(2014-03-31)第4章 流体运动(第一次课)解析
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经过该截面周界的流线就组成一个管状体。
Q2=S2v2 v2 S2
二、连续性方程 S1v1=S2v2 或 Sv=C
v1 S1 Q1=S1v1
对于质点系和刚体，有一个基本原理：
功能原理！
对于理想流体：
是否也有相应的功能原理？有！
伯努利方程
它反映理想流体势能、动能、压强之间的关系。
三、 伯努利方程 Bernoulli equation
⑥ 流管周围的流体对流体柱ab的力不做功
⑦ 只有推力F1和阻力F2对流体柱做功
(2) 外力的合力所作的总功A:
A1 F1v1t F1 p1 S1 A2 F2v2 t F2 p2 S2 A A1 A2 p1 S1v1t - p2 S2v2t
S1v1Δt=S2v2Δt= ΔV
讨论：
(1) 物理意义：
1 p gh v 2 C 2
理想流体作稳定流动时，同一流管的不同截面积处 的压强、流体单位体积的势能与单位体积的动能之 和都是相等的.
(2) 方程中各个物理量的单位
m 2 p : Pa N2 k g 2 /m
kg m m 2 ρgh : 3 2 m kg 2 /m Pa m s s
1738年, 英国科学家伯努利Daniel Bernoulli(1700 ~1782年)利用力学中的功能原理, 推导出理想流体在 流动中的动力学方程. 理想流体作稳定流动时, 在流体内同一流管任意点的 压强、单位体积势能、单位体积动能满足:
1 2 p gh v constant 2
或在流体中同一流管任意两截面处有：
1 2 kg m 2 m 2 ρv : kg 2 /m Pa 3 2 m s s
m
s
静压强
动压强
讨论：
(3) 适用条件 ① 理想流体做稳定流动;
1 p gh v 2 C 2
② 同一流管的不同截面积处或同一流线的不同点; (4) 分支管道的伯努利方程: S1 v1 S3 v3
① 不均匀水平管, h1=h2=h 1 1 2 2 p1 v1 p2 v2 2 2 ② 均匀管, S1=S2, v1= v2= v 竖直: p1 gh1 p2 gh2 水平: p, h, v均为常量 ③ 若某处与大气相通, 则该处的压强为大气压 p0
四、伯努利方程的应用
1 2 1 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2
推导依据: 连续性方程和功能原理.
推导过程：
当t→0时
(1) 假设与近似 ① aa' 处的截面积近似相等(S1) ② bb' 处的截面积近似相等(S2) ③ aa'体积内的v1、p1不变, 高度h1 ④ bb'体积内的v2、p2不变, 高度h2 ⑤ aa'和bb'体积相等V1 = V2 = V, 质量均为 m
•
Biblioteka Baidu
令小孔处的高度为 hB=0 点A: hA=h, vA=0, pA=p0 点B: hB=0, vB=?, pB=p0 1 1 2 2 pA v A ghA pB vB ghB • B 2 2 1 2 gh v B vB 2 gh 2
流出的速度等于流体质元自液面自由落下到小孔处获得的速度。
S2
v2
1 2 1 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2 1 2 1 2 p1 v1 gh1 p3 v3 gh3 2 2
讨论：
(5) 特殊情况下方程的简化
1 2 1 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2
1. 空吸
水平管: h1=h2=h
1 2 1 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2
1 1 2 2 p1 v1 p2 v2 2 2
分析： S2<S1 v2>v1 p2<p1 p2< p0 (大气压) 空吸作用。
应 用：喷雾器、水流抽气机、内燃机汽化器。
实例1: 喷雾器
实例2: 水流抽气机
2. 小孔流速
一个很大的开口容器, 器壁上有一小孔, 当容器内 注入液体后, 液体从小孔流出. 设小孔距液面的高度 是h, 求液体从小孔流出的速度. 任意选取一流线, A为流线上通过液面的一点, B为 该流线通过小孔上的一点. S A S B v A 0 A
大学物理
College Physics
主 讲
华中科技大学物理学院
傅华华
回顾：
一、理想流体： 绝对不可压缩的、完全没有黏性(或内摩擦力)的流体。
研究对象： 流体质元.
流速场的空间分布不随时间变化. 理想流体的稳定流动：
流线：每一点的切线方向都与流体通过该点的速度方向一致。 流管 运动的流体中标出一个横截面积 S1 ，
A ( p1 p2 )V
(3) 动能Ek和势能Ep的变化
(4) 功能原理
E p mgh2 mgh1
1 1 2 2 E k mv2 mv1 2 2
A E k E p
1 1 2 p1 ΔV p2 ΔV Δmgh2 Δmgh1 Δmv 2 Δmv 12 2 2 1 1 2 2 p1V mgh1 mv1 p2 V mgh2 mv2 1 22 1 2 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 p gh 1 v 2 C 2 2 2
例1 一圆形开口容器, 高0.7 m, 截面积6×102m2. 贮满清水, 若 容器底有一小孔1cm2 , 问该容器中水流完需要多少时间？ 解: 已知 hA=0.7 m, SA= 6×102 m2, SB= 104 m2. 随着水的流出, 水位不断下 降, 流速逐渐减小, 根据小孔流速规律知 在任意水位 h 处水的流速为: vB 2 gh 该处厚度为dh 的薄层从小孔流出时间为:
Q2=S2v2 v2 S2
二、连续性方程 S1v1=S2v2 或 Sv=C
v1 S1 Q1=S1v1
对于质点系和刚体，有一个基本原理：
功能原理！
对于理想流体：
是否也有相应的功能原理？有！
伯努利方程
它反映理想流体势能、动能、压强之间的关系。
三、 伯努利方程 Bernoulli equation
⑥ 流管周围的流体对流体柱ab的力不做功
⑦ 只有推力F1和阻力F2对流体柱做功
(2) 外力的合力所作的总功A:
A1 F1v1t F1 p1 S1 A2 F2v2 t F2 p2 S2 A A1 A2 p1 S1v1t - p2 S2v2t
S1v1Δt=S2v2Δt= ΔV
讨论：
(1) 物理意义：
1 p gh v 2 C 2
理想流体作稳定流动时，同一流管的不同截面积处 的压强、流体单位体积的势能与单位体积的动能之 和都是相等的.
(2) 方程中各个物理量的单位
m 2 p : Pa N2 k g 2 /m
kg m m 2 ρgh : 3 2 m kg 2 /m Pa m s s
1738年, 英国科学家伯努利Daniel Bernoulli(1700 ~1782年)利用力学中的功能原理, 推导出理想流体在 流动中的动力学方程. 理想流体作稳定流动时, 在流体内同一流管任意点的 压强、单位体积势能、单位体积动能满足:
1 2 p gh v constant 2
或在流体中同一流管任意两截面处有：
1 2 kg m 2 m 2 ρv : kg 2 /m Pa 3 2 m s s
m
s
静压强
动压强
讨论：
(3) 适用条件 ① 理想流体做稳定流动;
1 p gh v 2 C 2
② 同一流管的不同截面积处或同一流线的不同点; (4) 分支管道的伯努利方程: S1 v1 S3 v3
① 不均匀水平管, h1=h2=h 1 1 2 2 p1 v1 p2 v2 2 2 ② 均匀管, S1=S2, v1= v2= v 竖直: p1 gh1 p2 gh2 水平: p, h, v均为常量 ③ 若某处与大气相通, 则该处的压强为大气压 p0
四、伯努利方程的应用
1 2 1 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2
推导依据: 连续性方程和功能原理.
推导过程：
当t→0时
(1) 假设与近似 ① aa' 处的截面积近似相等(S1) ② bb' 处的截面积近似相等(S2) ③ aa'体积内的v1、p1不变, 高度h1 ④ bb'体积内的v2、p2不变, 高度h2 ⑤ aa'和bb'体积相等V1 = V2 = V, 质量均为 m
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令小孔处的高度为 hB=0 点A: hA=h, vA=0, pA=p0 点B: hB=0, vB=?, pB=p0 1 1 2 2 pA v A ghA pB vB ghB • B 2 2 1 2 gh v B vB 2 gh 2
流出的速度等于流体质元自液面自由落下到小孔处获得的速度。
S2
v2
1 2 1 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2 1 2 1 2 p1 v1 gh1 p3 v3 gh3 2 2
讨论：
(5) 特殊情况下方程的简化
1 2 1 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2
1. 空吸
水平管: h1=h2=h
1 2 1 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2
1 1 2 2 p1 v1 p2 v2 2 2
分析： S2<S1 v2>v1 p2<p1 p2< p0 (大气压) 空吸作用。
应 用：喷雾器、水流抽气机、内燃机汽化器。
实例1: 喷雾器
实例2: 水流抽气机
2. 小孔流速
一个很大的开口容器, 器壁上有一小孔, 当容器内 注入液体后, 液体从小孔流出. 设小孔距液面的高度 是h, 求液体从小孔流出的速度. 任意选取一流线, A为流线上通过液面的一点, B为 该流线通过小孔上的一点. S A S B v A 0 A
大学物理
College Physics
主 讲
华中科技大学物理学院
傅华华
回顾：
一、理想流体： 绝对不可压缩的、完全没有黏性(或内摩擦力)的流体。
研究对象： 流体质元.
流速场的空间分布不随时间变化. 理想流体的稳定流动：
流线：每一点的切线方向都与流体通过该点的速度方向一致。 流管 运动的流体中标出一个横截面积 S1 ，
A ( p1 p2 )V
(3) 动能Ek和势能Ep的变化
(4) 功能原理
E p mgh2 mgh1
1 1 2 2 E k mv2 mv1 2 2
A E k E p
1 1 2 p1 ΔV p2 ΔV Δmgh2 Δmgh1 Δmv 2 Δmv 12 2 2 1 1 2 2 p1V mgh1 mv1 p2 V mgh2 mv2 1 22 1 2 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 p gh 1 v 2 C 2 2 2
例1 一圆形开口容器, 高0.7 m, 截面积6×102m2. 贮满清水, 若 容器底有一小孔1cm2 , 问该容器中水流完需要多少时间？ 解: 已知 hA=0.7 m, SA= 6×102 m2, SB= 104 m2. 随着水的流出, 水位不断下 降, 流速逐渐减小, 根据小孔流速规律知 在任意水位 h 处水的流速为: vB 2 gh 该处厚度为dh 的薄层从小孔流出时间为: