《空间向量的数量积运算》

复习回顾：
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a, b(b 0)共线（a b）
的充要条件是存在实数，使得a=b
2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则
点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有： ①.存在实数t, 使得 AP t AB,即AP / / AB
b
a
若a • b k， 能不能写成 a k，(或 b k )?
b
a
也就是说，向量有除法吗？
巩固练习：
1.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：
①( a · b ) c ( c · a ) b =0
②| a |-| b |<| a b |
③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直
③ cos a, b a b (求角度). ab
以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.
应用:
由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关, 所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借 助向量的数量积运算来解决.
(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角, 可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的 夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.
2
2
2
法二:由 a b a 2a b b 代入求得 ab =-2.
2
2
2
∴ a b a 2ab b 得 a b 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
巩固练习：
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面
内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b,
AC＝c,求C、D间的距离.
证明：在直线l上取向量 a ,只要证a PA 0
a PO 0 , a OA 0
P
a PA a (PO OA)
a PO a OA
O A a l
0
a PA,即l PA. 逆命题成立吗?
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平
面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
注意：数量积不满足结合律，也不满足消去率
思考：
(1)对 于 三 个 均 不 为0 的 数a，b，c， 若
ab ac，则b c. 对于向量a ，b，c，由
a b a c，能得到b c 吗？如果不能， 请举出反例.
(2)对于三个均不为 0 的数a，b，c，若
ab c，则 a c (或b c ). 对于向量 a ，b，
定义：已知两个向量 a,b，则把 | a | | b | cosa，b 叫做向量 a、b 的数量积，记作a b,即 :
a b | a | | b | cosa，b .
注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
a b的几何意义： 数量积a b等于a的长度 a 与b在a方向上
(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此 空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过 求向量的模得到.
4. 空间向量数量积运算律
⑴ a b b a （交换律）
⑵ (a) b (a b) a (b)（数乘结合律）
⑶ a (b c) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO 、PA 分别是平面 的垂线、斜线，AO
是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
求证： l PA 分析：用向量来证明两直线垂
直，只需证明两直线的方向向
量的数量积为零即可！
P O A a
l
适当取向量尝试看看！
如图,已知: PO , AO为射影, l , 且l OA 求证：l PA
④(3 a
+2 b
)·(3 a
2b
)=9| a
|2-
4
b
2பைடு நூலகம்
中,
真命题是( D )
(A)①② (B)②③
(C)③④
(D)②④
巩固练习：
2.已知向量 a,b 满足 a 1, b 2, a b 3 ,
则 a b ___1__.
2
2
22
法一:发现 a b a b 2( a b ) 代入求得.
的投影 b cos a, b 的乘积.
3、空间向量数量积的性质
与平面类似,定义空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
a b a b cos a, b
也有下列三个重要性质：
2
2
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
② a b a b 0 (垂直的判断);
解：∵
C
| CD |2 (CA AB BD)2 | CA |2 | AB |2 | BD |2 a2 b2 c2
c a
bD
A
B
CD a2 b2 c2
空间向量的运用还经常用来判定空间垂直 关系,证两直线垂直常可转化为证明以这两条 线段对应的向量的数量积为零.
例题讲解
例 1、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条
2 当 a, b 时, a与b反向.
OA,OB> OB,OA OA,OB OA, OB
定义：如果 a，b ，则称向量 a 与 b 互相
2 垂直，记作 a b .
A
a
a
b
O
B
b
2. 两个向量的数量积： 定义：设 OA a，则有向线段 OA 的长度叫做 向量 a 的长度或模，记作 | a | .
另：对空间中任意一点O, 有
OP xOA yOB zOC(x y z 1)
讲授新课
1已.空知A间O两两B个叫个非做向零量a向与的量b夹向a角,量b的, 夹作O角A.记a,O作B : b,
则
a,b
a,b b, a A a
a
b
o
b
B
0 a, b
关键是 起点相 同！
1 当 a, b 0时, a与b同向.
②.存在实数t, 使得OP OA t AB 另：存在实数x, y, 使得OP xOA yOB,( x y=1)
3.共面向量定理：
如果两个向量 a , b不共线,则向量 p 与向量 a , b
共面的充要条件是存在实数对x, y使p xa yb
4.P、A、B、C四点共面充要条件：
(1)存在有序实数对(x, y), 使得AP xAB yAC (2)对空间中任意一点O, 有OP OA xAB yAC