1.3.1《单调性与最大(小)值》课时2

【解析】 作出函数 h(t ) 4.9t 2 14.7t 18 的图象(如图)． 显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻， 纵坐标就是这时距地面的高度． 由二次函数的知识，对于函数 h(t ) 4.9t 2 14.7t 18 ，我们有： 当
2 f ( x ) f ( a ) 2 a 当2a4 时 . min
∴ f ( x) min
6 4a, a 2 2 a 2 , 2 a 4 . 18 8a, a 4
【练习 3】 已知函数 f ( x) x 2 x 3 ， 若 x [t , t 2] 时， 求函数 f ( x) 的最值．
13 t 2 方法 2：令 t 13 4 x ，则 t 0 ， x 4 13 t 2 1 1 t (t 1)2 6 ， 所以 y 在 [0, ) 上单调递减， 所以 t 0 2 2
时， ymax
11 2
【练习 5】函数 f ( x) x 2 x 1 的最值为 （A）最小值为 1 ，无最大值 （B）最大值为 1 ，无最小值 （C）最小值为 1 ，最大值为 2 （D）无最大值也无最小值
14.7 3 t 2 (4.9) 2
时
，
函
数
有
最
大
值
4 (4.9) 18 14.7 2 h 29 . 4 (4.9)
于是,烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地 面的高度约 为29 m.
2 【例 3】 已知函数 f ( x) ( x [2, 6] )， 求函数的 x 1 最大值和最小值．
【解题探究】
1.利用图象法求函数的最值时应写最高(低)点的纵坐标,还是横 坐标？ 2.题2中求函数的单调区间与最值时应按照怎样的思路求解？
探究提示：
1.利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标. 2.应先作图象，找出单调区间，最后确定最值.
【解析】（1）选B.观察图象知，图象的最高点(3，3)，最低点(-1.5，-2)，
以其最大值、最小值分别为3，-2.
1 1－2x, x (－,－］， （2） f x 3, x (－ 其图象如下： 1,2］， 2x－ 1, x (2,3］，
由图象得单调递减区间为(-∞,-1］，单调递增区间为［2,3］,
有最小值3，无最大值.
【例 2】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制 造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟 花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关系为 2 h(t ) 4.9t 14.7t 18 ，那么烟花冲出后什么时 候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多 少(精确到 1 m)?
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值(2)
通过我国1951-2009年年平均气温变化曲线图，分析得到这 60年中平均气温最低和最高的年份，导入该课题：函数的最大（ 小）值；在本节课导入之后，紧扣有关函数的单调性的概念和性 质，引导学生如何通过函数的单调性确定函数的最值情况。
在本节课中，添加微课，精讲函数的单调性的应用，便于理
6 】 函 数
f ( x) x 2(a 2) x a
2
2
H 2 ( x ) 得最大值为 B ,则 A B = （A） a 2 2a 16 （B） a 2 2a 16 （C） 16 （D）16
【解析】 f ( x ) 顶点坐标为 (a 2, 4a 4) ， g ( x) 顶点坐 标 (a 2, 4a 12) ，并且每个函数顶点都在另一个函数的 图象上，图象如图， A 、 B 分别为两个二次函数顶点的 纵坐标，所以 A B (4a 4) (4a 12) 16
解与深刻领悟；本节课注意引导学生利用数形结合法求解函数的 最值问题，注意常见函数的最值的求解方法，可以归纳函数最值 的求解方法，然后，适当的配以典型例题讲解，便于学生理解与 掌握。
课前复习
1
复 习
函数的概念
2
函数的表示方法
3
函数的单调性的定义与证明思路
右图为我国 1951-2009年平 均气温变化曲 线图，通过图 形，你能得到 这 60 年中平均 气温最低和最 高的年份吗？
一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在实数 M满足： （1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M; （2）存在 x0 I，使得 f(x0 ) = M .
函数的最小值
思 考
能否仿照函数的最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值的定义呢？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足： （1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M; （2）存在 x0 ，使得 I f(x0 ) = M ， 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）.
t 2 1 t 2 1 1 t (t 1)2 1 ， 【解析】 令 t 2 x 1 ，则 t 0 ， x ，y 2 2 2 因为 t 0 ，所以 ymin 1 .
a, a b 对任意实数 a ，b ， 定义 min{a, b} ， b, a b
2
【解析】∵对称轴 x 1 ， ①当 1 t 2 即 t 1 时， f ( x)max f (t ) t 2 2t 3 ， f ( x)min f (t 2) t 2 2t 3 . ②当
t t 2 1 t 2 ，即 1 t 0 时， 2 f ( x)max f (t ) t 2 2t 3 ， f ( x)min f (1) 4 . t t 2 ，即 0 t 1 ， 2 f (t 2) t 2 2t 3 ， f ( x)min f (1) 4 .
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系:
(1)对一个函数来说，其值域是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端 点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
2．二次函数在闭区间上的最值:
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的 草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的 对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上
最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
课后练习
课后习题
【例 4】 求二次函数 f ( x) x 2 2ax 2 在 [2, 4] 上的最小值．
【解析】∵函数图象的对称轴是 x a ， ∴当 a 2 时， f ( x) 在 [2, 4] 上是增函数， ∴ f ( x)min f (2) 6 4a . 当 a 4 时， f ( x) 在 [2, 4] 上是减函数， ∴ f ( x)min f (4) 18 8a .
最小值总结为：
对于定义域为I的函数f(x)，条件：
f(x)≥M f(x0)=M
结论：M是函数f(x)在I上的最小值. 纵坐标 低 点的_______. 几何意义：函数y=f(x)图象上最___
典例展示
例 1（1）函数 y f ( x) ， x [4, 7] 的图象如图，则 其最大值、最小值为( ) A.3，2 B.3， 2 C.3，0 D.2， 2 （2）写出函数 f ( x) | x 1| | 2 x | ， x (,3] 的 单调区间和最值.
③当 t 1
f ( x)max
④当 1 t ，即 t 1时，
f ( x)max f (t 2) t 2 2t 3 ， f ( x)min f (t ) t 2 2t 3 .
综上所述， f ( x)max
t 2t 3, t 0 2 ， f ( x) min t 2 t 3, t 0
F ( x) min{3 2 | x |, x 2 x} ，则 F ( x)
2
A．最大值为 3，最小值为-1 B. 最大值为7 2 7 ，无最小值 C．最大值为2 7 ，无最小值 【答案】B D. 既无最大值，又无最小值
【 例
， 2 2 g ( x) x 2(a 2) x a 8. 设 H1 ( x) max{ f ( x), g ( x)} ， max{ p, q} 表示 p, q 中的较大值, H 2 ( x) min{ f ( x), g ( x)} ， min p, q 表示 p, q 中的较小值,记 H1 x 得最小值为 A ，
函数的最大值 如图是广州市某一天内的气温变化图，观察图形.
这一天当中气温最低和最高的时刻分别是什么时候？
观 察下列两个函数的图象：
y
M
M y
x
o x0
图1
o
图2
x0
x
思 考
观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这 个最高点的纵坐标叫什么呢？
M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）：
2
t 2 2t 3, 4, 2 t 2t 3,
t 1 1 t . t 1
【例 5】求函数 y 2 x 1 13 4 x 的最值
13 【解析】方法 1：函数的定义域为 (, ] ，又 y 2 x 1 13 4 x 在 4 13 11 (, ] 上是增函数，所以 ymax 4 2
【解析】设 x1 , x2 是区间 [2, 6] 上的任意两个实数，且 x1 x2 ， 则 f ( x1 ) f ( x2 )
2( x2 x1 ) 2 2 x1 1 x2 1 ( x1 1)( x2 1)
由 2 x1 x2 6 ，得 x2 x1 0 ， ( x1 1)( x2 1) 0 ， 于是 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ，即 f ( x1 ) f ( x2 ) ． 2 所以，函数 f ( x) 在区间 [2, 6] 上是减函数． x 1 2 因此，函数 f ( x) 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值， x 1 即在 x 2 时取得最大值，最大值是 2， 2 在 x 6 时取得最小值，最小值是 . 5