冀教版数学九年级上册(同步练习)《25.3 相似三角形》

合集下载

04-25.3 相似三角形九年级上册数学冀教版

解:因为，，分别是各边的中点，所以，，是的中位线.根据三角形中位线定理，得,, .因为是等边三角形，所以，所以，即是等边三角形.所以，，所以与相似，相似比为 .
【归纳总结】（1）若，则有，，， .书写时要注意对应性，尤其是边，还要注意它们的顺序性.（2）当两个三角形的对应角相等，对应边成比例时，两个三角形相似，相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的一种判定方法.
解：，，， ., . .为线段的中点，. .又， .
25.3 相似三角形
过能力学科关键能力构建
1.[2023陕西中考A卷]如图，是的中位线，点在上，.连接并延长，与的延长线相交于点.若，则线段的长为( )
CHale Waihona Puke A. B.7 C. D.8
【解析】是的中位线，，，，，， .
7.[2022连云港中考] 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是( )
C
A.54 B.36 C.27 D.21
【解析】在和中，长为4的边对应的是长为12的边，设长为2的边对应的边长是，长为3的边对应的边长是，，，，的周长是27.
8.如图，已知等边三角形，其边长为，分别取各边的中点，，，得，则与相似吗？如果相似，相似比是多少？
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4和，那么的值( )
B
A.只有1个 B.有2个 C.有3个 D.有无数个
【解析】一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4和，可能是斜边长也可能是直角边长，或，的值有2个．
第3题图
3.[2023重庆中考B卷]如图，已知，，若的长度为6，则的长度为( )

2020-2021冀教版数学九年级上册 25.3 相似三角形

拓展训练 2020年冀教版数学九年级上册 25.3 相似三角形基础闯关全练1．若△ABC ∽△ACD ，AB=1，AD=4，则AC=_________.2．如图所示，已知等腰△ABC ∽△BDC ，∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则AC AD 的值等于 ( )A.21B.215-C.1D.215+3．如图，已知AD=3 cm ，AC=6 cm ，BC=9 cm ，∠B= 36°，∠D=117°，△ABC ∽△DAC. (1)求AB 的长；(2)求∠BAD 的度数．能力提升全练1．一个三角形三边长之比为3:5:7．与它相似的三角形的最长边为21 cm ，则其余两边长之和为 ( )A.24 cmB.21 cmC.13 cmD.9 cm2．矩形ABCD 中，AB=6，BC=8．点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE ∽△DBC.若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为__________．3．如图，在△ABC 纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P 是AC 上一点，过点P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP 长的取值范围是_________.4．如图，△ABC ∽△DEF ，M 是BC 的中点，N 是EF 的中点，AB=4，DE =6，AM=5，求DN 的长．三年模拟全练选择题1．（2019湖北黄冈浠水期末，6，★☆☆）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，31AB AD =，AE=2 cm ，则AC 的长是( )A.2cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm2．（2018河北邯郸二模，10，★★☆）在△ABC中，AB= 24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，以A、D、E三点为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为( ) A．16 B．14 C．16或14 D．16或93．（2019河北沧州南皮四中月考，8，★★☆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4 cm、5 cm和6 cm，另一个三角形框架的一边长为2 cm，则它的另两边的长不可能是( )A.cm25、3 cm B.cm512cm58、C.cm35cm34、D.3 cm、4 cm五年中考全练一、填空题1．（2017辽宁本溪中考，17．★☆☆）如图，△ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD= ∠ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC 相似时，线段CE的长为_____．二、解答题2．（2018江西中考，14，★☆☆）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA =6，CD∥AB，BD 是∠ABC的平分线，BD交AC于点E．求AE的长．核心素养全练如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= -x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点⎪⎭⎫⎝⎛3534A，，点D的坐标为(0，1)．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标.25.3相似三角形基础闯关全练1.答案 2解析 ∵△ABC ∽△ACD ，∴AB :AC=AC : AD ，∵AB=1，AD=4，∴1：AC ＝AC ：4，∴AC ＝22．B ∵△ABC ∽△BDC ，∴，∴BC ²＝AC ·DC ，∵∠A = 36°，BD 平分∠ABC ，∴∠ABC =21×( 180°-36°) =72°，∠A= ∠ABD = 36°，∠BDC =∠C = 72°，∴BC = BD = AD ，∴AD ²=AC ·DC.设AC= 1 ，AD =x( 0＜x ＜1 ) ，则 x ²+x- 1= 0，解得，∵0＜x ＜1 ，∴，∴，故选 B. 3.解析 ∵ △ABC ∽△DAC ，∴∠DAC =∠B = 36°，∠BAC =∠D=117°，AB : DA=BC : AC.(1) ∵AD= 3 cm ，AC= 6 cm ，BC = 9 cm ，∴AB = 4.5 cm.(2) ∠BAD= ∠DAC+ ∠BAC= 36°+ 117° =153°.能力提升全练1．A 设其余两边的长分别是x cm ，ycm( x ＜y)，由题意得x:y ：21=3：5：7，解得x=9，y= 15，故其余两边的长的和为9+15= 24( cm).2．答案 56或3解析如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD= 90°，∴10AD AB BD 22=+=．当PD=DA=8时，BP= BD-PD=2．∵△PBE ∽△DBC ， ∴CD PE BD BP =，即6PE 102=．解得56PE =；当P'D=P'A 时，点P'为BD 的中点，∴P'E'=21CD=3．故答案为56或3．3．答案3≤AP ＜4解析如图所示，过P 作PD ∥AB 交BC 于D ，作PE ∥BC 交AB 于E ，则△PCD ∽△ACB ，△APE ∽△ACB ，此时0＜AP ＜4;如图所示，过P 作∠APF= ∠B 交AB 于F ，则△APF ∽△ABC ．此时0＜AP ≤4;如图所示，过P 作∠CPG=∠CBA 交BC 于G ．则△CPG ∽△CBA ．∴ＣＡPG CB CP =，当点G 与点B 重合时PG= CB ，AP 取到最小值．CB ²= CP ×CA ，即2²= CP ×4， ∴CP=1，AP=3，∴3≤AP ＜4．综上所述，AP 长的取值范围是3≤AP ＜4．故答案为3≤AP ＜4．4．解析 ∵△ABC ∽△DEF ，M 是BC 的中点，N 是EF 的中点，∴AB ＤＥ＝ＡＭＤＮ，又AB=4，DE=6，AM=5，∴DN= 7.5．三年模拟全练选择题1.C ∵DE//BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴，∵AE=2 cm ，∴AC=6 cm ，故选C ．2．D (1)当△ADE ∽△ACB 时，如图①．∴ACAD AB AE =， ∵AB=24，AC=18，AD=12，∴AE= 16；(2)当△ADE ∽△ABC 时，如图②．∴AB AD AC AE =， ∵AB=24，AC=18，AD=12，∴AE=9.故AE 的长为9或16.故选D ．3．D 分情况讨论：(1)若边长为2 cm 的边与边长为4 cm 的边相对应，则另两边的长分别为25cm 和3cm;(2)若边长为2cm 的边与边长为5 cm 的边相对应，则另两边的长分别为58cm 和512cm ；(3)若边长为2 cm 的边与边长为6 cm 的边相对应，则另两边的长分别为34cm 和35cm ．故选项A ，B ，C 正确．故选D ．五年中考全练一、填空题1．答案3或34解析 ∵△DCE 和△ABC 相似，∠ACD= ∠ABC ，AC=6，AB=4，CD=2，∴∠A= ∠DCE ，当△ABC ∽△CDE 时，有CE AC CD AB =，即CE 624=，解得CE=3；当△ABC ∽△CED 时，有ＣＤAC CE AB =，即２６＝ＣＥ4，解得34CE =．故答案为3或34，二、解答题2.解析 ∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ．∵AB//CD ，∴∠D=∠ABD ，∴∠D=∠CBD ，∴BC= CD ，∵BC=4，∴CD=4，∵AB//CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴CE AE CD AB =，∴CE AE 48=∴AE=2CE ， ∵AC=6=AE+CE ，∴AE=4．核心素养全练解析 (1)设直线AD 的解析式为y=kx+b(k ≠0)，把点，D （0，1），代入y=kx+b(k ≠0），得解得∴直线AD 的解析式为y ＝21x+1． (2)∵△BOD 与△BCE 相似，且△BOD 是直角三角形，∴△BCE 也是直角三角形． ∵在△BCE 中，∠EBC 为锐角，∴△BCE 是直角三角形分两种情况：∠BCE= 90°或∠BEC= 90°.①如图1，过点C 作CE ⊥x 轴，交直线BD 于点E ．此时△BOD ∽△BCE ，∠BOD= ∠BCE=90°.图1将y=0代入y= -x+3得-x+3=0，∴x=3，∴C(3，0).将x=3代入y=21x+1，得y=21×3+1=25，∴E(3，25)．②如图2，过点C 作CE ⊥BD ，交直线AD 于点E ，过点E 作EH ⊥x 轴于H ，图2此时△BOD ∽△BEC ，∠BOD= ∠BEC=90°，把y=0代入y=21x+1得21x+1=0，∴x=-2， ∴B(-2，0) ，OB=2．∵D(0，1)，∴OD=1．如图2，OB=2，OD=1，BC=5，BD=5.∵△BOD ∽△BEC ，∴BC EB BD OB =． ∴5EB52=．∴52EB =．∵ OD//HE ，∴△BOD ∽△BHE ，∴ＢＨBO BE BD HE OD ==，∴ ，∴HE=2，BH=4.∵DB=2．∴OH=2．∴E(2，2)．综上所述，当△BOD 与△BCE 相似时，点E 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛253，或(2，2)．。

冀教版数学九年级上册25.3《相似三角形》教学设计

冀教版数学九年级上册25.3《相似三角形》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册第25.3节《相似三角形》是学生在学习了三角形相似性质和相似三角形的判定之后，进一步探讨相似三角形的性质和应用。

本节课的内容包括相似三角形的性质，如对应边成比例，对应角相等，以及如何利用相似三角形解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固相似三角形的性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本性质，具备了一定的逻辑思维和分析问题的能力。

但是，对于相似三角形的性质和应用，部分学生可能还存在着理解和应用上的困难。

因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，通过具体例题和练习，引导学生深入理解相似三角形的性质，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、证明等方法，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质及其应用。

2.难点：如何运用相似三角形的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生观察、分析、猜想、证明，从而掌握相似三角形的性质。

同时，通过案例分析和小组合作，让学生在实际问题中运用相似三角形的性质，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关例题和练习题，用于引导学生学习和巩固相似三角形的性质。

2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和案例分析。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出一个问题：“在现实生活中，你见到过相似三角形吗？它们有什么特点？”引发学生的思考，引出本节课的主题——相似三角形。

2.呈现（15分钟）教师展示一些相似三角形的图片，让学生观察并说出它们的特点。

然后，教师通过讲解相似三角形的性质，如对应边成比例，对应角相等，使学生了解相似三角形的性质。

冀教版九年级数学上册同步练习：25.3 相似三角形-教育文档

25．3 相似三角形知识点 1 相似三角形的定义1．如图25－3－1所示，D 是△ABC 的边AB 上的一点，当∠ADC ＝∠ACB ，∠ACD＝________，∠A ＝∠A ，AC AB ＝AD （）＝DC CB时，△ADC ______△ACB . 图25－3－12．教材“大家谈谈”变式下列说法中，错误的是( )A ．两个全等三角形一定是相似三角形B .两个等腰三角形一定相似C .两个等边三角形一定相似D .两个等腰直角三角形一定相似知识点 2 相似比3．如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 与△DEF 的相似比为k 1，△DEF 与△ABC 的相似比为k 2，则k 1与k 2的关系是( )A ．k 1＝k 2B .k 1＋k 2＝0C .k 1·k 2＝－1D .k 1·k 2＝14．若△ABC ∽△DEF ，AB ＝4 cm ，DE ＝8 cm ，则△ABC 与△DEF 的相似比为________．5．若把△ABC 的各边长分别扩大为原来的5倍，得到△A ′B ′C ′，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为________．知识点 3 相似三角形定义的应用6．如图25－3－2，已知△ADE ∽△ACB ，那么下列比例式正确的有( )图25－3－2①AD AB ＝AE AC ；②AD AC ＝AE AB； ③BC AB ＝ED AE ；④BC AC ＝ED AD . A ．1个 B .2个 C .3个 D .4个7．在△ABC 中，已知AB ＝5，BC ＝4，AC ＝8.若△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1的最长边的长为16，则其他两边的长分别为( )A ．A 1B 1＝8，B 1C 1＝10B .A 1B 1＝10，B 1C 1＝8C .A 1B 1＝5，B 1C 1＝8D .A 1B 1＝10，B 1C 1＝48．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，且A 1B 1＝6 cm ，AB ＝4 cm ，BC ＝3.2 cm ，∠B ＝58°，∠C ＝72°，则B 1C 1＝________cm ，∠A 1＝________°.9．如图25－3－3，已知△ABC ∽△DAC ，AC ＝4，BC ＝6，∠B ＝36°，∠D ＝117°.(1)求∠BAD 的度数；(2)求CD 的长．图25－3－310．如图25－3－4，已知△ABC ∽△ADE ，AE ＝5，EC ＝3，BC ＝6，∠A ＝45°，∠C ＝40°.求：(1)∠AED 和∠ADE 的度数；(2)DE 的长．图25－3－4知识点 4 利用平行线判定三角形相似11．如图25－3－5，点F 在平行四边形ABCD 的边CD 上，射线AF 交BC 的延长线于点E .∵AD ∥BC ，∴△EFC ∽△________．∵AB ∥CD ，∴△EFC ∽△________．图25－3－512．如图25－3－6所示，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，有下列三个结论：①DE ＝12AB ；②△CDE ∽△CAB ；③△CDE 与△CAB 的相似比为2.其中正确的结论有( ) 图25－3－6A ．0个B .1个C .2个D .3个13．如图25－3－7，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是()图25－3－7A．AB2＝BC·BDB.AB2＝AC·BDC.AB·AD＝BD·BCD.AB·AD＝AD·CD14．如图25－3－8所示，在▱ABCD中，BE分别交AC，CD于点G，F，交AD的延长线于点E，则图中的相似三角形有()图25－3－8A．3对B.4对C.5对D.6对15．如图25－3－9所示，△PQR是等边三角形，△P AQ∽△BPR.(1)请写出两个相似三角形对应边的比例式；(2)试找出AQ，QR，BR三条线段之间的关系．图25－3－916．如图25－3－10，在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，G为AC边上一点，∠1＝∠2.求证：△AFG∽△ABC.图25－3－1017．如图25－3－11，已知AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝2DE，连接BE并延长交AC于点F.(1)求证：AF＝FC；(2)求BFEF的值．图25－3－1118．如图25－3－12，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，动点P从点B 出发以2 cm/s的速度向点C移动，动点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若动点P，Q同时出发，则经过多少秒时，PQ∥AB.图25－3－121．∠B AC ∽2．B3．D [解析] 相似比有顺序性．4.125.156．C 7.B 8.4.8 509．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠DAC ＝∠B ＝36°，∠BAC ＝∠D ＝117°， ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°.(2)∵△ABC ∽△DAC ，∴AC DC ＝BC AC .又AC ＝4，BC ＝6，∴CD ＝AC ·AC BC ＝4×46＝83. 10．解：(1)因为△ABC ∽△ADE ，所以∠AED ＝∠C ＝40°，所以∠ADE ＝∠B ＝180°－∠A －∠C ＝180°－45°－40°＝95°.(2)因为△ABC ∽△ADE ，所以AC AE ＝BC DE，所以DE ＝AE AC ·BC ＝AE AE ＋EC ·BC ＝55＋3×6＝154. 11．AFD EAB12．C13．A14．D [解析] 由AD ∥BC ，AB ∥CD ，可知△AGE ∽△CGB ，△DFE ∽△CFB ，△ABC ∽△CDA ，△ABG ∽△CFG ，△ABE ∽△CFB ，△EDF ∽△EAB .共有6对．故选D.15．解：(1)P A BP ＝PQ BR ＝AQ PR. (2)∵△PQR 是等边三角形，∴PQ ＝QR ＝PR .由(1)知PQ BR ＝AQ PR，∴PQ ·PR ＝BR ·AQ ，∴QR 2＝BR ·AQ .16证明：∵CF ⊥AB ，ED ⊥AB ，∴∠AFC ＝∠ADE ＝90°，∴CF ∥DE ，∴∠1＝∠BCF .又∵∠1＝∠2，∴∠BCF ＝∠2，∴FG ∥BC ，∴△AFG ∽△ABC .17．解：(1)证明：过点D 作DG ∥AC 交BF 于点G .∵DG ∥AC ，AD 是△ABC 的中线，即BD ＝DC ，∴DG ＝12FC . ∵DG ∥AC ，∴△DEG ∽△AEF ，∴DG AF ＝DE AE. 又∵AE ＝2DE ，∴DG AF ＝12，则DG ＝12AF ，∴AF ＝FC . (2)∵DG ∥AC ，AD 是△ABC 的中线，即BD ＝DC ，∴BF ＝2GF .由(1)知△DEG ∽△AEF ，∴GE EF ＝DE AE ＝12， ∴GE ＝12EF . 设EF ＝2x ，则GE ＝x ，GF ＝3x ，∴BF ＝2GF ＝6x ，则BF EF ＝6x 2x＝3. 18．解：设经过t s 时PQ ∥AB ，则BP ＝2t cm ，QC ＝t cm ，PC ＝(4－2t )cm. 根据题意，得Rt △ABC ∽Rt △QPC ，所以AC BC ＝QC PC ，即34＝t 4－2t，解得t ＝1.2. 由于点P 在BC 边上的运动速度为2 cm/s ，点Q 在AC 边上的运动速度为1 cm/s ，可知t 的取值范围为0＜t ＜2，所以t ＝1.2满足题目要求．所以，经过1.2 s 时，PQ ∥AB .。

新冀教版九年级数学上册同步测试卷：《25.3 相似三角形》

新冀教版九年级数学上册同步测试卷：《25.3 相似三角形》一、填空题1．若△AED∽△ABC，AD=6cm，AC=12cm，则△AED与△ABC的相似比为______．2．△ABC与△A′B′C′的相似比AB：A′B′=1，则△ABC与△A′B′C′的关系是______；若△ABC与△A′B′C′的相似比是2：5，则△A′B′C′与△ABC的相似比为______．3．已知△ABC的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______．4．（12分）根据图中所给的条件，判定两三角形的关系填空．（1）如图①，已知DE∥AB，则△CDE______△CBA，∠A=______，∠B=______，=______=______．（2）如图②，已知∠A=∠D，则△AOB______△DOC，______=______．5．如图，若△ABC∽△AED，AD=10cm，BD=12cm，AC=12cm，则AE=______cm．二、选择题6．下列各组图形有可能不相似的是（）A．各有一个角是50°的两个等腰三角形B．各有一个角是100°的两个等腰三角形C．各有一个角是50°的两个直角三角形D．两个等腰直角三角形7．如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（）A．30°B．50°C．100°D．以上都不对8．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）A．AB2=BC•BD B．AB2=AC•BD C．AB•AD=BD•BC D．AB•AD=AD•CD9．在△ABC中，BC=54，CA=45，AB=63，另一个和它相似的三角形的最短边为15，则最长边一定是（）A．18 B．21 C．24 D．19.510．若△ABC与△A′B′C′的相似比为k1，△A′B′C′与△ABC的相似比为k2，则有（）A．k1=k2B．k1+k2=0 C．k1•k2=﹣1 D．k1•k2=111．如图，若△ABC∽△ACD，∠A=60°，∠ACD=40°，则∠BCD的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．30°或50°12．如图，为估算某河的宽度，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m13．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE 交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对三、解答题14．如图，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为=，若AB=6，BC=5，AC=4，求△A′B′C′的周长．15．如图所示，△ABC∽△ACD，且AD=5，BD=4，求△ACD与△ABC的相似比．16．如图，已知AB∥CD，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，∠AOB=72°，求AB，OC的长及∠C的度数．四、综合运用题17．如图，在△ABC中，D，E在AB上，EF∥BC，EF交AC于点F，∠ADF=∠C，△ABC∽△AFD．若AF=6cm，CF=AD=4cm，求AB和AE的长．。

25.3 相似三角形预学检验+课堂导学(含答案)冀教版数学九年级上册

第二十五章图形的相似25. 3 相似三角形1．如图，△ABC≌△DEF，点A与D，点B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5 cm，BF＝7 cm，则EC的长为________cm.2．如图，在△ABC中，在边BC上取一点D，连接AD，在AD上取一点E，连接CE.若△ADB≌△CDE，∠BAD＝α，则∠ACE的度数为________．1．对应角__________、对应边__________的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比叫做它们的__________．2．三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形可以看成是相似比为__________的相似三角形．3．平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形__________．4．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2，则()A．∠A是∠A′的2倍B．∠A′是∠A的2倍C．AB是A′B′的2倍D．A′B′是AB的2倍5．[2023福州鼓楼区模拟如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC ＝45°，则∠E＝()A．75°B．105°C．60°D．45°(第5题)(第6题) 6．[2023成都双流区期末]如图，△ABC∽△CBD，AB＝4，BD＝6，则BC＝________．知识点1 相似三角形的概念及其相似比如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝108°，求AB，OC的长和∠D的度数．变式1如图，D是AB的中点，△ABC∽△ACD，且AD＝2，∠ADC ＝65°.(1)写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式；(2)求AC的值及∠ACB的度数．3知识点2 平行线判定两三角形相似[2023哈尔滨香坊区月考]如图，在平行四边形ADBC 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线AB 于点F ，则CFEF 的值为________．变式2如图，已知BC 交AD 于点E ，AB ∥EF ∥CD ，那么图中相似的三角形共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对答案第二十五章图形的相似25. 3 相似三角形1．3 2.45°－α1．相等；成比例；相似比 2.1 3.相似 4．C 5.A 6.2 6例1 解：∵OA ＝2，AD ＝9，∴OD ＝9－2＝7.∵△AOB ∽△DOC ，∴OA OD ＝OB OC ＝ABCD ，∠D ＝∠A ＝108°. ∴27＝5OC ＝AB 12，解得OC ＝352，AB ＝247. 变式1.解：(1)AD AC ＝AC AB ＝CDBC .(2)由(1)得AD AC ＝ACAB .∵D 是AB 的中点，AD ＝2，∴AB ＝4， ∴2AC ＝AC4，解得AC ＝2 2(负值舍去)． ∵△ABC ∽△ACD ， ∴∠ACB ＝∠ADC ＝65°. 例2 2 变式2.C。

冀教版初中数学九年级上册《25.3 相似三角形》同步练习卷

冀教新版九年级上学期《25.3 相似三角形》同步练习卷一．选择题（共18小题）1．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比k＝2，AB＝6，则对应边A′B′的长为（）A．3B．2C．12D．242．若一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为（）A．15B．10C．9D．33．点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，AD＝2，DB＝8，AC＝5．若△ADE与△ABC 相似，则AE的长为（）A．1.25B．1C．4D．1或44．根据你对相似的理解，下列命题中，不正确的是（）A．相似三角形的对应角相等B．相似三角形的对应边成比例C．相似三角形的周长比等于相似比D．相似三角形的面积比等于相似比5．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为线段AE上一点，若△ADE∽△BF A，AE＝4，BF＝3，则该正方形的面积为（）A．12B．8C．6D．26．两相似三角形对应边的比为1：4，则它们面积的比为（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：167．已知△ABC～△DEF，相似比为，且△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．8．如果两个相似三角形的相似比是1：，那么这两个相似三角形的面积比是（）A．2：1B．1：C．1：2D．1：49．已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为（）A．4：25B．4：5C．2：25D．2：510．如图，△ABC∽△A′B′C′，AB＝3，A′B′＝4．若S△ABC＝18，则S△A′B′C′的值为（）A．B．C．24D．3211．两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和1cm，如果它们的面积之和为40cm2，则较大三角形的面积是（）A．36cm2B．32cm2C．30cm2D．24cm212．两个相似三角形的相似比是1：4，那么它们的面积比是（）A．1：2B．1：4C．1：16D．113．一个直角三角形两条直角边的长分别为4，8，另一个和它相似的直角三角形的一条直角边为12，则另一条直角边的长为（）A．6B．24C．6或24D．6或14．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的周长之比为1：2，则△ABC与△DEF对应的角平分线之比为（）A．2：1B．1：2C．1：4D．1：15．如图所示是小明做的一个风筝的支架，AB＝40cm．BP＝60cm，且△ABC∽△APQ，则它们的相似比是（）A．3：2B．2：3C．2：5D．3：516．已知△ABC的三边长2，4，5，△A'B'C'其中的两边长分别为1和2，若△ABC∽△A'B'C'，那么△A'B'C'的第三边长应该是（）A．2.5B．2C．1.5D．117．对于下列说法：（1）相似且有一边为公共边的两个三角形全等；（2）相似且面积相等的两个三角形全等；（3）相似且周长相等的两个三角形全等．其中说法正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个18．下列三种方法：①相似三角形对应高的平分线的比等于相似比；②相似三角形对应高的比等于周长比；③周长之比等于1的两个三角形全等，其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．0个二．填空题（共26小题）19．两个相似三角形面积比为2，周长比为K，则＝．20．两个相似三角形的一对对应边的长分别是20cm，8cm，它们的周长差为60cm，则这两个三角形的周长分别为．21．已知：△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边之比为3：4：5．若△A′B′C′的最长边为20cm，则它的最短边长为cm．22．已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，则另外两边长分别为．23．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝8，CA＝7，延长BC至P，使△P AB∽△PCA，则PC ＝．24．如图表示△COD和它放大后得到的△AOB，则它们的相似比是．25．已知△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，它们的面积比为．26．想一想：△ABC与△A′B′C′的相似比和△A′B′C′与△ABC的相似比相等吗？有无特殊情况？请你填一填：若△ABC与△A′B′C′的相似比为k1，△A′B′C′与△ABC的相似比为k2，则＝＝＝，k2＝＝＝，因此k1，k2一般不相等，其关系是，当且仅当它们全等时，才有k1＝k2＝．27．如图，已知△AEF是△ABC经过相似变换所得的像，且AE＝EB＝2，AF＝4，则FC ＝．28．已知△ABC∽△DEF，且BC＝5cm，EF＝3cm，若S△ABC＝25cm2，则S△DEF＝．29．已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的角平分线AM＝3，△A1B1C1的角平分线A1N＝1，则△ABC与△A1B1C1的面积比为．30．如图，P是△ABC边AB上一点，且AP＝4，BP＝5，若使△ACP∽△ABC，则边AC的长应为．31．一个三角形的各边长扩大为原来的6倍，则这个三角形的周长扩大为原来的倍．32．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，点D，E，F分别在AC，AB，BC边上，△BEF沿着直线EF翻折后与△DEF重合，若△DFC与△ABC相似，则CD的长为．33．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：9，△ABC的周长为18厘米，则△DEF的周长为厘米．34．如图中两三角形相似，则x＝．35．若相似三角形面积比是1：2，则它们对应中线的比是．36．已知△ABC与△DEF相似且对应边上的高之比为1：2，则△ABC与△DEF的面积之比为．37．在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8．另一个三角形的最小边长是2，则另一个三角形的周长是．38．已知△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝4cm．若△ADE与△ABC相似，则AE＝cm．39．已知△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的面积为6cm2，周长是△ABC周长的一半，AB＝8cm，则AB边上高等于．40．在△ABC中，D为AB的中点，AB＝4，AC＝7，若AC上有一点E，且△ADE与原三角形相似，则AE＝．41．两个相似三角形对应边的比为6，则它们周长的比为．42．如图，△ABC∽△ADE，则∠BAD＝＝．43．两个相似三角形对应中线的比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为cm．44．等边三角形ABC和△A′B′C′相似，相似比为5：2，若AB＝10，B′C′边上的高是．三．解答题（共6小题）45．如果一个三角形的底边长是3厘米，高是2厘米，把它按1：5的比例放大，得到的图形面积是多少？46．已知两个相似三角形的一对对应边长为20cm，35cm，若它们的周长差为63cm，求这两个三角形的周长．47．已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，求△A′B′C′的另两条边的长、周长及最大角的大小．48．附加题：（1）一元二次方程x2﹣1＝0的解为．（2）已知△ABC∽△A′B′C′，∠A＝50°，则∠A的对应角∠A′＝度．49．如图．BD∥AC，AB与CD相交于点O，已知△OBD∽△OAC，＝，OB＝2，求AB的长．50．若△ABC∽△ADE，AD＝3，AB＝5，DE＝4，求BC的长．冀教新版九年级上学期《25.3 相似三角形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比k＝2，AB＝6，则对应边A′B′的长为（）A．3B．2C．12D．24【分析】根据相似三角形的性质得到AB：A′B′＝k，即6：A′B′＝2，然后利用比例的性质求解．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AB：A′B′＝k，即6：A′B′＝2，∴A′B′＝3．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．2．若一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为（）A．15B．10C．9D．3【分析】首先设它相似的三角形的最短边的长为x，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【解答】解：设它相似的三角形的最短边的长为x，∵一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边的长为21，∴，解得：x＝9．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．3．点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，AD＝2，DB＝8，AC＝5．若△ADE与△ABC 相似，则AE的长为（）A．1.25B．1C．4D．1或4【分析】由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．【解答】解：①若∠AED对应∠B时，＝，即，解得AE＝4；②当∠ADE对应∠B时，＝，即＝，解得AE＝1．故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形的对应边成比例．4．根据你对相似的理解，下列命题中，不正确的是（）A．相似三角形的对应角相等B．相似三角形的对应边成比例C．相似三角形的周长比等于相似比D．相似三角形的面积比等于相似比【分析】根据相似三角形的性质，即可求得答案．【解答】解：A、相似三角形的对应角相等，故本选项正确；B、相似三角形的对应边成比例，故本选项正确；C、相似三角形的周长比等于相似比，故本选项正确；D、相似三角形的面积比等于相似比的平方，故本选项错误．故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应角相等，相似三角形的对应边成比例，相似三角形的周长的比等于相似比与相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．5．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为线段AE上一点，若△ADE∽△BF A，AE＝4，BF＝3，则该正方形的面积为（）A．12B．8C．6D．2【分析】设正方形的边长是a．根据相似三角形的对应边的比相等，得到关于a的方程即可求解．【解答】解：设正方形的边长是a．∵△ADE∽△BF A，AE＝4，BF＝3，∴．即a2＝3×4＝12，即正方形的面积是12．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的性质和正方形的性质．6．两相似三角形对应边的比为1：4，则它们面积的比为（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16【分析】利用相似三角形性质面积的比等于相似比的平方即可得出．【解答】解：∵对应边的比为1：4∴它们面积的比为（1：4）2＝1：16故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，面积的比等于相似比的平方．7．已知△ABC～△DEF，相似比为，且△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC～△DEF，∴△ABC与△DEF对应中线的比等于相似比，即相△ABC与△DEF对应中线的比为．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．8．如果两个相似三角形的相似比是1：，那么这两个相似三角形的面积比是（）A．2：1B．1：C．1：2D．1：4【分析】直接根据似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．【解答】解：这两个相似三角形的面积比＝12：（）2＝1：2．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．9．已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为（）A．4：25B．4：5C．2：25D．2：5【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可直接得出结果．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，又∵S△ABC：S△DEF＝4：25＝（2：5）2，∴△ABC与△DEF的相似比为2：5．故选：D．【点评】本题考查相似三角形的性质．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序，同时也不能忽视面积比与相似比的关系．相似比是联系周长、面积、对应线段等的媒介，也是相似三角形计算中常用的一个比值．10．如图，△ABC∽△A′B′C′，AB＝3，A′B′＝4．若S△ABC＝18，则S△A′B′C′的值为（）A．B．C．24D．32【分析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，且已知了两个相似三角形的对应边AB、A′B′的长，即可根据△ABC的面积和两个三角形的面积比求出S△A′B′C′的值．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝（）2＝；∵S△ABC＝18，∴S△A′B′C′的值32；故选：D．【点评】此题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．11．两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和1cm，如果它们的面积之和为40cm2，则较大三角形的面积是（）A．36cm2B．32cm2C．30cm2D．24cm2【分析】首先设较大三角形的面积是xcm2，由它们的面积和为40cm2，即可求得较大三角形的面积，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，列方程即可求得答案．【解答】解：设较大三角形的面积是xcm2，根据题意得：x：（40﹣x）＝9：1，解得：x＝36，∴较大三角形的面积是36cm2．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．注意方程思想的应用．12．两个相似三角形的相似比是1：4，那么它们的面积比是（）A．1：2B．1：4C．1：16D．1【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：4，∴它们的面积比是1：16．故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．13．一个直角三角形两条直角边的长分别为4，8，另一个和它相似的直角三角形的一条直角边为12，则另一条直角边的长为（）A．6B．24C．6或24D．6或【分析】设另一直角边为x，然后分两种情况利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：设另一直角边为x，∵两三角形相似，∴＝或＝，解得x＝6或x＝24．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．14．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的周长之比为1：2，则△ABC与△DEF对应的角平分线之比为（）A．2：1B．1：2C．1：4D．1：【分析】利用相似三角形对应的角平分线的比等于相似比即可得到答案．【解答】解：∵△ABC与△DEF的周长之比为1：2，∴两三角形的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF对应的角平分线之比为1：2，故选：B．【点评】本题考查对相似三角形性质．注意相似三角形对应角的平分线的比等于相似比．15．如图所示是小明做的一个风筝的支架，AB＝40cm．BP＝60cm，且△ABC∽△APQ，则它们的相似比是（）A．3：2B．2：3C．2：5D．3：5【分析】根据△ABC∽△APQ，可求AB：AP的值．【解答】解：∵△ABC∽△APQ，∴AB：AP＝＝2：5．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质．相似比就是对应线段的比值．16．已知△ABC的三边长2，4，5，△A'B'C'其中的两边长分别为1和2，若△ABC∽△A'B'C'，那么△A'B'C'的第三边长应该是（）A．2.5B．2C．1.5D．1【分析】先找出两相似三角形的对应边，然后根据对应边成比例求出第三边．【解答】解：∵△ABC的三边长2，4，5，△A′B′C′其中的两边长分别为1和2∴2，4与1，2分别是对应边设△A′B′C′的第三边长是x则2：1＝5：x解得：x＝2.5．故选：A．【点评】注意三角形相似，分清对应边是解决本题的关键．17．对于下列说法：（1）相似且有一边为公共边的两个三角形全等；（2）相似且面积相等的两个三角形全等；（3）相似且周长相等的两个三角形全等．其中说法正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由相似求全等，即在相似的基础上，再得出其对应边相等即可，而题干中只有当面积与周长相等时，才可得出其对应边相等，而（1）中叙述并不是对应边，所以叙述错误．【解答】解：（1）中相似三角形一边为公共边，但并没有说明是对应边，所以（1）说法不正确；（2）中由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，如果面积相等，则相似比为1，所以全等；（3）中用反证法，假如不全等，但是相似，则周长不相同．这和题目给出的周长相等矛盾，因此必全等．故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形及全等三角形的性质及判定问题，能够熟练掌握这两类三角形的性质及区别，在以后的解题过程中能够熟练求解．18．下列三种方法：①相似三角形对应高的平分线的比等于相似比；②相似三角形对应高的比等于周长比；③周长之比等于1的两个三角形全等，其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．0个【分析】根据相似三角形的性质进行判断，从而得出结论．【解答】解：因为：（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．所以②正确，①错误，③正确．故选：B．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．二．填空题（共26小题）19．两个相似三角形面积比为2，周长比为K，则＝．【分析】因为相似三角形的面积比等于相似比的平方、周长比等于相似比解答．【解答】解：∵两个相似三角形面积比为2，∴它们的相似比为，∴周长比为K＝，∴＝．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．20．两个相似三角形的一对对应边的长分别是20cm，8cm，它们的周长差为60cm，则这两个三角形的周长分别为100cm，40cm．【分析】根据两个相似三角形的对应边的长，可求出它们的相似比，也就求出了它们的周长比，再根据它们的周长差为60cm，即可求出两三角形的周长．【解答】解：∵两相似三角形的一组对应边为20cm，8cm，∴两相似三角形的周长比为20：8，即5：2，设较小的三角形的周长为2a，则较大三角形的周长为5a，依题意，有：5a﹣2a＝60，a＝20，∴5a＝100cm，2a＝40cm，因此这两个三角形的周长分别为100cm，40cm．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比．21．已知：△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边之比为3：4：5．若△A′B′C′的最长边为20cm，则它的最短边长为12cm．【分析】设△A′B′C′的最短的边是x，根据相似三角形的性质，可得x：20＝3：5，解方程即可．【解答】解：设△A′B′C′的最短的边是x，根据相似三角形的对应边的比相等，得到x：20＝3：5，解得：x＝12cm．它的最短边长为12cm．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例．22．已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，则另外两边长分别为3和6或和8或和2．【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，注意分情况进行分析．【解答】解：设另外两边为x、y题中没有指明边长为4的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：（1）若边长为4的边与边长为8的边相对应，＝＝，则另两边为3和6；（2）若边长为4的边与边长为6的边相对应，＝＝，则另两边为和8；（3）若边长为4的边与边长为12的边相对应，＝＝，则另两边为和2．故三角形框架的两边长可以是3和6或和8或和2，故答案为：3和6或和8或和2．【点评】本题考查相似三角形的判定定理和性质定理的应用，注意：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．23．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝8，CA＝7，延长BC至P，使△P AB∽△PCA，则PC ＝12．【分析】先设P A＝x，PC＝y，由于△P AB∽△PCA，可得P A：AB＝PC：CA，PB：AB＝P A：CA，从而可得关于x、y的方程组，解即可．【解答】解：设P A＝x，PC＝y，∵△P AB∽△PCA，∴P A：AB＝PC：CA，PB：AB＝P A：CA，∴x：9＝y：7①，（y+8）：9＝x：7②，解关于①②的方程组得x＝，y＝，故PC＝＝12．故答案是12．【点评】本题考查了相似三角形的性质、解方程的知识．24．如图表示△COD和它放大后得到的△AOB，则它们的相似比是．【分析】三角形的相似比及相似三角形对应边长的比．【解答】解：由图可知，，即为三角形的相似比．【点评】理解相似三角形的性质，能够运用相似三角形解决一些线段的比例问题．25．已知△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，它们的面积比为1：4．【分析】根据相似三角形的相似比求面积比．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，∴它们的相似比为1：2，∴它们的面积比为1：4．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．26．想一想：△ABC与△A′B′C′的相似比和△A′B′C′与△ABC的相似比相等吗？有无特殊情况？请你填一填：若△ABC与△A′B′C′的相似比为k1，△A′B′C′与△ABC的相似比为k2，则＝＝＝k1，k2＝＝＝k2，因此k1，k2一般不相等，其关系是k1＝，当且仅当它们全等时，才有k1＝k2＝1．【分析】△ABC与△A′B′C′的相似比就是AB：A′B′，而△A′B′C′与△ABC的相似比是A′B′：AB．【解答】解：∵＝＝＝k1，k2＝＝＝k2，∴k1，k2一般不相等，其关系是k1＝，当且仅当它们全等时，才有k1＝k2＝1．【点评】本题主要考查了相似比的概念，讲三角形的相似比时一定要说明是哪两个三角形的相似比，分清两个三角形的顺序．27．如图，已知△AEF是△ABC经过相似变换所得的像，且AE＝EB＝2，AF＝4，则FC＝4．【分析】根据题意，易得△AEF∽△ABC，根据对应边成比例即可得出FC的长．【解答】解：△AEF是△ABC经过相似变换所得的像∴△AEF∽△ABC且AE＝EB＝2∴AB＝4∴∴AF＝8∴FC＝4．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等．28．已知△ABC∽△DEF，且BC＝5cm，EF＝3cm，若S△ABC＝25cm2，则S△DEF＝9cm2．【分析】根据题意求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的面积比，计算即可．【解答】解：△ABC∽△DEF，且BC＝5cm，EF＝3cm，∴△ABC和△DEF的相似比为5：3，∴△ABC和△DEF的面积比为25：9，∵S△ABC＝25cm2，∴S△DEF＝9cm2，故答案为：9cm2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．29．已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的角平分线AM＝3，△A1B1C1的角平分线A1N＝1，则△ABC与△A1B1C1的面积比为9：1．【分析】由△ABC∽△A1B1C1，△ABC的角平分线AM＝3，△A1B1C1的角平分线A1N＝1，根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，即可求得其相似比，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC的角平分线AM＝3，△A1B1C1的角平分线A1N ＝1，∴△ABC与△A1B1C1的相似比为3：1，∴△ABC与△A1B1C1的面积比，9：1．故答案为：9：1．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．30．如图，P是△ABC边AB上一点，且AP＝4，BP＝5，若使△ACP∽△ABC，则边AC的长应为6．【分析】根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可求解．【解答】解：∵△ACP∽△ABC，∴AP：AC＝AC：AB，即4：AC＝AC：9，解得AC＝6．故答案为6．【点评】本题考查相似三角形的性质，用到的知识点：相似三角形的对应边的比相等．31．一个三角形的各边长扩大为原来的6倍，则这个三角形的周长扩大为原来的6倍．【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的6倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．【解答】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的6倍，∴扩大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的周长的比等于相似比，∴这个三角形的周长扩大为原来的6倍．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．32．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，点D，E，F分别在AC，AB，BC边上，△BEF沿着直线EF翻折后与△DEF重合，若△DFC与△ABC相似，则CD的长为或．【分析】分△DFC∽△ABC和△DFC∽△BAC两种情况讨论，根据相似三角形的性质求出CD的长．【解答】解：设CD＝x，①当△DFC∽△ABC时，∠DFC＝∠B＝∠C，∴BF＝DF＝CD＝x，CF＝4﹣x，则＝，即＝，解得，x＝；②当△DFC∽△BAC时，∠FDC＝∠B＝∠C，∴BF＝DF＝CF＝BC＝2，则＝，即＝，解得，x＝，∴CD的长为或，故答案为：或．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．33．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：9，△ABC的周长为18厘米，则△DEF的周长为54厘米．【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：1：3，又由△ABC的周长为18厘米，即可求得△DEF的周长．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：9，∴△ABC与△DEF的相似比为：1：3，∴△ABC与△DEF的周长比为：1：3，∵△ABC的周长为18厘米，∴，∴△DEF的周长为54厘米．故答案为：54．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．34．如图中两三角形相似，则x＝2．【分析】根据相似三角形对应边成比例进行求解．【解答】解：由图形可得＝，解得x＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够熟练掌握．35．若相似三角形面积比是1：2，则它们对应中线的比是：2．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答．【解答】解：∵相似三角形面积比是1：2，∴这两个相似三角形的相似比是：2，则它们对应中线的比是：2，故答案为：：2．【点评】本题考查的是相似三角形性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．36．已知△ABC与△DEF相似且对应边上的高之比为1：2，则△ABC与△DEF的面积之比为1：4．【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且对应边上的高之比为1：2，∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为1：4，故答案为：1：4．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．37．在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8．另一个三角形的最小边长是2，则另一个三角形的周长是9．【分析】由在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8．另一个三角形的最小边长是2，即可求得其中一个三角形的周长，由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵一个三角形三边的长是4，6，8，∴这个三角形的周长为：4+6+8＝18，∵在相似三角形中，另一个三角形的最小边长是2，∴它们周长的比为：4：2＝2：1，∴另一个三角形的周长是9．故答案为：9．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．38．已知△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝4cm．若△ADE与△ABC相似，则AE＝3或cm．【分析】分①AD与AB是对应边，②AD与AC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【解答】解：①AD与AB是对应边时，如图1，∵△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得AE＝3cm；②AD与AC是对应边时，如图2，∵△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得AE＝cm，综上，AE＝3cm或cm．。

冀教版数学九年级上册《25.3 相似三角形》说课稿1

冀教版数学九年级上册《25.3 相似三角形》说课稿1一. 教材分析冀教版数学九年级上册《25.3 相似三角形》是整个初中数学的重要内容，也是学生对几何学习的一个转折点。

本节课主要通过探讨相似三角形的性质和判定方法，使学生能够理解和运用相似三角形的知识。

教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，对图形的观察和推理能力有一定的基础。

但是，对于相似三角形的性质和判定方法，学生可能存在一定的困难，需要通过实例和练习来加深理解。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解相似三角形的性质和判定方法，能够运用相似三角形的知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、推理和练习，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的决心。

四. 说教学重难点1.重点：相似三角形的性质和判定方法。

2.难点：理解和运用相似三角形的知识解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生主动探究和解决问题。

2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型，帮助学生直观地理解和掌握相似三角形的知识。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对相似三角形的思考，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍相似三角形的定义和性质，引导学生通过观察和推理来理解和掌握。

3.案例分析：通过具体的例题，讲解相似三角形的判定方法，让学生在实践中学习和运用。

4.练习与讨论：学生分组进行练习，讨论解题方法，教师给予指导和点拨。

5.总结与拓展：总结相似三角形的性质和判定方法，引导学生思考相似三角形的应用和拓展。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出相似三角形的性质和判定方法。

可以采用流程图、图示和关键词的形式，帮助学生直观地理解和记忆。

八. 说教学评价教学评价主要包括两个方面：一是对学生的学习效果的评价，包括知识掌握程度和解题能力的评估；二是对教师的教学过程的评价，包括教学方法的有效性和教学内容的适切性的评估。

冀教版数学九年级上册《25.3 相似三角形》教学设计1

冀教版数学九年级上册《25.3 相似三角形》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级上册《25.3 相似三角形》是学生在学习了三角形的性质、全等三角形的基础上，进一步探讨相似三角形的性质。

本节内容通过具体的例子引导学生发现相似三角形的性质，培养学生的观察能力、推理能力。

教材以学生为主体，注重引导学生自主探究，发现规律，培养学生的探究精神。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本性质，具备了一定的观察、推理能力。

但学生在学习过程中容易将相似三角形与全等三角形混淆，对相似三角形的性质理解不深。

因此，在教学过程中，教师要注重引导学生区分相似三角形与全等三角形，帮助学生深化对相似三角形性质的理解。

三. 教学目标1.理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的性质。

2.能够运用相似三角形的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、推理能力、探究精神。

四. 教学重难点1.相似三角形的定义及性质。

2.相似三角形与全等三角形的区别。

五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的例子，引导学生发现相似三角形的性质。

2.推理教学法：引导学生运用已知的三角形性质，推理出相似三角形的性质。

3.小组合作学习：学生在小组内讨论、探究，培养学生的合作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相似三角形的例子。

2.练习题：准备相关的练习题，巩固学生对相似三角形性质的理解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的相似图形，如姐妹俩的相似衣服、相似的建筑物等，引导学生发现相似图形的特征。

2.呈现（10分钟）呈现两个全等的三角形，通过旋转、平移其中一个三角形，使其与另一个三角形形成相似三角形。

引导学生观察、发现相似三角形的性质。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组找出几个相似三角形，并归纳出相似三角形的性质。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，教师批改、讲解，巩固学生对相似三角形性质的理解。

冀教版九年级数学上册25.3相似三角形同步测试(含答案)

25.3 相似三角形班级：姓名：成绩：一、单选题1．如图，的高AD，BE交于点0，连接DE，则图中相似三角形共有（）A．4对B．6对C．7对D．8对2．如图，D为△ABC的边AB上一点，且∠ABC=∠ACD，AD=3 cm, AB=4 cm，则AC的长为（）A．2 cm B．3cm C．12 cm D．23cm3．如图，下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（）A．∠ADE=∠B B．∠AED=∠C C．AD AEAB AC=D．AD DEAB BC=4．如图，ABC∆与下列哪一个三角形相似（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，DE∥BC,如果DE=2，BC=5，那么的值是（）A ．B ．C ．D ．6．要使ABC ∆与DEF ∆相似，50A ︒∠=，70B ︒∠=，60D ︒∠=，则E ∠的度数为（） A ．50°B ．70°C ．60°D ．50°或70°7．已知ABC ∽DEF ，若ABC 与DEF 的面积比是169，则ABC 与DEF 对应中线的比为（） A ．34B ．916C ．169D ．438．已知△ABC ∽△DEF ，且S △ABC ：S △DEF =2：1，则AB 与DE 的比是（） A ．1：2B ．2：1C ．2：1D ．1：29．下列命题中是真命题的是（） A ．有一个角相等的直角三角形都相似 B ．有一个角相等的等腰三角形都相似 C ．有一个角是120°的等腰三角形都相似 D ．两边成比例且有一角相等的三角形都相似10．如图，已知△ADE ∽△ACB ，那么下列比例式正确的有（）①AD AE AB AC =；②AD AE AC AB=；③BC ED AB AE =；④BC ED AC AD =. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）A ．B ．C ．D ．12．两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比为（） A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．1∶213．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个直角三角形沿着点B 到点C 的方向平移到三角形DEF 的位置．AB=10，DH=4，平移的距离为6，则阴影部分的面积为（）A ．48B ．96C ．84D ．4214．若△ABC 的每条边长增加各自的10%得△A 1B 1C 1，则∠B 1的度数与其对应角∠B 的度数相比（） A ．增加了10%B ．减少了10%C ．增加了()110%+D ．没有改变15．如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 与△DEF 的相似比为k 1，△DEF 与△ABC 的相似比为k 2，则k 1与k 2的关系是（）A ．k1＝k2B ．k1＋k2＝0C ．k1·k2＝－1D ．k1·k2＝1 二、填空题16．已知△ABC ∽△DEF ，其中AB=5,BC=6,CA=9,DE=3，那么△DEF 的周长是__________． 17．若两个等边三角形的边长分别为a 与3a ，则它们的面积之比为．18．若把△ABC 的各边长分别扩大为原来的5倍，得到△A′B′C′，则△ABC 与△A′B′C′的相似比为________．19．如图是一面镜子，则有____∽___．20．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，且A 1B 1＝6 cm ，AB ＝4 cm ，BC ＝3.2 cm ，∠B ＝58°，∠C ＝72°，则B 1C 1＝________cm ，∠A 1＝________°.21．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠ADE=∠C ，如果AD=3，△ADE 的面积为9，四边形BDEC的面积为16，则AC的长为.22．如图，在△ABC中，如果DE∥BC，AD=1cm，AB=3cm，DE=1.5cm，那么BC=_____cm．三、解答题23．如图所示，△PQR是等边三角形，△PAQ∽△BPR.(1)请写出两个相似三角形对应边的比例式；(2)试找出AQ，QR，BR三条线段之间的关系．24．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5，EC＝3，BC＝6，∠A＝45°，∠C＝40°.求：(1)∠AED和∠ADE的度数；(2)DE的长．25．为了测量图①②中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：图①：测得竹竿CD的长为0.8米，其影长CE为1米，树影AE长为2.4米．图②：测得落在地面上的树的影长为2.8米，落在墙上的树影高1.2米．请问图①和图②中的树高各是多少？参考答案1-5.DDDDB6-10.DDCCC11-15.BDADD16.12．17.1：9．18.1 519.△ABE △CDE20.4.8 5021.522.4.523.解：（1）∵△PAQ∽△BPR，∴PA PQ AQ BP BR PR==．（2）∵△PQR是等边三角形，∴PQ＝QR＝PR．由（1）知PQ AQBR PR=，∴PQ·PR＝BR·AQ，∴QR2＝BR·AQ．24.解：（1）∵∠A=45°，∠ACB=40°，∴∠ABC=95°．∵△ABC∽△ADE，∴∠AED=∠ACB=40°，∠ADE=∠ABC=95°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴DEBC=AEAC，∴568DE=，∴DE=154cm．25.解：（1）∵△CDE∽△ABE，∴CE CD AE AB=，又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米，∴AB=1.92米．即图1的树高为1.92米．（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h，∵竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，∴10.8 1.2x=，解得x=1.5（m），∴树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），∴1 4.30.8h=，解得h=3.44（m）．故答案为：3.44m．。

冀教版-数学-九年级上册-25.4 相似三角形的判定同步练习

相似三角形的判定1．如图，△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，AD＝6，则AB 的长为( )A．18 B．12 C．9 D．32．如图，∠DAB＝∠C AE，请补充一个条件：__________，使△ABC∽△ADE.(第1题图)(第2题图)3．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，试说明：△ABF∽△EAD.4．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的正方形的顶点上．(1)填空：∠ABC＝______°；BC＝______；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．5．已知图中的每个小正方形的边长是1个单位．在图中画出一个与格点△ABC相似但相似比不等于1的格点三角形．(第4题图)(第5题图) 能力提升NENGLI TISHENG6．如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝AB BC；④AC2＝AD·AB. 其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．在▱ABCD 中，E 在DC 上，若DE ∶EC ＝1∶2，则BF ∶BE ＝__________.(第6题图)(第7题图) 8．如图，已知△PMN 是等边三角形，∠APB ＝120°，求证：AM·PB＝PN·AP.9.如图，△ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点，AD ，CE 相交于点G.求证：GE CE ＝GD AD ＝1310．如图，已知△ABC ，△DEC 均为等边三角形，D 在AB 上．(1)图中有哪几个三角形与△DBC 相似，把它们表示出来；(2)请选其中的一组说明理由．(第9题图)(第10题图)参考答案 1．A 点拨：因为DE ∥BC ，所以△ABC ∽△ADE.所以AD ∶AB ＝AE ∶AC.又因为AE ∶EC ＝1∶2，所以AE ∶AC ＝1∶3所以AD ∶AB ＝1∶3.因为AD ＝6，所以AB ＝18.2．∠D ＝∠B 或∠AED ＝∠C 或AD AB ＝AE AC3．解：∵矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，∴∠BAF ＝∠AED.∵BF ⊥AE ，∴∠AFB ＝90°.∴∠AFB ＝∠D.∴△ABF ∽△EAD.4．解：(1)135 2 2(2)相似，理由：观察图形可知AB ＝2，BC ＝22，FE ＝2，ED ＝2，∵AB DE ＝22＝2，BC FE ＝222＝2， ∴AB DE ＝BC FE. 又∵∠ABC ＝∠FED ＝135°，∴△ABC ∽△DEF.5．解：如图所示(答案不唯一)．6．C 点拨：在△A BC 和△ACD 中，有公共角∠A ，再有一组角相等，如∠ADC ＝∠ACB(或∠ACD ＝∠A BC)，两三角形相似；在△ACD 中，夹∠A 的边为AC 和AD ，在△ABC 中，夹∠A 的边为AB 和AC ，当它们对应成比例，即AC AB ＝AD AC(或AC2＝AD·AB)时，两三角形相似．故答案为C.7．3∶5 点拨：因为DE ∶EC ＝1∶2，所以AB ∶EC ＝3∶2；因为AB ∥CD ，所以△ABF ∽△CEF.所以BF EF ＝AB CE ＝32.所以BF BE ＝35. 8．证明：∵△PMN 是等边三角形，∴∠PMN ＝∠PNM ＝60°.又∵∠PMA ＋∠PMN ＝∠PNB ＋∠PNM ＝180°，∴∠PMA ＝∠PNB ＝120°. ∴∠A ＋∠1＝60°，∠1＋∠2＝120°－60°＝60°.∴∠A ＋∠1＝∠1＋∠2.∴∠A ＝∠2.∴△APM ∽△PBN.∴AM PN ＝APPB .∴AM·PB＝PN·AP.9．证明：连结ED ，∵D ，E 分别是边BC ，AB 的中点，∴DE ∥AC ，DE AC ＝12∴△ACG ∽△DEG.∴GE GC ＝GD AG ＝DE AC ＝12.∴GECE ＝GD AD ＝13.10．解：(1)△DBC ∽△FEC ，△DBC ∽△FAD.(2)选△DBC 与△FEC 相似来证明．∵△ABC ，△DEC 均为等边三角形，∴∠BCD ＋∠ACD ＝60°.又∵∠ECF ＋∠ACD ＝60°，∴∠BCD ＝∠ECF.∵∠B ＝∠E ＝60°.∴△DBC ∽△FEC.。

冀教版初中数学九年级上册《25.4 相似三角形的判定》同步练习卷

冀教新版九年级上学期《25.4 相似三角形的判定》同步练习卷一．选择题（共11小题）1．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（）A．2B．3C．4D．52．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（）个．A．1B．2C．3D．43．如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（）A．∠1＝∠C B．∠A＝∠C C．∠2＝∠B D．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对5．如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．△BDF∽△BEC B．△BF A∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE 6．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个40°的内角B．都含有一个50°的内角C．都含有一个60°的内角D．都含有一个70°的内角7．下列各组图形中，不相似的是（）A．有一个角是35°的两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个等腰直角三角形D．有一个角是120°的两个等腰三角形8．如图，其中∠AED＝∠B，则下列结论正确的是（）A．△ADE∽△ABC B．△AED∽△ABC C．△EAD∽△ABC D．△AED∽△ACB 9．在等腰△ABC和等腰△DEF中，∠A与∠D是顶角，下列判断不正确的是（）A．∠A＝∠D时，两三角形相似B．∠A＝∠E时，两三角形相似C．∠B＝∠E时，两三角形相似D．时，两三角形相似10．下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（）A．B．C．D．11．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共3小题）12．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P 在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．13．如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，E是BC的延长线上一点，AE交⊙O于点F，若要使△ADB∽△ACE，还需添加一个条件，这个条件可以是．14．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB 交于点D、E．（1）用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD．（2）证明：△ABC∽△BDC．三．解答题（共18小题）15．如图所示，如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE ＝∠F．求证：△ABE∽△ECF．16．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P，求证：△P AC∽△PDB．17．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：△ACD∽△ABE．（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．18．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．19．在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AB、AC交于E、D两点．（1）请用尺规作图作出AB的垂直平分线DE；（2）连接BD，证明：△ABC∽△BDC．20．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．求证：△ABD∽△DCE．21．阅读材料，回答问题在边长为1的正方形ABCD中，E是AB的中点，CF⊥DE，F为垂足．（1）△CDF与△DEA是否相似？说明理由；（2）求CF的长．22．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．23．如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．求证：△ABC∽△DEC．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．26．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，则△ACP与△DBP相似吗？27．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D，求证：△DBA∽△DAC．28．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D．求证：△ABF∽△BEC．29．已知：如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，AC 与BD相交于点F．（1）求证：DB＝DC；（2）若DA＝DF，求证：△BCF∽△BDC．30．如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．（1）求证：AD＝BE；（2）求证：△ABF∽△ADB．31．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）；（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径．△ABE与△ADC 相似吗？为什么？冀教新版九年级上学期《25.4 相似三角形的判定》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】分别利用相似三角形的判定方法以及相似三角形的性质判断得出即可．【解答】解：∵∠ABD＝∠ACD，∠P＝∠P，∴△BPD∽△CP A，∴＝，又∵∠P＝∠P，∴△P AD∽△PCB，∵∠ABD＝∠ACD，∠BOA＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴＝，又∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD∽△BOC，故相似三角形有4对．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．2．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中与△CEF相似的三角形．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠F AE＝∠ABE，∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，∴△BEA∽△CEF，△DAF∽△CEF．故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．3．如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（）A．∠1＝∠C B．∠A＝∠C C．∠2＝∠B D．【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．【解答】解：由图得：∠A＝∠A，∴当∠B＝∠2或∠C＝∠1或AE：AB＝AD：AC时，△ABC与△ADE相似；也可AE：AD＝AC：AB．B选项中∠A和∠C不是成比例的两边的夹角．故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴△ABC∽△ACD△ACD∽△CBD△ABC∽△CBD所以有三对相似三角形，故选：C．【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．5．如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC 于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．△BDF∽△BEC B．△BF A∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【解答】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAC∽△BDA．故C正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴△BF A∽△BEC．故B正确．∴∠BF A＝∠BEC，∴∠BFD＝∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．故选：A．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．6．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个40°的内角B．都含有一个50°的内角C．都含有一个60°的内角D．都含有一个70°的内角【分析】若要判定两三角形相似，最主要的方法是找两对对应相等的角，答案A，答案B，答案D都只能找到一对相等的角，只有答案C可以找两对对应相等的角．【解答】解：因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确．故选：C．【点评】本题考查相似三角形的最常用的方法判断方法：“AA”即找两对对应相等的角．7．下列各组图形中，不相似的是（）A．有一个角是35°的两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个等腰直角三角形D．有一个角是120°的两个等腰三角形【分析】所有等边三角形，所有等腰直角三角形都相似，等腰三角形的底角只能是锐角，顶角可以是锐角，也可以是钝角．【解答】解：所有等边三角形都相似，所有等腰直角三角形都相似，故B、C可以判断相似；有一个角是35°，如果一个三角形的顶角为35°，另一三角形的底角为35°则这两个等腰三角形不相似，故A不能判断相似；有一个角是120°，由于这个角为钝角，只能是两个等腰三角形的顶角，可判断两个等腰三角形相似；故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判断．关键是明确特殊三角形的角的关系．8．如图，其中∠AED＝∠B，则下列结论正确的是（）A．△ADE∽△ABC B．△AED∽△ABC C．△EAD∽△ABC D．△AED∽△ACB 【分析】已知一组对应角相等，结合图形，在△ADE与△ABC中，还有一组公共角相等．从而判定两个三角形相似．【解答】解：如图，∵在△ADE与△ABC中，∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定．解题时，注意相似三角形的对应角一定要找准．9．在等腰△ABC和等腰△DEF中，∠A与∠D是顶角，下列判断不正确的是（）A．∠A＝∠D时，两三角形相似B．∠A＝∠E时，两三角形相似C．∠B＝∠E时，两三角形相似D．时，两三角形相似【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，由∠A＝∠D时，则∠B＝∠C＝∠E ＝∠F，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A进行判断；由∠A＝∠E得不到第二组角对应相等，则可对B进行判断；根据等腰三角形的性质，由∠B＝∠E时，则∠B＝∠C＝∠E＝∠F，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对C进行判断；根据等腰三角形的性质和三组对应边的比相等的两个三角形相似可对D进行判断．【解答】解：A、∠A＝∠D时，则∠B＝∠C＝∠E＝∠F，所以△ABC∽△DEF，所以A选项的判断正确；B、∠A＝∠E时，不能判断△ABC∽△DEF，所以B选项的判断不正确；C、∠B＝∠E时，则∠B＝∠C＝∠E＝∠F，所以△ABC∽△DEF，所以C选项的判断正确；D、若＝，则＝，所以＝＝，所以D选项的判断正确．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．10．下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答．【解答】解：A、当EF与BC不平行时，△ABC与△DEF不一定相似，故本选项正确；B、由∠ABC＝∠EFC，∠ACB＝∠ECF可以判定△ABC∽△DEF，故本选项错误；C、由圆周角定理推知∠B＝∠F，又由对顶角相等得到∠ACB＝∠EFD，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项错误；D、由圆周角定理得到：∠ACB＝90°，所以根据∠ACB＝∠CDB，∠ABC＝∠CBD，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定，解题时，需要熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定定理．11．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA＝∠BDC＝90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．【解答】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．二．填空题（共3小题）12．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P 在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是（0，），（2，0），（，0）．【分析】分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP ＝∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，得到＝，再计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．【解答】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP＝∠OAB，∴Rt△APC∽Rt△ABC，∴＝，∵点A（4，0）和点B（0，3），∴AB＝＝5，∵点C是AB的中点，∴AC＝，∴＝，∴AP＝，∴OP＝OA﹣AP＝4﹣＝，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）．故答案为（0，），（2，0），（，0）．【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质．注意分类讨论思想解决此题．13．如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，E是BC的延长线上一点，AE交⊙O于点F，若要使△ADB∽△ACE，还需添加一个条件，这个条件可以是∠DAB＝∠CAE．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADB＝∠ACE，然后可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．【解答】解：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，∴∠ADB＝∠ACE，当∠DAB＝∠CAE时，△ADB∽△ACE．故答案为∠DAB＝∠CAE．【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆内接四边形的性质．14．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB 交于点D、E．（1）用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD．（2）证明：△ABC∽△BDC．【分析】（1）利用基本作图作线段AB的垂直平分线；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到BD＝AD，则∠ABD＝∠A＝40°，再通过计算得到∠DBC＝∠BAC，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABC∽△BDC．【解答】（1）解：如图，DE为所求．（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴BD＝AD．∴∠ABD＝∠A＝40°．∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝80°﹣40°＝40°．∴∠DBC＝∠BAC．∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定．三．解答题（共18小题）15．如图所示，如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE ＝∠F．求证：△ABE∽△ECF．【分析】由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB．又∵∠DAE＝∠F，∴∠AEB＝∠F．∴△ABE∽△ECF．【点评】本题考查了相似三角形的判定，关键是根据平行四边形的性质解答．16．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P，求证：△P AC∽△PDB．【分析】由∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，同理∠C ＝∠B，根据相似三角形的判定即可证出答案．【解答】证明：∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，∴∠A＝∠D，同理∠C＝∠B，∴△P AC∽△PDB．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，圆周角定理等知识点，正确运用圆周角定理得到∠A＝∠D和∠C＝∠B是解此题的关键．17．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：△ACD∽△ABE．（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．【分析】（1）根据已知利用有两个角相等的三角形相似判定即可；（2）根据第一问可得到AD：AE＝AC：AB，有一组公共角∠A，则可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似进行判定．【解答】证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠ADC＝∠AEB＝90°．∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABE．（2）∵△ACD∽△ABE，∴AD：AE＝AC：AB．∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．18．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似可解．【解答】证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，（2分）∴∠BAF＝∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°．∴∠AFB＝∠D＝90°．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）【点评】考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．19．在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AB、AC交于E、D两点．（1）请用尺规作图作出AB的垂直平分线DE；（2）连接BD，证明：△ABC∽△BDC．【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作出线段AB的垂直平分线即可；（2）先根据线段垂直平分线的性质求出∠BAC＝∠ABD，故可得出∠CBD的度数，再由相似三角形的判定定理即可得出结论．【解答】（1）解：如图所示；（2）证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD．∵∠BAC＝40°，∠ABC＝80°，∴∠BAC＝∠ABD，∴∠CBD＝80°﹣40°＝40°，即∠CBD＝∠BAC．∵∠C是公共角．∴△ABC∽△BDC．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．20．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．求证：△ABD∽△DCE．【分析】先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B＝∠C＝45°，再利用三角形内角和得到∠1+∠2＝135°，利用平角定义得到∠2++∠3＝135°，则∠1＝∠3，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论．【解答】证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠2+∠3＝135°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．21．阅读材料，回答问题在边长为1的正方形ABCD中，E是AB的中点，CF⊥DE，F为垂足．（1）△CDF与△DEA是否相似？说明理由；（2）求CF的长．【分析】（1）利用正方形是性质和平行线的性质，由“两角法”证明△ADE∽△FCD；（2）根据相似三角形的对应边的比相等求解．【解答】解：（1）△ADE∽△FCD，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AB∥CD，∴∠CDF＝∠DEA．又CF⊥DE，∴∠CFD＝90°，即∠CFD＝∠A，因而，△ADE∽△FCD；（2）由题意知，AD＝CD＝1，AE＝．在直角△DEA中，有DE＝＝＝．由（1）可得：＝，则CF＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，正确证明△ADE∽△FCD是关键．22．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．【分析】（1）先根据同角的余角相等可得：∠DEC＝∠A，利用两角相等证明三角形相似；（2）先根据勾股定理得：BE＝3，根据△ABE∽△ECD，列比例式可得结论；（3）先根据△AED∽△ECD，证明∠EAD＝∠DEC，可得∠ADE＝∠EDC，证明Rt△DFE ≌Rt△DCE（HL），则DF＝DC，同理可得：AF＝AB，相加可得结论．【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠BAE，∴△ABE∽△ECD；（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∵BC＝5，∴EC＝5﹣3＝2，由（1）得：△ABE∽△ECD，∴，∴，∴CD＝；（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD；理由是：过E作EF⊥AD于F，∵△AED∽△ECD，∴∠EAD＝∠DEC，∵∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠EDC，∵DC⊥BC，∴EF＝EC，∵DE＝DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴DF＝DC，同理可得：△ABE≌△AFE，∴AF＝AB，∴AD＝AF+DF＝AB+CD．【点评】此题考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，第3问中如果是直接求证AD＝AB+CD，比问“线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由”，这种方法要简单一些，注意作辅助线将AD分成两条线段..23．如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．求证：△ABC∽△DEC．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD＝AD，进而可得出∠A＝∠ACD，由平行线的性质可得出∠CDE＝∠ACD＝∠A，再结合∠ACB＝∠DCE＝90°，即可证出△ABC∽△DEC；【解答】证明：∵CD为Rt△ABC斜边上的中线，∴CD＝AB＝AD，∴∠A＝∠ACD．∵DE∥AC，∴∠CDE＝∠ACD＝∠A．又∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是：根据等腰三角形的性质结合平行线的性质，找出∠CDE＝∠ACD＝∠A．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA．【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P＝∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；【解答】证明：（1）∵圆心O在BC上，∴BC是圆O的直径，∴∠BAC＝90°，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为圆O的半径，∴PD是圆O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB＝∠CEB＝90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．【解答】证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE．【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键．26．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，则△ACP与△DBP相似吗？【分析】连接AC、DB，如图，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，∠C＝∠B，然后利用相似三角形的判定可判断△ACP与△DBP相似．【解答】解：连接AC、DB，如图，∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△ACP∽△DBP．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆周角定理．27．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D，求证：△DBA∽△DAC．【分析】欲证明△DAB∽DAC，只要证明∠DAB＝∠C即可；【解答】解：证明：∵∠BAC＝90°，点M是BC点，∴AM＝CM，∴∠C＝∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM＝90°，∴∠DAB＝∠CAM，∴∠DAB＝∠C，∴∠D＝∠D，∴△DBA∽△DAC．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法，所以中考常考题型．28．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D．求证：△ABF∽△BEC．【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，得出∠D+∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC，证出∠C＝∠AFB，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴∠D+∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC，∵∠AFB+∠AFE＝180°，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．29．已知：如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，AC 与BD相交于点F．（1）求证：DB＝DC；（2）若DA＝DF，求证：△BCF∽△BDC．【分析】（1）根据圆周角定理可证∠DAC＝∠DBC，根据圆内接四边形的性质可证∠EAD ＝∠DCB，又已知∠EAD＝∠DAC，即∠DCB＝∠DBC得证，进而证明即可．（2）根据相似三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAD＝∠DAC，∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的外角，∴∠EAD＝∠DCB（圆内接四边形外角等于内对角），又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DCB＝∠DBC，∴DB＝DC；（2）∵DA＝DF，∴∠DAF＝∠DF A，∵∠DAF＝∠FBC，∠DF A＝∠BFC，∴∠FBC＝∠BFC，∵∠DCB＝∠DBC，∴∠DCB＝∠BFC，而∠FBC＝∠DBC，∴△BCF∽△BDC．【点评】本题考查了圆周角定理，内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定解答．30．如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．（1）求证：AD＝BE；（2）求证：△ABF∽△ADB．【分析】（1）利用等边三角形的性质证明△BCE≌△ACD，就可以得出结论；（2）由△BCE≌△ACD，得∠CBE＝∠CAD，根据三角形的内角和定理可知：∠AFB＝60°＝∠ABC，并由公共角∠BAF＝∠BAD，得△ABF∽△ADB．【解答】证明：（1）∵△ABC与△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACB+∠ACE＝∠ACE+∠DCE，即∠BCE＝∠ACD．在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE；（2）由（1）知：△BCE≌△ACD，∴∠CBE＝∠CAD，又∵∠BMC＝∠AMF，∴∠AFB＝∠ACB＝60°＝∠ABC，又∵∠BAF＝∠BAD，∴△ABF∽△ADB．【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形和相似三角形的判定和性质的运用．线段相等问题常常运用全等解决．31．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，（1）图1中共有3对相似三角形，写出来分别为△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD（不需证明）；（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC ∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到AB•CD＝AC•BC，即可求出CD的长；（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【解答】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6．∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝4.8；（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝6，OC＝4.8，∴OB＝＝3.6．分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴＝，∴＝，解得t＝2.25，即BQ＝CP＝2.25，∴BP＝BC﹣CP＝6﹣2.25＝3.75．在△BPQ中，由勾股定理，得PQ＝＝＝3，∴点P的坐标为（1.35，3）；②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴＝，∴＝，解得t＝3.75，即BQ＝CP＝3.75，BP＝BC﹣CP＝6﹣3.75＝2.25．过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴＝，即＝，∴PE＝1.8．在△BPE中，BE＝＝＝1.35，∴OE＝OB﹣BE＝3.6﹣1.35＝2.25，∴点P的坐标为（2.25，1.8）．综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（2.25，1.8）．【点评】本题结合动点问题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．32．如图，△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径．△ABE与△ADC 相似吗？为什么？。

冀教版数学九年级上册同步练习：25.3 相似三角形

自我小测根底稳固JICHU GONGGU1．假设△ABC ∽△A′B′C′相似，且相似比为35，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为( ) A ．35 B ．53 C ．925 D ．2592．如图，点P 是△ABC 的边AB 上的一点，且满足△APC ∽△ACB ，那么以下比例式：①AP PC ＝AC CB ；②AC AP ＝AB AC ； ③PC PB ＝AC AP ；④AC AB ＝PC PB. 其中正确的选项是( )A ．①②B ．③④C ．①②③D ．②③④3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，那么图中与△DEF 相似的三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第2题图)(第3题图) 4．如图，△ABC ∽△ADE ，假设AE ＝3，EC ＝5，，那么BC 的长为__________．5．如图，△AOB ∽△COD ，∠A ＝25°，∠AOB ＝110°，那么∠D 的度数为__________．(第4题图)(第5题图)6．如图，△ABC∽△CBD，∠A＝30°，∠B＝45°，求∠ACD的度数．能力提升NENGLI TISHENG7．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm，30cm，36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm，45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边．截法有()A．0种B．1种C．2种D．3种8．△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，假设△ABC∽△A1B1C1，且△A1B1C1的最大边长是15，求△A1B1C1的面积．9．如图，点P在平行四边形AB CD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q.(1)求证：△DQP∽△CBP；(2)当△DQP≌△CBP，且AB＝8时，求DP的长．参考答案1．B 点拨：因为△ABC ∽△A′B′C′相似，所以AB A′B′＝35，而△A′B′C′与△ABC 的相似比为A′B′AB ＝53. 2．A 点拨：根据相似三角形的对应边成比例判断比例式是否成立，由△APC ∽△ACB 得AP AC ＝PC CB＝AC AB ，将比例式进展适当变形可知①，②是正确的；③，④是错误的． 3．B 点拨：由四边形ABCD 是平行四边形，我们可以知道AD ∥BC ，所以△EDF ∽△∥CD ，故△DEF ∽△ABF.综上所述，图中与△DEF 相似的三角形共有2个．4．点拨：由得AC ＝AE ＋EC ＝8，因为△ABC ∽△ADE ，所以BC DE ＝AC AE ，即BC 3.6＝83，所以BC ＝9.6. 5．45° 点拨：由三角形内角和180°可知∠B ＝45°，因为△AOB ∽△COD ，所以∠D ＝∠B ＝45°.6．分析：在△ABC 中，∠A 和∠B ，根据三角形内角和求出∠ACB 的度数，由相似三角形对应角相等可以知道∠BCD 的度数，利用∠ACB ，∠BCD 两角之差的关系计算∠ACD 的度数即可．解：因为∠A ＝30°，∠B ＝45°，所以∠ACB ＝105°.因为△ABC ∽△CBD ，所以∠BCD ＝∠A ＝30°.所以∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝105°－30°＝75°.7．B 点拨：分类讨论，假设以27cm 为一边，把45cm 截成两段，设这两段分别为x cm ，y cm(x ＜y )．那么可得：24x ＝30y ＝3627①或24x ＝3027＝36y②(注：27cm 不可能是最小边)，由①解得x ＝18，y ，符合题意；由②解得x ＝1085，y ＝1625，x ＋y ＝1085＋1625＝2705＝54＞45，不合题意，舍去；假设以45cm 为一边，把27cm 截成两段，设这两段分别为x cm ，y cm(x ＜y )．那么可得：24x ＝30y ＝3645(注：只能是45是最大边)，解得x ＝30，y ＝752，x ＋y ＝30＋37.5＝67.5＞27，不合题意，舍去．8．分析：根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用相似列比例式计算有关边长(直角边的长)，最后计算三角形的面积．解：因为32＋42＝52，所以△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°.因为△ABC ∽△A 1B 1C 1，所以△A 1B 1C 1也是直角三角形，A 1C 1与B 1C 1垂直，A 1B 1＝15，A 1C 1AC ＝A 1B 1AB ＝B 1C 1BC，所以A 1C 1＝A 1B 1AB ·AC ＝9，B 1C 1＝A 1B 1AB·BC ＝12. 所以S △A 1B 1C 1＝12A 1C 1·B 1C 1＝12×9×12＝54. 9．分析：(1)在平行四边形ABCD 中，AD 平行于BC ，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截的三角形与原三角形相似，所以△DQP 与△CBP 相似；(2)△DQP ≌△CBP ，DP ＝CP ＝12CD ，AB ＝CD ＝8，即可得出答案． (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AQ ∥BC ，∴△DQP ∽△CBP.(2)解：∵△DQP ≌△CBP ，∴DP ＝CP ＝12CD. ∵AB ＝CD ＝8，∴DP ＝4.。