ …结 论 ， 将 猜 止得 行 结 论 类 比和 推 广 ，即 用 小 完 全 归 纳法 进 行 教 学 ． 毓 信 教 授 郑 也 指 ： 现行 教材 ｒ 诸 多 “ 规 律 ” 这 样 的 一 个 明 显 不 足 之 Ｉ １ 找 的 处 ， 是过 丁简 ， 而 就 末 能很 好 地 体 现 “ 格 检 验 ” “ 即 从 严 与 改 进 ” 必要 性 ． 仃 既应 当努 力提 高学 生 的发 班 能 力 ， 时 义 的 我 Ｊ 同 应 帮 助学 生 学 会 论 证 。 力增 强思 维 的严 密性 ． 努 众 所周 知 ， 果 不 完 全 归 纳得 到 公式 或 猜 想 不 仅对 ，成 如 ｚ 立 ， 且推 出它 对 ｎ＋１也 成 立 ， 么 这 样 的 结 果才 箅 得 到真 而 那
归纳法在初中数学概念教学中的应用
例 １ 已知三 角形 Ａ Ｂ Ｃ的三个边 长 ０ 、 ｂ 、 Ｃ 均为有理数 ， 证
例 出一张 白纸 ，随心所欲地剪 出一个三 明： （ １ ） ｃ ｏ ｓ Ａ为有理数 ； （ ２ ）当 ｎ为任何正 的 自然数时 ， ｃ ｏ ｓ ｎ Ａ都 为有理数 。 角形 ， 并用尺测量出 自己所裁剪出的三角形 ＡＢ Ｃ的各个边长 ， 归纳法 的证 明过程如下 ： 分别做好记录 ，然后在这个 三角形的三条边上取 中点 Ｅ、 Ｆ 、 Ｇ， 对于 （ １ ） 的证 明 ： 因为 ａ ， ｂ ， Ｃ均 为有理数 ， 根 据有 理数 的概 将任意两个腰上的两点连接 ， 继续测量其长度 ， 将其 同对应 的底 边长对 比， 试 问学生发现 了什么规律 ？
念 和 余弦 定 理可 得： ｃ ０ ｓ Ａ ＝ Ｄ ； ， 因 为 ＺＤＣ 是 有 理 ｃ
数， 所以 ｃ ｏ 也为有理数 。
１
经过学生的详 细测 量与计算 发现 ， 中位线 Ｂ １ ＢＣ ， Ｆ Ｇ ＝
２
１ １
对于 （ ２ ） 的证 明则采 用归纳法 进行论 证 ， 也就是 ｃ ｏ ｓ ｒ ｔ Ａ 为 Ａ曰 ， Ｇ ＝ Ａｃ， 几乎所有 的学生都得 出了这样 的测量结果 ， Ｚ Ｚ 有理数的具体证 明过程 。 说 明了中线 同底边的关系 ， 归纳得出 ： 三角形的中线是底边长 的 ２ ． 归纳法在勾股定理证明 中的应用 半。 勾股定理以其 简单 、便捷 的逻辑关系呈现 了直角三角形的 ２ ． 实例引导 ， 归纳总结 两条直角边长与斜边长的关 系， 体现了数形结合 的思想 。 归纳法在 于通过对某一数学关 系中特殊例子的运用总结出 例 ２ 证 明勾股定理 。 勾股定理概念的内容阐述为 ：任何一个 直角三角形两条直 其中的一般规律 ，是人们对客观事物或规律的认知的体现。教 可 以将 这一思想纳入数学 概念 角边平方 之和等于斜边 的平 方 ，即直角三角形 Ａ 曰 Ｃ中 ，如果 师在教学数学概念知识 的时候 ， 教学 中， 使学生经历认识 事物的过程 ， 让他们 的思维得 到锻炼 ， Ｃ ＝ ９ ０ 。那么直角对应边 ｃ与两锐角对应 边 ａ 、 ｂ的关 系为 ｃ ｚ ＝ 逐步掌握归纳法 的数学思维 。 ａ ２ ＋ ｂ ． 归纳法还 可以被应用到其他数学概念 的证 明中，教师要善 为了能够让学生更加深入地理解这一原理 ，可以通过归纳 于灵活运用这一数学方法 ， 使学 生认识到数学概念的形 成过程 ， 法来证明 ， 具体的过程如下 ： 从而加深对数学概念 的理解和掌握 ， 提高学生 的学习效率。 欲证 明 Ｒ ｔ △ Ａ Ｂ Ｃ中 Ｃ ２ ＝ ａ ％ ｂ ２ （ ａ ， ｂ ， ｃ 都为正数 ） 对 于任何正 利用归纳法进行数学概念教学的 目的就是重新呈现概念的 数都成立 ，只需证 明 ｃ Ｚ ＝ ｓ ｉ ｎ ２ Ａ・ Ｃ ２ ＋ ｓ ｉ ｎ ２ Ｂ・ ｃ 对于 任何正数都成 形成与证 明过程 ，使学 生掌握概念 的性质。这能让学生更加深 立， （ 由于 ｓ ｉ ｎ Ａ＝ 旦 ｓ ｉ ｎ Ｂ ＝ ｏ ， 所以ｎ ＝ ｓ ｉ ｎ Ａ・ ｃ ， ｂ ＝ ｓ ｉ ｎ Ｂ・ ｃ ） 刻地理解概念 、 灵活运用概念解决问题 ， 同时也能够 强化学生 的 Ｃ Ｃ 数学思维能力 。 归纳法证明 ：
数学归纳法及应用举例2
(2).假设n=k时命题成立 即
1 1 1 k 1 2 2 3 k (k 1) k 1
那么n=k+1时, 1 1 1 1 1 左边 (1 2 ) ( 2 3 ) ( k 1 k 2 )
1 k 1 =右边, k 2 ( k 1) 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课 1．在等差数列 {a n } 中，已知首项为 a1，公差为 d ， a1 a1 0 d , a2 a1 1 d , a3 a1 2 d , a4 a1 3 d , a n ? 归纳
a n a1 ( n 1)d
2
2 2
推理变形为1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)
2.1 数学归纳法及其应用举例
例题讲解
2 例1 用数学归纳法证： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．
（2）假设当 n k 时，等式成立，就是 1 3 5 ( 2k 1) k 2 . 那么 1 3 5 ( 2k 1) [2( k 1) 1]
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课
如果{a n } 是等差数列，已知首项为 a1，公差为 d ，那么 a n a1 ( n 1)d 对一切n N 都成立．
左边 a1 , 右边 a1 0 d a1 , 证明：（1）当n=1时， 等式是成立的． （2）假设当n=k时等式成立，就是a k a1 ( k 1)d , 那么 a k 1 a k d
[a1 (k 1)d ] d a1 [(k 1) 1]d
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
归纳思想在初中数学教学中的运用方法
归纳思想在初中数学教学中的运用方法在初中数学中，几何部分主要采用推理论证的研究方法，代数中由于尚未学习掌握数学归纳法，所以较多地采用了不完全归纳的方法。
因此，初中代数教学中渗透归纳的思想方法有着大量机会。
正确地进行归纳，首先依赖于所举的具体事例是否具有代表性；其次依赖于对这些事例的观察、比较是否细致、准确，能否揭示事物的本质。
初中代数教学中渗透归纳思想方法，应该十分注意这两个方面。
在数学教材中采用归纳的地方很多，就表述方式上有以下几种：一、“看下面的例子……（若干个具体例子）综合以上各种情况，得到……”这种叙述方式较为典型地体现了归纳的思想方法在“有理数及其运算”这一章中，探索有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方法则的过程均采用这种叙述方式。
明确地告诉学生：这里使用的就是一种归纳的方法。
所谓“综合以上各种情况”，一是要把“各种情况都列举出来，不能有遗漏。
这又依赖于正确地对事物进行分类；二是要会“综合”，即准确地透过现象认识本质，进行归纳。
如，在探索有理数加法法则时，要引导学生观察课本所举的六种情况中，“和”的符号，绝对值对加数的符号，绝对值之间有什么关系。
再如，对于有理数乘法法则，课本共举了五种情况，具体处理时，则先提出并解决两个问题：3×2＝6，（-3）×2＝-6，通过比较这两种情况得到结论——把一个因数换成它的相反数，所得积是原来的积的相反数，然后，再利用这个结论研究其他情况，直到归纳得到法则。
在具体教学实践中，我们应该体会到这样编排的作用。
二、“从……可以看出……”这种叙述方式的特征是，借助一到两个例子，由具体到抽象得到某个结论以“去括号”的法则为例，课本通过计算验证两个算式，得到了去括号法则。
教师在教学中可向学生指出：如果把这些等式的左边看成4+（+3）（x-1）＝4+3x-3，与4+（-1）（x-1）＝4-x+1，那么不难根据乘法分配律得到正确结论，这种已有知识联系，将有助于学生的思维从合情合理到更加确信并掌握了去括号法则。
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １１浅谈数学归纳法在中学数学中的应用浅谈数学归纳法在中学数学中的应用Һ李英爽㊀郭㊀微㊀（北华大学数学统计学院，吉林㊀吉林㊀１３２０１３）㊀㊀ʌ摘要ɔ在中学数学中，数学归纳法是比较常用的证明方法，虽然它仅适用于一些与正整数相关的数学命题，但是在中学数学中的地位十分重要．为了帮助学生更好地了解数学归纳法的主要应用，本文首先介绍了数学归纳法的概念，然后给出了数学归纳法在解决问题时采用的步骤，最后列出数学归纳法在中学数学中的主要应用并举出相关的例子进行说明．ʌ关键词ɔ数学归纳法；中学数学；应用数学归纳法表面看着很简单，形式固定，但是很多学生难以理解其本质．有的同学在使用数学归纳法时完全靠生硬的记忆，不能掌握其真正的思想．那么，应该怎样理解数学归纳法的主要思想，解决问题时数学归纳法分哪几步，在中学数学中它都有哪些应用？本文就是在理解数学归纳法的概念，了解数学归纳法解题步骤的基础上，论述数学归纳法在中学数学中的主要应用，帮助学生使用数学归纳法证明一些复杂的命题．一㊁数学归纳法的概念数学归纳法是一种数学证明方法，主要用于证明某个命题在自然数范围内成立．在自然数之外的一些数学定理的证明也可以使用数学归纳法．数学归纳法在中学数学中是一种比较严谨的推理方法，主要用来解决与整数相关的数学问题，如证明一些等式和公式成立．二㊁数学归纳法的步骤数学归纳法在应用时分两步进行：第一步，证明命题在常数的情况下成立．从数学的角度看，命题在常数的情况下成立，那么命题在特殊的情况下也成立，这是证明命题成立的基础，是最基本的步骤，在实际解决问题中，通常用 １ 作为证明命题的起点．第二步，证明命题在任意常数下都成立．在实际解决问题中，我们通常采用未知数ｋ来代表一般情况．在ｎ＝ｋ的情况下命题成立，然后推导出ｎ＝ｋ＋１的时候命题也成立．这是证明命题成立关键的一步，同时它也代表着所要证明的结论具有普遍性．在归纳分析的时候，要将特殊的情况推广到一般的情况才能证明命题的正确．总的来说，数学归纳法的基本思路就是通过归纳总结来证明命题的成立．数学归纳法的第一步是很容易进行验证的，就是证明命题在特殊情况下成立．但归纳法的第二步是有点难度的，也是最核心的步骤．利用数学归纳法证明命题时，只有在这两步同时成立的情况下，才能证明命题正确．下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中比较常见的应用，加深学生对数学归纳法的理解．三㊁数学归纳法的应用数学归纳法可以解决很多类型的问题．下面主要介绍数学归纳法在恒等式和不等式证明中的应用，以及在数列㊁几何问题㊁整除性问题中的应用．（一）数学归纳法在恒等式证明中的应用利用数学归纳法进行恒等式证明时，整个过程只需做到等式两侧的数值相等．例１㊀证明：ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋ ＋（３ｎ－２）＝（２ｎ－１）２（ｎɪＮ∗）．证明㊀当ｎ＝１时，左边＝１＝（２ˑ１－１）２＝右边，等式成立．假设当ｎ＝ｋ时，等式同样成立，即ｋ＋（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）＝（２ｋ－１）２，则当ｎ＝ｋ＋１时，有㊀（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）＋（３ｋ－１）＋３ｋ＋（３ｋ＋１）＝［ｋ＋（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）］＋８ｋ＝（２ｋ－１）２＋８ｋ＝４ｋ２＋４ｋ＋１＝（２ｋ＋１）２＝［２（ｋ＋１）－１］２，也就是说，当ｎ＝ｋ＋１时等式成立，所以等式对于任意一个正整数ｎ都满足．（二）数学归纳法在不等式证明中的应用应用数学归纳法解决不等式的证明问题时，可以对不等式两边的形式观察分析，特别是不等式左边的形式，然后再找出当ｎ＝ｋ和ｎ＝ｋ＋１时左式的差异，弄清这些是解决这类问题的关键．例２㊀证明：１＋１３＋１５＋ ＋１２ｎ－１ɤ２ｎ－１（ｎɪＮ∗）．证明㊀当ｎ＝１时，不等式显然成立．假设当ｎ＝ｋｋȡ１，ｋɪＮ∗()时，不等式同样成立，即１＋１３＋１５＋ ＋１２ｋ－１ɤ２ｋ－１，则当ｎ＝ｋ＋１时，左边＝１＋１３＋１５＋ ＋１２ｋ－１＋１２ｋ＋１ɤ２ｋ－１＋１２ｋ＋１＝２ｋ－１２ｋ＋１＋１２ｋ＋１ɤ（２ｋ－１）＋（２ｋ＋１）２＋１２ｋ＋１. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １１＝２ｋ＋１２ｋ＋１＝２ｋ＋１，即ｎ＝ｋ＋１时，不等式成立．所以不等式对于任意一个正整数ｎ都成立．（三）数学归纳法在数列中的应用有时应用数学归纳法解决数列的有关问题时，相对于其他方法思路可能要更通畅一些．例３㊀设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ．已知ａ１＝１，２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），求：（１）ａ２的值；（２）数列｛ａｎ｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明；（３）求数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ．解㊀（１）将ｎ＝１代入２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），得ａ２＝４．（２）由于ａ１＝１，２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），可以求出ａ２＝４，ａ３＝９，ａ４＝１６，ａ５＝２５，ａ６＝３６， 由此猜想：ａｎ＝ｎ２．下面用数学归纳法进行证明：１）当ｎ＝１时，ａ１＝１２＝１，命题成立．２）假设当ｎ＝ｋ（ｋɪＮ∗）时命题成立，即ａｋ＝ｋ２成立，则当ｎ＝ｋ＋１时，有㊀ａｋ＋１＝２Ｓｋｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２ａ１＋ａ２＋ ＋ａｋ()ｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２１２＋２２＋ ＋ｋ２()ｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２ｋˑｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）６＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝ｋ２＋２ｋ＋１＝（ｋ＋１）２．即当ｎ＝ｋ＋１时命题也成立．综上可知，ａｎ＝ｎ２对于任何ｎɪＮ∗都成立．（３）由（２）知ａｎ＝ｎ２（ｎɪＮ∗），则ａｎ＋１＝ｎ＋１()２＝ｎ２＋２ｎ＋１，又因为２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３，则Ｓｎ＝ｎ２㊃ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３()＝ｎ２㊃ｎ２＋２ｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３()＝ｎ２㊃２３ｎ２＋ｎ＋１３()＝１３ｎ３＋ｎ２２＋ｎ６．（四）数学归纳法在几何问题中的应用数学归纳法不仅适用于平面的几何问题，也适用于部分立体几何问题．下面举例说明数学归纳法在几何问题中的应用．例４㊀设多个圆心在同一条直线且两两相交的半圆，试求：这些半圆的交点最多将半圆分割成多少个圆弧？解㊀设半圆个数为ｎ，最多分割圆弧的个数为函数ｆ（ｎ），如图１所示，可知当ｎ＝２时，ｆ（ｎ）＝ｆ（２）＝４＝２２．当ｎ＝３时，为了让三个半圆相交得到的圆弧最多，就应该让第三个半圆和前两个半圆都相交，如图２所示，可得ｆ（３）＝９＝３２．同理可知，当ｎ＝４时，ｆ（４）＝１６＝４２．因此猜想有ｎ个半圆时，最多可以将半圆分割成ｆ（ｎ）＝ｎ２个圆弧．图１㊀㊀㊀图２用数学归纳法进行证明：当ｎ＝２时命题成立．假设当ｎ＝ｋ时命题成立，即ｆ（ｋ）＝ｋ２．也就是说，当直线一边有ｋ个两两相交的半圆时，最多可以分割成ｋ２个圆弧．当ｎ＝ｋ＋１时，求第ｋ＋１个半圆与之前的ｋ个半圆都相交时可以得到最多的圆弧．此时，原来前ｋ的半圆都被第ｋ＋１个半圆割出了一条新圆弧，有ｋ条圆弧，第ｋ＋１个半圆都被原来所有的半圆分割成了ｋ＋１个圆弧，因此ｆ（ｋ＋１）＝ｋ２＋ｋ＋ｋ＋１＝（ｋ＋１）２，故当ｎ＝ｋ＋１时命题成立．即当有ｎ个半圆时，可以将半圆最多分成ｆ（ｎ）＝ｎ２个圆弧．（五）数学归纳法在整除性问题中的应用利用数学归纳法解决整除性问题，首先需要知道一些整除性方面的知识，即如果ａ能被ｃ整除，那么ａ的倍数ｎａ也能被ｃ整除；如果ａ，ｂ都能被ｃ整除，那么它们的和或差ａʃｂ也能被ｃ整除．例５㊀证明：ｆ（ｎ）＝（３ｎ＋１）㊃７ｎ－１（ｎɪＮ∗）能被９整除．证明㊀当ｎ＝１时，ｆ（１）＝（３＋１）㊃７－１＝２７，２７显然能被９整除，故命题成立．假设当ｎ＝ｋ时，原命题成立，即ｆ（ｋ）＝（３ｋ＋１）㊃７ｋ－１能被９整除，则ｆ（ｋ＋１）－ｆ（ｋ）＝［（３ｋ＋４）㊃７（ｋ＋１）－１］－［（３ｋ＋１）㊃７ｋ－１］＝９㊃（２ｋ＋３）㊃７ｋ，故ｆ（ｋ＋１）＝ｆ（ｋ）＋９㊃（２ｋ＋３）㊃７ｋ能被９整除．综上可知，对于一切ｎɪＮ∗原命题都恒成立．结束语数学归纳法是中学数学中比较重要的学习内容，是证明命题成立的重要方法之一，它的核心就是递推思想，它可以很好地弥补不完全归纳法的不足，在多个教学环节得到了广泛应用．ʌ参考文献ɔ［１］田定京．数学归纳法在高考数列题中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１３，（２１）：７９．［２］王治平．例谈数学归纳法的应用［Ｊ］．高中数学教与学，２０１７，（１）：４５－４６．［３］张搏翰．数学归纳法在几何解题中的应用［Ｊ］．中学数学，２０１７，（１１）：７３－７４．. All Rights Reserved.。
浅析数学归纳法原理及应用举例_3
浅析数学归纳法原理及应用举例陕西省延安市第一中学 王雪娟 （邮编：727400）【摘 要】数学归纳法是中学数学中一种重要的证明方法，在不少问题的证明中，它有着其他证明方法所不能替代的作用。
本文一方面浅谈数学归纳法原理；另一方面浅析在理解原理的前提下如何进行灵活应用。
【关键词】数学归纳法 递推 归纳假设 证明归纳法是指由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，它分为不完全归纳法和完全归纳法。
不完全归纳法是根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法，其结论不一定正确。
完全归纳法是通过研究事物的所有特殊情况得出结论的推理方法，其结论一定正确，但对于无穷多个实例的情况，我们不可能做到一一验证。
而数学归纳法它不仅克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，又克服了完全归纳法的繁杂不可行，充分体现了利用“有限”的手段解决“无限”的问题，将无穷的归纳过程转化为有限的特殊演绎过程。
在具体的教学实践中，学生往往只知其然不知其所以然，只是机械套用两个步骤，而对其真正内涵并不理解。
本文就结合教学实践浅谈数学归纳法的来源、理论根据及具体应用。
一、 数学归纳法的来源最初人们对于正整数只是处理有限个的问题，但正整数集是一个无限集，人们不可能写出所有的正整数，无法对其作无限次的操作，因此人们只有通过某种方法沟通有限与无限，来研究涉及无限集的问题，那就是数学归纳法。
已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolycos 的Arithmeticorum libriduo （1575年），Maurolycos 利用递推关系巧妙地证明了“前n 个奇数的和是2n ”但他仅仅是用例子加以说明并未对方法作出清晰地表述。
最先明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的是法国数学家帕斯卡，他在《论算数三角形》（1645年）中用数学归纳法证明了“帕斯卡三角形”等命题，他最先清楚而明确的指出数学归纳法的两个步骤，即第一引理：该命题对于第一个底成立，这是显然的；第二引理：如果该问题对任一底成立，它必定对其下一个底也成立。
例谈数学思想方法在初中数学教学中的渗透
Ａ组 ：、 ２ ＝ 、 ６ ４ ｖ ５ ５ ／１ ＝ ／
Ｂ组 ：、 ４： 、 １ ９ ／６ ８ ／８ ＝
画 ，量 一 量 。 ）
师 ：通过检验你发现 了什么？可 以 得 出什 么结论 ？ （ 小组讨论 ） 通过小组讨论得 到 ：菱形 的四条边 是相等的 ，菱形 的Fra bibliotek 角线不等 。
课堂链接
ＫＥ ＡＮＧＬＡＮＪＥ Ｔ Ｉ Ｉ
３ 小 结 ．
相垂直 的 ，而且每条对 角线 好像 都平分
一
根相 比，大数 的算术平方根大 于小 数的 算术平方根。
（ ４）师 ：这个结论是 不是带有普遍 性 呢？我们再用几个其他 的数试一试 。 、 ／ ２ ３ 、 ＿２ ３ ６ ． ８ ／ ． ４
在等腰三角形 Ａ Ｄ中 Ｂ
因为 Ｂ ＝ １ Ｏ ０） 所以 Ａ 上 Ｂ Ｃ Ｄ，Ａ Ｃ平 分 Ｂ Ｄ Ａ
师：板书：一般地 ， ａ Ｏ ｂ Ｏ时 ， 当 ＞ ，＞ 如果 ａ ｂ ＞ ，那么、 ＿＞ ／ 。 ／ 、 上述教学案例 中，学生通过动手计
本教学案例把转化思想贯穿于整个
教 学过程的始终 ，导入时让学生通过联
效果 。
组对角。
上述教学 案例 中 ，学生始终处于观
（ ）师 ：平行 四边形有什么性质？ １ （ ２）师 ：这 节课 ，我们一起来研究 菱形的性质。
２探究 ．
察 、猜想 、检验 的探究 活动 中 ，不但 自
己发现 了菱形 的性 质 ，而且 还学会了通
过观察 、 猜想 、 检验获取新知识 的方法 ， 养成 了勤 于观 察思 考 、勇于提出猜想并 对猜想进行检验的学习态度。 （ 作者单位 ：江苏省南京市摄 山初 级 中学 ）
不完全归纳法在中招数学中的应用
不完全归纳法在中招数学中的应用
作者：李慧英
来源：《硅谷》2008年第24期
[摘要]不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。
不完全归纳法又叫做普通归纳法。
近几年，利用不完全归纳法探求规律题成为中招热点问题。
就中招数学考试中碰到的一些问题提出解决方案。
[关键词]不完全归纳法中招数学
中图分类号：O1-0文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2008）1220152－01
方法叫不完全归纳法。
由于一般结论是特殊情况下通过一定的抽象、概括、直觉等思维归纳得到的，因此，归纳法在发现规律上应用广泛，在考查学生的创新能力和实践能力方面有广阔的天地。
给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论，解题的思路是实施特殊向一般的简化，具体方法和步骤是：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。
下面通过举例来说明这些问题。
一、数字排列规律题
1．（05江苏省宿迁市）观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（）。
A．1B．2 C．3 D．4（答案是A）
2．（05枣庄市）100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
”。
例谈不完全归纳法在初中数学中的运用
例谈不完全归纳法在初中数学中的运用郧西县城关镇城北中学 徐华进不完全归纳法是指从一个或几个(但不是全部)特殊情况作一般性的结论的归纳推理。
这种归纳法是用一定数量数值为基础,进行分析探究,从中找出规律,并将此规律推广应用到一般情况下的计算和证明．在初中数学教材中，经常会用这种方法进行定义、公式、法则、定理的推导．学生在学习中,若能正确运用不完全归纳法,可提高分析、解决问题能力，发现、探索问题的能力。
下面略举几例说明它的运用；一. 在推导法则、定理中的运用1．利用不完全归纳法推导分式乘方的运算法则 根据乘方的意义和分式乘法法则，可得：①222)(b a bb aa b a == ②bbb aaa b a =3)(=33b a ③777)(b a bbbbbbb aaaaaaa b a ==……由此可推出，当n 为正整数时，=nba)( ban b a b a b a 个···⋯⋯=nn bn a n ba b bb a aa =⋯⋯⋯⋯ 个个····(b ≠0)即分式乘方要把分子、分母分別乘方２．利用不完全归纳法推导凸多边形内角和定律 将教材的推导过程整理成下表：通过引导学生填写上表内容,分析概括,总结归纳出多边形内角和定理:n 边形内角和等于1800×(n-2). 说明：本定理的推导，还可以在多边形内（或一边上）取任一点，分别连接多边形的顶点，也可仿照上述方法，得到同样的结论，可让学有余力的学生在课外去探讨。
二.在解题中的应用1 . 从计算结果中探究规律例 计算:⑴211- = 3 ⑵221111-=33 ⑶222111111-=333 ⑷222211111111-=3333 请根据上述规律写出下式的结果:21222....222211......11111个个n n -=______________. 分析：①从⑴至⑵式的左边可以看出：被开方数中被减数1的个数是减数2的二倍，其结果中3的个数是减数2的个数。
不完全归纳法数学例子
不完全归纳法数学例子不完全归纳法，这个词听起来好像很高大上，其实没那么复杂。
想象一下，你在打篮球，朋友说：“每次我投篮，都会进。
”一开始你可能觉得挺对的，因为他投篮的时候，确实进了好几次。
但是，后来你发现他有时候也会投失，这不就是不完全归纳法的典型表现吗？就像你对事情下结论的时候，只看了一部分的情况，却忽略了全貌，结果就会闹出笑话来。
再说说我的一位朋友，咱们叫他小明吧。
小明总是说自己是个“吃货”，不管什么地方的美食，他总能想尽办法去尝试。
结果有一天，他跟我讲：“每次我吃汉堡，都能找到最棒的那种。
”我就问他：“你尝过多少种？”他一愣，支支吾吾说：“十几种吧。
”可我心里明白，十几种根本不算多。
他就像是个只看见冰山一角的探险家，自以为自己找到了“终极美食”，其实只是个开始而已。
说到这，不少人可能会想，怎么才能避免这种情况呢？其实也不难，首先得多看、多问。
生活就像一场大冒险，咱们得把所有的线索都捡起来，才有可能找到真相。
小明就不懂这一点，最近他吃了一个特别辣的汉堡，结果“哎哟喂”了一整天，真是让人哭笑不得。
他偏偏把这次经验当成了“美食冒险”的一部分，觉得这也是个新尝试，真是活得潇潇洒洒的。
我觉得，这种不完全归纳法的思维方式在生活中处处可见。
比如，有一次，我去超市购物，看到一排排的香水，忽然想到了自己以前买过的一种，觉得它真不错。
我心里想着：“哎呀，这种香水肯定都很好。
”结果回来一喷，才发现，根本就不是我想的那个味道。
可我之前竟然对其他香水下了结论，这不就是典型的不完全归纳法吗？生活中还有很多这样的例子，比如说我们看新闻，总是会关注那些轰动一时的事件。
结果一段时间后，大家的讨论热度就慢慢降了下来。
我们以为了解了全部真相，实际上不过是媒体筛选出来的冰山一角。
时间一长，真相可能就变得模糊不清了。
所以，面对新闻和信息，我们得时刻保持清醒的头脑，别让片面的观点左右了我们。
再比如，咱们聊到学习，有的人觉得只要看几道题，自己就能掌握一门学科。
使用不完全归纳法要注意的问题
使用不完全归纳法要注意的问题使用不完全归纳法，这个词听起来可能有点复杂，不过别担心，今天咱们就用轻松的方式来聊聊这事儿。
不完全归纳法就是从一些特定的例子出发，推测出一个更一般的结论。
这就像你发现你家狗狗每次见到快递小哥都狂吠，你就推测“所有的狗都讨厌快递小哥”，听起来有点过了吧？这就是不完全归纳法的一种误用。
就好比说，你今天吃了三根香蕉，心里想着“我每天都得吃香蕉”，结果明天一口都不想碰，闹心不闹心？咱们再说说这个不完全归纳法的盲点。
比如说，你看到几个朋友都喜欢吃麻辣烫，然后你就得出“大家都爱麻辣烫”。
可你没想到，那些不爱麻辣烫的朋友其实可能就在旁边，没被你发现。
这就像你在朋友圈里看到的那种“人人都在吃草莓蛋糕”，可实际上也有人偏爱巧克力。
其实每个人的口味都不一样，这个道理放到推理上也是一样的。
看到的只是冰山一角，没看到更深的部分。
就像电影里，有些情节明明看着很精彩，但其实隐藏了更多复杂的故事。
咱们还得聊聊推理的局限性。
你觉得某种情况适用于所有人，结果真相却往往是“大海捞针”。
就像你看到一个同学考试成绩很好，心里想着“他肯定每天都熬夜复习”，可是实际上，他可能只是运气好而已。
再说一遍，归纳法虽然简单直接，但别把它当成真理。
用不完全归纳法下结论，就像给人下的赌注，往往是“博一博，单车变摩托”，说不准就要掉进坑里了。
使用不完全归纳法的时候，常常会掉入“过于乐观”的陷阱。
举个例子，你在网上看到一个视频，分享说“用这个方法减肥超级有效”，然后你心里想：“哇，那我也试试！”结果呢，你开始每天跟着做，结果体重没减，反而增了。
这就是典型的以偏概全，往往看到了光鲜的一面，却忽略了背后的辛酸。
这就好比你在超市看到广告写“买一送一”，可实际上，你只买到了一个，另外一个就消失了。
还有个点就是，时常会因为一些细微的差别而得出错误结论。
你可能看到一个人一周健身五次，就觉得“健身一定能让人变得更健康”，但是要是这个人每天吃的都是快餐，那结果就不一定了。
“不完全归纳法”在初中数学中的应用
第几列是确定它的常数项袁如第 躁 列袁则常数项为 躁袁所以
第 蚤 行第 躁 列的数为渊 蚤 原 员冤 灶 垣 躁援
例 猿摇 渊圆园园愿 年湖州冤 将自然数按以下规律排列袁则
圆园园愿 所在的位置是第摇 摇 摇 摇 摇 摇 行第摇 摇 摇 摇 列援
摇 摇 摇 摇 第 员 列摇 第 圆 列摇 第 猿 列摇 第 源 列摇 噎
产生新的微生物的个数院
猿 远 员圆 圆源 源愿 怨远 噎
第几天后最后一个微生物标号院
猿 怨 圆员 源缘 怨猿 员愿怨 噎
因为第 源 天最后一个微生物的标号为 怨猿袁所以标号
为 员园园 的微生物会出现在第 缘 天袁故答案应选 悦援
圆摇 不完全归纳法在野数列冶 规律题中的应用
例 圆摇 渊圆园园怨 年台州冤 将正整数 员袁圆袁猿袁噎从小到大
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根据奇数列的数的排列规律是递减的袁所以 圆园园愿 在第
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猿摇 不完全归纳法在野 图形冶 规律题中的应用
例 源摇 渊圆园园怨 年湖州冤 如
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浅谈“不完全归纳法“在教学中的运用
浅谈“不完全归纳法”在教学中的运用内容提要：“观察、实验、猜测、验证”都是学生获得知识的有效手段，而推理即是学生在学习过程中将零碎的知识变成系统性知识的重要手段。
“推理”本身又是一种相当严密的思维过程，它必须依赖正确的知识或理论作为基础。
因此，在教学中只有孤立的“推理”教学是不现实的，它必须与其它教学手段有机地结合起来。
“观察、实验、猜测、验证”为学生进行正确推理提供了知识的准备。
因此，要更好地运用不完全归纳法进行教学就必须将“观察、实验、猜测、验证”与“推理”有机地结合起来。
关键词：不完全归纳法、观察、实验、猜测、验证、推理。
正文：在小学数学教学过程中，培养学生的归纳推理能力，具有十分重要的意义。
它是小学生在学习过程中将零碎的知识变成系统性知识的一种能力；也是个体自我完善、发展的有效手段之一。
下面就“不完全归纳法”在教学中的运用，谈谈自己的认识。
所谓不完全归纳法是指根据一类中的部分对象具有某种属性，从而得出该类对象都具有某种属性的推理。
虽然该种归纳法未必具有逻辑上的严密性，然而，它作为一种重要的数学思想方法，在数学教学、解题研究中有着广泛的运用。
《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”。
在教学中，观察与实验是学生了解知识发现知识的重要手段；对知识的大胆猜测能使学生的学习目的更明确，激发学生的求知欲；对知识的验证，既能证明知识的真实性也能让学生体会到探索知识并获得成功的快乐；根据学生的探索与发现引导学生完成推理，这又是学生能在学习过程中将零碎的知识变成系统性的知识的重要手段。
“观察、实验、猜测、验证”都是学生获得知识的有效手段，而推理即是学生在学习过程中将零碎的知识变成系统性知识的重要手段。
“推理”本身又是一种相当严密的思维过程，它必须依赖正确的知识或理论作为基础。
因此，在教学中只有孤立的“推理”教学是不现实的，它必须与其它教学手段有机地结合起来。
不完全归纳法的例子和注意事项
不完全归纳法的例子和注意事项不完全归纳法，英文名为“Incomplete Induction”，是数学中一种重要的证明方法。
它与完全归纳法相似，但证明的是比完全归纳法更广泛的结论。
在应用中，不完全归纳法也十分常用。
本文将以不完全归纳法的例子和注意事项为题，列举一下，以帮助读者更好地理解这种证明方法的应用。
1. 证明所有自然数的和公式：1+2+3+...+n=(n(n+1))/2不完全归纳法证明该公式的基本思路如下：先证明当n=1时公式成立，然后假设当n=k时公式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2，接着证明当n=k+1时公式也成立。
2. 证明对于任意正整数n，它的二进制表示中1的个数是奇数或偶数对于这个问题，不完全归纳法的证明思路如下：首先证明当n=1时结论成立，然后假设当n=k时结论成立，即k的二进制表示中1的个数是奇数或偶数。
接着证明当n=k+1时结论也成立，即k+1的二进制表示中1的个数也是奇数或偶数。
3. 证明任意正整数n都可以表示为三个整数的平方和这里的“平方和”指的是三个数的平方和。
不完全归纳法证明该结论的思路如下：首先证明当n=1时结论成立，然后假设当n=k时结论成立，即k可以表示为三个整数的平方和。
接着证明当n=k+1时结论也成立。
4. 证明任意正整数n都可以表示为若干个连续正整数之和不完全归纳法证明该结论的思路如下：首先证明当n=1时结论成立，然后假设当n=k时结论成立，即k可以表示为若干个连续正整数之和。
接着证明当n=k+1时结论也成立。
5. 证明n个点的完全图至少有一条边是跨越中心点的不完全归纳法证明该结论的思路如下：首先证明当n=3时结论成立，然后假设当n=k时结论成立，即k个点的完全图至少有一条边是跨越中心点的。
接着证明当n=k+1时结论也成立。
6. 证明在一个有向图中一定存在一个点，从该点出发可以到达所有其他点不完全归纳法证明该结论的思路如下：首先证明当有向图只有一个点时结论成立，然后假设当有向图有k个点时结论成立，即存在一个点，从该点出发可以到达所有其他点。
不完全归纳法的应用举例_张昌金
o解题思路与方法o不完全归纳法的应用举例张昌金(四川省内江市第二中学,641000)不完全归纳法是通过对一类事物中的部分个体的研究,推断出这一类事物的一般性结论的推理方法.不完全归纳法的过程通常是:选取个体)))观察分析)))推测结论.不完全归纳法对于发现问题的结论和探索解题思路有独到的作用,对于解选择题和填空题十分适用,对于某些与自然数有关的解答题也可帮助探索,但要用数学归纳法证明.下面通过例题来说明不完全归纳法的应用.一、利用不完全归纳法解选择题例1已知数列{an}满足a n+1=a n-a n-1(n\2),a1=a,a2=b,记S n=a1+a2 +,+a n,则下列结论正确的是()C k-4 21<C k-221<C k-121.分析本题如直接利用组合数计算公式来解,将事倍功半.而利用二项式系数的增减性:C n21中C1021与C1121最大.当n[10,n I N时, C n21递增,又k-1>k-2>k-4,于是有k-1[10,k-4\0,k I N,4[k[11且k I N.注意,若C k-421<C k-221<C k-121改为C k-421<C k-2 21[C k-121或C k-421<C k-321<C k-121,则所列不等式有所差异.关于二项式性质应用的例子举不胜举,一般在求值(最值)、恒等式的证明、不等式的求解中应用较为广泛.若能熟记前面所列的二项式展开中系数的一些性质,则对解题将会起到事半功倍的效果.四、赋值法的应用例12若(3x-1)7=a0+a1x+a2x2 +,+a7x7,求值:(1)a0+a1+a2+,+a7;(2)a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)a1+a3+a5+a7.解(1)可令x=1,得a0+a1+a2+,+a7=27=128.(2)可令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=(-4)7=-16384.(3)、(4)由(1)、(2)得a0+a2+a4+a6=-8128,a1+a3+a5+a7=8256.评注上例二项式中只含有一个未知量,也可以有多个.如:求(2x-3y)200展开式的各项系数和.可令x=1,y=1解得.同样,求(1+a1)(1+a2)2(1+a3)3,(1+a n)n的展开式所有项系数和.可令a1,a2,a3,,,a n都等于1解得.赋值法在高考中也较多体现.例如,1997年上海市高考题:若(3x+ 1)n(n I N*)的展开式中各项系数和是256,则展开式中x2的系数是.#10#高中数学教与学2003年(A)a100=-a,S100=2b-a(B)a100=-b,S100=2b-a(C)a100=-b,S100=b-a(D)a100=-a,S100=b-a解a3=a2-a1=b-a,S3=a1+a2+a3=2b.a4=a3-a2=-a,S4=S3+a4=2b-a;a5=a4-a3=-b,S5=S4+a5=b-a;a6=a5-a4=a-b,S6=S5+a6=0, a7=a6-a5=a,S7=S6+a7= a.通过观察、分析,知an 、Sn都是每隔6项重复.所以由不完全归纳法,得a100=a4=-a,S100=16S6+S4=S4=2b- a.故此题选A.例2已知x I R+,不等式x+1x\2,x+4x2\3,,,可推广为x+ax n\n+1,则a的值为()(A)2n(B)n2(C)22(n-1)(D)n n解x+4x2=x2+x2+4x2\33x2#x2#4x2=3,x+27x3=x3+x3+x3+27x3\44x3#x3#x3#27x3=4,通过观察分析知:x+ax n\n+1中左边的第一项x应该分成n个xn,所以由不完全归纳法,得a=n n,从而此题选D.二、利用不完全归纳法解填空题例3(2000年全国高考题)设{an}是首项是1的正项数列,且(n+1)a2n+1-na2n+ a n+1a n=0(n=1,2,,),则它的通项公式a n =.解由2a22-a21+a1a2=0,得a2=12(a2=-1舍去).由3a23-2a22+a2a3=0,得a3=13(a3=-12舍去).由4a24-3a23+a3a4=0,得a4=14(a3=-13舍去).所以推测an=1n,代入等式验证,等式成立,故an=1n.例4(2002年四川省数学竞赛初赛试题)已知a1=3,a n-a n a n+1=1(n=1,2,,),An表示数列{an}的前n项之积,则A2002=.解由a1-a1a2=1,得a2=23,由a2-a2a3=1,得a3=-12,由a3-a3a4=1,得a4=3,通过观察、分析,知an是每隔3项重复.由a4-a4a5=1,得a5=23,,,所以由不完全归纳法,得A2002=667(a1@a2@a3)+a1=-664.三、利用不完全归纳法解探索性问题例5是否存在自然数m,使得f(n)= (2n+7)#3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出最大的m的值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.解由f(n)=(2n+7)#3n+9,得f(1)=36,f(2)=3@36,f(3)=10@36,f(4)=34@36.由不完全归纳法,推测m=36.下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时,显然f(1)能被36整除.(2)假设当n=k时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)#3k+9能被36整除.当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]#3k+1+9#11#第8期高中数学教与学=[(2k+7)+2]#3k#3+9=3[(2k+7)#3k+9]+18(3k-1-1)因为3k-1-1是2的倍数,所以18(3k-1-1)能被36整除.于是由归纳假设可知当n=k+1时, f(n)也是36的倍数.由(1)、(2)知,对一切正整数n,f(n)= (2n+7)#3n+9都能被36整除.由于f(1)=36,故所求的最大的m值是36.四、利用不完全归纳法比较大小例6已知数列{bn}的通项b n=3n-2,数列{a n}的通项a n=log a1+1b n(其中a>0,且a X1),数列a n的前n项和为S n.试比较Sn 与13log a b n+1的大小.解由bn=3n-2,知S n=log a(1+1)+log a1+14+,+log a1+13n-2=log a(1+1)1+14,1+13n-2,又13log a b n+1=log a33n+1,因此要比较Sn 与13log a b n+1的大小,可先比较(1+1)1+14,1+13n-2与33n+1的大小.当n=1,有1+1>33@1+1;当n=2,有(1+1)1+14>33@2+1;当n=3,有(1+1)1+141+17>33@3+1, ,(1+1)1+14,1+13n-2>33n+1.(*)若(*)式成立,则由对数函数性质可判定:当a>1时,Sn>13log a b n+1.当0<a<1时,Sn<13log a b n+1.下面用数学归纳法证明(*)式.(i)当n=1时,显然成立.(ii)假设当n=k(k\1)时,(*)式成立,即(1+1)1+14,1+13k-2>33k+1.那么,当n=k+1时,(1+1)1+14,1+13k-2#1+13(k+1)-2>33k+11+13k+1=33k+13k+1(3k+2).^33k+13k+1(3k+2)3-[33k+4]3=(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2(3k+1)2=9k+4(3k+1)2>0,_33k+13k+1(3k+2)>33k+4,_(1+1)1+14,1+13k-2#1+13(k+1)-2>33(k+1)+1.所以当n=k+1时,(*)式成立.由(i),(ii)知(*)式对于任何正整数n都成立.因此当a>1时,Sn>13log a b n+1;当0<a<1时,Sn<13log a b n+1.#12#高中数学教与学2003年。
不完全归纳法的不合适例子
不完全归纳法的不合适例子（实用版）目录一、引言二、不完全归纳法的定义和作用三、不完全归纳法的不合适例子四、结论正文一、引言不完全归纳法是数学归纳法中的一种形式，它是由归纳法的基本思想演变而来的。
不完全归纳法的主要作用是证明一些无法通过完全归纳法证明的数学问题。
然而，不完全归纳法并非适用于所有问题，它也存在一些不合适的例子。
本文将探讨不完全归纳法的不合适例子，并分析其原因。
二、不完全归纳法的定义和作用不完全归纳法是一种证明方法，它主要分为两个部分：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是用来证明基础情况成立的，而归纳步骤则是用来证明归纳假设成立的。
不完全归纳法的主要作用是证明一些无法通过完全归纳法证明的数学问题。
三、不完全归纳法的不合适例子不完全归纳法虽然可以解决一些特殊的数学问题，但它并非适用于所有问题。
以下是不完全归纳法的一个不合适例子：问题：证明对于任意正整数 n，都有 n^2 > n。
解：我们可以通过不完全归纳法来证明这个问题。
基础步骤：当 n=1 时，1^2=1>1，成立。
归纳步骤：假设当 n=k 时，k^2>k 成立。
我们需要证明当 n=k+1 时，(k+1)^2>(k+1) 成立。
然而，这个例子并不适合使用不完全归纳法。
因为当 n=2 时，2^2=4，而 2<4，即 n^2 不一定大于 n。
因此，不完全归纳法在这个问题上并不适用。
四、结论不完全归纳法虽然可以解决一些特殊的数学问题，但它并非适用于所有问题。
对于一些特定的问题，我们需要寻找其他的证明方法。
不完全归纳法(共10张PPT)
1的正△
转,你能发现P点坐标变化的规律吗? （2）通过猜想，请写出第n个图形中正方形的个数和火柴棒的根数之间的关系；
(2) 请确定2007所在的行数和列数； 例3 如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在P1，P2，P3，P4，
不完全归纳法
不完全归纳法在“图形〞规律题中的应用
例1 观察下面的火柴棒的根数与正方形个数的关系，探究 其中的规律：
……
①②
③
④
（1）请写出第⑤个图形中正方形的个数和火柴棒的根数； （2）通过猜想，请写出第n个图形中正方形的个数和火柴棒 的根数之间的关系；
（3）用这个关系式去验证第⑥个图形中正方形的个数和 火柴棒的根数之间的关系。
第5列 4
12
……
……
(1)请你在第四行中对应的表格内填入适当的正整数；
(2) 请确定2007所在的行数和列数；
(3)假如给你一个任意的正整数，请通过归纳猜想，用 简洁
的语言或式子来表述这个数所在的行数和列数。
不完全归纳法在“数形结合型〞规律题中的应用
例3 如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转 2006次，点P依次落在P1，P2，P3，P4，
（例24）（通20过02猜年想荆，门请）写有出边第P长n为个1图的形等中边正三方角形形的个卡数片和若火干柴张棒，的使根用数这之些间三P的角3 关形系卡；片拼出边长为2，3，4，……的等边三P角6 形（如图），根据图形猜想
，每个等边三角形所用三角形卡片总数s与边长n的关系式是_______________. (3)假如给你一个任意的正整数，请通过归纳猜想，用 简洁的语言或式子来表述这个数所在的行数和列数。 例4 （2002年荆门）有边长为1的等边三角形 卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长为2，3，4，……的等边三角形（如图），根据图形猜想 ，每个等边三角形所用三角形卡片总数s与边长n的关系式是_______________.
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例谈不完全归纳法在初中数学中的运用
郧西县城关镇城北中学 徐华进
不完全归纳法是指从一个或几个(但不是全部)特殊情况作一般性的结论的归纳推理。
这种归纳法是用一定数量数值为基础,进行分析探究,从中找出规律,并将此规律推广应用到一般情况下的计算和证明．在初中数学教材中，经常会用这种方法进行定义、公式、法则、定理的推导．学生在学习中,若能正确运用不完全归纳法,可提高分析、解决问题能力，发现、探索问题的能力。
下面略举几例说明它的运用；
一. 在推导法则、定理中的运用
1．利用不完全归纳法推导分式乘方的运算法则 根据乘方的意义和分式乘法法则，可得：
①222)(b a bb aa b a == ②bbb aaa b a =3)(=33b a ③7
7
7)(b a bbbbbbb aaaaaaa b a ==……
由此可推出，当n 为正整数时，=
n
b
a
)( b
a
n b a b a b a 个
···⋯⋯=n
n b
n a n b
a b bb a aa =⋯⋯⋯⋯ 个个····(b ≠0)
即分式乘方要把分子、分母分別乘方
２．利用不完全归纳法推导凸多边形内角和定律 将教材的推导过程整理成下表：
通过引导学生填写上表内容,分析概括,总结归纳出多边形内角和定理:n 边形内角和等于1800
×(n-2). 说明：本定理的推导，还可以在多边形内（或一边上）取任一点，分别连接多边形的顶点，也可仿照上述方法，得到同样的结论，可让学有余力的学生在课外去探讨。
二.在解题中的应用
1 . 从计算结果中探究规律
例 计算:⑴211- = 3 ⑵221111-=33 ⑶222111111-=333 ⑷222211111111-=3333 请根据上述规律写出下式的结果:
2
1
222....222211......11111个个n n -=______________. 分析：①从⑴至⑵式的左边可以看出：被开方数中被减数1的个数是减数2的二倍，其结果中3的个数是减数2的个数。
解： 2
1
222....222211......11111个个n n -=
3
333个n ⋯ 说明：解此类题目关键是正确分析归纳出题中的结果数字与算式中数字之间的特殊关系，再从特殊推
广到一般.
2.从图形的特征中探究规律
例1 下列各三角形图案是由若干个五角星组成的，每条边（包括两个顶点）有n （n>1）五角星,每个图案中五角星的总数为s.按此规律推断:s 与n 的关系.
★ ★ ★
★ ★ ★ ★ ★ ★
★ ★ ★ ★ ★ ★ …… ★ ★ ★ ★ n=2，s=3 n=3 s=6 n=4，s=9 图(1) 图(2) 图(3
分析方法一:由于每条边上的五角星数包括了两个顶点,若每边按n 个计算,则重算了三角形三个顶点上的三个。
故有s=3n-3.
分析方法二：由图可知，每个图案上的五角星总数，随着各边上五角星的增多而增多，且前面一个图案中五角星总数总比其后面一个图案中五角星总数少3，因此可猜想：s=b n +κ，根据图（1）、图（2）中的条件就能求出k ，b 的值，再验证是否满足图（3）的条件。
解：设s=b n +κ，
把n=2，s=3；n=3，s=6分别代入上式，得
⎩⎨
⎧=+=+6
33
2b k b k 解得⎩
⎨
⎧=-=33
k b
∴s=3n-3
经检验：n=4，s=9也满足s=3n-3 所求s 与n 的关系为s=3n-3
例2 如图，ABC ∆中，A 1、A 2、A 3、……A n 是边AC 上不同的n 个点，首先连接BA 1，图中有3个不同的三角形，再连接BA 2图中共有6个不同的三角形
（1）连接到A n 时，请用n 的代数式表示图中共有三角形的个数。
（ 2）若出现45个三角形，则共需连接多少个点？
分析：通过观察图知，当AC 上有1个点A 1时，连接点B ，所得三角形的个数为（2+1）个；当AC 上有2个点A 1、A 2时，分别连接点B ，所得三角形的个数为（3+2+1）个，当AC 上有3个点A 1、A 2、A 3时，分别连接点B ，所得三角形的个数为（ 4+3+2+1）个；…… 由此可以推测出：当AC 上有n 个点A 1，A 2、A 3……A n 时，分别连接点B ，所得三角形的个数为[（n+1）+n+（n-1）+ ……+3+2+1 ]个
解：（1）当连接到A n 时，所得三角形总个数为： （n+1） +n+（n-1）+（n-2）+……+4+3+2+1 =[（n+1）+1]+（n+2）+（n-1+3）+……]
= )2(2
1
)]2()2()2[(++++⋯++++n n n n n 个 =
2
)
2)(1(++n n
（2）由题意，得2
)
2)(1(++n n =45
原方程化为：n 2
+3n-88=0
即（n+11）（n-8）=0
∴ n=8或n=-11 （负值不合题意，舍去） 答：当出现45个三角形时，共连接8个点。
说明：从例1、例2可以看出,解此类题目常常是先考虑特殊情况,由特殊情况下的结果,推导出一般情况下的结果,它是从特殊到一般的归纳推理,因此必须要求学生对所得出的结论要做出合理性的验证.学生往往会因所选取的数值不具有全面的代表性,使得结论产生错误.如下面的例子就说明了这一点.如：
∵552=
87.087.02= 002= …… ∴a a =2
这里学生忽略了a<0的情况,导致最后的结论不正确.
在初中数学的学习过程中，学生能够合理地运用数学不完全归纳法，能使所解决的问题变得简捷，并能够有效地提高探索发现问题的能力。
为此，教师应鼓励学生从多层次多角度去分析、思考，敢于大胆进行猜想，并通过观察、判断、归纳等一系列探索活动得出正确的结果。
二〇一八年十一月一日
B
A A 1 A2 A3 An。