高数极限与函数等价代换公式
高数公式(精简版)
高数公式集萃
一、极限重要公式
（1）0sin lim 1x x
x
→= （2）()1
0lim 1x x x e →+= （3
）)1n a o >=
（4
）1n = （5）lim arctan 2
x x π
→∞
=
（6）lim tan 2
x arc x π
→−∞
=−
（7） （8）lim arc cot 0x x →∞
=lim arc cot x x π→−∞
= （9）lim 0x
x e →−∞
=
（10） （11）lim x x e →+∞
=∞0
lim 1x
x x +
→= 二、常用等价无穷小关系（0x →）
（1）sin x x （2）tan x x （3）arcsin x x （4）arctan x x （5）2
11cos 2
x x − （6）()ln 1x x + （7） （8） （9）1x e − x a 1ln x a x − ()11x x ∂
+−∂
三、导数的四则运算法则
（1） （2）()u v u v ′′±=±′()uv u v uv ′′′=+ （3）2
u u v u v v ′′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
v 四、基本导数公式
⑴() ⑵0c ′=1
x x
μ
μμ−= ⑶()sin cos x x ′=
⑷()cos sin x x ′=− ⑸()2tan sec x x ′= ⑹()2cot csc x x ′=− x ⑼()x
x
e ′⑺()sec sec tan x x ′=⋅x ⑻()csc csc cot x x ′=−⋅e
=
⑽() ⑾()ln x
x
a
a
′=a 1ln x x ′= ⑿()1
同济高数上册公式大全
v1.0 可编辑可修改
第一章 函数与极限
一. 函数的概念
1.两个无穷小的比较
设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)
()
(lim
（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)
2.常见的等价无穷小 当x →0时
sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，
1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α
二．求极限的方法
1．两个准则
准则 1. 单调有界数列极限一定存在
准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )
若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim
2．两个重要公式 公式11sin lim
0=→x
x
x
公式2e x x x =+→/10
)1(lim
3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式
当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
)
()!
12()1(...!5!3sin )
(!
...!3!211
2125332++++-+++-=++++++=n n n n n
x
x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n
高数公式(精简版)
高数公式集萃
一、极限重要公式
（1）0sin lim 1x x
x
→= （2）()1
0lim 1x x x e →+= （3
）)1n a o >=
（4
）1n = （5）limarctan 2
x x π
→∞
=
（6）lim tan 2
x arc x π
→-∞
=-
（7）limarccot 0x x →∞
= （8）lim arccot x x π→-∞
= （9）lim 0x
x e →-∞
=
（10）lim x x e →+∞
=∞ （11）0
lim 1x
x x +
→= 二、常用等价无穷小关系（0x →） （1）sin x
x （2）tan x x （3）arcsin x x （4）arctan x
x （5）2
11cos 2
x
x - （6）()ln 1x x + （7）1x e x - （8）1ln x a x a - （9）()11x x ∂
+-∂
三、导数的四则运算法则
（1）()u v u v '''±=± （2）()uv u v uv '''=+ （3）2
u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭
四、基本导数公式
⑴()0c '= ⑵1
x x
μ
μμ-= ⑶()sin cos x x '=
⑷()cos sin x x '=- ⑸()2
tan sec x x '= ⑹()2
cot csc x x '=-
⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()x
x
e e
'=
⑽(
)ln x
x a
a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿()
1log ln x a
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西
首先对极限的总结如下:
极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致
一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）
二、求极限的方法如下：
1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）
首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件
还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0
注意：罗比达法则分为3种情况
0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）
3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！）
高数二定理、公式
1、数列极限的存在准则
定理1.3（两面夹准则）若数列{x n},{y n},{z n}满足以下条件：
（1），（2），则
定理1.4 若数列{x n}单调有界，则它必有极限。
2、数列极限的四则运算定理。
（1）
（2），（3）当时，
3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是
这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。
反之，如果左、右极限都等于A，则必有。
4、函数极限的定理
定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。
定理1.8（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：
（1），（2），则有。
推论：（1）
（2），（3）
5、无穷小量的基本性质
性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。
6、等价无穷小量代换定理：
如果当时，均为无穷小量，又有且
存在，则。
7、重要极限Ⅰ
8、重要极限Ⅱ是指下面的公式：
9、（2）（3）
（4）
10、函数在一点处连续的性质
由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。
定理1.12（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则
（1）f（x）±g（x）在x0处连续，（2）f（x）·g（x）在x0处连续
（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。
定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连续，y=f（u）在u0=g
高数基本极限公式大全
高数基本极限公式大全
高数（Calculus）是计算和求解数学问题的重要工具，是研究通过数学方法估算未知量的学科。在日常的科学研究中，用到的最多的就是求解极限问题，而极限问题求解利用的就是高数基本极限公式。高数基本极限公式是极限的基本性质，是求解极限问题的基础，具有普适性，且它们之间又有一定的联系。因此，学习和熟悉这些极限公式是高数学习的基础。
一般来说，高数基本极限公式可以分为两大类：一类是关于函数极限的公式，另一类是关于导数极限的公式。关于函数极限的公式主要包括：夹紧定理、连续定理、超越定理和反弹定理；关于导数极限的公式主要包括：梯形定理和著名的八戒定理。
夹紧定理：如果函数f(x)在点x0处可导，且满足：对任意的ε>0，存在一个δ>0，使得：若x∈(x0-δ,x0+δ)，则当x不等于x0时，函数f(x)满足|f(x)-f(x0)|；则说函数f(x)在x0处有极限，极限值等于f(x0)。
连续定理：若函数f(x)在x0处可导，则f(x)在x0处连续。
超越定理：若函数f(x)在x0处可导，且存在极限：limx→
x0f(x)=L，则函数f(x)在x0点可以任意大小的超越值，但不可以超过极限L。
反弹定理：若函数f(x)在x0处连续且可导，且存在极限：limx →x0f(x)=L，则有f(x0)≤L，f(x)只可能在x0点反弹，即从小于L 变为大于L，或者从大于L变为小于L。
梯形定理：若函数f(x)在区间[a,b]内连续且可导，则有：∫
f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是函数f(x)的原函数。
高数公式大全
高等数学公式汇总
第一章一元函数的极限与连续
1、一些初等函数公式：
sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1
cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββα
αβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=
⋅⋅±=
±±=±±=± 和差角公式：
sin sin 2sin
cos 22sin sin 2cos sin
22cos cos 2cos cos
22cos cos 2sin 22
αβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式：
1
sin cos [sin()sin()]
21
cos sin [sin()sin()]
21
cos cos )cos()]
21
sin sin )cos()]
2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：
2222222222sin 22sin cos cos 22cos 1
12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1
cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααα
αααααααα
==-=-=-=
--=
==+=
=-=+倍角公式：
22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin
高数极限与函数等价代换公式(考试必备)
.
1 / 1'. 高数极限与函数等价代换公式（考试必备） 当0→x 时，有下列公式成立：
x x ~sin x x ~arcsin
x x ~tan x x ~arctan 1sec ~21
~cos 12--x x x
a x a x ln ~1- x e x ~1-
aBx Bx a ~11-+）（
a x
x a ln ~)1(log +
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西
首先对极限的总结如下:
极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致
一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）
二、求极限的方法如下：
1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）
首先他的使用有严格的使用前提，必须是X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件
还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0
注意：罗比达法则分为3种情况
0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX 趋近于0）
3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意）
高数八个重要极限公式
高数八个重要极限公式
1、利用定义求极限。
2、利用柯西准则来求。
柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于
任意的自然数m有|xn-xm|<ε.
3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。
如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5
=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5
=1.
4、利用不等式即：夹挤定理。
5、利用变量替换求极限。
例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)
可令x=y^mn
得：＝n/m.
6、利用两个重要极限来求极限。
（1）lim sinx/x=1
x->0
(2)lim (1+1/n)^n=e
n->∞
7、利用单调有界必有极限来求。
8、利用函数连续得性质求极限。
高数上册归纳公式篇(完整)
精心整理公式篇
目录
一、函数与极限
1.常用双曲函数
2.常用等价无穷小
3.两个重要极限
二、导数与微分
1.常用三角函数与反三角函数的导数公式
2.n阶导数公式
3.
4.参数方程求导公式
5.微分近似计算
三、微分中值定理与导数的应用
1.一阶中值定理
2.高阶中值定理
3.部分函数使用麦克劳林公式展开
4.曲率
四、定积分
1.部分三角函数的不定积分
2.几个简单分式的不定积分
五、不定积分
1.利用定积分计算极限
2.积分上限函数的导数
3.牛顿-
4.三角相关定积分
5.
6.
1.
2.
3.
七、微分方程
1.可降阶方程
2.变系数线性微分方程
3.常系数齐次线性方程的通解
4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式
5.特殊形式方程(选)
一、函数与极限
1.常用双曲函数(sh(x).ch(x).th(x))
2.常用等价无穷小(x→0时)
3.两个重要极限
二、导数与微分
1.常用三角函数与反三角函数的导数公式
(凡是“余”求导都带负号)
2.n 阶导数公式
特别地,若n =λ
3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较
函数的0阶导数可视为函数本身
4.参数方程求导公式
5.微分近似计算(x ∆很小时)
(注意与拉格朗日中值定理比较)
常用:
(三、微分中值定理与导数的应用
1.一阶中值定理()(x f 在],[b a 连续,),(b a 可导)
罗尔定理(端点值相等()(f a f =
拉格朗日中值定理
柯西中值定理(0)('≠x g ≠0)
2.)
n R 为余项
(ξ在x 和0x 之间)
令00=x ,得到麦克劳林公式
3.部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项)
考研数学高数公式：函数与极限
考研数学高数公式：函数与极限
第一章：函数与极限
第一节：函数
函数属于初等数学的预备知识，在高数的学习中起到铺垫作用，直接考察的内容比较少，但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。
基础阶段：
1.理解函数的概念，能在实际问题的背景下建立函数关系;
2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式;
3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质;
4.理解复合函数和反函数的概念，并会应用它们解决相关的问题;
强化阶段：
1.了解函数的不同表现形式：显式表示，隐式表示，参数式，分段表示;
2.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
冲刺阶段：
1.综合应用函数解决相关的问题;
2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数，导函数，变上限积分)，并会讨论它们的相关性质。
第二节：极限
极限可以说是高等数学的基础，极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果
基础阶段
1.了解极限的概念及其主要的性质。
2.会计算一些简单的极限。
3.了解无穷大量与无穷小量的关系，了解无穷小量的比较方法，记住常见的等价无穷小量。
强化阶段：
1.理解极限的概念，理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二)/了解数列
极限和函数极限的概念(数三);
▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质，极限的四则运算法则，极限存在的两个准则，两个重要极限，等价无穷小替换，洛必达法则，泰勒公式);
高数极限和连续
【极限】 一、数列极限 1）数列的单调性
对于数列﹛x n
﹜,如果有x n
≤x
1
+n （即x 1
≤x
2
≤····≤x n
≤···）, n ≥1，则称﹛x n
﹜是单调增加
的；若x n
≥x 1
+n ，n ≥1，则称﹛x n
﹜是单调减少的。
2）数列的有界性
如果对于数列﹛x n
﹜，存在正整数M ，使得对每一
个x n
都满足
n
x ≤M ，则称数列﹛x n ﹜是有界的；如果这样的数不
存在，则称数列﹛x n
﹜是无界的。
例: ﹛n 1﹜, ﹛﹙﹣1﹚1
+n ﹜，﹛2
1n n +﹜是有界的，
﹛n 2
﹜是无界的
3）数列的极限
对于数列﹛x n
﹜，如果当n →∞时，x n
无限的趋于
一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷大时，数列﹛x n
﹜以常数A 为极限，或称数列﹛x n
﹜收敛于A ，
记作：
n x n lim ∞
→＝A 或x
n
→A （当n →∞时）
否则称数列﹛x n
﹜没有极限，如果数列﹛x n
﹜没有极
限，就称数列
﹛x n
﹜是发散的。
4）数列极限的性质
定理1：若数列﹛x n
﹜收敛，则其极限值必定唯一
定理2：若数列﹛x n
﹜收敛，则它必定有界（反之
不对！！）
5）数列极限的存在准则 定理3：（两边夹定理）
若数列﹛x n
﹜，﹛y n
﹜, ﹛z n
﹜满足下列条件：
①y n
≤x n
≤z n
，n ＝1,2，····
②lim ∞
→n x n
＝A ，n z n lim ∞
→＝A
那么，数列﹛x n
﹜的极限存在，且n x n lim ∞
→＝A
定理4：若数列﹛x n
﹜为单调有界数列，则n x n lim ∞
→存在
6）数列极限四则运算 定理5：若n x n lim
高数极限与函数等价代换公式
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. 高数极限与函数等价代换公式（考试必备） 当0→x 时，有下列公式成立：
x x ~sin x x ~arcsin
x x ~tan x x ~arctan 1sec ~2
1~cos 12--x x x a x a x ln ~1- x e x ~1-
aBx Bx a ~11-+）（
a
x x a ln ~
)1(log +
大学高等数学等价无穷小
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理
lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)
其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：
f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！
问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为
ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，
所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么
ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，
此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
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第一章 函数与极限
一. 函数的概念
1.两个无穷小的比拟
设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)
()
(lim
〔1〕l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
〔2〕l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
〔3〕l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)
2.常见的等价无穷小 当x →0时
sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，
1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α
二．求极限的方法
1．两个准那么
准那么 1. 单调有界数列极限一定存在 准那么 2.〔夹逼定理〕设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )
假设A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，那么A x f =)(lim
2．两个重要公式 公式11sin lim
0=→x
x
x
公式2e x x x =+→/10
)1(lim
3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式
当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
)
()!
12()1(...!5!3sin )
(!
...!3!211
2125332++++-+++-=++++++=n n n n n
x
x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n
高数一知识点
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第一章~~第三章
一、极限
数列极限lim n n x ->∞
函数极限lim ()x f x ->∞
，lim ()x f x →+∞
，lim ()x f x →-∞
lim ()x x f x ->，0
lim ()x x f x -->，0
lim ()x x f x +->
求极限（主要方法）：
（１）1
00
sin 1
lim
1,lim(1),lim(1)x x
x x x x
e x e x
x
->->∞->=+=+=
（２）等价无穷小替换（P76）。当()0x ϕ→时，
代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。
（3）洛必达法则（000,,0,,0,1,0∞∞⋅∞∞-∞∞∞），只有0,0∞
∞
可以直接用罗比达
法则。
幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；
或，令()()v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则
()lim ()v x a u x e =。 结合变上限函数求极限。 二、连续 0
0lim ()()x x f x f x ->=
左、右连续 0
00lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==
函数连续⇔函数既左连续又右连续
闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。
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.
. 高数极限与函数等价代换公式（考试必备） 当0→x 时，有下列公式成立：
x x ~sin x x ~arcsin
x x ~tan x x ~arctan 1sec ~2
1~cos 12--x x x a x a x ln ~1- x e x ~1-
aBx Bx a ~11-+）（
a
x x a ln ~
)1(log +