人教版八年级数学上册教案： 13.4第1课时课题学习最短路径问题(1)

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人教版数学八年级上册《13.4课题学习最短路径问题》说课稿1

人教版数学八年级上册《13.4 课题学习最短路径问题》说课稿1一. 教材分析人教版数学八年级上册《13.4 课题学习最短路径问题》这一节，是在学生学习了平面直角坐标系、一次函数、二次函数等基础知识后，引入的一个新的课题。

本节内容主要介绍了最短路径问题的概念、求解方法以及应用。

通过本节内容的学习，使学生能够了解最短路径问题的背景，掌握解决最短路径问题的方法，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平面直角坐标系、一次函数、二次函数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。

但是，对于最短路径问题，学生可能较为陌生，需要通过实例讲解和练习，使学生理解和掌握。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：了解最短路径问题的概念，掌握解决最短路径问题的方法，能够运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过合作交流，培养学生解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径问题的概念、求解方法。

2.教学难点：如何运用所学知识解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、案例教学法、合作交流法。

2.教学手段：利用多媒体课件、板书、教学卡片等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入最短路径问题的概念。

2.讲解新课：讲解最短路径问题的求解方法，结合实例进行分析。

3.练习巩固：学生独立完成课后练习题，教师进行讲解和指导。

4.拓展延伸：引导学生思考如何将所学知识应用到实际问题中。

5.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。

七. 说板书设计板书设计如下：最短路径问题1.概念：从起点到终点的最短路线2.求解方法：b.动态规划法3.应用：实际问题解决八. 说教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

课题学习最短路径问题教案人教版八年级数学上册

13.4课题学习最短路径问题【教学目标】1．知识与技能：通过对最短路径的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.2.过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.3.情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.【教学重难点】重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力；难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．【教学方法】情境学习法、探究实践法.【教学过程】新课导入：创设情境，提出问题：问题1：如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？答：②最短，因为两点之间，线段最短问题2：如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？答：PC最短，因为垂线段最短.“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.深入学习最短路径问题.由复习相关问题入手，为后面学习做好铺垫.新课讲授：（一）牧人饮马问题问题：如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？把实际问题抽象为数学作图问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题.动手探究：探究1：现在假设点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？解：连接AB，与直线l相交于一点C.根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.探究2：如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探究3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．②AC +BC= AC +B′C = AB′，② AC′+BC′= AC′+B′C′．在②AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，②AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC最短．例1：如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.解：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，AB=BC，BD=CD，∴点B与点C关于直线AD对称.∵点F 在AD 上，∴BF =CF ，∴BF +EF =CF +EF ，∴连接CE ，线段CE 的长即为BF +EF 的最小值.∵当CE ⊥AB 时，CE 最小，∴当CE ⊥AB 时，BF +EF 的最小值.∵12AB ·CE =12BC ·AD ，∴CE =AD =5， ∴BF +EF 的最小值是5.归纳结论：求线段和的最小值问题:找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.（二）造桥选址问题活动探究：如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN .桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？抽象出数学习题思考：N 在直线b 的什么位置时，AM +MN +NB 最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM +NB 最小时，AM +MN +NB 最小.AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移到点N ，点A 移到点A ′，则AA ′ = MN ，AM + NB = A ′N + NB . 这样问题就转化为：当点N 在直线b 的什么位置时， A ′N +NB 最小？如图，连接A ′B 与b 相交于N ，N 点即为所求.试说明桥建在M ′N ′上时，从A 到B 的路径AMNB 增大.（两点之间线段最短）例2：如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽相同，从A 处到B 处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短？解：作AF ②CD ，且AF =河宽，作BG ②CE ，且BG =河宽，连接GF ，与河岸相交于E ′，D ′.作DD ′，EE ′即为桥.理由：由作图法可知，AF //DD ′，AF =DD ′，则四边形AFD ′D 为平行四边形，于是AD =FD ′，同理，BE =GE ′，由两点之间线段最短可知，GF最小.归纳结论：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂练习：A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.解：如图所示，AP+PQ+BQ最短.2.（1）如图②，在AB直线一侧C，D两点，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图②，在②AOB内部有一点P，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．（3）如图②，在②AOB内部有两点M，N，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，M，N，四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．答案：课堂小结：说一说哪些问题是线段最短问题.说一说牧民饮马问题的解决方法和原理.说一下造桥选址类问题的解决方法和原理.作业布置：1.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）答案：A2.完成本节配套习题.【板书设计】最短路径问题的解题原理：线段公理和垂线段最短.最短路径问题的分类：饮马问题和造桥选址问题.饮马问题的解题方法：轴对称知识+线段公理.造桥选址问题的解题方法：关键是将固定线段“桥”平移.【课后反思】创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，尽可能的让学生动手实践，通过探索交流获取作图方法.。

八年级数学上册教案-13.4 课题学习最短路径问题21-人教版

1、最短路径问题是学生第一次接触，很陌生，在学习心理上存在畏难情绪； 2、在模型中既有定点又有动点，在之间的学习中都是静态的解决问题，而动
点的出现让学生感觉无所使从。
教学方法
1.通过由浅入深的问题串层层深入，引导学生将“未知”的知识转化为“已知”知识，从而达到理解、解决难点.
2. 通过典型有梯度的练习加深对难点知识的理解和掌握,并让学生掌握解决类似最短路径问题的一般方法.
B A
l C
A' 图(4) 做点 A 关于直线 l 的对称点 A”,连接 A”和 B 与直线 l 交于点 P.此时 PA+PB 的值最小，
点 P 即为所求做点. 问题 5：你能肯定在图（4）中确定的点 P 就是我们所找的点吗？如何证明？
在题眼中有一“最”字，最的结果往往是比较的结果。所以为了进行比较，如图（５）
教学环节
教学过程
导入
请同学们认真阅读课本第 85 页的问题 1 完成以下任务： 1、将此实际问题转化为数学问题； 2、用自己的语言说明这个问题的意思.
设点 C 为直线 l 上的一个动点,上面的问题就转化为:当点 C 在 l 什么位置时,AC 与 BC 的和最
小?如下图（1）.
B A
l
图(1)
在解决问题前我们先看如图（2），A,B 两点和直线 l ，当 CA 与 CB 之和最小时，怎样画出点 C 的位置？请说明理由.(指名回答) A
m
B' m
B
A
B
l
l
C
分析：根据题意可得，求做点 A 和点 C,使 BA+AC 的值最短，即把不同一直线上的两条线段转化到同一直线上，而联系两条线段点的公共点是 A，且题目要求点 A 在直线 m , 所以先做点 B 关于直线 m 的对称点 B＇,若使点 B＇到直线 l 的距离最短，根据点到直线的距离垂线短最短，所以过点 B＇做 B＇C 垂直于直线 l ，垂足为 C.垂线与直线 m 交于点 A，点 A 和 C 即为所求做的点，此时 BA+BC 最短.

最短路径问题教学设计

l A 13.4课题学习最短路径问题（第1课时）一、教学内容分析本节课是人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》的课题学习，在学习了三角形、全等三角形及轴对称这三章后，学生全面掌握了轴对称这一特殊全等形，从而具备了解决本课问题的知识基础。

课题学习中，总共提出了两个问题，分别利用轴对称和平移解决，第1课时准备解决第一个问题。

二、教学目标分析数学来源于生活，因此，要让学生会将生活中的实际问题转化成数学问题，用数学中的图形、符号来表示生活中的实例。

同时，根据本节课的要求，能够利用轴对称来解决此类问题。

基于以上考虑，确定本节课的教学目标和重难点如下：1、能够将实际问题转化成数学问题，完成具体到抽象的转换；2、能利用轴对称解决简单的最短路径问题；3、通过具体实例感受数学来源生活、服务生活，调动学生的数学学习兴趣，培养学生的数学应用意识。

重点：利用轴对称解决两条线段和最短问题难点：如何把问题转化成“两点之间，线段最短”三、教学过程设计1、知识储备轴对称性质，跟“最短”有关的定理“两点之间，线段最短”，“点到直线的所有连线中，垂线段最短”。

如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，到河边的什么地方最近？若牧马人从A 地出发，淌过笔直的小河l 到另一边的B 地，怎样的路径最短？【设计意图】让学生回忆旧知，为解决问题准备好称手的工具。

2、问题铺垫如图，点A 、B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A 、B 的距离和最短？容易寻找到方法：连接AB ，与直线l 的交点即为所求，根据“两点之间，线段最短”可证l A lB'明。

【设计意图】从已有知识出发，给出一个解决问题的基础。

3、情景导入如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？转换成数学问题：如图，把河边l 近似地看成一条直线，在直线l 上寻找一处点C ，使得AC+BC 的和最小。

人教版八年级数学上册教案：13.4课题学习最短路径问题

五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了最短路径问题，这节课下来，我发现学生们对这个话题非常感兴趣，也提出了很多有深度的问题。他们在分组讨论和实验操作环节表现得积极主动，这让我感到很欣慰。
在讲授过程中，我注意到有些学生在理解线段连接法、射线连接法时还存在一定的困难。这让我意识到，对于这些难点知识，我需要通过更多的实例和讲解来帮助学生消化吸收。在今后的教学中，我会尽量用更直观、更生动的方式来进行讲解，让学生更好地理解这些概念。
2.教学难点
a.理解线段、射线、直线在实际问题中的运用，尤其是它们在不同情境下的适用性；
b.掌握求解最短路径的数学方法，特别是射线连接法的应用，学生容易在此处产生混淆；
c.将数学知识应用于实际问题的转化能力，如何将实际问题抽象成数学模型，进而求解；
d.学生在解决最短路径问题时，可能会忽略考虑所有可能的路径，导致无法找到最优解。
举例：讲解射线连接法时，难点在于如何确定射线的方向以及如何找到从一点出发经过其他点到达另一点的最短路径。此时，教师可以通过具体实例和图示，引导学生理解并掌握这一方法。
另外，针对难点c，教师可以设计一些实际案例，如地图上的最短路线、工程项目中的最短管道布置等，指导学生如何将问题抽象成数学模型，并运用所学知识求解。通过这种方法，帮助学生克服将实际问题转化为数学模型的难点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调线段连接法、射线连接法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解如何在不同情况下选择合适的方法求解最短路径。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示线段连接法、射线连接法的基本原理。

人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例

3.课堂小结，教师引导学生总结本节课的学习内容，使学生对最短路径问题有一个全面的认识。
4.鼓励学生在课后进行深入研究，不断提高自己的数学素养。
五、案例亮点
1.生活实例引入：通过引入实际生活中的最短路径问题，如旅行路线规划、物流配送等，使学生能够直观地理解最短路径问题的意义和应用，提高学生的学习兴趣。
3.教师引导学生运用坐标系、函数、图论等知识，分析问题、解决问题。
（三）小组合作
1.学生分组进行讨论，培养学生的团队合作意识。
2.教师组织小组间的交流与分享，促进学生间的互帮互助。
3.教师巡回指导，针对不同小组的特点进行针对性指导。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结最短路径问题的解决方法。
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为“人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题”，是在学生已经掌握了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等基础知识的基础上进行学习的。通过对最短路径问题的探究，旨在培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
3.组织学生探讨、交流最短路径问题的解决方法，培养学生合作学习的能力。
4.引导学生运用图论中的最短路径算法解决实际问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
5.对学生进行评价，了解学生对最短路径问题的理解和运用程度，及时进行教学调整。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2.设计具有挑战性和吸引力的数学问题，激发学生的求知欲。
3.创设轻松、愉快的学习氛围，使学生在课堂上敢于发表自己的观点，培养学生的创新精神。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如“如何找到两点之间的最短路径？”、“最短路径问题在实际生活中有哪些应用？”等。

人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题

人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章第四节“课题学习最短路径问题”主要是让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图的性质和算法求解最短路径问题的方法。

通过本节课的学习，学生能够将所学的图的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，如顶点、边、连通性等。

同时，学生也学习了一定的算法知识，如排序、查找等。

因此，学生在学习本节课时，能够将已有的知识和经验与最短路径问题相结合，通过自主探究和合作交流，理解并掌握最短路径问题的求解方法。

三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义，能运用图的性质和算法求解最短路径问题。

2.提高学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

3.增强学生合作交流的意识，提高学生的团队协作能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法及其应用。

2.教学难点：理解并掌握最短路径问题的求解算法，能够灵活运用到实际问题中。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.算法教学法：以算法为主线，引导学生了解和掌握最短路径问题的求解方法。

3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，提高团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关实际问题的案例，如城市间的道路网络、网络通信等。

2.准备算法教学的PPT，以便在课堂上进行讲解和演示。

3.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实际问题案例，如城市间的道路网络，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。

提问：如何找到两点之间的最短路径？引发学生的思考和兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解最短路径问题的求解方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。

通过PPT演示算法的具体步骤和过程，让学生清晰地了解算法的原理和应用。

八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题说课稿(新版)新人教版

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题说课稿（新版）新人教版一. 教材分析八年级数学上册13.4课题学习“最短路径问题”是新人教版教材中的一项重要内容。

这一节内容是在学生掌握了平面直角坐标系、一次函数、几何图形的性质等知识的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是最短路径问题的研究，通过实例引导学生了解最短路径问题的背景和意义，学会利用图论知识解决实际问题。

教材中给出了两个实例：光纤敷设和城市道路规划，让学生通过解决这两个实例来理解和掌握最短路径问题的求解方法。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于平面直角坐标系、一次函数等知识有了一定的了解。

但是，对于图论知识以及如何利用图论解决实际问题还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要引导学生理解和掌握图论知识，并能够将其应用到实际问题中。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图论知识解决最短路径问题的方法。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，让学生体验到数学在实际生活中的应用价值。

四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法。

2.教学难点：如何将实际问题转化为图论问题，并利用图论知识解决。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来学习和掌握最短路径问题的求解方法。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过展示实例和动画效果，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过展示光纤敷设和城市道路规划的实例，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。

2.新课导入：介绍图论中最短路径的概念和相关的数学知识。

3.实例分析：分析光纤敷设和城市道路规划两个实例，引导学生将其转化为图论问题。

4.方法讲解：讲解如何利用图论知识解决最短路径问题，包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法等。

2018-2019人教版八年级数学上册教案： 13.4第1课时课题学习最短路径问题(1)

开门见山直接导入，用问题激起学生探究的兴趣.
二、师生互动，探究新知
问题1：要在公路上修建一个泵站C，分别向公路两侧A，B两镇供气，泵站修在什么地方，可使泵站C到A，B两镇所用的输气管线最短？
教师提出问题：“这是个实际问题，你打算首先做什么呢？”
学生回答：“将A，B两镇抽象成两个点，将公路抽象为一条直线”.
继而教师提出问题：“为什么交点到两端点的距离之和最小呢？”
学生会非常自然地想到“两点之间，线段最短”的理论来证明.
教师再次提问：“如果另取一点C′，你能证明此时的距离超过了刚才的距离吗？”学生会想到连接AC′，BC′，用“三角形两边之和大于第三边”去证明.
问题2：“饮马问题”.
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河流l边饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
教师提出问题：“证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)？这里的“C′”的作用是什么呢？”
学生互相交流，教师适当点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点(与点C不重合)与A，B两点的距离和都大于AC＋BC，就说明AC＋BC最小.让学生完成证明过程.
让学生经历简单数学建模的过程，并引导学生根据已有的生活和知识经验找到点C是线段AB与公路的交点.
让学生初步尝试了“最值问题”的证明方法，起到了分散难点的作用.
让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问抽象为“线段和最小问题”
学生对于最短路径问题通常感到无从下手，所以此处深入分析，让学生经历最短路径问题的分析过程.
三、运用新知，解决问题
(若把点A变成直线上的一个动点呢？出示变式1，学生探究后展示分析过程)
变式1：如图1，已知直线m，l和点B，在直线m，l上分别取点A、点C，使点B到点C再到点A的距离之和最小.

人教版八年级上册数学 13.4 课题学习最短路径问题优秀教案

13．4 课题学习最短路径问题1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点) 2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点) 一、情境导入相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？二、合作探究探究点：最短路径问题【类型一】两点的所有连线中，线段最短如图所示，在河a 两岸有A 、B 两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)解析：利用两点之间线段最短得出答案．解：如图所示，连接AB 交直线a 于点P ，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．【类型二】运用轴对称解决距离最短问题在图中直线l 上找到一点M ，使它到A ，B 两点的距离和最小．解析：先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M 即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′；(2)连接AB ′交直线l 于点M ；(3)点M 即为所求的点．方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解．【类型三】最短路径选址问题如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂址到A ，B 两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A ，B两村的水管最短，应建在什么地方？解析：(1)欲求到A 、B 两村的距离相等，即作出AB 的垂直平分线与EF 的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A 点关于直线EF 的对称点A ′，再连接A ′B 交EF 于点N ，即可得出答案．解：(1)作出AB 的垂直平分线与EF 的交点M ，交点M 即为厂址所在位置；(2)如图所示：作A 点关于直线EF 的对称点A ′，再连接A ′B 交EF 于点N ，点N 即为所求．【类型四】运用轴对称解决距离之差最大问题如图所示，A ，B 两点在直线l 的两侧，在l 上找一点C ，使点C 到点A、B 的距离之差最大．解析：此题的突破点是作点A (或B )关于直线l 的对称点A ′(或B ′)，作直线A ′B (AB ′)与直线l 交于点C ，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l 为对称轴，作点A 关于直线l 的对称点A ′，A ′B 的连线交l 于点C ，则点C 即为所求．理由：在直线l 上任找一点C ′(异于点C )，连接CA ，C ′A ，C ′A ′，C ′B .因为点A ，A ′关于直线l 对称，所以l 为线段AA ′的垂直平分线，则有CA ＝CA ′，所以CA －CB ＝CA ′－CB ＝A ′B .又因为点C ′在l 上，所以C ′A ＝C ′A ′.在△A ′BC ′中，C ′A －C ′B ＝C ′A ′－C ′B ＜A ′B ，所以C ′A ′－C ′B ＜CA －CB .方法总结：如果两点在一条直线的同侧，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．三、板书设计课题学习最短路径问题1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题．体会在解决问题中与他人合作的重要性．体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识．。

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计 (新版)新人教版

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计（新版）新人教版一. 教材分析“课题学习最短路径问题”是人教版八年级数学上册第13.4节的内容。

这部分内容主要让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

教材通过引入一个实际问题，引导学生探讨并找出解决问题的方法，从而培养学生解决问题的能力和兴趣。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了图论的基本知识，如图的定义、图的表示方法等。

但是，对于图的最短路径问题，学生可能还没有直观的理解和认识。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的已有知识，通过实例讲解、动手操作等方式，帮助学生理解和掌握最短路径问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探讨实际问题，培养学生解决问题的能力和兴趣。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的热爱，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的实际应用，图论中的最短路径算法。

2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出最短路径问题，并运用图论知识解决。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.实例讲解法：通过具体的实例，讲解最短路径问题的解决方法，帮助学生理解和掌握。

3.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对最短路径问题的理解。

六. 教学准备1.教学素材：准备一些实际问题的案例，以及相关的图论知识介绍。

2.教学工具：多媒体教学设备，如PPT等。

3.学生活动：让学生提前预习相关内容，了解图论的基本知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入最短路径问题，激发学生的学习兴趣。

例如，讲解从一个城市到另一个城市，如何找到最短的路线。

2.呈现（15分钟）讲解最短路径问题的定义，以及图论中最短路径算法的基本原理。

通过PPT等教学工具，展示相关的知识点，让学生直观地了解最短路径问题。

八年级数学人教版上册13.4课题学习最短路径问题(第一课时)优秀教学案例

3.课堂小结：对本节课的教学内容进行简要回顾，提醒学生注意问题解决的方法和技巧。
（五）作业小结
1.作业布置：布置一些有关最短路径问题的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。
2.作业反馈：对学生的作业进行及时批改和反馈，指出其中的错误和不足，给予肯定和建议。
3.课后拓展：鼓励学生参加数学竞赛、研究性学习等活动，拓宽视野，培养创新精神。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
2.利用多媒体展示典型实例，让学生更好地理解和掌握最短路径问题的解决方法。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的合作精神和团队意识。
4.注重个体差异，给予学生个性化的指导，帮助他们在原有基础上得到提高。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，让他们感受到数学在生活中的实际应用，提高学生学习数学的积极性。
4.反思与评价：引导学生进行自我反思和同伴评价，培养学生的批判性思维和自我改进的能力。同时，教师对学生的学习过程和结果进行评价，注重鼓励性评价，激发学生的学习兴趣和自信心。
5.课后拓展与情感态度培养：布置相关的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过生活情境导入新课，使学生能够直观地感受到最短路径问题的实际意义，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.多媒体辅助教学：利用多媒体展示典型的最短路径问题实例，使抽象的问题具体化、形象化，有助于学生更好地理解和掌握知识。
3.问题导向与小组合作：提出具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

人教版八年级数学上册13.4《课程学习最短路径问题》教学设计(优质获奖)

《课题学习：最短路径问题》教学设计一、课程标准解读及地位作用（1）课程标准解读：《课题学习：最短路径问题》属于综合与实践这一部分，这节课就是综合运用所学的数学思想、方法、知识、技能解决一些生活和社会中的问题，以实际生活中的问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，是培养学生应用意识、创新意识、过程经验很重要的载体，通过课题学习能够把知识系统化，解决一些实际问题。

针对问题情境，学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深学生对所学数学内容的理解。

这种类型的课程应该“少而精”的原则，保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以将课内外结合.（2）地位及作用：《课题学习：最短路径问题》位于人教版八年级上第十三章《轴对称》，为让学生能灵活的运用两点之间线段最短、合理使用轴对称、平移等解决最短路径问题而设置的一节课。

本节课是在学习轴对称、等腰三角形的基础上，引导学生探究如何利用线段公理解决最短路径问题。

它既是轴对称、平移、等腰三角形知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用．二、教学内容和内容解析1、内容：利用轴对称研究某些最短路径问题．2、内容解析：最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等进行变换进行研究.这节课我以数学史中的一个经典问题---将军饮马问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小值问题，再利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.三、目标和目标解析1、目标：能利用轴对称能利用轴对称和平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．2、目标解析：达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，经历将实际问题抽象为数学的线段和最小值问题的过程；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称“桥梁“的作用，感悟转化思想．四、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。

人教版八年级上册数学13.4 课题学习《最短路径问题》教案

教学设计13.4最短路径问题永顺县溪州中学彭善玉一、教学设计思路：本节课是人民教育出版社出版九年制义务教育数学课本八年级数学《最短路径问题》，教材为我们提供了最短路径的概念和探索方法以及相应练习题。

这节课与实际生活息息相关，在内容上，它将两点之间线段最短，轴对称的性质紧密结合起来。

通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会数学建模的思想，学会从复杂题目中找到原始的基本的数学模型。

本节课借鉴了美国教育家杜威的“在做中学”的理论和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”的思想，采用了我校“六步四维一体”的教学模式，启发式、探究式教学方法，整个探究学习的过程充满了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生是学习的主体。

利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想证明，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。

利用课件、微课、几何画板辅助教学，适时呈现问题情景，以丰富学生的感性与理性认识，增强直观效果，提高课堂效率。

二、教学目标1、知识与技能：（1）理解并掌握平面内位于直线同侧两个点，如何在直线上找到一个点，使得两点到直线上这点距离之和最小问题。

（2）能利用轴对称解决实际问题中的最短路径问题。

（3）通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。

2、过程与方法：（1）通过自主画图，小组讨论，共同比较等教学活动，探索与轴对称有关的最短路径问题，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力。

（2）通过几何画板把抽象问题具体化，直观地观察、分析把折线问题转化直线问题，体会转化思想在几何中的运用，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。

在解决问题的过程中渗透“化归”的思想,（3）能够倾听其他同学的发言，并能把自己的想法与其他同学交流，体会合作学习的过程与方法，感受合作的愉快。

人教版八年级上册数学教案13.4课题学习最短路径_将军饮马问题教学设计

课题学习最短路径问题~将军饮马一、内容和内容解析1．内容利用轴对称研究某些最短路径问题.2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.二、目标和目标解析1.教学目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识．2. 教学目标解析学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用.教学时，教师可从“直线同侧的两点”过渡到“直线异侧的两点”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（C点除外）都成立本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．四、教学过程设计1．将实际问题抽象为数学问题问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC 的和最小？【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念．2．解决数学问题问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，在直线l上找到一点C，使AC 与BC 的和最小？师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.如果学生有困难，教师可作如下提示：（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB=CB’?（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点吗？师生共同完成作图，如下图.作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．【设计意图】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.3．证明AC +BC “最短”问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C’（与点C但不重合）？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？师生活动：学生回答，相互补充.【设计意图】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.4．反思→提炼模型异侧型→同侧型→横向平移后的异侧型→横向平移后的同侧型→纵向平移后的异侧型→变式5．实战分析1．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（）A．4 B．3C．2D．2+师生活动:学生分析判断属于哪种模型，教师适时点拨.【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．2．已知点A（3，4），点B（﹣1，1），在x轴上另取两点E，F（点E在点F 的左侧），且EF=1，线段EF在x上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF 的周长最小？求出此时点E的坐标．师生活动:学生分析判断属于哪种模型，教师适时点拨.【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．6．归纳小结教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.7．布置作业：把两个练习完成．。

人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题——将军饮马》教学设计

13.4 课题学习最短路径问题第一课时一、内容和内容解析1.内容最短路径问题——将军饮马问题2.内容解析本节课主要以“轴对称知识”、“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”等为基础，来解决数学史上的一个经典问题——“将军饮马问题”，让学生经历将实际问题抽象为数学中的线段和最小问题，接着利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，然后再利用“三角形三边关系”对作图进行证明。

最后让学生对所学知识加以应用。

重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力。

二、目标和目标解析1.教学目标（1）能将实际问题中的“地点”、“一排商铺”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；（2）能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题；（3）能通过逻辑推理证明所求距离最短；（4）体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。

2.目标解析（1）将实际问题抽象成数学问题是学生的应具备的能力。

数学来源生活，服务生活。

（2）学生学会将用轴对称最短路径变为“两点之间线段最短”问题三、教学问题诊断分析学生在之前已经学习了“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”等知识，知道如何去找某点关于某条直线的对称点，为本节课的学习打下了基础。

但是如何将将军饮马问题中的同侧两点问题转化为异侧两点问题，最终用“两点之间线段最短”解决，这是学生不易理解的地方。

本节课教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题；在实际问题中运用最短路径模型灵活解决问题。

关键：运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，利用轴对称转移线段，从而获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。

四、教学过程设计1.故事引入，引出课题问题1 同学们你们取过包裹快递吗？你们知道双十一吗？播放《直击双11物流现场》视频，激发学生学习兴趣。

人教版八年级上册数学说课稿《13.4课题学习最短路径问题》

人教版八年级上册数学说课稿《13.4 课题学习最短路径问题》一. 教材分析《13.4 课题学习最短路径问题》是人教版八年级上册数学的一章内容。

本章主要介绍了最短路径问题的相关知识和方法。

通过本章的学习，学生能够理解最短路径问题的意义，掌握解决最短路径问题的方法，并能够应用到实际问题中。

在教材中，首先介绍了最短路径问题的定义和意义，然后通过图的表示方法引出最短路径问题的解决方法。

接着，教材介绍了两种常用的最短路径算法：迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法。

最后，教材通过一些实际问题，让学生应用所学的知识解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经学习了图的概念和相关性质，对图的基本操作有一定的了解。

同时，学生也学习了算法的基本概念和方法，具备一定的编程能力。

然而，学生对于最短路径问题的理解和应用可能还存在一些困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生理解最短路径问题的意义，并通过实际问题激发学生的学习兴趣。

此外，学生需要通过实践活动，掌握解决最短路径问题的方法，并能够应用到实际问题中。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解最短路径问题的定义和意义，掌握解决最短路径问题的方法，并能够应用到实际问题中。

2.过程与方法目标：学生能够通过实践活动，培养解决问题的能力和团队合作的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，培养积极的学习态度和团队合作的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解最短路径问题的定义和意义，掌握解决最短路径问题的方法。

2.教学难点：学生能够理解和应用迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，通过实际问题引导学生学习最短路径问题的解决方法。

2.教学手段：利用多媒体课件和网络资源，展示实际问题和算法流程，帮助学生理解和应用知识。

六. 说教学过程1.引入新课：通过一个实际问题，引出最短路径问题的定义和意义。

人教版八年级上册数学13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例

3.培养学生自主探究、发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.让学生在解决实际问题的过程中，体验数学的乐趣，提高学生学习数学的兴趣。
2.培养学生面对困难时积极思考、勇于挑战的精神，增强学生的自信心。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识和社会责任感。
三、教学重难点
2.跨学科教学：结合其他学科的知识，如地理、信息技术等，拓宽学生的知识视野，培养学生的综合能力。
六、教学资源
1.教材：人教版八年级上册数学教材。
2.辅助材料：相关的最短路径问题的案例、练习题和拓展问题。
3.现代教育技术：多媒体课件、网络资源等。
七、教学评价
1.学生评价：通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习成绩等方面进行评价。
（二）讲授新知
在导入新课后，我会开始讲解最短路径问题的相关知识。首先，我会向学生们介绍最短路径问题的定义，让学生们明白什么是最短路径。接着，我会讲解解决最短路径问题的基本方法，如坐标系法、函数法等。在讲解的过程中，我会结合具体的例子，让学生们更直观地理解这些方法。
（三）学生小组讨论
在讲授完新知识后，我会让学生们进行小组讨论。我会给每个小组提供一个实际问题，让他们运用所学知识，合作解决这个最短路径问题。这样的讨论，可以培养学生的团队合作精神，也可以让学生们在实践中加深对知识的理解和应用。
3.互动评价：小组之间进行互动评价，相互学习和提高。
（四）反思与评价
1.自我反思：引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自身的优点和不足，制定改进措施。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给予意见和建议，促进共同进步。
3.教师评价：教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予鼓励和指导。

人教版八年级数学上《13.4课题学习最短路径问题》教学设计

人教版八年级数学上《13.4课题学习最短路径问题》教学设计一、教学内容利用轴对称特点研究生活中遇到的某些最短路径问题.二、教学目标1、认知目标：（1）能利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

（2）能通过逻辑推理证明所求距离最短。

（3）在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

2、能力目标：（1）经历问题探究的过程，将实际问题转化为数学问题，培养转化的能力。

（2）在解决问题过程中，养成良好的作图的习惯。

（3）感受图形变换、转化、数形结合、模型等思想方法。

3、情感目标：通过逐步讲解，运用合适的教学手段，提高学生学习的兴趣，归纳出方法和规律，积累解决数学问题的经验，提高学生的合作交流的意识，消除学生对此类问题的陌生感和恐惧感，提高学生解决问题的信心和能力。

三、重点难点重点：利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

四、教学过程1．复习回顾问题1：如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？说说你的理由. 师生活动：学生回答问题，说出理由：两点之间，线段最短.(让学生回顾“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备．)问题2：如图，点A是直线l 外一点，点A到直线的所有线路中，最短的是？说说你的理由.师生活动：学生回答问题，说出理由：点到直线的距离，垂线段最短.（让学生回顾“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为引入新课做准备.）问题3：如图，点A，点B是直线l两侧的点，请在直线l上找一点C,使AC+BC最短。

师生活动：学生回答，连接AB，线段AB与l的交点即为C点的位置．（让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫．）2．新知探究<将军饮马问题>相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？师生活动：学生分组讨论，然后各小组总结归纳:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？（通过学生自己动手操作，在感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念．）如图，点A，B 在直线l 的同侧，在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.教师作适时提示：（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持?（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点吗？师生共同完成作图，作法如下：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．（逐步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.）问题4 ：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点（与点C 但不重合）？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l 上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．(让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．) 追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？师生活动：学生回答，相互补充:通过将BC转化为BC′,将原题中直线同侧两点转化为学生熟悉的直线异侧两点.(让学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.)练习如图牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再回到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。