人教版数学高二B版必修5自我小测2.1.2数列的递推公式(选学)

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数学人教B版必修5教学设计：2.1.2数列的递推公式(选学) Word版含答案

教学设计2．1.2 数列的递推公式(选学)整体设计教学分析本节作为选学内容，课标对递推公式没有明确要求．考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学．实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好．数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列．同上节一样本节也是通过一些例子及章头前言中的事例来引入递推公式．并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身．没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续．让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列．数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可．三维目标1．通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同．会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项．2．通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本章章头左图中的说明，体会数学来源于生活．3．通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度．重点难点教学重点：理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列的后续各项．教学难点：利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图引入)让学生观察章头图中左图兔子的繁殖情况．假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一个数列，你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出来吗？由此展开新课的探究．思路2.(直接引入)我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式a n＝n表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出来，即a n＝a n－1＋1(n≥2)，这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：递推公式．由此展开探究．推进新课新知探究提出问题(1)多媒体演示图1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？你能找出它的相邻两层之间的关系吗？(2)数列{a n}的通项公式是a n＝2n.从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？章头数列3，1cos cos cos…从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？(3)怎样理解递推公式？若已知数列a n＝2a n－1＋1，你能写出这个数列吗？为什么？活动：教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图．引导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型．由学生合作探究，必要时教师给予点拨．模型一：自上而下第1层钢管数为4，即14＝1＋3；第2层钢管数为5，即25＝2＋3；第3层钢管数为6，即36＝3＋3；第4层钢管数为7，即47＝4＋3；第5层钢管数为8，即58＝5＋3；第6层钢管数为9，即69＝6＋3；第7层钢管数为10，即710＝7＋3.若用a n表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n＝n＋3(1≤n≤7)．模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，即a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：a n＝a n－1＋1(2≤n≤7)．在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评．首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论．对于推得的a n＝n＋3，只要将n的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数．因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带来很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的．对于推得a n＝a n－1＋1(2≤n≤7且n∈N*)的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现．这个关系式说明：只要知道a1，则以后的每一项都等于它的前项加1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项．这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法．我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式．递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意．下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列．引导学生给递推公式这样下定义：通过给出数列的第一项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．注意：递推公式也是给出数列的一种方法．如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89，递推公式为a1＝3，a2＝5，a n＝a n－1＋a n－2(3≤n≤8)．掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系．有了以上探究活动，学生很容易探究出问题(2)(3)，至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础．讨论结果：(1)略(2)a1＝2，a n＝2a n－1(n＝2,3,4，…)；数列3，a1＝1，a n＝cos(a n－1)(n＝2,3,4，…)．(3)递推公式包括已知的第1项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项．前者是递推的基础，后者是递推的延续．因此仅知a n＝2a n－1＋1无法写出这个数列的各项．应用示例例1已知a1＝2，a n＋1＝2a n，写出前5项，并猜想a n.活动：根据a1＝2及a n＋1＝2a n，学生很容易求出前5项，分别是2,4,8,16,32.由观察可猜想a n＝2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求a n，这种解法则是不完整的．由a na n－1＝2，可得到以下解法：a n a n－1×a n－1a n－2×a n－2a n－3×…×a2a1＝a na1＝2n－1，∴a n＝2n.解：∵a1＝2，a n＋1＝2a n，∴a2＝2×a1＝4，a3＝2×a2＝8，a4＝2×a3＝16，a5＝2×a4＝32.∵a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，a4＝16＝24，∴猜想a n＝2n.变式训练已知a1＝2，a n＋1＝a n－4，求a n.解：由a n＋1－a n＝－4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，a n－a n－1＝－4a n－1－a n－2＝－4a n－2－a n－3＝－4……＋)a2－a1＝－4a n－a1＝－4(n－1)∴a n＝2－4(n－1)．例2(教材本节例1)活动：本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力．教师可引导学生分析，如果不代入a1的值，由依次计算的结果可能更容易看到a n与n的函数关系：a2＝a11－a1；a3＝a11－2a1，a4＝a11－3a1，a5＝a11－4a1，…，a n＝a11－(n－1)·a1＝23－2n.变式训练已知数列{a n}的递推公式是a n＋2＝3a n＋1－2a n，且a1＝1，a2＝3. 求：(1)a5；(2)127是这个数列中的第几项？解：(1)∵a1＝1，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n，∴a3＝3a2－2a1＝7，a4＝3a3－2a2＝15，a5＝3a4－2a3＝31.(2)由递推公式，可得a6＝3a5－2a4＝63，a7＝3a6－2a5＝127，∴127是此数列的第7项．例3(教材本节例2)活动：本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大．要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力．这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握．具体讲解时，可把P 1，P 2，P 3的坐标都写出来让学生观察发现a n 与a n ＋1间的关系．变式训练在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n 等于( ) A ．2＋lnn B ．2＋(n －1)lnnC ．2＋nlnnD ．1＋n ＋lnn答案：A解析：方法一，由a 2＝a 1＋ln2＝2＋ln2，排除C 、D ；由a 3＝a 2＋ln(1＋12)＝2＋ln3，排除B.故选A.方法二，由已知，a n ＋1－a n ＝lnn ＋1n ，a 1＝2， ∴a n －a n －1＝lnn n －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2， …a 2－a 1＝ln 21，将以上n －1个式子累加得a n －a 1＝lnn n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21 ＝ln(n n －1·n －1n －2·…·21)＝lnn ， ∴a n ＝2＋lnn.例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，记OA 1，OA 2，OA 3，…，OA 7，OA 8的长度所在的数列为{l n }(n ∈N *,1≤n ≤8)．甲乙(1)写出数列的前4项；(2)写出数列{l n}的一个递推关系式；(3)求{l n}的通项公式；(4)如果把图中的三角形继续作下去，那么OA9，OA2 007的长度分别是多少？活动：本例虽然题干看起来很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第(1)问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在．教师可借此进一步向学生点拨：①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．②递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式．解：(1)l1＝OA1＝1，l2＝OA2＝2，l3＝OA3＝3，l4＝OA4＝2.(2)通过观察图形，可知：OA n＋1，OA n,1组成直角三角形，而OA n＋1＝l n＋1，OA n＝l n.＝l 2n＋1(n∈N*,1≤n≤8)．∴由勾股定理可得l 2n＋1(3)l n＝n.(4)OA9＝l9＝3，OA2 007＝ 2 007＝3223.点评：递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如3项或2项以上的递推公式不作要求．知能训练1．若数列{a n }前n 项的值各异，且a n ＋8＝a n 对任意的n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }的前8项值的数列为( )A ．{a 2n ＋1}B ．{a 3n ＋1}C ．{a 4n ＋1}D ．{a 6n ＋1}2．已知a n ＝a n －2＋a n －1(n ≥3)，a 1＝1，a 2＝2，b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前4项依次是__________．答案：1．B 解析：取k ＝0,1,2，…，8验证，周期为8.2．前4项依次是12，23，35，58. 课堂小结1．先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识，即数列的简单表示法：通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法．探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法来表示这种规律．2．教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式．由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制，但要熟悉常用的基本方法．作业课本本节习题2—1 A 组7、8；习题2—1 B 组4，第5题选做．设计感想本教案设计遵循生活是源，数学是流的规律，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的．如递推数列是通过工厂堆放的钢管数呈现的．目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学．本教案设计思路体现了新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生自主学习，经历数学活动，体验数学过程，以活泼、清新、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维．同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．本教案设计力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念．数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，成为听话的乖绵羊，而是让学生体会到数学的实用价值，一种文化价值．当你醉心于数学课堂时，数学课堂便呈现给你一种美景：那就是活生生的数学，那就是内在神奇而奥妙，外在冷傲而绝美，由大自然抽象出来的自然科学的皇后——数学．备课资料一、探究求数列通项公式的方法求通项公式是学习数列的一个难点，由于求通项公式时需用到多种数学思想方法，因此求解过程中往往方法多，灵活性大，技巧性强，为了学生课余时间进一步探究，现举几例，以供参考．1．观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．【例1】已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，写出此数列的一个通项公式．解：观察数列前若干项可得通项公式为a n ＝(－1)n 2n －32n . 2．公式法已知数列的前n 项和求通项时，通常用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a 1和a n 合为一个表达式．【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求此数列的通项公式．解：由条件可得S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n .所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2. 3．累差迭加法若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋f(n)的递推式，其中f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项．【例3】已知数列6,9,14,21,30，…，求此数列的通项．解：∵a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝5，a 4－a 3＝7，…，a n －a n －1＝2n －1，各式相加得a n －a 1＝3＋5＋7＋…＋(2n －1)，∴a n ＝n 2＋5(n ∈N )．4．连乘法若数列{a n }能写成a n ＝a n －1f(n)(n ≥2)的形式，则可由a n ＝a n －1f(n)，a n －1＝a n －2f(n －1)，a n －2＝a n －3f(n －2)，…，a 2＝a 1f(2)连乘求得通项公式．【例4】已知数列{a n }满足a 1＝1，S n ＝(n ＋1)a n 2(n ∈N )，求{a n }的通项公式．解：∵2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N )，2S n －1＝na n －1(n ≥2，n ∈N )，两式相减得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，∴a n a n －1＝n n －1(n ≥2，n ∈N )．于是有a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1(n ≥2，n ∈N )，以上各式相乘，得a n ＝na 1＝n(n ≥2，n ∈N )．又a 1＝1，∴a n ＝n(n ∈N )．5．求解方程法若数列{a n }满足方程f(a n )＝0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式．【例5】已知函数f(x)＝2x －2－x ，数列{a n }满足f(log 2a n )＝－2n ，求数列{a n }的通项公式．解：由条件f(log 2a n )＝2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1a n＝－2n. ∴a 2n ＋2na n －1＝0. 又a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n.6．迭代法若数列{a n }满足a n ＝f(a n －1)，则可通过迭代的方法求得通项公式．二、备用习题1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 5等于( )A.5512B.133 C ．4 D ．52．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝－12a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，则a 4等于… ( ) A ．－1 B.12 C.1724 D ．－183．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝__________.4．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________.5．已知a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则在数列{a n }中的前30项中，最大项和最小项分别是__________．6．一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？参考答案：1．A 解析：a 3＝a 2＋1a 1＝4，a 4＝a 3＋1a 2＝133，a 5＝a 4＋1a 3＝5512. 2．D 解析：a 2＝－12a 1＝－12，a 3＝－12a 2＝14，a 4＝－12a 3＝－18. 3.1n 解析：由已知可求得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，由此可猜想a n ＝1n. 4.n (n ＋1)2＋1 解析：由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.当n ＝1时，也符合上式．因此，a n ＝n (n ＋1)2＋1. 5．a 10，a 9 解析：a n ＝n －98n －99＝1＋99－98n －99，当1≤n ≤9时，99－98n －99＜0，a n 为递减函数；当n ≥10时，99－98n －99＞0，a n 为递减函数． ∴最大项为a 10，最小项为a 9.6．解：这题是一道应用题，本题难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到．爬一级梯子的方法只有一种．爬一个二级梯子的方法有两种，即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种．若设爬一个n 级梯子的不同爬法有a n 种，则a n ＝a n －1＋a n －2＋a n －3(n ≥4)，则得到a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4及a n ＝a n －1＋a n －2＋a n －3(n ≥4)，就可以求得a 8＝81.(设计者：周长峰)。

高中数学人教B版必修5学案：2.1.2数列的递推公式选学课堂探究学案(含答案)

数列的递推公式（选学）堂研究一、通公式与推公式解析：推公式是：已知数列{ a n } 的第 1( 或前几 ) ，且从第二 ( 或某一 ) 开始的任一 a n 与它的前一a n － 1( 或前几 ) 的关系能够用一个公式来表示，那么个公式就叫做个数列的推公式．通公式是：一个数列 { a n } 的第 na n 与数 n 之的关系，假如能够用一个公式 a n ＝ f ( n ) 来表示，我就把个公式叫做个数列的通公式．通公式反应的是与数之的关系，而推公式反应的是相两 ( 或几 ) 之的关系．于通公式，只需将公式中的 n 挨次取 1，2，3，⋯即可获得相的；而推公式要已知首 ( 或前几 ) ，才可求得其余的．常常我要利用各样方法将推公式化通公式，通公式能更直接地研究数列．名点：推公式也是出数列的一种重要方法，有其实不必定要知道数列的通公式，只需知道数列的推公式，即可解决，有的推公式与通公式之也能够行互化．二、教材中的“？”(1) 你能猜想出例 1 中个数列的通公式？2解析：数列 { a n } 的通公式a n ＝ 3－ 2n ．(2) 你能比例2 中 a 与 an ＋ 1 的大小？你能比 a 与 an ＋ 2 的大小？nn解析：不可以比 a n+1 与 a n 的大小．当 n 奇数， a n+2 ＞a n ；当 n 偶数， a n+2＜ a n ．型一由推公式写出数列的【例 1】在数列 { a } 中，已知 a ＝ 2，a ＝3，a＝ 3a n ＋1－ 2a ( n ≥1) ，写出此数列的前六．n12n ＋ 2n解析：通察，此的推公式是数列中相三的关系式，知道前两就能够求出后一．解： a 1＝ 2，a 2＝ 3，a 3 ＝3a 2－ 2a 1＝3×3－2×2＝ 5，a 4 ＝3a 3－ 2a 2＝3×5－2×3＝ 9，a 5 ＝3a 4－ 2a 3＝3×9－2×5＝ 17，a 6 ＝3a 5－ 2a 4＝3×17－2×9＝ 33．反省：由推公式写出数列的的方法．(1) 依据推公式写出数列的前几，第一要弄清楚公式中各部分的关系，挨次代入算即可；(2) 解答需注意：若知道的是首，往常将所公式整理成用前方的表示后边的的形式；(3) 若知道的是末，往常将所公式整理成用后边的表示前方的的形式．型二由推公式求通公式【例 2】已知数列 {a n }，1＝ 1， n ＝ n －1＋1 ( n ≥2) ．a a an ( n － 1)(1) 写出数列 { a n } 的前 5 ；(2) 求数列 { a n } 的通公式．解析： (1) 中只需利用代入法挨次求出a 2， a 3， a 4， a 5 即可；(2) 利用以下关系式① a n ＝ ( a n － a n －1) ＋ ( a n －1－ a n －2) ＋⋯＋ ( a 3－ a 2) ＋ ( a 2－a 1) ＋ a 1；1 1 1②( － 1) ＝n － 1－ nn n行累加与裂相消即可求出{ n } 的通公式．a13解： (1) a 1＝1； a 2＝ a 1＋＝；a 3 ＝a 2＋ 1517＝； a 4＝ a 3＋＝；3×2 3 4×3 45＝ 4＋ 1 ＝ 9 ．aa5×4 51(2) 由 a n ＝ a n － 1＋ n ( n － 1) ，1得 a n － a n － 1＝ n ( n － 1) ( n ≥2) ，∴ a n ＝ ( a n － a n －1) ＋ ( a n －1－ a n －2) ＋⋯＋ ( a 3－ a 2) ＋ ( a 2－a 1) ＋ a 1＝1 ＋ 11＋ 1n ( n －＋⋯＋＋ 11) ( n － 1)( n － 2)3×2 2×111 1 1 11＋ 1－ 1＝n － 1－n＋n － 2－n － 1 ＋⋯＋ 2－ 3 2 ＋ 111 2n － 1 ( n ∈N +) ．＝－ n ＋ 1＋ 1＝ 2－ n ＝ n反省： (1) 依据推公式写出数列的前几，要弄清楚公式中各部分的关系，挨次代入算即可．此外，解答需注意：若知道的是首，往常将所公式整理成用前方的表示后边的的形式；若知道的是末，往常将所公式整理成用后边的表示前方的的形式．(2) 累加法当 a n－ a n－1＝ f ( n)足必定条件，常用 a n＝( a n－ a n－1)＋( a n－1－ a n－2)＋⋯＋( a2－ a1)＋a1累加来求通公式 a n．(3)累乘法假如推关系能够形a n+1＝ g( n)· a n的形式，且g( n)能求，可用累乘法求数列的通公式．型三易辨析【例 3】数列 { a } 足a＝ 1，此后各由32出，写a ＝ a ＋ 2(2 n － 12n ＋ 22n－ 11)n1n＋1n出个数列的前 4 ，并写出其通公式．解： a1＝1， a2＝3， a3＝5， a4＝7．由此猜想，个数列是正奇数从小到大排成的，∴a n＝2n－1．因解析：猜想的其实不都是正确的，必明其正确性，如当n＝5， a5＝33，故通公式不正确．正解： a2＝a1＋2(2×13－12×12＋22×1－11)，a3＝a2＋2(2×23－12×22＋22×2－11)，a4＝a3＋2(2×33－12×32＋22×3－11)，⋯a n＝a n－1＋2[2( n－1)3－12( n－1)2＋22( n－1)－11]，以上全部式子相加得a n＝ n4－10n3＋35n2－48n＋23．3333n( n＋1)22222n( n＋1)(2 n＋1)里用了 1＋ 2＋ 3＋⋯＋ n ＝与1＋ 2 ＋ 3 ＋⋯＋n＝26。

2021-2022学年人教B版必修5 2.1.2 数列的递推公式(选学) 教案(5)

常见递推数列通项公式的求法一、教学设计：1、教学目标：(1)知识与技能：会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。

(2)过程与方法：①复习回忆所学过的通项公式的求法，比照递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。

②比照等差数列的推导总结出累加法的试用题型。

③学生分组讨论完成累乘法及待定系数法的相关题型. (3)情感、态度与价值观：①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；②通过对数列递推公式和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。

2、教学重点、难点：教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。

教学难点：解题过程中方法的正确选择。

二、教学过程：〔一〕复习回忆：1、通项公式的定义及其重要作用2、学过的通项公式的几种求法3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题（1）问题探究及新知训练：问题1:数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2，求n a ?变式：数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2n ，求na ? 设计意图：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用累加法去求解。

教师带着学生细致讲解整个解题过程。

此例题以类比的形式出现，为学生体验成功搭建了平台，学生在解决第一小题后，一鼓作气，去挑战第二小题，激发了学生的求知欲望，在步步追寻中，学生自己解题，自己总结技巧，有助于加深学生对根本技能的认识，提高分析问题、解决问题的能力。

不断充实自我，完善自我。

然后给出比拟难的题目提高学生迎难而上的拼搏精神。

练习：数列}{n a ，1a =1，n n n a a 211=-+，求n a ? 总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

问题2：数列{a n }满足)(,2,111*+∈==N n a a a nn ，求{a n }的通项公式。

2021-2022学年人教B版必修5 2.1.2 数列的递推公式(选学) 教案

数列的递推公式课程标准：等差、等比数列是两类最根本的数列，是数列局部的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活〞往往集中在“转化〞的水平上三维目标：1、知识与能力：了解求解数列通项公式的几种常用方法；认识几种常见的形式，掌握解题方法并能解决实际的问题2、过程与方法：教学过程中板书演例如题，通过与学生相互交流，加深理解求数列通项的常用方法3、情感态度与价值观：培养学生利用转化，化归的思想，分析问题与解决问题的能力教学重点：掌握几种求解数列通项公式的方法教学难点：应用累加法(逐差相加法)；累乘法(逐商相乘法)；待定系数法等方法求解数列通项教学手段：板书和计算机演示讲解教学方法：启发式、探究式学法指导：交流与互动课时安排：一课时教学过程：一、几种求解数列通项公式的方法： 1、类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a所以n a a n 111-=-，211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴2、类型2 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a ann =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。

解：由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴ 例:31=a ，n n a n n a 23131+-=+)1(≥n ，求n a 。

2022-2021学年高二数学人教B必修5学案：2.1.2 数列的递推公式 Word版含答案

2.1.2数列的递推公式(选学)明目标、知重点 1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能依据递推公式写出数列的前n项.3.把握由一些简洁的递推公式求通项公式的方法．1．递推公式假如已知数列的第一项(或前几项)，且从其次项(或某一项)开头的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．[情境导学]某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，假如它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开头也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？对此问题的争辩产生了出名斐波那契数列{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，此数列具有a n＋1＝a n＋a n－1的特性，我们称之为数列的递推公式，这正是本节我们要争辩的重点内容．探究点一数列的递推公式思考1观看：1,3,7,15,31,63这些数有什么规律吗？如何用一个代数式表示出该数列的规律？答首项为1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a n＝2a n－1＋1(n>1且n∈N＋)．思考2观看下面两个数列如何用首项及相邻两项的关系表示出这两个数列？(1)a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，…；(2)1，cos 1，cos(cos 1)，cos(cos(cos 1))，….答(1)a1＝2，从第2项开头，每一项是它前一项的2倍，因此该数列可以用如下方式表示：a1＝2，a n＝2a n－1 (n＝2,3,4，…)；(2)a1＝1，a n＝cos(a n－1) (n＝2,3,4，…)．小结像上面那样，假如已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开头的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法．例1已知数列{a n}的第1项是2，以后各项由公式a n＝a n－11－a n－1给出，写出这个数列的前5项．解a1＝2，a2＝21－2＝－2，a3＝－21－(－2)＝－23，a4＝－231－(－23)＝－25，a5＝－251－(－25)＝－27.反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．跟踪训练1在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n(n≥1)，写出此数列的前6项．解a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.例2已知直线l：y＝x与曲线C：y＝(12)x(如图所示)，过曲线C上横坐标为1的一点P1作x轴的平行线交l于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2，再过P2作x轴的平行线交l于Q3，过Q3作x轴的垂线交曲线C于P3，……，设点P1，P2，…，P n，…的纵坐标分别为a1，a2, …，a n，…，试求数列{a n}的递推公式．解由题意，点P1的横坐标为1，纵坐标为a1＝12，点Q n＋1与P n的纵坐标相同，都是a n，同时点P n＋1与Q n＋1的横坐标相等，点P n＋1在曲线C：y＝(12)x上，由横坐标得它的纵坐标为1()2na即a n＋1＝1()2na这就是数列{a n}的递推公式．反思与感悟解答本例的关健是在读懂题意的前提下，通过具体的点P2与点Q2的横坐标相等及点Q2与点P1的纵坐标相同，抽象出一般性的点Q n＋1与P n的纵坐标相同，点P n＋1与Q n＋1的横坐标相等，从而找到了a n＋1与a n的关系．跟踪训练2 数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N ＋)，则点A 1(1，a 1)，A 2(2，a 2)，…，A n (n ，a n )分布在( ) A ．直线上，且直线的斜率为－2 B ．抛物线上，且抛物线的开口向下 C ．直线上，且直线的斜率为2 D ．抛物线上，且抛物线的开口向上答案 C解析 ∵a n －a n －1n －(n －1)＝a n －a n －1＝2(n ≥2)，∴A 1，A 2，A 3，…，A n 在斜率为2的直线上．故选C.探究点二数列的递推公式的应用思考1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n . 答 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)()(1)212222112 1.n n n -=+++⋅⋅⋅+-+=-个＝思考2 若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，求通项a n .答 a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·12·23·…·n －2n －1·n －1n＝1n .例3 已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)给出．(1)写出数列{a n }的前5项； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)a 1＝1；a 2＝a 1＋12×1＝32；a 3＝a 2＋13×2＝53；a 4＝a 3＋14×3＝74；a 5＝a 4＋15×4＝95.(2)由a n ＝a n －1＋1n (n －1)得a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝1n (n －1)＋1(n －1)(n －2)＋…＋13×2＋12×1＋1＝(1n －1－1n )＋(1n －2－1n －1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1＝－1n ＋1＋1＝2－1n ＝2n －1n (n ∈N ＋)．反思与感悟由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当a n －a n －1＝f (n )且满足确定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1来求a n . (3)当a n a n －1＝f (n )且满足确定条件时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1来求a n .已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练3 已知数列f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．(1)解由于f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ，所以22log log 222nn a a n －－＝－，a n －1a n＝－2n ，所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.由于a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1.又由于a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋ B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2 答案 B2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n 答案 D解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2(1)(1)(1)n +-+-+⋅⋅⋅+-共(-1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：a n ＝1n .[呈重点、现规律] 1．递推公式的理解与应用(1)与全部的数列不愿定都有通项公式一样，并不是全部的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，假如用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不简洁了解数列的全貌，计算也不便利，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．由递推公式可以依次求出数列的各项.联系数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n －1，…的一个通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．用递推公式表示为a 1＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N ＋)一、基础过关1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定答案 A2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.58答案 B3．数列{a n }中，a 1＝1，对全部的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 答案 C解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 答案 A解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .5．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N ＋都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.则a 3，a 5分别等于________．答案 6,20解析由题意，令m ＝2，n ＝1则a 3＋a 1＝2a 2＋2，所以a 3＝6，令m ＝3，n ＝1则a 5＋a 1＝2a 3＋2×4，所以a 5＝20.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么a n ＋1－a n 等于____________．答案 12n ＋1－12n ＋2解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.7．依据下列各个数列{a n }的首项及其递推公式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式； (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，n ∈N ＋； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，n ∈N ＋.解 (1)由于a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，n ∈N ＋；所以，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16，归纳出它的通项公式是a n ＝(n －1)2.(2)a 2＝2a 1a 1＋2＝23，a 3＝2a 2a 2＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝13，归纳出它的通项公式是a n ＝2n ＋1.二、力气提升8．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116B.117C.110D.125答案 C解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 014＝________.答案 67解析计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 014除以3余1，所以a 2 014＝a 1＝67.10．依据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N ＋)； (2)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N ＋)．解 (1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(2)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n.11．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝(1)12111n -+++⋅⋅⋅+个＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 12．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1n a n，求{a n }的通项公式．解 ∵a n ＋1＝n ＋1n a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n .∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝nn －1. 把上述等式相乘，得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝2×32×43×…×n n －1，即a na 1＝n ，而a 1＝2，∴a n ＝2n . 三、探究与拓展13．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求它的通项公式．解 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0.∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝nn ＋1.∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n . ∴a n a 1＝1n .又a 1＝1，∴a n ＝1n.。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 2.1.2 数列的递推公式（选学）》84

数列的递推公式选学一目标导航课标要求：理解数列递推公式的概念,并能由递推公式求出数列的前几项,进而求出数列的通项公式素养达成：通过由递推公式求通项公式的学习过程,体会函数思想的应用,而通过数列递推公式求数列的特定项体现了由特殊到一般的数学思想二知识探究1数列递推公式如果已知数列的 ,且从第二项或某一项开始的任一项a n与间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式2数列的通项公式与递推公式的联系与区别相同点不同点三课堂探究·素养提升类型一由递推公式求数列的项【例1】在数列{a n}中,a1=1,4a n1-a n a n12a n=9n∈N,写出它的前4项类型二求数列的递推关系【例2】设a>0,如图,已知直线:=a及曲线C:=2,C 上的点Q1的横坐标为a100,A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,……,A n 是线段A n-2A n-1的中点,……求：写出n与n-1、n-2之间的关系式n≥3;类型三叠加法求通项公式【例3】已知数列{a n},满足a1=1,a n=a n-1n≥2,求数列的通项公式变式训练3-1:在数列{a n}中,已知a1=2,a n1=a n n,求a n的表达式类型四叠乘法求通项公式【例4】设{a n}是首项为1且a n>0的数列,又n1 21na+-n2na a n1a n=0n=1,2,3…,求它的通项公式变式训练4-1:在数列{a n}中,已知a1=1,n1a n1=na n,求a n的表达式类型五周期数列问题【例5】 2021·山西朔州怀仁县八中高二期中在数列{a n}中,a1=-2,a n1=11nnaa+-,则a2 017等于A-2 B-13C-12D3变式训练5-1:2021·甘肃永昌第一高级中学期末若数列{a n}满足a1=2,1 (1) n n-a n1a n =a n -1,则a 2 017的值为 A-1 BC2 D312。

人教版高中必修5(B版)2.1.2数列的递推公式(选学)课程设计

人教版高中必修5(B版)2.1.2数列的递推公式(选学)课程设计一、教学目标1.了解数列的递推公式的概念及其作用；2.掌握求解数列的递推公式的一般方法；3.能够应用数列的递推公式解决实际问题。

二、教学重点、难点1.教学重点：数列的递推公式的概念及其作用；2.教学难点：求解数列的递推公式的一般方法。

三、教学准备1.教材：人教版高中必修5(B版)；2.PPT；3.教师讲义；4.学生练习册。

四、教学过程第一步：导入1.教师出示三个数列：a1=1,a2=3,a3=5，b1=2,b2= 4,b3=6，c1=1,c2=2,c3=4；2.让学生尝试继续写出数列的后面几项；3.引导学生发现数列的规律，找出这些数列的递推公式。

第二步：讲解1. 数列的递推公式的概念及其作用1.数列的递推公式是指数列中每一项都是前面一项的某种函数值；2.数列的递推公式可以用来求解数列的后面的项。

2. 求解数列的递推公式的一般方法1.一次求差法：对数列进行一次求差，直到得到一个常数数列，进而得到数列的通项公式；2.二次求差法：对数列进行二次求差，直到得到一个常数数列，进而得到数列的通项公式；3.代数求解法：使用递推公式中的前几项，列方程组求解，得到递推公式。

第三步：例题讲解1.已知数列a n满足a1=1,a2=2,a n=2a n−1−a n−2+2(n>2)，求a3,a4,a5；2.已知数列b n满足b1=1,b2=2,b n=b n−1+2b n−2,n>2，求b5；3.已知数列c n满足c1=k,c2=2k,c3=3k，且对于n>3，有c n=c n−2−c n−3，求c4,c5,c6。

第四步：练习1.自己设计一个递推公式，求解该数列的第n项；2.将一个给定的数列进行多种递推公式的推导，并验证其正确性。

第五步：小结1.数列的递推公式是数列中每一项都是前面一项的某种函数的表达式；2.根据不同的数列，可以采用不同的方法求解其递推公式；3.数列的递推公式可以用来求解数列的后续项。

人教B版高中数学必修五第二章数列的递推公式(选学).docx

2.1.2 数列的递推公式(选学)课时目标1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同.2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项．1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，且从数列{a n }的第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的______公式． 2．一般地，一个数列{a n }，如果从______起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从______起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项________，那么这个数列叫做常数列．一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥23．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12C.34D.584．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31155．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n6．已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18 二、填空题7．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)，则a 4＝________.8．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N ＋)，则使a n >100的n 的最小值是________．9．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2010年底全县的绿化率已达30%.从2011年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．设全县面积为1,2010年底绿化面积为a 1＝310，经过n 年绿化总面积为a n ＋1.则a n ＋1用a n 表示为________．10．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，则数列{a n }的通项公式是________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.12．某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜，用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数，试写出A n 与A n －1的关系及B n 与B n －1的关系．能力提升13．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n n ＋1，n ∈N ＋，则通项公式a n ＝________.14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．1数列的递推公式是给出数列的另一种重要形式，一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项． 2．由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一．①叠加法：当a n －a n －1＝f (n －1)满足一定条件时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)．②叠乘法：当a n a n －1＝f (n －1)满足一定条件时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)．2．1.2 数列的递推公式(选学)答案知识梳理1．递推 2.第2项 a n ＋1>a n 第2项 a n ＋1<a n 都相等作业设计1．A 2.B 3.B4．C [a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.]5．A [∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n ．] 6．B [a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1，a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ，a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a＋1＝a ， a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，…….∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ， ∴{a n }为周期数列，周期为3. ∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .] 7．－148．129．a n ＋1＝45a n ＋425解析由已知可得a n 确定后，a n ＋1表示如下：a n ＋1＝a n ·(1－4%)＋(1－a n )·16%，即a n ＋1＝80%a n ＋16%＝45a n ＋425.10．a n ＝1n ＋1解析 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)＝2＋1＋1＋…＋1n －1个1＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 11．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a na n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)解由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2，∴a 2 010＝2.12．解由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧A n ＋B n ＝1 000，A n ＝0.8A n －1＋0.3B n －1，B n ＝0.2A n －1＋0.7B n －1.由A n －1＋B n －1＝1 000，得B n －1＝1 000－A n －1.所以A n ＝0.8A n －1＋0.3×(1 000－A n －1)＝0.5A n －1＋300. 同理，B n ＝0.2×(1 000－B n －1)＋0.7B n －1＝0.5B n －1＋200. 13．－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1nn ＋1， ∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3； a 4－a 3＝13×4； … …a n －a n －1＝1n －1n；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n.∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n.14．a n ＝1n解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0， ∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. 方法一a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n， ∴a n a 1＝1n.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n.方法二 (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1， ∴na n ＝1，a n ＝1n.。

人B版数学必修5讲义：第2章 2.1.2 数列的递推公式(选学)

2.1.2 数列的递推公式(选学)1.理解递推公式的含义.(重点)2.掌握递推公式的应用.(难点)3.会求数列中的最大(小)项.(易错点)[基础·初探]教材整理数列的递推公式阅读教材P 29～P 30，完成下列问题.1.数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.2.数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示a n 与它的前一项a n －1(或前几项)之间的关系表示a n 与n 之间的关系联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式1.下列说法中正确的有________.(填序号)①根据通项公式可以求出数列的任意一项；②有些数列可能不存在最大项；③递推公式是表示数列的一种方法；④所有的数列都有递推公式.【解析】 ①正确.只需将项数n 代入即可求得任意项.②正确.对于无穷递增数列，是不存在最大项的.③正确.递推公式也是给出数列的一种重要方法.④错误.不是所有的数列都有递推公式.例如 2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，…就没有递推公式.【答案】 ①②③2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5＝________.【解析】因为a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，所以a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，所以a 5＝2a 4＋1＝31.【答案】 313.已知非零数列{a n }的递推公式为a 1＝1，a n ＝n n －1·a n －1(n >1)，则a 4＝________.【解析】依次对递推公式中的n 赋值，当n ＝2时，a 2＝2；当n ＝3时，a 3＝32a 2＝3；当n ＝4时，a 4＝43a 3＝4.【答案】 44.已知数列{a n }中，a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n，则a 5＝______________. 【解析】因为a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n ，所以a 2＝1－1a 1＝1＋2＝3， a 3＝1－13＝23，a 4＝1－32＝－12，a 5＝1＋2＝3.【答案】 3[小组合作型] 由递推关系写数列的项(1)已知数列{a n }满足关系a n a n ＋1＝1－a n ＋1(n ∈N ＋)且a 2 016＝2，则a 2 015等于( )。

高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.1.2数列的递推公式(选学)

1 自主学习
PART ONE
知识点一递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项_a_n_与它的前一项 an－1 (或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式. 特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式. (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数 n的恒等式. (3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.
第二章 §2.1 数列
2.1.2 数列的递推公式(选学)
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列. 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习题型探究达标检测
12345
课小结
KETANGXIAOJIE
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记情势.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法 (1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区分：通项公式直接反应an和n之间的关系，即an 是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反应数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
思考辨析判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU

人教版数学高二B版必修5同步训练2.1.2数列的递推公式(选学)

2.1.2 数列的递推公式（选学）5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.判断下列说法哪个是错误的( )A.递推公式也是数列的一种表示方法B.a n =a n-1(n≥2)是递推公式C.给出数列的方法只有图象、列表、通项公式D.a n =2a n-1(n≥2)是递推公式解析：通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，另外根据递推公式，并且知道数列的第一项，我们也可以确定数列，它也是给出数列的一种方法.a n =a n-1与a n =2a n-1，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，所以都是递推公式.答案： C2.已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n =a n-1+a n-2(n ＞2)给出，则该数列的第5项等于( )A.6B.7C.8D.9解析：∵a 1=1，a 2=2,a n =a n-1+a n-2，∴a 3=a 2+a 1=1+2=3,a 4=a 3+a 2=3+2=5,a 5=a 4+a 3=5+3=8.答案：C3.一个数列{a n }的首项a 1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项，请写出构成这个数列的递推公式a n =__________________.解析：这个数列给出的方法是不同的，它是由前后项之间的关系确定的，只需要根据已知条件就可以直接列出关系式，要注意n 的取值范围.答案：2a n-1+a n+1(n≥2)4.在数列{a n }中，a n+1=a n+2+a n ,a 1=2,a 2=5，则a 6的值为_______________.解析：∵a n+1=a n+2+a n ，∴a n+2=a n+1-a n ，则有a 6=a 5-a 4=(a 4-a 3)-a 4=-a 3=-(a 2-a 1)=a 1-a 2=2-5=-3.答案：-310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a 1=1，a n+1=22+n n a a (n ∈N *)，依次写出{a n }的前5项为__________，归纳出a n =_________. 解析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，根据递推公式：a n+1=22+n n a a ，将n=2,3,4,5代入可得这个数列的前5项.∴a 2=32,a 3=)42(21=,a 4=52,a 5=)62(31=．∴a n =12+n 答案：1，31,52,21,32 a n =12+n 2.数列{a n }满足a 1=1，a n =a n-1+n(n≥2)，则a 5=_____________.解析：由a n =a n-1+n(n≥2)，得a n -a n-1=n ，则a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,a 5-a 4=5，把各式相加得a 5-a 1=2+3+4+5=14,∴a 5=14+a 1=14+1=15.答案：153.已知a 1=2，a n+1=2a n ,写出前5项，并猜想a n .解：将n=2,3,4,5代入a n+1=2a n ，可得：a 1=2,a 2=22,a 3=23,这样我们就很容易猜出通项公式a n =2n .4.已知数列{a n }：1,5,8,9,4，通过公式b n =a n ·a n+1构造一个新的数列{b n }，试写出数列{b n }的前4项.解：将序号1,2,3,4代入公式b n =a n ·a n+1，可得：b 1=a 1·a 2=1×5=5，b 2=a 2·a 3=5×8=40，b 3=a 3·a 4=8×9=72，b 4=a 4·a 5=9×4=36.所以数列{b n }的前4项为：5,40,72,36.5.下面是由数字排列的一个数列：7,9,16,25,41,66,107,173，写出其递推公式.解：通过观察我们可以发现这个数列的一个规律：每一项都等于其前两项的和，7+9=16,9+16=25,16+25=41,25+41=66,…所以递推公式为：a 1=7,a 2=9,a n =a n-1+a n-2(3≤n≤8).6.在数列{a n }中，a 1=1，4a n+1-a n a n+1+2a n =9(n ∈N )，写出它的前4项并归纳出用n 表示a n 的式子.解：∵4a n+1-a n a n+1+2a n =9(n ∈N ),∴a n+1(4-a n )+2a n =9.∴a n+1(4-a n )=9-2a n .∴a n+1=nn a a --429. ∴a 2=11429a a -- =3714129=-⨯-， a 3=51337)37(2942922=-⨯-=--a a a ， a 4=7195134)513(2942923=-⨯-=--a a . 则求出的这个数列的前4项为：1，719,513,37，可归纳出通项公式为：a n =1256--n n . 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在数列{a n }中，a n =1，a n+1=a n 2-1(n≥1)，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于( )A.-1B.1C.0D.2解析：由已知a n+1=a n 2-1=(a n +1)(a n -1)，∴a 2=0,a 3=-1，a 4=0,a 5=-1.答案：A2.已知数列{a n }中，a 1=b （b 为任意正数），a n+1=11+-n a （n=1,2,3，…），能使a n =b 的n 的数值可以是( )A.14B.15C.16D.17解析：∵a 1=b ，a n+1=11+-n a ， ∴a 2=11+-b ，a 3=bb 1+-，a 4=b. ∴{a n }为周期为3的数列.由于a 1=a 4=b ，∴a 16=b.答案：C3.若数列{a n }满足：a n+1=na 11-且a 1=2，a 2006等于( ) A.1 B.2 C.2 D.21 解析：由a n+1=n a 11-以及a 1=2得，a 2=21211=-，a 3=1-2=-1，a 4=2，…，由此可见，数列{a n }的项是以3为周期重复出现的，故a 2006=a 3×668+2=a 2=21，故选D ．答案：D4.数列{a n }的前9项是1,5,7,17,31,65,127,257,511，请写出这个数列所隐含的递推关系式a n =_____________.解析：1+5=6,5+7=12,7+17=24,等等.12与17差个5，24与31差个7，那么下一项是否差个17呢？17+31+17=65正符合，这样可以猜想出这个数列的递推关系式.答案：a 1=1,a 2=5,a n =a n-1+2a n-2(n≥3)5.某网络公司，2005年的市场占有率为A ，根据市场分析和预测，该公司自1996年起市场占有率逐年增加，其规律如下图所示：则该公司2007年的市场占有率为____________；写出其中的递推关系式：____________. 解析：2005年的市场占有率为A ，2006年的市场占有率为A+2A ，2007年的市场占有率为A+42A A +，发现前一年的占有率与后一年的占有率密切联系，可以得到前后两年的递推关系式.答案：47A 递推关系式为：⎪⎩⎪⎨⎧≥+===--221111n A a a n A a n n n 6.设二次方程a n x 2-a n+1x+1=0(n ∈N )有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3.试用a n 表示a n+1.解：根据韦达定理，得α+β=n n a a 1+,α·β=na 1，由6α-2αβ+6β=3得6·321+=+n n n a a a ，又在二次方程中a n ≠0，故a n+1=3121+n a . 7.已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=αa n +β，且a 2=3,a 4=15，求α,β的值.解：由a 2=αa 1+β=α+β=3，得β=3-α.故a 3=αa 2+β=3α+β=2α+3，a 4=αa 3+β=α(2α+3)+3-α=2α2+2α+3=15.化简得α2+α-6=0.解得α=-3或α=2，代入β=3-α得β=6或β=1.故⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=.6,3,6,3βαβα或代入检验皆成立. 8.平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，用a n 表示交点的个数，试写出a n 与a n-1的关系式.解：要想弄清a n 与a n-1的关系，需要先研究n=1,2,3,…,具体的关系.当n=2时，两条直线相交，交点只有1个，当n=3时，三条直线相交，交点有3个，……当n-1条直线相交时，交点个数为a n-1，现在来考虑n 条直线的情况.任取其中的1条直线，记为l ，除l 以外的其他n-1条直线的交点个数a n-1.又因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他n-1条直线都相交，有n-1个交点，又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的n-1个交点两两不相同，且与平面内其他的a n-1个交点也两两不相同.从而平面内n 条直线交点的个数是a n =a n-1+(n-1).9.某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n 年与第(n-1)年（n ∈N 且n≥2）的产量之间的关系式（不要求证明）.解：不妨设改进技术后第n 年的产量为a n ，则a 1=a(1+200%)=3a ，a 2=a 1(1+21×200%)=6a ， a 3=a 2(1+221×200%)=9a ， a 4=a 3(1+321×200%)=a 445. 依此，得a n =a n-1(1+121-n ×200%)=a n-1［1+(21)n-2］（n ∈N *，n≥2）. 10.为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100 ℃开始第一次量细棒长度，以后每升高50 ℃量一次，把依次量得的数据所成的数列{l n }表示成图象，如下图，根据图象完成下列问题：（1）第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？（2）求{l n }的通项和金属棒长度l （m ）关于温度t （单位：℃）的函数关系式；（3）在30 ℃的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500 ℃，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？解：(1)从图上不难看到第5次量得金属棒长度是 2.005 m ，这时温度为(5-1)×50+100=300 ℃.(2)设l n =dn+b ，由待定系数法可得通项公式l n =0.001n+2，由题意可得t=50(n-1)+100=50n+50，∴n=5050 t ，代入通项公式得所求函数关系式为l n =0.000 02t+1.999. （3）设当t=30 ℃时,金属板在某个面上长度为l′ m,当t=500 ℃时金属板在该个面的长度为l″ m ,l′=0.000 02×30+1.999,l″=0.000 02×500+1.999,则l″-l′=0.000 02×(500-30)=0.000 02×470=0.00 94(m)，这就是至少要留的空隙.。

人教B版高中数学必修五《第二章数列 2.1 数列 2.1.2 数列的递推公式(选学)》_7

数列的递推公式
一、教学目标
(1)会根据递推公式求出数列中的项，并能运用叠加法、叠乘法求数列的通项公式。
(2)根据等差数列通项公式的推导总结出叠加法的基本题型，引导学生分组合作并讨论完成叠乘法基本题型。
(3)通过互助合作、自主探究培养学生细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，以及积极交流的主体意识。
二、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。
三、教学难点：递推关系式的灵活运用。
四、教学课时：1课时
五、教学手段：黑板，粉笔，多媒体
六、教学方法：激励——讨论——发现——归纳——总结
七、教学过程
（一）复习别递推公式与通项公式，从而引入课题
（二）新知探究：
1
2
从等差数列的定义入手，体会累加法的由来。
总结：类型，可用叠加相消法求解。
总结：类型2：，可用叠乘相消法求解。
八、课堂小结：
（1）定义法
（2）叠加（乘）相消法九、课堂练习：
九、练习
十、作业布置
十一、板书设计：略

高中数学 2.1.2 数列的递推公式(选学)素材新人教B版必修5

2.1.2 数列的递推公式（选学）1．体会递推公式是数列的一种表示方法．2．理解递推公式的概念及含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式．1．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项1na(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．名师点拨：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法．事实上，递推公式与通项公式一样，都是关于n的恒等式，我们可用符合要求的正整数依次去替换n，从而可以求出数列的各项．【做一做1】数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( )A．an ＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2)C．an ＝an－1＋2，a1＝2(n≥2) D．an＝2an－1，a1＝2(n≥2)答案：C2．通项公式与递推公式的区别与联系区别联系通项公式项an是序号n的函数式an＝f(n) 都是给出数列的方法，可求出数列中任意一项递推公式已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式重要方法，但并不是所有的数列都有递推公式.例如\r(2)精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式.【做一做2－1】已知在数列{an }中，a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)，则{an}的通项公式是( )A．3n B．2n C．n D．n 2答案：B【做一做2－2】在数列{an }中，a1＝1，a2＝2，且an＋1－an＝1＋(－1)n(n≥2)，则a10＝________．解析：由题意，知a10－a9＝1＋(－1)9，a9－a8＝1＋(－1)8，a8－a7＝1＋(－1)7，…，a3－a2＝1＋(－1)2，累加上述各式，可得a10－a2＝8．又因为a2＝2，所以a10＝10．答案：10。

【测控设计】高二数学人教B版必修5课件2.1.2 数列的递推公式(选学)

探究一
探究二
探究三
【典型例题 1】已知数列{an}的第一项是 2,且 an=1个数列的前 5 项,你能说出这个数列有什么特点吗?
1
��-1
(n≥2),写出这
思路分析:根据数列的第一项和递推公式,可依次求出 a2,a3,a4,a5,然后再观察数列的特点. 解:a1=2,a2=1- =1- =
探究一
探究二
探究三
由递推公式写出数列的项
由递推公式写出数列的项的方法. (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可; (2)解答这类问题时还需注意 :若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式; (3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
2.1.2
数列的递推公式(选学)
课程目标 1.体会递推公式是数列的一种表示方法. 2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项. 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式.
学习脉络
1.数列的递推公式如果已知数列的第 1 项(或前几项),且从第二项( 或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
1 1 1 1 1 1 1 ,a3=1- =1- 1 =-1,a4=1- =1- =2,a5=1- =12 ��2 ��3 -1 ��4 2
2
1 ��1
1 2
= .可以看到从第 4 项开始,
1 2
数列中的项呈周期性地出现 2, ,-1 这三个数,也就是说 a1=a4,a2=a5,…,an=an+3,….

高中数学人教B版必修5学案2.1.2数列的递推公式选学课堂探究学案

数列的递推公式（选学）课堂探究一、通项公式与递推公式剖析：递推公式是：已知数列{}的第项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项－(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式是：一个数列{}的第项与项数之间的关系，如果可以用一个公式＝()来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，只要将公式中的依次取值，，，…即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．往往我们要利用各种方法将递推公式转化为通项公式，通项公式能够更直接地研究数列．名师点拨：递推公式也是给出数列的一种重要方法，有时并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的递推公式，即可解决问题，有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化．二、教材中的“？”()你能猜想出例中这个数列的通项公式吗？剖析：数列{}的通项公式为＝．()你能比较例中与＋的大小吗？你能比较与＋的大小吗？剖析：不能比较与的大小．当为奇数时，＞；当为偶数时，＜．题型一由递推公式写出数列的项【例】在数列{}中，已知＝，＝，＋＝＋－(≥)，写出此数列的前六项．分析：通过观察，此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项．解：＝，＝，＝－＝×－×＝，＝－＝×－×＝，＝－＝×－×＝，＝－＝×－×＝．反思：由递推公式写出数列的项的方法．()根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可；()解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；()若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．题型二由递推公式求通项公式【例】已知数列{}，＝，＝－＋(≥)．()写出数列{}的前项；()求数列{}的通项公式．分析：()中只需利用代入法依次求出，，，即可；()利用下列关系式①＝(－－)＋(－－－)＋…＋(－)＋(－)＋；②＝－进行累加与裂项相消即可求出{}的通项公式．解：()＝；＝＋＝；＝＋＝；＝＋＝；＝＋＝．()由＝－＋，得－－＝(≥)，∴＝(－－)＋(－－－)＋…＋(－)＋(－)＋＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋)＋＋＝－＋＋＝－＝(∈)．反思：()根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．()累加法当－－＝()满足一定条件时，常用＝(－－)＋(－－－)＋…＋(－)＋累加来求通项公式．()累乘法如果递推关系可以变形为＝()·的形式，且()能够求积，则可用累乘法求数列的通项公式．题型三易错辨析【例】数列{}满足＝，以后各项由＋＝＋(－＋－)给出，写出这个数列的前项，并写出。

人教新课标版数学高二-人教B版必修5练习数列的递推公式

2.1.2 数列的递推公式(选学)一、基础过关1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.582．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.259B.2516C.6116D.31153．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第7项是 ( ) A.116 B.117 C.119 D.1254．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( ) A ．9 B ．17 C ．33 D ．655．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 013的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.176．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，则数列{a n }的通项公式是__________． 7．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，求通项公式a n . 8．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 012.二、能力提升9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于 ( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n 10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．11．已知数列{a n }中，a 4＝18，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ≥2)． (1)证明：1a n ＝1a n －1＋2(n ≥2)，并求出a 1的值； (2)求出数列{a n }的通项a n .12．某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜，用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数，试写出A n 与A n －1的关系及B n 与B n －1的关系．三、探究与拓展13．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，设第n 件首饰所用珠宝数为f (n )．(1)求f (n ＋1)－f (n )的值；(2)求f (n )．(提示：1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2)答案1．B 2.C 3.C 4.C 5．C6．a n ＝1n ＋17．解 ∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)， ∴a 2－a 1＝11×2； a 3－a 2＝12×3； a 4－a 3＝13×4； … …a n －a n －1＝1(n －1)n；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n. ∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n. 8．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)解由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2. 又∵a 2 012＝a 3×670＋2＝a 2＝－1.∴a 2 012＝－1.9．A ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)10．a n ＝1n11．(1)证明 ∵a n ＝a n －12a n －1＋1(n ≥2) ∴1a n ＝2a n －1＋1a n －1， ∴1a n ＝1a n －1＋2 ∴1a 4＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 4－1a 3 ＝1a 1＋3×2＝8. ∴1a 1＝2，∴a 1＝12. (2)解由(1)知1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1， ∴1a n＝2＋2＋2＋…＋2(n －1)个2 ∴1a n ＝2n ，∴a n ＝12n，n ∈N ＋. 12．解由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ A n ＋B n ＝1 000A n ＝0.8A n －1＋0.3Bn －1B n ＝0.2A n －1＋0.7B n －1由A n －1＋B n －1＝1 000，得B n －1＝1 000－A n －1.所以A n ＝0.8A n －1＋0.3(1 000－A n －1)＝0.5A n －1＋300.同理，B n ＝0.2(1 000－B n －1)＋0.7B n －1＝0.5B n －1＋200.13．解 (1)珠宝的数目依次是：f (1)＝1，f (2)＝1＋5，f (3)＝1＋5＋9，f (4)＝1＋5＋9＋13，f (5)＝1＋5＋9＋13＋17，…，∴f (2)－f (1)＝5，f (3)－f (2)＝9，f (4)－f (3)＝13，f (5)－f (4)＝17，…，∴f (n ＋1)－f (n )＝4n ＋1.(2)由(1)知f (n ＋1)－f (n )＝4n ＋1.∴f (n )＝f (1)＋＋＋…＋＝1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋(4×3＋1)＋…＋4(n －1)＋1＝n ＋4＝n ＋4×n ×(n －1)2＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n .。

人教新课标版数学高二-B版必修5课下作业数列的递推公式(选学)

第2章 2.1.2节(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每题5分，共20分)1．已知数列{}a n ，a 1＝1，a n －a n －1＝n －1(n ≥2)，则a 6＝( )A ．7B ．11C ．16D ．17【解析】 a 1＝1a 2－a 1＝1a 3－a 2＝2a 4－a 3＝3a 5－a 4＝4a 6－a 5＝5以上各式相加得a 6＝16【答案】 C2．已知数列{a n }满足a 1＞0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列【解析】 ∵a 1＞0,2a n ＋1＝a n ，∴a n ＞0(n ∈N ＋)，又a n ＋1a n ＝12＜1，∴{a n }是递减数列．【答案】 B3．数列{}a n 中，a 1＝1，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3＋a 5等于() A.259 B.2516C.6116D.3115【解析】 a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，a 1·a 2·a 3…a n －1＝(n －1)2，相除得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12，∴a 3＋a 5＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫542＝94＋2516＝6116. 【答案】 C4．已知数列{a n }中，a 1＝b (b 为任意正数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，能使a n ＝b 成立的n 的数值是( )A ．14B ．15C ．16D ．17 【解析】 ∵a 2＝－1b ＋1，a 3＝－b ＋1b ，a 4＝b ， ∴数列{a n }中各项的数以3为周期循环出现，在a 14，a 15，a 16，a 17四个数中，a 16＝a 4＝b .【答案】 C二、填空题(每题5分，共10分)5．已知f (1)＝2，f (n ＋1)＝f (n )＋12(n ∈N ＋)，则f (4)＝________. 【解析】由已知得：f (2)＝32f (3)＝54 f (4)＝98【答案】 986．已知数列{}a n ，a 1＝1，a n ·a n －1＝n －1(n ≥2)，则a 6a 8＝______. 【解析】 ∵a 1＝1，a n ·a n －1＝n －1(n ≥2)，∴a n ＝n －1a n －1， ∴a 2＝1a 1＝1，a 3＝2a 2＝2，a 4＝3a 3＝32， a 5＝4a 4＝83，a 6＝5a 5＝158，a 7＝6a 6＝165， a 8＝7a 7＝3516. ∴a 6a 8＝158·1635＝67.【答案】 67 三、解答题(每题10分，共20分) 7．数列{a n }满足a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，求a 2010.【解析】由a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，得a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3，a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－6－(－3)＝－3，a 7＝a 6－a 5＝－3－(－6)＝3，a 8＝a 7－a 6＝3－(－3)＝6，…，a 2010＝a 6×335＝a 6＝－3.8．已知f (1)＝1，f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2(x ∈N ＋)，求f (2)，f (3)，f (4)，f (5)的值，并猜想出f (x )的关系式．【解析】根据递推关系f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2(x ∈N ＋)，得f (2)＝2f (1)f (1)＋2＝23，f (3)＝2f (2)f (2)＋2＝12＝24，f (4)＝2f (3)f (3)＋2＝25，f (5)＝2f (4)f (4)＋2＝26，…猜想f (x )＝2x ＋1(x ∈N ＋)．9．(10分)某人卖西瓜，第一位顾客买去了所有西瓜的一半加半个，第二位顾客买去所剩西瓜的一半加半个，…依次类推，每一位顾客都买所剩西瓜个数的一半再加半个，第八位顾客恰好把西瓜买完，问共有多少个西瓜？【解析】设原来共有西瓜数为a 0，各位顾客买后剩下的西瓜数依次记为a n ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝12a n －1－12，a 8＝0(n ∈N ＋且1≤n ≤8) 化为⎩⎪⎨⎪⎧ a n －1＝2a n ＋1，a 8＝0. ∴a 7＝1，a 6＝3，a 5＝7，a 4＝15，a 3＝31，a 2＝63，a 1＝127，a 0＝255，即共有255个西瓜．。

高中数学 2.1.2 数列的递推公式(选学)课后知能检测新人教B版必修5

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.2 数列的递推公式（选学）课后知能检测新人教B 版必修5一、选择题1．数列12，14，18，116，…的递推公式可以是a 1＝12且( )A ．a n ＝12n ＋1(n ∈N *)B ．a n ＝12n (n ∈N *)C ．a n ＋1＝12a n (n ∈N *)D ．a n ＋1＝2a n (n ∈N *)【解析】数列从第二项起，后项是前项的12.【答案】 C2．在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项为( ) A ．6 B ．－3 C ．－12D ．－6【解析】 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6. 【答案】 D3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x 的值为( ) A ．10 B ．11 C ．12D ．13【解析】 a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2＝a 1＋a 2，a 4＝3＝a 2＋a 3，a 5＝5＝a 3＋a 4，a 6＝8＝a 4＋a 5，∴x ＝5＋8＝13.【答案】 D4．已知数列a n <0，且2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．无法判断【解析】 a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－12a n .∵a n <0，∴－12a n >0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．【答案】 A5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n【解析】 a 2＝a 1＋ln 2，a 3＝a 2＋ln 32，a 4＝a 3＋ln 43，…，a n －1＝a n －2＋ln n －1n －2，a n＝a n －1＋ln nn －1，故a n ＝a 1＋ln 2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n －1n －2＋ln n n －1＝a 1＋ln(2×32×43×…×n －1n －2×n n －1)＝a 1＋ln n ＝2＋ln n . 【答案】 A 二、填空题6．数列{a n }中，若a n ＋1－a n －n ＝0，则a 2 012－a 2 011＝________. 【解析】由已知a 2 012－a 2 011－2 011＝0，∴a 2 012－a 2 011＝2 011. 【答案】 2 0117．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 012＝________. 【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3， a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6， a 6＝a 5－a 4＝－6＋3＝－3， a 7＝3，a 8＝6，a 9＝a 3，a 10＝a 4，∴a 2 012＝a 6×335＋2＝a 2＝6. 【答案】 68．依次写出数列a 1＝1，a 2，a 3，…，a n (n ∈N *)的法则如下：如果a n 为自然数，则写a n＋1＝a n －2，否则就写a n ＋1＝a n ＋3，则a 6＝________.(注意0是自然数) 【解析】 ∵a 1＝1是自然数，∴a 2＝a 1－2＝－1， ∵a 2＝－1不是自然数， ∴a 3＝a 2＋3＝2， ∴a 4＝a 3－2＝2－2＝0， ∴a 5＝a 4－2＝－2. ∵a 5不是自然数， ∴a 6＝a 5＋3＝－2＋3＝1. 【答案】 1 三、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项．【解】 (1)∵a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，且a 1＝1，a 2＝2， ∴a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8.故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8.(2)∵b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8， ∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.10．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n a n ＋3(n ∈N *)，求通项a n . 【解】 ∵a n ＋1＝3a na n ＋3，∴a n ＋1(a n ＋3)＝3a n ， ∴a n ＋1a n ＝3a n －3a n ＋1.两边同除以3a n ＋1·a n 得13＝1a n ＋1－1a n，∴1a 2－1a 1＝13，1a 3－1a 2＝13，…，1a n －1a n －1＝13，把以上这(n －1)个式子累加，得1a n －1a 1＝n －13.∵a 1＝1，∴a n ＝3n ＋2. 11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·(67)n，试求数列{a n }的最大项．【解】假设第n 项a n 为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2·67n≥n ＋1·67n －1，n ＋2·67n≥n ＋3·67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，所以n ＝4或5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.。

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自我小测
1．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5为( )
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ≥1)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5等于( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．2
3．已知在数列{a n }中，a 1＝b (b 为任意正数)，a n ＋1＝－1a n ＋1
(n ＝1，2，3，…)，能使a n ＝b 的n 的数值可以是( )
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
4．若数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1a n
，且a 1＝2，则a 2 015等于( ) A ．1 B ．2 C ． 2 D ．12
5．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)，则通项公式为( )
A ．3n
B ．2n
C ．n
D ．12
n 6．已知在数列{a n }中，a n ＝2n ＋1．在数列{b n }中，b 1＝a 1，当n ≥2时，b n ＝1n b a -，则b 4＝
________，b 5＝________．
7．已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2
(n ∈N ＋)，依次写出{a n }的前5项为________，归纳出a n ＝________． 8．若数列{a n }满足a n ＋2a n ＋1＋a n ＋1a n
＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等比和数列，k 称为公比和．已知数列{a n }是以3为公比和的等比和数列，其中a 1＝1，a 2＝2，则a 2 012＝________．
9．已知a ，b 为两个正数，且a >b ，设a 1＝a ＋b 2，b 1＝ab ，当n ≥2，n ∈N ＋时，a n ＝a n －1＋b n －12
，b n ＝a n －1b n －1．
(1)求证：数列{a n }是递减数列，数列{b n }是递增数列；
(2)求证：a n ＋1－b n ＋1<12
(a n －b n )． 10．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭
⎫1＋1n ，写出该数列的前四项并求数列的通项公式．
参考答案
1．解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n ，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5
－a 4＝5，把各式相加得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15．
答案：C
2．解析：由已知a n +1＝a 2n －1＝(a n ＋1)(a n －1)，
∴a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1，
∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1．
答案：A
3．解析：∵a 1＝b ，a n +1＝－
1a n ＋1， ∴a 2＝－1b ＋1
，a 3＝－b ＋1b ，a 4＝b ． ∴{a n }的项是以3为周期重复出现的．由于a 1＝a 4＝b ，
∴a 7＝a 10＝a 13＝a 16＝b ．故选C ．
答案：C
4．解析：由a n +1＝1－1a n ，a 1＝2，得a 2＝1－12＝12
，a 3＝1－2＝－1，a 4＝2，…，由此可见，数列{a n }的项是以3为周期重复出现的，故a 2 015＝a 3×671+2＝a 2＝12
，故选D ．答案：D
5．答案：B
6．解析：题目中的关系式也是递推关系式，不同的是两个不同的数列中的项的关系，可以
逐个推导．
∵a n ＝2n ＋1，b n ＝ab n －1(n ≥2)，
∴b 1＝a 1＝3，b 2＝1b a ＝a 3＝7，b 3＝2b a ＝a 7＝15，b 4＝3b a ＝a 15＝31，b 5＝4b a ＝a 31
＝63．
答案：31 63
7．解析：已知题中已给出{a n }的第1项即a 1＝1，根据递推公式：a n +1＝2a n a n ＋2
，将n ＝2，3，4，5依次代入可得这个数列的前5项，∴a 2＝23，a 3＝12＝24，a 4＝25，a 5＝13＝26
． ∴a n ＝2n ＋1
．答案：1，23，12，25，13 2n ＋1
8．答案：21 006
9．证明：(1)易知对任意n ∈N +，a n >0，b n >0．
由a ≠b ，可知a ＋b 2>ab ，即a 1>b 1．同理，a 1＋b 12>a 1b 1，即a 2>b 2．可知对任意n ∈N +，a n >b n ．
所以a n +1－a n ＝a n ＋b n 2－a n ＝b n －a n 2
<0，所以数列{a n }是递减数列．
又b n +1－b n ＝a n b n －b n ＝b n (a n －b n )>0，
所以数列{b n }是递增数列．
(2)a n +1－b n +1＝a n ＋b n 2－a n b n <a n ＋b n 2－b n b n ＝12(a n －b n )．∴a n +1－b n +1＜12
(a n －b n )． 10．解：∵a 1＝2，a n +1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭
⎫1＋1n ， ∴a 2＝a 1＋ln(1＋1)＝2＋ln 2，
a 3＝a 2＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12＝2＋ln 2＋ln 32
＝2＋ln 3， a 4＝a 3＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋13＝2＋ln 3＋ln 43
＝2＋ln 4．由a n +1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭
⎫1＋1n 可得： a n +1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n
， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋ln n －2n －3
＋…＋ln 32＋ln 21＋2 ＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n n －1·n －1n －2·n －2n －3·…×32×21＋2 ＝ln n ＋2，
∴该数列的通项公式为a n ＝ln n ＋2(n ∈N ＋)．。