指数函数图像与性质的应用习题课(精选)
高中数学同步教学课件 指数函数的性质与图像(二)
1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) 【答案】D
D．(－∞，－1)
【解析】∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
2．设23－2x＜0.53x－4，则x的取值范围是________. 【答案】(－∞，1) 【解析】∵0.53x－4＝123x－4＝24－3x，∴由 23－2x＜24－3x， 得 3－2x＜4－3x，∴x＜1.]
知识点2 指数不等式
对于形如 af(x)>ag(x)(或 af(x)<ag(x))的不等式， 当 a>1 时，转化为 f(x)>g(x)(或__f_(_x_)<_g_(_x_)_)； 当 0<a<1 时，转化为__f_(x_)_<_g_(_x_) _(或___f(_x_)_>_g_(x_)_)．
[微体验]
[方法总结] 解简单的指数不等式的一般方法
(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的 取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形 式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的形式利用函数图像求解．
C．(2，－3)
D．(2，－2)
【答案】B 【解析】令x－1＝0，得x＝1，此时y＝a0－3＝1－3＝－2， ∴函数y＝ax－1－3恒过定点(1，－2)．
2．方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是________. 【答案】a|a≥1或a＝0 【解析】作出 y＝|2x－1|的图像， 如图，要使直线 y＝a 与图像的交点只有一个， ∴a≥1 或 a＝0.
学案6：4.1.2 指数函数的性质与图像（二）
4.1.2 指数函数的性质与图像（二）素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从_______到______相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝⎛⎭⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数___________．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1．知识点解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的_______求解；(2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的_______求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝b x (b ＞0且b ≠1)的图像求解． 知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)函数的性质有： ①函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有_______的定义域．②当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有_______的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有________的单调性．思考：(1)指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的单调性取决于哪个量？ (2)如何判断形如y ＝f (a x )(a ＞0且a ≠1)的函数的单调性？关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用 典例剖析典例1 比较下列各组数的大小： (1)1.72.5,1.73； (2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1； (4)55，33，2．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较． 对点训练1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与0.3x ＋1； (2)⎝⎛⎭⎫12－2与212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域 典例剖析典例2 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域．规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域． 对点训练2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的单调递减区间是_________，值域是_________． 题型指数函数性质的综合应用 典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,8) B ．[4,8) C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≤x 0，g x ，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小． 对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，其他条件不变，试求a 的范围；(2)已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，总存在 x 2∈[－2,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，求实数m 的取值范围．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34， 所以函数的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．参考答案必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)下上(2)由大变小知识点解指数型不等式(1)单调性(2)单调性(3)①相同②相同相反思考：提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝a x(a ＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1解：(1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得1．70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝122＝(23)16＝816，33＝313＝(32)16＝916而8＜9.∴816＜916，即2＜33，又2＝122＝(25) 110 ＝32110 ，55＝515 ＝(52) 110 ，而25＜32，∴55＜2． 总之，55＜2＜33． 对点训练1．解：(1)∵y ＝0.3x 为减函数， 又x ＜x ＋1，∴0.3x ＞0.3x ＋1． (2)化同底为：(12)－2＝22，与212 ，∵函数y ＝2x 为增函数，2＞12．∴22＞212 ，即(12)－2＞212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域 典例剖析典例2 解：令t ＝－x 2＋x ＋2， 则y ＝⎝⎛⎭⎫12t，因为t ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上是减函数， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞； 又t ≤94，所以⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫1294， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎡⎭⎫⎝⎛⎭⎫1294，＋∞． 对点训练2．【答案】 [1，＋∞) ⎝⎛⎦⎤－∞，32【解析】令t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t，利用二次函数的性质可得函数t 的增区间为[1，＋∞)，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的减区间是[1，＋∞)；因为t ≥－1， 所以f (x )≤32，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32．题型指数函数性质的综合应用 典例剖析典例3 (1) 【答案】B【解析】因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2) 解：①因为f (x )为R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1， 因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )， 即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3， 由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2． 对点训练3．解：(1)因为函数f (x )满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，所以函数f (x )在定义域上是增函数， 则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＞1，a ≥32.得32≤a ＜2．(2)因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数， 所以f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]， 则当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－3,3]， 若对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]， 使得g (x 2)≥f (x 1)， 则等价为g (x )max ≥3，因为g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， x ∈[－2,2]，所以g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ， 则满足8＋m ≥3解得m ≥－5．易错警示典例剖析典例4 [正解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34． 因为t ＞0，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数， 所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)． 参考答案。
指数函数的图象和性质课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
.
小组互助
例2 比较下列各题中两个值的大小：
2.5
3
(1) 1.7 , 1.7 ;
2
(2) 0.8
3
, 0.8
;
0.3
3.1
(3) 1.7 , 0.9 .
小组互助
变式训练2 比较下列各题中两个值的大小：
(1) 6 2 , 7 2 ;
(2) 0.33.5 , 0.3-2.3 ;
(3) 1.20.5 , 0.51.2 ;
D.f(x)=
B
)
学习目标
1.能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质；
2.能应用指数函数的图象和性质解决指数式比较大小、解不等
式等问题.
自学指导
阅读课本116--117页，完成以下问题：
问题：指数函数的图象与性质。
思考1：完成x，y的对应值表，并用描点法画出函数y=2x的图像，观察图象
小组互助
【例 4】 求下列函数的定义域与值域:
-
(1)f(x)= ;
(3)f(x)=
+;
(2)f(x)=
+
(4)f(x)=4x -2x+2.
-;
小组互助
【变式 4】 求下列函数的定义域与值域:
(1)f(x)=
;
(2)f(x)=9x +3x+1.
小组互助
【例 5】 判断下列函数的奇偶性:
(4)0.80.9 0.90.8 （5）(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
教师点拨
比较幂值大小的常用方法
注意：当底数不确定时，要对 a 1或0 a 1 分类讨论.
课时作业5：4．1.2 指数函数的性质与图像(一)
4．1.2 指数函数的性质与图像(一)1．在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 A2．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为() A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(－∞，0)C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12答案 B解析 ∵y ＝(1－2a )x 是R 上的增函数，则1－2a >1，∴a <0.3．函数y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(0,2)答案 D4．若函数y ＝(m 2－5m ＋5)m x 是指数函数，则有( )A ．m ＝1或m ＝4B ．m ＝1C ．m ＝4D ．m >0或m ≠1答案 C解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－5m ＋5＝1，m >0且m ≠1，∴m ＝4. 5．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图像大致是( )答案 A6．函数y ＝32－2x 的定义域是________．答案 (－∞，5]解析 由32－2x ≥0，得2x ≤25，∴x ≤5.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (x )的值域为________． 答案 [8，＋∞)解析 当x ≥3时，2x ≥23＝8；当x <3时，皆可通过有限次加1转化为第一类．8．已知f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，∴a ＋a 2＝6，即a 2＋a －6＝0，∴a ＝2或a ＝－3(舍)．9．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝13x -； (2)y ＝5－x －1.解 (1)由1－x ≥0，得x ≤1.∴定义域为(－∞，1]．设t ＝1－x ≥0，则3t ≥30＝1，∴值域为[1，＋∞)．(2)定义域为R ，∵5－x >0，∴5－x －1>－1，∴值域为(－1，＋∞)．10．已知x ∈[－3,2]，求f (x )＝14x －12x ＋1的最小值与最大值． 解 f (x )＝14x －12x ＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫2－x －122＋34，∵x ∈[－3,2]，∴14≤2－x ≤8，则当2－x ＝12，即x ＝1时，f (x )有最小值34， 当2－x ＝8，即x ＝－3时，f (x )有最大值57.11．已知函数f (x )＝(a 2－1)x ，若x >0时总有f (x )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．1<|a |<2B ．|a |<2C ．|a |>1D ．|a |> 2答案 D解析 由题意知a 2－1>1，解得a >2或a <－2，故选D.12．函数y ＝a x －a (a >0且a ≠1)的大致图像可能是( )答案 C解析 如果函数的图像是A ，那么由1－a ＝1，得a ＝0，这与a >0且a ≠1相矛盾，故A 不可能；如果函数的图像是B ，那么由a 1－a <0，得0<0，这是不可能的，故B 不可能；如果函数的图像是C ，那么由0<1－a <1，得0<a <1，且a 1－a ＝0，故C 可能；如果函数的图像是D ，那么由a 1－a <0，得0<0，这是不可能的，故D 不可能．13．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0答案 C解析 函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图像是由函数y ＝a x 的图像经过向上或向下平移而得到的，因其图像不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图像向下平移大于1个单位长度，即b －1<－1，所以b <0.14．若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋m 与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．答案 [－1,0)解析 y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图像如图，若y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图像必须下移|m |个单位长度且0<|m |≤1，且m ＜0，所以－1≤m <0.15．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图像为( )答案 C解析 令x ＝1，则①y ＝m ，②y ＝n ，∵m <n ，∴C 对．16．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13|x ＋1|.(1)画出函数的图像(简图)；(2)由图像指出函数的单调区间；(3)由图像指出当x 取何值时函数有最值，并求出最值．解 (1)方法一 y ＝⎝⎛⎭⎫13|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫13x ＋1，x ≥－1，3x ＋1，x <－1.其图像由两部分组成： 一部分：y ＝⎝⎛⎭⎫13x (x ≥0)的图像――――――――――→向左平移1个单位长度y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1(x ≥－1)的图像； 另一部分：y ＝3x (x <0)的图像――――――――――→向左平移1个单位长度y ＝3x ＋1(x <－1)的图像． 得到的函数图像如实线部分所示．方法二 ①可知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |是偶函数，其图像关于y 轴对称，故先作出y ＝⎝⎛⎭⎫13x (x ≥0)的图像，当x <0时，其图像与y ＝⎝⎛⎭⎫13x (x ≥0)的图像关于y 轴对称，从而得出y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |的图像． ②将y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |的图像向左平移1个单位长度，即可得y ＝⎝⎛⎭⎫13|x ＋1|的图像，如图所示．(2)由图像知函数的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．(3)由图像知当x ＝－1时，函数有最大值1，无最小值．。
高中数学《指数函数图像与性质》精选练习(含详细解析)
高中数学《指数函数图像与性质》精选练习（含详细解析）一、选择题1.函数y=的定义域为( )A.RB.(-∞,+∞)C.(-∞,0)D.{x|x≠0,x∈R}2.定义运算:a·b=则函数f(x)=1·2x的图象大致为( )3.若函数y=(1-a)x是实数集R上的减函数,则实数a的取值范围是( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(-2,0)D.(0,2)4.下列函数中,值域为的函数是( )A.y=B.y=C.y=D.y=5.若函数f=a x-1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a等于( )A.1B.C.1或D.26函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b均为常数,则下列结论正确的是( )A.a>1,b>0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<02.已知实数a,b满足等式2a=3b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中可能成立的关系式有( )A.①②③B.①②⑤C.①③⑤D.③④⑤二、填空题7.若函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,则a= .8.函数y=2a x-2+1(a>0,且a≠1)的图象过定点.9.当x>0时,函数f(x)=的值总是大于1,则a的取值范围是. 【补偿训练】当x<0时,函数y=(2a-1)x的值总小于1,则a的取值范围是.【解析】由题意,2a-1>1,所以a>1.答案:a>110已知函数f(x)=a x+b(a>0,且a≠1),经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为.11.函数y=(a>0,且a≠1)的定义域是(-∞,0],则实数a的取值范围为.三、解答题(每小题10分,共20分)12.求下列函数的定义域和值域:(1)y=-1.(2)y=.13已知函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0且a≠1.(1)求a的值.(2)求函数y=f(x≥0)的值域.14.若y=(a-3)(a-2)x是指数函数,求函数f(x)=的定义域与值域..15.已知函数f(x)=-1.(1)作出f(x)的简图.(2)若关于x的方程f(x)=3m有两个解,求m取值范围.(2).参考答案与解析1【解析】选D.因为2x-1≠0,所以x≠0.2【解析】选A.f(x)=3【解析】选B.由于函数y=(1-a)x是实数集R上的减函数,则有0<1-a<1,解得0<a<1.4【解析】选D.y=中y>0且y≠1,y=中y可以为0,y=中y>1.5【解析】选B.由题意知或解得a=.6【解析】选D.f(x)=a x-b的图象是由y=a x的图象平移得到的,由图象可知f(x)在R上是递减函数,所以0<a<1,由y=a x过点(0,1)得知y=a x的图象向左平移|b|个单位得f(x)的图象,所以b<0.7【解析】由指数函数的定义得解得a=1.答案:1【解析】令x-2=0,解得x=2,则y=3,所以过定点(2,3).答案:(2,3)【解题指南】指数函数只有底数大于1时,才会有x>0时,函数值总大于1.9【解析】由题意知,a2-1>1,即a2>2,解得a>或a<-.答案:a>或a<-10【解析】由已知得解得所以f(x)=+3,所以f(-2)=+3=4+3=7.答案:711【解析】由题意,当x≤0时,a x≥1,所以0<a<1.答案:0<a<1【误区警示】本题由x≤0时,a x≥1,易得出a>1的错误答案.12【解析】(1)要使y=-1有意义,需x≠0,则>0且≠1,故-1>-1且-1≠0,故函数y=-1的定义域为,函数的值域为(-1,0)∪(0,+∞).(2)函数y=的定义域为实数集R,由于2x2≥0,则2x2-2≥-2,故0<≤9,所以函数y=的值域为(0,9].13【解析】(1)函数图象经过点,所以a2-1=,则a=.(2)由(1)知函数为f(x)=(x≥0),由x≥0,得x-1≥-1.于是0<≤=2,所以函数的值域为(0,2].14【解析】因为y=(a-3)(a-2)x是指数函数,所以解得a=4,所以f(x)=,由x+2≠0,得x≠-2,所以f(x)的定义域是∪,令t=,所以t≠0,即f(x)≠1,所以f(x)的值域是∪15【解析】(1)f(x)=如图所示.作出直线y=3m,当-1<3m<0时,即-<m<0时,函数y=f(x)与y=3m有两个交点,即关于x的方程f(x)=3m有两个解。
4.2(3)指数函数的图像与性质
浦江高级中学高一年级数学作业班级__________姓名_______________学号__________成绩__________________ 课题：4.2（3）指数函数的图像与性质 _____年____月____日一、填空题：1、已知函数()y f x =的定义域为(1,2)，则函数(2)x y f =的定义域为______________.2、当[1,1]x ∈-时，()32x f x =-的值域为______________.3、已知2321(25)(25)x xa a a a -++>++，则x 的取值范围是________________________.4、某种细菌在培养的过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为2个），经过3小时， 这种细菌由一个可以繁殖成___________个.二、选择题：5、函数(1)x y a a =>的图像是( )6、为了得到函数935x y =⨯+的图像，可以把函数3xy =的图像（ ）．（A ）向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度（B ）向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度（C ）向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度（D ）向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度三、解答题7、画出函数31x y =-的图像，并指出k 为何值时，方程31x k -=无解？8、某林区现有木材蓄积量200万3m ，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年均增长率达到5%，（1）若经过x 年后，该林区的木材蓄积量为y 万3m ，求()y f x =的表达式，并求此函数的定义域；（2）做出函数()y f x =的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万3m ？参考答案1、(0,1)；2、5[,1]3-； 3、14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞； 4、512；5、B ；6、D ；7、数形结合可得：0k <；8、（1）()200(15%)x f x =+，*x N ∈ （2）9年；。
指数函数及其图像与性质的应用
应用
学目标
1.巩固指数函数的图像与性质; 2.掌握指数函数的图像与性质的综合运用.
识梳理
一、指数函数的图像与性质
a (0,1)
y
a (1, )
y
图像
1 f(x)=ax O x
1 O
f(x)=ax x
定义域 值域 过定点 图像分布 x 0 时，
( , ) (0, )
O 1
x
1 O
2
x
A.
B.
C.
D.
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 【课堂练习】 函数 f(x)=2x -x 2 的图像大致是（ A ）
y y y y
O
x
O
x
O
x
O
x
A.
B.
C.
D.
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 说明 函数 f(x)=2x 与 g(x)=x 2 的图像大致是
3 2 1 –2 –1 O 3 y 2 1 –2 –1 O 1 2 x 1 2 x y 3 2 1 –1 O 3 y 2 1 –1 O 1 2 x 1 2 3x y
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 例题 2 函数 f(x)=ln|x-1| 的图像大致是（
y y y
B ）
y
-1 O
x
O
1
x
2 3 1 B. f( ) f( ) f( ) 3 2 3 3 2 1 D. f( ) f( ) f( ) 2 3 3
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 【课堂练习】 若直线 y=2a 与函数 f(x)=|ax -1|+1(a>0，且 a 1) 的图 像有两个公共点，则 a 的取值范围是
课时作业4：4.1.2 指数函数的性质与图像(一)
4.1.2 指数函数的性质与图像(一)一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x ；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0 B ．1 C ．3 D ．42．已知f (x )＝3x －b (b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (4)的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．813．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x －2的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤1，53 B ．[－1,1]C.⎣⎡⎦⎤－53，1 D ．[0,1]4．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x 的图像可能是()二、填空题5．函数f (x )＝1－e x 的值域为________．6．若指数函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，116，则f ⎝⎛⎭⎫－32＝________.7．若关于x 的方程2x －a ＋1＝0有负根，则a 的取值范围是________．三、解答题8．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，求a 的值．9．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x －1；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫13222x －.10．设f (x )＝3x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图像；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？【参考答案】一、选择题1．【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确．【答案】B2．【解析】由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，所以f (x )＝3x －2，f (4)＝9.可知C 正确．【答案】C3．【解析】因为指数函数y ＝3x 在区间[－1,1]上是增函数，所以3－1≤3x ≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－53≤f (x )≤1.故选C. 【答案】C4．【解析】需要对a 讨论：①当a >1时，f (x )＝ax 过原点且斜率大于1，g (x )＝a x 是递增的；②当0<a <1时，f (x )＝ax 过原点且斜率小于1，g (x )＝a x 是减函数，显然B 正确．【答案】B二、填空题5．【解析】由1－e x ≥0得e x ≤1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}，所以0<e x ≤1，－1≤－e x <0,0≤1－e x <1，函数f (x )的值域为[0,1)．【答案】[0,1)6．【解析】设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)．因为f (x )过点⎝⎛⎭⎫－2，116，所以116＝a －2， 所以a ＝4，所以f (x )＝4x ， 所以f ⎝⎛⎭⎫－32＝432-＝18. 【答案】18 7．【解析】因为2x ＝a －1有负根，所以x <0，所以0<2x <1.所以0<a －1<1，所以1<a <2.【答案】(1,2)三、解答题8．【解】由指数函数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，①a >0且a ≠1，② 由①得a ＝1或2，结合②得a ＝2.9．【解】(1)要使y ＝21x －1有意义，需x ≠0，则21x ≠1； 故21x －1>－1且21x －1≠0， 故函数y ＝21x －1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫13222x －的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2. 故0<⎝⎛⎭⎫13222x －≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫13222x －的值域为(0,9]． 10．【解】(1)函数f (x )与g (x )的图像如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π；f (m )＝3m ，g (－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等， 即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图像关于y 轴对称．。
指数函数的图像和性质(分层作业含答案详解)
4.2.2 指数函数的图像和性质（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高一专题练习）函数e xy -=(e 是自然底数)的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据指数函数的图像与性质即可得出答案.【详解】解析 10ee e 0xxx x y x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪<⎩，，， 函数exy -=为偶函数，且过()0,1，e0xy -=>，函数在(),0∞-上递增，在()0,∞+上递减，故C 符合. 故选：C.2．（2022·全国·高一课时练习）函数①x y a =；②xy b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54313，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54313，12B 354，12，13C ．12，13354D ．13，12，543【答案】C【分析】由直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b 即可求解. 【详解】解：直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而5113423>>>， 所以a ，b ，c ，d 的值分别是12，13，3，54，故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）函数327x y =- ） A ．(3⎤-∞⎦ B ．()3-∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞【答案】C【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案. 【详解】由题意得3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥． 故选：C.4．（2022·河南开封·高一期末）已知函数()1232,1,,14,x x f x x x ⎧-⎪=⎨⎪<⎩则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-【答案】B【分析】结合分段函数的单调性来求得()f x 的值域.【详解】当1x 时，32x y =-单调递增，值域为(]2,1-；当14x <时，12y x =单调递增，值域为(]1,2，故函数值域为(]2,2-. 故选：B5．（2022·全国·高一课时练习）若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,1] D ．[1,1]-【答案】A【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可 【详解】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--， 所以()f x 是奇函数，所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-， 因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数， 所以()f x 在R 上为增函数， 所以142x x +≥-，解得1≥x ， 故选：A.6．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知0.130.12,0.3,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a c b <<【答案】C【分析】根据指数函数的单调性比较大小．【详解】∵0.3x y =是减函数，30.10>>，所以30.10.30.31<<， 又0.121>， ∴b c a <<． 故选：C ．7．（2022·四川宜宾·高一期末）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．22a b > D ．a b >【答案】B【分析】根据给定条件，举例说明判断A ，C ，D ；利用指数函数单调性判断B 作答. 【详解】取1,2a b ==-，满足a b >，显然有11a b>、22a b <、a b <成立，即选项A ，C ，D 都不正确； 指数函数2x y =在R 上单调递增，若a b >，则必有22a b >，B 正确. 故选：B8．（2022·全国·高一专题练习）已知0.30.80.81.6, 1.6,0.7a b c ===，则（ ） A ．c a b << B ．a b c << C ．b c a >> D ．a b c >>【答案】A【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案. 【详解】解： 1.6x y =是增函数，故0.30.81.6 1.6a b =<=， 而0.30.81.610.7c >>=，故c a b <<. 故选：A.9．（2022·全国·高一课时练习）若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值为（ ） A ．13B 3C 3D 33【答案】D【分析】分01a <<与1a >两种情况，结合函数单调性表达出最值，列出方程，求出a 的值.【详解】当01a <<时，函数()xf x a =在[]22-,上为减函数， 则()()()()22max min 110223f x f x f f a a +=-+=+=，解得：33a =， 当1a >时，函数()xf x a =在[]22-,上为增函数， 则()()()()22max min 110223f x f x f f a a +=+-=+=，解得：3a =． 综上，33a =或3． 故选：D10．（2022·全国·高一）已知函数()()201xf x a a =-<<，则函数的图像经过（ ）．A ．第一、二、四象限B ．第二、三、四象限C ．第二、四象限D ．第一、二象限【答案】B【分析】根据指数函数的单调性和函数图象的平移变换即可得出结果. 【详解】因为01a <<，所以函数()x f x a =的图象经过一、二象限，又()2x f x a =-的图象是由()x f x a =的图象沿y 轴向下平移2个单位得到， 所以函数()2x f x a =-的图象经过二、三、四象限，如图，故选：B11．（2022·湖北武汉·高一期末）函数y x a =+与x y a =，其中0a >，且1a ≠，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据y x a =+单调递增可排除AC ，再根据y x a =+与y 轴交点位置可排除B. 【详解】0a >，则y x a =+单调递增，故排除AC ；对于BD ，x y a =单调递减，则01a <<，∴y x a =+与y 轴交于0和1之间，故排除B. 故选：D.12．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知130440.6,,5a b c a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a c b << C ．c b a << D ．a b c <<【答案】B【分析】根据中间值1比较大小即可.【详解】解：根据题意，01c a ==，134450.61,154a b -⎛⎫=<==> ⎪⎝⎭，所以a c b <<．故选：B ．二、多选题13．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()33x xf x -=-，则（ ）A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC【分析】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0xh x ∞-=-∈-得到()f x 的值域为R ，判断A 正确，D 错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B 选项，根据函数奇偶性定义判断得到C 选项.【详解】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0xh x ∞-=-∈-，所以()33x x f x -=-值域为R ，A 正确，D 错误； 因为()3x g x =是递增函数，而()3xh x -=-是递增函数，所以()33x x f x -=-是递增函数，B 正确；因为定义域为R ，且()()33x xf x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，C 正确；故选：ABC三、填空题14．（2022·全国·高一课时练习）若0a >且1a ≠，则函数()43x f x a -=+的图像恒过的定点的坐标为______．【答案】()4,4【分析】任意指数函数一定过定点(0,1)，根据该性质求解.【详解】令40x -=，得4x =，所以()0434f a =+=，所以函数()43x f x a -=+的图像恒过定点()4,4．故答案为：()4,415．（2022·湖南·岳阳市第四中学高一阶段练习）函数()42xf x a -=+（0a >且1a ≠）恒过一定点________ .【答案】()4,3【分析】令40x -=，求出x 的值后，再代入函数解析式，即可得解.【详解】令40x -=可得4x =，则()0423f a =+=，因此，函数()f x 的图象恒过定点()4,3.故答案为：()4,3.16．（2022·广东广州·高一期末）函数1()211xf x x =--的定义域为______． 【答案】[)()0,11,+∞【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【详解】根据题意，由2101x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，因此定义域为[)()0,11,+∞.故答案为：[)()0,11,+∞.17．（2022·上海市延安中学高一期末）函数()23xy x =<的值域为___________.【答案】(0,8)【分析】根据指数函数的性质，结合自变量范围求值域. 【详解】由3x <，又2x y =递增， ∴函数值域为(0,8). 故答案为：(0,8).四、解答题18．（2022·河北·元氏县第四中学高一开学考试）已知函数21()2x f x -=．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明； （3）解不等式()f x 4≥．【答案】（1）R ；（2）详见解析；（3）{|3x x ≥或3}x ≤-. 【分析】（1）由指数函数的定义域可得解；（2）由()()f x f x -=可知函数为偶函数； （3）利用对数函数的单调性可知212242x-≥=，得212x -≥，从而得解.【详解】（1）易知函数()212x f x -=，x R ∈. 所以定义域为R . （2）由()()()221122x xf x f x ----===，从而知()f x 为偶函数；（3）由条件得212242x-≥=，得212x -≥，解得3x ≥或3x ≤-.所以不等式的解集为：{|3x x ≥或3}x ≤-.【点睛】本题主要考查了指数型函数的定义域，奇偶性及解指数不等式，属于基础题. 19．（2022·全国·高一课时练习）已知x 满足311x ≥+，求函数142x x y +=-的最大值及最小值． 【答案】max 8y =，min 1y =-【分析】先求x 的范围，再通过换元法求最值.【详解】由311x ≥+可得：201x x -≥+可得：(]1,2x ∈-，令2x t =，(]1,2x ∈-， 则()222(2)22211x x y t t t =-⨯=-=--，1,42t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当1t =即0x =时，min 1y =-；当4t =即2x =时，max 8y =．20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之和为7．(1)求a 的值；(2)证明：函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数． 【答案】(1)2a = (2)证明见解析【分析】（1）根据()1(1)xf x a a =+>单调性代入计算即可；（2）根据定义法证明函数为增函数即可. （1）因为()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上单调递增，所以函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之和为()()207f f +=，所以20117a a +++=，解得2a =±，又因为1a ＞，所以2a =． （2）由（1）知，()()()22x x F x f x f x -=--=-， 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则 ()()()()1122122222x x x x F x F x ---=--- 1221112222x x x x =-+- 121221222222x x x x x x -=-+⋅()122112212x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为12x x <，所以12220x x -<，211102x x ++>，所以()()120F x F x -<，即()()12F x F x <，所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数． 21．（2022·湖南·高一课时练习）在同一直角坐标系内作出函数3x y =与3x y -=的图象. 【答案】作图见解析【分析】直接在平面直角坐标系中作出两个指数函数的图象即可. 【详解】解：作出函数3x y =与3x y -=的图象如下图所示：22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数1,0()21,0xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩（1）在给出的坐标系中画出函数()f x 的图象． （2）根据图象写出函数的单调区间和值域．【答案】（1）图见解析；（2）函数()f x 的单调递增区间为(,0]-∞，单调递减区间为[0,)+∞，值域为(,1]-∞. 【解析】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出所求分段函数的图象； （2）根据图象观察可知即可得出结果.【详解】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数1,0()21,0xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩的图象为：（2）由函数的图像可知，函数()f x 的单调递增区间为(,0]-∞ 单调递减区间为[0,)+∞， 函数()f x 的值域为(,1]-∞23．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）已知定义域为R 的函数()2122x xf x a =-+是奇函数. (1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明；(3)若对任意的R x ∈，不等式()()2240f x mx f x -++>成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1(2)函数在定义域内单调递增，证明见解析(3)()4242，-【分析】（1）由()f x 是奇函数可得()00f =，求出a 的值，再验证此时()f x 是奇函数； （2）()f x 先分离常数，再判断其单调性，利用定义证明函数()f x 在R 上单调递增；（3）利用()f x 的奇偶性和单调性将不等式变成224x mx x ->--，再利用二次函数恒成立求出实数m 的取值范围. （1）因为函数的定义域为R ，所以()110012f a =-=+，∴1a =. 经检验当1a =时，有()()f x f x -=-，所以1a =.()211111111212212221x x x xf x +-=-=--=-+++， 函数在定义域内单调递增，证明如下：设12x x >，所以()()()()12212112112*********x x x x x x f x f x --=-=++++，因为1222x x >，所以()()12f x f x >，所以函数()f x 在R 上单调递增. （3）∵()f x 是奇函数，由已知可得()()()22244f x mx f x f x ->-+=--224x mx x ->--，则2240x mx -+>，∴∆<0，故24240m -⨯⨯<，4242m -<<.∴实数m 的取值范围为()4242，-. 24．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数(0x y a a =>且1)a ≠在[]1,2上最大值和最小值的和为12，令()3x x f x a =+．(1)求实数a 的值.(2)并探究()()1f x f x +-是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由； (3)解不等式：()()2121f x f x -+<． 【答案】(1)3a = (2)是定值，证明见解析 (3)1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由单调性得最大值与最小值的和，从而求得a 值； （2）由（1）所得参数值，直接计算()(1)f x f x +-可得； （3）根据（2）的结果化简不等式求得1()2f x <，再解之可得． （1）因为函数(0x y a a =>且1)a ≠在[]1,2上为单调函数，所以212a a +=，解得3a =或4a =-．因为0a >且1a ≠，所以3a =；由（1）得， ()333xx f x =+，所以()()1133331333333333x x x x x x x f x f x --+-=+=+++++⨯3313333x x x=+=++；（3）由（2）得，()()11f x f x -=-，且()0f x >，所以()()()2211f x f x f x <--=，所以 ()12f x <，所以31233x x<+，整理得，33x <，解得12x <， 所以原不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【能力提升】一、单选题1．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数1()323xx f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2()(2)4f a f a +->，则实数a的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(),2(1,)-∞-+∞ C ．()2,1- D ．(1,2)-【答案】B【分析】构造函数()()2g x f x =-，可证得()g x 是奇函数，且在R 上单调递增. 2()(2)4f a f a +->可化为()()220g a g a +->，进而可解得结果.【详解】令1()()233xxg x f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，（R x ∈），则()11()()23333xxxx g x f x g x --⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 是奇函数；又13,3xxy y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭都是R 上增函数，所以()g x 在R 上单调递增.所以2()(2)4f a f a +->可化为()()220g a g a +->，进而有()()22g ag a >-，所以220a a +->， 解得2a <-或1a >. 故选：B.2．（2022·全国·高一课时练习） 若存在正数x ，使得关于x 的不等式()31xx a -<成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．()0,+∞【答案】C【分析】问题转化为13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭在()0,+∞上能成立，根据右侧的单调性求值域，进而求参数范围.【详解】由题意知13xx a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立，即13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立．令()13xf x x ⎛-⎫⎪⎝⎭=，显然()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0x ∀>，()()01f x f >=-， 所以实数a 的取值范围是()1,-+∞． 故选：C二、多选题3．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函数()2+1x xf x a =（0a >，1a ≠），则下列说法正确的是（ ）A ．函数图象关于y 轴对称B ．函数的图像关于(0,0)中心对称C ．当1a >时，函数在(0,)+∞上单调递增D ．当01a <<时，函数有最大值，且最大值为2a 【答案】AD【分析】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D.【详解】()2+1x xf x a=的定义域为{}0x x ≠，当0x ≠时，则()()22+1+1==()x x xxf x aaf x ---=，故()f x 是偶函数，因此图象关于y 轴对称，故A 正确，B 错误， 当0x >时，()2+11x x xxf x a a+==，令1u x x=+，则()u f u a =， 当1a >时，()u f u a =单调递增，1u x x=+在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，由复合函数的单调性可知:()2+11x x xxf x a a+==在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故C 错误，当01a <<时，当0x >时， 由于()uf u a =单调递减，1u x x=+在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故()2+11x x x x f x a a +==在01x <<上单调递增，在1x >上单调递减，故当1x =时，()f x 取最大值，且最大值为2(1)f a =，当0x <时，由于()f x 是偶函数，故最大值为()21f a -=，故D 正确，故选：AD4．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在[]1,1-上的函数()2943x xf x =-⋅+⋅，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的单调递减区间是[]0,1B ．()f x 的单调递增区间是[]1,1-C ．()f x 的最大值是()02f =D ．()f x 的最小值是()16f =-【答案】ACD【分析】首先换元，设3x t =，[]1,1x ∈-，()2224212y t t t =-+=--+，再结合复合函数的单调性，判断AB ；根据函数的单调性，再判断函数的最值，判断CD.【详解】设3x t =，[]1,1x ∈-，则3x t =是增函数，且1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又函数()2224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，因此()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，故A 正确，B 错误；()()max 02f x f ==，故C 正确；()1019f -=，()16f =-，因此()f x 的最小值是6-，故D 正确． 故选:ACD ．三、填空题5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称，若对任意的[1,1]x ∈-，2(2)0x x k f ⋅-≥恒成立，则实数k 的取值范围为_______.【答案】11k ≥【分析】由2(2)0xxk f ⋅-≥得(2)2x xf k ≥使得不等式一边是参数k ，另一边是不含k 关于x 的式子，分离参数.【详解】由83y x x=+为奇函数，可得其图像关于(0,0)对称，所以f x （）的图像关于(0,)a 对称，由题目可知函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称，可得12a =-， 对任意的[1,1]x ∈-，2(2)0x x k f ⋅-≥恒成立8[1,1],2(3212)02x x xx k ⇔∀∈-⋅-⋅+-≥恒成立， 即8232122x xxk ⋅≥⋅+-在[1,1]x ∈-恒成立， 所以28123(2)2x x k ≥-+，令12x t =，由[1,1]x ∈-，可得1[,2]2t ∈， 设2233()81238()42h t t t t =-+=--，当2t =时，h t （）取得最大值11， 所以k 的取值范围是11k ≥. 故答案为：11k ≥.【点睛】①分离参数法：遇到类似()()k f x g x ⋅≥或()()k f x g x +≥等不等式恒成立问题，可把不等式化简为()k h x ≥或()k h x ≤的形式，达到分离参数的目的，再求解y h x =（）的最值处理恒成立问题；②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.四、解答题6．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知实数a 大于0，定义域为R 的函数3()13x x af x a =++是偶函数.(1)求实数a 的值并判断并证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性；(2)对任意的t ∈R ，不等式()()212f t f t m -≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)1a =，()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解析； (2)14m =.【分析】（1）利用偶函数的性质求a ，利用单调性的定义证明函数()f x 的单调性即可； （2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可. （1）因为()313x x a f x a =++为偶函数，且()3113133x x x xa f x a a a ---=++=+⋅+⋅，所以()()f x f x =-，解得1a =±，又0a >，所以1a =,()1313xx f x =++；设120x x >>，则()()()121212121211131313313333x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=++---=-- ⎪⋅⎝⎭，因为120x x >>，所以12330x x ->，1212121133101103333x xx x x x ⋅>⇒<<⇒->⋅⋅，所以()()()()12120f x f x f x f x ->⇒>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增. （2）因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，()()212f t f t m -≥-，所以212t t m -≥-，平方得()22344140t m t m +-+-≥，又因为对任意R t ∈不等式恒成立，所以()()224443140m m ∆=--⨯⨯-≤，解得14m =. 7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x x a af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a = (2)()1,1- (3)10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用函数是奇函数(0)0f =求解a 即可．（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可．（3）利用函数恒成立，参变分离，利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可． （1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =， 当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x xx x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =； （2）由（1）可得()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，因为20x >，可得211x +>，所以10121x<<+， 所以22021x-<-<+， 所以211121x-<-<+， 所以函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()220x mf x +->可得()22xmf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立， 令()211,3xt -=∈，则()()2121t t t t m t -=-++>，函数21y t t=-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥， 所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】求不等式恒成立问题常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ．(1)求a b +的值；(2)当3x ≤-时，函数11xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，求实数t 的取值范围．【答案】(1)103a b += (2)36t <【分析】（1）将点M N 、代入函数()f x ，即可求出a b 、的值，则可求出答案；（2）当3x ≤-时，函数11xy a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方可等价于当3x ≤-时，不等式13203x x t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，利用参变分离可得当3x ≤-时，min1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，易知函数1323x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，由此即可求出答案. （1）∵函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ，∴319ba ba =⎧⎨=⎩∴29a =，∴3a =-（舍）或3a =，13b =，∴103a b +=； （2）由（1）得当3x ≤-时，函数133xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，即当3x ≤-时，不等式13203xx t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，亦即当3x ≤-时，min 1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．设()()13233xg x x x ⎛⎫=+-≤- ⎪⎝⎭，∵13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，2y x =-在(],3-∞-上单调递减，∴()1323xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，∴()()min 336g x g =-=， ∴36t <．9．（2022·全国·高一单元测试）已知指数函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图像过点3,8⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)设函数()()1=-g x f x ，求()g x 的定义域；(2)已知二次函数()h x 的图像经过点()0,0，()()121+=-+h x h x x ，求函数()()f h x 的单调递增区间． 【答案】(1)[)0,+∞ (2)[)1,+∞【分析】（1）根据条件求出()f x 解析式，再列出不等式即可求得()g x 定义域. （2）由待定系数法求得()h x 解析式，再根据复合函数的单调性即可得到结果. （1）由题意知318a =，解得12a =，所以()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()112xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得0x ≥．所以()g x 的定义域为[)0,+∞．（2）设()()20h x mx bx c m =++≠，则()()()()()221112h x m x b x c mx m b x m b c +=++++=+++++，()()22121h x x mx b x c -+=+-++，由()()121+=-+h x h x x ， 得221m b b m b c c +=-⎧⎨++=+⎩，解得12m b =-⎧⎨=⎩，则()22h x x x c =-++， 又()00h c ==，所以()()22211h x x x x =-+=--+，所以()22h x x x =-+在[)1,+∞上单调递减，又()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，所以函数()()f h x 的单调递增区间为[)1,+∞．10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，记()2x x a f x a =+．(1)求a 的值；(2)求证：()()1f x f x +-为定值； (3)求12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【答案】(1)4a = (2)证明见解析 (3)100【分析】（1）函数x y a =在[]1,2上单调，得到220a a +=，排除5a =-，得到答案. （2）()442xx f x =+，代入数据计算得到()()11f x f x +-=，得到证明.（3）根据()()11f x f x +-=，两两组合计算得到答案. （1）解：因为函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，且函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上单调，所以当1x =和2x =时，函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上取得最值，即220a a +=， 解得4a =或5a =-（舍去），所以4a =． （2）解：由（1）知，4a =，所以()442xx f x =+，故()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅．（3）解：由（2）知，()()11f x f x +-=，因为12001201201+=，21191201201+=，，1001011201201+=， 所以12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12001192012012020121f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1001011100100201201f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()221x xf x a a =+-（0a >，且1a ≠），求函数()f x 在[)0,+∞上的值域．【答案】答案见解析．【分析】应用换元法，令x t a =则()()212g t t =+-，讨论1a >、01a <<，注意定义域的范围，结合二次函数性质判断g t 单调性，根据单调性求值域即可.【详解】令x t a =，则()f x 可化为()()222112g t t t t =+-=+-．当1a >，0x ≥时，1t ≥，又g t 在[)1,+∞上单调递增， ∴()()12g t g ≥=，即()2f x ≥；当01a <<，0x ≥时，01t <≤，又g t 在(]0,1上单调递增， ∴()12g t -<≤，即()12f x -<≤．综上，当1a >时，函数()f x 在[)0,+∞上的值域是[)2,+∞； 当01a <<时，函数()f x 在[)0,+∞上的值域是1,2．12．（2022·全国·高一课时练习）对于函数1()2(1)+=-x a f x a （0a >且1a ≠）．(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)当24a <<时，求函数()f x 在[][]3,11,3--⋃上的最大值和最小值． 【答案】(1)奇函数(2)最大值为11(1)12f a =+-，最小值为11(1)12f a -=---．【分析】（1）利用奇函数的定义判断可得答案；．（2）利用单调性的定义判断可得函数()f x 为减函数，再由奇偶性可得答案. （1）由题意得11()12x f x a =+-， 由10x a -≠，得0x ≠，∴函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称， 又11111()()121212x xx x a f x f x a a a --=+=+=--=----， ∴函数()f x 为奇函数； （2）任取1x ，2(0,)x ∈+∞且12x x <，则()()12121111x x f x f x a a -=-=--()()211211x x x x a a a a ---，∵120x x <<，当24a <<时，2101x x a a a >>=， ∴120x x a a ->，110x a ->，210x a ->， ∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递减．又函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，∴当24a <<时，函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，(0,)+∞， 即函数()f x 在区间[1,3]和[3,1]--上单调递减． ∴当13x ≤≤时，max 11()(1)012f x f a ==+>-，min 311()(3)012f x f a ==+>-， 当31x -≤≤-时，max ()(3)(3)0f x f f =-=-<，min ()(1)(1)0f x f f =-=-<， ∴函数()f x 在[3,1][1,3]--上的最大值为11(1)12f a =+-， 最小值为11(1)12f a -=---． 13．（2022·湖南常德·高一期末）已知()12f x x x -=+-．(1)若0[1,1]x ∃∈-时，()00220x xf k -⋅≥，求实数k 的取值范围；(2)设()2xg x e =-若方程2(())30()kf g x k g x +-=有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)(,1]-∞；(2)[14，＋∞）【分析】（1）将含参不等式，进行参变分离()212122x xk ≤+-，转换为二次函数求最值即可求函数最值，得k 的取值范围；（2）将原方程转换为()()22232120x x e k e k --+-++=，利用整体换元2xt e =-，结合二次函数的实根分布即可求解. (1)解： ()220xxf k -⋅≥即()2112222,1222x xx x xk k +-≥⋅≤+-，令11,222xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，记()221F t t t =-+． ∴()()max 21F t F ==，∴1k ≤ 即k 的取值范围是(,1]-∞． (2)解：由()22302xxf e k e ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭得()1222302xx e e k k +-+-+=-， 即()()22232120x x e k e k --+-++=，且20xe -≠，令2x t e =-，则方程化为()()()2231200t k t k t -+++=≠．又方程2(2)302xxf e k e ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，由2x t e =-的图象可知，()()()2231200t k t k t -+++=≠有两个根1t ，2t 且1202t t <<<或1202,2t t <<=．记()()()22312t t k t k ϕ=-+++，则(0)120(2)410k k ϕϕ=+>⎧⎨=-+<⎩ 或(0)120(2)41023022k k kϕϕ⎧⎪=+>⎪=-+=⎨⎪+⎪<<⎩，解得14k >或14k = 综上所述，k 的取值范围是[14，＋∞）．14．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()e e x x f x k -=+为奇函数． (1)求实数k 的值；(2)若对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使21()1e x t f x -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】(1)1k =- (2)1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据奇函数满足()00f =求解即可；（2）将不等式转换为对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使1121e e ex xx t--≤-成立，根据单调性只需“对任意的[]20,1x ∈，21e e et t x t--≤-成立”，故考虑21ex t-的最小值，即2x t -在[]20,1x ∈上的最大值，再分当12t ≥与12t 两种情况讨论即可 (1)（1）因为函数()e e x x f x k -=+为奇函数，故()00e e 010f k k =+=+=，故1k =-，此时()e e x x f x -=-为奇函数，故1k =- (2)因为e x y =为增函数，e x y -=为减函数，故()e e x xf x -=-为增函数，故“对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使1121e e ex x x t--≤-成立”，即“对任意的[]20,1x ∈， 21e e et tx t--≤-成立”，故考虑21ex t-的最小值，即2x t -在[]20,1x ∈上的最大值.①当12t ≥时，2x t -在20x =时取最大值，故1e e e t tt -≤-，即2e 2t ≤，22ln t ≤，因为ln 2122<，故不成立； ②当12t时，2x t -在21x =时取最大值，11e e et tt --≤-成立，即2e 11e t -≤，即1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为111ln 22e 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭时满足条件. 综上所述，1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
指数函数图象及性质(1)
x
，∴a ＝4.
• 已 知 指数 函 数 f(x)的 图象 过 点 (3,8)，求 f(6)的值． 解 ： 设 f(x) ＝ ax ， 则 a3 ＝ 8 ， ∴ a ＝ 2 ， ∴f(x)＝2x，∴f(6)＝26＝64.
注：指数函数解析式y=ax的系数是1
例1：指出下列函数哪些是指数函数
(1) y=4 x
1 x
(2)y=x 4
(3)y=3 x 2
(4)y=2 (7)y=
(5)y=2 x 1 (8)y=4x
2
(6)y=(-4) x (9)y=2
x+2.
x
1 (10)y=(2a-1) (a ) 2
x
• 变式体验 若y＝(a－3)·(a－2)x是指数 函数，求a的值．
-6
当x 0时， 当x 0时,
-8
0 y___1
y___1
当x 0时, -8
y___1
讨论:两种情况函数的性质有何异同?
应用
比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.7 2.5 ＜
1.7
3
解： ∵函数 y 1.7 x在R上是增函数， 而指数2.5<3． ∴
1.7 2.5< 1.7 3
x
y2
y(
x
… 3 2
… …
1 8
1
1 2
0
1
1
2
3
8
1 8
…
… …
1 4
2
1 2
4
1 4
1 x ) 2
8
4.2(3)指数函数的图像与性质
(1)试建立这两个国家的人口增长模型的数学解析式;
(2)作两国的人口增长曲线图,根据图像你能得出怎样的预 测.
解:(1)设从2000年起经过x年两国的人口分别 为f(x)和g(x)
则甲国f(x)=75967(1+0.02)x ,
xN;
乙
国g(x)=79832(1+0.014)x ,
例3.统计资料显示,2000年亚洲甲、乙两个国家 的人口情况如下: 甲国人口数为75967(千),人口年增长率为2.0%; 乙国人口数为79832(千),人口年增长率为1.4% . 设两国的人口增长率不变. (2)作两国的人口增 长曲线图,根据图像你能得出怎样的预测.
解:(1)1年本利和
y=20&利.2和5%y=×8200%(1)+2.25%×80%)
+ 20(1+2.25%×80%)
×2.25%×80%
……
5=年20本(1利+和2.25%×80%)2
y=20(1+2.25%×80%)5≈21.8660
例2.银行一年期定期储蓄年利率为2.25%,如果存 款到期不取继续留存于银行,银行自动将本金及 80%的利息(利息须交纳20%利息税,由银行代交) 自动转存一年期定期储蓄.
解:由f(x)=75967(1+0.02)x; g(x)=79832(1+0.014)x
人口(千)
87 000
看图预测
80 000
f(x) g(x)
75 000 2000
2002 2004 2006 2008
年份
练习:
1.探测某片森林知道,可采伐的木材有10万立方米,
设森林可采伐木材的年平均增长率为8%,经过x年 可采伐木材y立方米. (1)写出y与x的函数解析式,并画出图像;
03 教学课件_指数函数的性质与图像(第2课时)(4)
拓展深化 [微判断] 1.y＝21－x是R上的增函数.( × ) 提示 函数 y＝21－x＝12x－1是 R 上的减函数. 2.若0.1a>0.1b，则a>b.( × ) 提示 因为0<0.1<1，∴y＝0.1x为减函数，∴由0.1a>0.1b得a<b. 3.由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也 组不成具有奇偶性的函数.( × ) 提示 函数y＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数.
角度1 比较两数的大小
【例3－1】 (1)下列大小关系正确的是( )
A.0.43<30.4<π0
B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0
D.π0<30.4<0.43
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A.a<b<c
B.a<c<b
∵函数 y＝54x在(－∞，＋∞) 上是增函数，
1
1
∴54－2<542，即54－2<0.8－2.
(2)解析 不等式 3x2－2x－1≤13可化为 3x2－2x－1≤3－1. ∵函数y＝3x在R上为增函数，
∴x2－2x－1≤－1，∴0≤x≤2.
故原不等式的解集为[0，2].
答案 [0，2]
(3)解析 令u＝－x2＋2x，则y＝2u. ∵u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减， 又∵y＝2u在R上递增，∴y＝2－x2＋2x的单调减区间为[1，＋∞). 答案 [1，＋∞)
一、素养落地 1.通过进一步深入理解指数函数的单调性及其应用提升逻辑推理素养，通过指数函
高中数学3.3.1指数函数的概念图像和性质省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究点二 指数函数的图像及应用 (1)设 a，b，c，d>0，且不等于 1，y＝ax，y＝bx，y ＝cx，y＝dx 在同一坐标系中的图像如图，则 a，b，c，d 的 大小顺序为( C )
A． a<b<c<d C． b<a<d<c
B． a<b<d<c D． b<a<c<d
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(2)已知 0＜a＜1，b＜－1，则函数 y＝ax＋b 的图像必定不经
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解析：(1)设 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)，
则
a4＝ 1 ，所以 16
a＝1.所以 2
f(x)＝12 x.
所以 f(－3)＝12－3＝8.
(2)因为函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)过定点(0，1),函数 y＝ax－3＋3
中,令 x＝3，得 y＝1＋3＝4，所以函数的图像过定点(3,4)．
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2．下列各函数中，是指数函数的是( D )
A．y＝(－3)x
B．y＝－3x
C．y＝3x－1
D．y＝13x
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3．y＝34x的图像可能是( C )
4．若函数 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)的图像过点(3，8)，则 f(x) ＝____2_x___．
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1．指数函数与正整数指数函数的类比 (1)解析式的特征：①ax，x 的系数均为 1； ②自变量 x 均在指数位置上； ③底数均为大于 0 且不等于 1 的常数． (2)①正整数指数函数 y＝ax 定义域为 N＋，指数函数 y＝ax 定 义域为 R. ②y＝ax，x∈N＋的函数图像是离散的点．
中，自变量 x 出现在指数的位置上，底数 a 是一个大于 0 且
指数函数的性质与图像公开课优质课件一等奖
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人口增长模型
人口增长模型
假设人口增长率保持不变，则人口数量与时间之间的关系可以用指数函数来描 述。即N(t) = N0e^(rt)，其中N(t)表示t时刻的人口数量，N0表示初始人口数 量，r表示人口增长率。
指数函数在人口增长模型中的应用
通过指数函数模型，可以预测未来人口数量的变化趋势，为城市规划、资源分 配等提供决策依据。
指数函数的性质与图像公 开课优质课件一等奖
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目录
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• 指数函数基本概念 • 指数函数性质分析 • 指数函数图像特征 • 指数函数在生活中的应用举例 • 求解指数方程和不等式方法探讨 • 总结回顾与拓展延伸
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指数函数基本概念
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指数函数定义
指数函数是形如 f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函数，其中 a 是底数，x 是指 数。
当a=1时，指数函数f(x)=1是偶函数，因为 f(-x)=f(x)对于所有的x都成立。
当a=-1时，指数函数f(x)=(-1)^x是奇函数， 因为f(-x)=-f(x)对于所有的x都成立。
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指数函数图像特征
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ห้องสมุดไป่ตู้
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图像形状及位置
指数函数图像是一条从左下方 向右上方延伸的曲线，形状类 似于指数增长的曲线。
指数函数的单调性可以通过其导数进行证明。对于底数a>1的指数函数，其导数恒大于0，因此函数单调增加； 对于0<a<1的指数函数，其导数恒小于0，因此函数单调减少。
指数函数的图像与性质(1)
a, b, c, d
与 1、0 、
共六个数， 共六个数，从小到大的顺序是 ： 0 < b < a < 1 < d < c.
y
y = bx y = ax
1
y=c y=d
x
x
x 0
三、课堂小结
1、指数函数概念； 、指数函数概念；
函数y 叫做指数函数， 函数 = ax(a>0，且a ≠1)叫做指数函数，其 > ， 叫做指数函数 函数的定义域是R 中x是自变量 .函数的定义域是 . 是自变量 函数的定义域是
一、情境引入
情景2 有一个同学喝水的时候 第一次喝掉杯中的一半, 有一个同学喝水的时候， 情景 .有一个同学喝水的时候，第一次喝掉杯中的一半 第二次喝掉剩余部分的一半,第三次喝掉第二次剩余部分 第二次喝掉剩余部分的一半 第三次喝掉第二次剩余部分 的一半,依次下去 问喝水的次数x与杯中剩余水的容量 依次下去， 与杯中剩余水的容量y 的一半 依次下去，问喝水的次数 与杯中剩余水的容量 之间的函数关系如何?（假设原来水容量为1个单位 个单位） 之间的函数关系如何 （假设原来水容量为 个单位）
R 上是单调
三、图像与性质
指数函数
的图像及性质
图 象
y=1
a>1
y y=ax
(a>1) (0,1)
0<a<1
y=ax (0<a<1) y
(0,1)
y=1 x
0
x
0
定义域: R 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课)
[解] 现有木材的蓄积量为 200 万立方米，经过 1 年后木材 的蓄积量为 200＋200×5%＝200×(1＋5%)万立方米；经过 2 年后 木材的蓄积量为 200×(1＋5%)＋200×(1＋5%)×5%＝200×(1＋ 5%)2 万立方米；
… 经过 x 年后木材的蓄积量为 200×(1＋5%)x 万立方米． 故 y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.
题型六 指数函数图像及其变换
例6.利用函数f (x) (1)x的图像，作出下列各函数的图像。 2
(1) f (x 1); (5) f (x) 1
(2) f (x 1);
(3) f (x);
(4) f (x);
变式1：画出函数f (x) 3x 1的图像，并利用图像回答： k为何值时，方程3x -1 k无解？有一个解？有两个解？
题型三 指数方程问题
【例3】解方程 4x 2x - 6 0
变式1：解方程3x2 - 32-x 80 变式2：若关于x的方程9x （4 a）3x 4 0有解， 则实数a的取值范围是？ A.(,8) [0,) B.(,4) C.[8,4) D.(,8]
变式3 : 若方程（1）x （1 ）x a 0有正根，则实数 42
变式2：设f (x) 3x 1, c b a且f (c) f (a) f (b),则下列
关系式中一定成立的是？
A.3c 3a
B.3c 3b
C.3a 3b 2
D.3a 3b 2
变式3：方程2a ax -1(a 0且a 1)有两个不同解，求a的取值范围。
题型七 与指数函数有关的奇偶性问题
1．试比较下列各组数的大小：
(1)20.3，
12－0.4,
80.2；
《指数函数的图像和性质》教案、导学案与同步练习
《第四章 指数函数与对数函数》 《4.2.2指数函数的图像和性质》教案【教材分析】本节课在已学指数函数的概念，接着研究指数函数的图像和性质，从而深化学生对指数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究对数函数幂函数等其它函数打下基础。
另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了指数函数的知识，例如细胞分裂，放射性物质衰变，贷款利率等，所以学习这一节具有很大的现实价值。
【教学目标与核心素养】 课程目标1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.数学学科素养1.数学抽象：指数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.【教学重难点】重点：指数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质． 【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】 一、情景导入请学生用三点画图法画图像，观察两个函数图像猜测指数函12,()2x x y y ==数有哪些性质？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本116-117页，思考并完成以下问题1.结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？2.指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、指数函数的图象和性质四、典例分析、举一反三题型一指数函数的图象问题题点一：指数型函数过定点问题例1函数y＝a x－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．【答案】(3,4)【解析】因为指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．题点二：指数型函数图象中数据判断例2函数f(x)＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D.0＜a ＜1，b ＜0【答案】D【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a ＜1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b ＞0，即b ＜0.题点三：作指数型函数的图象例3画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x 的图象经过怎样的变换得到的．(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝－2x .【答案】见解析【解析】如图．(1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位长度得到的；(2)y ＝－2x 的图象与y ＝2x 的图象关于x 轴对称． 解题技巧：（指数函数的图像问题）1.指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y 轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.无论指数函数的底数a 如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可得底数的大小.2.因为函数y=ax 的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b 均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).3.指数函数y=ax 与y=(1a )x(a>0,且a≠1)的图象关于y 轴对称.4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.跟踪训练一1、如图是指数函数:①y=a x,②y=b x,③y=c x,④y=d x的图象,则a,b,c,d 与1的大小关系是( )A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c2、已知函数f(x)=a x+1+3的图象一定过点P,则点P 的坐标是 .3、函数y=的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?【答案】1.B2.(-1,4)3.原函数的图象关于y 轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).【解析】1、解析:(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y 轴右边,底数越小,图象向下越靠近x 轴,故有b<a,③④中函数的底数大于1,在y 轴右边,底数越大, 图象向上越靠近y 轴,故有d<c.故选B.(方法二)作直线x=1,与函数①,②,③,④的图象分别交于A,B,C,D 四点, 将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值, 所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大. 由图可知b<a<1<d<c.故选B. 答案:B2、解析:∵当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a 0+3=4恒成立,故函数f(x)=a x+1+3恒过(-1,4)点.3、解:∵y=(12)|x|={(12)x,x≥0,(12)-x ,x<0,∴其图象由y=(12)x(x≥0)和y=2x (x<0)的图象合并而成.||1()2x而y=(12)x(x>0)和y=2x(x<0)的图象关于y 轴对称,所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).题型二指数函数的性质及其应用 题点一：比较两个函数值的大小 例4比较下列各题中两个值的大小: （1）1.72.5与1.73 （2）0.8−√2与0.8−√3 （3）1.70.3与0.93.1【答案】(1)1.72.5<1.73(2)0.8−√2<0.8−√3（3）1.70.3>0.93.1【解析】(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7,故构造函数y=1.7x,而函数y=1.7x在R 上是增函数.又2.5<3,∴1.72.5<1.73(2)(单调性法)由于0.8−√2与0.8−√3的底数是0.8,故构造函数y=0.8x,而函数y=0.8x在R 上是减函数.又0.8−√2<0.8−√3（3）(中间量法)由指数函数的性质,知0.93.1<0.90=1,1.70.3>1.70=1,则1.70.3>0.93.1题点二：指数函数的定义域与值域问题 例5求下列函数的定义域与值域 (1)y=21x−4; (2)y=(23)-|x|.【答案】(1)定义域为{x|x ∈R,且x≠4},值域为(0,1)∪(1,+∞). (2)定义域为R,值域为[1,+∞). 【解析】(1)∵由x-4≠0,得x≠4,∴函数的定义域为{x|x ∈R,且x≠4}.∵1x−4≠0,∴21x−4≠1.∴y=21x−4的值域为(0,1)∪(1,+∞).（2）函数的定义域为R.∵|x|≥0,∴y=(23)-|x|=(32)|x|≥(32)0=1.故y=(23)-|x|的值域为[1,+∞).解题技巧：（指数函数的性质及其应用） 1.函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域、值域:(1)定义域的求法.函数y=a f(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.(2)函数y=af(x)的值域的求法如下.①换元,令t=f(x); ②求t=f(x)的定义域x ∈D; ③求t=f(x)的值域t ∈M;④利用y=a t的单调性求y=a t(t ∈M)的值域. 2.比较幂的大小的常用方法:跟踪训练二1、比较下面两个数的大小: (a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2). 2、比较下列各题中两个值的大小: ①2.53,2.55.7; ②1.5-7,(827)4;③2.3-0.28,0.67-3.1.【答案】1.当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4. 2.①2.53<2.55.7..②1.5-7>(827)4.③2.3-0.28<0.67-3.1.【解析】1、因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1, 若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,则y=(a-1)x 是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4. 故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4; 当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.2.①(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R 上是增函数.又3<5.7,∴2.53<2.55.7. ②(化同底)1.5-7=(32)-7=(23)7,(827)4=[(23)3]4=(23)12,构造函数y=(23)x.∵0<23<1,∴y=(23)x 在R 上是减函数.又7<12,∴(23)7>(23)12,即1.5-7>(827)4. ③(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本118页习题4.2 【教学反思】本节通过运用指数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.《4.2.2 指数函数的图像和性质》导学案【学习目标】知识目标1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.核心素养1.数学抽象：指数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.【重点与难点】重点：指数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质．【学习过程】一、预习导入阅读课本111-113页，填写。
4.2.2指数函数的图像和性质教学说课课件高一上学期数学人教A版
“授之以鱼,不如授之以渔”,方法的掌握,思想的形成,才能使学生受益终身，所以 我进行了以下学法指导: (1)类比学习法: 与幂函数类比学习指数函数的图象和性质. (2)探究定向性学习法: 学生在教师建立的情境下,通过思考、分析、操作、探索，归 纳出指数函数的图象和性质. (3)主动合作式学习法: 学生在归纳得出指数函数的图象和性质时,通过小组讨论,使 问题得以圆满解决.
类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数： 背景→定义→图象→性质→应用
问题1、你准备归纳指数函数的哪些性质？如何归纳其性质？
设计意图：让学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何画板直接得到图象， 目的是使学生更加信服，从而加深学生对图象的印象，从而为以后画图解题，采用数形结合 的思想方法打下基础.小组合作的方式共同探究性质，自己归纳并设计表格展示性质，整个 过程体现了“从具体到抽象，从特殊到一般”的思维方式，使学生的思维得到升华.培养学 生的抽象概括、归纳能力、语言表达能力以及主动性．
必做题：教科书135页习题1-3，140页到141页习题4.4第2、4题 选做题：习题4.4 的12、13题
设计意图：检验学生指数函数的图象和性质的掌握，以及指数函数的图象和性质的应用. 在选做题部分是对指数函数的图象和性质的拓展与延伸，目的是提高学生运用所学知识 解决问题的能力.
设计意图：这样的板书简明清楚,重点突出,加深学生对图象和性质的理解,便于记忆,有利于 提高教学效果.
4.2.2 指数函数的图象和性质
课堂教学
一、情景引入
问题1、这两个是什么函数？
二、探索新知
类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数： 背景→定义→图象→性质→应用
问题1、你准备归纳指数函数的哪些性质？如何归纳其性质？
4.2指数函数的图像与性质(1)
课题：指数函数的图像与性质（1）一、教学目标1、初步掌握指数函数的性质与图像，掌握指数运算法则2、在探索指数函数的图像与性质过程中，体验学数学规律的研究方法3、渗透数形结合的数学思想，培养学生归纳猜想的意识二、教学重点指数函数的图像与性质三、教学难点指数函数概念的理解，即对于和时，函数图像的不同特征四、教学方法和教学手段启发发现法及多媒体辅助教学五、教学过程(一)情境引入：引例1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系是什么？引例 2 .已知一把尺子第一次截去它的一半,第二次截去剩余部分的一半,第三次截去第二次剩余部分的一半,依次下去，问截的次数x 与剩余尺子长度y 之间的函数关系如何?（假设原来长度为1个单位）（通过建立两个函数关系引入一类特殊的函数——指数函数）(二)讲授新课： 前面我们从两个实例抽象得到两个函数:x y 2=和xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 （板书标题和定义）1、指数函数的定义：函数 ,0(>=a a y x 且)1≠a 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R（1）指数函数的定义域是R老师解释：当x 是有理数时, (0,x a a > )1≠a 有完全确定的意义;而当x 是无理数时,也可以规定x a 的意义.例如,2,取它的不足近似值:1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,...于是相应地有1 1.4 1.41 1.414 1.4142,,,,,...a a a a a可观察到它逐渐地趋近于一个常数,这个常数就规定为（2）指数从有理数推广到实数后,可以证明指数的运算法则仍成立,即(0,,);()(0,,);()(0,0,).x y x y x y xy x x x a a a a x y R a a a x y R a b a b a b x R +⋅=>∈=>∈⋅=⋅>>∈ 探究1:为何规定底数,0>a 且1≠a ？让学生先思考一下，然后提示(1) 1,1,x a a ==当时没有研究的价值（2）0,a =当时00无意义(3) 1110,,,,...,248xa x a <当时取时无意义探究2:下列函数是指数函数吗？（1）x y 23⋅= （2）2(01)x y a a a =+>≠且 （3）5x y -= （4）4x y = 学生先回答，然后问为什么是？为什么不是？最后回到指数函数的定义上来2、用图像法探究指数函数的图像和性质：例1、在同一坐标系中分别作出下列函数的图像x y 2=和x y 3=作图的基本步骤：列表、描点、连线老师自己画图学生作图：在同一坐标系中分别作出下列函数的图像x y )21(=和xy )31(=一个学生黑板上来画，其他学生下边画，然后评讲，最后ppt 打出标准图像在同一坐标系下观察图像特点，学生得出：底互为倒数的两个指数函数，其图像关于y 轴对称练习1：指出下列函数中哪两个函数的图像关于y 轴对称： .25.0,4.0,5.2,4x x x x y y y y ====（学生先思考，然后再提问）然后再观察两组图像各自的特点，猜测出一般规律下面利用几何画板再作几个函数的图像（多媒体演示，用来验证猜测的正确性，进而研究图像性质）一般地，指数函数 xa y =在底数 1>a 及 10<<a 这两种情况下的图像与性质如下图所示：指数函数有下列性质：（1）定义域：R （2）值域：),0(+∞ （3）恒过点：)1,0(，即0=x 时，1=y（4）单调性：函数 x a y =)1( >a 在R 上是单调增函数；函数 x a y =)10( <<a 在R 上是单调减函数（5）函数 x a y =)1( >a ，当0>x 时1>y ；当0<x 时10<<y函数 x a y =)10( <<a ，当0>x 时10<<y ；当0<x 时1>y3、指数函数图像与性质的应用：例2.利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小（1）32和7.12 （2）61)43(和51)34(- （黑板板书，用直尺画图，辅助解答）小结比较指数式大小的方法：构造函数法练习2：（1）） 2.50.7和30.7 （2）28.0-和21)45(- （学生黑板练习）（三）课堂小结1、指数函数的概念2、指数函数的图像与性质3、指数式比较大小的方法：构造函数法（四）作业布置（1）阅读课本8784-P 内容.（2）书面作业：完成学案练习册4243P - 习题4.2 A 组 1, 2, 3, 4（五）板书设计。