北师版八年级数学-二次根式-知识点+练习题--详细

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第4讲二次根式(第1课时定义与性质)(8类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版8年级上册

是
．
【变式 1】（2023 春·吉林·八年级统考期中）若式子 5 a 在实数范围内有意义，则实数 a 的取值范围
是
．
x
【变式 2】（2023 春·江苏·八年级期末）使得 x 2 有意义的 x 的取值范围是
．
题型 02 求二次根式的值
【典例 1】（2023 春·浙江温州·八年级校考期中）当 a 1时，二次根式 7 a 的值是
A．2
B． 2
C． 2
D． 2
5．（2023·全国·八年级假期作业）已知 3n 是正整数，则自然数 n 的最小值为（）
A． 0
B． 2
C． 3
D．12
6．（2023 春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图， a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示，化简
a2 b (b c)2 的结果是（）
．
2
【变式 1】（2023 春·江苏·八年级期末）计算： 2
； (2)2
．
【变式 2】（2023 春·河南信阳·八年级校考阶段练习）化简： (2 5)2
．
题型 05 二次根式的乘法
【典例 1】（2023 春·山东东营·八年级统考期末）计算 8 12 的结果是．【变式 1】（2023 春·山西吕梁·八年级统考期末）计算 12 3 的结果是
2
2
2 21 2 1 2
∴ 3 2 2 (1 2)2 1 2 ；请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1) 5 2 6 ； (2) 7 4 3
A． a 2b c
B． a c
C． a 2b c
D． a c
二、填空题
2
7．（2023 春·福建厦门·八年级统考期末）计算：（1） 3 =

北师版八年级上册数学第2章实数二次根式的混合运算

2．(2019·滨州)计算：－12－2－| 3－2|＋ 32÷ 118＝_2_＋__4__3__.
3．(2018·泰州)下列运算正确的是( D )
A. 2＋ 3＝ 5 B. 18＝2 3
C. 2· 3＝ 5
D. 2÷ 12＝2
4．(2019·重庆)估计 5＋ 2× 10的值应在( B ) A．5 和 6 之间 B．6 和 7 之间 C．7 和 8 之间 D．8 和 9 之间
【点拨】 5＋ 2× 10＝ 5＋2 5＝3 5. 因为 3 5＝ 45，36＜45＜49，所以 6＜ 45＜7.
5．(中考·聊城)计算5
15－2
45÷(－
5)的结果为(
A
)
A．5 B．－5 C．7 D．－7
【点拨】原式＝( 5－6 5)÷(－ 5)＝(－5 5)÷(－ 5)＝5.
6．计算：
(1)(2019·泰州) 8－
8．(2019·孝感)下列计算正确的是( A )
A．x7÷x5＝x2
B．(xy2)2＝xy4
C．x2·x5＝x10
D．( a＋ b)( a－ b)＝b－a
9．已知 a＝2 2＋3，b＝2 2－3 则：(1)a＋b＝4 2； (2)a－b＝___6_____；(3)ab＝___－__1___； (4)a2＋b2＝___3_4____；(5)a2－2ab＋b2＝___3_6____．
解：原式＝9－7＋2 2－2＋(2－ 3)[(2＋ 3)(2－ 3)]2 021 ＝2 2＋2－ 3.
12．已知 a＝ 51－2，b＝ 51＋2，求 a2＋b2＋7的值．
解：由已知得 a＝ 5＋2，b＝ 5－2，所以 a＋b＝2 5，ab＝1. 所以原式＝（a＋b）2－2ab＋7＝（2 5）2－2＋7＝5.

北师大版数学八年级上册二次根式的运算

的值. 解：由题意得 32mn21n2，3，解得
m
n
4, 3 1, 2
即 mn 4 1 6 .
32 3
归纳确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为 2 ，列关于待定字母的方程求解即可.
【变式题】如果最简二次根式 2 3a 8与 17 2a 可以合
并，那么要使式子 4a 2x 有意义，求 x 的取值范围.
3. 下列二次根式，不能与 12 合并的是__②__⑤___ (填
序号）.
① 48 ；②- 125 ；③ 11 ；④ 3 ；⑤ 18.
3
2
例7
已知 a，b，c 满足 a
2
8
b5 c3
2 0.
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 解分：析(：1)(1由)若题几意个得非a 负式8 的 2和2为，零b ， 5则，这c 几3个2非. 负式 (必2)然能都. 理为由零如；下(2：)根∵据2三2角＜3形2的＜三5，边即关a＜系c来＜判b.断.
又∵ a c 5 2 5，∴ a + c＞b.
∴ 能够成三角形，周长为 a b c 5 2 5.
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为
5 2，2 6，求其周长. 解：当腰长为 5 2 时， ∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴ 此时能构成三角形，周长为 10 2+2 6；当腰长为 2 6 时， ∵ 2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴ 此时能构成三角形，周长为 5 2+4 6.
C. 2 3 5
D. 4 5 5 5 20 5
3. 计算：

北师大版八年级数学上册第二章二次根式的计算

18
解：(1)
＝
3
(3)
1
35÷
3
15；
18
＝
6.
3
32
32
(2)
＝
＝
4＝2.
8
8
1
3
16 5
(3) 35÷ 15＝
5 ×8＝ 2.
3 ab3 3
(4)
2＝
2 ab 2
ab3 3
ab2＝2 b.
3 ab3
(4)
.
2 ab2
题型二
二次根式的加减
5 2
例 2：计算 8＋ 18的结果是________．
1
－ 2
变式 1：计算 8－6
的结果是__________．
2
变式 2：计算：(1)( 3＋ 2)－ 2； (2)2 3＋3 2－5 3－3 2；
(3)( 8＋ 12)－(2 3－ 2)．
解：(1)原式＝ 3＋ 2－ 2＝ 3.
(2)原式＝(2 3－5 3)＋(3 2－3 2)＝－3 3.
(3)原式＝(2 2＋2 3)－(2 3－ 2)＝2 2＋2 3－2
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：二次根式的乘除(重点)
1．乘法法则： a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘，
根指数不变，只把被开方数相乘．
注意：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要
注意：公式中a，b都必须是非负数；
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
8＋ 18
8
18
(5)
＝＋＝ 4＋ 9＝2＋源自＝5222
问题1：你能直接写出下列式子的结果吗？

二次根式的化简求值题(分层练习)(提升练)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题2.25二次根式的化简求值50题（分层练习）（提升练）1．已知x =，y =，求下列各式的值：(1)22x y -．(2)22252x xy y -+．2．（1）先化简，再求值：)(x x x x ++-，其中x =（2）已知x y =，试求代数式22252x xy y -+的值．3．（1（2；（3）已知2x =，求代数式((272x x ++4．（1）已知x =y =，求22x xy y ++的值；（275．已知x =y =，求代数式223x xy y -+的值．6．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：已知a =2281a a -+的值．他们是这样解答的：2=-∴2a -=，∴()223a -=，即2443a a -+=，∴241a a -=-，∴()()222812412111a a a a -+=-+=⨯-+=-．请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：(1)a =，则2281a a -+=．(2)若a =43443a a a --+的值．7．已知a =，b =8．先化简，再求值：(()1x x x x -+-，其中2x =．9．已知a =，b =求：(1)22a b ab -的值；(2)22a ab b ++的值．10．先化简，再求值：(()22323a a a a --+，其中3a =．11．先化简下式，再求值：()()2237752x x x x -+----，其中1x =+．12．先化简，再求值：153y x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中12x =，3y =．13，其中：3a =，2b =．14．已知．已知1,1a b ==．(1)代数式221a a -+的值为________；(2)求代数式22a b +值．15．已知a =，求代数式229a a -+的值．16．（1）已知1α=+，求代数式((241αα-+的值（2）已知4y =x y 的值．17．已知：x =y =，求22x xy y ++的平方根．18．已知a =，b =(1)22a b ab -(2)22a b +19．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知a =，求2281a a -+的值．他是这样解答的：∵2a ==∴2a -=．∴()223a -=，即2443a a -+=，∴241a a -=-，∴()()222812412111a a a a -+=-+=⨯-+=-，请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：(1)化简：=__________；=__________；(2)(3)若a =2481a a -+的值．20．已知1a =+，1b ，求22a b -和abb a+的值．21．某同学在解决问题：已知a =2362a a -+的值．他是这样分析与解的：1a ===+ ，1a ∴-=()212a ∴-=，2212a a -+=，221a a ∴-=，()223623223125a a a a ∴-+=-+=⨯+=，请你根据这位同学的分析过程，解决如下问题：(1)++ (2)若a =；①求2281a a --的值；②求3236216a a a --+的值．22．（1=，=；（2）已知x =((272x x ++（323．阅读材料：像))221⨯=()0a a =≥，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知a =2361a a --的值．”聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：因为1a ===所以1a -=所以()212a -=，所以2212a a -+=所以221a a -=，所以2363a a -=，所以23612a a --=请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：__________=______；2-的有理化因式是________=______；(2)若a =，求22123a a -++的值．24)0,0x y->>，其中1x =-，1y .25．先化简，再求值：(1a a a aa ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，其中a =26．已知x =，y =(1)求222x xy y ++的值．(2)若x 的小数部分为a ，y 的整数部分为b ，求ax by +的平方根．27．已知非零实数a ，b 满足=28．先化简，再求值：()()()22282x y x y x y --++，其中1x =1y =．29．已知12x =，求()33420252022x x --．30．已知1,10,15a b c ==-=-31．已知：12x x +=，求221x x+的值．32．已知8a b +=-，12ab =，求33．（1）已知a 、b4b +，求a 、b 的值．（2）已知实数a 满足2021a a -，求22021a -的值．34．已知x =y =，求代数式22x y +的值．35．先化简，再求值：()()()22 2222a b a b a b b ⎡⎤++-⎣⎦+-2069b b ++=．36．已知x =y =，求代数式22205520x xy y ＋＋的值．37．已知x =，y =．(1)求33x y xy +的值；(2)求y x x y +的值．38．若x ，y 为实数，且12y =39．已知x =y =．求：(1)x y +和xy 的值；(2)求22x xy y -+的值．40．已知x =y =，求下列各式的值：(1)22x y -(2)222x xy y ++．41．有这样一类题目：如果你能找到两个数m 、n ，使22m n a +=且mn =a ±将变成222m n mn +±，即变成2()m n ±(1)例如，∵222532+=++=++=，==______，请完成填空．(2)(3)利用上面的方法，设A =，B =，求A ＋B 的值．42．已知a =，b =，求b a a b+的值．43．先化简，再求值：⎛- ⎝，其中8x =，127y =．44．（12-+4x =．（2）已知x =y =，求22x xy y -+值．45．已知3y =+，若a b =a2+b 2+ab 的值．46．（1）已知x ，y ﹣2，求下列各式的值：①11x y +；②x 2﹣xy +y 2；（28＝．47．已知x =1x 的值．48．已知=x x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求2a b a b--+的值．49．（1）先化简，再求值：((26a a a a +---+，其中1a -．（2）已知2x =，2y =223x y xy+-50．已知a =b =（1）求22a ab b -+的值；（2）若a 的小数部分为m ，b 的小数部分为n ，求()()m n m n +－的值．参考答案1．(1)；(2)42【分析】（1）先求解x y x y +-，再利用平方差公式进行因式分解，再直接代入计算即可；（2）先求解()2x y xy ，+再利用完全平方公式进行变形求值即可.（1）解：∵x =y ，∴x y +=，x y -=∴()()22x y x y x y -=+-=；（2）解：∵x =y ，∴x y +=，2xy ==-∴()22222529yx y y x x y x =+--+(()229242=-´-=.【点拨】本题考查的是二次根式的求值，二次根式的加减乘法的混合运算，掌握“利用平方差公式与完全平方公式进行变形求解代数式的值”是解本题的关键.2．（15-，1-（2）42【分析】（1）先计算整式的乘法，再合并同类项，然后把x =（2）先利用x 、y 的值计算出x y -=2xy =-，再利用完全平方公式得到222252(2)x xy y x y xy -+=--，然后利用整体代入的方法计算．（1）解：)(x x x x ++-225x x =-+-5=-，当x =原式56512=-=-=-（2）解：∵x =y ，∴x y -=，352xy =-=-，∴222252(2)x xy y x y xy-+=--(()222=⨯--42=．【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用整体代入的方法可简化计算．3．（1（2）；（3）2【分析】（1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可；（3）直接把2x =((272x x ++++然后合并同类二次根式即可得到答案．解：（1）原式=（2）原式===（3）原式((27222=+-++-+()74343=+-+-+(7743=+-+-49481=-++2=【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．4．（1）11；（2）【分析】（1）先计算出x y xy +，值，再根据()222x xy y x y xy ++=+-，代入计算即可得到答案；（2x y ==，则2222727936x y x y a a +=+=-++=，，从而可以求出=33<解：（1） x =y =，x y ∴+==321xy ==-=，∴()222x xy y x y xy ++=+-(2111=-=；（2x y ==，则2222727936x y x y a a +=+=-++=，，∴()()222213xy x y x y =+-+=，∴()222223x y x y xy -=+-=，∴x y -==33<=【点拨】本题考查了运用完全平方公式的变形进行求值，注()222x xy y x y xy ++=+-以及整体思想的运用．5．3【分析】先将x 、y 的值分母有理化，再代入到原式2)x y xy --=(计算可得．解：1x == ，1y =，∴原式()2=--x y xy))21111=--41=-3=【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式分母有理化的能力．6．(1)1-；(2)4【分析】（1）仿照例题，可以求得所求式子的值；（2）仿照例题，将a 的值分母有理化，然后变形，即可求得所求式子的值．（1）解：2a ==+ ，2a ∴-()223a ∴-=，2443a a ∴-+=，241a a ∴-=-，()()22281241211211a a a a ∴+=+=⨯-+=---+=-，故答案为：1-；（2）解：2a =+ ，2a ∴-=，()225a ∴-=，2445a a +-∴=，241a a ∴-=，()43222244344314343134a a a a a a a a a a a ∴+=-+=⨯-++--=-=+=-，即43443a a a --+的值为4．【点拨】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确题意，利用类比的方法解答．7．【分析】先分母有理化求出a b 、的值，再利用完全平方公式将222a b ++变形为2()22a b ab +-+，然后代入求值即可．解：2a =，2b =，====．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值和完全平方公式的应用，熟练掌握化简方法和完全平方公式的变形是解题的关键.8．222x x --，32-．【分析】先用二次根式的混合运算法则化简，然后将2x =代入计算即可．解：(()1x x x x -+-，=222x x x -+-，=222x x --，当x =时，原式=22222--（）（），=()212422---），=32-．【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，正确运用二次根式的混合运算法则化简原式是解答本题的关键．9．(1)-；(2)11【分析】（1）根据二次根式的乘法法则求出ab ，根据二次根式的减法法则求出a b -，根据提公因式法把原式变形，代入计算即可；（2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．（1）解：a = ，b =321ab ∴==-=，a b -=-=-则22a b ab -()ab a b =-(1=⨯-=-；（2）22a ab b ++2223a ab b ab=-++()23a b ab=-+2(31=-+⨯83=+11=．【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键．10．26a a +，7-【分析】直接利用平方差公式以及二次根式的乘法将原式变形，进而合并同类项，进而把已知代入求出答案．解：原式2243363a a a =--++26a a =+，把3a 代入，得，原式))2336=+2918=+-7=-．【点拨】此题主要考查了平方差公式，多项式乘单项式以及二次根式的化简求值，正确化简原式是解题关键．11．224x x --，3-【分析】先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．解：()()2237752x x x x -+----2237752x x x x -+--++=224x x =--，当1x =+时，原式())2222415115253x x x =--=--=--=-=-．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键．12．【分析】先确定00，x y >>，再利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的加减法，最后将x ，y 的值代入计算即可得．解：由题意得：100y x x >>，，∴00，x y >>，则153y x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221153x y x x y ⎛⎛=⋅⋅-- ⎝⎝=-=当12x =，3y =时，原式6====【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．13．a b -，1．【分析】利用二次根式的性质和平方差公式化简，然后代入求值即可．221·ab =-a b =-a b =-，当3a =，2b =时，原式32=-1=．【点拨】题目主要考查二次根式的化简求值及平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．14．(1)3；(2)8【分析】（1）将221a a -+变形为()21a -，再代入a 的值求解即可；（2）将22a b +变形为()22a b ab +-，再代入a ，b 的值利用平方差公式和完全平方公式求解即可．（1）解：∵1a +，∴())222211113a a a -+=-=+-=，故答案为：3；（2）解：22a b +2222a b ab ab =++-()22a b ab =+-，当1,1a b =+=时，22a b +()22a b ab=+-)))211211⎡⎤=+-⎣⎦()12231=-⨯-8=．【点拨】本题考查二次根式的化简求值，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．15．13【分析】先对a进行分母有理化求出1a =，再把所求式子变形为()218a -+，再把1a =整体代入求解即可．解：∵a =，∴)())24141411511a ⨯+⨯+⨯+===+--，∴229a a -+2218a a =-++()218a =-+)2118=-+28=+58=+13=．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确求出1a =+并把所求式子变形为()218a -+是解题的关键．16．（1）2；（2）16．【分析】（1）把4-)21，再代入数据利用平方差公式计算即可求解；（2）根据二次根式有意义的条件得到20x -≥，20x -≥，求得2x =，4y =，再代入数据计算即可求解．解：（1）∵1α=，∴((241αα-+))()221111=+-))21111⎡⎤=--⎣⎦()()23131=---42=-2=；（2）∵4y =++4y =+∴20x -≥，20x -≥，∴2x =，4y =，∴2416x y ==．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．17．±【分析】先将x 、y 化简，然后即可得到x y xy +、的值，从而可以求得所求式子的值．解：∵25x ==+，25y==-∴(55105525241x y xy +=++-==+-=-=，，∴22x xy y ++222x xy y xy=++-()2x y xy =+-2101=-1001=-99=．∵99的平方根为±∴22x xy y ++的平方根为±【点拨】本题考查二次根式的化简求值，求一个数的平方根，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．18．(1)-；(2)14【分析】（1）先把a 、b进行分母有理化得到2a =-2b =+，进而求出a b -=-1ab =，再根据()22a b ab ab a b -=-进行代值求解即可；（2）根据()2222a b a b ab +=-+进行求解即可．（1）解：∵a =b =∴a=b =，∴2243a -==-2243b ==-∴22a b -=---(22431ab =+-=-=，∴22a b ab -()ab a b =-1=-=-（2）解：由（1）得a b -=-1ab=，∴()(22222212214a b ab a b =-+=-+=+=+．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出a b -=-1ab=是解题的关键．19．，1；(3)5【分析】（1）根据分母有理化的方法进行求解即可；（2）把各项进行分母有理化，从而可求解；（3）仿照所给的解答方式进行求解．（1）解：==；2⨯=（21=++1；（3）解：∵1a ==，∴1a -=∴()212a -=，即2212a a -+=，∴()224814211442148145a a a a -+=-++-=⨯+-=+-=．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．20．4【分析】将a ，b 的值分别代入要求的式子中，然后按照二次根式运算的法则计算即可．解：22221)1)44a b -=-=++=2222842a b a b b a ab ++=====．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题的关键．注意做这类计算题时，一定要细心．21．1；(2)①3-；②0；【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母，同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；（2）①将a =化简，再得到241a a -=-，再整体代入化简后的式子计算即可；②根据241a a -=-，将所求式子变形，再整体代入计算即可．（1+ 1=1=；（2）解：① 2a ==-2a ∴-=()223a ∴-=，2443a a -+=241a a ∴-=-，∴()()222812412113a a a a --=--=⨯--=-，②由①知241a a -=-，∴3236216a a a --+()()()2224246436a a a a a a a a a =-+-+-++()()()1216136a a a =⨯-+⨯-+⨯-++2636a a a =---++0=．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是明确题意，利用平方差和完全平方公式解答．22．（1）2，2；（2）2+（3）＞【分析】（1）根据二次根式的分母有理化可进行求解；（2）直接把x 的值代入求解即可；（3=解：（12142222-==-2；（2）∵x =，∴22x==∴((272x x ++((72=+⨯+⨯2=（3=；故答案为＞．【点拨】本题主要考查二次根式的运算及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算及分母有理化是解题的关键．23．2或2；2；(2)7【分析】（1）根据有理化因式的定义，进行求解即可；（2）根据题干给出的解题方法，进行求解即可．（1）解：∵321 =-=，=∵))()22341,22431=-=--=-=，22+或2，22=-=；2+或2；2；（2）解：∵(232332a+==+∴3a-=∴()237a-=，∴2697a a+=-，∴262a a-=-，∴22124aa-+=，∴221237a a-++=．【点拨】本题考查分母有理化．理解并掌握有理化因式的定义，是解题的关键．24．4【分析】利用二次根式的性质将原式化简，然后由平方差公式得出4xy=，代入求解即可．==，∵1x =-，1y =+，∴1)4xy ==，∴原式4==．【点拨】题目主要考查二次根式的化简及求代数式的值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键．25．223a -，3【分析】根据二次根式的混合运算法则，平方差公式和单项式乘多项式法则计算即可化简，再将a =代入化简后的式子计算即可．解：(1a a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭2221a a =-+-223a =-．当a =22232(33a =-=⨯-=．【点拨】本题考查二次根式的化简求值，涉及二次根式的混合运算，平方差公式和单项式乘多项式．熟练掌握各运算法则是解题关键．26．(1)20；(2)1±．【分析】（1）先分母有理化求出x 、y 的值，再求出x y +和xy 的值，最后根据完全平方公式进行变形，代入求出即可；（2）先求出x 、y 的范围，再求出a 、b 的值，最后代入求出即可．（1）解：12 2x ⨯==，2y =-，))22x y +=+-=，∴()(2222220x xy y x y ++=+==；（2）解；∵23，∴4＜25+＜，0＜21-＜，∵x 的小数部分为a ，y 的整数部分为b ，∴=a 24+-=2-，0y =，∴))2220541ax by +=+⨯=-=，∴ax by +的平方根是1=±．【点拨】本题考查了完全平方公式、分母有理化、估算无理数的大小、平方根等知识点，能求出x y +和xy 的值是解（1）的关键，能估算出x 、y 的范围是解（2）的关键．27．3【分析】利用因式分解将已知化为0=，得出a b =，然后代入所求代数式即可得解．解：非零实数a ，b 满足=，由题意可知0,0a b >>，220∴+=，∴=0,0a b >> ，0∴，=，a b ∴=，2332a a a a a a++=+-62aa =3=．【点拨】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、因式分解以及分式的性质是解答此题的关键．28．18xy -，18-【分析】根据完全平方差公式、多项式乘以多项式运算法则先运算，再根据整式加减运算法则，去括号、合并同类项即可得到化简结果，最后代值利用平方差公式求解即可得到结果．解：()()()22282x y x y x y --++()()22222448282x xy y x xy xy y =-+-+++22228828102x xy y x xy y =-+---()()()22228881022x x xy xy y y =-+--+-18xy =-，当1x =1y =时，原式)1811=-⨯2181⎡⎤=-⨯-⎢⎥⎣⎦()1821=-⨯-18=-．【点拨】本题考查整式化简求值，涉及完全平方差公式、多项式乘以多项式、整式加减运算、去括号法则、合并同类项、平方差公式及二次根式运算，熟练掌握相关运算法则及公式是解决问题的关键．29．1-．【分析】根据x =12x -=()22121442022x x x -=-+=，2442021x x -=，将原式化为()()3322444420212022x x x x x ⎡⎤-+---⎣⎦，再整体代入即可求解．解：∵12x =，∴112122x -=-⨯∴()22121442022x x x -=-+=，∴2442021x x -=，∴原式()()3322444420212022x x x x x ⎡⎤=-+---⎣⎦()32021202120212022x x =+--()31=-1=-．【点拨】本题主要考查二次根式的化简，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题关键．30．【分析】把已知数据代入代数式，根据二次根式的性质化简即可．解：∵1,10,15a b c ==-=-，===【点拨】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．31．5+【分析】根据2221112x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭进行计算求解即可．解：∵12x x +=，∴221x x +2112x x x x ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭(222=+-432=+-5=+【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，正确根据完全平方公式得到2221112x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭是解题的关键．32【分析】根据题意可判断a 和b 都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可．解：8a b +=-Q ，12ab =，∴a 和b 均为负数，()222240a b a b ab +=+-====b b a a-+-=22=22a b-+====3-=【点拨】此题考查的是二次根式的化简和完全平方公式的变形；掌握二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则是解决此题的关键．33．（1）5a =，4b =-；（2）2022【分析】（1）根据二次根式有意义的条件先求出a 的值，进而求出b 的值即可；（2）根据二次根式有意义的条件得到2022a ≥，2021=，两边平方即可得到答案．解：（14b +要有意义，∴501020a a -≥⎧⎨-≥⎩，∴5a =，4b =+，∴4b =-；（2）∵2021a a -要有意义，∴20220a -≥，∴2022a ≥，∴2021a a -=，2021=，∴220222021a -=，∴220212022-=a 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简绝对值，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．34．24【分析】先计算出x y +=2xy =-，，再利用完全平方公式变形得到()2222x y x y xy +=+-，然后利用整体代入的方法计算．解：∵x =y =，∴x y +=++=2xy =+=-，∴()(()222222220424x y x y xy +=+-=-⨯-=+=．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，代数式求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式化简二次根式．35+【分析】先根据整式的混合运算法则将所求整式化简，再根据算术平方根和偶次幂的非负性求出a 、b ，代入即可作答．解：()()()22+ 2+2+22a b a b a b b --⎡⎤⎣⎦()()22222442322a ab b a ab b b⎡⎤=+++-⎣⎦--()22222442322a ab b a ab b b =+++---()23a a b =+23b a a =+=+，2069b b ++=，()203b +=，0≥，()203b +≥，0=，()203b +=，∴20a -=，30b +=，∴=2a ，3b =-，将=2a ，3b =-3+中，原式()3332=+=+⨯-=【点拨】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，其中涉及到了算术平方根的非负性和完全平方公式等，解决本题的关键是牢记整式的混合运算法则．36．2015【分析】直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形，进而代入得出答案．解：∵x 25===-，y 25===+22205520x xy y ∴＋＋2220402015x xy y xy=+++()2220215x xy y xy=+++()22015x y xy=++((22055155252=⨯-++⨯-+()22010152524=⨯+⨯-2010015=⨯+200015=+2015=．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．37．(1)10；(2)10【分析】（1）先求出xy 及x +y 的值，再将33x y xy +因式分解，最后再整体代入求值；（2）先将y x x y+通分，再通过完全平方公式变形，最后代入求值．解：（1）x y ==1,xy ∴=⨯+=x y +==()33222()212110x y xy xy x y xy x y xy⎡⎤⎡⎤∴+=+=+-=⨯-⨯=⎣⎦⎣⎦（2）y x x y +22y x xy+=2()2x y xy xy+-=2211-⨯=10=【点拨】本题考查与二次根式相关的代数式求值问题，解题的关键是整体思想的应用．38．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x 的值，进而求出y 的值，然后代值计算即可．解：∵12y =要有意义，∴140410x x -≥⎧⎨-≥⎩，∴1144x ≤≤即14x =，∴1122y ==，∴122x y y x==，，==【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，正确求出x 、y 的值是解题的关键．39．(1)1；(2)9【分析】（1）根据二次根式的加法法则即可求出x y +，根据二次根式的乘法法则即可求出xy ；（2）先根据完全平方公式变成()2223x xy y x y xy =+--+，再代入求出答案即可．（1）解：∵x =y =，∴x y ==++321xy ⨯==-=．∴x y +的值为xy 的值为1．（2）∵x y +=1xy =，22x xy y -+()23x y xy=+-(231=-⨯123=-9=．∴22x xy y -+的值为9．【点拨】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题的关键．40．(1)；(2)12【分析】（1）先计算出x y +和x y -，再利用乘法公式得到()()22x y x y x y -=+-；（2）利用乘法公式得到222)2(x xy y x y =+++，然后利用整体代入的方法计算．（1）解：x =Q y =，x y ∴+=，x y -=()()22x y x y x y -=+-=（2）由（1）知x y +=∴22222()12x xy y x y ++=+==．【点拨】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式、平方差公式等知识点．题目难度不大，注意整体代入思想的运用．41．1-；(3)2+【分析】（1(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩，即可得出相应结果．（2）根据（1）中“222532+=++=++=”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．（3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A 式和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值．解：（1）∵222 5232+=++=++==（2）∵)22 43111 -=+-=+-=-1-．（3）∵222 6422(2A=+++++⨯+∴2 A=+∵2212132B+-⨯⨯===∴B=====∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：222A B+=+=【点拨】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式．解本题的关键在熟练掌握二次根式的性(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩和熟练运用完全平方公式()2222a b a ab b±=±+．42．18【分析】先将条件变形为：2a=，2b=，然后将结论变形22a bab+，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值．解：∵a =，b =，∴2a +，2b -，∴ab ＝1，+=a b∴b a a b +()(22222218a b a b ab ab ++==-=-=．【点拨】本题主要考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式的运用，正确求出2a =，2b =是解答本题的关键．43．2+3+．【分析】先根据二次根式的运算法则，在根据分式的运算法则计算即可，先化简，再代入8x =，127y =即可．解：原式2=-2=+，当8x =、127y =时，原式3=329=+⨯3=．【点拨】本题考查了二次根式及分式的运算法则，熟练掌握并应用二次根式及分式的运算法则是解答本题的关键．44．（1）（2）11【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．（2）先由x 与y 的值计算出x ﹣y 和xy 的值，再代入原式＝x 2﹣2xy +y 2+xy ＝（x ﹣y ）2+xy 计算可得．解：（1）原式==，当4x =时，原式6=（2）∵x =y =，∴x y -==231xy ==-=-，原式＝x 2﹣2xy +y 2+xy＝（x ﹣y ）2+xy＝（2﹣1＝12﹣1＝11．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．45．3x +y ，15【分析】根据题意求出x 与y 的值，然后根据完全平方公式以及平方差公式进行化简，然后将x 与y 代入原式即可求出答案．解：∵3y =+有意义∴40x -≥且40x -≥∴x ＝4，∴y ＝3，∵a b =()222222a b ab a b ab ab a b ab++=++-=+-∴()2222a b ab a b ab ++=+-=+-(()2x y =--3x y=+把x ＝4，y ＝3代入上式中原式34315=⨯+=【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求解，完全平方公式和平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.46．（1）①3；②19；（2）±【分析】（1）①根据x ＋2，y −2，可以得到xy 、x ＋y 的值，然后即可求得所求式子的值；②将所求式子变形，然后根据x2，y −2，可以得到xy 、x ＋y 的值，从而可以求得所求式子的值；（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．解：（1）①11x y +＝x yy x +，∵x 2，y ，∴x ＋y ＝，xy ＝3，当x ＋y ＝，xy ＝3时，原式＝3；②x 2−xy ＋y 2＝（x ＋y ）2−3xy ，∵x 2，y ，∴x ＋y ＝，xy ＝3，当x ＋y ，xy ＝3时，原式＝（）2−3×3＝19；（2x y ，则39−a 2＝x 2，5＋a 2＝y 2，∴x 2＋y 2＝44，8，∴（x ＋y ）2＝64，∴x 2＋2xy ＋y 2＝64，∴2xy ＝64−（x 2＋y 2）＝64−44＝20，∴（x −y ）2＝x 2−2xy ＋y 2＝44−20＝24，∴x −y ＝±，±故答案为：±【点拨】本题考查二次根式的化简求值、分式的加减法、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．47．32-【分析】先把=x x =再化简2154x x x --+得111x x ---，最后代入求值即可．解：x =+∵12<<∴34<<∴4x <1x1x=(4)1(4)(1)x x x x--=---111x x =---将x =代入上式得：原式=13(222-==-=【点拨】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．48．7-2=+12<得到3a =，1b =，将a 、b 代入即可计算即可．2=，12<<，∴3a =，1b =，∴(2312227a b a b -----===-+【点拨】本题考查二次根式的化简及计算，同时也考查了学生的估算能力，夹逼法是估算时常用的一种方法．49．（1）(a a ；5-（2）11【分析】（1）利用乘法公式化简，在代入求值计算即可；（2）把x ，y 代入代数式求解即可；解：（1）原式(222266a a a a a =--+=+=+，当1a -时，原式11=+，5=-．（2）由已知可得：1x y xy -==，原式=222x xy y xy -+-，()2=--x y xy，(21=-，121=-，11=．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简计算，利用乘法公式化简是解题的关键．50．（1）13；（2）3-【分析】（1）利用二次根式的加法运算和乘法运算求得a b +和ab ，对所求式子利用完全平方公式变形，进而整体代入求出即可；（2）首先利用分母有理化法则求出a ，b的值，根据12<，可得m ，n 的值，进而代入求值即可．解：（1）22114442a b+-++====，1ab =，22a ab b -+()23a b ab=+-243=-13=；（2）2a ==，2b ==+∵12<<，21-<-，∴22221-<<-，21222+<<+，即021<，324<+∴2的整数部分是0，小数部分是2，即2m =2+31，即1n =，∴()()m n m n +-()()2121=3=-【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，根据12<<，得出m ，n 的值是解题关键，注意要分母有理化．。

2024八年级数学上册第二章实数7二次根式第1课时二次根式及其性质习题课件新版北师大版

5. [2024永州一中期末]化简｜ a －3｜＋( − )2的结果是
(
D
)
A. 0
B. 6
C. 2 a －6
D. 6－2 a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
知识点2二次根式的性质
·
6. (1) ＝
(2)

＝

1

2
3
( a ≥0， b ≥0)；
( a ≥0， b ＞0).
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 下列各式的化简正确的是(
C
)
A. (−) × (−) ＝ − × − ＝(－2)×(－7)＝14
B. ＝ + ＝ × ＝5
C.

＝

＝
＝

D. . ＝
1
2

＝

3
4
5
6
7
8
9
10
嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化
成另一个式子的平方，如：
5＋2 ＝(2＋3)＋2 × ＝( )2＋( )2＋2× ×
＝( ＋ )2；
8＋2 ＝(1＋7)＋2 × ＝12＋( )2＋2×1× ＝
(1＋ )2.
1
2
3
4
5
6
7

八年级数学二次根式(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是二次根式？二次根式有什么性质？问题2：判断一个式子是否是最简二次根式，需要满足哪两个条件？问题3：什么是同类二次根式？二次根式（北师版）一、单选题(共15道，每道6分)1.当a，b为任意实数时，下列选项不一定有意义的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式有意义的条件2.下列式子中，属于最简二次根式的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简二次根式3.在，，，中，最简二次根式有( )个．A.1B.2C.3D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简二次根式4.下列说法正确的是( )．A.化为最简二次根式为B.化为最简二次根式为C.化为最简二次根式为D.化为最简二次根式为答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简二次根式5.下列说法正确的是( )．A.化为最简二次根式为B.化为最简二次根式为C.化为最简二次根式为D.化为最简二次根式为答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简二次根式6.把化为最简二次根式是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简二次根式7.下列二次根式是最简二次根式的为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简二次根式8.化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．下列根式中，与是同类二次根式的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式9.下列各组二次根式中，是同类二次根式的一组是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式10.与是同类二次根式的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式11.下面二次根式能与合并的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式12.已知二次根式与是同类二次根式，则a的值可以是( )A.5B.3C.7D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式13.若和是同类二次根式，则m的最小正整数值是( )A.18B.8C.4D.2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式14.与是同类二次根式的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式15.下列各式中，与是同类二次根式的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：同类二次根式。

北师大版八年级数学上册--第二单元二次根式的乘除运算练习题(含答案)

冀教版初中数学八年级上册第十五章二次根式15.2《二次根式的乘除》教学设计说明在设计本课时教案时，引导学生通过计算发现规律，从而由特殊到一般地给出二次根式的乘法法则、除法法则．注意引导学生类比积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系．通过例题的讲解，及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力．重视课本例题，适当地对立体进行引申，引发学生自主探寻与思考，突出例题在巩固强化中的作用，有利于学生对知识的串联、积累、加工，从而起到举一反三的效果．在学习过程中，采用小组学习方式，组间竞争，按各组表现评出最优小组，激发学生学习积极性和兴趣．（1）教材分析《二次根式的乘除》是是初中数学的重要内容之一，是《课程标准》“数与代数”的重要内容，是对“实数”、“代数式”等内容的延伸和补充．（2）学情分析本节课的内容是在理解二次根式的定义及相关概念的基础上，进一步研究二次根式的运算，是对二次根式的简便运算．二次根式的乘除这一节的知识构造较为简单，并且是在学生学习了平方根，立方根等内容的基础上进行的．由于学生对算术平方根等概念已经有了初步认识，这为学生学习打下了基础，在和学生一起学习的过程中，我们要创造条件和机会，让学生发表自己的见解，发挥学生学习的主动性和积极性．一、教学目标（1a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简．（2）理解ab=ab（a≥0，b>0），ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．（3a b ab a≥0，b≥0）ababa≥0，b>0）并运用它们进行计算；•利用逆向思维，ab a b a≥0，b≥0），a baba≥0，b>0）并运用它们进行解题和化简．（4）培养学生对于事物规律的观察，发现能力，激发学生的学习激情．二、教学重点、难点a b ab a≥0，b≥0）ab a b a≥0，b≥0）abab（a≥0，b>0）ababa≥0，b>0）及运用，最简二次根式的概念．难点：二次根式的乘除法法则的逆用ab=a·b（a≥0，b≥0），a bab(0,0)a b≥>．课时设计两课时教学策略由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此，要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要注意逐步有序的展开，在讲解二次根式的乘除时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系．积的算术平方根的性质及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算具体的例子，引导他们做出一般的结论．由于归纳法是通过一些个别的，特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论．因此，本文采用从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习相结合的方法．这种思维过程，对于初中生认识，研究和发现事物的规律有着重要作用，对于培养思维品质也有重要意义．三、教学过程情境导入，这个长方形的面积是多少？2．【问题探究】这个结果能否化简？如何化简？【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，体会数学来源于生活，又应用于生活，让学生初步感受二次根式的乘除．探索新知探究一1．填空=______；（1（2（3．（4，2．利用计算器计算填空，（2（1（32．（1）=，（2）=，（3）=，（4）=．师：提出问题：观察上面的结果，你发现他们有什么特点吗？小组讨论、抢答．生：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式相乘等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．【归纳总结】反过来【设计意图】由特殊例子出发，由特殊到一般给出二次根式的乘法法则．例1．计算；（2（3（4．（1解析：（1（2=（3（4a≥0，b≥0）计算即可．点评：例2．化简（2（3；（1（4（5×4=12；解析：（1（2（3（4=3xy；（5．（a ≥0，b ≥0）直接化简即可．例3．计算解析：⨯⨯==点评：在（1）中要注意，在被开方数相乘的时候可以考虑因数分解或因式分解，在（2）中0,0)a b =≥≥，即根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；在（3）中要注意x ，y 的符号．【设计意图】通过例题的讲解，让学生体会二次根式的乘法法则．探究二（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空；（2=________．（13．利用计算器计算填空:（1答案：1．反过来2．3344(1),;(2),;==.规律：，44663．(1)=(2)=.；【归纳总结】【设计意图】由特殊例子出发，由特殊到一般给出二次根式的乘法法则．例4．计算：（1（2（3（4）．解析：（1=2 ；（2==（3==2；（4．点评：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案．例5．化简：（1（2（3（4解析：（1=；（283ba =；（38y =；（413y ．a ≥0，b >0）就可以达到化简之目的．【设计意图】通过例题的讲解，让学生体会二次根式的除法法则．例6．计算：（1；（2；（3．解析：（15；（2=3；（3=a ．观察上面例6的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是12km,km h h ，那么它们的传播半径的比是_________．．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．（学生分组讨论，到黑板上板书）．2==．【设计意图】巩固二次根式的除法法则，通过观察总结归纳出最简二次根式的特点．例7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．AC解：因为222AB AC BC=+所以AB=132====6.5（cm），因此AB的长为6.5cm．点评：学生掌握最简二次根式概念之后，通过两个例题让学生先尝试的去应用所学的知识，初步体验成功，树立学习的自信心．【设计意图】学生掌握最简二次根式概念之后，通过实际问题的例题讲解，激发学生的兴趣，引导学生体会数学来源于生活，又应用于生活．巩固练习教材对应习题．【设计意图】为学生提供演练机会，加强对二次根式加减运算的理解及掌握．应用拓展1．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4解：（1）不正确．×3=6；（2）不正确．4．a、b的取值范围分别是a≥0，b>0．带分数作为被开放数化简时必须先把带分数化成假分数再化简．2=，且x为偶数，求(1+)x解析：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩．∴6<x≤9．∵x为偶数，∴x=8．∴原式=(1+)x(1+)x=(1+)x 4(1)x x -+=(1)(4)x x +-． ∴当x =8时，原式的值=49⨯=6．点评：式子a b =a b，只有a ≥0，b >0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x -6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x =8．3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 121+=1(21)2121(21)(21)⨯--=-+-=2-1，132+=1(32)3232(32)(32)⨯--=-+-=3-2，同理可得：143+=4-3，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121++132++143++……120122013+）（）的值．解析：原式=（2-1+3-2+4-3+…+2013-2012）×（20131+） =（20131+）（）=2013-1=2012．点评：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．四、课堂小结（学生小组总结展示，师补充）1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及其运用．2．二次根式的除法法则a≥0，b>0（a≥0，b>0）及其运用．3．最简二次根式的概念及其运用．【设计意图】梳理本节课的主要知识点，让学生明确重难点．课后作业一、选择题1（y>0）是二次根式，那么它化为最简二次根式是（）A（y>0） By>0） C（y>0） D．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（）A．．3．在下列各式中，化简正确的是（）A=±12C 2D ．4的结果是（）A ．-3 B ．．-3 D ．5．阅读下列运算过程：3==5==数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”） A ．2 B ．6 C ．13 D二、填空题6．（x ≥0）7．_________．三、综合提高题8，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？9．已知a为实数，-阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：-a·1a=（a-110．若x、y为实数，且y答案:一、1．C 2．D 3．C 4．C 5．C二、6．7．三、8．设：矩形房梁的宽为x（cm）cm，依题意，得：2222);)x x cm x cm+==⋅=．9．不正确，正确解答：因为301aa⎧->⎪⎨->⎪⎩，所以a<0，aa=(1-a10．∵224040xx⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=14∴4====．教学反思本节内容是在前一节二次根式的学习基础上，要求学生能熟练运用乘法法则和除法法则进行化简和计算．在教学过程中，通过一些特殊的例子让学生归纳出乘法法则和除法法则，学生比较容易接受．但是在具体进行化简和计算的过程中，学生对二次根式乘法法则和除法法则理解上问题不大，但常常忘记计算结果需要化简，此外被开方数是多项式的乘除法运算上容易出现错误，对分母有理化还不够熟练．因此还要加强训练，否则，在下一节二次根式的加减和混合运算时出现的错误会更多．总之，二次根式的乘除运算法则的学习和应用的过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维．。

新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结-练习

平方根：1.定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方〔也叫二次方根〕，记做：2.性质：〔1〕一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；〔2〕0只有一个平方根，它是0本身；〔3〕负数没有平方根例〔1〕假设的平方根是±2，那么x= ；的平方根是〔2〕当x 时，有意义。

〔3〕一个正数的平方根分别是m和m-4，那么m的值是多少？这个正数是多少？3.〔1〕〔2〕中，a可以取任意实数。

如例：1.求以下各式的值〔1〕〔2〕〔3〕2.，那么a的取值范围是。

3.2＜x＜3,化简。

【立方根】1.定义：一般地，如果以个数x的立方等于a，即x3=a3=8，那么2是8的立方根，0的立方根是0。

2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

立方根是它本身的数有0,1，-1. 例：〔1〕64的立方根是〔2〕假设，那么b等于〔3〕以下说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。

其中正确的有〔〕 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个【估算】用估算法确定无理数的大小：“夹逼法〞，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。

首先确定其整数局部的范围，再确定十分位，百分位等小数局部。

“精确到〞与“误差小于〞的区别：精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。

解决此类问题的关键是依据平方根〔立方根〕及例：估算以下各数的大小〔1〕〔2〕〔3〕用估算法比拟两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比拟大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比拟〔1〕假设a＞b≥0,那么〔2〕假设a＞b，那么〔3〕假设a、b都为正数，且a＞b时，那么a2＞b2例：通过估算比拟以下各组数的大小比拟两个数的大小：＜4的大小。

例：比拟以下两数的大小（1）〔2〕【实数】定义：〔1〕有理数与无理数统称为实数。

在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

北师大版八年级数学上册2.7二次根式计算专题( 含答案解析)

北师大版八年级数学上册2.7二次根式计算专题1．计算：（1）)3127(12+- （2）()()6618332÷-+- 【答案】（1）334- （2）2【解析】试题分析：（1==（2312=-= 考点：实数运算点评：本题难度较低，主要考查学生对平方根实数运算知识点的掌握。

要求学生牢固掌握解题技巧。

2．(÷【答案】1【解析】试题分析：(-=(32⨯⨯1= 考点：二次根式的化简和计算点评：本题考查二次根式的化简和计算，关键是二次根式的化简，掌握二次根式的除法法则，本题难度不大3．计算（每小题4分，共8分）（1（2）【答案】【解析】试题分析：原式=-+2）原式+考点：实数的运算点评：实数运算常用的公式：（1）2(0)a a =≥（2,a =（30,0)a b =≥≥（40,0)a b=≥≥.4．计算：（1）（2）（3+ （4）14【答案】（1），（2），（3）194-13，（4【解析】本题考查二次根式的加减法.根据二次根式的加减法法则进行计算解：（1）原式= 2）原式=-（3）原式= 24+= 4（4）原式3-25．计算：)23(3182+-⨯【答案】-【解析】试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再化简．6=-考点：二次根式化简．6．计算：2421332--．【答案】22．【解析】试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可.-==．考点：二次根式的计算.7．计算：)13)(13(2612-++÷-．2．【解析】试题分析：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，特别的能利用公式的应用公式简化计算过程．1)=31-2．考点：二次根式的化简．8⎝ 【答案】0.【解析】试题分析：根据二次根式运算法则计算即可.==⎝.考点：二次根式计算.9．计算：()0+1π错误！未找到引用源。

.【答案】1-【解析】试题分析：任何非零数的零次方都为1，负数的绝对值等于它的相反数，再对二次根式进行化简即可．试题解析：()0+1π11=-=-考点：二次根式的化简．10．计算：435.03138+-+【答案】323223+．【解析】试题分析：先化成最简二次根式,再进行运算．试题解析：原式=2322322+-+=323223+．考点：二次根式的化简．11．计算：（1）（2）()02014120143π----【答案】（1）1（2）3-【解析】试题分析：（1）根据二次根式的运算法则计算即可;（2）针对有理数的乘方，零指数幂，二次根式化简，绝对值4个考点分别进行计算，试题解析：（1（2）()20141201431133π---=--+=-考点：1.实数的运算;2.有理数的乘方;3.零指数幂;4.二次根式化简;5.绝对值.12．计算：212)31()23)(23(0+---+【答案】2.【解析】试题分析：本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．本题中先根据平方差公式计算乘法以及零指数幂的意义，去掉括号后，计算加减法．(1==+试题解析：解：原式=2123+--=2考点：二次根式的混合运算．130(2013)|+-+-．【答案】1.【解析】试题分析：0(2013)|+-+-1=+1=. 考点：二次根式化简.14．计算：⎛÷ ⎝2+ 【答案】5【解析】试题分析：解：原式13⎛=÷ ⎝153== 考点：实数运算点评：本题难度较低，主要考查学生对实数运算知识点的额掌握，为中考常考题型，要求学生牢固掌握。

北师版八年级数学上册第二章实数7 二次根式

商的算术平方根
二次根式
乘、除法
运算
最后结果
加、减法
C. 2 2
D. 2
感悟新知
知识点 4 二次根式的乘除法
语言叙述
知4－讲
符号表示
a · b= ab ( a ≥
乘法两个二次根式相乘，把被开
法则方数相乘，根指数不变
0，b ≥ 0)
a
a
除法两个二次根式相除，把被开
= (a≥0，
b
b
法则方数相除，根指数不变
b ＞ 0)
感悟新知
知4－讲
法则
推广
9
9
9 3
122×(32＋中，正确的是(
A. ( － 6) 2= － 6
B.
4
9
3
=2
16
4
C. 21 ÷ 7 =3
D. 25a4 =5a2
D )
感悟新知
知识点 3 最简二次根式
概念
满足的条件
知3－讲
化简二次根式的一般方法
(1)如果被开方数是分数
(包括小数和分式)，先利
A. － 1
B.0
C.2
D.6
知1－练
例2
9
若y＝ x－3＋ 3－x＋2，则xy＝________.
解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性“a ≥ 0，
a ≥ 0”进行解答.
知1－练
解：由二次根式的被开方数的非负性，
得 x － 3 ≥ 0，且3 － x ≥ 0，所以 x=3.
又因为y＝ x－3＋ 3－x ＋2，所以y＝2，
行运算 . 例如： m a ·n b =mn ab
感悟新知
知4－讲
特别提醒

北师大版八年级上册数学二次根式专题训练(附答案)

北师大版八年级上册数学二次根式专题训练（附答案）一、单选题1.下列运算正确的是（）A. B. C. D.2.下列运算正确的是( )A. B. C. D.3.下列根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.4.是某三角形三边的长，则等于（）A. B. C. 10 D. 45.下列计算正确的是（）A. B. C. D.6.从，，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（）个.A. 0B. 1C. 2D. 37.计算的结果是（）A. B. 3 C. D. 98.下列计算正确的是（）A. B. C. D.二、填空题9.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________.10.计算________；11.若有意义，则x的值可以是________.（写出一个即可）12.计算的结果是________.13.人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数.设，，则，记，，…，.则________.14.计算：＝________．15.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数n和n+1之间，则n的值是________.16.计算：________．三、计算题17.计算：.18.计算：.19.先化简，再求值：.其中，.20.计算：.21.计算：.22.先化简，再求值：，其中．四、解答题23.阅读理解：∵，即2< <3，∴1< -1<2，∴-1的整数部分为1，∴-1的小数部分为-2解决问题：已知a是-3的整数部分，b是-3的小数部分，求(-a)3+(b+4)2的平方根24.阅读理解：求的值．解：设两边平方得：∴，即.∴∵∴请利用上述方法，求的值．25.已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根26.已如实数、在数轴上的位置如图所示，请化简答案一、单选题1. D2. C3. D4. D5. C6. C7. B8. A二、填空题9. 10. 3 11. 3 12. 13. 10 14. 4 15. 1 16. 5三、计算题17. 解：.18. 解：.19. 解：原式= ，把，代入得：原式= .20. 解：= = =021. 解：原式22. 解：原式，，．当时，原式四、解答题23. 解：∵＜＜∴4＜＜5 ∴1--3＜2 ∴a=1，b=-4∴（-a）3+（b+4）2=（-1）3+（-4+4）2=-1+17=16∴（-a）3+（b+4）2的平方根是±424. 解：设x=，两边平方得x2===14，∴x=±.∵>0，∴=.25. 解：∵2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，，解得：，∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴的整数部分是3，即c=3，∴原式=5+2×2-9=0．26. 解：由题意得：＜＜，＜＜＜＜＞。

北师大版数学八年级上册 2.7 二次根式

问题你还记得单项式乘单项式法则吗？
提示：可
试回顾如何计算 3a2·2a3 = 6a5 . 类比上面
例3 计算：
的计算哦！
(1)2 5 3 7；
(2)4
27
－
1 2
3 .
解：(1)2 5 3 7 23 5 7 =6 35.
(2)4
27
1 2
3
4
1 2
27 3 29 18.
二次根式
定义
带有二次根号被开方数为非负数
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
二次根式的双重非负性
最简二次根式
二次根式 a中,a≥0 且 a ≥0
北师大版数学八年级上册
第二章实数
2.7 二次根式
第2课时二次根式的运算
1. 满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式： 8 ，18 ，80 ，0.5 ，1 ，20 .
前者 x 为全体实数，后者 x 为非负数.
问题2 二次根式 a 的被开方数 a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
当 a＞0 时， a 表示 a 的算术平方根，因此 a ＞0；当 a = 0时， a 表示 0 的算术平方根，因此 a = 0. 这就是说，当 a≥0 时， a ≥0.
归纳总结
一定是二次根式的有 A. 3 个 B. 4 个
C. 5 个
（ B） D. 6 个
2.(1)若式子
x
2
1
在实数范围内有意义，则
x
的取值
范围是__x_≥__1__；
(2)若式子 1 x 在实数范围内有意义，则 x 的

北师大版八年级数学上册--第二单元二次根式的加减运算练习题(含答案)

冀教版初中数学八年级上册第十五章二次根式15.3《二次根式的加减》第一课时一、教学目标知识与技能1．理解二次根式的加减法法则．2．能够正确进行简单的二次根式加减法的运算．过程与方法1．通过整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较体会类比思想．2．通过二次根式加减法运算培养学生运算能力．3．通过运算总结运算的一般步骤：用“一化简、二判断、三合并”来总结二次根式的化简过程．情感态度与价值观通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣．二、教学重点二次根式加减法的运算．★教学难点探讨二次根式加减法运算的方法,必须将二次根式彻底化简，快速准确进行二次根式加减法的运算．★教学方法教师适当引导，学生自主学习，通过阅读教材、与同学讨论获取知识．三、教学过程提出问题，引入新课1．阅读问题．一个运动场要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是10米，宽是5米，第二块草坪的长是20米，宽也是5米。

你能告诉运动场的负责人要准备多少面积的草皮吗？教师活动：出示课题并说明今天我们就共同来研究该如何进行二次根式的加减法运算．学生思考：解决这个问题的关键是什么？2．下列3个小题怎样计算? ①5+5； ②5-125； ③5-50+20．教师活动：提出问题（1）53-25还能继续往下合并吗？（2）看来二次根式有的能合并，有的不能合并，通过对以上几个题的观察，你能说说什么样的二次根式能合并，什么样的不能合并吗？解题过程：①设5=a ,类比合并同类项或面积法； ②学生思考，得出先化简，再合并的解题思路：5-125=5-55=-45； ③先化简，再合并：5-50+20=5-25+52=53-25．学生活动：根据解题过程归纳出二次根式加减时,先将二次根式化简成最简二次根式后，再将被开方数相同的进行合并．引出公式，运用公式1．请同学位思考下面一个问题：【思考】我们分析上面的解题过程，发现通过化简把两个二次根式合并成了一个二次根式，有点像我们以前所学的合并同类项．请同学们讨论，如果化简后两个二次根式中的被开方数不相同，能否运用分配律将两个二次根式合并呢？【分析】我们知道：在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立．如果化简后两个二次根的被开数不相同，我们就不能运用分配律进行合并，它不符合分配律的要求，正因为化简后的被开数是相同的，我们就可以运用分配律将其合并为一个式子．2．根据上面的分析，我们可得到二次根式的加减法运算法则．二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1：计算：（1+；（2-学生活动：学生自己先进行运算，再总结解题的经验．解答过程：（1）a a 259+a a a 853=+=；（2）4580-55354=-=．教师活动：教师启发学生总结自己解题的经验，并告诉同学们进行二次根式加减运算的要点．结论：可用“一化简、二判断、三合并”来总结二次根式的化简过程．例2：计算:（1）323814182+-；（2）)7581()31232(--- 学生活动：学生自己先进行运算，再与小组同学交流，选出代表解答此题．教师活动：教师启发学生总结自己解题的经验，并与其他同学交流．看谁总结的更规范，引导学生思考归纳．解题过程：（1）原式=212226+-=217；（2）原式=+--2413322435=33132415+．课堂练习1．指出下列每组的二次根式中，哪些是可以合并的二次根式？（字母均为正数）（1）8,12，27；（2）72，7521，501；（3）38ab ，ba 2，5332b a ． 2．计算:（1）()279818-+；（2）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+6815.024 四、课堂总结．1．二次根式加减法的运算方法和步骤是什么?2．二次根式加减法应注意先化简成最简二次根式，以及运算的准确性．3．在学习过程中运用了类比的学习方法．第二课时一、教学目标知识与技能1．利用二次根式加减法解决一些实际问题．2．能熟练对开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式进行化简．3．能进行二次根式的混合运算．过程与方法1．通过学习二次根式的加减运算，体会二次根式的加减与整式中的合并同类项之间的联系．2．培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力．把获得把实际问题转化为数学问题的体验．3．对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．情感态度与价值观1．通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自我意识．2．通过本节课的学习培养学生的类比思想．3．在较复杂的解题过程中，培养耐心，养成细心的习惯．二、教学重点1．将实际问题抽象为数学问题．2．混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用．★教学难点1．被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．2．灵活运用因式分解、约分等技巧，使计算简便．★教学方法教师适当引导，学生自主学习，通过阅读教材、与同学讨论获取知识．通过对比找到适当的解题方法，注意总结解题的经验．三、教学过程提出问题，引入新课复习引入计算:（1）52080+-；（2）101252403--．数学来源于生活,应用于生活．下面我们研究一下二次根式在实际生活中的应用．亲自动手，细心体验 1．教师出示例题，同学们解题：例1：要焊接一个如图所示的钢架,大约需要多少米钢材（精确到0．01m ）?教师活动：引导学生由图得数据，再根据数据解题．学生活动：根据图象找出数据，根据数据解答问题，然后小组讨论，看自己还存在哪些不足的地方．解答过程：根据图中尺寸可得：AB =222224+=+BD AD 5220==，BC =5122222=+=+CD BD ，AB+BC+AC+BD =25552+++=≈+7533×2．24+7≈13.7（m ）．答:要焊接一个如图所示的钢架约需要13．7m 的钢材．2．教师出示例题，体验解过程．例2：计算:（1）；（2）()226324÷-．教师活动：让学生按照运算规律解答问题．学生活动：参考运算法则和运算律独立解答问题，然后与小组人员内部讨论，选出一人回答老师提问．解答过程：（1）43===-；（2）()226324÷-(2==-= 3．教师总结：通过解题我们可体会到这样一个解题的经验：在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立．也就是我们在以前所学的整式中的乘法法则和运算律，即是二次根式中的法则和运算律．课堂练习1．计算：（1）()532+；（2）()54080÷+；（3）()375212⨯-；（4）()2363+-．2．计算:（1）()()2535++；（2）()()b a b a 23-+；（3）()()2626-+；（4）()()7474-+；（5）()2252-． 3．如图21．3-2所示,两个圆的圆心相同,它们的面积分别为12．56cm 2和25．12cm 2,请你求圆环的宽度d （π取3．14）．四、课堂总结1．以前学过的运算法则在二次根式的混合运算中依然成立；2．计算结果最后一定要化成最简形式．。

北师大版八年级数学上册--第二单元二次根式一练习题(含答案)

二次根式二次根式(一)知识与技能填空：(1)4的平方根是___________，算术平方根是____________.3的平方根是___________，算术平方根是___________.25的平方根是___________，算术平方根是___________.(2)化简：= ___________，= ___________，= ___________， =___________ ，= ___________，= ___________.(3)若a<1，化1.简= ___________.x4有最小值，其最小值是___________.(4)当x= 时，代数式5(5)若=16，则a=___________；若=25，则b=___________.(6) =3-x成立的条件是___________.(7)成立的条件是___________.(8) 成立的条件是___________.2.下列各式中，二次根式的个数是( )①；（1）②；③1x；④5⑤πA .1 个B .2 个C .3 个 D.4个（2）使式子有意义的x 的取值范围是( ) A.x≥-2 B.x≥-2且x≠-1C.x≠-1D.x>-1(3)下列各式中，正确的是( )A. B. C.9=±3 D.(4)下列运算正确的是( )A.a0=1B.(2a+1)2=4a2+2a+1C.-(2xy2)3=-8x3y6D. =a(5)若x<-2，则化简的结果是( )A.2x+4B.-2x+4C.0D.2x(6)能够使二次根式有意义的x的值有( )A.0个B.1个C.2个D.3个3.计算：(1)；(2)； (3).4.计算：(1)； (2)；(3)； (4).5.求下列二次根式中字母x 的取值范围：(1)； (2)；(3)； (4)；(5).6.已知，求a+b-c 的值. 解决问题7.实数a 在数轴上的对应点如图所示，化简：8.若-1<a<0，化简： .参考答案知识与技能1.(1)±2，2，±3，3，±5，5(2)7，35，4，0.3，5，4(3)26，62，，，，65，27，230，27(4)-a (5)-45，0(6)±16，25 (7)x ≤3(8)x ≥4 (9)x ≥12.（1）C（2）B(3)A(4)C(5)D(6)B3.(1)108 (2)80 (3)384.(1)9 (2)7 (3)2-1 (4)π-3.14 5.(1)x ≥21(2)x 取全体实数 (3)x>5(4)-2≤x ≤2(5)x ≥1且x ≠16.-2解决问题7.-28.-2a-1。

八年级上册数学《二次根式》知识点北师大版

八年级上册数学《二次根式》知识点北
师大版
1二次根式：式子叫做二次根式。

2最简二次根式：
最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式;
②被开方数中不含能开得尽方的数或因式;③分母中不含根式。

最简二次根式必须同时满足下列条：
①被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;
②被开方数中不含分母;
③分母中不含根式。

3同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

4二次根式的性质
非负性：是一个非负数
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到
①字母不一定是正数
②能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替
③可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外
公式与的区别与联系：
①表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数
②表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数
③和的运算结果都是非负的。

北师大版八年级数学上册_二次根式的加减典型例题

二次根式的加减典型例题（一）知识要点：知识点1：同类二次根式（Ⅰ）几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如x x 25,2223-和和这样的二次根式都是同类二次根式。

（Ⅱ）判断同类二次根式的方法：（1）首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同。

（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。

知识点2：合并同类二次根式的方法合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变，不是同类二次根式的不能合并。

知识点3：二次根式的加减法则二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并，合并的方法为系数相加，根式不变。

知识点4：二次根式的混合运算方法和顺序运算方法是利用加、减、乘、除法则以及与多项式乘法类似法则进行混合运算。

运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。

知识点5：二次根式的加减法则与乘除法则的区别乘除法中，系数相乘，被开方数相乘，与两根式是否是同类根式无关，加减法中，系数相加，被开方数不变而且两根式须是同类最简根式。

【典型例题】例1. 下面各组里的二次根式是不是同类二次根式？说说你的理由。

（1）23,22,2（2）232,18,8--（3）,223（4）53,32,2解：（1）23,22,2是同类二次根式（2）∵232,2318,228--=-=∴是同类二次根式232,18,8--（3）223与不是同类二次根式（4）53,32,2不是同类二次根式例2. 计算（1）2332332+-+（2）10101540+- （3）4832714122+-解：（1）2332332+-+＝ 243)223()3332(+-=++-（2）10101540+-＝ 10251010105102=+⨯- （3）4832714122+-＝3914031239434=+-注意：（3）中的39140不能写成39515例3. 计算（1）6)35278(⨯-（2）)52)(103(-+解：（1）6)35278(⨯-＝215346356278(-=⨯-⨯（2）)52)(103(-+＝52225525323--=-+- 例4. 计算（1）)32)(32(-+ （2）2)533(+ （3）2)336(+解：（1）)32)(32(-+＝4－3＝1（2）2)533(+＝9+5185459518+=⨯+ （3）2)336(+＝336633933636+=⨯++例5. 计算（1）a aa a 1246932-+ （a>0）（2）)12()41(b b a b a a--+ （a>0，b>0）解：（1）原式＝a a a a 3232=-+ （2）原式＝()()a b a b +--212b a b a b a 321212+=+-+=例6. 若m n m n m ++--7)2(161和是同类根式，求m ，n 的值。