弹性体的一维振动_图文
弹性体的振动
l 0
l 0
EA U iU j dx 0
i 当： j
2
i
j
l
l 0
AU j dx M
2
pj
K M
pj pj
EA (U j ) dx U j ( EA U j ) dx K
0
pj
采用正则振型归一化：
l 0
AU j dx M
X (l ) 0
a
l 0
频率方程
a
i l
i 1, 2 ,
振型函数： X i ( x ) B i sin 各阶固有频率为： i i
a l
i l
x
i l T0
初始张力 线分布密度
i 1, 2 ,
各阶主振动：y i ( x , t ) X i ( x ) T i ( t ) ( A i 1 sin i t A i 2 cos i t ) sin 自由振动解：y ( x , t )
a
B 2 sin
a
l 0
i 0 ,1, 2 ,
i 0 ,1, 2 ,
sin
a
l 0
i
i a l
相应的主振型： U i ( x ) B i cos 当 i 0
0
i l
x
刚体振型
杆的纵向自由振动可以叠加为：
u( x, t)
U
i 1
i
( x ) A i sin( i t i )
振型函数
a
5弹性体振动
x0
0,
d 2Y dx2 d 2Y
0
x0
xl xl
EJ l A 两端简支梁横向弯曲振动的振型函数为：
2
YxC2TxC4Vx
1 2 1
2
由此可见，两端简支梁的振型函数是个正弦函数，把与各 阶固有频率相对应的的值代入上式，可得出两端简支梁的 各阶主振型。其前三阶主振型表示在图5.10之中。
(1) 两端自由梁
这种梁弯曲的边界条件是两端弯矩与剪力为，即：
d 2Y dx2 d 2Y dx2 0,
x 0
d 3Y dx3 d 3Y dx3
0
x 0
0,
x L
0
x L
两端自由梁横向弯曲振动的频率方程是一个超越方程， 常用图解法来求它的根。为此，可改写成：
1 cosl chl
也就是偏微分方程理论中著名的两阶波动方程。 5.2.2 固有频率和主振型 如上所述，求解机械系统自由振动的运动方程，可 以求出机械系统的固有频率和主振型。现在要求均质直 杆件纵向振动的固有频率和主振型，就要求解上式所示 的偏微分方程。
进一步分析，对多自由度机械振动系统的了解，仍然用待 定系数法来寻找其简谐振动的特解。如前所述，多自由度 机械振动系统自由振动的解为：
5.5.1 主振型的正交性
4
如前所述，梁弯曲振动的振型函数关系式为：
上式进一步写成以下形式：
或
d 4Yx 4Yx 4 n 2A EJ dx4 d 4Yx n 2AYx EJ dx4
被称为梁的特征值问题。
设以 Yrx和Ysx 分别表示对应于第r阶和第s阶固有频率 的两个不同阶的振型函数，则
5.5.2
当等截面梁受到横向分布激振力 fx,t 作用时，梁振动的微 分方程可以根据梁弯曲的自由振动方程（5.31）式改写成如 下形式： 2 y 4 y
最新工程物理基础 第1篇 声学基础 第2章 弹性体的振动.教学讲义ppt课件
式（2-1-17）称为第n次振动方式，或简正振动方式，Bn，
由初始条件给定，当Bn， 一确定，则对应的每一简正频率
的振动情况便完全确定。
图24是按式（2-1-17）计算出来
由此式可以看出第n次简正振动有n个波腹。从上面的讨论 得出，对于一定的振动方式，波节和波腹的位置是固定的，可 见在弦上的振动是驻波方式．
每一个简正振动都是方程（2-1-3）的一个特解，因而该 方程的一般解应是所有简正振动方式的线性迭加，因此弦上的 总位移是
式中， 波长。
称为第n次振动方式的波数， 为相应的
个，而有n个，即无限多个，并且固有频率的数值不是任意的， 变化也不是连续的，而是按n＝1，2，3，…次序离散变化的， 因而称弦的这种固有频率为简正频率。
是弦振动的最低的一个固有频率，称为弦的基频。n＞1的各 次频率称为泛频，由于各次泛频都是基频的整数倍，因而也 称具有这样简单关系的固有频率为谐频，通常弦的基频为第 一谐频，第一泛频为第二诣颇，依次类推。
2.1 弦的振动
弦是大家所熟悉的弹性体，如常见的弦乐器等。理想的 振动弦是指具有一定质量，并有一定长度、性质柔顺的细丝 或细绳，用一定方式把它张紧，并以张力作为弹性恢复力进 行振动的弹性体。一般说弹性体自身还具有劲度，但对弦来 说，这一自身的劲度与张力相比很小，可以忽略。这是理想 弦的一个重要特点。因为弦的振动过程是一种较为直观的波 动过程的模型，对这种振动过程的理论处理方法也是研究声 学问题的基础。
2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解
上一节我们讨论了弦振动的一般解，一般说弦总是有限 长度的，因此当弦受到某一扰动时，这个扰动就会向两个相 反的方向传播，到达边界时就会被反射回来，在弦上形成一 定形式的波．下面我们来讨论它的具体振动方式，我们用分 离变量法来求解弦振动方程。设方程（2-1-3）的解可以写成 下列形式：
机械振动第7章-弹性体振动
a
a
ni
2i 1
2l
E
i 1,2
Xi
(
x)
sin(
2i 2
1
x)
l
低应变测试及其应用
适用条件
判断基桩完整性.-质量检测（Quality Inspection）
基本假定
1.假定桩为细长的、无阻尼的弹性直杆； 2.假定桩产生轴向变形以后横截面仍保持为
平面，横截面上应力分布均匀。
➢ 基本原理
C1 C3 0
C3 C1
Y ' (0) 0 Y ' (l) 0
C2 C4 0 C4 C2
(chl cosl)C1 (shl sin l)C2 0
(shl sin l)C1 (chl cosl)C2 0
特征方程
coslchl 1
1l 4.730
2l 7.853
ni
i
l
E
Xi
(x)
sin
ix
l
2. 两端自由杆
i 1,2
dX (0) dX(l) 0
dx
dx
有C 0 及
n DSin n l 0
a
a
ω
n
0
或
Sin n
a
l
0
ni
i
l
E
Xi (x)
cos
i
l
x
3. 一端固定一端自由杆
X (0) 0
D0
dX(l) 0 dx
cos n l 0
a
n C cos n l 0
自由度，因而具有无限多个固有 频率和无限 多个主振型 。弹性体的任何振动形态也可 表示为各主振型的线 性叠加。因而对于弹性 体的动态响应分析，主振型叠加法仍然适用。
第8章 弹性体振动
第八章 弹性体振动§8-1 概述任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成，也就是说这些零部件都是弹性体。
但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。
然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。
因此对工程上常用的连续弹性体(如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统)进行振动分析求出它们的固有频率和主振型，计算他们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。
多自由度系统(离散系统)和弹性体(连续系统)是对同一个客观事物(机器零部件)的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。
xx)a )b ((图8-1 多自由度系统和弹性体的动力学模型从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。
如图8-1(a )所示它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。
两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。
这样就形成了具有n 个集中质量(m 1、m 2、…m n )和n －1个弹簧(k 1、k 2、…、k n －1)所组成的n 个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移y i (t)表示。
弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成如图8-1(b )所示。
当一个零件的分段数n →∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x 也从一个离散值(x 1、x 2、…x n )变为连续函数。
因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x 和时间t 所表达的二元函数y (x ,t )来表示。
这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。
从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。
从振动特性来看，多自由系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。
一维振动方程ppt课件
§4.1、Legendre方程及Legendre多项式 §4.2、Legendre多项式的母函数 §4.3、按Legendre多项式展开 §4.4、连带Legendre多项式 §4.5、球形区域的Dirichlet问题的解
第五章、柱函数，Bessel函数
§5.1、Bessel函数 §5.2、Bessel函数的母函数 §5.3、半奇数Bessel函数 §5.4、按Bessel函数展开 §5.5、第二、三类Bessel函数 §5.6、球Bessel函数 §5.7、虚宗量Bessel函数 §5.8、Bessel函数的渐近式
t2
x2
说明：
由于：sx x2u2x
x
x
1
u x
2
1
1 2
u x
2
L
L
所以，在小振动时，总弦长变化可以忽略，所以：T(x,t)T(t)
2、均匀杆的纵向振动
考虑一均匀细杆，杆纵向存在轻微振动。 由于杆纵向振动，杆内部存在弹性应力作用，令弹性应 力密度为P(x,t)，令u(x,t)为杆沿纵向的位移量，x为杆上的位 置。
II 数学物理方法
第一章 数理方程的导出
§1.1、一维振动方程 §1.2、扩散方程 §1.3、二维薄膜振动方程 §1.4、电报方程
第二章偏微分方程的定解问题
§2.1、定解条件 §2.2、定解问题的适定性 §2.3、偏微分方程的分类
第三章 分离变量法求解偏微分方程
§3.1、奇次方程的分离变量法 §3.2、高元偏微分方程的分离变量法 §3.3、非奇次边界条件问题 §3.4、非奇次偏微分方程的定解问题 §3.5、正交曲面坐标系 §3.6、区域稳定性问题
5、微观系统所满足的shro&&dinger方程以及相对论量子力
第六章弹性体的一维振动
T (t) at b
主振动为 :
u(x,t) U (x)T (t) c(at b)
杆的一般形式为: u(x ,t) U (x)b sin( t )
确定简单边界条件下杆的固有频率和主振型
(a) 两端固定
将边界条件代入,得到 :
B2
0,
B1
sin
a
l
0
即: sin l 0,
a
为频率方程
斜拉索就如同一根拉紧的弦，它的自振频率与拉索索力间有着确定的函数关 系，可用动力平衡微分方程表示。当忽略弯曲刚度时，可表示为
W • 2y 2y 0 g t 2 x2 式中 y----垂直于索长度方向的横向坐标； x----纵向坐标； W----索单位长度的重量； g----重力加速度； T----索的拉力； t----时间。
索的边界条件为两端固定时，上述微分方程的解为
4WL 2 n2g
•
fn2
由上式可知，只要测知f1 或 f 2 ，便可计算出索力。 在本文中，索力的计算采用公式
K 4WL2 f n 2 n2g
把重量W mg 代入上式，得
式中
K 4mL2 n2
fn2
T----索的拉力
m---线密度（索单位长度的质量）
U '' x U x
得:
U
'' x
a2
U
x
Байду номын сангаас
0
Tt T t 0
右端固定,有 : ux, t U lT t 0 xl
右端自由,有 : EA u EAU 'lT t 0
x xl
两端固定 :U 0 0,U (l) 0
等直杆的简单边界条件 : 一段固定 :U (0) 0,U ' (0) 0 两端自由:U ' (0) 0,U ' (l) 0
振动力学第六章弹性体的一维振动
U (0) 0,
EAdU dx
xl kU(l)
C 0, U (x) Dsin p x a
U (x) C cos px D sin px
a
a
EA p cos p l k sin p l
aa
a
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
EA p cos p l k sin p l
0 dx
dU j dx
d x pi2
l
0 AU iU j d x
( pi2
p
2 j
)
l
0 AU iU
j
d
x
0
pi p j
i j
l
U
0
j
d dx
(EA dU i dx
)d x
0
l EA dU i dU j d x 0
0 dx dx
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
a
则频率方程为
iπ pi l a
i 1,2,
相应的主振型为
iπ
Ui (x) Di sin l a
i 1,2,
若 k 0，相当于自由端，即
cos p l 0 a
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
例6-2 与例6-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一 端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频 率和主振型。
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
u
p
p
x
xl
D cos l( Acos pt B sin pt)
a
a
2u t 2
第九章弹性振动的准确解(2011版)
第九章 弹性体振动的准确解9.1 引言在引论中我们曾经提到，实际的振动系统都是弹性体系统。
弹性体具有分布的物理参数（质量，阻尼，刚度）。
它可以看做由无数个质点借弹性联系组成的连续系统，其中每个质点都具有独立的自由度。
所以，一个弹性体的空间位置需要用无数个点的独立空间坐标来确定。
也就是说，弹性体具有无限多个自由度。
在数学上，弹性体的运动需要用偏微分方程来描述。
前面我们论述的多自由度系统只是弹性体的近似力学模型。
本章讨论理想弹性体的振动，所谓理想弹性体．．．．．是指满足以下三个条件的连续系统模型：（1）匀质分布；（2）各向同性；（3）服从虎克定律。
通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多自由度系统振动的共同点与不同点。
我们将看到，任何一个弹性体具有无限多个固有频率以及无限多个与之相应的主振型；而且这些主振型之间也存在着关于质量与刚度的正交性；弹性体的自由振动也可以表示为各个主振动的线性叠加；而且对于弹性体的动响应分析，主振型叠加法仍然是适用的。
所以说，弹性体振动与多自由度系统的振动，二者有着一系列共同的特性，这就是它们的共性。
而二者的差别仅在于数量上弹性体有无限多个固有频率与主振型，而多自由度系统只有有限多个。
我们还将看到，对于一些简单情形下的弹性体振动问题，可以很方便地找到它们的准确解。
尽管实际问题往往是复杂的，很少可以归结为这些简单情形；但是了解这些简单情形下准确解的特征，对于处理复杂问题是有帮助的。
为了避免用到弹性力学的知识，而仅以材料力学作为基础，我们将限于讨论一维弹性体（梁，轴，杆等）。
9.2弦的振动设有理想柔软的细弦张紧于两个固定支点之间，张力为T ，跨长为l ,弦单位长度的质量为ρ。
两支点连线方向取为x 轴（向右为正），与x 轴垂直的方向取为y 轴（向上为正），如图9.2-1（a ）。
设弦的振动发生在xoy 平面内，弦的运动可表示为y=y (x,t ).还假设弦的振动幅度是微小的，即 y 与xy∂∂均为小量；在这假设下弦的张力T 可近似地看做常量。
高三物理一维弹性碰撞
一只银灰色的大鸟在湖上飞着，它在不时地靠近湖面，也许它和我一样也在欣赏着这美丽的白云，这透明晶莹的天空 ；也许它看着这朵朵白云，不相信自己的眼睛，要仔细地看看这白云，因为往日它 飞的高度总是离白云太远，忽然间白云竟然在它脚下的，所以它要一次次地接近，把这洁白的云儿看个够；也许在这冰天雪地里，它已经几天没有捕到鱼了，它正在尝试着找一个冰窟窿，捕到它想要的 鱼。洁白的云，盘旋的银灰色的大鸟，我就在高高的天空，高高的白云上，一切都像在梦里一样。12365资讯网 天上是厚厚的云，太阳缓缓地从灰灰的云里探出头来。他在找他洁白的云，匆匆地他又钻进入灰灰的厚云里，他看见白云正在我的身边，正在着晶莹的冰上，也许他发觉可爱的白云在这冰上是最美的， 所以他回去了想让白云在这人间多呆一会儿。也许蓝天也正在找白云，要不天上怎么只有厚厚的灰云。 湖的那边高高的枯草丛是野鸭的家，也许野鸭们正站在自己家的门口看着，它们想知道，天上的白云什么时候飘下来了，往日游玩的清清的湖水哪儿去了
第5讲汽车振动与噪声控制一维弹性体振动
1.3.2 质量阵、刚度阵
例1：双质量－弹簧系统受激振力，并不考虑各自的阻尼。
建立系统运动方程。
解：建立如下图坐标系，原点取在各自静平 衡位置。受力分析：
建立运动微分方程： 矩阵形式：
阻尼、弹簧 优点：模型简单 缺点：没有考虑人与车、车与轮胎、轮胎与路面间的影响。
建模方法二：将车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 阻尼、弹簧
优点：模型较为精确，考虑了人与车的耦合运动。 缺点：没有考虑车与轮胎、轮胎与路面间的影响。
建模方法三：将车、轮胎、人的质量分别考虑，并考虑各 自的阻尼、弹簧
• 一维弹性体振动〔一维波动方程〕
• 1〕杆的纵向振动； • 2〕弦的横向振动； • 3〕轴的扭转振动； • 4〕固有频率和模态；
小结： 〔1〕杆的纵向振动 〔2〕弦的横向振动
〔3〕轴的扭转振动
虽然在运动表现形式上并不相同，但运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程。
〔4〕求解固有频率和模态函数〔振型函数〕： 以杆的纵向振动为例
与有限自由度系统不同，连续系统的模态 为坐标的连续函数，表示各坐标振幅的相 比照值；
由方程确定的固有频率 i 有无穷多个
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数：
欧拉－贝努利梁
课本
总结
第1章 振动根底总结
主要内容： 1 单自由度系统〔有阻尼/无阻尼〕； 2 强迫振动〔简谐力/支撑谐波〕； 3 隔振设计； 4 多自由度与连续系统振动；
认识模态图：
认识模态图：
第 1 章 振动理论根底
单自由度系统 多自由度系统
离散系统
6 第六章 弹性体的一维振动《振动理论及工程应用(第2版)》教学课件
sin p l 0 a
即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为
pi
iaπ l
(i 0,1,2,)
相应的主振型为
Ui
(x)
Di
s in
iπ l
x
(i 0,1,2,)
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去
pi
ia π l
(i 1,2,)
Ui
(x)
Di
sin
iπ l
x
(i 1,2,)
x N q(x,t)dx
Adx
2u t 2
0
变形为：
Adx
2u t 2
(N
N x
dx)
N
q( x, t )dx
q( x, t )
0 x dx l
x u(x,t) 为杆上距原点 x 处截 面在时刻 t 的纵向位移
横截面上内力： N EA EA u
x
N (EA u ) x x x
达朗贝尔原理：
第6章 弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向自由振动 6.2 杆的纵向受迫振动 6.3 梁的横向自由振动 6.4 梁的横向受迫振动 6.5 转动惯量、剪切变形和轴向力对梁横向振 动的影响 6.6 梁横向振动的近似解法
－实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统
－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此 连续体是具有无限多自由度的系统
－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程 组，它是偏微分方程
－在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差 别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度 系统是完全类似的
第5章 弹性体振动分析(48页).
d 2T 2T 0 2 dt d2X X 0 dx 2 c
式（5.1.8）和式（5.1.9）的解分别为
2
\* MERGEFORMAT (5.1.8)
\* MERGEFORMAT (5.1.9)
T At cos t Bt sin t X Ax cos
1 2T c2 2 X T (t ) t 2 X ( x ) x 2
\* MERGEFORMAT (5.1.7)
上式的左边只与 t 有关，右边只与 x 有关，而 x 和 t 都是独立变量，因此上式必然等于一个 与 x 和 t 都无关的常数，不妨令这个常数为 ，代入 (5.1.7) 式就得到两个独立的方程
129
X i ( x ) Bi sin
其中 Bi 由初始条件确定。
i x , (i =1,2,3 ) \* MERGEFORMAT (5.1.16) l
上式表明：当弦作基频振动时，在弦的两端振幅为零，而在 x
l 处振幅最大，我们将 2
振幅为零的位置称为波节（两端固定必为波节） ，而将振幅最大的位置称为波腹。对于二阶 振型，对应地出现 3 个波节和 2 个波腹，以此类推，n 阶振型对应地出现 n+1 个波节和 n 个波腹。弦振动的前 3 阶振型参见图 5.1.3 。由于弦的每一阶振型对应的波节和波腹的位 置是固定的，因此将这种振动方式为驻波方式。
u ( x, t ) Bi sin
i 1
i x cos( it i ) \* MERGEFORMAT (5.1.18) l
式中 Bi ， i 由初始条件确定。 现在来考虑初始条件对弦振动的影响。 不失一般性， 我们假设初始时刻弦的位移和速度 分别为 u ( x, 0) 和 v ( x, 0) ，它们均为 x 的函数。将初始条件代入（5.1.18）式得到
第三章 弹性体的振动
第三章 弹性体的振动§3.1 弦的振动3.1.1 用动力学基本定律建立弦振动基本方程在前二章里，对弹性体动力学的一般规律、基本原理和基本方程作了介绍。
但不同的弹性体有其本身的力学特性，采用不同的简化假设，建立的基本方程是不相同的。
因而，它们的解法也不完全一样。
除了共同的动力学特性外，还有一些独特的特性，必须分别加以讨论。
弹性体按其构型可分为：（1）一维构型，它的截面尺寸比长度小得多。
它有两类，一类是弦、杆、轴；一类是各种梁。
（2）二维构型，它的厚度比其它尺寸小得多。
它有膜、平面应力板、弯曲板与壳等。
（3）三维构型，三向尺寸相当。
它是各类实体结构。
最简单的弹性体动力学问题是弦的横向振动（图3.1）。
受常张力作用的弦是一种一维弹性体。
从弦上取出一个微分长度来分析，当它发生横向位移，由于张力作用产生有恢复力，它等于x T dx ),(t x w e df dx xw T df xe 22∂∂=（3.1）图3.1 弦的横向振动设弦的长度密度为，则在振动时的惯性力是m dx t w mdf y 22∂∂−= （3.2）·1·根据动力学的基本定律，弦横向振动的基本方程是02222=+∂∂−∂∂f t w mx w T x（3.3）其中是作用在弦上的横向分布载荷。
),(t x f3.1.2 用能量变分原理建立弦振动基本方程弦横向振动有三种能量： （1）弦的位能i U dx xw x w T U x Li ∂∂∂∂=∫210（3.4）（2）弦的动能Tdx tw t w m T L∂∂∂∂=∫210（3.5）（3）弦的外力功e W LLLxLe w fwdx w xw T fwdx W 0000||τ+=∂∂+=∫∫（3.6）其中τ=∂∂xwT x是张力的垂直分量。
弦的哈密尔登作用量为 dt W U T L e i t)(0+−=∫由哈密尔登作用量原理给出0}|]2121[{00=++∂∂∂∂−∂∂∂∂=∫∫∫dt w dx fw xw x w T t w t w mLdt Lx Lt t τδδ （3.7）上式给出能量泛函的极值条件。
第6章--弹性体的一维振动题解
126习题6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。
解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… 由归一化条件20sin 12li i x A D dx l πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2li sin Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：(2)杆的右端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… 由归一化条件1)2cos(2=⎰dx lx i C A i lπρ得AlC i ρ2= 即正则振型为,...5,3,1i ,x 2li cos Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。
(1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示；(2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；127(3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。
解：（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动（2） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动（3） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力lF p 00=的作用，求分布力突然移去时杆的响应。
07214第五章 弹性体振动(讲)
第五章弹性体振动§5-1 概述（回顾前面单自由度、两自由度、多自由度系统的振动）任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体组成的，也就是说这些零件都是弹性体（连续系统continuous system）。
在有些工程实践中，都要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。
因此，对工程上常用的连续弹性体（如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统）进行振动分析，求出它们的固有频率和主振型，计算它们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。
从振动特性来看，多自由度系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。
（相互转换）在本章中，我们只研究弹性体的最简单情况，即等截面的杆、轴、梁的振动。
而且假设弹性体的质量和刚度均匀分布，在振动过程中弹性体不产生裂纹，即要求广义坐标的变化是连续的。
此外，我们讨论只局限在线性范围内，即认为弹性体的应力应变关系服从虎克定律（Hooke’s law），而且是均质各向同性的。
§5-2 杆的纵向振动一、运动方程假设有一根均质等截面的棱柱形杆，杆长为l，截面积为A，质ρ，拉压弹性模量为E。
取杆件中心线为x轴，原点取在量密度为杆的左端面（见图5.2a）假设在振动过程中杆的横截面只有x方向的位移，而且每一截面都始终保持平面并垂直于x轴线。
当杆件处于平衡状态时，杆上各截面的位置用它们的x坐标来表示。
当杆件振动时，x截面的纵向位移则用广义坐标u来表示。
显然对应于一个x就有一个u，而不同时间内每个u也在变化，因此u是x和t两个变量的函数，即()t xu,=u现在，我们在x截面处取杆件上一个微小的单元体来研究（见图5.2b），分析其受力状态。
x+截面处的振动位移就应该设x截面的振动位移为u，则在dx是dx xu u ∂∂+，又设x 截面上的拉压内力为S ，则dx x +截面上的拉内力应为dx xS S ∂∂+，这一微元段所产生的惯性力是22tuA d x ∂∂ρ。
弹性体的振动
以u(x，t)表示杆上距原点x处在t时刻 的纵向位移。在杆上取微元段dx，它 的受力如上图(b)所示。根据牛顿第二 定律，它的运动方程为
将它代入式(6.3.1)并化简，得
可见杆的纵向振动的运动微分方程也是一维波 动方程。方程的求解仍可采用上节中的分离变 量法
上(4)中J0为圆盘对转轴的转动惯量
6.4 梁的弯曲振动
粱弯曲振动的运动方程
考察匀质等截面细直梁的横向弯曲振动。假 定梁只有纵向对称平面，所受的外力也在此对 称平面内，故梁在此平面内作弯曲振动；还假 定梁的长度与截面高度之比大于10。根据材 料力学“简单梁理论”，忽略剪切变形和转动 惯量的影响，这种梁称做欧拉—贝努利(EulerBernoulli)梁。于是，梁上各点的运动只需用 梁轴线的横向位移表示
设梁长为l，单位长度的质量r及抗弯刚度EI均 为常数，建立如上图所示的坐标系。
在梁上距左端x处取微元段dx，在任意瞬时t， 此微元段的横向位移可用y(x,t)表示。按其受 力情况。微元段沿y方向的运动方程为
忽略转动惯量的影响，各力对右截面上任一点 的矩之和应为零，即
略去二阶微量，有 由材料力学知，弯矩与挠曲线的关系为 将(6.4.2)和( 6.4.3)代入(6.4.1)中，得
方程（6.2.10)和（ 6.2.11)的解分别是
其中A，B，C，D为积分常数。另外由边界条 件(6. 2.7)，得 于是有
而由条件(6.2.15)可得
上式称做弦振动的特征方程。由此可确定一系 列特征值bi
所以系统的各阶固有频率为：
与其相应的特征函数，亦称振型函数为 弦对应于各阶固有频率pi的主振动为
• 由于描述的都是振动现象，所以在许多方面有 共同之处。在多自由度系统振动分析所形成的 一系列重要概念。在弹性体振动分析中都有相 应的地位和发展。
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就是杆的主振型关于质量的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率 及主振型函数可写出杆的振动方程为
常数Ai , Bi由初始条件确定。初始条件为
再利用三角函数的正交性可得
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根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为
第i阶正则振型函数
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第i阶正则坐标
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
通乘以 并沿杆长l积分
考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为 这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。
杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
即为杆的主振动的一般形式。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
振型函数
代入
振动规律
杆有无穷多个自由度系统，振型 不再是折线而变成一条连续曲线。
当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下 ，求解值 p2及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问 题。p2为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而p是固 有频率。
例6-1 一均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为 ，横 截面积为A，材料的弹性模量为E。其一端固定，另一端连接弹 簧常数为k的弹簧，试求杆的纵向振动的固有频率及主振型。
解：杆的端部连接弹簧或带有 集中质量时，称复杂边界条件。
杆作纵向振动时，杆的右端的弹簧支承相当于作用kU(l) 之力。 因此，边界条件为
6.1.1等直杆的纵向振动
EA是常数，可写成
这是杆作纵向受迫振动方程， 常称为波动方程。
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表示弹性波 沿杆的纵向 传播的速度
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
得到杆的纵向自由振动微分方程为
系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样，假 设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其上所有点 都做简谐运动。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
频率方程 相应于固有频率pi的主振型为
x=l处杆的抗压刚度
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
讨论两个极端的情况
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
三角函数的正交性
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.2 杆对任意激励的响应
受迫振动微分方程
通乘以 并沿杆长l积分
利用正交性及归一化的条件
这就是在激励q(x,t)作用下按正则坐标表示的杆的受迫振动的 运动微分方程。
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
讨论简单边界条件的杆的主振型的正交性。
因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆的
质量密度、横截面积等都可以是x的函数。因此可写出杆的纵向
振动微分方程式为
将杆的主振动的表达式
代入
取特征值问题的两个解 代入
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6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动 6.1.2固有频率和主振型 6.1.3主振型的正交性
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6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。
同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。
6.1 杆的纵向振动
3. 杆的两端都是自由的情况 边界条件为
6.1.2固有频率和主振型
即为两端自由杆的频率方程。 解出固有频率为 相应的主振型为 当p = 0时，对应了杆的刚体振型。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.2 杆对任意激励的响应
写出第i个以正则坐标表示的响应为。 将形如上式的各个正则坐标表示的响应代入,便得到杆的初始 条件下对任意激励的响应为
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
与有限多自由度系统一样，在对杆进行的纵向自由振动分析的 基础上，可以用振型叠加法求解杆对纵向任意激励的响应。 杆的自由振动微分方程
假定在给定的边界条件下，已经得到各阶固有频率及相应的正 则振型。
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
设杆的初始条件为
正则坐标变换
乘以 沿x杆长对积分，得
将正交性和归一化条件代入
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
弹性体的一维振动_图文.ppt
第6章 弹性体的一维振动
目录
6.1 杆的纵向振动 6.2 杆的纵向受迫振动 6.3 梁的横向自由振动 6.4 梁的横向受迫振动
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第6章 弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向振动
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当i = j 时，式总能成立，令
为第j阶主质量
第j阶主刚度 关系 Kpj与Mpj的大小取决于第j阶主振动中常数的选择
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6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性与源自自由度系统相似，可将主振型函数Uj进行标准化。如 果主振型中的常数按下列归一化条件确定
由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在 物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度 是相似的。
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6.2.1 杆对初始条件的响应
得到正则坐标表示的初始条件为
得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应 于是杆的自由振动为
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令x=l，其中
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
，得杆的自由端的自由振动
若将t=0代入上式，可得初始时自由端的位移。
当
时，相当于固定端，有
,即
则频率方程为
相应的主振型为
若 ，相当于自由端，即
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
例6-2 与例6-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一 端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频 率和主振型。
则得到的主振型 称为正则振型， 这时相应的第j阶主刚度
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第6章 弹性体的一维振动
6.2 杆的纵向受迫振动
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6.2 杆的纵向受迫振动 6.2.1 杆对初始条件的响应 6.2.2 杆对任意激励的响应
得频率方程
对于 ，可以取
则得到
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
的情况， 将很小，即杆的质量远小于集中质量时
对于基频情况，有
其中 是不计杆本身质量时杆的抗压刚度，以上结果与不 计杆本身质量而将其看成是单自由度系统所得的结果相同。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可表示为 由杆的边界条件，可以确定p2值及振型函数U(x)。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动