2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第三章第八节解三角形的应用文

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高考数学第一轮章节复习课件第三章三角函数解三角形

1.以三角函数的化简与
倍角公式弦、余弦、正切公式，了解
求值为载体，考查二
和半Fra Baidu bibliotek公它们的内在联系.
倍角的正弦、余弦、
式、积化 2.能运用上述公式进行简单的
正切公式的应用.
和差与和恒等变换(包括导出积化和
2.简单的三角恒等变换
差化积
差、和差化积、半角公式，
是高考的必考内容.
但对这三组公式不要求记忆).
①代入②得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4. 当r＝1 cm时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去；当r＝4 cm时，l＝2(cm)，此时，
(2)设扇形弧长为l，
∵72°＝72×
∴l＝αR＝ ×20＝8π(cm)，
∴S＝
×8π×20＝80π(cm2).
1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解.
正切正负正负
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数正弦
余弦
终边相同
的角的三角函数值 (k∈Z)
sin(α＋k·2π) cos(α＋
＝ sinα
k·2cπos)＝α
(公式一）
正切
tan(α＋k·2π) ＝ tanα
三角函数正弦
余弦
正切

高三数学解三角形及应用PPT优秀课件

（2）设AB＝3，求AB边上的高。
例4：在ΔABC中，a,b, c 分别是角A、B、
C的对边长，已知 a,b,c成等比数列，且
a2c2a cb，c求角A的大小及
的值。
b
sin c
B
例４．已知⊙O的半径为R,在它的内接三角形ABC中，
有 2 R s 2 A i s n 2 C i n 2 a b s B 成i 立，n 求△ABC
面积S的最大值．
例5：在某海滨城市附近海面有一台风，(据检测ar，c当c前o2台s)
风30中0 心km位的于海城面市P处O(，如并图以)的20东k偏m南/ h方的向速度向西偏北451的0方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。
THANKS
FOR Wຫໍສະໝຸດ BaiduTCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
例1．在ΔABC中，已知a= 3 ,b= 2 ,B=45°，求A,C及边c．
例2：ΔABC的三个内角A、B、C的对边
分别是 a,b,c ，如果 a2b(bc)，
求证：A＝2B
例3．已知锐角ΔABC中， siA n B ) ( 5 3 ,siA n B ) ( 1 5，
（1）求证：taA n 2taB n ；
高考数学复习强化双基系列课件

《金版学案》高考数学文科一轮复习课件3-8解三角形的应用

＝(20 2)2＋(40 2)2－2×20 2×40 2cos 60°＝2 400，
栏
目
所以 AB＝20 6(米)．
链
答案：20 6
接
考点探究变式探究
2. 某观测站C在城A的南偏西20°的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距C为31千米的
栏公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达目 D处，此时C、D间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 链
角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA.
栏
自主解答：
目
链点评：高度的测量借助于两个或者多个三角形进行，基本接
思想是把测量的高所在线段纳入到一个(或两个)可解三角形
中．测量底部不可到达的物体的高度，通常在基线上选取两个观
测点，在同一平面内至少测量三个数据(角边角)，解两个三角形，
运用解方程思想解决问题．
h tan
β
，AD＝
H
tan β
及AB＋
BD＝AD，得tanHα＋tanh β＝tanHβ，解得H＝tan
htan α α－tan
β
栏
＝1.42×4－1.12.420＝124.
目链
接因此，电视塔的高度H是124 m.
考点探究
考点2 距离问题
【例 2】如图，为测量河对岸 A，B 两点间的距离，在河岸选

2016年高考数学总复习课件：第三章第8讲解三角形应用举例

灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔
在船的南偏西 60°，另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘船的速
度是( C )
A.5海里/时
B.5 3海里/时
C.10海里/时 D.10 3海里/时解析：如图 D13,依题意有∠BAC=60°， ∠BAD＝75°，故∠CAD＝∠CDA＝15°，从而 CD＝CA＝10.在 Rt△ABC 中，∠ACB
3 2 ＝3
14
3 .
答：sinα的值为3
14
3 .
【规律方法】关于角度的问题同样需要在三角形中进行，
同时要理解实际问题中常用角的概念：仰角和俯角、方向角、
方位角、坡度等.
第二十三页，编辑于星期五：二十三点二十七分。
【互动探究】
3．两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40°，灯塔B在观察站南偏东 60°，则灯塔A在灯塔 B 的( B )
图3-8-6
第二十七页，编辑于星期五：二十三点二十七分。
由余弦定理，在ABD 中， BD2＝AB2＋AD2－2AB×ADcosA ＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA. 在CDB 中，BD2＝CB2＋CD2－2CB×CDcosC ＝62＋42－2×6×4cosC＝52－48cosC. ∴20－16cosA＝52－48cosC. ∵cosC＝－cosA，∴64cosA＝－32，cosA＝－12. ∴A＝120°. ∴S＝16sin120°＝8 3.

高考数学(文)一轮复习课件：第3章三角函数、解三角形3-8

解析 DC＝DB－CB，即 a＝tAanBα－tAanBβ，则 AB＝ta1nα－a ta1nβ＝sinβcaossiαn－αscinoβsβsinα＝saisninβα－sinαβ.故选 A.
3．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 60°，而且两条船与炮台底部连线成 30°角，则两条船相距_1_0___3___ m.
问题.
角函数的性质交汇命题，且多以解答题的形式呈现，
解题时要注意一些常用术语，充分结合数形结合及
转化化归思想的运用.
课时思维激活
教材知识梳理和小题探究
回扣教材
1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)． 3．方向角相对于某一正方向的水平角 (1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向(如图③)； (2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似．
解析如图，OM＝AOtan45° ＝30(m)， ON＝AOtan30°＝ 33×30 ＝10 3(m)，在△MON 中，由余弦定理得，
MN＝
900＋300－2×30×10

解三角形及应用归纳整理

解三角形及应用举例

公式篇

知识点归纳同角关系式

1倒数关系：sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=，tan cot 1αα⋅=

2商数关系：

sin tan cos ααα=，cos cot sin α

αα

3平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，22

1cot csc αα+=

知识点归纳和差倍半 1．和、差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

．

2．二倍角公式

αααcos sin 22sin =；

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；

2tan tan 21tan α

αα

-． 3．降幂公式

ααα2sin 21cos sin =

；22cos 1sin 2αα-=

；2

2cos 1cos 2

αα+=． 4．半角公式

2cos 12

sin

αα

-±

=；2

cos 12cos αα+±=；sin 1cos tan 21cos sin ααα

αα

-===+．

5．万能公式

2tan

2sin 1tan 2

αα

+；22

1tan 2cos 1tan 2

ααα

+；2

2tan

2tan 1tan 2

αα

=-．

6．积化和差公式

)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21

sin cos βαβαβα--+=；

)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(2

【金版教程】届高考数学总复习第3章第8讲解三角形应用举例课件理新人教A版

[解] 在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC ＝ 60° ，所以 AC ＝ a.∵∠BCD ＝ 30° ， ∠ BDC ＝ 105° ， ∴∠CBD＝45°.
在△BCD 中，由正弦定理可得 BC＝assiinn14055°°＝
3＋1 2 a.
在△ABC 中，已经求得 AC 和 BC，又因为∠ACB＝30°，
所以利用余弦定理可以求得 A，B 两点之间的距离为 AB＝
AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°＝
2 2 a.
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理． (3)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画一个空间图，再画一个平面图，处理问题既清楚又不易出错．
课前自主导学
1. 实际问题中的有关概念及常用术语 (1)基线在测量上，根据测量需要适当确定的________叫做基线． (2)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
金版教程 ·高三数学 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021

高三数学专题复习专题08 解三角形(教师版)

专题8 解三角形

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的

（ A ）

（A ）充分条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而充分条件（D ）既不充分又不必要条件

2．在ABC ∆中，已知

C B

A sin 2tan

=+，给出以下四个论断：

① 1cot tan =⋅B A

② 2sin sin 0≤

+<B A

③ 1cos sin 2

2=+B A

④ C B A 2

22sin cos cos =+

其中正确的是（ B ）

（A ）①③

（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③

3．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan

2tan 32tan 2tan C A C A ++的值为__________3.

4．如果111

A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于

222

A B C ∆的三个内角的正弦值，则（）

A ．111A

C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形

D ．111

A B C ∆是锐角三角形，

222

A B C ∆是钝角三角形

5．己知A 、C 是锐角△ABC 的两个内角，且tanA, tanC 是方程x 2-3px+1-p ＝0 (p ≠0，且p ∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC 的取值范围分别是___ _

2015届高考数学总复习第三章第八节解三角形的应用精讲课件文

10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追
上．
(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．
思路点拨：要求渔船甲的速度，关键是求出 BC ，而 AB＝12，AC就是船乙2小时走的距离，因此AC＝20，故可用余弦定理求得BC，注意α＝∠ACB，因此可在△ABC中求
180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA. 自主解答：
，
，
点评：高度的测量借助于两个或者多个三角形进行，基本思想是把测量的高所在线段纳入到一个(或两个)可解三角形中．测量底部不可到达的物体的高度，通常在基线上选取两个观测点，在同一平面内至少测量三个数据(角边角)，
解两个三角形，运用解方程思想解决问题．
解析：设缉私船用t小时在D处追上走私船，则有CD＝10 t，BD＝10t，－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
在△ABC中，AB＝
由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB· ACcos∠BAC＝ (－1)2＋22－2( －1)×2cos 120°＝6.
∴∠ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直．
变式探究
3．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(
里的 C 处的缉私船奉命以每小时 10
－1)海Biblioteka Baidu

2015年高考数学一轮总复习精品课件：第三章+三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三

.
6
第十八页，编辑于星期五：十一点十一分。
探究突破
19
方法提炼
(1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标求三角函数值时,则可先求出点 P 到
原点的距离 r,然后用三角函数的定义求解.
(2)已知角 α 的终边所在的直线方程求三角函数值时,则可先设出终边
上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问
y 叫做 α 的正
x 叫做 α 的余
x
定义
弦,记作 sinα,即
弦,记作 cosα,即
sinα=y
cosα=x
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ
正
负
Leabharlann Baidu
负
Ⅲ
负
负
正
Ⅳ
负
正
负
口
诀
y
tanα,即 tanα= (x≠0)
x
一全正,二正弦,三正切,四余弦
第七页，编辑于星期五：十一点十一分。
8
梳理自测
终边相
同
的角的
三
角函数
值
sin(α+k·2π)=
2
2π +
3
2
3
2
,k∈Z
< < 2 + 2,∈Z
第四页，编辑于星期五：十一点十一分。

第三章三角函数、解三角形复习讲义

第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数

◆考纲·了然于胸◆ 1．了解任意角的概念．

2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

[要点梳理]

1．角的概念

(1)角的分类(按旋转的方向)：

角⎩⎪⎨⎪

⎧

正角：按照逆时针方向旋转而成的角。负角：按照顺时针方向旋转而成的角。零角：射线没有旋转.

(2)象限角与轴线角：

(3)终边相同的角

所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z }．质疑探究1：(1)第二象限角一定是钝角吗？(2)终边相同的角一定相等吗？

提示：(1)钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角；(2)终边相同的角不一定相等． 2．弧度制

(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式

(3)规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是

3．任意角的三角函数

任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

(x ≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：

如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .

质疑探究[小题查验]

1．－870°角的终边在第几象限( )

A ．一

B ．二

C ．三

D ．四

2．(2016·龙岩质检)已知α为第二象限角，sin α＝45

，则tan α的值为( )

高考总复习北师大版数学文第三章第八节解三角形应用举例

第八节解三角形应用举例

错误!

１．仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．（如图（a））．

２．方位角

从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α（如图（b））．

３．方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）××度．

易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．

[试一试]

若点A在点C的北偏东３0°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的（）Ａ．北偏东１５°Ｂ．北偏西１５°

Ｃ．北偏东１0° Ｄ．北偏西１0°

解析：选B 如图所示，∠ACB＝90°，

又AC＝BC，∴∠CBA＝４５°，

而β＝３0°，

∴α＝90°—４５°—３0°＝１５°.

∴点A在点B的北偏西１５°.

把握解三角形应用题的四步

（１）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；

（２）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；

（３）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；

（４）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．

[练一练]

如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为５0 m，∠ACB＝４５°，∠CAB＝１0５°，则A，B两点的距离为（）Ａ．５0错误!m Ｂ．５0错误!m

Ｃ．２５错误!m Ｄ．错误!m

通用版2022届高考数学一轮总复习第三章三角函数与解三角形第8讲解三角形应用举例课件

ຫໍສະໝຸດ Baidu
解析：观察图 D23 可知，当 P 为优弧 AB 的中点时，阴影
部分的面积 S 取最大值，
此时∠BOP＝∠AOP＝π－β，面积 S 的最
大值为 π×22×22βπ＋S△POB＋S△POA＝4β＋ 12|OP||OB|sin(π－β)＋12|OP||OA|sin(π－β)＝4β＋ 2sin β＋2sin β＝4β＋4sin β.
66＋04×22×2 12＝ 234＋01＝120( 3－1)m.
答案：C
5.(2019 年北京)如图 3-8-4，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )
β＋4cos β β＋2cos β
图 3-8-4 β＋4sin β β＋2sin β
A.mssininβα
B.simn(sαin＋αβ)
C.simn(sαin＋ββ)
D.sminsiαn＋(α＋sinββ)
解析：∠ABC＝π－(α＋β)，由正弦定理得 sAinBβ＝sin∠ACABC ， ∴AB＝sin [mπ－·si(nα＋β β)]＝sinm(αs＋inββ) ，故选 C.
答案：C
图 3-8-6
解析：由已知得，在△ACD 中,∠ACD＝15°,∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得 AC＝80ssiinn1155°0°＝

2015高考数学一轮复习配套课件：3-8解三角形应用举例

第三章第8讲
第3页
第三页，编辑于星期五：十二点二十七分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学理
抓住2个必备考点
突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
1个重要区别——仰角、俯角和方位角的区别仰角、俯角和方位角是不同的，仰角和俯角是对于水平线而言的，方位角是相对于正北方向而言的． 2种必知情形——解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
第三章第8讲
第4页
第四页，编辑于星期五：十二点二十七分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学理
抓住2个必备考点
突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
(4)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾
斜角改为10°，则斜坡长为2cos10°.(√)
第三章第8讲
第15页
第十五页，编辑于星期五：十二点二十七分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学理

2015届高考数学总复习第三章第八节解三角形的应用课时精练试题文(含解析)

第八节解三角形的应用

1．(2013·绍兴模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )

A ．1

B ．2sin 10°

C ．2cos 10°

D ．cos 20°

解析：如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.

在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝AB

sin 10°

，

∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°

sin 10°

＝2 cos10°.故选C 项.

答案：C

2．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．由增加的长度决定

解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2

，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．

而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2

＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．

答案：A

3．在相距2 km 的A 、B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离是( )

A ．2 3 km

B ．3 2 km C. 6 km D ．3 3 km 解析：由题意，

C ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝AB

sin 45°

2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第八节解三角形的应用 文

高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形

高三数学解三角形及应用PPT优秀课件

《金版学案》高考数学文科一轮复习课件3-8解三角形的应用

2016年高考数学总复习课件：第三章 第8讲 解三角形应用举例

高考数学(文)一轮复习课件：第3章 三角函数、解三角形3-8