人教数学八上精品教案12.3 第2课时 角平分线的判定1
12.3 角的平分线的性质(第2课时)八年级上册人教版
素养目标
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
2. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法 并应用其解题. 1. 理解角平分线判定定理.
探究新知
素养考点 角平分线的判定的应用
例 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距
离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建
在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作小河与公路夹角的角平分线BM，在BM上 截取BP＝1.5 cm，则点P即为所求的工厂的位置
链接中考 如图，已知，BE＝CF，BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF， CE交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. 又∵∠BDE＝∠CDF， BE＝CF， ∴△BDE≌△CDF(AAS) . ∴DE＝DF. ∴AD平分∠BAC.
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
∠DAE的平分线上．
E
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. G
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
C
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
M
F
FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，∴FG＝FH.
八年级数学上册高效课堂(人教版)12.3.2角的平分线的判定(第二课时)优秀教学案例
（一）导入新课
1.利用现实生活中的实例，如建筑设计中角的平分线应用，引入新课。
2.提出问题：如何判断一个线段是角的平分线呢？引发学生思考，激发学习兴趣。
3.引导学生回顾已学的角平分线的判定方法，结合几何画板软件动态展示，让学生直观地感受知识的发生和发展过程。
3.学生通过自主学习、探究学习，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生在解决实际问题的过程中，体验到数学知识的实用性和趣味性，增强学习数学的兴趣。
2.学生在探究角的平分线的过程中，培养勇于尝试、坚持不懈的精神，增强自信心。
3.学生通过小组合作，学会尊重他人、倾听他人意见，培养良好的团队合作精神。
（一）情景创设
1.利用现实生活中的实例，创设有趣、富有挑战性的问题情景，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
2.利用几何画板软件，动态展示角的平分线与角的两边垂直的性质，让学生直观地感受知识的发生和发展过程。
3.设计具有层次性的问题，引导学生从不同角度、不同层次去观察、思考问题，培养学生全面考虑问题的习惯。
这些亮点体现了本节课的人性化教学理念，关注学生的个体差异，培养学生的自主学习能力、团队协作能力和问题解决能力。在教学过程中，教师运用了多种教学方法和手段，使学生在轻松、愉快的氛围中学习，提高了学习效果。
在教学案例中，我以一个现实生活中的问题为导入：在画一个等边三角形的一个内角平分线时，如何判断这个线段确实是该角的平分线呢？这个问题引发了学生的思考，激发了他们的学习兴趣。接着，我引导学生通过观察、操作、猜测、推理、交流等环节，探索角的平分线的判定方法。
在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生发现角的平分线与角的两边垂直的性质。通过几何画板软件的动态展示，让学生直观地感受到角平分线与角的两边垂直的性质，从而加深对知识的理解。同时，我还设计了一系列的练习题，让学生在实践中运用所学知识，提高解决问题的能力。
人教版数学八年级上册12.3《角的平分线的性质》第二课时参考教案
§12．3 角的平分线的性质〔二〕教学目标〔一〕教学知识点：角的平分线的性质〔二〕能力训练要求1．会表达角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上〞．2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．〔三〕情感与价值观要求通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．教学重点：角平分线的性质及其应用．教学难点：灵活应用两个性质解决问题．教学方法：探索、归纳的方法．教学过程一．创设情境，引入新课[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？二．导入新课角平分线的性质即角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如下图的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．问题1：你能用文字语言表达所画图形的性质吗？问题2：〔出示投影片〕能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等〞这句话．请填下表：学生通过讨论作出以下概括：事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由事项推出的事项：PD=PE．【师】如何证明？请同学们试一试。
证明：略〔详见课本P49页〕。
于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[师]那么，在角的内部到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？〔出示投影〕问题3：根据下表中的图形和事项，猜测由事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：于是，我们得到角平分线的性质的逆定理：【师】在角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
【师】你能证明吗？请同学们试一试。
下面请同学们思考一个问题．思考：如下图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路穿插处500m，这个集贸市场应建于何处〔在图上标出它的位置，比例尺为1：20000〕？分析：1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？讨论结果展示：1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下：作法：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以假设遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．[例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．三．随堂练习1．课本P50页练习．第1、2题。
12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教案人教版数学八年级上册
12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教学目标：1.探究并证明角平分线的判定方法.2.会用角的平分线的判定解决实际问题.3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.教学重难点：重点:角平分线的判定.难点:三角形的内角平分线的应用.教学过程：课堂导入我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,反过来,到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢?这节课我们来对这个问题进行探究.讲授新课知识点1角平分线的判定定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗?也就是交换角的平分线的性质中的已知和结论.下面我们证明这个命题的正确性.已知:如图所示,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上(OP平分∠AOB).证明:因为PD⊥OA,PE⊥OB(已知),所以∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中,{PO=PO,PD=PE,所以Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).所以∠POD=∠POE.即点P在∠AOB的平分线上.[归纳]角的平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意:(1)使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部;(2)角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.几何语言:如图所示,因为点P 是∠AOB 内的一点,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE, 所以点P 在∠AOB 的平分线OC 上.范例应用例1 如图所示,要在S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路和铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20 000)? 解:因为图上距离500=120000, 所以图上距离=0.025 m=2.5 cm.如图所示,P 点即为所求.理由:P 点在这个交叉口的角平分线上,所以P 点到公路与铁路的距离相等.知识点2 角的平分线的性质定理与判定定理的关系点在角的平分线上(角的内部)点到角的两边的距离相等.正确理解两个定理的条件和结论,性质定理和判定定理的条件和结论是相反的,性质定理是证明两条线段相等的依据,判定定理是证明两个角相等的依据.知识点3 三角形三个内角平分线的性质1.如图所示,三角形的三个内角的角平分线已画出,从位置上你能观察出什么结论? 答案:三角形三个内角的平分线的交点位于三角形的内部.2.如图所示,过交点分别作三角形三边的垂线,根据角平分线的性质定理你能得出什么结论? 答案:过交点作的三角形三边的垂线段相等.范例应用例2 如图所示,△ABC 的角平分线AD,BE,:点P 到△ABC 三边AB,BC,CA 的距离相等. 证明:如图所示,过点P 作PM ⊥BC ,PN ⊥AC ,PO ⊥AB ,垂足分别为M ,N ,O.因为AD为△ABC的角平分线,所以PN=PO.因为BE为△ABC的角平分线,所以PM=PO.因为CF为△ABC的角平分线,所以PM=PN.所以PM=PN=PO,即点P到△ABC三边AB,BC,CA的距离相等.课堂训练1.判断题:(1)如图(1)所示,若QM=QN,则OQ平分∠AOB.(×)(2)如图(2)所示,若QM⊥OA于点M,QN⊥OB于点N,则OQ平分∠AOB.(×)2.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)处处处处第2题图第3题图3.如图所示,O是△ABC内一点,O到三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC=125°.4.如图所示,:AP平分∠BAC.证明:如图所示,作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上,所以PM=PQ,PN=PQ.所以PM=PN.又PM⊥AE,PN⊥AF,所以AP平分∠BAC.课堂小结1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个,且一定在三角形的内部.2.证明三线共点的思路:先设其中的两线交于一点,再证明该交点也在第三条直线上.3.在三角形内部,要找一点到三边距离相等时,只要作出两个角的平分线,其交点即是.4.角平分线的判定与性质的关系:由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的,即在三角形内,到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.板书设计第2课时角平分线的判定角平分线的判定{学会用添加辅助线的方法解题判定定理——角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上应用——综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题教学反思本课时教学应重视以下几点:(1)由定理得到它的逆命题,并证明它的正确性,把两个定理正确地运用;(2)尽力体现数学与生活的联系,从实际中学习新知,使学生认识这种学习方法.(3)课堂中,可采用口答、动手做等方式组织学生比赛,教师依据具体情形予以点评指点,查缺补漏,使学生从本质上理解知识.。
12.3 角的平分线的性质(1) 人教版八年级数学上学期教案
放在角的顶点，ADBA（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.【三】巩固练习已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4）求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M .若∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数．解析：根据AB ∥CD ，∠ACD ＝120°，得出∠CAB ＝60°，再根据AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°，又∵∠ACD ＝120°，∴∠CAB ＝60°，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝12∠CAB ＝30°.方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．拓展延伸，巩固强化知识。
【五】布置作业1.课本练习2.同步练习对应习题OCN别为点D、E.∴ PD=PE二次备课。
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质 第2课时 角的平分线的判定教学设计 (新版)新人教版
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定教学设计（新版）新人教版一. 教材分析《角的平分线的性质》是人教版八年级数学上册第12.3节的内容，这部分内容是学生在学习了角的概念、角的运算、垂线的性质等知识的基础上进行学习的。
角的平分线是数学中的一个重要概念，它在几何学习中有着广泛的应用。
本节内容主要介绍了角的平分线的性质，包括角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的平分线垂直于角的对边等。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对角的概念、角的运算、垂线的性质等有一定的了解。
但是，学生对角的平分线的性质的理解可能还不够深入，需要通过实例来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解角的平分线的性质，能够运用角的平分线解决一些几何问题。
2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.角的平分线的性质的理解和运用。
2.角的平分线与垂线的性质的联系和区别。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式来学习和理解角的平分线的性质。
六. 教学准备1.准备相关的几何图形和实例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式引导学生回顾角的概念、角的运算、垂线的性质等知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示角的平分线的定义和性质，引导学生观察和思考，通过实例来帮助学生理解和掌握角的平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些有关角的平分线的问题，学生通过合作解决问题，巩固对角的平分线的性质的理解和运用。
4.巩固（10分钟）教师给出一些有关角的平分线的问题，学生独立解答，教师进行讲解和指导，帮助学生巩固对角的平分线的性质的理解和运用。
5.拓展（10分钟）教师给出一些有关角的平分线和垂线的性质的问题，学生进行思考和讨论，通过实例来理解角的平分线和垂线的性质的联系和区别。
2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 角的平分线的判定教学设计
第2课时角的平分线的判定教学步骤师生活动拓展：(1)几何画板动态演示角平分线的判定定理：提出这些概念，学生只教学目标课题12.3第2课时角的平分线的判定授课人素养目标探索并证明角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力.教学重点探索并证明角平分线的判定定理及其运用教学难点区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课引入设计意图结合实际情境提出问题，为引入角平分线的判定定理做铺垫.【情境引入】思考如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置)？聪明的你是否已经猜想到，集贸市场应建在公路和铁路夹角的平分线上呢？这是为什么呢？让我们赶快进入新课，你的疑问就能迎刃而解了.【教学建议】学习了角的平分线的性质之后，学生可能会猜想到答案，无形中将要学的判定定理与性质定理建立了联系，对进入新课的学习起到了推动作用.活动二：合作交流，新知探究设计意图使学生经历探索证明角的平分线的判定定理的过程，感受知识的产生可以来自于数学本身.学会区别角的判定定理与性质定理，并运用判定定理解决问题.探究点1角的平分线的判定问题1：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？答：新结论：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.问题2：这个新结论成立吗？请按照上节课总结的证明几何命题的一般步骤，自己证一证这个结论.答：这个结论成立.证明过程如下：如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点D，PE⊥OB 于点E，且PD=PE.求证：点P 在∠AOB 的平分线上.证明：如图，经过点P 作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO 和Rt△PEO 中，OP=OP,PD=PE.∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL).∴∠AOC=∠BOC.∴点P 在∠AOB 的平分线上.概念引入：【教学建议】衔接活动一的思路继续引导，通过逆向思维将角的平分线的性质的题设和结论交换位置，并引导学生利用三角形全等证明这个结论，这就得到了角的平分线的判定定理.这个过程中结合了推理证明，可使学生进一步感受数学知识的系统性和逻辑性.角平分线的实质是符合某种条件的动点的集合，因此利用教具、投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能直观显示其形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，发挥学习的主动性.角的平分线的性质定理和判定定理是互逆定理，教学中不必对学生(2)角的平分线的性质及判定的关系：特别提醒：角的平分线的性质是证两条线段相等的依据，角的平分线的判定是证两角相等的依据，在应用时不要混淆.问题3：根据上述结论，请找到活动一中集贸市场的具体位置.答：集贸市场应建在S 区内，公路和铁路夹角的平分线上，且在图上距离公路和铁路交点处500÷200＝2.5个单位长度的位置，如图中点P 所示.【对应训练】如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF 相交于点D.若BD＝CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线.证明：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠BFD ＝∠CED ＝90°∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE.又DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD 是∠BAC 的平分线.需认识到这两个定理的条件和结论是相反的，体会互逆的特点并能够加以区别即可.【教学建议】学过角的平分线的判定定理后，自然对于活动一的问题进行了解释，这里要注意比例尺的换算不要出错．教师可引导学生交流探讨，完成后续设置的练习，有利于进一步加强学生对于新知的理解和应用.设计意图使学生经历探究三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三条边的距离相等的过程，为运用这个结论打好理论基础.探究点2三角形三条角平分线的关系例1(教材P50例题)如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P.求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.证明：过点P 作PD ，PE ，PF 分别垂直于AB ，BC ，CA ，垂足分别为D ，E ，F.∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上，∴PD ＝PE.同理PE ＝PF.∴PD ＝PE ＝PF.即点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.问题：想一想，点P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？答：由于点P 在∠A 的内部，而且PD ＝PF ，所以点P 在∠A 的平分线上．这说明三角形的三条角平分线交于一点.归纳总结：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.【对应训练】教材P50练习第2题.【教学建议】学生自主完成例1的解题过程，教师进行点评，并提出后面的问题，这也是这个探究点的核心意义——证明了三角形三条角平分线交于一点，这里隐含将三角形的面积与周长之间建立联系．在第十一章学生曾经画图猜想过三角形三条角平分线的特点，在这里就综合利用了角的平分线的性质和判定定理对这个猜想进行了严格证明，体现了数学证明的逻辑性与严密性．九年级上册中还将进一步说明这个交点的意义：它是三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心.教学步骤师生活动内一点，DE⊥AB，DF⊥AC＝CD.“随堂小练”册子相应课时随堂训练.师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：角的平分线的判定定理是什么？你能证明吗？能运用角的平分线的判定定理解题吗？【作业布置】1.教材P51～52习题12.3第1，3，7题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．第2课时角的平分线的判定1.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.2.三角形三内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．解题大招一与角的平分线的判定有关的计算角的平分线的判定定理为得到角平分线又增加了一种思路，可利用角的平分线的判定定理对说理过程进行简化，不必再通过证三角形全等来进行说明．而三角形三条角平分线交于一点在本课时通过角的平分线的判定定理进行了严格证明，过这个交点分别对三角形三条边作垂线，可得到三条相等的垂线段(设长为h)，从而可利用面积法得到三角形的面积S 与周长C 之间的关系：S ＝12Ch.例1如图，AD ⊥DC ，AB ⊥BC ，若AB ＝AD ，∠BCD ＝60°，求∠DAC 的度数．解：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，且AB ＝AD ，∴CA 平分∠BCD.∴∠ACD ＝12∠BCD ＝12×60°＝30°.又∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝90°－∠ACD ＝90°－30°＝60°.例2如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC ，BD 平分∠ABC ，AP ，BD 交于点O ，过点O 作OM ⊥AC 于点M.若OM ＝4，△ABC 的周长为32，求△ABC 的面积．解：如图，连接OC ，过点O 分别作OE ⊥AB 于点E ，ON ⊥BC 于点N.∵AP 平分∠BAC ，BD 平分∠ABC ，AP ，BD 交于点O ，∴点O 是△ABC 三条角平分线的交点，∴OE ＝ON ＝OM ＝4.S △ABC ＝S △AOC ＋S △BOC ＋S △AOB＝12AC·OM ＋12BC·ON ＋12AB·OE ＝12OM·(AC ＋BC ＋AB)＝12×4×32＝64.解题大招二角的平分线的判定定理的实际应用在确定到三角形三边距离相等的点的位置时，易受到“三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等”的思维定式的影响，误认为这样的点只有一个，且存在于三角形内部．事实上，若题中不存在限制条件，这样的点还有3个，它们是三角形相邻的两个外角(不在同一顶点处)的平分线的交点．例3如图，三条公路l 1，l 2，l 3两两相交于A ，B ，C 三点，现计划修建一个超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可选择的地方有多少处？请画出图形并在图中标示出来．分析：解：可选择的地方有4处．如图：(1)作出△ABC 两个内角的平分线，取其交点为O 1；(2)分别作出△ABC 相邻的两个外角(不在同一顶点处)的平分线，取其交点分别为O 2，O 3，O 4.故可选择的地方有4处，即点O 1，O 2，O 3，O 4.解题大招三角的平分线的性质与判定的综合应用与角的平分线有关的常见的添加辅助线的方法：若OP 为∠AOB 的平分线或要证OP 为∠AOB 的平分线，则可以用下面的方法：例4如图，CB ＝CD ，∠D ＋∠ABC ＝180°，CE ⊥AD 于点E.(1)求证：AC 平分∠DAB ；(2)若AE ＝10，DE ＝4，求AB 的长．(1)证明：如图，过点C 作CF ⊥AB 的延长线于点F.∵CE ⊥AD ，CF ⊥AB ，∴∠DEC ＝∠F ＝90°.∵∠D ＋∠ABC ＝180°，∠CBF ＋∠ABC ＝180°，∴∠D ＝∠CBF.在△CDE 和△CBF ∠DEC ＝∠F ，∠D ＝∠CBF ，CD ＝CB ，∴△CDE ≌△CBF(AAS )，∴CE ＝CF.又CE ⊥AD ，CF ⊥AF ，∴AC 平分∠DAB.(2)解：由(1)可得△CDE ≌△CBF ，∴BF ＝DE ＝4.在Rt △ACE 和Rt △ACF AC ＝AC ，CE ＝CF ，∴Rt △ACE ≌Rt △ACF(HL )，∴AF ＝AE ＝10，∴AB ＝AF －BF ＝10－4＝6.培优点与角的平分线的判定定理有关的探究题例(类比探究)如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，AD ，CE 是△ABC 的角平分线，AD ，CE 相交于点F.(1)请你判断并写出DF 与EF 之间的数量关系，并说明理由．(2)如图②，如果∠ACB 不是直角，其他条件不变，(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．分析：解：(1)DF ＝EF.理由如下：如图①，过点F 分别作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥AB 于点N ，连接BF ，则∠DMF ＝∠ENF ＝90°.∵△ABC 的三条角平分线交于一点，AD ，CE 是△ABC 的角平分线，∴BF 平分∠ABC.∴FM ＝FN.∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝90°－∠ABC ＝30°，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝15°，∴∠CDA ＝90°－∠DAC ＝75°.又∠ACE ＝12∠ACB ＝45°，∴∠NEF ＝∠BAC ＋∠ACE ＝30°＋45°＝75°，∴∠NEF ＝∠MDF.在△DMF 和△ENF ∠MDF ＝∠NEF ，∠DMF ＝∠ENF ，FM ＝FN ，∴△DMF ≌△ENF(AAS )，∴DF ＝EF.(2)DF＝EF仍然成立．证明如下：如图②，过点F分别作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，连接BF，则∠DMF＝∠ENF＝∠BNF＝90°.∵△ABC的三条角平分线交于一点，AD，CE是△ABC的角平分线，∴BF平分∠ABC.∴FM＝FN.由双内角平分线模型可知∠AFC＝90°＋12∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠DFE＝∠AFC＝120°.又∠MFN＝360°－∠DMF－∠BNF－∠ABC＝360°－90°－90°－60°＝120°，∴∠MFN＝∠DFE.∴∠MFN－∠DFN＝∠DFE－∠DFN，即∠DFM＝∠EFN.在△DMF和△ENF DMF＝∠ENF，＝FN，DFM＝∠EFN，∴△DMF≌△ENF(ASA)，∴DF＝EF.。
人教版-数学-八年级上册-12.3 角的平分线的性质(1) 教案
12.3 角的平分线的性质一、教学目标（一）核心素养（二）学习目标会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；探索并证明角平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题.（三）学习重点角的平分线的性质的证明及应用.（四）学习难点角的平分线的性质的探究.二、教学设计(一)课前设计预习任务用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是SSS .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.预习检测一、填空题1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离为.答案：3cm解析：根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，D点到AB的距离即为DE 的长.∵∠BCA=90°∴AC⊥BC∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠CAB∴CD=DE∵BC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BD∴DE=3cm即D点到直线AB的距离是3cm.点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答2.∠AOB的平分线上一点P，P到OA的距离为2.5cm，则P到OB的距离为cm.答案：2.5解析：∵P是∠AOB平分线上一点，点P到OA的距离是2.5cm，∴P到OB的距离等于点P到OA的距离，为2.5cm.因此，本题正确答案是:2.5.点拨：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.二、选择题3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A.PD＝PEB.OD＝OEC.∠DPO＝∠EPOD.PD＝OD答案：D解析：A项；由角分线性质，正确B项；由角分线性质知PD＝PE，由HL知Rt△OEP≌△ODP，则两三角形全等知OD＝OE，正确.C项；同B项，由两三角形全等知∠DPO＝∠EPOD项；错误点拨：由题设可知OP为∠AOB的角平分线，PE为P到OB的距离，PD为P到OA的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形的判断方法有哪些？SSS，SAS，AAS，ASA，HL（2）三角形中有哪些重要线段？三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.2.问题探究探究一角的平分线的作法●活动①请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.12BD●活动②如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗？让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进行引导，最后教师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线作铺垫.●活动③老师提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：已知：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线.作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.（2）分别以 B.D 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.分组讨论： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12BD的长”B这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？学生讨论结果总结：1．去掉“大于12BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以B.D为圆心，大于12BD的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯探究二角的平分线的性质●活动①如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？学生回答后师生归纳：OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）【设计意图】让学生感知角平分线的性质.●活动②学生活动：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.投影出下面两个图形，让学生评一评.结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D.E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.●活动③以上结论成立吗？让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程：证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO = ∠PEO（已证）∠AOC = ∠BOC （已知）OP=OP （公共边）∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E.（已知）∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.探究三用角的平分线的性质解决简单问题●活动①应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．例1(1) 下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则图形( )中PD＝PE.A B C D【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.【答案】D(2)下图中，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E，则图中PD＝PE吗？【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.【解答过程】PD与PE不相等，因为OC不是∠AOB的平分线.（3）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为cm．【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作AB的垂线段DE，垂足为E，由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2.【解答过程】解：过D作AB的垂线段DE，垂足为E，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∵CD＝2cm，∴DE=2cm，即点D到AB的距离为2cm【答案】2练习：如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE= cm.EDCBA【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE，AD+DE=AD+DC=AC.【解答过程】解：∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∴AD+DE=AD+DC=AC.∵AC=7cm，∴AD+DE=7cm.【答案】7【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.●活动②例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思．作图如下：【答案】第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.●活动3例3如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF 求证：CF=EA【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质S公路铁路P初中-数学-打印版【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等【解答过程】证明：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴DC=DE又∵AD=DF∴△DCF≌△DEA（HL）∴CF=EA练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明△BOD ≌△COE可得OB=OC 【答案】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BOD=∠COE，∴△BOD ≌△COE．∴OB=OC．3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；（2）探索并证明角平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）角的平分线的性质的探究.（2）角的平分线的性质的证明及应用.（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.初中-数学-打印版。
最新人教版初中八年级上册数学《角平分线的判定》精品教案
某一点)的根据之一.
典例精析
例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和 公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸 市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
O 解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
D S
C
典例精析
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
M
小区C
P
O
N
B
1.老师引导学生归纳本课知识点。 2.师生共同反思学习心得。
教科书本课课后习题第一题。完成后同桌之间 相互订正
这说明三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角 形三边的距离相等.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点 到三边的距离相等.
当堂练习
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、 OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离 相等，请确定该超市的位置P.
A
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
D
A
证明：作射线OP， ∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°， 在Rt△PDO和Rt△PEO 中，O
P
OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
E B
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB 角的平分线上. 温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角平分线的判定
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解角平分线判定定理.(难点） 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.（重点） 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
人教版八年级数学上册优秀教学案例：12.3角平分线的判定
一、案例背景
在八年级数学上册的《几何》学习中，学生已经掌握了角的概念、角的计算等基础知识。本节课的教学内容是“12.3角平分线的判定”，这是学生对角平分线知识的进一步深入。在此之前，学生已经学习了角平分线的性质，但对角平分线的判定还未进行系统学习。因此，本节课的内容对于学生来说既陌生又重要。
4.教师总结本节课的学习内容，强调角平分线在实际生活中的应用。
（五）作业小结
1.教师布置具有实践性的作业，如：让学生用剪刀、直尺等工具，实际操作剪出角的平分线。
2.教师要求学生在作业中运用所学知识，解决实际问题，巩固所学内容。
3.教师对学生的作业进行评价，关注学生的知识运用能力和创新能力。
4.教师根据学生的作业情况，总结本节课的教学效果，为下一节课的教学做好准备。
2.利用多媒体展示角平分线的图片，如：剪刀剪纸、激光笔演示等，让学生直观地感受角平分线的概念和应用。
3.设计具有挑战性的数学题目，让学生立思考，引导学生在解决问题的过程中发现角平分线的判定方法。
（二）问题导向
1.教师提出问题，引导学生思考：“如何判断一条线段是角平分线？它的几何意义是什么？”
2.鼓励学生提出自己的疑问，如：“为什么角平分线要将角分成两个相等的部分？”
结合教材内容和学生的学习情况，我设计了一份优秀教学案例。案例以生活中的实际问题为导入，激发学生的学习兴趣。通过引导学生观察、思考、交流，让学生在解决实际问题的过程中发现角平分线的判定方法，并理解其几何意义。在教学过程中，我注重培养学生的动手操作能力、逻辑思维能力和团队协作能力，使学生在掌握知识的同时，提高解决实际问题的能力。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行反思，让学生说出自己对角平分线的理解和判定方法。
最新人教版初中八年级上册数学《角的平分线的判定》精品教案
第2课时角的平分线的判定【知识与技能】1.掌握角的平分线的判定.2.会利用三角形角平分线的性质.【过程与方法】通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力.【情感态度】锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.【教学重点】角平分线的判定.【教学难点】三角形的内角平分线的应用.一、情境导入，初步认识问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上.二、思考探究，获取新知三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA 的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数.【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB 的度数即可，在△ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC的度数.解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD,∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4.∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A=125°.【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质.例2如图①,D、E、F是△ABC的三条边上的点，且CE=BF,S△DCE =S△DBF，求证：AD平分∠BAC.【分析】由已知条件可知△DCE和△DBF的两底CE=BF,且它们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M和N，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分∠BAC.【证明】如图②，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N.∵S△DCE =S△DBF,即12CE·DN=12BF·DM.又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D在∠BAC的平分线上，即AD 平分∠BAC.例3 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D是AC上一点，且AE⊥BD并交BD的延长线于点E，又AE=12BD.求证：BD是∠ABC的平分线.【分析】要证明BD是∠ABC的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE、BC交于F，根据条件证明△ABE≌△FBE即可.【证明】延长AE、BC交于点F.∵AE⊥BD,∠ACB=90°,∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°,即∠2=∠FAC.在△BDC与△AFC中，290FAC BC ACBCD ACF ∠=∠=∠=∠=︒⎧⎪⎨⎪⎩, ∴△BDC ≌△AFC(ASA), ∴BD=AF. 又∵AE=12BD,∴AE=12AF, ∴AE=EF.在△ABE 和△FBE 中，90AE EFAEB FEB BE BE =∠=∠=︒=⎧⎪⎨⎪⎩, ∴△ABE ≌△FBE(SAS).∴∠1=∠2. 即BD 是∠ABC 的平分线.例4 (青海西宁中考)八年级（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示），设计了如下方案：方案一：∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 置于射线OA,OB 之间.移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN,过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.方案二：∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P 介于射线OA ，OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M ，N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.（1）方案一、方案二是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由； （2）方案一中，在PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM ⊥OA,PN ⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.解：（1）方案一不可行，理由:缺少三角形全等的条件.方案二可行. 证明：在△OPM 和△OPN 中，,,,PM PN OP OP OM ON ===⎧⎪⎨⎪⎩∴△OPM ≌△OPN(SSS). ∴∠AOP=∠BOP.∴OP是∠AOB的平分线.（2）此方案可行.理由：∵PM=PN,且PM⊥OA,PN⊥OB,∴P在∠AOB的角平分线上，∴OP是∠AOB的平分线.三、运用新知，深化理解1.如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF=________.第1题图第2题图2.如图，以△ABC的两边AB,AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE,CD交于点O，求证：OA平分∠DOE.【答案】1.150°2.证明：过点A分别作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N.∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE,∴△DAC≌△BAE，∴DC=BE,又∵S△DAC =S△BAE,∴AM=AN.又∵AM⊥DC,AN⊥BE,∴OA平分∠DOE.四、师生互动，课堂小结1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个，且一定在三角形的内部.2.证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点也在第三条直线上.3.在三角形内部，要找一点到三边距离相等时，只要作出两个角的角平分线，其交点即是.4.角平分线的判定与性质的关系：由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的，即在三角形内，到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.1.布置作业：从教材“习题12.3”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学应重视以下几点；1.努力体现数学与生活的联系，从实际中学习新知，使学生认识这种学习方法.2.课堂中，可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛，教师依据具体情形予以点评指点，查漏补缺，使学生全方位从本质上理解知识.作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。
12.3角的平分线的判定及性质的应用(教案)2022秋八年级上册初二数学(人教版)全国
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.理解与运用：通过角的平分线的判定及性质的学习，使学生能够理解角平分线的概念，掌握其判定方法和性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
2.抽象与推理：培养学生从具体实例中抽象出角平分线的性质，形成严谨的逻辑推理能力，通过几何图形的分析，提高空间想象力和直观想象力。
举例解释：
-在讲解角平分线的定义时，通过具体的图形示例，让学生直观理解何为角的平分线，并能够用数学语言描述。
-在讲解判定定理时，通过多个例题，让学生掌握如何从一个角的图形中判断出角平分线。
-在讲解性质时，通过图形变换和数学证明，让学生理解并记住角平分线的性质，并能举例说明。
2.教学难点
-角平分线的判定：对于一些复杂的图形，学生可能难以直接判断出角平分线，需要掌握一定的判定技巧。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ先，我们要了解角的平分线的基本概念。角的平分线是从一个角的顶点引出的射线，将这个角分为两个相等的角。它是解决几何问题、构造特殊角度的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用角的平分线性质解决实际问题，以及它如何帮助我们计算角度和构造图形。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对于角的平分线的判定及性质的应用这部分内容的学习有一定的挑战性。首先，他们在理解角平分线的定义上相对容易，但在具体的判定和应用上遇到了一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重引导学生从理论到实践的过渡。
在讲授新课的过程中，我尽量用生动的例子和图形来解释角平分线的判定定理和性质，但发现部分学生在理解上仍然存在障碍。因此，我决定在接下来的课程中，增加一些互动环节，让学生们亲自参与到角平分线的绘制和应用中，以提高他们的实际操作能力。
人教版八年级数学上册 导学案：12.3 第2课时 角平分线的判定【精品】
第十二章 全等三角形角平分线的性质第2课时 角平分线的判定. . ． ．. 的逆命题.）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 上. ）①三角形的三条角平分线相交于 点，它到 . ②三角形内，到三边距离相等的点是 . °,则∠AOB= .图1 图22.如图,AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D,C,AD与BC相交于点P,若PA=PB,则∠1与∠2的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1>∠2C.∠1<∠2D.无法确定四、我的疑惑______________________________ _____利用角平分线的判定定理，在铁路和公路形成的夹角的平分线上取合适的点即可1.如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC,交AB于点E,则下列结论一定正确的是( )A.AE=BEB.DB=DEC.AE=BDD.∠BCE=∠ACE2.如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE=AF.求证点P在∠BAC的平分线上.探究点2：三角形内角平分线的性质及运用活动1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么特点吗？活动2：分别过交点作三角形三边的高，用刻度尺量一量，它们有什么数量关系？要点归纳：①三角形的三条角平分线相交于点，它到.②三角形内，到三边距离相等的点是.例2：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.方法总结三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.例3：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )A．110°B．120°C．130°D．140°方法总结由已知O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2.求证：OB＝OC.二、课堂小结角平分线的判定定理内容作用结论角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上判断一个点是否在角的平分线上三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等.1.如图，某个居民小区C 附近有三条两两相交的道路MN 、OA 、OB ，拟在MN 上建造一个大型超市，使得它到 OA 、OB 的距离相等，请确定该超市的位置P.2.如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于点E ，PF ∥AC 交BC 于点F ，点P 是 AD 上一点，且点D 到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ， 并说明理由． 1. 2.3.3.已知：如图，OD 平分∠POQ ，在OP 、OQ 边上取OA ＝OB ，点C 在OD 上，CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.求证：CM ＝CN.4.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ， 求证：点F 在∠DAE 的平分线上.32。
人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质(第2课时)优秀教学案例
3.组织小组竞赛，激发学生的团队精神和竞争意识，提高课堂活力。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和经验，提高自主学习能力。
2.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的知识掌握程度和能力提高。
3.鼓励学生相互评价，培养学生的评价能力和团队意识。
4.教学内容的系统性与连贯性：教师在教学过程中，既有对角的平分线概念及基本性质的回顾，又有对新知识的讲解和应用。这种教学方式使得学生能够在新旧知识之间建立起联系，形成系统的知识结构，提高学习效果。
5.多元化的教学评价：教师采用过程性评价与终结性评价相结合的方式，关注学生在课堂中的表现，及时给予反馈和指导。这种多元化的教学评价方式，既有助于教师了解学生的学习情况，又能够激发学生的学习动力，提高教学质量。
本节课的教学内容主要包括两个方面：一是角的平分线的性质及其推论；二是运用角的平分线解决实际问题。在教学过程中，我注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，发现角的平分线的性质，培养学生独立思考和合作交流的能力。同时，我还将利用多媒体课件展示角的平分线的性质，以激发学生的学习兴趣，提高课堂效果。
在教学评价方面，我将采用过程性评价与终结性评价相结合的方式，关注学生在课堂中的表现，及时给予反馈和指导，以确保每个学生都能在课堂上得到有效的学习和提高。通过本节课的教学，我希望学生能够掌握角的平分线的性质，提高解决问题的能力，为后续学习奠定坚实的基础。
（二）问题导向
1.设计一系列由浅入深的问题，引导学生通过对问题的思考，发现角的平分线的性质。
2.鼓励学生提出问题，培养学生的批判性思维和问题意识。
3.引导学生运用角的平分线性质解决实际问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
12.3 第2课时 角平分线的判定 初中数学人教版八年级上册课件
图形
C P
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E
PD = PE
C P
PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB
当堂小结
内容
角平分线 的判定定
理
作用
相关 结论
角的内部到角两边距离相等 的点在这个角的_平__分__线__上
判断一个点是否在角的平分线上
位置关系
数量关系
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
O
A
D C
P EB
回顾导入
如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路 和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为
500 m，这个风筝主题公园应建在何处？ O
解：作夹角的角平分线 OC，
新知一览
全等三角形
“边边边”
全 等 三 角 形
三角形全等 的判定
“边角边” “角边角”“角角边”
“斜边、直角边”
角平分线的性质
角平分线的性质
角平分线的判定
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第 2 课时 角平分线的判定
人教版八年级（上）
新课导入 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路
B
A P2
P1 C
P3
典例精析 例1 如图，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交 于点 D，连接 AD. 求证：AD 是∠BAC 的外角平分线.
分析：
求证：AD 是∠BAC 的外角平分线.
求证：D 到 BA，AC 的距离相等.
人教版八年级数学上册 教案：12.3 第2课时 角平分线的判定1【精品】
第2课时角平分线的判定1．掌握角平分线的判定定理．(重点)2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点)一、情境导入中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)二、合作探究探究点一：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎨⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】 角平分线性质和判定的综合如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF ；②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 可得DE ＝DF ，由此易得△ADE ≌△ADF ，故∠ADE ＝∠ADF ，即①AD 平分∠EDF 正确；②AE ＝AF 正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，故③正确；∴④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等正确；①②③④都正确．故选D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题如图，已知：△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点D .求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：分别过点D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明．证明：分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，∵BD 平分∠CBE ，DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点D在∠EAG 的平分线上，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．探究点二：三角形的内角平分线【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数 在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，则∠BOC 的度数为( )A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以O 是内心，即三条角平分线的交点，AO ，BO ，CO 都是角平分线，所以有∠CBO ＝∠ABO ＝12∠ABC ，∠BCO ＝∠ACO ＝12∠ACB ，∠ABC ＋∠ACB ＝180°－40°＝140°，∠OBC ＋∠OCB ＝70°，∠BOC ＝180°－70°＝110°，故选A.方法总结：由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数．【类型二】 三角形内角平分线的应用已知：如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地点有几处？(2)你能画出塔台的位置吗？解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．(2)作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．解：(1)可选择的地点有4处，如图：P、P2、P3、P4，共4处．1(2)能，如图，根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．三、板书设计1．角平分线的判定定理．2．三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练．。
人教版八年级数学上册 导学案：12.3 第2课时 角平分线的判定【精品】
第十二章 全等三角形角平分线的性质第2课时 角平分线的判定. . ． ．. 的逆命题.）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 上. ）①三角形的三条角平分线相交于 点，它到 . ②三角形内，到三边距离相等的点是 . °,则∠AOB= .图1 图22.如图,AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D,C,AD与BC相交于点P,若PA=PB,则∠1与∠2的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1>∠2C.∠1<∠2D.无法确定四、我的疑惑______________________________ _____利用角平分线的判定定理，在铁路和公路形成的夹角的平分线上取合适的点即可1.如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC,交AB于点E,则下列结论一定正确的是 ( )A.AE=BEB.DB=DEC.AE=BDD.∠BCE=∠ACE2.如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE=AF.求证点P在∠BAC的平分线上.探究点2：三角形内角平分线的性质及运用活动1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么特点吗？活动2：分别过交点作三角形三边的高，用刻度尺量一量，它们有什么数量关系？要点归纳：①三角形的三条角平分线相交于点，它到.②三角形内，到三边距离相等的点是.例2：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.方法总结三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.例3：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )A．110°B．120°C．130°D．140°方法总结由已知O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2.求证：OB＝OC.二、课堂小结角平分线的判定定理内容作用结论角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上判断一个点是否在角的平分线上三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等.1.如图，某个居民小区C 附近有三条两两相交的道路MN 、OA 、OB ，拟在MN 上建造一个大型超市，使得它到 OA 、OB 的距离相等，请确定该超市的位置P.2.如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于点E ，PF ∥AC 交BC 于点F ，点P 是 AD 上一点，且点D 到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ， 并说明理由． 1. 2.3.3.已知：如图，OD 平分∠POQ ，在OP 、OQ 边上取OA ＝OB ，点C 在OD 上，CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.求证：CM ＝CN.4.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ， 求证：点F 在∠DAE 的平分线上.32。
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第十二章 全等三角形角平分线的性质第2课时 角平分线的判定. . ． ．. 的逆命题.）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 上. ）①三角形的三条角平分线相交于 点，它到 . ②三角形内，到三边距离相等的点是 . °,则∠AOB= .图1 图22.如图,AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D,C,AD与BC相交于点P,若PA=PB,则∠1与∠2的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1>∠2C.∠1<∠2D.无法确定四、我的疑惑______________________________ _____利用角平分线的判定定理，在铁路和公路形成的夹角的平分线上取合适的点即可1.如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC,交AB于点E,则下列结论一定正确的是( )A.AE=BEB.DB=DEC.AE=BDD.∠BCE=∠ACE2.如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE=AF.求证点P在∠BAC的平分线上.探究点2：三角形内角平分线的性质及运用活动1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么特点吗？活动2：分别过交点作三角形三边的高，用刻度尺量一量，它们有什么数量关系？要点归纳：①三角形的三条角平分线相交于点，它到.②三角形内，到三边距离相等的点是.例2：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.方法总结三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.例3：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )A．110°B．120°C．130°D．140°方法总结由已知O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2.求证：OB＝OC.二、课堂小结角平分线的判定定理内容作用结论角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上判断一个点是否在角的平分线上三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等.1.如图，某个居民小区C 附近有三条两两相交的道路MN 、OA 、OB ，拟在MN 上建造一个大型超市，使得它到 OA 、OB 的距离相等，请确定该超市的位置P.2.如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于点E ，PF ∥AC 交BC 于点F ，点P 是 AD 上一点，且点D 到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ， 并说明理由． 1. 2.3.3.已知：如图，OD 平分∠POQ ，在OP 、OQ 边上取OA ＝OB ，点C 在OD 上，CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.求证：CM ＝CN.4.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ， 求证：点F 在∠DAE 的平分线上.32。
第2课时 角的平分线的判定 教案 2023—2024学年人教版数学八年级上册
12．3角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定教学内容第2课时角的平分线的判定课时1核心素养目标1.会用数学的眼光观察现实世界：用生活情境导入，提高学生的分析问题和用数学语言总结生活问题的能力，让学生体会数学的应用价值，体会角的平分线的判定在实际生活中的意义.2.会用数学的思维思考现实世界：用生活情境导入，提高学生的分析问题和用数学语言总结生活问题的能力，让学生体会数学的应用价值，培养类比、分类讨论的数学思维.3.会用数学的语言表示现实世界：通过对角的平分线的判定定理的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.知识目标1.探索并证明角的平分线的判定定理.2.能用角的平分线的判定定理解决简单问题.教学重点探索并证明角的平分线的判定定理性质．教学难点准确理解和应用角的平分线的判定定理.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知一、创设情境，导入新知教师叙述：如图，要在S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，这个风筝主题公园应建于何处？师生活动：教师分析，把题干解读成数学语言(在∠AOB内是否存在点P，过点P作OA、OB的垂线并交OA、OB于点D、E，使得DP = EP ?)，学生独立思考.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：角平分线的判定探究新知：角的平分线的判定.设计意图：用生活情境导入，提高学生的分析问题和用数学语言总结生活问题的能力，建立数学模型，让学生体会数学的应用价值.设计意图：回扣导入知识，让学生做到学以致用，同时体会角的平分线的判定定理的作用：判断点是否在角的平分线上.师生活动：教师提问：角的平分线的性质是?学生回答：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.教师提问：那么角的内部到角的两边距离相等的点，是否在角平分线上呢?学生独立思考并得出猜想：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.证一证：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD = PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：作射线OP.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO =∠PEO = 90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP = OP (公共边)，PD = PE (已知)，∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL).∴∠AOP =∠BOP (全等三角形的对应角相等).∴点P在∠AOB的平分线上.师生活动：学生独立完成证明过程，教师进行定义总结：角的平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.老师强调：角的内部指的是位置关系；距离相等指的数量关系.几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，∴点P在∠AOB的平分线上.回顾导入：如图，要在S区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且S离公路与铁路交叉处距离为500 m，这个风筝主题公园应建在何处?师生活动：学生独立思考并解答问题，教师板书总结.变式1：如图，S区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点A，B，C，如果要在△ABC区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处?师生活动：教师分析：由上题可知到AB，AC距离相等的点在∠BAC的角平分线上，则到BA，BC距离相等的点在∠ABC的角平分线上，它们交于一点P.那么这一点P是否到三边的距离都相等呢？师生活动：教师帮助学生分析题干理清思路，把问题实际应用题转化为数学中证明题：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD = PE. 同理，PE = PF.∴PD = PE = PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立完成证明过程.可总结出：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等设计意图：学生通过变式训练学会举一反三，巩固角的平分线的判定定理，引出角的内心的概念.变式2：如图，S区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点A，B，C，如果要在△ABC区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处?师生活动：学生独立思考，回答问题.(△ABC的三条内角平分线交点处.)变式3：如果要在△ABC区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？(画出所有点)师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立解答并画图.例1如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD. 求证：AD是∠BAC的外角平分线.师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立完成证明过程.练习：1. (西安阶段)如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，AC，BC的距离相等，即OF = OE = OD，若∠BAC = 100°，则∠BOC的度数是( )A.140°B. 130°C. 120°D. 110°师生活动：学生独立思考，并完成该题.设计意图：引导出变式3：若将题目条件换成△ABC 区域外，那么风筝主题公园应建在何处?顺势探究外心的概念.设计意图：培养学生举一反三的发散性思维，探究外心的概念.设计意图：巩固角的平分线的判定定理，考查学生应用角的平分线的判定定理解题的能力.设计意图：复习巩固本节课的知识点，考查学生对本节课的掌握情况.BACODEF三、当堂练习，巩固所学练习：2.完成下表：师生活动：学生独立思考并回答，教师翻动PPT.三、当堂练习，巩固所学1. (西安期中)如图，若∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P，若∠BAC =62°，∠PAC等于_______°.2. (泰州校考) 如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P. 按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置?在图上标出它的位置. (尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程).3.(河源校考) 如图，AD = BD，∠CAD + ∠CBD =180°，求证：CD平分∠ACB.设计意图：考查学生对角的平分线判定定理的掌握.设计意图：考查学生运用角的平分线判定定理进行尺规作图的能力.设计意图：考查学生综合运用角的平分线判定定理三角形全等的判定定理，完成简单证明的能力.ABCD板书设计角的平分线的判定1.角的平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.2.作用：判断一个点是否在角的平分线上.3.推论：三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等.课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
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人教版数学八年级上册
第2课时 角平分线的判定
1．掌握角平分线的判定定理．(重点)
2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点)
一、情境导入
中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)
二、合作探究
探究点一：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定
如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是
∠BAC 的平分线．
解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线．
证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ，∴△BDE 与△CDF
是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩
⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，
BD ＝CD ，
∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 是∠BAC 的平分线．
方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；
二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
【类型二】角平分线性质和判定的综合
如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分
别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE ＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，故③正确；∴④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等正确；①②③④都正确．故选D.
方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．
【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题
如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的
平分线．
解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明．
证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．
方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．
探究点二：三角形的内角平分线
【类型一】利用角平分线的判定求角的度数
在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，
则∠BOC的度数为( )
A ．110°
B ．120°
C ．130°
D ．140°
解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以O 是内心，即三条角平分线的交点，AO ，
BO ，CO 都是角平分线，所以有∠CBO ＝∠ABO ＝12∠ABC ，∠BCO ＝∠ACO ＝12
∠ACB ，∠ABC ＋∠ACB
＝180°－40°＝140°，∠OBC ＋∠OCB ＝70°，∠BOC ＝180°－70°＝110°，故选A.
方法总结：由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数．
【类型二】 三角形内角平分线的应用
已知：如图，直线l
1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要
求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？
解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．(2)作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
解：(1)可选择的地点有4处，如图：
P 1、P 2、P 3、P 4，共4处．
(2)能，如图，根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．
三、板书设计
1．角平分线的判定定理．
2．三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的
性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练．。