2020人教A版数学必修一章末整合提升1

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新教材人教A版高中数学选择性必修一教案设计-第二章章末综合提升

[巩固层·知识整合][提升层·题型探究](教师独具)直线的倾斜角与斜率范围是()A．－3＜k≤0B．k＞－ 3C．k≥0或k＜－ 3D．k≥0或k＜－3 3(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．(1)C[通过画图可知k＜－3或k≥0.故选C.](2)[解]由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan 45°＝1，又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝k l，即5－y1x2－2＝1－53－x2＝1，解得x2＝7，y1＝0.求直线的倾斜角与斜率的注意点(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．[跟进训练]1．已知直线ax＋y＋2＝0及两点P(－2,1)，Q(3,2)，若直线与线段PQ相交，则实数a的取值范围是()A．a≤－43或a≥32B．a≤－32或a≥43C．－43≤a≤32D．－32≤a≤43A[因为直线ax＋y＋2＝0过定点A(0，－2)，根据题意画出几何图形如图所示：直线ax ＋y ＋2＝0可化为y ＝－ax －2，因为P (－2,1)，Q (3,2)，则k AP ＝1－(－2)－2－0＝－32，k AQ ＝2－(－2)3－0＝43.若直线y ＝－ax －2与线段PQ 相交，即－a ≥43或－a ≤－32，所以a ≤－43或a ≥32.]求直线的方程2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在的直线方程为x －2y －5＝0.求：(1)AC 所在的直线的方程； (2)点B 的坐标．[思路探究] (1)直线AC 过A 点且与BH 垂直，可求直线方程．(2)B 点在直线BH 上，线段AB 的中点在中线CM 上，列方程组求得B 点坐标． [解] (1)因为AC ⊥BH ，所以设AC 所在的直线的方程为2x ＋y ＋t ＝0. 把A (5,1)代入直线方程2x ＋y ＋t ＝0中，解得t ＝－11. 所以AC 所在的直线的方程为2x ＋y －11＝0. (2)设B (x 0，y 0)，则AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0－2y 0－5＝0，2×x 0＋52－y 0＋12－5＝0.化简得⎩⎨⎧ x 0－2y 0－5＝0，2x 0－y 0－1＝0.解得⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－3.故B (－1，－3)．求直线方程的方法求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况．[跟进训练]2．已知△ABC 中，A (1,3)，AB ，AC 边上中线所在直线方程分别为x －2y ＋1＝0和y －1＝0，求△ABC 各边所在的直线方程.[解] 设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ，其中D ，E 为中点， ∵点B 在中线y －1＝0上， ∴设点B 的坐标为(x B,1)．∵点D 为AB 的中点，又点A 的坐标为(1,3)， ∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ＋12，2.∵点D 在中线CD ：x －2y ＋1＝0上， ∴x B ＋12－2×2＋1＝0，∴x B ＝5. ∴点B 的坐标为(5,1)．∵点C 在直线x －2y ＋1＝0上， ∴设点C 的坐标为(2t －1，t )． ∴AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t ＋32. ∵点E 在中线BE ：y ＝1上， ∴t ＋32＝1，∴t ＝－1. ∴点C 的坐标为(－3，－1)，∴△ABC 各边所在直线的方程为AB ：x ＋2y －7＝0， BC ：x －4y －1＝0，AC ：x －y ＋2＝0.两直线的平行、垂直及距离问题12足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．[思路探究] (1)把(－3，－1)代入l 1方程，同时运用垂直条件A 1A 2＋B 1B 2＝0；(2)利用好平行条件及距离公式列方程．[解] (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0. 即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a ， ∴l 1的斜率也存在，ab ＝1－a ，即b ＝a 1－a. 故l 1和l 2的方程可分别表示为 l 1：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0， l 2：(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0. ∵原点到l 1与l 2的距离相等，∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，解得a ＝2或a ＝23. 因此⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.距离公式的运用(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离． (2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力．[跟进训练]3．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．[解] (1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x ＋y －5＋λ(x －2y )＝0, 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝12或λ＝2. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，过P 作任一直线l (图略)，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)．所以d max ＝|P A |＝10.对称问题1．怎样求点关于点的对称点？[提示] 设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解． 2．怎样求点关于直线的对称点坐标？[提示] 设出所求点坐标(x, y )，利用中点坐标公式建立关于x, y 的第一个方程，再利用垂直关系建立x, y 的另一个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解．【例4】光线通过点A (2, 3)，在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射，反射光线经过点B (1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．[解] 设点A (2,3)关于直线l 的对称点为A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1.解之得，A ′(－4，－3)．由于反射光线经过点A ′(－4，－3)和B (1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y －1＝(x －1)·1＋31＋4，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎨⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13.所以入射光线所在直线的方程为 y －3＝(x －2)·3＋132＋23，即5x －4y ＋2＝0.综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x －4y ＋2＝0,4x －5y ＋1＝0.1．[变结论]在本例条件不变的情况下，求光线从A 经反射后到达B 点所经过的路程．[解] 由本例解析知，点A (2,3)关于直线l 的对称点为A ′(－4，－3)．所以从A 发出光线经l 反射后到达B 的路程为|A ′B |.即|A ′B |＝(－4－1)2＋(－3－1)2＝41.2．[变条件]把本例条件中“直线l ：x ＋y ＋1＝0”改为“直线l 为x 轴”，其他条件不变，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．[解] 点A (2,3)关于x 轴对称点为A ′(2，－3)． ∴反射光线方程为y ＋31＋3＝x －21－2，即4x ＋y －5＝0. 又∵反射光线与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0.∴入射光线方程为y －03－0＝x －542－54，即4x －y －5＝0.对称问题的求解策略(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键．(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；②两点的中点在已知直线上．(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解．求圆的方程得的弦长为27，求圆C的方程．[思路探究]设标准方程，由相切可得d＝r，由圆心在直线上，可将(a，b)代入直线方程，由已知弦长可列出弦长公式．通过方程组求解，从而得到圆的方程．[解]设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由圆C与y轴相切得|a|＝r，①又圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，②圆心C(a，b)到直线y＝x的距离为d＝|a－b|2，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形，∴⎝⎛⎭⎪⎫|a－b|22＋(7)2＝r2.③联立①②③解方程组可得⎩⎨⎧a1＝3，b1＝1，r1＝3或⎩⎨⎧a2＝－3，b2＝－1，r2＝3.故圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.1．求圆的方程的方法求圆的方程主要是联立圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式．(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组)．(3)解出a, b, r(或D, E, F)．(4)代入圆的方程．[跟进训练]4．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y －29＝0相切，求圆的方程．[解]设圆心为M(m,0)(m∈Z)，由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以|4m－29|5＝5，即|4m－29|＝25，因为m为整数，故m＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.直线与圆的位置关系y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．[思路探究](1)根据圆与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径；(2)根据垂径定理确定等量关系，求直线方程．[解]圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y 0＜7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d ，然后比较所求距离d 与半径r 的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系．[跟进训练]5．已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短，求此弦长． [解] (1)证明：直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)，由点斜式可知，直线过点P (4, －3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交．(2)如图，当圆心C (3, －6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，所以直线l 的斜率为－13，所以m ＝－16. 在△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5，所以|AP |2＝|AC |2－|PC |2＝25－10＝15，所以|AP |＝15，所以|AB |＝215，即最短弦长为215.圆与圆的位置关系12(1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．[解] (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13； C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝(－2－4)2＋(2＋2)2＝213＝r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为 x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.判断两圆位置关系的两种方法比较(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系． (2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．[跟进训练]6.在平面直角坐标系xOy 中，过点P (0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ，B ，与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ，D .若AB ＝372，求CD 的长．[解] 因为AB ＝372，圆O 半径为2，所以点O 到直线AB 的距离为14，显然AB ，CD 都不平行于坐标轴．可知AB ：y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0. 则点O 到直线AB 的距离d ＝1k 2＋1＝14，解得k ＝±15. 因为AB ⊥CD ，所以k CD ＝－1k ，所以CD ：y ＝－1k x ＋1，即x ＋ky －k ＝0. 点M (2,1)到直线CD 的距离d ′＝2k 2＋1＝12，所以CD ＝21－d ′2＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3. [培优层·素养升华]【例】已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －7＝0内一点P (－1,2)，直线l 过点P 且与圆C 交于A ，B 两点．(1)求圆C的圆心坐标和面积；(2)若直线l的斜率为3，求弦AB的长；(3)若圆上恰有三点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．[思路探究](1)化圆的一般式为标准方程，得出圆C的圆心坐标为(－1,0)，半径r＝22即可．(2)先求圆心到直线的距离为d，再利用半径r，距离d，半弦长构成直角三角形求解即可．(3)圆上恰有三点到直线l的距离等于2，等价于圆心(－1,0)到直线AB的距离为r2＝2，利用点到直线的距离公式求解．[解](1)圆C的圆心坐标为(－1,0)，半径r＝22，面积为S＝8π.(2)直线l的方程为y－2＝3(x＋1)，即3x－y＋2＋3＝0，圆心到直线l的距离为d＝|－3＋2＋3|(3)2＋1＝1，|AB|＝2r2－d2＝2(22)2－1＝27.(3)因圆上恰有三点到直线l的距离等于2，转化为圆心(－1,0)到直线AB的距离为r2＝2，当直线l垂直于x轴时，显然不合题意；设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋2＋k＝0，由d＝|－k＋2＋k|k2＋1＝2k2＋1＝2，解得k＝±1，故直线l的方程为x－y＋3＝0，或x＋y－1＝0.1.本题反映的是本章的重点热点问题，综合考查了圆的方程、直线的方程、距离公式、两直线的位置关系及直线与圆的位置关系．2．通过考查这些知识点和题型，培养了学生直观想象，逻辑推理，数学建模、数学运算的核心素养．3．本题考查知识点全面且基本，属中档题．[跟进训练]7．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值． [解] (1)证明：圆的方程可整理为 (x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0，此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎨⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2，即2＋5(a －2)2＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|，即|5(a －2)2－2|＝5a 2，解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)．综上所述，a ＝1±55.。

章末梳理1-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件(共44张PPT)

当 m＝0 时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，满足 A∪B＝A．
(2)因为 A∩B＝∅，所以 0∉B，且 1∉B，所以 a≥1.
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第一章集合与常用逻辑用语
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 利用集合的运算求参数的范围的注意点 (1)要弄清楚集合运算的结果或可能的结果，再根据其中的结果判定参数的值或范围． (2)当集合的运算较为复杂时，要借助于数轴或韦恩图解决问题． (3)注意参数的值或范围应该满足集合中元素的互异性．
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第一章集合与常用逻辑用语
数学(必修 · 第一册 · RJA)
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，也是数学表达和交流的工具．结合初中学过的平面几何和代数知识，我们学习了常用逻辑用语，发现初中学过的数学定义、定理、命题都可以用常用逻辑用语表达，利用常用逻辑用语表述数学内容、进行推理论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，从而提升我们的逻辑推理素养．
定义法是判断充分、必要条件最根本、最适用的方法
集合法
记条件p，q对应的集合分别是A，
B．若A B，则p是q的充分不必要条
件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件
适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示”的情况
所以∁RA＝{x|x<0或x>2}．
因为(∁RA)∪B＝R.(如图)
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第一章集合与常用逻辑用语
数学(必修 · 第一册 · RJA)
所以 aa＋≤03，≥2，所以－1≤a≤0.即 a 的取值范围是[－1,0]． (2)由(1)知当(∁RA)∪B＝R 时，－1≤a≤0，则 a＋3∈[2,3]，所以 A⊆B，这与 A∩B＝∅矛盾．即这样的 a 不存在．

2019-2020学年新一线同步人教A版数学必修1_=第二章章末整合

专题一
专题二
专题三
变式训练2已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a<0. 解:(1)若a=0,则原不等式为-2x<0,故解集为{x|x>0}. (2)若a>0,Δ=4-4a2. ①当Δ>0,即0<a<1时,方程ax2-2x+a=0的两根为 x1=1- ��1��-��2,x2=1+ ��1-��2,
专题一
专题二
专题三
专题突破深化提升
变式训练
1
若实数
a,b
满足1
��
+
2 ��
=
��,则 ab 的最小值为(
)
A. 2
B.2
C.2 2 D.4
解析:(方法
1)由已知得1��
+
2 ��
=
��+2��
=
��,
专题突破深化提升
专题一
专题二
专题三
解:(1)当 m=1 时,y=x+��1-1=x-1+��1-1+1.#43;��1-1+1≥2 (��-1)·��1-1+1=3,
当且仅当 x-1=��1-1,即 x=2 时取等号, 所以当 x>1 时函数的最小值为 3.
专题一
专题二
专题三
专题突破深化提升
解法二依据 a 的取值进行分类讨论:
(1)当 a=0 时,-2x+2>0 在(1,4)上不成立;

人教A版高中同步训练数学必修第一册精品课件第5章三角函数章末核心素养整合

=2sin(x+ + )+2sin - =-2sin - +2sin - =0.

(方法二)原式=sin xcos +cos xsin +2sin x·cos -2cos xsin

− cos cos x- sin sin x

=sin x+ cos x+sin x- cos x+ cos x-sin x=0.

D.先向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长

到原来的 2 倍,纵坐标不变
答案:A
解析:由题图知 A=1,最小正周期

T= −

-
=π,

所以 ω= =2.所以 y=sin(2x+φ).

又图象过点 , ,

由“五点法”知 +φ=π,所以 φ=.所以 y=sin + .
f(α)=
.
(-)(--)
(1)化简 f(α);
(2)若 cos

=

,求

f(α)的值;
(3)若 α=-1 920°,求 f(α)的值.
解:(1)由题意,利用三角函数的诱导公式,
[-(+)]
-
化简得 f(α)=
=
=cos
-[-(+)]

所以函数 f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+] (k∈Z).

2020-2021学年新教材数学人教A版必修第一册：第3章章末综合提升

[巩固层·知识整合][提升层·题型探究](教师独具)圆锥曲线的定义及应用【例1】(1)已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M 的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________.(1)C(2)60°[(1)把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝|3x＋4y－12|5.∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．(2)双曲线方程16x2－9y2＝144，化简为x29－y216＝1，即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义知|m －n |＝2a ＝6，又已知m ·n ＝64，在△PF 1F 2中，由余弦定理知 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝m 2＋n 2－(2c )22m ·n＝(m －n )2＋2m ·n －4c 22m ·n＝36＋2×64－4×252×64＝12.所以∠F 1PF 2＝60°.]“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．[跟进训练]1．若A (3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，P 为抛物线上任意一点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．72 [设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF |＝|PD |， ∴要求|P A |＋|PF |取得最小值，即求|P A |＋|PD |取得最小值，当D ，P ，A 三点共线时|P A |＋|PD |最小，为3＋12＝72.]圆锥曲线的方程【例2】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(2)已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于A ，B 两点，且a ＝2b .若|AB |＝25，求椭圆的方程．(1)C [法一：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎨⎧c ＝2a ，b ＝3a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .依题意，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a 到直线y ＝3x 的距离分别为d 1，d 2，因为d 1＋d 2＝6，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪3c －b 2a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪3c ＋b 2a 2＝6，所以23a －3a 2＋23a ＋3a 2＝6，解得a ＝3，所以b ＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.法二：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎨⎧c ＝2a ，b ＝3a ，如图所示，由d 1＋d 2＝6，即|AD |＋|BE |＝6，可得|CF |＝3，故b ＝3，所以a ＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.](2)[解]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0.由Δ＝16－4(8－2b 2)＞0，得b 2＞2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2. ∵|AB |＝25，∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25，即52·16－4(8－2b 2)＝25，解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16. ∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．[跟进训练]2．(1)以直线3x ±y ＝0为渐近线，一个焦点坐标为F (0,2)的双曲线方程是( ) A ．y 2－x 23＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 23－y 2＝1 D ．y 23－x 2＝1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．(1)D [设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为焦点在y 轴上，所以方程可化为y 2－λ－x 2－λ3＝1，由条件可知－λ－λ3＝4，解得λ＝－3.所以双曲线方程为3x 2－y 2＝－3，即y 23－x 2＝1.](2)[解] 由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3，即双曲线的渐近线方程为y ＝±3x . 由题意得，抛物线的准线方程为x ＝－p2，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p ·p2＝3，解得p ＝2或p ＝－2(舍)．所以抛物线的标准方程为y 2＝4x .圆锥曲线性质及应用【例3】 (1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13D ．14(2)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．233[思路探究] (1)利用数形结合，采取三角函数定义建立方程求解； (2)根据弦长建立方程，求解．(1)D(2)A[(1)由题意易知直线AP的方程为y＝36(x＋a)，①直线PF2的方程为y＝3(x－c)．②联立①②，得P点纵坐标y＝35(a＋c)，如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝35(a＋c)．因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，PH＝35·(a＋c)，所以sin 60°＝PHPF2＝35(a＋c)2c＝32，即a＋c＝5c，即a＝4c，所以e＝ca＝14.故选D.(2)由题意可知圆的圆心为(2,0)，半径为2.因为双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±ba x，即bx±ay＝0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，所以|2b|a2＋b2＝22－12，所以ba＝ 3.故离心率e＝1＋b2a2＝2.故选A.]求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．1．本例(2)条件改为“双曲线左、右焦点为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 2作C 的渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，求C 的离心率．”[解] 点F 2(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离|PF 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪bc a －01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝b (b ＞0)，而|OF 2|＝c ，所以在Rt △OPF 2中，由勾股定理可得|OP |＝c 2－b 2＝a ，所以|PF 1|＝6|OP |＝6a . 在Rt △OPF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc，在△F 1F 2P 中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝b 2＋4c 2－6a 22b ·2c，所以b c ＝b 2＋4c 2－6a 24bc ⇒3b 2＝4c 2－6a 2，则有3(c 2－a 2)＝4c 2－6a 2，解得ca ＝3(负值舍去)，即e ＝ 3.2．本例(2)条件改为“双曲线的一条渐近线经过(3，－4)，求其离心率”． [解] 由条件知双曲线的焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±b a x ，把(3，－4)代入y ＝－ba x ，得－4＝－b a ×3，∴b a ＝43. ∴离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53.直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线关系中，常见的有哪几种问题．[提示] 公共点个数问题，弦长问题、中点弦问题、定点、定值问题及最值问题．2．圆锥曲线中如何处理定点问题？[提示] ①引进参数法．引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．②特殊到一般法．根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例4】设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右顶点是A (2,0)，离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆交于两点M ，N (M ，N 不同于点A )，若AM →·AN →＝0，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标．[思路探究] (1)由椭圆右顶点的坐标为A (2,0)，离心率e ＝12，可得a ，c 的值，由此可得椭圆C 的方程；(2)当直线MN 斜率不存在时，设l MN ：x ＝m ，易得m ＝27，当直线MN 斜率存在时，直线MN ：y ＝kx ＋b (k ≠0)，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立，得(4k 2＋3)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，由AM →·AN →＝0可得b ＝－27k ，从而得证．[解] (1)右顶点是A (2,0)，离心率为12，所以a ＝2，c a ＝12，∴c ＝1，则b ＝3， ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线MN 斜率不存在时，设l MN ：x ＝m ，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立得：|y |＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24，|MN |＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24，设直线MN 与x 轴交于点B ，|MB |＝|AB |，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24＝2－m ， ∴m ＝27或m ＝2(舍)，∴直线m 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0；当直线MN 斜率存在时，设直线MN 斜率为k ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则直线MN ：y ＝kx ＋b (k ≠0)，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立，得(4k 2＋3)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0， x 1＋x 2＝－8kb4k 2＋3，x 1x 2＝4b 2－124k 2＋3，y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2， Δ＝(8kb )2－4(4k 2＋3)(4b 2－12)＞0，k ∈R ， AM →·AN →＝0，则(x 1－2，y 1)(x 2－2，y 2)＝0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝0，∴7b 2＋4k 2＋16kb ＝0， ∴b ＝－27k 或b ＝－2k ，∴直线l MN ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27或y ＝k (x －2)，∴直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0或(2,0)舍去；综上知直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.1．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)证明代数式为定值．依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形．(3)求某线段长度为定值．利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形即可．2．圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．[跟进训练]3.已知椭圆E 的中心在坐标原点，两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，短半轴长为2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过焦点F 2的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，满足F 1A →⊥F 1B →，求直线l 的方程．[解] (1)由题意，椭圆E 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，短半轴长为2，可得c ＝1，b ＝2，则a ＝b 2＋c 2＝5，所以椭圆E 的标准方程x 25＋y 24＝1；(2)由题意知直线l 与x 轴不重合，设直线l ：x ＝ny ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧4x 2＋5y 2＝20x ＝ny ＋1，整理得(4n 2＋5)y 2＋8ny －16＝0，可得y 1＋y 2＝－8n 4n 2＋5，y 1y 2＝－164n 2＋5，又由F 1A →⊥F 1B →，则F 1A →·F 1B →＝0，得(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2)＝0，代入直线可得(ny 1＋2，y 1)·(ny 2＋2，y 2)＝0，即 (n 2＋1)y 1y 2＋2n (y 1＋y 2)＋4＝0，代入可得(n 2＋1)⎝⎛⎭⎪⎫－164n 2＋5＋2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－8n 4n 2＋5＋4＝0，解得n 2＝14，所以直线l 的方程为x ＝±12y ＋1，即直线l 的方程为：2x ＋y －2＝0或2x －y －2＝0.[培优层·素养升华]【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且与抛物线y 2＝x 交于M ，N 两点，△OMN (O 为坐标原点)的面积为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，点A 为椭圆上一动点(非长轴端点)，F 1，F 2为左、右焦点，AF 2的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．[思路探究] (1)由题意求得a ，b ，c 的值即可确定椭圆方程；(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系和均值不等式即可确定三角形面积的最大值．[解] (1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线y 2＝x 交于M ，N 两点，可设M (x ，x )，N (x ，－x )，∵△OMN 的面积为22， ∴x x ＝22，解得x ＝2，∴M (2，2), N (2，－2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝224a 2＋2b 2＝1a 2＝b 2＋c2，解得a ＝22，b ＝2，c ＝2，∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A (2，2)，B (2，－2)，C (－2，－2)，故S △ABC ＝12×22×4＝42；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 28＋y 24＝1，化简得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8k 2－8＝0，则Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－8)＝32(k 2＋1)＞0， x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1·x 2＝8k 2－82k 2＋1，|AB |＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2] ＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 22k 2＋12－4·8k 2－82k 2＋1 ＝42·k 2＋12k 2＋1，点O 到直线kx －y －2k ＝0的距离d ＝|－2k |k 2＋1＝2|k |k 2＋1，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d ＝4|k |k 2＋1，∴S △ABC ＝12|AB |·2d ＝12·⎝⎛⎭⎪⎫42·k 2＋12k 2＋1·4|k |k 2＋1＝82·k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2.∵k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2＝k 2(k 2＋1)[k 2＋(k 2＋1)]2≤k 2(k 2＋1)4k 2(k 2＋1)＝14，又k 2≠k 2＋1，所以等号不成立． ∴S △ABC ＝82·k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2＜42，综上，△ABC 面积的最大值为4 2.(1)本题属于直线与圆锥曲线的综合问题．这类题目常出现在高考题的压轴题位置．难度属于中难程度．(2)本题以椭圆为载体，考查了直线及椭圆与数学运算能力、逻辑推理能力． (3)解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：①注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； ②强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．[跟进训练]4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，离心率为32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点(－3,0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，O 为坐标原点，求OM →·ON →的取值范围．[解] (1)因为椭圆C 的短轴长为2，所以2b ＝2，所以b ＝1，又椭圆C 的离心率为32，所以c a ＝a 2－b 2a ＝a 2－1a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝k (x ＋3)代入x 24＋y 2＝1，消去y 可得 (1＋4k 2)x 2＋24k 2x ＋36k 2－4＝0，所以Δ＝(24k 2)2－4×(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0，即k 2＜15，且x 1＋x 2＝－24k 21＋4k 2，x 1x 2＝36k 2－41＋4k 2，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1＋3)·k (x 2＋3)＝(1＋k 2)x 1x 2＋3k 2(x 1＋x 2)＋9k 2＝(1＋k 2)·36k 2－41＋4k 2＋3k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 21＋4k 2＋9k 2＝41k 2－41＋4k 2＝－4＋57k 21＋4k 2，因为0≤k 2＜15，所以0≤57k 21＋4k 2＜193，所以－4≤－4＋57k 21＋4k2＜73，所以OM →·ON →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，73.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

高中数学第三章函数的应用章末整合提升课时作业(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学

第三章函数的应用章末整合提升A 级基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( D ) A ．(1，－4) B ．(4，－1) C ．1，－4D ．4，－1[解析] 由x 2－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1.2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( D )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内D ．等于a ＋b2[解析] 根据二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点，x 0＝a ＋b2，故选D ．3．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？( C )A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．2029年[解析] 设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x＞12，即1.2x＞6，∴x ＞lg6lg1.2≈9.8，取x ＝10，故选C ．4．(2019·某某某某市高一期末测试)函数f (x )＝2x＋x －4，则f (x )的零点所在的大致区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析]f (0)＝20－4＝－3<0，f (1)＝2＋1－4＝－1<0， f (2)＝22＋2－4＝2>0，∴f (1)·f (2)<0，故选B ．5．向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( B )[解析] 解法一：很明显，从V 与h 的函数图象看，V 从0开始后，随h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选B ．解法二：取特殊值h ＝H 2，可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析，排除A ，C ，D ，应选B ．解法三：取模型函数为y ＝kx 13(k >0)，立即可排除A ，C ，D ，故选B ．6．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m[解析] 设隔墙的长度为x m ，即矩形的宽为x m ，则矩形的长为24－4x 2m(0<x <6)，∴矩形的面积S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S max ＝18.∴当隔墙的长度为3 m 时，矩形的面积最大，最大为18 m 2. 二、填空题7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7x <0x x ≥0，f (a )<1，则实数a 的取值X 围是__(－3,1)__.[解析] 当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，a <1， ∴0≤a <1.综上可知－3<a <1.故实数a 的取值X 围是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是__4__(lg2≈0.301 0)．[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每X 收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每X 减少10元，直至每X 降为450元为止．某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．假设一个旅行团不能超过70人．(1)写出每X 飞机票的价格关于人数的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团的人数为x ，机票价格为y ，则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤30900－x －30·1030＜x ≤70，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤301 200－10x 30＜x ≤70.(2)设旅行社可获得利润为Q ，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤3012 000－10x x －15 00030＜x ≤70，即Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤30－10x 2＋1 200x －15 00030＜x ≤70.当x ∈[1,30]时，Q max ＝900×30－15 000＝12 000(元)，当x ∈(30,70]时，Q ＝－10(x －60)2＋21 000，所以当x ＝60时，Q max ＝21 000(元)，所以当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元．B 级素养提升一、选择题1．方程4x＝4－x 的根所在区间是( B )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 由4x＝4－x ，得4x＋x －4＝0，令f (x )＝4x＋x －4， ∴方程4x＝4－x 的根即为函数，f (x )＝4x＋x －4的零点，f (－1)＝4－1－1－4＝－194<0，f (0)＝40－4＝1－4＝－3<0， f (1)＝4＋1－4＝1>0，f (2)＝42＋2－4＝14>0， f (3)＝43＋3－4＝63>0，∴f (0)·f (1)<0，故选B ．2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( A )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系式分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( D )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D ．4．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，至2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每年比上一年都增长p %.下面给出了依据“至2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p 的四个关系式：①(1＋p %)×10＝2；②(1＋p %)10＝2； ③lg(1＋p %)＝2；④1＋10×p %＝2. 其中正确的是( B ) A ．① B ．② C ．③D ．④[解析] 设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p %，由题意，得(1＋p %)10＝2，故选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x ＋2a 有两个不同的零点，则a 的取值X 围是__(－∞，98)__.[解析] 令x 2－3x ＋2a ＝0，由题意得Δ＝9－8a >0， ∴a <98.6．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析]∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．三、解答题7．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围．[解析] 由题意知，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)，观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2m ＋1<0f－1＝2>0f1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.所以m 的取值X 围是(－56，－12)．8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解析] (1)由题意可知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，∴5log 2Q 10＝0，∴log 2Q10＝0，∴Q10＝1，∴Q ＝10.∴当燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)由题意可知，当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度v ＝5log 28010＝5log 28＝5×3＝15.∴它的飞行速度是15 m/s.9．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值X 围．[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx (1－x m)(0<x <m )．(2)y ＝kx (1－x m )＝－km (x 2－mx )＝－k m (x －m2)2＋km4，∵0<x <m ，∴当x ＝m 2时，y 取得最大值km4. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km4<m ，解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.。

第二章章末整合-高中同步学案优化设计数学A版必修第一册配人教版教学课件

1)x-1=0有两个实数根.
(2)解由根与系数的关系知x1+x2=
由题意知x1+x2=0,∴k=1.
−1
,

ห้องสมุดไป่ตู้
1
(3)解当 k>0 时,x1=1,x2=- <0,不符合题意;

1
- > 2,
1
1
当-1≤k<0 时,x1=- ,x2=1,2< <3,得 1
解得-2<k<-3;当 k<-1
4 ≠ 0,
2
= (-4) -4 × 4( + 1) = -16 ≥ 0,
解得 k<0.又 x1,x2 是一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根,∴
1 + 2 = 1,
1 2 =
+1
4
.
∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2(12
+
+9 3
9
2
2
2 )-5x1x2=2(x1+x2) -9x1x2=- 4 =-2.∴k=5.又
式,可分a>0和a<0两类,借助(1)(2)两种情况进行解答.
变式训练3设函数y=ax2+(b-2)x+3(a≠0).
(1)若不等式y>0的解集为{x|-3<x<1},求a,b的值;
(2)若b=-a,求不等式y≤1的解集.
解 (1)由不等式 y>0 的解集为{x|-3<x<1},可知方程 ax2+(b-2)x+3=0 的两
3
(1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-2成立?若存在,求出 k 的值;若不存

人教A版新教材高中数学必修第一册第一章章末检测试卷(一)

二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部分选对的
得 3 分，有选错的得 0 分)
9．已知 U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则( )
A．M∩N＝{4,6}
B．M∪N＝U
C．(∁UN)∪M＝M 答案 BCD
(2)∵B＝{x|x<1}，∴∁RB＝{x|x≥1}． ∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}． 15．已知集合 A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若 x∈A 是 x∈B 成立的一个充分不必
要条件，则实数 m 的取值范围是________．
答案 {m|m>1}
解析由 x∈A 是 x∈B 成立的一个充分不必要条件，
解 (1)由 x－1>0 得 x>1，即 B＝{x|x>1}．所以 A∩B＝{x|1<x<2}，A∪B＝{x|x>－1}． (2)集合 A－B 如图中的阴影部分所示．
由于 A－B＝{x|x∈A，且 x∉B}，又 A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，所以 A－B＝{x|－1<x≤1}． 21．(12 分)已知非空集合 P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}． (1)若 a＝3，求(∁RP)∩Q； (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．解因为 P 是非空集合，所以 2a＋1≥a＋1，即 a≥0. (1)当 a＝3 时，P＝{x|4≤x≤7}，∁RP＝{x|x<4 或 x>7}， Q＝{x|－2≤x≤5}，所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}． (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即 PQ，

人教A版高中数学选择性必修第一册第3章章末复习课时练习题

章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1(1)已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对答案C解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝|3x＋4y－12|5.∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M 满足PD →＝2MD →，动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解方法一由PD →＝2MD →，知点M 为线段PD 的中点，设点M 的坐标为(x ，y )，则点P 的坐标为(x ，2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 2＋(2y )2＝4，所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. 方法二设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)，由PD →＝2MD →，得x 0＝x ，y 0＝2y ，因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，(*)把x 0＝x ，y 0＝2y 代入(*)式，得x 2＋4y 2＝4，所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. 反思感悟(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．跟踪训练1(1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．答案x 2－y 23＝1 解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，c a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3，因此双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2,3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标．解抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小，且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4，所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点．(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2(1)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是()A.2B.3C.32D.62答案D解析由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. (2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________．答案x ±2y ＝0解析设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a. 因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0.反思感悟求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．跟踪训练2(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ，A ，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若△ABO 的面积是3c 2，则此椭圆的离心率是()A.12B.32C.22D.33答案A解析12ab ＝3c 2，即a 2(a 2－c 2)＝12c 4，所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0，所以a 2＝4c 2，a ＝2c ，故e ＝c a ＝12. (2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为_________．答案x ±y ＝0解析c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p 24b 2＝1.② 由|F A |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③ 由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②，得c 2a 2＝2. ∴a 2＋b 2a 2＝2，即b a＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0.三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例3已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．解(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4(m 2－3)] ＝1524－m 2.由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33. 反思感悟(1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断．(2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，直线l ：x ＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，求a 的取值范围．解(1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ，由A (2,0)，得a ＝2，∴c ＝2，b ＝2，∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)由e ＝22，设椭圆方程为x 2a 2＋2y 2a2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2＋2y 2a 2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0，若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解．设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，f (0)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0， ∴43≤a 2≤4，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2)，A ，B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)若OA ⊥OB ，求△AOB 面积的最小值．解(1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2，2)知4p ＝4，解得p ＝1.则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，准线方程为x ＝－12. (2)由题意知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线AB ：x ＝ty ＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2a ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2a .因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 21y 224＋y 1y 2＝0，解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4.所以－2a ＝－4，解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2.所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4.当且仅当y 1＝2，y 2＝－2或y 1＝－2，y 2＝2时，等号成立．所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟(1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．跟踪训练4已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2，y 0)(y 0>0)作两条直线l 1，l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ，B ，若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解由题意可知，动圆圆心P 到点⎝⎛⎭⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等，所以点P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫12，0为焦点，直线x ＝－12为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为y 2＝2x . (2)证明易知M (2,2)，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2，因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)，所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0，所以(b －1)2＝(2m －1)2，所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时，直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合，舍去；当b ＝2m 时，直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0，－2)，所以直线AB 过定点(0，－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为()A ．2sin40°B ．2cos40°C.1sin50°D.1cos50°答案D解析由题意可得－b a＝tan130°，所以e ＝1＋b 2a 2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos130°|＝1cos50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p 等于() A ．2B ．3C ．4D ．8答案D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p 2＝2p ，解得p ＝8，故选D. 3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为()A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 答案B解析由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a 2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝c a ＝1a.在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝(2m )2＋(3m )2－(3m )22×2m ·3m＝13，因为cos2θ＝1－2sin 2θ，所以13＝1－2⎝⎛⎭⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选B. 4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A (0,1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点．(1)解由题意，得b 2＝1，c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1.令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1. 又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1. 同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2. 所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k (t －1)(x 1＋x 2)＋(t －1)2 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t . 又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2. 解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0,0)．。

人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷含答案解析(32)

第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷（共26题）一、选择题（共10题）1. 已知集合 A =(−2,5]，B =[m +1,2m −1]，若 B ⊆A ，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (−3,3] B ． [−3,3] C ． (−∞,3] D ． (−∞,3)2. “a ≤0”是“函数 f (x )=∣(ax −1)∣x 在区间 (0+∞) 内单调递增”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若集合 A ={x∣ a <x <2a −1}，B ={x∣ 1<x <3}，且 A ⫋B ，则 a 的取值范围是 ( ) A ． a ≤1 B ． a <2 C ． 1<a <2 D ． a ≤24. “a >0”是“∣a ∣>0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若方程组 {3a 1x +2b 1y =5c 1,3a 2x +2b 2y =5c 2 的解集是 {(x,y )∣ (3,4)}，则方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 的解集是( ) A ． {(x,y )∣ (4,8)} B ． {(x,y )∣ (9,12)} C ． {(x,y )∣ (15,20)}D ． {(x,y )∣ (95,85)}6. 设集合 S ，T ，S ⊆N ∗，T ⊆N ∗，S ，T 中至少有两个元素，且 S ，T 满足： ①对于任意 x,y ∈S ，若 x ≠y ，都有 xy ∈T ； ②对于任意 x,y ∈T ，若 x <y ，则 y x∈S ．下列命题正确的是 ( ) A ．若 S 有 4 个元素，则 S ∪T 有 7 个元素 B ．若 S 有 4 个元素，则 S ∪T 有 6 个元素 C ．若 S 有 3 个元素，则 S ∪T 有 4 个元素 D ．若 S 有 3 个元素，则 S ∪T 有 5 个元素7. 若集合 {1,a,ba }={0,a 2,a +b }，则 a 2019+b 2020 的值为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． −1 D ． ±18. 若命题“存在 x 0∈R ，使 e ∣x 0−2∣∣−m ≤0”是假命题，则实数 m 的取值范围是 ( )A．(−∞,1)B．(−∞,2)C．(−1,1)D．(−∞,e)9.设整数n≥4，集合X={1,2,3,⋯,n}，令集合S={(x,y,z)∣ ∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}，若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中，则下列选项正确的是( ) A．(y,z,w)∈S，(x,y,w)∉SB．(y,z,w)∈S，(x,y,w)∈SC．(y,z,w)∉S，(x,y,w)∈SD．(y,z,w)∉S，(x,y,w)∉S10.命题“任意x∈[0,+∞)，有x3+x≥0”的否定是( )A．任意x∈(−∞,0)，有x3+x<0B．任意x∈(−∞,0)，有x3+x≥0C．存在x∈[0,+∞)，使x3+x<0D．存在x∈[0,+∞)，使x3+x≥0二、填空题（共8题）11.设命题p:k>5，b<5，命题q:一次函数y=(k−4)x+b−5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的条件；q是p的条件．（用“充分”“必要”填空）,1}含有三个元素，集合B={a2,a+b,0}，若A=B，则a+ 12.已知a,b∈R，集合A={a,bab=．13.写出∣x+y∣<2的一个必要非充分条件．14.设a，b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的条件．15.已知A={x∣ ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}，若A中只有一个元素，则a=，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是．16.“∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定是．17.已知条件p:2k−1≤x≤1−k，q:−3≤x<3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为．18.如果不等式∣x−m∣≤1成立的充分不必要条件是1<x≤2，则实数m的取值范围是．三、解答题（共8题）19.对于正整数集合A={a1,a2,⋯,a n}(n∈N∗,n≥3)，如果去掉其中任意一个元素a i(i=1,2,⋯,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．(1) 判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集（不必写过程）；(2) 请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集；(3) 当n=5时，集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，求证：集合A不是“和谐集”．20.如图，在半径为√3，圆心角为60∘的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在⊙B上，设矩形PNMQ的面积为y．(1) 按下列要求写出函数的关系式：①设PN=x,将y表示成x的函数关系式；②设∠POB=θ,将y表示成θ的函数关系式；(2) 请你选用( 1)中的一个函数关系式，求出y的最大值．21.已知集合A={a1,a2,a3,⋯,a n}，其中a i∈R(1≤i≤n,n>2)，l(A)表示a i+a j(1≤i<j≤n)的所有不同值的个数．(1) 已知集合P={2,4,6,8}，Q={2,4,8,16}，分别求l(P)，l(Q)；(2) 若集合A={2,4,8,⋯,2n}，求证：l(A)=n(n−1)2．22.用量词“∀”表达下列命题：(1) 实数都能写成小数形式；(2) 凸n边形（n≥3，且n∈N）的外角和等于360∘；(3) 任意一个实数乘−1都等于它的相反数．23.已知π2<α<π，sinα=45．(1) 求sinα+cosα的值；2sinα−cosα)的值．(2) 求cos2α+sin(α+π224.若集合A={x∣ x2+px−12=0}，B{x∣ x2+qx+r=0}，A≠B，A∪B={−3,4}，A∩B={−3}，求p，q，r的值．25.已知集合A={x∣ x<a}，B={x∣ x<−1或x>0}，若A∩(∁R)B=∅，求实数a的取值范围．26.给出下面三个集合：① {x∣ y=x2+1}；② {y∣ y=x2+1}；③ {(x,y)∣ y=x2+1}．(1) 它们各自的含义是什么？(2) 它们是不是相同的集合？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】当集合 B =∅ 时，m +1≥2m −1，解得 m ≤2，此时满足 B ⊆A ；当 B ≠∅，即 m >2 时，应有 {m +1>−2,2m −1≤5, 可得 2<m ≤3．综上可得，实数 m 的取值范围是 (−∞,3]．【知识点】包含关系、子集与真子集2. 【答案】C【解析】f (x )=∣(ax −1)x ∣=∣ax 2−x ∣，若 a =0，则 f (x )=∣x ∣，此时 f (x ) 在区间 (0,+∞) 上单调递增．若 a <0，则二次函数 y =ax 2−x 的图象的对称轴 x =12a在 y 轴左侧，且 x =0 时 y =0，此时 y =ax 2−x 在区间 (0,+∞) 上单调递减且 y <0 恒成立，故 f (x )=∣ax 2−x ∣ 在区间 (0,+∞) 上单调递增，故当 a ≤0 时，f (x ) 在区间 (0,+∞) 上单调递增．若 a >0，则二次函数 y =ax 2−x 的图象的对称轴 x =12a 在 y 轴右侧，且在区间 (0,12a) 上 y <0，此时 f (x )=∣ax 2−x ∣ 在区间 (0,12a ) 上单调递增，在区间 (12a ,1a ) 上单调递减，故函数 f (x ) 不可能在区间 (0,+∞) 上单调递增．【知识点】二次函数的性质与图像、充分条件与必要条件3. 【答案】D【知识点】包含关系、子集与真子集4. 【答案】A【解析】因为 ∣a ∣>0⇔a >0 或 a <0，所以 a >0⇒∣a ∣>0．但 ∣a ∣>0≠a >0，所以 a >0 是 ∣a ∣>0 的充分不必要条件，故选A ．【知识点】充分条件与必要条件5. 【答案】D【解析】因为方程组 {3a 1x +2b 1y =5c 1,3a 2x +2b 2y =5c 2的解集是 {(x,y )∣ (3,4)}，所以 {9a 1+8b 1=5c 1,9a 2+8b 2=5c 2,两边都除以 5 得 {95a 1+85b 1=c 1,95a 2+85b 2=c 2,对照方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2,可得方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 的解集为 {(x,y )∣ (95,85)}．【知识点】集合的表示方法6. 【答案】A【解析】首先利用排除法：若取 S ={1,2,4}，则 T ={2,4,8}，此时 S ∪T ={1,2,4,8}，包含 4 个元素，排除选项D ；若取 S ={2,4,8}，则 T ={8,16,32}，此时 S ∪T ={2,4,8,16,32}，包含 5 个元素，排除选项C ；若取 S ={2,4,8,16}，则 T ={8,16,32,64,128}，此时 S ∪T ={2,4,8,16,32,64,128}，包含 7 个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合 S ={p 1,p 2,p 3,p 4}，且 p 1<p 2<p 3<p 4，p 1,p 2,p 3,p 4∈N ∗，则 p 1p 2<p 2p 4，且 p 1p 2,p 2p 4∈T ，则p 4p 1∈S ，同理 p4p 2∈S ，p4p 3∈S ，p3p 2∈S ，p3p 1∈S ，p2p 1∈S ，若 p 1=1，则 p 2≥2，则 p 3p 2<p 3，故 p3p 2=p 2 即 p 3=p 22，又 p 4>p 4p 2>p 4p 3>1，故p 4p 3=p 4p 22=p 2，所以 p 4=p 23，故 S ={1,p 2,p 22,p 23}，此时 p 25∈T ，p 2∈T ，故 p 24∈S ，矛盾，舍．若 p 1≥2，则 p 2p 1<p 3p 1<p 3，故 p 3p 1=p 2，p2p 1=p 1 即 p 3=p 13，p 2=p 12，又 p 4>p 4p 1>p 4p 2>p 4p 3>1，故 p 4p 3=p4p 13=p 1，所以 p 4=p 14，故 S ={p 1,p 12,p 13,p 14}，此时 {p 13,p 14,p 15,p 16,p 17}⊆T ．若 q ∈T ，则qp 13∈S ，故qp 13=p 1i ，i =1,2,3,4，故 q =p 1i+3，i =1,2,3,4，即 q ∈{p 13,p 14,p 15,p 16,p 17}，故 {p 13,p 14,p 15,p 16,p 17}=T ，此时 S ∪T ={p 1,p 12,p 13,p 14,p 14,p 15,p 16,p 17}，即 S ∪T 中有 7 个元素．故A 正确．【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算7. 【答案】C}={0,a2,a+b}，易知a≠0，【解析】因为{1,a,ba所以b=0，所以a2=1，即a=±1．当a=1时，{0,a2,a+b}不满足集合中元素的互异性，所以a=−1，所以a2019+b2020=(−1)2019+02020=−1．【知识点】集合相等8. 【答案】A【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断9. 【答案】B【知识点】元素和集合的关系10. 【答案】C【解析】“任意x∈[0,+∞)”的否定为“存在x∈[0,+∞)”，“x3+x≥0”的否定为“x3+x<0”，因此原命题的否定为“存在x∈[0,+∞)，使x3+x<0”，故选C．【知识点】全（特）称命题的否定二、填空题（共8题）11. 【答案】充分；必要【知识点】充分条件与必要条件12. 【答案】−1【解析】因为A=B，0∈B，所以0∈A．又a≠0，=0，则b=0，所以ba所以B={a,a2,0}．因为1∈B，所以a2=1，a=−1或1，由元素的互异性知，a=−1，所以a+b=−1．【知识点】集合相等13. 【答案】∣x+y∣<3等（答案不唯一）【解析】设所求条件为 α，则 α⇒∣x +y ∣<2，而 ∣x +y ∣<2⇒α，依据推出关系与集合包含关系写出对应的语句． ∣x +y ∣<3⇒∣x +y ∣<2，∣x +y ∣<2⇒∣x +y ∣<3，所以 ∣x +y ∣<3 是 ∣x +y ∣<2 的一个必要非充分条件．【知识点】充分条件与必要条件14. 【答案】既不充分又不必要【知识点】充分条件与必要条件15. 【答案】 0 或 1 ； (−∞,1]【解析】当 a =0 时，x =−12，所以 A ={−12}，符合题意；当 a ≠0 时，Δ=4−4a =0⇒a =1，所以 A ={−1}，符合题意．综上，a =0或1．若 A 中只有一个元素，则 a =0或1；若 A 中有两个元素，则 {a ≠0,Δ=4−4a >0, 解得 a <1 且 a ≠0．故 a 的取值范围是 (−∞,1]．【知识点】元素和集合的关系16. 【答案】 ∃x 0∈R ，使得 x 02+2x 0+1≤0【解析】“∀x ∈R ，x 2+2x +1>0”的否定是：“∃x 0∈R ，使得 x 02+2x 0+1≤0”．【知识点】全（特）称命题的否定17. 【答案】 (−∞,−2]【解析】因为条件 p ：2k −1≤x ≤1−k ，q ：−3≤x <3，且 p 是 q 的必要条件，所以 {2k −1≤3,3≤1−k, 解得 k ≤−2，则实数 k 的取值范围是 (−∞,−2]．【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】 {m∣ 1≤m ≤2}【解析】由 ∣x −m ∣≤1，得 m −1≤x ≤m +1，由不等式 ∣x −m ∣≤1 成立的充分不必要条件是 1<x ≤2 可得 {1≥m −1,2≤m +1, 解得 1≤m ≤2．故实数 m 的取值范围是 {m∣ 1≤m ≤2}．【知识点】充分条件与必要条件三、解答题（共8题） 19. 【答案】(1) 集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”．(2) 集合{1,3,5,7,9,11,13}．证明如下：因为3+5+7+9=11+13．1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+9+11=3+5+13，1+3+5+11=7+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，所以集合{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”．(3) 不妨设a1<a2<a3<a4<a5，将集合{a1,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5=a3+a4, ⋯⋯①或a5=a1+a3+a4, ⋯⋯②将集合{a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5=a3+a4, ⋯⋯③或a5=a2+a3+a4, ⋯⋯④由①③，得a1=a2，矛盾，由①④，得a1=−a2，矛盾，由②③，得a1=−a2，矛盾，由②④，得a1=a2，矛盾，故当n=5时，集合A一定不是“和谐集”．【知识点】数列创新题20. 【答案】(1) ①因为QM=PN=x，所以MN=ON−OM=√3−x2√3，所以y=MN⋅PN=x⋅√3−x2−√33x2(0<x<32)．②当∠POB=θ时，QM=PN=√3sinθ，则OM=sinθ，又ON=√3cosθ，所以MN=ON−OM=√3cosθ−sinθ，所以y=MN⋅PN=3sinθcosθ−√3sin2θ(0<θ<π3)．(2) 由②得，y=√3sin(2θ+π6)−√32，当θ=π6时，y取得最大值为√32【知识点】三角函数模型的应用21. 【答案】(1) 由 2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得 l (P )=5，由 2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得 l (Q )=6． (2) 因为 a i +a j (1≤i <j ≤n ) 共有 (n −1)+(n −2)+(n −3)+⋯+4+3+2+1=n (n−1)2个值，所以 l (A )≤n (n−1)2．又集合 A ={2,4,8,⋯,2n }，不妨设 a m =2m ，m =1,2,⋯,n ．a i +a j ，a k +a l （1≤i <j ≤n ，1≤k <l ≤n ），当 j ≠l 时，不妨设 j <l ，则 a i +a j <2a j =2j+1≤a l <a k +a l ，即 a i +a j ≠a k +a l ，当 j =l ，i ≠k 时，a i +a j ≠a k +a l ，因此当且仅当 i =k ，j =l 时，a i +a j =a k +a l ．即所有 a i +a j (1≤i <j ≤n ) 的值两两不同，因此 l (A )=n (n−1)2．【知识点】交、并、补集运算22. 【答案】(1) ∀x ∈R ，x 能写成小数形式．(2) ∀x ∈{x∣ x 是凸n 边形,n ≥3,且n ∈N}，x 的外角和等于 360∘． (3) ∀x ∈R ，有 x ⋅(−1)=−x ．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断23. 【答案】(1)111．(2) −2225．【知识点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系24. 【答案】 p =−1，q =6，r =9．【解析】因为 A ∪B ={−3} , 所以 (−3)2−3p −12=0，p =−1，所以 A ={x∣ x 2−x −12=0}={x∣ x =−3或x =4}，又因为 A ≠B ，A ∪B ={−3,4}，所以 B ={−3} ,所以 {(−3)2+q (−3)+r =0,q 2−4r =0,所以 q =6，r =9．综上，p =−1，q =6，r =9．【知识点】交、并、补集运算25. 【答案】因为B={x∣ x<−1或x>0}，所以∁RB={x∣ −1≤x≤0}，所以要使A∩(∁RB)=∅，结合数轴分析（如图），可得a≤−1．【知识点】包含关系、子集与真子集26. 【答案】(1) 集合① {x∣ y=x2+1}的代表元素是x，满足条件y=x2+1中的x∈R，故{x∣ y=x2+1}=R．集合② {y∣ y=x2+1}的代表元素是y，满足条件y=x2+1中y的取值范围是y≥1，故{y∣ y=x2+1}={y∣ y≥1}．集合③ {(x,y)∣ y=x2+1}的代表元素是(x,y)，可以认为是满足y=x2+1的有序数对(x,y)的集合；也可以认为是平面直角坐标系内的点(x,y)构成的集合，且这些点的坐标满足y=x2+ 1．(2) 由（1）可知集合①是实数集，集合②是大于或等于1的实数集，集合③是二次函数图象上的点构成的点集，故它们是互不相同的集合．【知识点】集合相等、集合的表示方法11。

2020_2021学年新教材高中数学模块综合提升学案含解析新人教A版必修第一册20200917257

模块综合提升1．A ∩B 是由属于A 且属于B 的所有元素组成的集合． (√) 2．若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .(×)提示：当A 为空集时，集合B ，C 为任意集合．3．若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)4．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点． (×)提示：最多有1个交点．5．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(×) 提示：函数y ＝2x ＋1与函数y ＝5x ＋2的定义域与值域相同，但这两个函数不是相等函数．6．函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)提示：单调区间不能取并集． 7．所有的单调函数都有最值．(×)提示：单调函数在闭区间上有最值．8．偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(√)9．如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√)10．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)11．若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(√)12．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a .(×)提示：当二次函数的对称轴在[a ，b ]内，取得最值4ac －b24a；当二次函数的对称轴不在[a ，b ]内，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在x ＝a ，x ＝b 时取得最值．13．在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角系中的开口大小(√)14．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×) 提示：当a ＞1时，对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数． 15．函数的零点是函数y ＝f (x )与x 轴的交点． (×)提示：函数的零点是函数y ＝f (x )与x 轴交点的横坐标． 16．若f (x )在(a ，b )上有零点，一定有f (a )·f (b )＜0.(×) 提示：f (x )在(a ，b )上有零点，不一定有f (a )·f (b )＜0，需要看零点是否为变号零点． 17．函数y ＝2x 的函数值在(0，＋∞)上一定比y ＝x 2的函数值大．(×)提示：当x ＝2时2x＝x 2.18．在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x(a ＞1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x α(α＞0)的增长速度．(√)19．一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变． (×)提示：一个不等式的两边同加上或同乘以同一个正数，不等号方向不变． 20．x ＞0且y ＞0是x y ＋yx≥2的充分不必要条件．(√)21．终边落在x 轴非正半轴上的角可表示为α＝2k πk ＋π(k ∈Z )．(√)22．诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)23．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2是奇函数． (×) 提示：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2是偶函数． 24．函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )(×)提示：函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )．25．将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx－φ)的图象． (×)提示：函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度是指x 的变化量，不是ωx 的变化量．26．将函数y ＝sin x 图象上各点的纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍，便得到函数y ＝A sin x 的图象．(√)27．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(√)28．存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√)29．公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)提示：α，β应使tan α、tan β、tan(α＋β)有意义．30．公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．(×)提示：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 21．高考对集合的考查主要表现在考查集合的基础知识(集合的关系与运算)，5分． 2．常用逻辑用语是高考考查的热点，每年必考，往往以学科内相关知识作为载体考查充分必要条件和含有一个量词的命题的否定，以客观题形式呈现，5分．3．一元二次不等式则以工具形态渗透到函数等相关内容中；基本不等式以工具形态渗透到解三角形的最值或者解析几何中的最值研究中，一般不单独考查．4．函数的奇偶性、单调性的考查常以指数函数、对数函数、幂函数为载体，考题以选择题、填空题为主，5分．函数零点也时有考查，有一定的难度．5．高考对三角函数的考查主要体现在考查三角函数的图象与性质、简单的三角恒等变换等基本知识和基本方法．考查的热点内容有三角函数的图象(特别是图象变换问题)、三角函数的性质(特别是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质)、三角函数式的求值问题等．高考中主要以选择题或填空题的形式呈现，偶尔会出现在解答题中．其中选择题或填空题主要考查三角函数的图象与性质、三角函数式的求值问题；而解答题则与《必修第二册》的解三角形问题交汇在一起综合考查，位于解答题第一题的位置，难度中等，一般不单独考查，只是作为工具出现．1．已知集合M ＝{x |－4＜x ＜2}，N ＝{x |x 2－x －6＜0}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |－4＜x ＜3} B ．{x |－4＜x ＜－2} C ．{x |－2＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3}C [法一：∵N ＝{x |－2＜x ＜3}，M ＝{x |－4＜x ＜2}，∴M ∩N ＝{x |－2＜x ＜2}，故选C.法二：由题可得N ＝{x |－2＜x ＜3}．∵－3∉N ，∴－3∉M ∩N ，排除A ，B ；∵2.5∉M ，∴2.5∉M ∩N ，排除D.故选C.]2．已知a ＝log 2 0.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aB [∵a ＝log 20.2＜0，b ＝20.2＞1，c ＝0.20.3∈(0,1)，∴a <c <b .故选B.] 3．设x ∈R ，则“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [本题考查不等式的解法、必要而不充分条件的判断．由|x －1|＜1得0＜x ＜2，故0＜x ＜5推不出0＜x ＜2,0＜x ＜2能推出0＜x ＜5.故“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件．故选B.]4．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A.15 B.55C.33D ．255B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B.] 5．下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |A [A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x ＜0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x ＜0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.]6．设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )C [根据函数f (x )为偶函数可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0＜2－32＜2－23＜20＜log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)单调递减，所以f (2－32)＞f (2－23)＞f ⎝⎛⎭⎪⎫log 314.]7．设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，73C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，52 D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，83 B [当－1＜x ≤0时，0＜x ＋1≤1，则f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1＜x ≤2时，0＜x －1≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2＜x ≤3时，0＜x －2≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3)，……由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧…12x ＋1x ，－1＜x ≤0，x x －1，0＜x ≤1，2x －1x －2，1＜x ≤2，22x －2x －3，2＜x ≤3，…由此作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知当2＜x ≤3时，令22(x －2)(x －3)＝－89，整理，得(3x －7)(3x－8)＝0，解得x ＝73或x ＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x ∈(－∞，m ]都有f (x )≥－89，必有m ≤73，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73，故选B.]8．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy的最小值为．43 [x ＋12y ＋1xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋6xy＝2⎝⎛⎭⎪⎫xy ＋3xy ≥2×2xy ·3xy＝43，当且仅当xy ＝3，即x ＝3，y ＝1或x ＝2，y ＝32时等号成立．故所求的最小值为4 3.]。

新人教版高中数学必修第一册第一章章末复习课

因为a<1，所以2a<a＋1，所以B≠∅.
画数轴如图所示.
由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1.
即a<－2或a≥
1 2
.
由已知a<1，所以a<－2或
1 2
≤a<1，
即所求a的取值范围是a<－2或12≤a<1.
反思感悟
处理集合间关系问题的关键点已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析.同时还要注意“空集”这一 “陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏.
跟踪训练3 已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元
素个数为
A.0
B.1 √C.2
D.3
联立yy＝＝35xx2，，解得xy＝＝00，或xy＝＝5323，5，因此M∩N中的元素个数为2.
四
充分条件与必要条件
1.若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件. 2.掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养.

反思感悟
解决集合的概念问题应关注两点 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性.
跟踪训练1 (多选)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的取值不可以为
例5 命题：“∀x∈R，x2≠x”的否定是

人教版高中数学必修1--第五章章末回顾与提升

3．求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角． 4．掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
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第五章三角函数
已知 α 为第三象限角，且
sin
32π－αcos π2 －αtan （－α＋π）
sin π2 ＋αtan （2π－α）
x－
3 2
(1＋cos
2x)＝12
sin
2x－
3 2
cos 2x－
3 2
＝sin
2x－π3
－
3 2
，
因此 f(x)的最小正周期为π，最大值为2－2 3 .
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第五章三角函数
(2)当 x∈π6 ，23π
π 时，0≤2x－ 3
≤π，从而
π 当 0≤2x－ 3
π ≤2
π ，即 6
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第五章三角函数
解析：∵函数 f(x)＝sin 2x＋π4 ＋cos 2x＋π4 ＝ 2 sin 2x＋π4 ＋π4 ＝ 2 sin 2x＋π2 ＝ 2 cos 2x，
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第五章三角函数
∴f(－x)＝ 2 cos (－2x)＝ 2 cos 2x＝f(x)，y＝f(x)为偶函数，故选项 A 正确；令 2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，解得 kπ≤x≤π2 ＋kπ (k∈Z)，可得函数 y＝f(x)在0，π2 单调递减，所以选项 B 正确；
第五章三角函数
[训练 1] 已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在射线 y＝2x(x≥0)上．

最新人教A版高一数学必修一单元测试题全册带答案解析

最新人教A版高一数学必修一单元测试题全册带答案解析章末综合测评(一)集合与函数的概念(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4}B．{1,5}C．{2,5}D．{2,4}【解析】由题意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．【答案】 D2．下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①1∈{0,1,2}，正确；②空集是任何集合的子集，正确；③因为{1}⊆{0,1,2}，故不正确；④根据集合的无序性可知正确．故选A.【答案】A3．下列各图形中，是函数的图象的是()【解析】函数y＝f(x)的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，故A，B，C均不正确，故选D.【答案】 D4．集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{y|y＝x2＋2}，则如图1阴影部分表示的集合为()图1A ．{x |x ≥1}B ．{x |x ≥2}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ＜2}【解析】易得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)，则题图中阴影部分表示的集合是∁A B ＝[1,2)．故选D.【答案】 D5．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，则f (1)的值等于( ) A ．2 B ．11 C ．5D ．－1【解析】由2x ＋1＝1得x ＝0，故f (1)＝f (2×0＋1)＝3×0＋2＝2，故选A . 【答案】 A6．下列四个函数：①y ＝x ＋1；②y ＝x －1；③y ＝x 2－1； ④y ＝1x ，其中定义域与值域相同的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③D ．②③④【解析】 ①y ＝x ＋1，定义域R ，值域R ；②y ＝x －1，定义域R ，值域R ；③y ＝x 2－1，定义域R ，值域[－1，＋∞)；④y ＝1x ，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域(－∞，0)∪(0，＋∞)．∴①②④定义域与值域相同，故选B .【答案】 B7．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，(x ≥0)，f (x ＋2)，(x<0)，则f (－3)的值为( )A ．5B ．－1C ．－7D ．2【解析】依题意，f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1) ＝f (－1＋2)＝f (1)＝1＋1＝2，故选D. 【答案】 D8．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)【解析】因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.【答案】 C9．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝3，则奇函数f (x )的值域是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3,3] C ．[－3,3]D ．{－3,0,3}【解析】 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，设x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝－f (x )＝3， ∴f (x )＝－3，∴f (x )＝⎩⎨⎧3，x >0，0，x ＝0，－3，x <0，∴奇函数f (x )的值域是{－3,0,3}．【答案】 D10．已知f (x )＝x 5－ax 3＋bx ＋2且f (－5)＝17，则f (5)的值为( ) A ．－13 B ．13 C ．－19D ．19【解析】 ∵g (x )＝x 5－ax 3＋bx 是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )．∵f (－5)＝17＝g (－5)＋2，∴g (5)＝－15，∴f (5)＝g (5)＋2＝－15＋2＝－13. 【答案】 A11．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵集合M 中的元素－1不能映射到N 中为－2，∴⎩⎨⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1，即⎩⎨⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，∴a ，b 为方程x 2－4x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝4. 【答案】 D12．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)【解析】任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递减．又f (x )是偶函数，故f (x )在(－∞，0]上单调递增．且满足n ∈N *时，f (－2)＝f (2)，3＞2＞1＞0，由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大，∴f (3)＜f (－2)＜f (1)，故选A .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________．【解析】由A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，得B ＝{4,9,16}．【答案】 {4,9,16}14．若函数f (x )＝(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的增区间是________. 【解析】 ∵函数f (x )＝(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3是偶函数，∴a －1＝0，∴f (x )＝－x 2＋3，其图象是开口方向朝下，以y 轴为对称轴的抛物线．故f (x )的增区间为(－∞，0]．【答案】 (－∞，0]15．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x>0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．【解析】 ∵f (1)＝2×1＝2，若a >0，则f (a )＝2a ，由2a ＋2＝0，得a ＝－1舍去，若a ≤0，则f (a )＝a ＋1，由a ＋1＋2＝0得a ＝－3，符合题意． ∴a ＝－3. 【答案】－316．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②函数f (x )＝xx －1是单函数； ③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)【解析】 ①函数f (x )＝x 2(x ∈R )不是单函数，例如f (1)＝f (－1)，显然不会有1和－1相等，故为假命题；②函数f (x )＝x x －1是单函数，因为若x 1x 1－1＝x 2x 2－1，可推出x 1x 2－x 2＝x 1x 2－x 1，即x 1＝x 2，故为真命题；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)为真，可用反证法证明：假设f (x 1)＝f (x 2)，则按定义应有x 1＝x 2，与已知中的x 1≠x 2矛盾； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真，因为单函数的实质是一对一的映射，而单调的函数也是一对一的映射，故为真．【答案】 ②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求∁U (A ∩B )；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由集合B 中的不等式2x －4≥x －2，解得x ≥2，∴B ＝{x |x ≥2}，又A ＝{x |－1≤x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}，又全集U ＝R ，∴∁U (A ∩B )＝{x |x ＜2或x ≥3}． (2)由集合C 中的不等式2x ＋a ＞0，解得x ＞－a2，∴C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－a 2. ∵B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴－a2＜2，解得a ＞－4.18．(本小题满分12分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )；(3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．【解】 (1)由交集的概念易得2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{－5,2}． (2)由并集的概念易得U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.由补集的概念易得∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.(3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即为集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12的所有子集：∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，{－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. 19．(本小题满分12分)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时，解析式为f (x )＝2x ＋3x ＋1. (1)求f (x )在R 上的解析式；(2)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上为减函数．【解】 (1)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－2x ＋3－x ＋1.又∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x ＋3－x ＋1，∴f (x )＝－2x ＋3x －1.又∵奇函数在0点有意义，∴f (0)＝0，∴函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3x －1，x <0，0，x ＝0，2x ＋3x ＋1，x >0.(2)证明：设∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋3x 1＋1－2x 2＋3x 2＋1＝(2x 1＋3)(x 2＋1)－(2x 2＋3)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－x 1＋x 2(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1＜x 2，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数．20．(本小题满分12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，其中x 是仪器的月产量．当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润是多少？【解】由于月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而利润f (x )＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －12x 2－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，有最大值25 000；当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，所以f (x )＝60 000－100×400＜25 000. 所以当x ＝300时，有最大值25 000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25 000元．21．(本小题满分12分)已知f (x )在R 上是单调递减的一次函数，且f (f (x ))＝4x －1. (1)求f (x )；(2)求函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈[－1,2]上的最大值与最小值．【解】 (1)由题意可设f (x )＝ax ＋b ，(a ＜0)，由于f (f (x ))＝4x －1，则a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，故⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得a ＝－2，b ＝1.故f (x )＝－2x ＋1. (2)由(1)知，函数y ＝f (x )＋x 2－x ＝－2x ＋1＋x 2－x ＝x 2－3x ＋1，故函数y ＝x 2－3x ＋1的图象开口向上，对称轴为x ＝32，则函数y ＝f (x )＋x 2－x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2上为增函数．又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－54，f (－1)＝5，f (2)＝－1，则函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈[－1,2]上的最大值为5，最小值为－54. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋b1＋x 2为奇函数． (1)求b 的值；(2)证明：函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数； (3)解关于x 的不等式f (1＋x 2)＋f (－x 2＋2x －4)＞0.【解】 (1)∵函数f (x )＝x ＋b1＋x 2为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝b ＝0.(2)由(1)可得f (x )＝x1＋x 2，下面证明函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．证明：设x 2＞x 1＞1，则有f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1＋x 1x 22－x 2－x 2x 21(1＋x 21)(1＋x 22)＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). 再根据x 2＞x 1＞1，可得1＋x 21＞0,1＋x 22＞0，x 1－x 2＜0,1－x 1x 2＜0，∴(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数． (3)由不等式f (1＋x 2)＋f (－x 2＋2x －4)＞0，可得f (1＋x 2)＞－f (－x 2＋2x －4)＝f (x 2－2x ＋4)，再根据函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x 2＜x 2－2x ＋4，且x ＞1，求得1＜x ＜32，故不等式的解集为(1，32)．章末综合测评(二) 第二章基本初等函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝1log 0.5(2x ＋1)，则函数f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．(0，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 【解析】要使函数有意义，只需⎩⎨⎧2x ＋1＞0，log 0.5(2x ＋1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－12，2x ＋1＜1，解得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜0.故选C.【答案】 C2．已知函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 100的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N (字/分钟)所需的学习时间，N 表示打字速度(字/分)，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是( )A ．144小时B ．90小时C ．60小时D ．40小时【解析】 t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 100＝－144lg 110＝144.【答案】 A3．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是( ) A ．y ＝2x 2－x ＋3 B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13xC ．y ＝x 23D ．y ＝log 12x【解析】 ∵y ＝2x 2－x ＋3的对称轴x ＝14，∴在区间(0,1)上不是增函数，故A 错；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x及y ＝log 12x 为减函数，故B ，D 错；y ＝x 23中，指数23>0，在[0，＋∞)上单调递增，故C 正确．【答案】 C4．如图1为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是( )图1A ．m <0，n >1B ．m >0，n >1C ．m >0,0<n <1D ．m <0,0<n <1【解析】当x ＝1时，y ＝m ，由图形易知m<0，又函数是减函数，所以0<n <1. 【答案】 D5．已知f (x )＝a －x (a ＞0且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．a <1D ．0<a <1【解析】 ∵f (－2)＞f (－3)，∴f (x )＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 是增函数，∴1a ＞1，∴0＜a ＜1，则a 的取值范围是0＜a ＜1，故选D.【答案】 D6．(2015·山东高考)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c<b C ．b <a <cD ．b <c<a【解析】因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c >1.综上，b <a <c .【答案】 C7．已知函数f (x )＝lg (1－x )的值域为(－∞，1]，则函数f (x )的定义域为( ) A ．[－9，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－9,1)D ．[－9,1)【解析】因为函数f (x )＝lg (1－x )的值域为(－∞，1]，所以lg (1－x )≤1，即0<1－x ≤10，解得－9≤x <1，所以函数f (x )的定义域为[－9,1)．【答案】 D8．已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a的值为( )A.3 B ．3 C ．9D.32【解析】 ∵f (log 124)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 214＝f (－2)＝－f (2)＝－a 2＝－3，∴a 2＝3，解得a ＝±3，又a ＞0，∴a ＝ 3.【答案】 A9．已知f (x )＝a x ，g(x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (3)·g(3)<0，则f (x )与g(x )在同一坐标系里的图象是( )【解析】 ∵a >0且a ≠1，∴f (3)＝a 3>0，又f (3)·g(3)<0，∴g(3)＝log a 3<0，∴0<a <1，∴f (x )＝a x 在R 上是减函数，g (x )＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，故选C.【答案】 C10．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上具有单调性，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( )A ．f (b －2)＝f (a ＋1)B ．f (b －2)>f (a ＋1)C ．f (b －2)<f (a ＋1)D ．不能确定【解析】 ∵函数f (x )是偶函数，∴b ＝0，此时f (x )＝log a |x |.当a >1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)；当0<a <1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)．综上可知f (b －2)<f (a ＋1)．【答案】 C11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 【解析】由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138，选B .【答案】 B12．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜1 B ．0＜a ＜2，a ≠1 C ．1＜a ＜2D ．a ≥2【解析】令g (x )＝x 2－ax ＋1(a ＞0，且a ≠1)，①当a ＞1时，g (x )在R 上单调递增，∴Δ＜0，∴1＜a ＜2；②当0＜a ＜1时，g (x )＝x 2－ax ＋1没有最大值，从而函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)没有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a ＜2.故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则用a ，b 表示log 125的值为________．【解析】 ∵lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 125＝lg 5lg 12＝1－lg 22lg 2＋lg 3＝1－a 2a ＋b .【答案】1－a2a ＋b14．方程log 2(9x －1－5)＝log 2(3x －1－2)＋2的解为________．【解析】依题意log 2(9x －1－5)＝log 2(4·3x －1－8)，所以9x －1－5＝4·3x －1－8，令3x －1＝t (t >0)，则t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1或t ＝3，当t ＝1时，3x －1＝1，所以x ＝1，而91－1－5<0，所以x ＝1不合题意，舍去；当t ＝3时，3x －1＝3，所以x ＝2,92－1－5＝4>0,32－1－2＝1>0，所以x ＝2满足条件．所以x ＝2是原方程的解．【答案】 215．已知当x ＞0时，函数f (x )＝(2a －1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，且a ≠12的值总大于1，则函数y ＝a 2x －x 2的单调增区间是________.【解析】由题意知：2a －1＞1，解得a ＞1，设t ＝2x －x 2，则函数y ＝a t 为增函数，∵函数t ＝2x －x 2的增区间为(－∞，1)，∴函数y ＝a 2x －x 2的单调增区间是(－∞，1)．【答案】 (－∞，1)(或(－∞，1]) 16．给出下列结论：①4(－2)4＝±2； ②y ＝x 2＋1，x ∈[－1,2]，y 的值域是[2,5]； ③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f (x )＝a x ＋1－2(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(－1，－1)； ⑤若ln a ＜1成立，则a 的取值范围是(－∞，e )．其中正确的序号是________．【解析】 ①4(－2)4＝2，因此不正确；②y ＝x 2＋1，x ∈[－1,2]，y 的值域是[1,5]，因此不正确；③幂函数图象一定不过第四象限，正确；④当x ＝－1时，f (－1)＝a 0－2＝－1，∴函数f (x )＝a x ＋1－2(a ＞0，a ≠1)的图象过定点(－1，－1)，正确；⑤若l n a ＜1成立，则a 的取值范围是(0，e)，因此不正确．综上所述：只有③④正确．【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求值： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2；(2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52. 【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2 ＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝32－1－49＋49＝12.(2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52＝－14＋1－2＋2＝34.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a 2x ＋2a x －1(a ＞1，且a 为常数)在区间[－1,1]上的最大值为14.(1)求f (x )的表达式；(2)求满足f (x )＝7时，x 的值．【解】 (1)令t ＝a x ＞0.∵x ∈[－1,1]，a ＞1，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，f (x )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，故当t ＝a 时，函数f (x )取得最大值为a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，∴f (x )＝32x ＋2×3x －1. (2)由f (x )＝7，可得32x ＋2×3x －1＝7，即(3x ＋4)·(3x －2)＝0，求得3x ＝2，∴x ＝log 32. 19．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .图2(1)画出函数f (x )的图象；(2)根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．【解】 (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)． (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f (x )≥g (x )中x 的取值范围．【解】 (1)由⎩⎨⎧x －1＞0，3－x ＞0，得1＜x ＜3.∴函数h (x )的定义域为(1,3)． (2)不等式f (x )≥g (x )，即为log a (x －1)≥log a (3－x )．(*)①当0＜a ＜1时，不等式(*)等价于⎩⎨⎧1＜x ＜3，x －1≤3－x ，解得1＜x ≤2.②当a ＞1时，不等式(*)等价于⎩⎨⎧1＜x ＜3，x －1≥3－x ，解得2≤x ＜3.综上，当0＜a ＜1时，原不等式解集为(1,2]；当a ＞1时，原不等式解集为[2,3)．21．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a3x －1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域．【解】 ∵函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a 3x －1＝a －13x －1，(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即2a －13x－1－13－x －1＝0，∴a ＝－12. (2)∵y ＝－12－13x －1，∴3x －1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－13x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴3x －1＞－1.∵3x －1≠0，∴0＞3x －1＞－1或3x －1＞0. ∴－12－13x －1＞12或－12－13x －1＜－12.即函数的值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y >12或y <－12. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x . (1)求证：f (x )是奇函数； (2)求证：f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ； (3)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，求f (a )，f (b )的值. 【解】 (1)证明：由函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ，可得1－x 1＋x >0，即x －11＋x <0，解得－1<x <1，故函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．再根据f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，可得f (x )是奇函数．(2)证明：f (x )＋f (y )＝lg1－x 1＋x ＋lg 1－y 1＋y ＝lg (1－x )(1－y )(1＋x )(1＋y )，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝lg 1－x ＋y 1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy＝lg 1＋xy －x －y 1＋xy ＋x ＋y ＝lg (1－x )(1－y )(1＋x )(1＋y )，∴f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立． (3)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，则由(2)可得f (a )＋f (b )＝1，f (a )－f (b )＝2，解得f (a )＝32，f (b )＝－12.章末综合测评(三) -第三章函数的应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )的图象与x 轴在区间[a ，b ]内( )A ．至多有一个交点B ．必有唯一一个交点C ．至少有一个交点D ．没有交点【解析】 ∵f (a )f (b )＜0，∴f (x )在[a ，b ]内有零点，又f (x )在区间[a ，b ]上单调，所以这样的点只有一个，故选B . 【答案】 B2．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象是( )【解析】要使方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，只需y ＝f (x )与直线y ＝2在(－∞，0)上有交点，故D 正确．故选D.【答案】 D3．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )【解析】由二分法的定义与原理知A 选项正确．【答案】 A 4．函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ∵函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数即为f (x )＝0的根的个数，∴f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3＝0，即(x －1)ln(－x )＝0，∴x －1＝0或ln(－x )＝0，∴x ＝1或x ＝－1，∵⎩⎨⎧－x >0，x －3≠0，解得x ＜0，∵函数f (x )的定义域为{x |x ＜0}，∴x ＝－1，即方程f (x )＝0只有一个根，∴函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数为1个．故选A .【答案】 A5．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s 与时间t 的函数关系如图1所示，则下列说法正确的是 ( )图1A ．甲比乙先出发B ．乙比甲跑的路程多C ．甲、乙两人的速度相同D ．甲比乙先到达终点【解析】由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.【答案】 D6．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (m )＝1.06(0.50×[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是大于或等于m 的最小整数(例如[2.72]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为多少元．( )A ．3.71B ．3.97C ．4.24D ．4.77【解析】由[m ]是大于或等于m 的最小整数，可得[5.5]＝6，所以f (5.5)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.故选C .【答案】 C7．函数f (x )＝3x ＋12x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)【解析】由已知可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2单调递增且连续，∵f (－2)＝－269<0，f (－1)＝－136＜0，f (0)＝－1＜0，f (1)＝32>0，∴f (0)·f (1)＜0，由函数的零点判定定理可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2的一个零点所在的区间是(0,1)，故选C .【答案】 C8．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0，的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3；当x >0时，令－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2，所以函数有两个零点．故选C .【答案】 C9．函数f (x )＝|x |＋k 有两个零点，则( ) A ．k ＝0 B ．k ＞0 C ．0≤k ＜1D ．k ＜0【解析】在同一平面直角坐标系中画出y 1＝|x |和y 2＝－k 的图象，如图所示．若f (x )有两个零点，则必有－k ＞0，即k ＜0.【答案】 D10．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是( )A ．a <α<b <βB ．a <α<β<bC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b【解析】 ∵α，β是函数f (x )的两个零点， ∴f (α)＝f (β)＝0.又f (a )＝f (b )＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a ，b 必在α，β之间．故选C .【答案】 C11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0【解析】 ∵函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (x 0)＝0，∴当x ∈(0，x 0)时，均有f (x )>0，而0<x 1<x 0，∴f (x 1)>0.【答案】 A12．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a 2x (a >0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( )A.5 B ．5 C ．±5D ．－ 5【解析】设投放x 万元经销甲商品，则经销乙商品投放(20－x )万元，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a 2·20－x ，令y ≥5，则x 4＋a 2·20－x ≥5.∴a 20－x ≥10－x 2，即a ≥1220－x 对0≤x <20恒成立，而f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x2也成立，∴a min ＝ 5.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．【解析】函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则f (0)＝0，∴m ＋3＝0，∴m ＝－3，则f (x )＝x 2－3x ，于是另一个零点是3.【答案】 314．用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含根的区间是________．【解析】令f (x )＝ln x －2＋x ，则f (1)＝ln 1－2＋1<0， f (2)＝ln 2－2＋2＝ln 2>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32－2＋32＝ln 32－12＝ln 32－ln e ＝ln 32e ＝ln 94e <ln 1＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32·f (2)<0，∴下一个含根的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，215．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．【解析】设每个涨价x 元，则实际销售价为10＋x 元，销售的个数为100－10x ，则利润为y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x )＝－10(x －4)2＋360(0≤x <10，x ∈N )．因此，当x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．【答案】 1416．已知函数f (x )＝log ax ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.【解析】 ∵2<a <3<b <4，∴f (2)＝log a 2＋2－b <1＋2－b ＝3－b <0，f (3)＝log a 3＋3－b >1＋3－b ＝4－b >0. 即f (2)·f (3)<0，易知f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴函数f (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0，且x 0∈(2,3)，∴n＝2.【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝e x－m－x，其中m∈R，当m>1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．【解】f(x)＝e x－m－x，所以f(0)＝e－m－0＝e－m>0，f(m)＝e0－m＝1－m.又m>1，所以f(m)<0，所以f(0)·f(m)<0.又函数f(x)的图象在区间[0，m]上是一条连续曲线，故函数f(x)＝e x－m－x(m>1)在区间(0，m)内存在零点．18．(本小题满分12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f(log14x)≥0的x的取值集合.【解】∵－12是函数的一个零点，∴f⎝⎛⎭⎪⎫－12＝0.∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当log 14x≤0，解得x≥1，当log14x≥－12，解得x≤2，所以1≤x≤2.由对称性可知，当log 14x＞0时，12≤x＜1.综上所述，x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.19．(本小题满分12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【解】(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5log2Q 10，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：v＝5log28010＝5log28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.20．(本小题满分12分)设f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3,2.(1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域为[0,1]时，求其值域．【解】 (1)因为f (x )的两个零点分别是－3,2，所以⎩⎨⎧f (－3)＝0，f (2)＝0，即⎩⎨⎧9a －3(b －8)－a －ab ＝0，4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0，解得a ＝－3，b ＝5，f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－3x ＋18的对称轴x ＝－12，函数开口向下，所以f (x )在[0,1]上为减函数，f (x )的最大值f (0)＝18，最小值f (1)＝12，所以值域为[12,18]．21．(本小题满分12分)如图2，直角梯形OABC 位于直线x ＝t 右侧的图形的面积为f (t )．图2(1)试求函数f (t )的解析式； (2)画出函数y ＝f (t )的图象. 【解】 (1)当0≤t ≤2时，f (t )＝S 梯形OABC －S △ODE ＝(3＋5)×22－12t ·t ＝8－12t 2，当2<t ≤5时，f (t )＝S 矩形DEBC ＝DE ·DC ＝2(5－t )＝10－2t ，所以f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧8－12t 2，(0≤t ≤2)，10－2t ，(2<t ≤5).(2)函数f (t )图象如图所示．22．(本小题满分12分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为2.10元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元．已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x 吨．(1)求y 关于x 的函数；(2)如甲、乙两户该月共交水费40.8元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．【解】 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨， y ＝(5x ＋3x )×2.1＝16.8x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x ≤4且5x ＞4， y ＝4×2.1＋3x ×2.1＋3×(5x －4)＝21.3x －3.6. 当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4，y ＝8×2.1＋3(8x －8)＝24x －7.2，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧16.8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤45，21.3x －3.6⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜x ≤43，24x －7.2⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均为单调递增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜40.8；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＜40.8；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －7.2＝40.8，解得x ＝2，所以甲用户用水量为5x ＝10吨，付费S 1＝4×2.1＋6×3＝26.40(元)；乙用户用水量为3x ＝6吨，付费S 2＝4×2.1＋2×3＝14.40(元)．模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B ＝( ) A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}【解析】 ∵全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，∴∁U A ＝{0,4}，又B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．故选C .【答案】 C2．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f (f (2))＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2. 【答案】 C3．同时满足以下三个条件的函数是( )①图象过点(0,1)；②在区间(0，＋∞)上单调递减；③是偶函数． A ．f (x )＝－(x ＋1)2＋2 B ．f (x )＝3|x | C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |D ．f (x )＝x －2【解析】 A ．f (x )＝－(x ＋1)2＋2关于x ＝－1对称，不是偶函数，不满足条件③. B ．f (x )＝3|x |在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件②. C ．若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，则三个条件都满足．D ．若f (x )＝x －2，则f (0)无意义，不满足条件①.故选C . 【答案】 C4．与函数y ＝－2x 3有相同图象的一个函数是( ) A ．y ＝－x －2xB ．y ＝x －2xC ．y ＝－2x 3D ．y ＝x2－2x【解析】函数y ＝－2x 3的定义域为(－∞，0]，故y ＝－2x 3＝|x |－2x ＝－x －2x ，故选A .【答案】 A5．函数f (x )＝2x －1＋log 2x 的零点所在区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2)【解析】 ∵函数f (x )＝2x －1＋log 2x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，f (1)＝1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＜0，故连续函数f (x )的零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选C . 【答案】 C6．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是( )A.13 B ．－13 C ．3D ．－3【解析】设幂函数为y ＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以有－18＝(－2)α，解得α＝－3，所以y ＝x －3，由f (x )＝27，得x －3＝27，即x ＝13. 【答案】 A7．函数f (x )＝2x 21－x ＋lg (3x ＋1)的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 【解析】要使函数有意义，只需⎩⎨⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13＜x ＜1，故函数f (x )＝2x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.【答案】 A8．设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＜a ＜b B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c【解析】因为y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，且0.5＞0.3，所以0.50.5＞0.30.5，即a ＞b ，c ＝log 0.30.2＞log 0.30.3＝1，而1＝0.50＞0.50.5.所以b ＜a ＜c .故选B . 【答案】 B9．若函数f (x )＝(k －1)ax －a －x (a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )【解析】由f (x )＝(k －1)ax －a －x (a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，所以k ＝2,0<a <1，再由对数的图象可知A 正确．【答案】 A10．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )【解析】 ∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A ，B .又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C .【答案】 C11．在y ＝2x ，y ＝log 2x ，y ＝x 2这三个函数中，当0＜x 1＜x 2＜1时，使f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f (x 1)＋f (x 2)2恒成立的函数的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】在0＜x 1＜x 2＜1时， y ＝2x使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2恒成立，y ＝log 2x 使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f (x 1)＋f (x 2)2恒成立，y ＝x 2使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2恒成立．故选B .【答案】 B12．若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则(x －1)f (x )＜0的解是( ) A ．(－3,0)∪(1，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,0)∪(1,3)【解析】 ∵f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴f (x )在(－∞，0)内也是增函数．又∵f (－3)＝0，∴f (3)＝0，∴当x ∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f (x )＜0；当x ∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f (x )＞0.∵(x －1)·f (x )＜0，∴⎩⎨⎧ x －1<0，f (x )>0或⎩⎨⎧x －1>0，f (x )<0，解得－3＜x ＜0或1＜x ＜3，∴不等式的解集是(－3,0)∪(1,3)，故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝ax －2－3必过定点________．【解析】因为a 0＝1，故f (2)＝a 0－3＝－2，所以函数f (x )＝ax －2－3必过定点(2，－2)．【答案】(2，－2)14．设A∪{－1,1}＝{－1,1}，则满足条件的集合A共有________个．【解析】∵A∪{－1,1}＝{－1,1}，∴A⊆{－1,1}，满足条件的集合A为：∅，{－1}，{1}，{－1,1}，共4个．【答案】 415．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋3x)，则f(－1)＝________.【解析】由题意知f(－1)＝－f(1)＝－1×(1＋31)＝－2.【答案】－216．下列命题：①偶函数的图象一定与y轴相交；②定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)＝0；③f(x)＝(2x＋1)2－2(2x－1)既不是奇函数也不是偶函数；④A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋1，则f为A到B的映射；⑤f(x)＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．其中真命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)【解析】①不正确，如y＝lg|x|，其在原点处无定义，其图象不可能与y轴相交；②正确，∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－0)＝－f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0；③不正确，∵f(x)＝(2x＋1)2－2(2x－1)＝4x2＋3，且f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数；④不正确，当x＝－1时，在B中没有元素与之对应；⑤不正确，只能说f(x)＝1x在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数．【答案】②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：(1)1.5－13×⎝⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42－；(2)12lg3249－43lg 8＋lg 245＋10lg 3.【解】 (1)原式＝×＝2.(2)原式＝12(lg 25－lg 72)－＋12lg (72×5)＋10lg 3＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＋3＝12lg 2＋12lg 5＋3＝12(lg 2＋lg 5)＋3＝72.18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}． (1)若A ≠∅，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．【解】 (1)①当a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23≠∅，合题意；②当a ≠1时，由Δ＝9＋8(a －1)≥0，得a ≥－18且a ≠1. 综上所述，a 的范围为a ≥－18. (2)由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .①当A ＝∅时，a ＜－18，显然合题意；②当A ≠∅时，得到B 中方程的解1和2为A 的元素，即A ＝{1,2}，把x ＝1代入A 中方程，得a ＝0. 综上所述，a的范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＜－18，或a ＝0. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2x . (1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．【解】 (1)由已知得g (x )＝1－a －2x ， ∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即1－a －2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a －2x ，解得a ＝1.(2)函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝2(x 1－x 2)x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，从而2(x 1－x 2)x 1x 2＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m 2＋4m －2. (1)若函数f (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数m 的取值范围； (2)若函数f (x )在区间[0,1]上有最小值－3，求实数m 的值．【解】 f (x )＝(x －m )2＋4m －2.(1)由f (x )在区间[0,1]上是单调递减函数得m ≥1.(2)当m ≤0时，f (x )min ＝f (0)＝m 2＋4m －2＝－3，解得m ＝－2－3或m ＝－2＋ 3. 当0＜m ＜1时，f (x )min ＝f (m )＝4m －2＝－3，解得m ＝－14(舍)．当m ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝m 2＋2m －1＝－3，无解．综上可知，实数m 的值是－2±3.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a ＞0且a ≠1)， (1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )＞0.【解】 (1)要使函数有意义，则有⎩⎨⎧2x ＋1>0，1－2x >0，解得－12<x <12.∴函数F (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <12. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (2x ＋1)－log a (1－2x )，F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－log a (1＋2x )＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数． (3)∵f (x )－g (x )＞0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )＞0，即log a (2x ＋1)＞log a (1－2x )．①当0＜a ＜1时，有0<2x ＋1<1－2x ， ∴－12<x <0.②当a ＞1时，有2x ＋1>1－2x >0，∴0<x <12.综上所述，当0＜a ＜1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，使得f (x )－g (x )＞0；当a ＞1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使得f (x )－g (x )＞0. 21．(本小题满分12分)甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲，乙两图：甲乙图1甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条．乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由．【解】由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y 甲＝0.2x ＋0.8，图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34.(1)当x ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y 乙＝－4×2＋34＝26，y 甲×y 乙＝1.2×26＝31.2.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．(3)设第m 年的规模最大，总出产量为n ，那么n ＝y 甲y 乙＝(0.2m ＋0.8)(－4m ＋34)＝－0.8m 2＋3.6m ＋27.2＝－0.8(m 2－4.5m －34)＝－0.8(m －2.25)2＋31.25，因此，当m ＝2时，n 最大值为31.2.即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条．。

人教A版高中数学必修一课件《章末复习提升课》函数的概念与性质

1．已知二次函数 f(x)满足 f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函
数的解析式为________．解析：设二次函数的解析式为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得
ca＝＋1b，＋c＝2， 4a＋2b＋c＝5，
a＝1，解得b＝0，故 f(x)＝x2＋1.
c＝1，答案：f(x)＝x2＋1
函数的单调性和奇偶性
已知 f(x)＝x－x a(x≠a)． (1)若 a＝－2，试证明 f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若 a>0 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围．
【解】 (1)证明：∀x1<x2<－2，则 f(x1)－f(x2)＝x1x＋1 2－x2x＋2 2＝（x12＋（2x）1－（xx22）＋2）. 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，所以 f(x1)<f(x2)，所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
－x2－ax－5（x≤1），
2．已知函数 f(x)＝ax（x>1）
是 R 上的增函数，
求 a 的取值范围．
解：因为 f(x)在 R 上是单调递增的函数，所以 f(x)需满足在区间 (－∞，1]和(1，＋∞)上都是单调递增的，并且端点处(x＝1)的函数值－12－a－5≤a1，即 a≥－3；f(x)＝－x2－ax－5 的对称轴为直线 x＝－a2，f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以－a2≥1，即 a≤ －2；f(x)＝ax在(1，＋∞)上单调递增，所以 a<0.综上所述，a 的取值范围是[－3，－2]．
章末复习提升课
函数的定义域和值域
(1)函数 f(x)＝ 31x－2 x＋(3x－1)0 的定义域是(

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