第四节 平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分及其与路径无关问题
曲线积分与路径无关问题
1. 第一型曲线积分
(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为
),(y x ρ求弧AB 的质量m 。
⎰=L
ds y x f m ),(,
(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1
),(L ds y x f =⎰2
),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分
与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算
设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)
()
(t y t x ψϕ ，
)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，
则曲线积分⎰L
ds y x f ),(存在，且
⎰
L
ds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβ
α
+⋅⎰ )(βα<
特别,当1),(=y x f 时,
⎰
L
ds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。
当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则
⎰
L
ds y x f ),(=[]dx x g x g x f d
a
)(1)(,2'+⋅⎰；
把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩
⎨⎧==)(x g y x
x ，)(b x a ≤≤，
⎰
L
ds y x f ),(=[]dy y h y y h f d
c
)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤
2. 第二型曲线积分
(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线
平面曲线积分与路径无关的条件
平面曲线积分与路径无关的条件
一、引言
平面曲线积分是微积分中的一个重要概念，它描述了一个向量场沿着一条曲线的累积效果。在实际应用中，我们常常需要计算沿着一条曲线的积分，但有时候路径并不影响积分结果。这时我们就需要了解平面曲线积分与路径无关的条件。
二、定义
平面曲线积分与路径无关的条件指的是：对于一个向量场F(x,y)和两条相同起点和终点的可求长曲线C1和C2，如果F(x,y)在C1和C2上恒等，则称F(x,y)在C1和C2上是保守场。
三、保守场与势函数
保守场是指存在一个标量函数f(x,y)，使得F(x,y)可以表示为梯度向量f(x,y)的形式。即：
F(x,y)=∇f(x,y)
这个标量函数f(x,y)被称为势函数。如果一个向量场是保守场，则其沿着任意可求长闭合曲线C上的积分都为0，即：
∮CF·ds=0
四、判断保守场的方法
判断一个向量场是否为保守场有多种方法，以下介绍两种常用方法。
（一）充分条件法：如果F(x,y)是一个二阶连续可微的向量场，并且其旋度为0，则F(x,y)是保守场。
旋度的定义为：
rotF=∂Q/∂x-∂P/∂y
其中，F(x,y)=(P,Q)。
（二）必要条件法：如果F(x,y)是一个保守场，则其在任意可求长闭合曲线C上的积分都为0。即：
∮CF·ds=0
此时，由格林公式可知：
∮CF·ds=∬D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy
其中，D表示曲线C所围成的区域。因此，如果F(x,y)在区域D上满足偏导数的连续性条件，并且对于所有的x和y都有：
(∂Q/∂x-∂P/∂y)=0
则F(x,y)是保守场。
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
03
格林公式与曲线积分的关系
格林公式在曲线积分中的应用
计算封闭曲线的线积分
通过格林公式，可以将封闭曲线的线积分转 化为其围成的区域上的面积分，从而简化计 算。
解决向量场中的曲线积分问 题
在向量场中，格林公式可以用于计算沿曲线的积分 ，将问题转化为求面积分，从而简化计算过程。
判断积分与路径是否无关
路径无关的定义
路径无关
如果两个路径的积分值相同，则称该 积分与路径无关。
举例
对于函数 $f(x,y)$，如果 $int_{C} f(x,y) dx = int_{C^{prime}} f(x,y) dx$，则称该积分与路径无关。
曲线积分与路径无关的条件
条件一
条件二
条件三
条件四
被积函数 $f(x,y)$ 在区 域内具有连续的一阶偏 导数。
工程学中的流体力学问题
流量恒定
在流体力学中，如果曲线积分的路径无关，那么流量将保持恒定。这意味着流体不会因 为路径的改变而发生改变。
压力恒定
在流体力学中，如果曲线积分的路径无关，那么压力将保持恒定。这意味着流体不会因 为路径的改变而发生改变。
05
总结与展望
总结格林公式曲线积分与路径无关的条件
总结
对未来研究的展望
探索更多应用场景
随着科技的发展和研究的深入，格林公式曲线积分与路径无关的条 件有望在更多领域得到应用，例如物理、工程等。
平面上曲线积分与路径无关的条件
平面上曲线积分与路径无关的条件
平面上曲线积分是微积分学中的一个重要概念，它通常用于计算沿着曲线的某个向量场的功或流量。在实际应用中，我们经常需要计算一些与路径无关的曲线积分，这时就需要了解平面上曲线积分与路径无关的条件。
一、曲线积分的定义
在平面上，设有一条光滑曲线C，其参数方程为：
x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b
设有一个向量场F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，则沿着曲线C对向量场F进行的曲线积分为：
∫CF·ds=∫baF(x(t),y(t))·(dx/dt,dy/dt)dt
其中ds表示弧长元素。
二、路径无关的定义
如果对于同一向量场F和两条起点和终点相同但路径不同的光滑曲线
C1和C2，它们所对应的曲线积分相等，则称该向量场F沿任意闭合
光滑曲线C所做的功（或流过任意闭合光滑曲线C所做的流量）与路
径无关。
三、平面上曲线积分与路径无关的条件
1. 向量场F是保守场
如果向量场F是保守场，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都
与路径无关。这是因为保守场的势函数只与起点和终点有关，与路径
无关。
2. 曲线C是简单闭合曲线且向量场F在C内部连续
如果曲线C是简单闭合曲线（即不自交且没有孔），并且向量场F在
C内部连续，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。
这个结论可以通过Green公式来证明。Green公式指出，如果P和Q 在一个封闭区域D内有连续的一阶偏导数，则有：
∫CF·ds=∫∫D(dQ/dx-P/dy)dxdy
其中，C是D的边界，ds表示边界元素。因此，如果向量场F=(P,Q)在简单闭合曲线C内部连续，则有：
第四节-平面上曲线积分与路径无关的条件
设L D是按段光滑的封闭的曲线，
L围成的区域为，由于D是单连通的，因此 D,
由Green公式得
L
Pdx
Qdy
(Q x
P )dxdy y
0
综合之定理成立
有关定理的说明：
(1) 区域D是单连通区域 ;
(2) 函数P(x,y),Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数.
两个条件缺一不可。
判断时应用最方便、最具操作性的是(4)
第四节 平面上曲线积分 与路径无关的条件
一、定义 二、条件 三、应用
一、定义
定义1. 设区域 DR2. 若D内任一简单曲线所围 内部完全属于D. 则称D为单连域, 否则称D为复连域.
单连域
复连域
定义2.
设D是一开区域,P、Q在D 内有一阶连续偏导数,若对任 意两点A，B以及从点A到点B 的任意两条曲线L1和L2，恒 有
称u(x,y)为Pdx+Qdy的一个原函数。
y
若 P Q
y x
•
A( x0, y0 )
则 B(x1, y1) Pdx Qdy A( x0 , y0 )
o
x1 x0
P(
x,
y0
)dx
y1Q(
y0
x1
,
y)dy
• B( x1, y1 )
• C( x1, y0 )
证明曲线积分在整个xoy面内与路径无关
证明曲线积分在整个xoy面内与路径无关
曲线积分与路径无关的充要条件是：区域d是一个单连通域，函数p(x,y)及q(x,y)在d上有一阶连续偏导数，ap/ay=aq/ax。对于满足一些条件的曲线，起点和终点的位置固定，沿不同的路线积分，其积分值相同，即曲线积分只与起点和终点有关，与路线的选取无关。
曲线积分分为：
（1）对弧长的曲线分数（第一类曲线分数）
（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）
两种曲线分数的区别主要是分数元素的差别，对弧长的曲线分数的分数元素就是弧长元素ds。比如：对l的曲线分数∫f(x,y)*ds 。
对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对l’的曲线积分∫p （x,y）dx+q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。
(1)平面上的单相连区域与为丛藓科扭口藓相连区域
设d是平面xy.上的区域。如果d内的任何封闭曲线l所围成的区域di，恒有d; c d ,则d称为单连通区域;否
则，d称作为丛藓科扭口藓相连区域。
(2)平面曲线积分与路径无关的条件
定理1 [1] 设d就是平面xy.上的单相连闭合区域，函数p(x, y)与q(x,y) 在d内具备一阶已连续略偏导数，则以下1° ~ 4°。
平面曲线积分与路径无关的定义
平面曲线积分与路径无关，也称为路径无关的曲线积分，是指在平面上，若曲线积分的值与路径的选取无关，则称该曲线积分为路径无关的。
具体定义如下：
设曲线C为由参数方程r(t) = (x(t), y(t))，t ∈[a, b]表示的一条光滑曲线，函数f(x, y)定义在C的范围上。如果对于C上的任意两条参数化表示r₁(t)和r₂(t)，都有
∫[C] f(x, y) ds₁= ∫[C] f(x, y) ds₂
其中，[C]表示对曲线C的积分，f(x, y) ds₁表示沿路径r₁(t)的曲线C的积分，f(x, y) ds₂表示沿路径r₂(t)的曲线C的积分。
如果上述等式对于所有满足条件的函数f(x, y)成立，则称曲线积分与路径无关，或者说该曲线积分是路径无关的。
路径无关的曲线积分在物理学和数学中有广泛的应用，例如电场的线积分和流体力学中的流量积分等。路径无关的曲线积分可以简化计算过程，同时也可以提供与路径无关的物理量。
积分路径无关性的判定
积分路径无关性的判定
平面上曲线积分与路径无关的条件是什么：一个在任何条件下适用的条件是原函数
存在.如果积分区域是单连通区域,如果āq/āx=āp/āy也满足积分与路径无关曲线积分与路径无关的条件。
格林公式,曲线积分与路径无关的充要条件. - ：首先格林公式中的两个条件是完全独立的,不存在哪个可以推出哪个的可能,由闭区域d由分段光滑曲线l围成是推不出
p(x,y)及q(x,y)在d上有一阶连续偏导数的(而且你在问题补充里说的那几个哪个也推不出来),因为围成d的分段光滑曲线l第二型曲线积分与与路径无关的条件是什么? - ：p
对y的偏导=q对x的偏导格林公式的二,平面曲线积分与路径无关的条件 - ：【定义】设g 是一个开区域,函数p(x,y)与q(x,y)在g 内具有一阶连续偏导数,如果对于g 内任意两点 a,b,以及g 内从a 点到b点的任意两条曲线l1,l2 ,(pdx+qdy)在l1上的曲线积分
=(pdx+qdy)在l2上的曲线积分恒成立,就称曲线积分在内积分与路径无关 - ：这个是那个格林公式还是高斯公式来着意思就是说有一个积分是pdx+qdy 如果偏q/偏x=偏p/偏y 那就与路径无关
与积分路径无关的条件
k ( y dx x d y) 2 r
A L
令
2
则有
o
B x
P k ( x y ) Q 4 x y r
2
( x2 y2 0 )
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB : x
p
2
cos , y
p
2
sin ( :
p
2
0)
W
第四节
第八章
平面曲线积分与 路径无关的条件
一、平面上曲线积分与路径无关的 条件
一、平面上曲线积分与路径无关的条件
定理8-4. 设D 是单连通域 ,函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
在D 内
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
L Pd x Qd y 0 .
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
0 d x x 0
1
x
y
dy 2 2 x y
或
y (1, y) ( x, y)
dy 0 1 y2
y
o
(1,0)
x ( x,0 )
x arctan 2 y
p
例4. 设质点在力场
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
格林公式平面曲线积分与路径无关的条件
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
与路径无关,可以取先从M0(x0,y0)到M(x,y),然后沿平行于x 轴的直线段从M(x,y)到Nx+Δx,y作为上式右端曲线积分的路径 (见图10-11),于是
图 10-11
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
这里的u(x,y)可通过取平行于坐标轴的折线路径(见图10-12)得
图 10-12
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
(10-8) (10-9)
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
函数P(x,y)，Q(x,y)满足定理4的条件时，表达式 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分.因此可解决一 类特殊的一阶微分方程——全微分方程.
设D是一个区域，P(x,y)及Q(x,y)在 区域D内具有一阶连续偏导数.L1，L2是 D内具有相同起点和终点的任意两条曲 线(见图10-10) .
图 10-10
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
定理4
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
二、 平面上曲线积分与路径无关的定义与条件
若方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(10-10)
的左端恰好是某个函数u=u(x,y)的全微分 du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
曲线积分与路径无关问题
曲线积分与路径无关问题
1. 第一型曲线积分
(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为
),(y x ρ求弧AB 的质量m 。
⎰=L
ds y x f m ),(,
(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1
),(L ds y x f =⎰2
),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分
与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算
设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)
()
(t y t x ψϕ ，
)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，
则曲线积分⎰L
ds y x f ),(存在，且
⎰
L
ds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβ
α
+⋅⎰ )(βα<
特别,当1),(=y x f 时,
⎰
L
ds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。
当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则
⎰
L
ds y x f ),(=[]dx x g x g x f d
a
)(1)(,2'+⋅⎰；
把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩
⎨⎧==)(x g y x
x ，)(b x a ≤≤，
⎰
L
ds y x f ),(=[]dy y h y y h f d
c
)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤
2. 第二型曲线积分
(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线
平面上曲线积分与路径无关的条件
2020年1月29日星期三
2
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一、平面曲线积分与路线无关的条件
1. 曲线积分与路线无关的定义
如果在区域G内有
y
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
则称曲线积分L Pdx Qdy在G 内
与路线无关, 否则与路线有关. o
B
L1
G
A
L2
x
2020年1月29日星期三
4sin xsin3y cos xdx 3cos3y cos 2xdy AB
x
y
0 0dx 0 (3cos3y cos 2x)dy
y
cos 2x0 cos3yd(3y)
cos 2xsin 3y
2020年1月29日星期三
7
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例 2 在整个 xOy 面内, (x 2y)dx (2x y)dy 是某一函数 u(x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数.
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二、原函数计算举例
若 P( x , y), Q( x , y) 满足定理1 的条件, 则 由上述证明可看到二元函数
u( x , y) P( x , y)dx Q( x , y)dy AB
B( x, y)
P( x , y)dx Q( x , y)dy
平面上曲线积分与路径无关的条件
B(x, y)
P( x , y)dx Q( x , y)dy
A( x0 , y0 )
具有性质
du( x , y) P( x , y)dx Q( x , y)dy .
我们也称 u( x , y) 为 P dx Qdy 的一个原函数.
2020年4月12日星期日
4
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例 1 验证：在整个 xOy 面内， 4sin xsin3y cos xdx 3cos3y cos 2xdy
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内容小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通区域 D 上 P( x, y), Q( x, y)具有连 件 续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 （1） 在 G 内 Pdx Qdy 与路径无关； L
价 （2）
Pdx Qdy 0 ，闭曲线 L G
是某一函数 u(x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数.
证明： P 4sin xsin3y cos x ， Q 3cos3y cos2x ，
则 Q 6cos3ysin 2x P 在整个 xOy 面内恒成立，
x
y
因此，在整个 xOy 面内，
4sin xsin3y cos xdx 3cos3ycos2xdy
L 为由点O(0, 0)到点B(1, 1)的曲线弧 y sin x .
曲线积分与路径无关的条件
值，则称此积分在D内与积分路径无关.否则, 称
y
与路径有关.
L1 B
D
A
L2
o
x
例32.1
证明 曲线积分 (3x2 y)dx (x 2y)dy L
与路径无关．
证明: 令P(x, y) 3x2 y,Q(x, y) x 2 y,则
显然它们在整个xoy平面上有连续偏导数 .
任取两点 A, B, 任取两条连接 A, B的分段光 滑曲线 L1 AMB, L2 ANB,
解 P( x, y) xy2, Q( x, y) y( x),
P ( xy2 ) 2xy, y y
Q [ y( x)] y( x), x x
积分与路径无关 P Q ， y x
由 y( x) 2 xy ( x) x2 c
由(0) 0，知c 0 ( x) x2 .
故 (1,1) xy2dx y( x)dy (0,0)
取圆弧 AB : x cos , y sin ( : 0)
2
2
2
W
AB
k r2
(
y
dx
x dy)
使闭曲线AMBNA的正向为逆时针方向,
则
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L1 L2
Pdx Qdy L2
D (1 1)d L2 Pdx Qdy
NB
平面曲线积分与积分路径无关的条件
( xx, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy
(x,y)
xx
P(t
,
y)dt
积分中值定理
P(
,
y)x
，
x
其中 在 x 与 x x 之间．又 P(x, y) 在 D 内连续，所以
u lim u(x x, y) u(x, y) lim P(, y) lim P(, y) P(x, y) ．
xdy ydx π ． L2 x2 y2
表明尽管当 ( x,
y)
(0, 0)
时，有
P y
Q x
，且
L1
与
L2
有相同的起点和终点，
但曲线积分与积分路径有关．其原因就在于L1 和 L2 所围的区域包含了点
(0,0)，而 Q P 在点 (0,0) 处不成立． x y
可以证明，如果 D 为不包含点(0,0) 的单连通区域（如D 为区域 y 0 ），
(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy ． ( x0 , y0 )
因为曲线积分与路径无关，因此取从点(x0, y0 ) 到点(x x, y) 的路径为
从点(x0, y0 ) 到点 B(x, y) ，再从点B(x, y) 沿有向直线段到点(x x, y) ．
26-6
（续证 1）（见图 11-4-1），所以 u(x x, y) u(x, y)
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判断时应用最方便、最具操作性的是(4)
即
奇点
P Q ＝ y x
在曲线积分中破坏区域D的单连通性、以及函 数P(x,y)、Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数的点 称为奇点。 在定理2的条件下， 曲线积分在D内与积分路 径无关。则
u( x, y) AB Pdx Qdy A( x , y ) Pdx Qdy
Q P 2x x y
所以
2 2 xy d x x dy 0 C
2 2 I ( x y ) d x ( x sin y)dy 其中L为 例2 计算 L
y 2 x x 2 上由点O(0, 0)到点A(2, 0)的一段弧.
解：因为P=x2–y, Q= – (x+sin2y), 有
L2
B L1
A
D
L
Pdx Qdy
1
L
Pdx Qdy
2
则称此曲线积分在D内与路径无关.
二、条件
定理2 设DR2为有界单连域，若P(x,y)和Q(x,y) 在D内具有一阶连续偏导数，则下列四个条 件等价： (1) 对D内任一光滑或分段光滑的简单闭曲线C有 C Pdx Qdy 0.
即 u u P, Q x y 2 u P 2 u Q 则 , xy y yx x
由于P、Q具有一阶连续偏导，
2u 2u 则 、 是连续的 xy yx 2 u P 2 u Q 即而 ＝ xy y yx x
y
B(x,y) • • D C(x+x,y) • A(x0,y0)
AB Pdx Qdy
只与B(x,y) 有关 o 故可令u(x,y)= AB Pdx Qdy
u u( x x, y ) u( x, y )
x
考察u(x,y)的可导性。 x, 使C ( x x, y) D
P 1 Q y x
所以此曲线积分与路径无关，
y
L A x
取 OA ：y=0 0≤x≤2
0
所以
2 2 ( x y ) d x ( x sin y)dy L
OA ( x y)dx ( x sin y)dy
2 2
x 0 x dx 3
2 2
AC Pdx Qdy AB Pdx Qdy AC Pdx Qdy BC Pdx Qdy AB Pdx Qdy
BC Pdx Qdy x
积分中值定理
x x
P ( x , y )dx
P ( x x ) x
P ( x x ) x u 从而 lim lim x 0 x x 0 x
3
2 0
8 3
2 2 4 ( x 2 xy ) dx ( x y )dy . 计算 例3 L
其中
x L 为由点O(0, 0) 到点 B(1, 1) 的曲线弧 y sin . 2
解
P 2 ( x 2 xy ) 2 x y y P Q ， Q 2 y x ( x y4 ) 2 x x x 原积分与路径无关
(2)
L Pdx Qdy在D内与路径L无关.
x y
(3) 在D内存在一个函数u(x,y),使得 u u du(x,y)=Pdx+Qdy, 即 P, Q
Q P (4) 在D内处处成立. x y
证明 采用循环论证 (1) (2) 设A、BD
y
L1 F
B
E
L2
(4) (1)
设L D是按段光滑的封闭的曲 线，
L围成的区域为，由于D是单连通的，因此 D, 由Green公式得 Q P L Pdx Qdy ( x y )dxdy 0 综合之定理成立
有关定理的说明： (1) 区域D是单连通区域 ;
(2) 函数P(x,y),Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数. 两个条件缺一不可。
D
设连接A、B两点的弧段 L1、L2 D，如图 o 由(1)得
A
x
P d x Q d y 0 . AEBFA
Pdx Qdy
AEB Pdx Qdy BFA Pdx Qdy
即
L1
来自百度文库
L2
Pdx Qdy
故(2)成立。
(2) (3) 取定A(x0,y0)D B(x,y) D 由(2)得
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
价 ( 2)
C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
y x
命 ( 3) 在D内存在U ( x , y )使du Pdx Qdy 题 (4) 在D内, P Q
第四节 平面上曲线积分 与路径无关的条件
一、定义 二、条件 三、应用
一、定义
定义1. 设区域 DR2. 若D内任一简单曲线所围 内部完全属于D. 则称D为单连域, 否则称D为复连域.
单连域
复连域
定义2. 设D是一开区域,P、Q在D 内有一阶连续偏导数,若对任 意两点A，B以及从点A到点B 的任意两条曲线L1和L2，恒 有
o
y1
0
x
x P( x, y0 )dx y Q( x1 , y)dy
0
x1
或 y Q( x0 , y )dy x P ( x, y1 )dx
0 0
y1
x1
三、应用
例1. 证明：对任一光滑的简单闭曲线C，有
2 2 xy d x x dy 0 C
y
C 0 x
证：因为 P=2xy，Q=x2，有
故
( x ) x 2 .
( 0,0)
1
( 1 ,1 )
xy 2dx y( x )dy
1
1 0 0dx 0 ydy . 2
例5 计算曲线积分
L 2 y sin
2
x sin 2 x dx [sin x e
4
y ( x 1)2
]dy
其中L为 y 1 ( x 1)2 上由点O(0, 0)到点A(2, 0) 的一 段弧。
Q( x , y ) y( x ),
P Q 2 ( xy ) 2 xy, [ y( x )] y( x ), y y x x
P Q 积分与路径无关 ， y x
由 y( x ) 2 xy
( x ) x 2 c
由(0) 0 ，知c 0
lim P( x x ) =P(x,y) x 0
u 即 P ( x, y ) x
类似有
u Q( x, y) y
故在D内存在一个函数u(x,y),使得 du(x,y)=Pdx+Qdy, (3)成立
(3) (4) 设 D内存在一个函数u(x,y),使得 du(x,y)=Pdx+Qdy
0 0
B( x , y )
且具有du(x,y)=Pdx+Qdy， 称u(x,y)为Pdx+Qdy的一个原函数。
y
若 P Q y x
A( x0 , y0 )
B( x1 , y1 )
C ( x1 , y0 )
则
A( x , y ) Pdx Qdy
0 0
B ( x1 , y1 )
解 原式 L 2 y sin2 x sin 2 x dx sin4 x dy L e y ( x 1) dy
2
(0,0) d ( y sin4 x ) L edy
( 2,0 )
=0+0=0
小结
与路径无关的四个等价命题 条 在单连通开区域D 上 P ( x , y ), Q( x , y ) 具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
故原式
1
0
23 x dx 0 (1 y )dy . 15
2 1 4
2 设曲线积分 xy 例4 dx y( x )dy 与路径无关,
其中 具有连续的导数, 且( 0) 0 , 计算
( 1 ,1 ) ( 0,0 )
L
xy 2dx y( x )dy .
2
解
P ( x, y ) xy ,