传递函数矩阵的状态空间最小实现
最小实现
n1
s
n
n
s
s
n1
1 , n1 , n 其中 均mp阵 分母多项式为特征多项式。
其能控标准型实现为：
Op Ac n Ip Cc n Ip 1 Ip Ip B Op 0 Ip
一旦给出了G(s)便可直接写出其实现。(按 能控或能观标准型)
A
C
0 n
1
0
1
1
Bc
0 0 Cc 1
n
1
A
0
0 0 1 1
应注意：G(s)为严格真有理分式阵。 1．Gij(s)的分子阶次低于分母阶次时，实 现为（A，B，C） 2．分子阶次等于分母阶次时，实现为 （A，B，C，D）， D l im G ( s ) 且
s
n
1
B
0
n 1
C
0
0 0 1
再验证能观性或能控性，以确出系统）
将G(s)化写为：有理分式阵。
1
G ( s )
s
n
n1
传递函数（阵）所反映的是系统中能控且 能观测的子系统。 因此，既可用能控性作为实现，又能用能 观标准型作实现。
定理：Ｇ(s)的一个实现(Ａ,Ｂ,Ｃ)既能控 又能观,则实现是严格的真有理分式Ｇ(s) 的实现． 说明：G(s)只能反映系统中能控又能观 的动态行为，所以把不能控或不能观的 状态消去，不会影响系统的G(s)，或如 果有不能控或不能观的状态分量存在将 使系统实现的不是最小实现．
传递函数阵的最小实现例题
传递函数阵的最小实现例题传递函数阵的最小实现是一个重要的概念，它涉及到线性系统的稳定性和可控性。
下面是一个简单的例子来说明如何实现传递函数阵的最小实现。
考虑一个简单的线性时不变系统，其传递函数为\(H(s) = \frac{b_0 + b_1s + b_2s^2}{a_0 + a_1s + a_2s^2}\) 其中\(a_0, a_1, a_2, b_0, b_1, b_2\) 是系统的参数。
为了实现传递函数阵的最小实现，我们需要找到一组状态空间表示，使得该状态空间表示的传递函数等于给定的传递函数\(H(s)\)。
状态空间表示通常由以下四个方程组成：\[\begin{aligned}x' &= Ax + Bu \\y &= Cx +Du\end{aligned}\]其中\(x\) 是状态向量，\(u\) 是输入向量，\(y\) 是输出向量，\(A, B, C, D\) 是系统的状态矩阵和输出矩阵。
根据给定的传递函数\(H(s)\)，我们可以将系统参数转换为状态空间表示的参数。
具体地，我们可以使用以下步骤：1. 首先将传递函数\(H(s)\) 转换为多项式形式，即\(H(s) = \frac{\sum_{i=0}^n b_i s^i}{\sum_{i=0}^n a_i s^i}\)。
2. 然后将多项式形式的传递函数转换为状态空间表示的参数。
具体地，我们可以使用以下公式：\[\begin{aligned}a_0 &= 1 \\a_1 &= -A \\a_2 &= A^2 -B^2 \\b_0 &= -D \\b_1 &= C \\b_2 &= -B\end{aligned}\]3. 最后将参数代入状态空间表示的公式，即可得到状态空间表示。
下面是一个具体的例子：考虑传递函数\(H(s) = \frac{s^2 + 2s + 1}{s^2 + 2s + 3}\)，我们可以将其转换为多项式形式：\(H(s) = \frac{(s+1)^2}{(s+1)^2 + 2}\)然后使用上述公式将多项式形式的传递函数转换为状态空间表示的参数：\[\begin{aligned}A &= -1 \\B &= 0 \\C &= 1 \\D &=-1\end{aligned}\]最后代入状态空间表示的公式，得到状态空间表示：\[\begin{aligned}x' &= -x \\y &= x\end{aligned}\]这是一个简单的例子，说明如何实现传递函数阵的最小实现。
第8章 传递函数矩阵的状态空间实现
注 这里使用的符号D与G(s)的右MFD描述G(s) = Nr(s)Dr-1(s) 和左MFD描 述G(s) = Dl-1(s)Nl(s)中的符号Dr、Dl 不同，切勿混淆。
实现的基本属性： (1) 实现的维数 传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)的结构复杂程度可由 其维数表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维数，即 实现的维数 = dim A (8–3) (2) 实现的不惟一性 传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)满足强不惟一性 ，即不仅实现结果不惟一，而且其实现维数也不惟一。
1 2 I1 1 I1 2 0 1 jI1 2 1 jI1 2 0 0 0 I3
I1 P jI1 0
I1 jI1 0
0 0 , I3
P 1
(8 83)
其中，I1为维数与A1相同的单位阵， I3为维数与A3相同的单位阵，j2 = -1。 上述变换下导出的实数化并联实现具有形式：
1
m
1
m
f11
1
m
c p [ f11
f12
1
f m m
m
f m2
f m1 ]
(8 75)
并联实现(8-75)中， Ap为约当规范型，因此也称并联实现为约当型实现。 当g(s)的严格真部分n(s)/d(s)中包含共轭复数极点时，并联实现中会出 现复数元，导致应用和分析上的不便。解决方法是对(Ap, bp, cp) 引入适当等 价变换，使之实数化，以m = 3时的情形为例，设(Ap, bp, cp)为
0 0 Ac 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2 0 , 1 n 1 0 0 0 bc , 0 1
第六章传递函数矩阵的实现理论
能控形实现的维数？
⎡0 ⎢1 ⎢ A = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 0 0 0 ⎤ 0 0 0 − 2⎥ ⎥ 1 0 0 − 7⎥ ⎥ 0 1 0 − 9⎥ 0 0 1 − 5⎥ ⎦
⎡0 ⎢3 ⎢ B = ⎢5 ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣0
4⎤ 6⎥ ⎥ 4⎥ ⎥ 1⎥ 0⎥ ⎦
C = [0 0 0 0 1]
（6-1）
或简写为（A，B，C，E）是其传递函数矩阵 G ( s ) 的一个实现， 如果两者为外部等价即成立关系式：
C(sI − A)−1 B + E = G(s)
（6-2）
传递函数矩阵 G ( s ) 的实现（A，B，C，E）的结构复杂程 度可由其维数表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维 数，即有
L O
0 q ⎤ −α 1 I q ⎥ ⎥ , M ⎥ ⎥ −α l −1 I q ⎥ ⎦ lq × lq Iq ⎤ ⎦
q × lq
⎡ P0 ⎤ ⎢ P ⎥ B0 = ⎢ 1 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ P ⎣ l −1 ⎦ lq × p
(6-9)
而真传递函数矩阵 G ( s ) 的能观形实现为 ( A0 , B0 , C0 , E ) 。 例：试建立
co = [0, L, 0, 1]
（6-5）
这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得出 传递函数的分母是 n 次多项式的结果。 6.1.2 传递函数矩阵的实现 考虑以有理分式矩阵描述给出的真 q × p 传递函数矩阵 G ( s )
G(s) = (gij (s)), i = 1,L, q j = 1,L, p
（6-4）
能观测规范形实现 式（6-3）所示标量传递函数 g(s)的严真部分n(s)/d(s)的 4 能观测规范形实现具有形式：
现代控制理论试题详细答案
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）…..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分）[][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分）rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为 求两系统串联后系统的最小实现。
现代控制理论复习题库
现代控制理论复习题库⼀、选择题1.下⾯关于建模和模型说法错误的是( C )。
A．⽆论是何种系统，其模型均可⽤来提⽰规律或因果关系。
B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种⽅式的组合表⽰状态变量、输⼊变量、输出变量、参数之间的关系。
C．为设计控制器为⽬的建⽴模型只需要简练就可以了。
D．⼯程系统模型建模有两种途径，⼀是机理建模，⼆是系统辨识。
&&&&的类型是( B ) 。
2.系统()3()10()y t y t u t++=A．集中参数、线性、动态系统。
B．集中参数、⾮线性、动态系统。
C．⾮集中参数、线性、动态系统。
D．集中参数、⾮线性、静态系统。
3.下⾯关于控制与控制系统说法错误的是( B )。
A．反馈闭环控制可以在⼀定程度上克服不确定性。
B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。
C．反馈闭环控制可在⼀定程度上克服外界扰动的影响。
D．控制系统在达到控制⽬的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。
x Pz说法错误的是( D )。
4.下⾯关于线性⾮奇异变换=A．⾮奇异变换阵P是同⼀个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。
B．对于线性定常系统，线性⾮奇异变换不改变系统的特征值。
C．对于线性定常系统，线性⾮奇异变换不改变系统的传递函数。
D．对于线性定常系统，线性⾮奇异变换不改变系统的状态空间描述。
5.下⾯关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。
A．线性系统的响应包含两部分，⼀部是零状态响应，⼀部分是零输⼊响应。
B．线性系统的零状态响应是稳态响应的⼀部分。
C．线性系统暂态响应是零输⼊响应的⼀部分。
D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越⼤。
6.下⾯关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。
A．能控且能观的状态空间描述⼀定对应着某些传递函数阵的最⼩实现。
B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能⼒。
C．能观性表征的是状态反映输出的能⼒。
传递函数矩阵的状态空间最小实现
传递函数矩阵的状态空间最小实现传递函数矩阵最小实现方法——降阶法人们在设计复杂系统时，总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。
给定严格真传递函数矩阵()G s ，为寻找一个维数最小的（A,B,C ）,使1()()C sI A B G s --=，则称该（A,B,C ）是()G s 的最小实现，也称为不可约实现。
最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论：（1）（A,B,C ）为严格真传递函数矩阵()G s 的最小实现的充要条件是（A,B ）能控且（A,C ）能观测。
（2）严格真传递函数矩阵()G s 的任意两个最小实现（A,B,C ）与(,,)A B C 之间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T 使得式子11,,A T AT B T B C CT --===成立。
（3）传递函数矩阵()G s 的最小实现的维数为()G s 的次数n δ，或()G s 的极点多项式的最高次数。
为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。
求最小实现的方法有三种：1、降阶法。
根据给定的传递函数矩阵()G s ，第一步先写出满足()G s 的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足()G s 的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。
2、直接求取约当型最小实现的方法。
若()G s 诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。
3用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。
下面主要研究降阶法（先求能控型再求能观测子系统的方法）并举例说明。
先求能控型再求能观测子系统的方法设（p ×q ）传递函数矩阵()G s ，且p ＜q 时，优先采用本法。
取出()G s 的第j 列，记为j ()G s ，是j u 至()y s 的传递函数矩阵，有j ()G s =1[()....()]Tj qj g s g s =11()()[]()()j qj T j qj p s p s q s q s记()j d s 为1()j q s ,()qj q s 的最小公倍式，则j ()G s =11[()()]()T j qj j n s n s d s设()j d s =1,1,1,0jj j nn j n j j s a sa s a --++++则12,1,2,1,0()j j j j n n ij ij n ij n ij ij n s sss ββββ----=++++ ，1,...i q =在此()j d s 是q 个子系统传递函数的公共部分，由单输入-多输出系统的实现可知，能用能控规范Ⅰ型的j A 、j b 实现()j d s ，由()ij n s 的诸系数确定j C ，这时j ()G s 的实现为1,0,0,10j j j jn j j j j n n n I A a a a --⨯⎡⎤=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦ 1001j j n b ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1,01,11,1,0,1,1j j q n jj j j n j qj qj qj n C ββββββ⨯--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 令1,,j p =，便可得j ()G s 的实现为12n nP A A A A ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n pP b b B b ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]12q n P C C C C ⨯=当p ＜q 时，显见A 、B 、C 的维数均较小，且有1pj j n n ==∑。
4第四章 传递函数矩阵的状态空间
]
[
]
dj(s)为最小公倍式,nij(s)为分子多项式
d j ( s ) = s + a j ,n j 1s
nj n j 1
+ L + a j ,1s + a j , 0
17
nij ( s ) = β ij ,n j 1s
n j 1
+ L + β ij ,1s + β ij , 0 , i = 1,2 L q
g i ( s ) 为严格真分式 取 g i ( s ) 最小公分母,记为D(s)
D ( s ) = s n + an 1s n 1 + L + a1s + a0
β 1,n1 s n 1 + L + β 1, 0 (s) = 1 M G D( s) β q ,n1 s n 1 + L + β q , 0
& x5 = 3x5 + x6
& x6 = x6 + u1
3
1 1 & x2 = 2 x2 + x3 0 2 1 & x3 = x3 + u2 0 1 & x + & x 4 = 3 x 4 + u 2 x = 3 0 & x5 = 3x5 + x6 3 1 0 1 1 & x6 = x6 + u1
[
]
对 G ( s ) 建立能观测标准型,
xn = y1 & xi = xi +1 + ai y1 β1i u1 L β pi u p , i = 1,2,3, L , n 1 14
xn = y1 & xi = xi +1 + ai y1 β1i u1 L β pi u p , i = 1,2,3, L , n 1
传递函数矩阵的状态空间实现
0 0 0 0 4 2 2 1 , C B 1 1 1 1 1 0 0 1 计算可知, rankQc 4, 系统可控 rankQo 2, 系统不能观
04级研究生《线性系统理论》教案
作结构分解: 在Qo中选取两个线性无关行 , h1 [4 2 2 1] h2 [1 1 1 1] 另外再选2行与h1 , h2线性无关, 组成变换矩阵 4 1 T1 1 0 2 2 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 , T11 1 1 3 1 0 0 0 1 0 0 2 0 1 2
1 1 0 0
04级研究生《线性系统理论》教案
二. 能观测形实现
0 q q 0 0 I q Iq Akqkq 0 Iq C [0,0,,0, I q ]qkq P0 P 1 , Bkq p P k 2 k 1 I q P k 1 0 Iq 1 I q
一. 构造控制器形实现
G ( s ) N ( s ) D 1 ( s )严格真, D( s )列既约, ci D( s ) ki , i 1,2, , p D( s ) Dhc S ( s ) Dlc ( s ) N ( s ) N lc ( s ) s k1 p S ( s) , ki n kp i 1 s
第9章 传递函数矩阵的状态空间实现
9.1 实现的基本概念和属性
1. 实现：线性定常系统，给定G(s) 寻求状态空间描述{A,B,C,E} 1 C ( sI A ) B E G(s) 使 则称{A,B,C,E}是G(s)的一个实现。 2. 实现的不唯一性：(a)维数可不同 (b)同维的参数也可不同 3. 实现的存在性：(a)G(s)真 (b)元传递函数的分子分母多项式 的系数均为实数 4. 最小实现（不可简约实现） 给定G(s)，一定存在一类维数最低的实现，即为最小实现； 最小实现一定是既能控、又能观的（不可简约）； 所有最小实现都是代数等价的。
自动控制 第九章 传递函数的状态空间实现
第九章 传递函数的状态空间实现§9.1实现与最小实现一、实现问题的提法我们知道，对于一个线性定常系统，可以用传递函数矩阵进行输入输出描述)(ˆ)(ˆ)(ˆs s s u G y = (9.1.1)如果系统还是集中的，则还可以用状态空间方程来描述 Du Cx y Bu Ax x+=+=(9.1.2)如果已知状态空间方程(9.1.2)，则相应的传递矩阵可由D B A I C G +-=-1)()(ˆs s (9.1.3)求出，且求出的矩阵是唯一的。
现在，我们来研究它的反问题，即由给定的传递矩阵来求状态空间方程，这就是所谓的实现问题。
事实上，对于时变系统也有实现问题，只是它的输入输出描述不再是传递矩阵。
定义9.1：实现传递矩阵)(ˆs G 称为是能实现的是指存在一个有限的维状态方程（9.1.2）或简记为{ A , B , C , D }，使得D B A I C G+-=-1)()(ˆs s 且{ A , B , C , D }称作)(ˆs G的实现。
注意：一个线性定常系统的分布系统可以用传递矩阵来描述，但不能描述为有限维的状态方程。
所以说并非所有的)(ˆs G都是能实现的。
二、实现的不唯一性仔细回忆一下我们在状态变换和规范分解时得到的结论可知：尽管对于给定系统{ A , B , C , D }，它的传递函数矩阵)(ˆs G是唯一的；但反过来，对于给定系统的传递函数矩阵)(ˆs G，求它的状态空间实现{ A , B , C , D }，结论便不唯一。
因为我们知道，状态变换前后，系统的状态空间方程可能大相径庭，但其传递函数矩阵却是相同的；同样，不能控或不能观系统，经规范分解后的整个系统与其中的既能控又能观的子系统均是其传递函数的一个实现。
所以，如果)(ˆs G是能实现的则其有无穷多各个实现，且不一定具有相同的维数。
三、最小实现尽管每一个传递函数阵，可以有无限多个实现。
我们感兴趣的是这些实现中维数最小的实现，即所谓最小实现，也叫不可约实现、最小维实现、最小阶实现。
现代控制理论基础复习资料_普通用卷
现代控制理论基础课程一单选题 (共30题，总分值30分 )1. 已知，则该系统是（）（1 分）A. 能控不能观的B. 能控能观的C. 不能控能观的D. 不能控不能观的2. 下面关于线性连续定常系统的最小实现说法中( )是不正确的。
（1 分）A. 最小实现的维数是唯一的。
B. 最小实现的方式是不唯的，有无数个。
C. 最小实现的系统是能观且能控的。
D. 最小实现的系统是稳定的。
3. 下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是（）（1 分）A. 能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。
B. 能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力。
C. 能观性表征的是状态反映输出的能力。
D. 对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性，不影响能观性。
4. 下面关于线性非奇异变换说法错误的是（）（1 分）A. 非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。
B. 对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。
C. 对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。
D. 对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述。
5. 线性定常系统的状态转移矩阵，其逆是（）（1 分）A.B.C.D.6. 下面关于系统Lyapunov稳定性说法正确的是（）（1 分）A. 系统Lyapunov稳定性是针对平衡点的，只要一个平衡点稳定，其他平衡点也稳定。
B. 通过克拉索夫斯基法一定可以构造出稳定系统的Lyapunov函数。
C. Lyapunov第二法只可以判定一般系统的稳定性，判定线性系统稳定性，只可以采用Lyapunov方程。
D. 线性系统Lyapunov局部稳定等价于全局稳定性。
7. 线性SISO定常系统，输出渐近稳定的充要条件是（）（1 分）A. 其不可简约的传递函数的全部极点位于s的左半平面。
B. 矩阵A的特征值均具有负实部。
C. 其不可简约的传递函数的全部极点位于s的右半平面。
现代控制理论智慧树知到答案章节测试2023年滨州学院
第一章测试1.系统前向通道传递函数阵为，反馈通道传递函数阵为，则系统闭环传递函数为（）。
A:B:C:D:答案:B2.下面关于线性时不变系统的系统矩阵说法错误的是（）。
A:由系统矩阵可以得到系统的运动模态。
B:具有相同特征值的系统矩阵，鲁棒稳定性是一样的。
C:系统矩阵的形式决定着系统的稳定性质。
D:系统矩阵不同，系统特征值可能相同。
答案:B3.下面关于状态空间模型描述正确的是（）。
A:对一个系统，只能选取一组状态变量。
B:模型的阶数就是系统中含有储能元件的个数。
C:代数等价的状态空间模型具有相同的特征多项式和稳定性。
D:对于线性定常系统的状态空间模型，经常数矩阵非奇异变换后的模型，其传递函数阵是的零点是有差别的。
答案:C4.线性变换不改变系统的（）A:状态变量B:特征值C:状态方程D:传递函数答案:BD5.对于同一控制系统，只能选取一组状态变量。
（）A:对B:错答案:B第二章测试1.非齐次状态方程的解包含零状态响应和零输入响应两部分。
（）A:对B:错答案:A2.系统的状态方程为齐次方程，若初始时刻为0，，则其解为（）。
A:B:D:答案:A3.下面关于线性连续系统的状态转移矩阵描述错误的是（）。
A:状态转移矩阵不唯一B:C:D:答案:A4.已知线性连续系统的状态空间表达式为，对该系统进行离散化为状态空间表达式为，其中采样周期为T，那么下列正确的是（）A:H=BB:G=AC:C=CD:D=D答案:CD5.对于线性定常系统，若系统矩阵A为，则系统的状态转移矩阵为（）。
A:B:1C:D:答案:C第三章测试1.下面关于连续线性系统的能观性说法错误的是（）。
A:常数非奇异变换不改变系统的能观性。
B:能观性表征了输出反映内部状态的能力。
C:一个系统不能观，意味着存在满足D:系统状态若不完全能观，则一定可以将状态分成完全能观子空间和不完全能观的子空间，这两个子空间完全正交。
答案:C2.下面关于连续线性系统的能控性说法正确的是（）。
现代控制理论_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
现代控制理论_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.已知线性定常系统如下所示，下面说法错误的是（）【图片】参考答案:引入状态反馈后，不改变系统的能观测性。
2.串联组合系统的传递函数矩阵为各串联子系统的传递函数矩阵之和。
参考答案:错误3.在最优控制问题中，如果系统的性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数，则称为线性二次型最优控制问题，简称LQ（Linear Quadratic）问题。
参考答案:错误4.用不大的控制能量，使系统输出尽可能保持在零值附近，这类问题称为输出调节器问题。
参考答案:正确5.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。
参考答案:正确6.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。
参考答案:正确7.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。
参考答案:正确8.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。
参考答案:错误9.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）参考答案:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法._最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划。
_随机系统理论中的Kalman 滤波技术。
10.内部稳定性表现为系统的零初态响应，即在初始状态恒为零时，系统的状态演变的趋势。
参考答案:错误11.系统矩阵A所有特征值均具有负实部是线性时不变系统渐近稳定的充要条件。
参考答案:正确12.从物理直观性看，能观测性研究系统内部状态“是否可由输入影响的问题”。
参考答案:错误13.由系统结构的规范分解所揭示，传递函数矩阵一般而言只是对系统结构的不完全描述，只能反映系统中的能控能观测部分.参考答案:正确14.下面论述正确的是（）参考答案:李亚普诺夫意义下渐近稳定等同于工程意义下稳定。
现代控制理论 第4章传递函数矩阵的状态空间实现
不为零的**行的数值：
1 Ac的第i个*行等于 Dhc Dlc 的第i行 1 Bc的第i个*行等于 Dhc 的第i行
u(t )
D
1 hc
u0 (t )
0 Bc
0 x
x
0
y0 (t )
C
0 c
N lc
y (t )
0 Ac
化简后：
u (t )
1 Dhc Dlc
1 hc
B D
0 c
s k1 1 s 1 ( s)
k p 1 s s 1
可导出构造
ˆ ( s) u
( Ac , Bc , Cc )
ˆ0 ( s ) u
的结构图
ˆ 0 ( s) y
D
1 hc
i 1
{ Ac , Bc }为完全能控且具有指定形式
2 MFD的核
引入列次表达式：
D( s) Dhc S ( s) Dlc ( s) N ( s) Nlc ( s) s k1 S (s) p , ki n k p i 1 s
G( s) N ( s) D 1 ( s)严格真, D( s)列既约, ci D( s) ki , i 1, 2, ,p
称一个状态空间描述
p
x Ac x Bcu y Cc x
为控制器形实现,
其中 dim A k n, C (sI A )1 B N (s) D 1 (s) i c c c c
ˆ( s ) u ˆ0 ( s ) S ( s ) (核) ˆ( s ) ˆ y ( s ) ( s ) 0 1 1 ˆ ˆ ˆ (s) u0 ( s ) Dhc Dlc ( s ) ( s ) Dhc u (外围) ˆ ( s ) N lc y ˆ 0 ( s) y
现代控制理论课件传递函数矩阵的实现完整版
ΣAi ,Bi ,Ci ，则Gs的实现为：
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11.3 传递函数矩阵的实现
A1 0
0
B1 0
0
A
0
A2
0
,
B
0
B2
0
0
0
Al
0
0
Bl
C C1 C2
Cl
该实现的维数为
l
n ri r l
i 1
例：p.291 例9.10.3
0
0
1
i
,
Bi
0 1
cimi 2 ci1
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11.2 标量传递函数的实现
则Gs的实现ΣA,B,C 为：
A1 0 0
B1
A
0
A2
0
,
B
B2
0 0 Ar
Br
C C1 C2 Cr
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A4
0
0
B3 B4
C
C1 0
0 C2
C3 0
0 C4
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11.3 传递函数矩阵的实现
对所求得的实现ΣA,B,C 进行可控性可观性 结构分解，可得到Gs的最小实现，即ΣA,B,C 的可控且可观部分ΣAco ,Bco ,Cco 。
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A~B~
A~ n1B~
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现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下临沂大学
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下临沂大学临沂大学绪论单元测试1.现代控制理论的主要内容（）A:最优控制B:非线性系统理论C:线性系统D:系统辨识答案:最优控制;非线性系统理论;线性系统;系统辨识2.现代控制理论运用哪些数学工具（）A:微分方程B:线性代数C:几何学D:数理统计答案:微分方程;线性代数3.控制论是谁发表的（）A:奈奎斯特B:劳伦斯C:维纳D:钱学森答案:维纳4.大系统和与智能控制理论和方法有哪些（）A:鲁棒控制B:最优估计C:最优控制D:系统辨识答案:鲁棒控制;最优估计;最优控制;系统辨识5.下面哪个不是大系统的特点（）A:规模庞大B:信息复杂且多C:运用人力多D:结构复杂答案:运用人力多6.哪个不是20世纪三大科技（）A:进化论B:智能控制理论C:空间技术D:原子能技术答案:进化论7.经典控制理论形成的目的是采用各种自动调节装置来解决生产和军事中的简单控制问题。
（）A:错 B:对答案:对8.自适应控制所要解决的问题也是寻求最优控制律，自适应控制所依据的数学模型由于先验知识缺少，需要在系统运行过程中去提取有关模型的信息，使模型逐渐完善。
（）A:错 B:对答案:对9.非线性系统状态的运动规律和改变这些规律的可能性与实施方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能之间的关系。
（）A:错 B:对答案:对10.现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论。
（）A:对 B:错答案:对第一章测试1.下面关于建模和模型说法正确的是（）A:无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或者因果关系。
B:为设计控制器为目的建立只需要简练就可以了。
C:工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，而是系统辨识。
D:建模实际上是通过数据，图表，数学表达式，程序，逻辑关系或者各种方式的组合表示状态变量，输入变量，输出变量，参数之间的关系。
答案:无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或者因果关系。
;工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，而是系统辨识。
广西大学 现代控制理论选择题
1.下面关于建模和模型说法错误的是( )。
A．无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或因果关系。
B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的组合表示状态变量、输入变量、输出变量、参数之间的关系。
C．为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了。
D．工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，二是系统辨识。
2.系统()3()10()++=的类型是( ) 。
y t y t u tA．集中参数、线性、动态系统。
B．集中参数、非线性、动态系统。
C．非集中参数、线性、动态系统。
D．集中参数、非线性、静态系统。
3.下面关于控制与控制系统说法错误的是( )。
A．反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性。
B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。
C．反馈闭环控制可在一定程度上克服外界扰动的影响。
D．控制系统在达到控制目的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。
x Pz说法错误的是( )。
4.下面关于线性非奇异变换=A．非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。
B．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。
C．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。
D．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述。
5.下面关于稳定线性系统的响应说法正确的是( )。
A．线性系统的响应包含两部分，一部是零状态响应，一部分是零输入响应。
B．线性系统的零状态响应是稳态响应的一部分。
C．线性系统暂态响应是零输入响应的一部分。
D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越大。
6.下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( ) 。
A．能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。
B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力。
C．能观性表征的是状态反映输出的能力。
D．对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性，不影响能观性。
现代控制理论试题与答案
现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统用从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定(1)对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的(3)对系统采用输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u uy y 222++=+ ，试求其状态空间最小实现。
现代控制理论-第三章 传递矩阵的实现问题
6 3 5 4 1 1
0 1
2020/7/30
7
能观标准型如下：
0 0 0 0 6 0
自
动 控 制 理 论
0m
Ao
I
m
0m
0m 0m Im
0 I m 1Im 2 I m
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 6
11 0
0 11
6
0
6 2
0 0 0 1 0 6
末页 结束
C(sI
A)1 B
W (s)
D
s
1
s 1
2s 1
s s
s
1
1 1
1
0 1 2
2020/7/30
1
0
1 s 1 12 2s 1
2 s 1
1 s 1
2
二、能控标准型实现和能观标准型实现
自 先把严格真有理分式的传递函数写成如下形式：
动 控 制 理 论
W (s)
sn1 n 1
sn n1sn1
1s 0 1s 0
这里，i (i 0,1, , n 1)
该传递函数阵的特 征多项式系数
i (i 0,1, , n 1)
m×r维常数阵
首页 上页
则其能控标准型实现为：
下页
末页
结束
2020/7/30
3
自
0r
动
控 制 理 论
0r
Ac
0r
0 I r
Ir 0r
0m 0m
0 I m 1Im 2 I m
0m 0m 0m Im n1Im
首页
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传递函数矩阵最小实现方法
降阶法人们在设计复杂系统时，总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。
给定严格真传递函数矩阵G(s)，为寻找一个维数最小的(A,B,C),使C(sl - A)」B二G(s)，则称该(A,B,C )是G(s)的最小实现，也称为不可约实现。
最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论：
(1)( A,B,C )为严格真传递函数矩阵G(s)的最小实现的充要条件是(A,B) 能控且(A,C)能观测。
(2)严格真传递函数矩阵G(s)的任意两个最小实现(A,B,C)与(A,B,C5之
间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T使得式子
A =T」AT,
B =T J B,
C =CT 成立。
(3)传递函数矩阵G(s)的最小实现的维数为G(s)的次数n.，或G(s)的极点多项式的最高次数。
为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。
求最小实现的方法有三种：
1、降阶法。
根据给定的传递函数矩阵G(s)，第一步先写出满足G(s)的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足G(s)的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。
2、直接求取约当型最小实现的方法。
若G(s)诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。
3用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。
下面主要研究降阶法(先求能控型再求能观测子系统的方法)并举例说明。
先求能控型再求能观测子系统的方法设(px q)传递函数矩阵G(s)，且p v q时，
优先采用本法。
取出G(s)的第j列，记为G j(s)，是u j至y(s)的传递函
数矩阵，有
由n ij (s)的诸系数确定C j ，这时
A j
「a j,0
-6,° III Pj i
n j 1
1j,0
"I" j ，
b p -
G j (s)=[g 1j (s)....g qj (s)]T
=[
( )
l qu (s)
/((sy q qj
(s)
记d j (s)为q ij (s), q qj (s)的最小公倍式，则
1
Gj(s)
=帀g ⑼叭创
n | n , _1 ,,,
设d j (s) = s a j ，n_i S a“s a j,。
则 m(s) = '-ij,n j
- 1ij,n j ^
s^^ J|| - ■- j,i^ ■- ij,o , i = 1,...q
在此d j (s)是q 个子系统传递函数的公共部分，由单输入-多输出系统的实现 可知，能用能控规范I 型的 A j 、b j 实现d j (s)，
G j (s)的实现为
C j
i q
询
令j =1^1, p ，便可得G j (s)的实现为
b 2
n ；.p
A P -
C
q n = C1 C2 川C P 1
当p v q时，显见A、B、C的维数均较小，且有n： =n。
上述实现一定能
|.Si (nqQ
)n J
U nn o
1(n-OQ
)n
」
j Su SU 」L 。
由 TT- S U U} SU SU i
_Si
n o
|
Q
，
1
n-n o
有 SU = I n
o
由 CT 4 =C U uj-lcu cu 」-c o o ， 由 TA 宀鬥A U Ui]=[SAU SAU i]=B
[S i 」
:S i AU S i AU- ]A 21
B J SB L 可，
〔SB 一旦」’
于是由能控型化为能控能观测型的简化步骤可归结为: 有 C o = CU U i
，有 A 。
= SAU
A Q
有 B o 二
SB
控，但不一点能观测，需要找出能观测部分，为此需要判别（A,C ）的能观测行＜
C
CA 若（A,C ）能观测，贝U （ A,B,C ）为最小实现；若rankQ ° = rank
.
= n 0
v n
+
k 一
则从Q o 中选出n o 个线性无关行，记为S;在附加（n - n °）个任意行（通常为单 位矩阵I n 的任意行），记为S i ，即
构造W 的非奇异变换阵T ，€ 引入变换x =Tx ，由能观测性的结构分解可知
其中能观测子系统（A,B o ,C o ）即为所求的最小实现。
（瓦，瓦,C 0）有如下简化求法：记T‘为
I .构造S 阵（从Q o 中选出n o 个线性无关行）；
Vi
+ +
=S , Vn°
卑
+ T
T
■
V
n
=S
_
AQ
B = T |B° 1
C = c r = PC
o~\
'A 21 AQ j
I BQ J
L
J
— _1
A =TAT
A」
_0
■-1
-6
0〕
1
-5
r 一01
000
〔0b2
一0
1
一
C>_-1
1 1
一
1
g^s)= 丄
S +1 1 | 1
—1 s +1 —1
_s+1」
g2(s)二
s+3 _ 1 s+2
| -1 _(s+2)(s+3) s_3_
_s+2」
d=1
b2
「1」
C2屮
_-3
1
-1
2•由SU =%，求出U阵；
3. 计算最小实现。
A00 =SAU , 瓦二SB , C0 =CU。
由于S选择的任意性及求解U的任意性，最小实现不唯一，但最小实现的维数是唯一的，且系统都是能控能观测的。
下面举例说明该法。
例1、已知传递函数矩阵G(s)，求最小实现。
s 2 1
G(s)j s+1 s+3
s s+1
l-S+1 s + 2_j
解：化G(s)为严格真传递函数矩阵G(s)
J ___
G(s)=卜：1 s：3+£ 0L(?(S)+D
-1 -1 1 1
•s + 1 s + 2」
求G(s)的最小实现
令dMs) =s 1,d2(s) =s2 5s 6，其能控规范I型实现为
A 一-1
(?(s)的能控型实现为
(A,C)的能观测性判别：由于ran kC =2=m
「C l
~C 1 rankQ ° =rank | n m =rank |
=rank
]CA _
]CA
-1 -1
2 1
七
-1 =3 = n
-6 -3
即(A,C)能观测。
(A,B,C )能控且能观测，即为G(s)的最小实现 G(s)的最小实
现为(A,B,C,D )
例2、求下列G(s)的最小实现维数及最小实现
-4s + 6
2s+3 ]
(s+1)(s + 2) (s+1)(s+3)
G(s
)=
c ” -2 -1 ] (s+1)(s + 2) (s + 1)(s + 2) _
解(1)确定最小实现维数n,..：所有G(s)的一阶子式的最小公分母为(s ，1)(s ・2)； 二阶子式只有一个
0，其分母为任意常数。
故所有子式的最小公分母仍为
(s 1)(s 2)，有 n .=2。
(2)
g(s)二
1 ：4s + 6]
(s+1)(s+2)] -2 一
心乔E 2：3
]
C 』3 2
_-1
A 0
「 th
C
b =
1
IL 0
A 2
_0 b 2
令d 1 (s) = d 2(s) = (s 1)(s 2)，其能控规范I 型实现为
(A,C)的能观测性判别：由于rankC = 2二m 1 1
-3
7 4]
A
■ C C 21
_C 1 CA +
E-
1
=rank CA
+
CA njm
ran kQ 0 = ra nk =rank
■6 4
3 2〕 -2
-1 0 -8 -6 -4 -3 0 -2 0 -1 12 10
6 5
6
2
3
=2 <4
(A,C)不完全可观测 从Q o 中选出二行构成
S 阵亠 6
4
3 2
-2 0-10
由SU “2求U 阵: 6 4 IL-2 0 3
-1
U
11
2
] | U
21
U 31 U 41
1 0 「0 1」
四个方程含8个未知数，设任意规定
u
31 = U32 = u
41
=U 42 = 0，可解得
1 U = 一
4 0 2
3
4 0
故最小实现为 _3 一 2
A)= SAU = 1 2
4
_0
C 。
=cu。