《空间向量的数量积运算》
人教A版选修2《空间向量的数量积运算》教案及教学反思
人教A版选修2《空间向量的数量积运算》教案及教学反思教学目标通过本节课的学习，学生应该掌握以下知识： - 理解空间向量的数量积运算 - 掌握空间向量的数量积运算的定义和性质 - 熟悉空间向量的数量积运算的计算方法 - 能够应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学内容1.空间向量的数量积概念和定义2.空间向量的数量积运算的性质3.空间向量的数量积运算的计算方法4.应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学重点•掌握空间向量的数量积运算的定义和性质•熟悉空间向量的数量积运算的计算方法教学难点•理解空间向量的数量积运算的概念•应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学方法•讲授法•提问法•实验法教具准备•平面直角坐标系•立体直角坐标系•白板和笔教学过程导入（5分钟）教师通过提问学生上一次课所学的知识，引出本节课所要学习的内容。
讲授（40分钟）1. 空间向量的数量积概念和定义•向量的数量积又叫点积，用符号 $\\vec a \\cdot \\vec b$ 表示，它是两个向量的数量乘积与它们夹角余弦的乘积。
•数量积可以计算向量的模长，夹角余弦，方向余弦等。
•数量积也可以表示两个向量共线或者垂直的关系。
2. 空间向量的数量积运算的性质•交换律：$\\vec a \\cdot \\vec b = \\vec b \\cdot \\vec a$•结合律：$(\\lambda\\vec a) \\cdot \\vec b = \\lambda(\\vec a \\cdot \\vec b) = \\vec a \\cdot (\\lambda \\vec b)$•分配律：$\\vec a \\cdot (\\vec b + \\vec c) = \\vec a \\cdot \\vec b + \\vec a \\cdot \\vec c$•数量积为零的条件：向量相互垂直3. 空间向量的数量积运算的计算方法•模长法：$\\vec a \\cdot \\vec b = |\\vec a| |\\vec b| \\cos \\theta$，其中 $\\theta$ 为两个向量间夹角。
空间向量的数量积运算-ppt课件
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
新版高中数学《1.1.2 空间向量的数量积运算》教学设计
1.1.2空间向量的数量积运算 教学设计(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1.了解空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的计算方法、几何意义、性质及运算律2.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养；通过投影向量概念的学习培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养二、教学重难点1.重点：空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法2.难点：空间向量的数量积的几何意义，运算律的证明三、教学过程1.类比平面向量，探究空间向量数量积的相关概念和性质1.1两个非零空间向量的夹角问题1：类比平面向量中所学，如何定义空间向量的夹角？【预设的答案】空间向量是自由向量，可以将两个向量平移到共起点的位置（动态演示空间向量平移过程）【定义】已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→ = a ，OB → = b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉. 规定：〈a ，b 〉∈[0，π].特别地：当〈a ，b 〉= π2时，a ⊥b .【互动练习】（1）〈a ，b 〉=〈b ，a 〉成立吗？（2）〈a ，b 〉= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .（3）〈a ，b 〉= 0时,a 与b 方向 ; 〈a ，b 〉= π时,a 与b 方向 .1.2 两个非零空间向量的数量积【定义】已知两个非零向量a ，b ，则|a| |b| cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b . 即 a ·b = |a| |b| cos 〈a ，b 〉.规定：零向量与任意向量的数量积都等于零.问题2：根据上述定义我们不难发现，空间向量数量积的定义和平面向量数量积定义一致，那么空间向量数量积的性质是否与平面向量中的一致呢？【预设的答案】一致【互动练习】（1）两个向量的数量积是数量还是向量？（数量，它的大小与两个向量的长度及其夹角有关.）（2）0 ·a = （选择0还是0）. 零向量与任意向量的数量积为0.（3）对于两个非零向量a ，b ，a ⊥b ⟺ a ·b = （判断垂直关系）（4）a ·a ＝_____或|a |＝a ·a （求模长）（5）若a ，b 同向，则 a ·b ＝_______；若反向，则a ·b ＝_______.（6）|a ·b | ____ |a |·|b |（7）若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝_______.【设计意图】平面向量中关于数量积的性质可以直接类比到空间向量中来，从学生的口中叙述出来，一是为了巩固，也能让学生体会空间向量数量积定义与平面向量数量积定义的相通之处.【例1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值： (1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →.【解】(1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12.(3)EF ·DC →＝12BD →·DC →＝－12DB →·DC →＝－12×cos 60°＝－14.1.3 空间向量的数量积的几何意义问题3:在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影.类似地，在空间，向量a 向向量b 的投影有什么意义？【预设的答案】将两空间向量平移至同一平面，转化为平面向量问题，找出投影向量.在空间中，由于向量a 与向量b 是自由向量，将向量a 与向量b 平移到同一平面内α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量：||cos ,b c a a b b=<>追问: 空间中，向量a 能否向一条直线l 作投影？向量a 能否向一个平面β作投影？图1动态演示向量a 向向量b 投影注：图3中向量a 与投影向量的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角【设计意图】投影向量概念的提出是为了让学生体会空间向量数量积的几何意义；另外，空间向量向直线投影、向平面投影也为后续学生对空间向量与空间角间的关系形成初步认识.1.4 空间向量的数量积的运算律问题4: 类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？【预设的答案】结合律；交换律；分配律数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b ), λ∈R 交换律a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c追问：你能否证明上述运算律？【教师分析】证明前两条运算律，可以将向量a 与向量b 平移至同一个平面当中，则证明过程与平面向量中的证明方法无异；证明分配律时则涉及到三个不共面的向量.分配律的证明：,,OA a OB b BC c ===令, 'OC OA OC 向投影，投影向量为,OC OA θ记与的夹角为()OA OB BC OA OC ∴=⋅+=⋅左边||||cos OA OC θ=|||'|OA OC ='OB OA OB 向投影，投影向量为,1OB OAθ记与的夹角为 ''BC OA B C 同理，向投影，投影向量为,2BC OAθ记与的夹角为 OA OB OA BC ∴=⋅+⋅右边12||||cos ||||cos OA OB OA BC θθ=+|||'||||''|OA OB OA B C =+ ||(|'||''|)OA OB B C =+|||'|OA OC ==左边图2动态演示向量a 向直线l 投影 图3 动态演示向量a 向平面β投影2. 对比思考，深入了解思考问题1: 对于三个均不为0的数a ，b ，c ，若ab=ac ，则b=c.对于非零向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？分析：由a ·b ＝a ·c ，有a·(b －c )＝0. 从而有b ＝c 或a ⊥(b －c ).追问：能否从几何意义的角度举出反例？思考问题2: 向量有除法吗？分析：向量没有除法. 追问：ak 的结果唯一吗？ 思考问题3: 向量数量积满足结合律吗？分析：两个向量的数量积为一个实数，(a ·b )c 和a (b ·c )分别表示与向量c 和向量a 共线的向量，它们不一定相等.向量的数量积运算没有结合律！【设计意图】通过三个问题的思考 ，与数字运算进行对比，深刻体会向量运算与数字运算的区别所在；学会用数形结合的思想解决问题，了解向量是与几何密切相关的工具.四、课堂小结（1）空间向量夹角的定义及范围；（2）空间向量数量积运算的定义、性质及几何意义；（3）空间向量数量积运算的运算律及简单计算.五、课后思考【变式训练1】例1条件不变,如何求AB →·CD →的值?【解】AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝cos 60°－cos 60°＝0.【设计意图】感受向量数量积的逆用，数量积运算的结果可以推导出夹角及位置关系. 思考：（1）能否利用空间向量的数量积证明空间中两条直线垂直？（2）能否利用空间向量的数量积求出空间中异面直线所成角？（3）能否利用空间向量的数量积解决更多的立体几何中的问题？。
数学《空间向量的数量积运算》
向量在三维空间中的方向
总结词
向量方向对数量积运算结果具有重要影响。
详细描述
在三维空间中，两个向量的数量积不仅与它们的长度和夹角有关，还与它们之间的方向关系有关。如 果两个向量方向相同或相反，它们的数量积将有不同的结果。
04 空间向量数量积运算的应 用
在物理中的应用
力的合成与分解
通过空间向量的数量积运算，可以方便地计算出力的合成与分解 结果，从而解决力学问题。
对未来研究的展望
• 展望：随着数学和物理学的发展，空间向量的数量积运算将继续发挥重要的作用。未来研究可以进一步探讨数量积运算的 性质和规律，例如探索数量积与其他向量运算之间的关系、数量积运算的几何意义等。此外，随着科技的发展，新的应用 领域将不断涌现，需要进一步拓展空间向量数量积运算的应用范围，例如在人工智能、数据分析和图像处理等领域的应用。 同时，随着数学教育的发展，如何更好地教授空间向量的数量积运算，提高学生对这一概念的理解和应用能力，也是未来 研究的一个重要方向。
速度和加速度的计算
在运动学中，空间向量的数量积运算可以用于计算速度和加速度， 帮助我们理解物体运动规律。
电磁学中的场强计算
在电磁学中，通过空间向量的数量积运算可以计算出电场强度和磁 场强度，进一步研究电磁场性质。
在工程中的应用
结构分析
在土木工程和机械工程中，空间 向量的数量积运算可以用于结构
分析，如计算应力和应变等。
数学《空间向量的数量积运算》
contents
目录
• 引言 • 空间向量的数量积运算性质 • 空间向量数量积运算的几何意义 • 空间向量数量积运算的应用 • 总结与展望
01 引言
空间向量的数量积运算的定义
定义
空间向量的数量积运算- (人教A版2019选择性必修第一册)
【题型归纳】
题型一：空间向量的数量积的运算
1．已知空间中非零向量 ， ，且 ， ， ，则 的值为（）．
15．已知平行六面体 中， ， ， ， ， ．则 的长为（）
A． B． C． D．
16．如图在长方体 中，设 ， ，则 等于（）
A．1B．2C．3D．
【高分突破】
一：单选题
17．已知空间向量 ，0， ， ，2， ，则向量 在向量 上的投影向量是（）
A． ，2， B． ，2， C． ，0， D． ，0，
D：由图知： ，正方体 的体积不为 ，错误；
故选：AB.
26．BC
如下图所示：
对于A选项， ，A选项错误；
对于B选项， ，B选项正确；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，D选项错误.
故选：BC.
27．AB
【详解】
由向量的加法得到： ，∵ ，∴ ，所以A正确；
∵ ，AB1⊥A1C，∴ ，故B正确；
对于④，由空间向量数量积的运算性质可得 ，④正确.
故选：B.
21．D
【详解】
解：在平行六面体 中，因为 ，所以 ．
所以 ．
22．A
【详解】
记 ， ， ，
因为 ， ，
所以 ， ．
又因为 ， ，
所以 ， ．
易得 ，
所以 ，
所以 ．
故选：A
23．B
解：因为底面 是边长为1的正方形，侧棱 且 ，
则 ， ， ， ， ， ，
空间向量的数量积运算 课件(共18张PPT)高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
a・(b+c)=a・b&#
知识点4：空间向量数量积的运算律
思考1:对于向量a,b,c,由a・b=a・c能得到b=c吗?如果不能,请举出反例.
不能.数量积运算不满足消去律，例如a=0
不能.向量没有除法.
思考3:对于向量a,b,c,(a・b)c=a(b・c)成立吗?也就是说,向量的数量积满足结合律吗?
数量积运算不满足结合律． 数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a・b)c不一定等于a(b・c)．这是由于(a・b)c表示一个与c共线的向量，而a(b・c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：
角转化
根据今天所学，回答下列问题：1.空间向量的线性运算和数量积运算有什么区别？2.如何利用数量积求长度和角度？3.如何利用数量积解决垂直问题？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos<a，b>叫做a，b的数量积，记作a·b.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
a·a= |a||a|cos<a,a>=|a|2.
a·a也记作a2.
即a·b=|a||b|cos<a，b>.
知识点2：空间向量的数量积
结果为数值
思考：类比平面向量的投影，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？
取向量
求余弦值
定结果
异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求分弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小．
《空间向量的数量积运算》同步学案(教师版)
《空间向量的数量积运算》同步学案情境导入如图,已知在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,AE =EA 1,D 1F =12FC 1,如何确定BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角?自主学习自学导引1.已知两个非零向量a,b ,在空间任取一点O ,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则_______叫做向量a,b 的夹角,记作⟨a ,b ⟩.如果⟨a ,b ⟩=π2,那么向量a,b _______,记作________. 2.已知两个非零向量a,b ,则_______叫做a,b 的数量积,记作a ⋅b .3.空间向量的数量积的运算律(1)(λa )⋅b =_______,λ∈R ;(2)a ⋅b =________(交换律);(3)(a +b )⋅c =________(分配律).4.如图(1),在空间,向量a 向向量b 投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ,向量c =________,向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量.类似地,可以将向量a 向直线l 投影(图(2)).如图(3),向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A′,B′,得到向量A′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,向量_______称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a,A′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.答案1.∠AOB互相垂直a⟂b2.|a||b|cos⟨a,b⟩3.(1)λ(a⋅b)(2)b⋅a(3)a⋅c+b⋅c4.|a|cos⟨a,b⟩b|b|A′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗预习测评1.下列命题中正确的是( )A.(a⋅b)2=a2⋅b2B.|a⋅b|⩽|a||b|C.(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)D.若a⟂(b−c),则a⋅b=a⋅c=02.已知a,b,c是两两垂直的单位向量,则|a−2b+3c|=( )A.14B.√14C.4D.23.已知|a|=3,|b|=2,a⋅b=−3,则⟨a,b⟩=_______.4.如图所示,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,则(1)⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=_______;(2)⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=_______;(3)⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=________.答案1.B解析:对于A ,左边=|a|2|b|2cos 2⟨a ,b ⟩,右边=|a|2|b|2,所以左边⩽右边,故A 错误.对于B ,因为a ⋅b =|a||b|cos ⟨a ,b ⟩,−1⩽cos ⟨a ,b ⟩⩽1,所以|a ⋅b|⩽|a|⋅|b|,故B 正确.对于C ,数量积不满足结合律,所以C 错误.对于D ,于a⟂(b −c )可得a ⋅(b −c )=0,所以a ⋅b −a ⋅c =0,所以a ⋅b =a ⋅c ,但a ⋅b 与a ⋅c 不一定等于零,故D 错误.2.B解析:因为|a −2b +3c|2=(a −2b +3c )⋅(a −2b +3c)=|a|2+4|b|2+9|c|2=14,所以|a −2b +3c|=√14.3.120∘解析:因为cos ⟨a ,b ⟩=a⋅b |a||b|=−33×2=−12,所以⟨a ,b ⟩=120∘.4.(1)45∘(2)135∘(3)90∘解析:(1)因为A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩.又∠CAB =45∘,所以⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=45∘.(2)⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=180∘−⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=135∘.(3)⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=90∘.新知探究探究点1空间向量的夹角的定义和数量积的定义、运算律知识详解1.已知两个非零向量a,b ,在空间任取一点O ,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则∠AOB 叫做向量a,b 的夹角,记作⟨a ,b ⟩.如果⟨a ,b ⟩=π2,那么向量a,b 互相垂直,记作a⟂b .2.已知两个非零向量a,b ,则|a||b|cos ⟨a ,b ⟩叫做a ,b 的数量积,记作a ⋅b ,即a ⋅b =|a||b|cos ⟨a ,b ⟩.3.空间向量的数量积的运算律(1)(λa )⋅b =λ(a ⋅b ),λ∈R ;(2)a ⋅b =b ⋅a (交换律);(3)(a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c (分配律).典例探究例1如图所示,已知正四面体OABC 的棱长为1,点E,F 分别是OA,OC 的中点.求下列向量的数量积:(1)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)EF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 解析:根据数量积的定义进行计算,求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角,注意充分结合正四面体的特征.答案:(1)由于正四面体的棱长为1,所以|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.又ΔOAB 为等边三角形,所以∠AOB =60∘,于是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |.cos∠AOB =1×1×cos60∘=12.(2)由于E,F 分别是OA,OC 的中点,所以EF //12AC 且EF =12AC ,于是EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=12|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=12×1×1×cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=12×1×1×cos120∘=−14. (3)(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+12−2×12+12+1−2×12=1. 变式训练1如图,在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,AB =AA 1=2,AD =4,E 为侧面AB 1的中心,F 为A 1D 1的中点.试计算:(1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(3)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .答案:设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,设|a|=|c|=2,|b|=4,a ⋅b =b ⋅c =c ⋅a =0.(1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅[12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=b ⋅[12(c −a )+b]=|b|2=42=16. (2)BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(c −a +12b)⋅(a +c )=|c|2−|a|2=22−22=0.(3)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=[12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅(12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=[12(c −a )+12b]⋅(12b +a)=12(−a +b +c )⋅(12b +a)=−12|a|2+14|b|2=2. 探究点2利用数量积求模知识详解求两点间的距离或某条线段的长度的方法:先将此线段用向量表示,然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量,最后利用|a|2=a ⋅a ,通过向量运算去求|a|,即得所求距离或长度.典例探究例2如图所示,在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,从同一顶点出发的三条棱的长都等于1,且彼此的夹角都是60∘,求对角线AC 1和BD 1的长.解析:将向量AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来,再用数量积的定义运算.答案:因为AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )∙(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1+1+1+2(cos60∘+cos60∘+cos60∘)=6.所以|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,即对角线AC 1的长为√6.同理,|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ).(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ )=1+1+1+2(cos60∘−cos60∘−cos60∘)=2. 所以|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,即对角线BD 1的长为√2. 变式训练2如图所示,在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,M,N 分别是A 1B,B 1C 1上的点,且BM =2A 1M,C 1N =2B 1N .设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c .(1)试用a,b,c 表示向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若∠BAC =90∘,∠BAA 1=∠CAA 1=60∘,AB =AC =AA 1=1,求MN 的长.答案:(1)由图形知MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(c −a )+a +13(b −a )=13a +13b +13c. (2)因为(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2a ⋅b +2b ⋅c +2a ⋅c =1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5,所以|a +b +c|=√5,所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13|a +b +c|=√53, 所以MN 的长为√53.探究点3利用数量积解决垂直问题知识详解1.证明线线垂直的方法:证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否为0,从而可判断两直线是否垂直.2.证明与空间向量a,b,c 有关的向量m,n 垂直的方法:先用向量a,b,c 表示向量m,n ,再判断向量m,n 的数量积是否为0.典例探究例3如图,在四面体OABC 中,OB =OC,AB =AC ,求证:OA⟂BC .解析:证明OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可. 答案:因为OB =OC,AB =AC,OA =OA ,所以ΔOAC ≅ΔOAB ,所以∠AOC =∠AOB .又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOC −|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB =0, 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟂BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OA⟂BC . 变式训练3已知在四面体ABCD 中,AB⟂CD ,AC⟂BD ,求证:AD⟂BC .答案:因为AB⟂CD,AC⟂BD ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗=0.所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟂BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 从而AD⟂BC .易错易混解读例 如图所示,在四面体ABCD 中,∠BCD =90∘,CD =3,BC =4,M,N 分别为AB,AD的中点,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_______.错解:由题易知BD =5,cos∠BDC =35,所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=12×5×3×cos∠BDC =92. 错因分析:错解中没有正确理解两向量的夹角,误认为∠BDC 是BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角.正解:由题易知BD =5,cos∠BDC =35,所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=12×5×3×cos (π−∠BDC )=−92. 纠错心得:向量的夹角定义中,必须把两向量移至共起点,如下图所示,∠AOB 是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角,而OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为∠AOB 的补角.课堂检测1.已知|a|=3,|b|=4,⟨a ,b ⟩=120∘,则|2a −b|=( )A.2B.76C.2√19D.42.若非零向量a,b 满足|a|=|b|,(2a +b )⋅b =0,则a 与b 的夹角为( )A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘3.如图,在三棱锥A −BCD 中,DA,DB,DC 两两垂直,且DB =DC,E 为BC 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.3B.2C.1D.04.在四面体ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.0B.√32C.1D.无法确定答案:1.C解析:|2a −b|2=4a 2+b 2−4a ⋅b =4×9+16−4×3×4×cos120∘=76,所以|2a −b|=√76=2√19.2.C11 / 11解析:由(2a +b )⋅b =2a ⋅b +b 2=0,可得2|a|⋅|b|cos ⟨a ,b ⟩+b 2=0,则cos ⟨a ,b ⟩=−b 22|a||b|=−12,故a 与b 的夹角为120∘. 3.D解析:本题主要考查空间向量数量积的运算.由题意知,DE⟂BC ,所以AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.4.A解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ .BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 课堂小结。
《空间向量的数量积运算》示范教案
3.1.3空间向量的数量积运算整体设计教材分析本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法．通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配1课时教学目标知识与技能1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．过程与方法1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义．情感、态度与价值观1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生空间向量的应用意识．重点难点教学重点：1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义；2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用．教学难点：1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解．教学过程引入新课提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段D′C′上，D′F＝12FC′，如何确定BE→，FD→的夹角？活动设计： 教师设问：平面向量的夹角问题是如何求得的？是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？公式的形式是否会有所变化？学生活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式；类比猜想空间向量夹角公式的形式． 设计意图：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，但预计应该会联想到平面向量的夹角公式，由此作一番类比猜想，起到温故知新的作用．探究新知提出问题1：空间向量的夹角应该怎样定义，怎样表示？夹角的取值范围是什么，怎样定义向量垂直？活动设计：教师指导学生回忆平面向量夹角的定义、表示方法和取值范围，并进行类比；学生回忆平面向量夹角的定义、表示方法和取值范围，并进行类比得到结论．活动成果：1．空间向量a ，b 的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．2．空间向量a ，b 的夹角的取值范围：0≤〈a ，b 〉≤π，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．当a ，b 同向共线时〈a ，b 〉＝0，当a ，b 反向共线时〈a ，b 〉＝π.3．两个向量垂直的定义：若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b .设计意图：通过回忆平面向量夹角的定义和取值范围类比得出空间向量夹角的定义和取值范围．提出问题2：类比平面向量的数量积运算的定义，思考并尝试如何给空间向量定义数量积运算，并指出数量积运算满足怎样的运算律．活动设计：学生自由发言；教师板书并请不同的同学进行补充． 活动成果：1．已知两个非零向量a ，b ，则||a ||b cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b ， 即a ·b ＝||a ||b cos 〈a ，b 〉； 2．规定零向量与任意向量的数量积为0； 3．两个向量的数量积满足的运算律： (1)(λa )·b ＝λ(a ·b )； (2)a ·b ＝b ·a ； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 设计意图：由平面向量数量积的定义和运算律引导学生类比得出空间向量数量积的定义和运算律．理解新知提出问题1：a ，b ，c 为非零向量，有a ·b ·c ＝a ·(b ·c )成立吗？a ·b ＝b ·c 能得到a ＝c 吗？ 活动设计：学生先自己思考，然后小组讨论；教师巡视并和学生交流． 活动成果： 1．∵a ·b 是实数，∴a ·b ·c 是与c 共线的向量；同样a ·(b ·c )是与a 共线的向量； ∴a ·b ·c ＝a ·(b ·c )不一定成立，即数量积运算不满足结合律． 2．∵a ·b ＝b ·c ，∴(a －c )·b ＝0.∴(a －c )⊥b .不能得到a ＝c ，即数量积运算不满足消去律． 设计意图：深化对向量数量积运算的理解和对运算律的熟悉．提出问题2：数量积运算能否判断两个向量的平行或垂直关系，能否用来求角？活动设计：学生先自己思考，然后小组讨论；教师巡视并和学生交流． 活动成果： 1．若a ·b ＝||a ||b ，则a ，b 同向；若a ·b ＝－||a ||b ，则a ，b 反向；特别的a 2＝||a 2， ∴||a ＝a 2.2．若a ，b 为非零向量，则a ·b ＝0a ⊥b .3．cos 〈a ，b 〉＝a ·b||a ||b . 设计意图：由用数量积判断向量的关系引出空间向量数量积运算的变形，更好地理解数量积运算的定义．运用新知用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．已知：m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果l ⊥m ，l ⊥n.求证：l ⊥α.思路分析：要证明l ⊥α，就要证明l 垂直于α内的任一条直线g(直线和平面垂直的定义)．如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由l ⊥m ，l ⊥n 得到l ⊥g ，就能解决此问题．证明：在α内作不与m ，n 重合的任一直线g ， 在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g . ∵m ，n 相交，∴向量m ，n 不平行．由共面定理可知， 存在唯一有序实数对(x ，y)，使g ＝x m ＋y n ， ∴l ·g ＝x l ·m ＋y l ·n .又∵l ·m ＝0，l ·n ＝0， ∴l ·g ＝0.∴l ⊥g .∴l ⊥g.所以，直线l 垂直于平面内的任意一条直线，即得l ⊥α.点评： 用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为用向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算结果或证明结论．巩固练习已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC.证明： AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB →2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0.∴AD ⊥BC.变练演编如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 的夹角的余弦值．解：∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.提出问题：要求OA 与BC 的夹角的余弦值，还可以给出哪几组条件？提示：可以将∠OAC ＝45°换成∠ABC 的值，将AC 的长换成边OC 的长，利用OC →＝OA →＋AB →＋BC →平方即可．设计意图：发散学生思维，提高学生整合知识的能力．达标检测1．已知向量a ⊥b ，向量c 与a ，b 的夹角都是60°，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3， 试求：(1)(a ＋b )2；(2)(a ＋2b －c )2；(3)(3a －2b )·(b －3c )．2．已知线段AB ，BD 在平面α内，BD ⊥AB ，线段AC ⊥α，如果AB ＝a ，BD ＝b ，AC ＝c ，求C 、D 间的距离．答案：1.(1)5 (2)11 (3)－722．解：∵AC ⊥α，AB ，BD α， ∴AC ⊥AB ，AC ⊥BD.又∵AB ⊥BD ， ∴AC →·AB →＝0，AC →·BD →＝0，AB →·BD →＝0. ∴|CD →|2＝CD →·CD →＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝c 2＋a 2＋b 2.∴|CD|＝a 2＋b 2＋c 2. 课堂小结1．知识收获：空间向量的夹角的定义、表示方法、取值范围；两个空间向量的数量积运算和运算法则；利用空间向量的数量积证明共线和垂直以及求夹角和距离．2．方法收获：类比方法、数形结合方法、转化变形方法．3．思维收获：类比思想、转化思想． 布置作业课本习题3.1A 组3、4，补充练习． 补充练习 基础练习1．设a ⊥b ，〈a ，c 〉＝π3，〈b ，c 〉＝π6，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 的模．2．已知|a |＝2，|b |＝5，〈a ，b 〉＝2π3，p ＝3a －b ，q ＝λa ＋17b ，问实数λ取何值时p 与q 垂直？3．若a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值．答案：1.17＋63 2.40 3.－7 拓展练习4．在棱长为1的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是D ′D ，DB 的中点，G 在棱CD 上，CG ＝14CD ，H 为C ′G 的中点，(1)求证：EF ⊥B ′C ；(2)求EF 与C ′G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．解：设AB →＝a ，AD →＝b ，'AA ＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，|a |2＝a 2＝1，|b |2＝b 2＝1，|c |2＝c 2＝1. (1)∵EF →＝ED →＋DF →＝－12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，'B C ＝BC →－'BB ＝b －c ，∴EF →·'B C ＝12(a －b －c )·(b －c )＝12(c 2－b 2)＝12(1－1)＝0.∴EF ⊥B ′C.(2)∵EF →＝ED →＋DF →＝－12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，'G C ＝'C C ＋CG →＝－c －14a ，∴EF →·'G C ＝12(a －b －c )·(－c －14a )＝12(－14a 2＋c 2)＝38，|EF →|2＝14(a －b －c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2)＝34，|'G C |2＝(－c －14a )2＝c 2＋116a 2＝1716.∴|EF →|＝32，|'G C |＝174，cos 〈EF →，'G C 〉＝''EF C G EF C G＝5117.所以EF ，C ′G 所成角的余弦值为5117.(3)∵FH →＝FB →＋BC →＋C'C ＋H'C ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12'G C ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12(－c －14a )＝38a ＋12b ＋12c ， ∴|FH →|2＝(38a ＋12b ＋12c )2＝964a 2＋14b 2＋14c 2＝4164，∴FH 的长为418.设计说明本节课介绍了空间向量的夹角、空间向量的数量积运算的定义及其应用．空间向量的夹角和空间向量的数量积运算的定义由平面向量的相关定义类比得到．空间向量的数量积运算的性质和运算律由学生发现，并在理解新知中经学生证明．本节课的重点是空间向量数量积运算的应用及其变形公式在立体几何中的应用，在变练演编中发散学生思维，帮助学生对所学知识进行整合，对方法进行归纳．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行变练演编，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料备选例题1已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，求AC ′的长．思路分析：要求AC ′的长，只需将AC ′→用AB →，AD →，AA ′→表示出来即可． 解：|'AC |2＝(AB →＋AD →＋'AA )2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|'AA |2＋2AB →·AD →＋2AB →·'AA ＋2AD →·'AA＝42＋32＋52＋2×4×3×cos90°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60° ＝16＋9＋25＋0＋20＋15＝85，所以|'AC |＝85.2已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝1，M ，N 分别是AB ，SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值．思路分析：要求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值，只要求SM →与BN →所成角的余弦值，因此就要求SM →·BN →以及|SM →||BN →|，然后再用向量夹角公式求解．解：设SA →＝a ，SB →＝b ，SC →＝c ，∴a ·b ＝b ·c ＝a ·c ＝12.∵SM →·BN →＝12(SA →＋SB →)·(SN →－SB →)＝12(a ＋b )·(12c －b )＝12(12a ·c －a ·b ＋12b ·c －b 2)＝12(12×12－12＋12×12－1)＝－12，∴cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →||BN →|＝－1232×32＝－23.所以，异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为23.点评：设出空间的一个基底后，求数量积SM →·BN →的时候目标就更加明确了，只要将SM →与BN →都化为用基向量表示就可以了．本题中SM →与BN →的夹角是异面直线SM 与BN 所成角的补角．3如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，E 为A 1C 1与B 1D 1的交点，F 为BC 1与B 1C 的交点，又AF ⊥BE ，求长方体的高BB 1.思路分析：本题的关键是如何利用AF ⊥BE 这个条件，在这里可利用AF →⊥BE →AF →·BE →＝0 将其转化为向量数量积问题．解法一：∵AF →⊥BE →，∴AF →·BE →＝(AB →＋BF →)·(BB 1→＋B 1E →)＝[AB →＋12(BC →＋BB 1→)]·[BB 1→＋12(BC →－AB →)]＝0.∴14(2AB →＋BC →＋BB 1→)·(2BB 1→＋BC →－AB →)＝0. ∴－2|AB →|2＋|BC →|2＋2|BB 1|2＝0.∴|BB 1→|2＝8. 所求高BB 1＝2 2.解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，|a |2＝a 2＝16，|b |2＝b 2＝16， BE →＝BB 1→＋B 1E →＝c ＋12(b －a )，AF →＝AB →＋BF →＝a ＋12(c ＋b )．∵AF ⊥BE ，∴BE →·AF →＝0， 即[c ＋12(b －a )]·[a ＋12(c ＋b )]＝0.∴12c 2＋14b 2－12a 2＝0. ∴|c |2＝c 2＝8，即所求高BB 1＝2 2.点评：本题从表面上看是求线段长度，但实际上却是充要条件：AF →⊥BE →AF →·BE →＝0的应用问题．(设计者：徐西文)。
第02讲 空间向量的数量积运算(4种类型)(答案与解析)
2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅= ；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅ ；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a =，OB b =，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=⋅。
要点诠释：1.规定：π>≤≤<b a ,02.特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
空间向量的数量积运算教学设计 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.1.2 空间向量的数量积运算一、教学内容及解析（一）教学内容本节主要学习空间向量的夹角、数量积和投影向量（二）内容解析空间向量的数量积运算，是继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅。
二、教学目标及分析（一）教学目标1、掌握空间向量夹角的概念及表示方法2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题（二）目标分析1、第一节学生已经学习过空间中的任意两个向量通过平移转化为同一平面内的向量，空间向量的夹角即可转化为平面向量的夹角，以此掌握空间向量的夹角的概念及表示方法2、学生通过类比平面向量的数量积得出空间向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算律3、教师利用例题讲解如何利用向量解决立体几何中的夹角、距离等一些简单问题，学生利用变式练习进一步巩固空间向量的运用三、教学重难点1、重点：空间向量数量积的概念及运算律2、难点：用向量的方法解决立体几何问题四、教学过程问题一、如何定义空间向量的夹角及数量积？问题1、平面向量的夹角及数量积是如何定义的？师生活动：学生回顾平面向量的夹角的定义及范围，教师指导设计意图：复习旧知，引入新知问题2、空间向量和平面向量有何关系？如何定义空间向量的夹角及数量积？师生活动：教师指出上节课已经探究过空间任意两个向量通过平移都可以平移到一个平面内，转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义，教师提问并板书，学生回答夹角、夹角范围、数量积及相关结论设计意图：通过类比转化，得出空间向量的夹角及数量积定义，学生容易接受并掌握新知问题二、类比平面向量投影的得到过程，在空间中一个向量在另一个向量上的投影，该怎么作呢？师生活动：学生回忆平面向量中投影向量的知识，教师板书平面中向量的投影向量推导过程，帮助学生回顾旧知，为空间向量的投影做准备。
空间向量的数量积运算
逆命题成立吗 ? 三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线 ,如果和这个平面的一 条斜线垂直, 那么它也和这条斜线在平面内的射 影垂直.
例 2 ．已知:如图, PO 、 PA 分别是平面 的垂 线、斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ， 且 l OA ，求证： l PA P
回顾平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 a, b , 则 a b cos 叫做 a, b 的数量积，记作 a b , 即 a b a b cos
向量的夹角：
知空间两个非零向量 a, b , 则 a b cos a, b 叫做 a, b 的数量积，记作 a b , 即 a b a b cos a , b 0 a, b
2）证明垂直问题； (a, b是非零向量)
a b ab 0;
3）向量的夹角（两异面直线所成的角）； ab cos a , b a b
练习：
已知点O是正△ABC平面外一点，若 OA=OB=OC=AB=1，E、F分别是AB、 OC的中点，用向量法解决下列问题： (1)计算 AO OB, OE BF ； O (2)求OE与BF所成角的余弦值； (3)证明 AB OC ； (4)求EF的距离.
一、空间向量数量积的定义
a
b
注意: ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
平面向量数量积的运算律： 二、空间向量数量积的运算律：
(1)( a) b (a b) (2)a b b a (交换律) (3)a (b c) a b a c (分配律)
《空间向量数量积的运算》的教学反思
《空间向量数量积的运算》教学反思湖南省地质中学蒋培南本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这一节，这是本章第三节的内容，主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。
根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。
突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。
本节课在教学设计上，首先要目标明确，从知识、能力、情感态度与价值观三方面进行整体设计，注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系（物理学：功），因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。
在整个教学过程中，我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线进行教学，符合学生的认知规律，也易于学生对知识的掌握，在教学方法上，我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。
同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等，本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。
但我注重调动学生的主观能动性，最大限度的发挥学生的主体作用，在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决相关例题。
精彩处在于学生积极参与互动，学生评判，教师引导，学生积极归纳知识点，整个课堂热烈有序，张而有驰，整体课多次出现教学高潮，博得了学生与听课专家的热烈掌声，从课后反馈来看，本堂课普片反应学懂了，掌握了知识和解决问题的能力，正在学有所用。
不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式或动画设计，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。
其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又渐渐变成了主导者。
空间向量的数量积运算-高中数学知识点讲解
空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角→→→已知两个非零向量푎、푏，在空间中任取一点O，作푂퐴=→→푎，푂퐵=→→→→푏，则∠AOB叫做向量푎与푏的夹角，记作＜푎，→푏＞．2．空间向量的数量积→→→→→→→→→→→→→→（1）定义：已知两个非零向量푎、푏，则|푎||푏|cos＜푎，푏＞叫做向量푎与푏的数量积，记作푎•푏，即푎•푏=|푎||푏|cos→→푎，푏＞ ＜→→→→→→→→→→→（2）几何意义：푎与푏的数量积等于푎的长度|푎|与푏在푎的方向上的投影|푏|cosθ的乘积，或푏的长度|푏|与푎在푏的方→向上的投影|푎|cosθ的乘积．3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．→（1）交换律：(휆푎)⋅→→푏=λ（푎⋅→푏）=→→푎•（휆푏）→푎⋅→푏=→푏⋅→푎→→（2）分配律：푎⋅(푏+→푐)=→푎⋅→푏+→푎⋅→푐．4．数量积的理解→（1）书写向量的数量积时，只能用符号푎⋅→→푏，而不能用符号푎×→→→푏，也不能用푎푏（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．→（3）当푎≠→→0时，由푎⋅→→→→→푏= 0不能推出푏一定是零向量，这是因为任一个与푎垂直的非零向量푏，都有푎⋅→푏=0【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：1/ 3利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，→将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|푎| =→푎⋅→푎求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．利用数量积证明垂直关系：→（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断푎⊥→→푏时，须指明푎≠→→0，푏≠→0；→→→（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量푎，푏，푐的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．→例：已知 2푎+→→→→푏=（2，﹣4，1），且푏=（0，2，﹣1），则푎•푏=﹣7→分析：通过 2푎+→→→푏=（2，﹣4，1），且푏=（0，2，﹣1），求出向量푎的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．→解答：∵2푎+→→푏=（2，﹣4，1），且푏=（0，2，﹣1），→∴푎=（1，﹣3，1），→→∴푎•푏= 1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；2/ 3故答案为：﹣7．点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．3/ 3。
空间向量的数量积运算 课件
[精解详析] ∵ AC1 ＝ AB＋ AD＋ AA1 ， ∴| AC1 |2＝ AC1 2＝( AB＋ AD＋ AA1 )2 ＝ AB2＋ AD2＋ AA1 2＋2( AB ·AD＋ AB ·AA1 ＋ AD·AA1 ) ＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.
∴| AC1 |＝ 6，即对角线 AC1 的长为 6.
[精解详析] ∵ BA1 ＝ BA ＋ AA1 ＝ BA ＋ BB1 ， AC ＝
BC － BA，且 BA·BC ＝ BB1 ·BA＝ BB1 ·BC ＝0,
∴ BA1 ·AC ＝－ 2 ＝－1.
又| AC |＝ 2，|BA1 |＝ 1＋2＝ 3,
∴cos〈
BA1
，
AC
〉＝ |
BA1 ·AC ＝－1＝－ BA1 || AC | 6
＝12×1×1×cos〈 CA， CB 〉 ＝12×1×1×cos 60°＝14. (3)( OA＋OB)·(CA＋CB)＝(OA＋OB)·(OA－OC ＋OB－ OC ) ＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC ) ＝OA2＋OA·OB－2OA·OC ＋OB·OA＋OB2－2OB·OC ＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.
空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角
2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫
义 做a，b的数量积，记作 a·b
数乘向量与向量 运
数量积的结合律 算
交换律 律
分配律
(λa)·b＝λ(a·b)
a·b＝ b·a a·(b＋c)＝ a·b＋a·c
已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做a， 定义
空间向量的数量积运算》
a b 的几何意义
A
a A1
B1
bBLeabharlann 数量积 a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在 a 的方向上的投影 | b | cos 的乘积.
3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
便.
⑵是显然成立的,你能证 明(1)和(3)吗？
(1)( a) b (a b).
证明：当 =0 时，等式显然成立.当 ≠0 时，因 为 ( a) b | a || b | cos a, b
| | (| a || b | cos a, b ) ， 所以，若 >0,则| | = ， a, b = a, b ， 故 ( a) b | | (| a || b | cos. a, b )
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
成立吗？ 已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
| AC |2 ( AB AD AA)2 | AB |2 | AD |2 | AA |2 2( AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85.
| AC | 85.
另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系, 证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的 向量的数量积为零.
对于三个均不为 0 的 数,a,b,c,若 ab=ac,则 b=c. 对于向量 a , b , c ,由 a b a c 能得到b c 吗？如 果不能，请举出反例.
高中数学《空间向量的数量积运算》公开课优秀教学设计
高中数学《空间向量的数量积运算》公开课优秀教学设计本文讲述了空间向量的数量积运算，该运算是从平面向量推广到空间向量的实例。
学生通过类比和归纳的方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，并逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值。
本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅。
教学目标包括：通过小组合作、自主探究、交流分享，学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算；经历例1、2的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理空间中线线、线面垂直问题；在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力。
学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已初步感受到空间向量与平面向量之间的内在联系，能体会并运用类比的方法研究空间向量及其运算，明白了“空间任意两个向量都是共面的”。
在平面向量的研究中，已经认识到平面向量的数量积在判定位置关系（垂直）、角与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提。
即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，类比引入空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，类比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积运算、运算律及其应用价值。
空间向量的数量积运算及其应用2．引入问题：如何用空间向量表示几何元素？3．概念建构：通过类比归纳得出空间向量数量积运算的概念及运算律，理解空间向量的投影以及数量积的分配律4．例题赏析：注重引导学生建立“已知”与“待求”间的“关联”，借助向量工具适时转化难点，设置问题串适时突破难点5．渗透数形结合、化归转化的数学思想，将立体几何问题转化为向量计算问题6．课堂小结与感悟，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发研究的热情，进一步增强教师引领的辐射作用7．强调以学定教，充分发挥学生主体作用，让学生“动起来”，让课堂“活起来”8．教学策略：师生课堂互动模型和研究金字塔模型的引导，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式本节课旨在通过明暗两条教学主线来实现教学目标。
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2
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法二:由 a b a 2a b b 代入求得 ab =-2.
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2
2
∴ a b a 2ab b 得 a b 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
巩固练习：
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面
内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b,
AC＝c,求C、D间的距离.
斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO 、PA 分别是平面 的垂线、斜线，AO
是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
求证： l PA 分析：用向量来证明两直线垂
直，只需证明两直线的方向向
量的数量积为零即可！
P O A a
l
适当取向量尝试看看！
如图,已知: PO , AO为射影, l , 且l OA 求证：l PA
④(3 a
+2 b
)·(3 a
2b
)=9| a
|2-
4
b
2
中,
真命题是( D )
(A)①② (B)②③
(C)③④
(D)②④
巩固练习：
2.已知向量 a,b 满足 a 1, b 2, a b 3 ,
则 a b ___1__.
2
2
22
法一:发现 a b a b 2( a b ) 代入求得.
③ cos a, b a b (求角度). ab
以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.
应用:
由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关, 所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借 助向量的数量积运算来解决.
(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角, 可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的 夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.
注意：数量积不满足结合律，也不满足消去率
思考：
(1)对 于 三 个 均 不 为0 的 数a，b，c， 若
ab ac，则b c. 对于向量a ，b，c，由
a b a c，能得到b c 吗？如果不能， 请举出反例.
(2)对于三个均不为 0 的数a，b，c，若
ab c，则 a c (或b c ). 对于向量 a ，b，
②.存在实数t, 使得OP OA t AB 另：存在实数x, y, 使得OP xOA yOB,( x y=1)
3.共面向量定理：
如果两个向量 a , b不共线,则向量 p 与向量 a , b
共面的充要条件是存在实数对x, y使p xa yb
4.P、A、B、C四点共面充要条件：
(1)存在有序实数对(x, y), 使得AP xAB yAC (2)对空间中任意一点O, 有OP OA xAB yAC
另：对空间中任意一点O, 有
OP xOA yOB zOC(x y z 1)
讲授新课
1已.空知A间O两两B个叫个非做向零量a向与的量b夹向a角,量b的, 夹作O角A.记a,O作B : b,
则
a,b
a,b b, a A a
a
b
o
b
B
0 a, b
关键是 起点相 同！
1 当 a, b 0时, a与b同向.
定义：已知两个向量 a,b，则把 | a | | b | cosa，b 叫做向量 a、b 的数量积，记作a b,即 :
a b | a | | b | cosa，b .
注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
a b的几何意义： 数量积a b等于a的长度 a 与b在a方向上
(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此 空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过 求向量的模得到.
4. 空间向量数量积运算律
⑴ a b b a （交换律）
⑵ (a) b (a b) a (b)（数乘结合律）
⑶ a (b c) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
证明：在直线l上取向量 a ,只要证a (PO OA)
a PO a OA
O A a l
0
a PA,即l PA. 逆命题成立吗?
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平
面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
b
a
若a • b k， 能不能写成 a k，(或 b k )?
b
a
也就是说，向量有除法吗？
巩固练习：
1.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：
①( a · b ) c ( c · a ) b =0
②| a |-| b |<| a b |
③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直
2 当 a, b 时, a与b反向.
OA,OB> OB,OA OA,OB OA, OB
定义：如果 a，b ，则称向量 a 与 b 互相
2 垂直，记作 a b .
A
a
a
b
O
B
b
2. 两个向量的数量积： 定义：设 OA a，则有向线段 OA 的长度叫做 向量 a 的长度或模，记作 | a | .
的投影 b cos a, b 的乘积.
3、空间向量数量积的性质
与平面类似,定义空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
a b a b cos a, b
也有下列三个重要性质：
2
2
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
② a b a b 0 (垂直的判断);
解：∵
C
| CD |2 (CA AB BD)2 | CA |2 | AB |2 | BD |2 a2 b2 c2
c a
bD
A
B
CD a2 b2 c2
空间向量的运用还经常用来判定空间垂直 关系,证两直线垂直常可转化为证明以这两条 线段对应的向量的数量积为零.
例题讲解
例 1、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条
复习回顾：
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a, b(b 0)共线（a b）
的充要条件是存在实数，使得a=b
2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则
点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有： ①.存在实数t, 使得 AP t AB,即AP / / AB