2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-3空间点、线、面之间的位置关系

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2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测7-4直线、平面平行的判定及性质

［课时跟踪检测］［基础达标］1. （2017届惠州模拟）设直线I, m,平面a B,则下列条件能推出all B的是（）A. I?a,m? a，且I //p, m // pB. I?a,m? p，且I //mC. 11a m l p，且I //mD. I //a,m// p,，I //m且解析：借助正方体模型进行判断.易排除选项A、B、D，故选C.答案：C2. 如图，在长方体ABCD —A' B' C' D '中，下列直线与平面AD ' C平行的是（）A. B' C'B. A' BC. A' B'D. BB'解析：连接A' B,v A' B l CD'，二A' B//平面AD' C.答案：B3. （2017届台州模拟）设I为直线，a, B是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）A .若I// a I // B,贝u all BB. 若I丄a, I 丄B,贝U a// BC. 若I丄a, I // B,贝U all pD. 若al p I// a,贝U I // p解析：画出一个长方体ABCD —A1B1C1D1.对于A , C1D1 //平面ABB1A1, C1D1//平面ABCD，但平面ABB i A i与平面ABCD相交；对于C, BB i丄平面ABCD, BB i//平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB i A i 丄平面ABCD, CD //平面ABB i A i, 但CD?平面ABCD;易知B正确.答案：B4. （2018届江西模拟）设平面a//平面B, A€ a, B€ B, C是AB的中点，当A、B分别在a B内运动时，那么所有的动点C（）A .不共面B. 当且仅当A, B在两条相交直线上移动时才共面C. 当且仅当A, B在两条给定的平行直线上移动时才共面D. 不论A, B如何移动都共面解析：根据平行平面的性质，不论A、B如何运动，动点C均在过C且与a, B都平行的平面上.答案：D5. （2017届上海青浦二模）下列命题正确的是（）A. 若直线l i //平面a直线“//平面a,则l i // I2B. 若直线I上有两个点到平面a的距离相等，贝U I // aC. 直线I与平面a所成角的取值范围是JO, n）D. 若直线l i丄平面a,直线12丄平面a ,则l i / I2解析：对于A ,若直线l i//平面a,直线b//平面a,则l i与I2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；对于B ,若直线I与平面a相交于0点，在交点两侧分别取A , B两点使得0A=0B ,则A , B到平面a的距离相等，但直线I与a不平行,故B错误；对于C ,当直线I? a ,或I // a时，直线I与平面a所成的角为0 ,当I la n时，直线I与平面a所成的角为2,故C错误；对于D ,由垂直于同一个平面的两条直线平行可知D正确,故选D.答案：D6. 如图所示,在空间四边形ABCD中，点E , F分别为边AB , AD上的点,且AE : EB= AF : FD = i : 4,又点H , G分别为BC , CD的中点,则（）.4A. BD //平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B. EF //平面BCD，且四边形EFGH是梯形C. HG //平面ABD，且四边形EFGH是菱形D. EH //平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形1解析：由AE : EB = AF : FD = 1 : 4知EF綊gBD,所以EF //平面BCD.又因1为点H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊qBD，所以EF / HG且EF^ HG. 所以四边形EFGH是梯形.答案：B7. （2018届合肥模拟）若平面a截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面a平行的棱有（）A. 0条B. 1条C. 2条 D . 1条或2条解析：如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF // GH，••• EF?平面BCD，GH?平面BCD，••• EF//平面BCD.••• EF?平面ACD，平面BCD n 平面ACD= CD，••• EF// CD，二CD//平面EFGH，同理，AB//平面EFGH.答案：C8. （2018届韶关模拟）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1 的中点，AB= 4,则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为（）A. 6 2+ 4 5B. 6 .2+ 2 5C. 3.2+ 4 5D. 3 2+ 2 5解析：•••正方体ABCD —A i B i C i D i中，E, F分别是棱AD, DD i的中点,••• EF// AD i // BC i.••• EF?平面BCC i, BC i?平面BCC i,：EF//平面BCC i,由线面平行性质定理，过EF且过B的平面与面BCC i的交线I平行于EF,I即为BC i.由正方体的边长为4,可得截面是以BE= C i F = 2,5为腰，EF= 2 2为上底，BC i = 2EF = 4 2为下底的等腰梯形，故周长为6 2+ 4 5.答案：A9. （20i7届吉林省实验中学一模）已知两条不同直线I, m和两个不同的平面a B,有如下命题：①若I? a, m? a, I // B , m// B,贝U all B;②若I?a, I // B, aA m,则I// m；③若a±B, I 丄B,则I //a其中正确的命题是 _________ .解析：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以①错误；若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以②正确；若a丄B, I丄B,则I / a或I? a,所以③错误.答案：②10. 在正四棱柱ABCD —A i B i C i D i中，O为底面ABCD的中心，P是DD i的中点，设Q是CC i上的点，则点Q满足条件______________ 时,有平面D i BQ //平面PAO.解析：如图所示，假设Q为CC i的中点，因为P为DD i的中点，所以QB// PA.连接DB，因为P, O分别是DD i, DB的中点，所以D i B// PO,又D i B?平面PAO, QB?平面PAO,所以D i B //平面PAO, QB//平面PAO, 又D i B A QB= B,所以平面D i BQ/平面PAO.故Q满足条件Q为CC i的中点时，有平面D i BQ //平面PAO.答案：Q为CC i的中点ii. （20i8届永昌模拟）设平面all B, A、C€ a B、D € B,直线AB与CD交于S,若AS= i8 , BS= 9 , CD = 34 ,则CS= __________ .解析：如图i,由all B可知BD // AC ,如图2,由all B知AC// BD ,i2.（20i8届新津县模拟）在四棱锥P —ABCD中,底面ABCD是直角梯形,/ BAD_Z CBA_ 90° ° 面PAB丄面ABCD , PA_ PB_ AB_ AD _2 , BC_ i，点M 是棱PD的中点..SB_ SDSA T CS ,即i8_ CS—34CS.SA_ CS_ CS 即18 _ CSSB_ SD_ CD —CS ,即9 _ 34 —CSCS_683 .答案: 68或683QcCS_ 68.图2(1)求证：CM //平面FAB;⑵求四棱锥P —ABCD的体积.解：⑴证明：取PA的中点N,连接BN、NM,B C1在^ PAD 中，MN // AD, 且MN = qAD;1又BC// AD, 且BC = qAD ,所以MN // BC, MN = BC,即四边形BCMN为平行四边形，二CM // BN.又CM?平面FAB, BN?平面PAB,故CM //平面PAB.(2)取AB中点E,连接PE,••• PA= PB,A PE丄AB.又•••平面PAB丄平面ABCD,平面PAB A平面ABCD = AB, PE?平面PAB,••• PE丄平面ABCD,1 1 1•••四棱锥P —ABCD 的体积V= 3 S ABCD PE = 3X q x (1 + 2)X 2X .3= 3, 即四棱锥P —ABCD的体积为3.［能力提升］1. （2018届蚌埠期中）过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线, 其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A. 4条B. 6条C. 8 条 D . 12 条解析：作出如图的图形，E, F, G, H是相应直线的中点，故符合条件的直线只能出现在平面EFGH中.答案：B2. （2018届济南模拟）已知m, n是两条不同直线，a, B, Y是三个不同平面, F 列命题中正确的是（）A. 若CL L Y肚Y贝U all BB. 若m±a,n 丄a ,贝U m // nC. 若m //a,n // a ,贝U m // nD. 若m //a,m // B,则all B解析斤：若a久丄Y B丄Y贝U a与B相父或平行，故A错误；若m l a, n丄a,则由直线与平面垂直的性质得m// n,故B正确；若m// a n// a则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m// a m/ B则a与B相交或平行，故D错误.答案：B3. 如图所示，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设点D是A1C1上的点且A1B //平面B1CD ,贝U A1D : DC1的值为 ________ .由此四点可以组成的直线有:因为A i B I平面B i CD且A i B?平面A i BC i，平面A i BC i A平面B i CD = OD , 所以A iB I OD,因为四边形BCC i B i是菱形，所以点O为BC i的中点，所以点D为A i C i的中点，贝U A i D : DC i = 1.答案：14. 如图所示，正方体ABCD —A i B i C i D i的棱长为a,点P是棱AD上一点,a且AP = 3,过B i, D i, P的平面交底面ABCD于PQ,点Q在直线CD上，则PQ=解析：如图，因为平面A1B1C1D1 II平面ABCD,而平面B i D i P A平面ABCD=PQ,平面B i D i P A 平面A i B i C i D i = B i D i，所以B i D i I PQ.又因为B i D i I BD，所以BD I PQ.设PQ A AB= M，因为AB I CD,C解析：设BC i A B i C = O,2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测又 DB = 2a ，所以 PQ = ^a. 答案：簣a所以△ APM s^ DPQ ，所以又知△ APM s^ ADB ，所以 PQ PDPM - "PA —PM AP DB AD2, 1 3, 即 PQ = 2PM , 1 所以 PM =3DB ，。

广东高考导与练文科数学一轮复习课时训练7.3空间点、直线、平面的位置关系(含答案详析)

第3节空间点、直线、平面的位置关系课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( A )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件解析:两直线异面⇒两直线没有公共点,反之不然,所以“两直线异面”是“这两直线没有公共点”的充分不必要条件,故选A.2.有以下命题:①若平面α与平面β相交,则它们只有有限个公共点;②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;③经过两条相交直线有且只有一个平面;④两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.其中,真命题的个数是( B )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:将四个命题一一验证知,只有①不正确,故选B.3.以下四个命题中,正确命题的个数是( B )①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则A、B、C、D、E共面;③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①中,假设存在三点共线,则这四点必共面,与题设矛盾,故①正确;②中,若A、B、C三点共线,则A、B、C、D、E有可能不共面,故②错误;③中,如图所示正方体的棱中,a、b共面,a、c共面,而b、c异面,故③错误;④中,空间四边形的四条线段不共面,故④错误,故选B.4.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是( D )(A)平行(B)异面(C)相交(D)平行、异面或相交解析:经验证,当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现,故选D.5.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( C )(A)直线AC(B)直线AB(C)直线CD(D)直线BC解析:∵D∈l,l⊂β,∴D∈β,又∵D∈AB,AB⊂平面ABC,∴D∈平面ABC,即D在平面ABC与平面β的交线上,又∵C∈平面ABC,C∈β,∴C在平面β与平面ABC的交线上.从而有平面ABC∩平面β=CD.故选C.6.已知A、B是两个不同的点,m、n是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,则①m⊂α,A∈m⇒A∈α;②m∩n=A,A∈α,B∈m⇒B ∈α;③m⊂α,n⊂β,m∥n⇒α∥β;④m⊂α,m⊥β⇒α⊥β.其中真命题为( C )(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④解析:根据平面的性质,可知①正确,②中不能确定B∈α,③中α与β可能平行、也可能相交,④中根据面面垂直判定定理可知正确,故①④为真命题.故选C.7.(2013唐山统考)四棱锥PABCD的所有侧棱长都为,底面ABCD是边长为2的正方形,则CD与PA所成角的余弦值为( B )(A) (B)(C)(D)解析: 如图在四棱锥PABCD中,CD与PA所成的角即是AB与PA所成的角,即∠PAB,取AB中点M,连接PM.在Rt△PAM中,PA=,AM=1,所以cos∠PAB==.故选B.二、填空题8.下列命题中不正确的是.(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线;②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.解析:没有公共点的两直线平行或异面,故①错;如果与两异面直线中一条交于一点,则两直线相交,故命题②错;命题③:若c∥b,又c∥a,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故c、b不可能平行,③正确;命题④正确,若c与两异面直线a,b都相交,由公理2可知,a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面,这样a,b,c共确定两个平面.答案:①②9.对于空间三条直线,有下列四个条件:①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平行;③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中使三条直线共面的充分条件有.解析:易知①中的三条直线一定共面;三棱柱三侧棱两两平行,但不共面,故②错;三棱锥三侧棱交于一点,但不共面,故③错;④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线相交于两点,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.答案:①④10.下列如图所示的是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是.(填上图形的序号)解析: 图①中,由于PS∥QR,所以P、Q、R、S四点共面;图②中,如图,容易知道,PMQNRS为六边形,所以图②中四点共面;图③中,易证PQ RS,所以图③中四点共面;图④中,Q点所在棱与平面PRS平行,因此四点不共面.综上可知,四点共面的图形有①②③.答案:①②③11. 如图所示,在三棱锥ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD 满足条件时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.解析:易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使四边形EFGH为正方形需AC⊥BD.答案:AC=BD AC⊥BD三、解答题12. 如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长线交于点M,RQ、DB的延长线交于点N,RP、DC的延长线交于点K,求证:M、N、K三点共线. 证明:∵M∈PQ,直线PQ⊂平面PQR,M∈BC,直线BC⊂平面BCD,∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线上.同理可证N、K也在平面PQR与平面BCD的交线上.又如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,所以M、N、K三点共线.13.点A是△BCD所在平面外的一点,E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.(2)解:如图所示,取CD的中点G,连接EG、FG,则EG∥BD,FG∥AC,所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角. 又由FG∥AC,AC⊥BD,AC=BD知△EGF为等腰直角三角形,则∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.B组14.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,E是CD 的中点,则异面直线AE与BC所成角的正切值为( A )(A) (B)(C)2 (D)解析:如图所示正方形ABCD及折叠后图形,取BD中点O,连接OE、AO,则OE∥BC,则∠AEO就是异面直线BC与AE所成的角(或其补角),设正方形边长为2,则OE=1,AO=,由平面ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,AO⊥DB,知AO⊥平面BDC,则AO⊥EO.在Rt△AOE中,tan∠AEO==.故选A.15. 如图所示,ABCDA1B1C1D1是长方体,AA1=a,∠BAB1=∠B1A1C1=30°,则AB与A1C1所成的角为,AA1与B1C所成的角为.解析:∵AB∥A1B1,∴∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角,∴AB与A1C1所成的角为30°.∵AA1∥BB1,∴∠BB1C是AA1与B1C所成的角,由已知条件可以得出BB1=a,AB1=A1C1=2a,AB=a,∴B1C1=BC=a,∴四边形BB1C1C是正方形,∴∠BB1C=45°.答案:30°45°16. 如图所示 ,在四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF、GH、BD交于一点.证明:连接GE,FH.因为E、G分别为BC、AB的中点,所以GE∥AC,且GE=AC,又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,且FH=AC.所以FH∥GE,且GE≠FH.所以E、F、H、G四点共面,且四边形EFHG是一个梯形.设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内,又在平面BCD内,所以O在这两个平面的交线上.因为这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条, 所以点O在直线BD上.这就证明了GH和EF的交点也在BD上,所以EF、GH、BD交于一点.。

2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-3空间点

[课时跟踪检测][基础达标]1．空间四点中，三点共线是这四点共面的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：三点共线一定推出四点共面，但是四点共面推不出三点一定共线，故选A.答案：A2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF 相交．答案：A3．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交，平行或异面，故选D.答案：D4．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．②④解析：若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a与c相交或a与c异面，所以①是假命题；在空间中，平行于同一直线的两条直线平行，所以②是真命题；若a∥γ，b ∥γ，则a∥b或a与b相交或a与b异面，所以③是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以④是真命题，故选D.答案：D5．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．答案：A6．(2017届浙江温州二模)已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是() A．必存在平面α，使得a∥α，b∥αB．必存在平面α，使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α，使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α，使得a，b与α的距离相等解析：由a，b为异面直线知，在A中，在空间中任取一点O，过O分别作a ，b 的平行线，则由过O 的a ，b 的平行线确定一个平面α，使得a ∥α，b ∥α，故正确；在B 中，平移b 至b ′与a 相交，因而确定一个平面α，在α上作a ，b ′交角的平分线，明显可以做出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面α使得a ，b 与α所成角相等．角平分线有两条，所以有两个平面都可以，故正确；在C 中，当a ，b 不垂直时，不存在平面α使得a ⊂α，b ⊥α，故错误；在D 中，过异面直线a ，b 的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a ，b 与α的距离相等，故正确．答案：C7．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等解析：由AC ⊥平面DBB 1D 1，可知AC ⊥BE ，故A 正确；由EF ∥BD ，EF ⊄平面ABCD ，知EF ∥平面ABCD ，故B 正确；A 到平面BEF 的距离即A 到平面DBB 1D 1的距离为22，且S △BEF ＝12BB 1×EF ＝定值，故V A －BEF 为定值，故C 正确．答案：D8．如图，正三棱柱ABC －A ′B ′C ′的底面边长和侧棱长均为2，D 、E 分别为AA ′与BC 的中点，则A ′E 与BD 所成角的余弦值为( )A ．0 B.357C.147 D.105解析：取B′B中点F，连接A′F，则有A′F綊BD，∴∠F A′E或其补角即为所求．∵正三棱柱ABC－A′B′C′棱长均为2，∴A′F＝5，FE＝2，A′E＝7.∴cos∠F A′E＝35 7，故A′E与BD所成角余弦值为35 7.答案：B9．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中使三条直线共面的充分条件有________．解析：易知①中的三条直线一定共面；三棱柱三侧棱两两平行，但不共面，故②错；三棱锥三侧棱交于一点，但不共面，故③错；④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面．答案：①④10．如图，E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，PC＝10，AB ＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为________．解析：取AC的中点为M，连接EM，MF，因为E ，F 分别是AP 、BC 的中点，所以MF ∥AB ，MF ＝12AB ＝62＝3，ME ∥PC ，ME ＝12PC ＝102＝5，所以在△EMF 中，∠EMF (或其补角)即为AB与PC 所成的角(或其补角)．∴cos ∠EMF ＝52＋32－722×5×3＝－1530＝－12，所以∠EMF ＝120°，所以异面直线AB 与PC 所成的角为60°.答案：60°11．下列各图的正方体中，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析：①中直线QP 与直线RS 相交，所以四点共面；②中直线PS 与直线QR 平行，所以四点共面．③中直线SR 与直线PQ 平行，所以四点共面；④中直线PS 与直线RQ 异面，所以四点不共面．答案：①②③12．已知空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 的中点．(1)求证：BC 与AD 是异面直线；(2)求证：EG 与FH 相交．证明：(1)假设BC 与AD 共面，不妨设它们所共平面为α，则B ，C ，A ，D ∈α.所以四边形ABCD 为平面图形，这与四边形ABCD 为空间四边形相矛盾，所以BC 与AD 是异面直线．(2)如图，连接AC ，BD ，则EF ∥AC ，HG ∥AC ，因此EF ∥HG ；同理EH ∥FG ，则四边形EFGH 为平行四边形．又EG ，FH 是▱EFGH 的对角线，所以EG 与FH 相交．[能力提升]1．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)解析：构造四面体ABCD ，使AB ＝a ，CD ＝2，AD ＝AC ＝BC ＝BD ＝1，取CD 的中点E ，连接AE ，BE .则AE ＝BE ＝22，所以22＋22>a,0<a < 2.答案：A2．(2017届吉林长春外国语期末)设m ，n 为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )A ．若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥nB ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nC ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n解析：对于A ，当直线m ，n 与平面α所成的角相等时，不一定有m ∥n ，∴A错误；对于B，当m∥α，n∥β，且α∥β时，m∥n不一定成立，∴B错误；对于C，当m⊂α，n⊂β，且m∥n时，α∥β不一定成立，∴C错误；对于D，当n⊥β，α⊥β时，n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，D正确．故选D.答案：D3．(2017届辽宁本溪联考)已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列命题：①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β.上述五个命题中，正确的命题序号是________．解析：对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确；对于②，a垂直于β内的任意一条直线，满足线面垂直的定义，即可得到a ⊥β，又a⊂α，则α⊥β，故正确；对于③，α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b或a∥b，或相交，故不正确；对于④，若a不垂直于平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，故不正确；对于⑤，根据线面垂直的性质，若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故正确．答案：②⑤4．如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，P A＝2.求：(1)三棱锥P－ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝43 3.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34，即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.。

高考数学第七章立体几何第三节空间点线面之间的位置关系教案高三全册数学教案

第三节空间点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．[小题体验]1．(2019·湖州模拟)已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则( )A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α解析：选A 由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面知，在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；在B中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；在C中，若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m与β相交，故C错误；在D中，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选A.2．(教材习题改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.答案：③④1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．3．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．[小题纠偏]1．(2018·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析：选D 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．2．(2019·杭州诊断)设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若m⊂α，m∥n，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题有( )A．①②B．①②③C．②③④ D．①③④解析：选A ①可以根据直线与平面垂直的性质定理得出；②可以根据三垂线定理的逆定理得出；对于③，n可以在平面α内，故③不正确；对于④，反例：正方体共顶点的三个平面两两垂直，故④错误．故选A.3．(教材习题改编)下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：选D ①中若三点在一条直线上，则不能确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定四个平面；④中这三个公共点可以在这两个平面的交线上．故错误的是①③④，正确的是②.所以正确命题的个数为1.考点一平面的基本性质及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图，连接EF，A1B，CD1.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．[由题悟法]1．点线共面问题证明的2种方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明多线共点问题的2个步骤(1)先证其中两条直线交于一点；(2)再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．[即时应用]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．考点二空间两直线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论的序号为________．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④[由题悟法][即时应用]1．上面例题中正方体ABCDA1B1C1D1的棱所在直线中与直线AB 是异面直线的有________条．解析：与AB异面的有4条：CC1，DD1，A1D1，B1C1.答案：42．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填上所有正确答案的序号)解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．答案：②④考点三异面直线所成的角重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C 法一：如图，将长方体ABCD A 1B 1C 1D 1补成长方体ABCD A 2B 2C 2D 2，使AA 1＝A 1A 2，易知AD 1∥B 1C 2，所以∠DB 1C 2或其补角为异面直线AD 1与DB 1所成的角．易知B 1C 2＝AD 1＝2，DB 1＝12＋12＋32＝5，DC 2＝DC 2＋CC 22＝12＋232＝13.在△DB 1C 2中，由余弦定理，得cos ∠DB 1C 2＝DB 21＋B 1C 22－DC 222DB 1·B 1C 2＝5＋4－132×5×2＝－55，所以异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 法二：以A 1为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，则A (0,0，3)，D 1(0,1,0)，D (0,1，3)，B 1(1,0,0)，所以AD 1＝(0,1，－3)，DB 1＝(1，－1，－3)，所以cos 〈AD 1，DB 1〉＝AD 1·DB 1|AD 1|·|DB 1|＝0×1＋1×－1＋－3×－32×5＝55.[由题悟法]1．用平移法求异面直线所成的角的3步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．2．有关平移的3种技巧求异面直线所成的角的方法为平移法，平移的方法一般有3种类型：(1)利用图形中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．[即时应用]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·台州一诊)设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β解析：选D 由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面知，在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．故选D.2．(2018·平阳期末)已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线解析：选C 由平行直线公理可知，若c∥b，则a∥b，与a，b是异面直线矛盾．所以c与b不可能是平行直线．3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( )A．6 2 B．12C．12 2 D．242解析：选A 如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A.4.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条；与AB异面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．答案：5 45.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝22，∴MK＝ 2.在Rt△CKN中，CK＝22＋12＝ 3.在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝22＋222－322×2×22＝78.答案：78二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n ⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．(2018·宁波模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行解析：选D 如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN与CC1垂直，故A正确；因为AC⊥BD，MN∥BD，所以MN与AC垂直，故B正确；因为A1B1与BD异面，MN∥BD，所以MN与A1B1不可能平行，故D错误．3．(2018·义乌二模)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥n，n⊥α，则m⊥α解析：选D 由m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面知，在A中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故A错误；在B中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m∥n，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故D正确．故选D.4．(2019·湖州模拟)如图，在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )解析：选D 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知多边形EFMN Q G是一个平面图形，且直线BD1与平面EFMN Q G垂直，结合各选项知，选项A、B、C中的平面与这个平面重合，只有选项D中的平面既不与平面EFMN Q G重合，又不与之平行．故选D.5．(2018·宁波九中一模)正三棱柱ABCA1B1C1中，若AC＝2 AA1，则AB1与CA1所成角的大小为( )A．60°B．105°C．75° D．90°解析：选D 取A1C1的中点D，连接AD，B1D(图略)，易证B1D⊥A1C，因为tan∠CA1C1·tan∠ADA1＝22×2＝1，所以A1C⊥AD，又B1D∩AD＝D，所以A1C⊥平面AB1D，又AB1⊂平面AB1D，所以A1C ⊥AB1，故AB1与CA1所成角的大小为90°.6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：37．(2018·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ，因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ，因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2.答案：29．(2018·舟山模拟)在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．解：如图，分别取AD ，CD ，AB ，BD 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FH ，HG ，GE ，GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34，GE ∥BD ，且GE ＝134，GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角．同理，GH ∥AD ，HF ∥BC ，GH ＝12，HF ＝32.又AD ⊥BC ，所以∠GHF ＝90°，所以GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，GE 2＋EF 2＝1＝GF 2，所以∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.10.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求： (1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，故三棱锥P ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34.即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2019·绍兴质检)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°.(1)求四棱锥A 1ABCD 的体积；(2)求异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值．解：(1)∵在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，连接AC ，∴AC ＝22＋22＝22，又易知AA 1⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角，即∠A 1CA ＝60°，∴AA 1＝AC ·tan 60°＝22×3＝26，∵S 正方形ABCD ＝AB ·BC ＝2×2＝4，∴VA 1ABCD ＝13·AA 1·S 正方形ABCD ＝13×26×4＝863. (2)连接BD ，易知BD ∥B 1D 1，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成的角(或所成角的补角)．∵BD ＝22＋22＝22，A 1D ＝A 1B ＝22＋262＝27，∴cos ∠A 1BD ＝A 1B 2＋BD 2－A 1D 22·A 1B ·BD ＝28＋8－282×27×22＝1414，即异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值是1414. 2．(2018·台州一模)如图所示的圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，点C 是AB 的中点，点D 是母线PA 的中点．(1)求该圆锥的侧面积；(2)求异面直线PB 与CD 所成角的大小．解：(1)∵圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，圆锥的高为PO ，∴13π×12×PO ＝33π，解得PO ＝3，∴PA ＝ 32＋12＝2，∴该圆锥的侧面积S ＝πrl ＝π×1×2＝2π.(2)法一：如图，连接DO ，OC .由(1)知，PA ＝2，OC ＝r ＝1.∵点D 是PA 的中点，点O 是AB 的中点，∴DO ∥PB ，且DO ＝12PB ＝12PA ＝1，∴∠CDO 是异面直线PB 与CD 所成的角或其补角．∵PO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥OC ，又点C 是 AB 的中点，∴OC ⊥AB . ∵PO ∩AB ＝O ，PO ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴OC ⊥平面PAB ，又DO ⊂平面PAB ，∴OC ⊥DO ，即∠DOC ＝90°.在Rt △DOC 中，∵OC ＝DO ＝1，∴∠CDO ＝45°.故异面直线PB 与CD 所成角为45°.法二：连接OC ，易知OC ⊥AB ，又∵PO ⊥平面ABC ，∴PO ，OC ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，OC所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．其中A (0，－1,0)，P (0,0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－12，32，B (0,1,0)，C (1,0,0)，∴PB ＝(0,1，－3)，CD ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－12，32，设异面直线PB 与CD 所成的角为θ，则cos θ＝|PB ·CD ||PB |·|CD |＝222＝22， ∴θ＝45°，∴异面直线PB 与CD 所成角为45°.3．如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC .又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接P Q ，PB ，B Q.因为EC ＝2FB ＝2，所以PE 綊BF ，所以P Q ∥AE ，PB ∥EF ，所以P Q ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，因为PB ∩P Q ＝P ，PB ，P Q ⊂平面PB Q ，所以平面PB Q ∥平面AEF .又因为B Q ⊂平面PB Q ，所以B Q ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角．易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155，所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。

2019版高考数学(文)一轮复习课时跟踪检测(三十九)+空间点、线、面之间的位置关系(普通高中)+.docx

课时跟踪检测（三十九）空间点、线、面之间的位置关系（一）普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1. （I, b是两条异面直线，“Ｕ平面么，bU平面0?若aQ0=c,则直线c必定（）A.与“，b均相交B.与a, b都不相交C.至少与°, 〃中的一条相交D.至多与“，b中的一条相交解析：选C 假设直线C与直线“，b都不相交,则直线C与直线4,方都平行?根据公理4,直线“，方平行，与已知条件中的°, 〃是两条异面直线矛盾，所以直线c至少与a, b中的一条相交.故选C?2.在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面么内有不共线的三点到平面"的距离相等，则④过平面么的一条斜线，有且只有一个平面与平面么垂直. 其中正确的命题是（）A.①③B.②④C.①④D.②③解析：选B ①平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面，不正确；②由面面平行的判定定理知正确；③若平面a内有不共线的三点到平面p的距离相等，则 a 与0可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.厶丄/4,则下列结3.若空间中四条两两不同的直线/i，I"厶，厶，满足/i丄厶，厶丄厶,论一定正确的是（）/4A. /!±C.厶与人既不垂直也不平行D. A与人的位置关系不确定解析:选D 构造如图所示的正方体ABCD-AxB^Dx,取人为力0, ?2为AA lf厶为AM,当取人为BiCi时，71/7/4,当取人为时，人丄人, 故排除A、B、C,选D.4.在正方体ABCD-AiB.C.D,中，E, F分别是线段BC, CQ的中点，则直线力0与直线EF的位置关系是（）解析：选A 由BC 統AD, AD^A.D.知，BC 統力山】，从而四边形A X BCD X 是平行四边形，所以A\B//CD\,又EFU 平面AiBCDr, ￡FnPiC=F, 则A X B 与EF 相交.5?已知力，B, C, D 是空间四点，命题甲：A t B, C, D 四点不共面，命题乙：直线/C 和不相交，则甲是乙成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C ?充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A 若力，B, C, Q 四点不共面，则直线力(7和〃。

高考数学一轮复习第七章不等式7-3基本均值不等式及应用学案理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第七章不等式7-3基本均值不等式及应用学案理考纲展示► 1.了解基本(均值)不等式的证明过程．2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题．考点1 利用基本(均值)不等式求最值1.基本(均值)不等式≤a＋b2(1)基本(均值)不等式成立的条件：________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时等号成立．答案：(1)a>0，b>0 (2)a＝b2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．(2)＋≥________(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．答案：(1)2ab (2)23．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本(均值)不等式可叙述为：________________________________.答案：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4．利用基本(均值)不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最________值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最________值是.(简记：和定积最大)答案：(1)x ＝y 小 (2)x ＝y 大1.基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件．(1)函数y ＝x ＋在区间(0，＋∞)上的最小值是________，在区间(－∞，0)上的最大值是________．答案：2 －2解析：当x>0时，y ＝x ＋≥2＝2，当且仅当x ＝，即x ＝1时取等号，故y 的最小值为2.当x<0时，－x>0，y ＝x ＋＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≤－2＝－2，当且仅当－x ＝－，即x ＝－1时取等号，故y 的最大值为－2.(2)函数y ＝sin x ＋，x∈的最小值为________．答案：5解析：y ＝sin x ＋≥2＝4，当sin x ＝时，sin x ＝±2，显然取不到等号．事实上，设t ＝sin x ，x∈，则t∈(0,1]，易知y ＝t ＋在(0,1]上为减函数，故当t ＝1时，y 取得最小值5.2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时，x 的值为________．答案：12解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝时，等号成立．(2)若x>1，则x ＋的最小值为________．答案：5解析：x ＋＝x －1＋＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝，即x ＝3时，等号成立.利用基本不等式确定最值的两种常见类型：代换变形；变量是负数．(1)已知a>0，b>0，a ＋b ＝2，则y ＝＋的最小值是________．答案：92解析：∵a＋b ＝2，∴＝1，∴＋＝＝＋≥＋2＝.故y ＝＋的最小值为.(2)已知0<x<1，则y ＝lg x ＋的最大值是________．答案：－4解析：∵0<x<1，∴lg x<0，－lg x>0，∴－y ＝－lg x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－lg x ≥2＝4，当且仅当－lg x ＝，即x ＝时，等号成立，故ymax ＝－4.[考情聚焦] 利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定积求其和的最小值，是每年高考的重点内容．主要有以下几个命题角度：角度一通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值[典题1] (1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x 的值为( )A.B. C.D.23 [答案] B[解析] 因为0<x<1，所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝时等号成立．(2)已知x ＜，求f(x)＝4x －2＋的最大值．[解] 因为x ＜，所以5－4x ＞0，则f(x)＝4x －2＋14x －5＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝，即x ＝1时等号成立．故f(x)＝4x －2＋的最大值为1.(3)已知x 为正实数且x2＋＝1，求x 的最大值．[解] 因为x ＞0，所以x ＝2x2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y22 ≤.又x2＋＝＋＝，所以x≤ ＝，即(x)max ＝.(4)求函数y ＝的最大值．[解] 令t ＝ ≥0，则x ＝t2＋1，所以y ＝＝.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t ＞0，即x ＞1时，y ＝，因为t ＋≥2＝4，当且仅当t ＝2时等号成立，所以y ＝≤，即y 的最大值为(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．[点石成金] 1.利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．2．在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．角度二通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值[典题2] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则＋的最小值为________．[答案] 4[解析] ∵a＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴＋＝＋＝2＋＋a b≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝时等号成立．[题点发散1] 本例的条件不变，则的最小值为________．答案：9解析：＝·＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝时等号成立．[题点发散2] 本例的条件和结论互换，即：已知a ＞0，b ＞0，＋＝4，则a ＋b 的最小值为________．答案：1解析：由＋＝4，得＋＝1.∴a ＋b ＝(a ＋b)＝＋＋a 4b≥＋2＝1.当且仅当a ＝b ＝时等号成立．[题点发散3] 若将本例中的“a＋b ＝1”换为“a＋2b ＝3”，如何求解？解：∵a＋2b ＝3，∴a＋b ＝1，∴＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ＝＋＋＋2b 3a≥1＋2＝1＋.当且仅当a＝b＝3－3时等号成立．故＋的最小值为1＋. [题点发散4] 若将本例变为：设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则的最小值是________．答案：3解析：∵a－2b＋3c＝0，∴b＝，∴＝≥＝3，当且仅当a＝3c时等号成立．[题点发散5] 若将本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得＝2a1，则＋的最小值为________．答案：95解析：设公比为q(q＞0)，由a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2＝0(q＞0)⇒q＝2.am·an＝2a1⇒a12m－1·a12n－1＝8a21⇒2m－1·2n－1＝8⇒m＋n－2＝3⇒m＋n＝5，则＋＝(m＋n)＝≥×(5＋2)＝，当且仅当n＝2m＝时等号成立．[点石成金] 将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法．角度三通过消元法利用基本(均值)不等式求最值[典题3] [2017·江西南昌模拟]已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．[答案] 6[解析] 由已知，得x＝.解法一：∵x＞0，y＞0，∴0＜y＜3，∴x＋3y＝＋3y＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，当且仅当＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，等号成立，故(x＋3y)min＝6.解法二：∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·2，当且仅当x＝3y时等号成立．设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6. [点石成金] 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本(均值)不等式求解．考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题[典题4] (1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )A．(－∞，－1)B．(－∞，2－1)C．(－1,2－1)D．(－2－1,2－1)[答案] B[解析] 由32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，得k＋1<3x＋.∵3x＋≥2，∴k＋1<2，即k<2－1.(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ [解析] 由f(x)≥3恒成立，得x2＋ax ＋11x ＋1≥3，又x∈N*，∴x2＋ax ＋11≥3(x＋1)，∴a －3≥－.令F(x)＝－，x∈N*，则F(x)max ＝F(3)＝－，即a －3≥－，∴a≥－.[点石成金] 1.a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max ，a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.2．求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本(均值)不等式的问题可考虑利用函数的单调性.已知函数f(x)＝x ＋(p 为常数，且p>0) ，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p ＝( )A ．2B. C ．4D.92 答案：B解析：由题意，得x －1>0，f(x)＝x －1＋＋1≥2＋1，当且仅当x ＝＋1时等号成立．因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2＋1＝4, 解得p ＝.考点3 基本(均值)不等式的实际应用(1)[教材习题改编]现有一段长为18 m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是( )B．1.5 mA．1 mD．0.5 mC．0.75 m答案：A (2)[教材习题改编]将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.答案：4＋22解析：设两直角边分别为a m，b m，框架的周长为l，则ab＝2，即ab＝4，∴ l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋2)m.(3)[教材习题改编]建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为________元．答案：1 760解析：池底一边长为x米，则另一底边为米，则总造价y＝4×120＋4×80≥1760，当且仅当x＝2时取得最小值．[典题5] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．[答案] (1)1 900 (2)100[解析] (1)当l＝6.05时，F＝，∴F ＝＝76 000v ＋121v＋18 ≤＝1 900，当且仅当v ＝，即v ＝11时等号成立．∴最大车流量F 为1 900辆/时．(2)当l ＝5时，F ＝＝，∴F ≤＝2 000，当且仅当v ＝，即v ＝10时等号成立．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100(辆/时)．[点石成金] 解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案：B解析：若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x ＝80时等号成立.[方法技巧] 1.基本(均值)不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本(均值)不等式的切入点．2．对使用基本(均值)不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性．[易错防范] 1.使用基本(均值)不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本(均值)不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．真题演练集训1．[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan AtanBtan C的最小值是________．答案：8解析：由sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C，得sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，两边同时除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C，令tan B＋tan C＝2tan Btan C＝m，因为△ABC是锐角三角形，所以2tan Btan C>2，则tan Btan C>1，m>2.又在三角形中有tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－·m＝＝m－2＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当m－2＝，即m＝4时等号成立，故tan Atan Btan C的最小值为8. 2．[2014·福建卷]要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案：160解析：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，依题意，得y＝20×4＋10＝80＋20≥80＋20×2＝160，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，所以该容器的最低总造价为160元．3．[2013·天津卷]设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．答案：－2解析：∵a＋b＝2，∴＋＝＋|a|b＝＋＝＋＋|a|b≥＋2 ＝＋1.当且仅当＝且a<0，即b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．课外拓展阅读基本(均值)不等式在压轴题中的应用关于基本(均值)不等式的高考试题，它可以涉及的知识点很多，尤其是在数列、解析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的分析问题及解决问题的能力．1．与数列搭配基本不等式在数列解答题中多出现在第(2)问中，常见的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．[典例1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a7成等比数列．(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：2Tn－9bn－1＋18>(n>1)．[思路分析] (1)根据等差数列和等比数列的性质易求；(2)中数列{bn}满足bn＝，这是一个等差数列的前n 项和与一个关于n 的一次函数之比，数列{bn}极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．(1)[解] 因为a1，a2，a7成等比数列，所以a ＝a1a7，即(a1＋d)2＝a1(a1＋6d)．又a1＝1，d≠0，所以d ＝4.所以Sn ＝na1＋d ＝n ＋2n(n －1)＝2n2－n.(2)[证明] 因为bn ＝＝＝2n ，所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列．所以Tn ＝＝n2＋n.所以2Tn －9bn －1＋18＝2n2＋2n －18(n －1)＋18＝2n2－16n ＋36＝2(n2－8n ＋16)＋4＝2(n －4)2＋4≥4，当且仅当n ＝4时等号成立．①64bn ＋＋1＝64×2n ＋＋＝＝≤646＋10＝4，当且仅当n ＝，即n ＝3时等号成立．②又①②中等号不可能同时取到，所以2Tn －9bn －1＋18>(n>1)．温馨提示本题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不能取等号．2．与函数、导数共现在函数的解答题中出现的基本(均值)不等式一般都与导数有密切的联系，在多数情况下问题的求解需要构造新的函数，通过合理转化，巧妙放缩去完成．求解这类问题一般难度较大，在高考中常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力．[典例2] 已知h(x)＝ln(x ＋1)－.(1)当a>0时，若对任意的x≥0，恒有h(x)≥0，求实数a 的取值范围；(2)设x∈N 且x>2，试证明：ln x≥＋＋＋…＋.(1)[解] h(x)＝ln(x ＋1)－，则h(x)的定义域为(－1，＋∞)，h′(x)＝－＝.①当0<a ≤1时，对任意的x ≥0，h ′(x)≥0恒成立，则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，h(x)≥h(0)＝0，所以满足题意．②当a>1时，h(x)在x ∈(0，a －1]上单调递减，h(x)在x ∈[a －1，＋∞)上单调递增．若对任意的x≥0，恒有h(x)≥0，则h(x)的最小值h(a －1)＝ln a ＋1－a≥0恒成立．令m(a)＝ln a ＋1－a(a>1)，则m′(a)＝，m′(a)<0，m(a)在a∈(1，＋∞)上单调递减，所以当a∈(1，＋∞)时，有m(a)<m(1)＝0，与h(a －1)＝ln a ＋1－a≥0恒成立矛盾．所以实数a 的取值范围为(0,1]．(2)[证明] 由(1)知，ln(1＋x)≥，所以ln x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×43×…×xx －1 ＝ln 2＋ln ＋ln ＋…＋ln x x －1＝ln(1＋1)＋ln ＋ln ＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1 ≥＋＋…＋1x －11＋1x －1＝＋＋＋…＋.所以ln x≥＋＋＋…＋.。

【高考汇编】2019届高三一轮文科数学：课时跟踪检测汇编295页(含答案解析)

2019届高三一轮文科数学：课时跟踪检测汇编目录2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-1集合Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-2命题及其关系、充分条件与必要条件Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-1任意角和弧度制及任意角的三角函数Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-2同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-3三角函数的图象与性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-4函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-5三角恒等变换Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-6正弦定理和余弦定理Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-7正弦定理和余弦定理的应用Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-1平面向量的概念及其线性运算Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-2平面向量的基本定理及坐标表示Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-3平面向量的数量积与平面向量应用举例Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-4数系的扩充与复数的引入Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-1数列的概念与简单表示法Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-2等差数列及其前n项和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-3等比数列及其前n项和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-4数列求和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-1不等关系与不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-2一元二次不等式及其解法Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-3二元一次不等式（组）及其简单的线性规划问题Word 版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-4基本不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-5合情推理与演绎推理Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-6直接证明与间接证明Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-1空间几何体的结构特征及三视图与直观图Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-2空间几何体的表面积与体积Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-3空间点、线、面之间的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-4直线、平面平行的判定及性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-5直线、平面垂直的判定及性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-2两条直线的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-3圆的方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-4直线与圆、圆与圆的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-5椭圆Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-6双曲线Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-7抛物线Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-8圆锥曲线的综合问题Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-1随机事件的概率Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-2古典概型Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-3几何概型Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-1算法初步Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-2随机抽样Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-3用样本估计总体Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-4变量间的相关关系、统计案例Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-1坐标系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-2参数方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-1绝对值不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-2不等式的证明Word版含解析[课时跟踪检测] [基础达标]1．(2017届河北石家庄二模)设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x <6}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．M ∩N ＝∅ C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝R解析：M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x <6}＝{x |－2<x <3}，则M ⊆N ，故选C. 答案：C2．(2018届安徽六安质检)集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：由题意，得A ＝{x |x <2}．又因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B .又因为B ＝{x |x <a }，所以a ≥2，故选D. 答案：D3．(2017届河北唐山二模)集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( ) A ．{0,1,2} B ．{0,1,3} C ．{0,2,3}D ．{1,2,3}解析：因为M ∩N ＝{1}，所以log 3a ＝1，即a ＝3，所以b ＝1，即M ＝{2,1}，N ＝{3,1}，所以M ∪N ＝{1,2,3}，故选D.答案：D4．(2017届四川泸州一模)已知集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |log 2x >1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－2,2] B ．(－2,1] C ．(0,3)D ．(1,3)解析：∵集合B ＝{x |log 2x >1}＝(2，＋∞)，∴∁R B ＝(－∞，2]．∵集合A ＝{x |－2<x <3}＝(－2,3)，∴A ∩(∁R B )＝(－2，2]，故选A.答案：A5．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3.又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.答案：C6．(2018届邯郸质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2>4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪x ＋3x －1 ≤0，则(∁U A )∩B 等于( ) A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－3≤x <2}C ．{x |－2≤x <2}D ．{x |－3≤x ≤2}解析：∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2>4}＝{x |x >2或x <－2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪x ＋3x －1 ≤0＝{x |－3≤x <1}，∴∁U A ＝{x |－2≤x ≤2}，∴(∁U A )∩B ＝{x |－2≤x <1}．故选A. 答案：A7．(2017届江西南昌模拟)已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m <x <5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.答案：C8．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝________. 解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}， ∵B ＝{x |－1<x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}．答案：{x |－3<x ≤－1}9．(2017届福建泉州二模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.解析：∵B ∩(∁U A )＝∅，∴B ⊆A .∵A ＝{－1,2}，∴根据题意知B ＝∅或{－1}或{2}．若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{－1}，则m ＝1；若B ＝{2}，则m ＝－12.答案：0或1或－1210．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.所以m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，因为A ⊆∁R B ，所以m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 12．设集合A ＝{x |(x －2m ＋1)(x －m ＋2)<0}，B ＝{x |1≤x ＋1≤4}． (1)若m ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值集合．解：集合B ＝{x |0≤x ≤3}．(1)若m ＝1，则A ＝{x |－1<x <1}，则A ∩B ＝{x |0≤x <1}． (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .当A ＝∅即m ＝－1时，A ∩B ＝A ；当A ≠∅即m ≠－1时，(ⅰ)当m <－1时，A ＝(2m －1，m －2)，要使得A ⊆B ，只要⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≥0，m －2≤3，⇒12≤m ≤5，所以m 的值不存在．(ⅱ)当m >－1时，A ＝(m －2,2m －1)，要使得A ⊆B ，只要⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥0，2m －1≤3，⇒m ＝2.综上，m 的取值集合是{－1,2}．13．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪132≤2－x≤4，B ＝{x |x 2＋2mx －3m 2<0}(m >0)． (1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，因为m >0，所以B ＝(－3m ，m )． (1)m ＝2时，B ＝{x |－6<x <2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ＜2}． (2)要使B ⊆A ，只要⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2，m ≤5⇒m ≤23，所以0＜m ≤23，综上，知m 的取值范围是0<m ≤23.[能力提升]1．(2018届河南开封月考)设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：易知A ＝{x |2x (x－2)<1}＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．答案：B2．(2017届辽宁大连三模)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝lg x }，B ＝{(x ，y )|x ＝a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a <0D ．a ≤0解析：因为y ＝lg x 的定义域为{x |x >0}，依题意知，对数函数y ＝lg x 的图象与直线x ＝a 没有交点，所以a ≤0.答案：D3．(2017届山东潍坊模拟)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：(1)若a 1∈A ，由①可知a 2∈A ，又A 中只有两个元素，所以a 3∉A ，此时与②矛盾，所以a 1∉A .(2)若a 2∈A ，那么由②可得a 3∈A ，此时a 4∉A ，满足题设条件，所以{a 2，a 3}是一个满足条件的A .(3)若a 2∉A ，由于集合A 中只有两个元素，那么集合A 只可能是{a 3，a 4}，而这与③矛盾．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}4．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届邯郸质检)“x >3”是“1x <13”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：“x >3”⇒“1x <13”；反之不成立，例如取x ＝－1.因此“x >3”是“1x <13”的充分不必要条件．故选A.答案：A2．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若A ∩B ＝{4}，则m 2＋1＝4，∴m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．答案：A3．(2017届山东重点中学模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．答案：B4．命题p ：“若x 2<1，则x <1”的逆命题为q ，则p 与q 的真假性为( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：q ：若x <1，则x 2<1.令x ＝－2，∴x 2＝4，∴q 假． ∵p ：x 2<1，则－1<x <1，∴p 真，故选B. 答案：B5．(2018届鹤壁模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，下面结论正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧綈q ”是假命题 C ．命题“綈p ∧q ”是真命题 D ．命题“綈p ∧綈q ”是假命题解析：因为tan45°＝1，所以p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1是真命题，所以綈p 是假命题．因为x ＝0，x 2＝0，所以命题q ：∀x ∈R ，x 2>0是假命题，所以綈q 是真命题，所以p ∧q 是假命题，綈p ∧q 是假命题，綈p ∧綈q 是假命题，故选择D.答案：D6.(2017届江西新余调研)设p ：∀x ∈R ，x 2－4x ＋m >0；q ：函数f (x )＝－13x 3＋2x 2－mx －1在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p 为真，则Δ＝16－4m <0，解得m >4；若q 为真，则f ′(x )＝－x 2＋4x －m ≤0在R 上恒成立，则Δ＝16－4m ≤0，解得m ≥4，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：A7．(2018届河北唐山二模)已知a ，b 为实数，则“a 3<b 3”是“2a <2b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由于函数y ＝x 3，y ＝2x 在R 上单调递增，所以a 3<b 3⇔a <b ⇔2a <2b ，即“a 3<b 3”是“2a <2b ”的充要条件．答案：C8．(2017届河南三市调研)若x ，y ∈R ，则x >y 的一个充分不必要条件是( ) A ．|x |>|y | B ．x 2>y 2 C.x >yD ．x 3>y 3解析：由|x |>|y |，x 2>y 2未必能推出x >y ，排除A 、B ；由x >y 可推出x >y ，反之，未必成立，而x 3>y 3是x >y 的充要条件，故选C.答案：C9．(2017届浙江宁波一模)若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4解析：若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．因为当x >1时，f (x )>3，所以a >3.答案：A10．(2018届河北唐山月考)已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．解析：p ：由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．又q ：x >a ，故a ≥1.答案：[1，＋∞)11．(2017届河南濮阳第二次检测)若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________．解析：由于f (0)＝m ＋23，因为函数y ＝f (x )的图象不过第三象限，所以m ＋23≥0，即m ≥－23.由于“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，因此a <－23，故实数a 能取的最大整数为－1.答案：－112．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 13．(2018届江西九江地区高三七校联考)命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0，命题q ：3a －1＋1<0.(1)若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若“綈q ”是“a ∈[m ，m ＋1]”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：(1)关于命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0， a >0时，显然不成立，a ＝0时成立，a <0时只需Δ＝a 2＋4a <0即可，解得－4<a <0，故p 为真时，a ∈(－4,0]；关于命题q ：3a －1＋1<0，解得－2<a <1，命题“p 或q ”为假命题，即p ，q 均为假命题，则a ≤－4或a ≥1.(2)綈q ：a ≤－2或a ≥1，所以m ＋1≤－2或m ≥1，所以m ≤－3或m ≥1.14．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．求： (1)若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件；(3)若綈p 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：(1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． (2)若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9.即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，(3)P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且SP ，∴[－2,10][1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． [能力提升]1．(2017届济南模拟)若a ＝log 2x ，b ＝2x ，则“a >b ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：函数a ＝log 2x ，b ＝2x的图象如图所示，由图象可知，若a >b ，则x >2，即x >1成立，反之，若x >1，当x ＝32时，a <b .答案：A2．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]3．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]4．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a ，q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5. 又由题意知p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎨⎧－5≤2－a ，2＋a ≤－3，a >0，①或⎩⎨⎧3≤2－a ，2＋a ≤5，a >0，②由①得a 无解；由②解得0<a ≤2－ 3.[课时跟踪检测][基础达标]1．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(綈p )∧q 为真命题，则x 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解析：∵綈p ：∃x 0∈R,2x 0≥3x 0，要使(綈p )∧q 为真，∴綈p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x≥1，∴x ≤0. 由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2. 答案：D2．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题；④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，故选C答案：C3．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n . 答案：C4．(2017届湖北荆州一模)命题“自然数的平方大于零”的否定是( ) A ．∃x ∈Z ，x 2≤0 B ．∀x ∈N ，x 2≤0 C ．∃x ∈N ，x 2≤0D ．∃x ∈N ，x 2＜0解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“自然数的平方大于零”的否定是：∃x ∈N ，x 2≤0.故选C.答案：C5．命题p ：若a <b ，则ac 2<bc 2；命题q ：∃x 0>0，使得x 0－1－ln x 0＝0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：命题p ：若a <b ，则ac 2<bc 2，c ＝0时不成立，因此是假命题；命题q ：取x 0＝1，满足x 0－1－ln x 0＝0，因此是真命题；则为真命题的是(綈p )∧q ，故选C.答案：C6．(2017届河北唐山质检)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．綈p解析：取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故綈p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，故选B.答案：B7．(2018届河北衡水中学调研)已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．则其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：由于Δ＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有上实数根，即命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4x的值为负值，故命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∨(綈q )，(綈p )∨(綈q )是真命题，故选C.答案：C8．(2017届辽宁大连二模)命题p ：“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x 0＋cos2x 0>a ”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a < 2C ．a ≥1D ．a ≥ 2解析：依题意，命题p 的否定綈p ：“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x ＋cos2x ≤a ”应为真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x ＋cos2x ≤a 恒成立，而sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[1， 2 ]，所以实数a 的取值范围是a ≥ 2. 答案：D9．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20解析：原命题是全称命题，条件为“∀x ∈R ”，结论为“∃n ∈N *，使得n ≥x 20”，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合．答案：D10．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．解析：由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1. 所以实数m 的取值范围是1<m <2. 答案：(1,2)11．(2017届山东青岛模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1；命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，现有以下结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题．其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号)解析：当x 0＝π4时，tan x 0＝1，所以命题p 为真；不等式x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，所以命题q也为真，故命题“p 且q ”是真命题，①正确；命题“p 且綈q ”是假命题，②正确；命题“綈p 或q ”是真命题，③正确；命题“綈p 或綈q ”是假命题，④正确．答案：①②③④12．(2018届山东潍坊质检)已知命题p ：∀x >0,2ax －ln x ≥0.若命题p 的否定是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 的否定是：∃x 0>0,2ax 0－ln x 0<0，即不等式2ax －ln x <0有解．而不等式2ax －ln x <0可化为2a <ln x x ，令g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，可得g (x )在x ＝e 处取得最大值1e ，因此要使不等式2a <ln xx 有解，只需2a <1e ，即a <12e.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，12e 13．(2017届湖北百所重点校高三联考)已知函数f ()x ＝log 0.3()4x －1的定义域为A ，m >0，函数g ()x ＝4x－1()0<x ≤m 的值域为B .(1)当m ＝1时，求()∁R A ∩B ；(2)是否存在实数m ，使得A ＝B ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －1>0，log 0.3(4x －1)≥0，解得14<x ≤12，即A ＝⎝⎛⎦⎤14，12. 当m ＝1时，因为0<x ≤1，所以14<4x －1≤1，即B ＝⎝⎛⎦⎤14，1，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎦⎤12，1. (2)因为B ＝⎝⎛⎦⎤14，4m －1，若存在实数m ，使A ＝B ，则必有4m －1＝12，解得m ＝12，故存在实数m ＝12，使得A ＝B .14．已知命题p ：∃x 0∈[0,2]，log 2(x ＋2)<2m ；命题q ：关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个相异实数根．(1)若(綈p )∧q 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：对于命题p ：f (x )＝log 2(x ＋2)，则f (x )在[0,2]上是增函数，故当x ∈[0,2]时，f (x )的最小值为f (0)＝1，若p 为真命题，则2m >1，∴m >12.对于命题里q ，Δ＝4－12m 2>0即m 2<13时，方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两相异实数根，∴－33<m <33.(1)若(綈p )∧q 为真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33<m <33，故－33<m ≤12，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－32，12. (2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p 、q 一真一假，若p 真q 假，则实数m 满足⎩⎨⎧m >12，m ≤－33或m ≥33，即m ≥33；若p 假q 真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33<m <33，即－33<m ≤12. 综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－33，12∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞.15．已知m ∈R ，命题p ：对∀x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：∃x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1时，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．解：(1)设y ＝2x －2，则y ＝2x －2在[0,1]上单调递增， ∴y min ＝－2.∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴m 2－3m ≤－2，即m 2－3m ＋2≤0，解得1≤m ≤2. ∴m 的取值范围为[1,2]．(2)a ＝1时，y ＝2x 在区间[－1,1]上单调递增，∴y max ＝2. ∵存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1. ∵p ∧q 假，p ∨q 为真，∴p 与q 一真一假，①当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，解得1＜m ≤2；②当p 假q 真时，可得⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，解得m <1.综上可得1＜m ≤2或m ＜1.∴实数m 的取值范围是(－∞，1)∪(1,2]．[能力提升]1．(2017届江西南昌二模)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( )A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1C ．∀x >0，xx －1≤0D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：命题“∀x >0，x x －1>0”的否定是“∃x 0>0，x 0x 0－1≤0或x 0＝1”，即“∃x 0>0,0≤x 0≤1”，故选B.答案：B2．(2018届山东临沂调研)下列命题中，真命题是( ) A ．存在x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1解析：对于A 选项，∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故A 为假命题；对于B 选项，存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；对于C 选项，x 2＋1－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，C 为真命题；对于D 选项，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题．答案：C3．(2017届湖北百校联考)已知命题p ：对任意x ∈(0，＋∞)，log 4x <log 8x ；命题q ：存在x 0∈R ，使得tan x 0＝1－3x 0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧q解析：当x ＝1时，log 4x ＝log 8x ，所以命题p 是假命题；函数y ＝tan x 的图象与y ＝1－3x 的图象有无数个交点，所以存在x 0∈R ，使得tan x 0＝1－3x 0，即命题q 是真命题，故(綈p )∧q 是真命题，选D.答案：D4．(2017届河南安阳模拟)已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________．解析：命题p是真命题时，m≤－1，命题q是真命题时，Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2，所以p∧q是真命题时，－2<m≤－1.答案：{m|m≤－2或m>－1}[课时跟踪检测][基础达标]1．与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析：与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )且角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．答案：C2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0D ．tan αsin α<0解析：在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A 、C 、D 三项．答案：B3．已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A ．－25B.25 C ．0D.25或－25解析：因为x ＝－4a ，y ＝3a ，a <0，所以r ＝－5a ，所以sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25.故选A. 答案：A4．sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1<cos1<tan1 B ．tan1<sin1<cos1 C ．cos1<tan1<sin1D ．cos1<sin1<tan1解析：如图，单位圆中∠MOP ＝1 rad>π4 rad.因为OM <22<MP <AT ，所以cos1<sin1<tan1.故选D.答案：D5．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周角的16，即为－16×2π＝－π3.答案：C6．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( ) A ．sin2 B ．－sin2 C ．cos2D ．－cos2解析：因为r ＝(2sin2)2＋(－2cos )2＝2，由任意角三角函数的定义得sin α＝yr ＝－cos2.答案：D7．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．答案：C8．已知点A 的坐标为(43，1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A.332B.532C.112D.132解析：设OA 的倾斜角为α，B (m ，n )(m ＞0，n ＞0)，则OB 的倾斜角为π3＋α.因为A (43，1)，所以tan α＝143，tan ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝n m ， n m ＝3＋1431－3×143＝1333，即m 2＝27169n 2，因为m 2＋n 2＝(43)2＋12＝49，所以n 2＋27169n 2＝49，所以n ＝132或n ＝－132(舍去)，所以点B 的纵坐标为132.答案：D9．某扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，∴α＝5π6. ∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.答案：51810．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22，根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎫π4，5π411．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6. (1)求AB ；(2)求这个扇形所含的弓形的面积．解：(1)∵120°＝23π rad ，∴AB ＝23π×6＝4π.(2)S 弓＝S 扇－S △AOB ＝12×6×4π－12×63×3 ＝12π－9 3.12．若角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α的值．解：在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则|OP |＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t >0时，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，sin α＋cos α＝15；当t <0时，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，sin α＋cos α＝－15.综上得sin α＋cos α的值为±15.13．已知α为第四象限角，cos α＝1213，求sin α，tan α的值．解：∵α为第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－513.∴tan α＝sin αcos α＝－512.[能力提升]1．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 答案：B2．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2角终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限；其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2角终边在第二、四象限． (3)当α2角在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．[课时跟踪检测][基础达标]1．tan ⎝⎛⎭⎫－233π的值为( ) A.3 B ．－ 3 C.33D ．－33解析：tan ⎝⎛⎭⎫－233π＝tan ⎝⎛⎭⎫－8π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案：A2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.答案：D3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 答案：B4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A.223B ．－223C.13D ．－13解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 答案：D5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵f (2 016)＝5，∴a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.答案：B6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在解析：由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在；当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan θ＝sin αcos α＝－43，故选D.答案：D7．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α＝________. 解析：∵sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25. 答案：－258．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos θ＝________. 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ. 又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，又∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝55. 答案：559．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan －π－π3＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解：由已知得，sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.11．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.12．已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)因为sin A ＋cos A ＝15，①所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，所以sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75，②所以由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.[能力提升]1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋cos 290°＝44＋12＋1＝912. 答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.[课时跟踪检测][基础达标]1．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 解析：将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象做关于x 轴的对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.答案：D2．设偶函数f (x )的部分图象如图所示，△KML 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34 B ．－14 C ．－12 D.34解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cosπx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. 答案：D3．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称，故选C. 答案：C4．(2017届河南中原名校模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0<φ<2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则φ等于( )A.π6 B.5π6 C.7π6D.11π6解析：若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，即sin φ<0，又0<φ<2π，所以π<φ<2π.所以当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件．答案：C5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π，ω>0得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意结合选项知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54.答案：A6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.答案：B7．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2。

2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-1空间几何体的结构特征及三视图与直观图

[课时跟踪检测][基础达标]1．下列说法正确的是()A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B．棱柱的两个底面全等且其余各面都是矩形C．任何一个棱台的侧棱必交于同一点D．过圆台侧面上一点有无数条母线答案：C2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台解析：由俯视图知底面是一个四边形，由正视图及侧视图可知该几何体为锥体，故选B.答案：B3．(2017届山东徳州质检)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是()解析：此几何体的侧视图是从左边往右边看，故其侧视图应选C.答案：C4．(2017届临川一中)以下四个选项中恰有三个是一个正四面体的一组三视图，则不是的为()解析：结合选项可知B、C、D可构成一个正四面体的一组三视图，故选A.答案：A5．(2017届湖南怀化一中模拟)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案：B6．(2017届湖南株洲质检)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()解析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求．答案：C7．(2017届北京东城区模拟)已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个棱锥的侧面积是()A．4 cm2B．12 cm2C．(8＋42) cm2D．(4＋42＋23) cm2解析：由三视图可知，该几何体为四棱锥P－ABCD，且PD⊥平面ABCD，底面ABCD为一直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝AD＝CD＝2，AB＝4，所以P A＝PC＝BC＝22，PB＝26，所以其侧面积为12×2×2＋12×2×2＋12×22×4＋12×26×2＝4＋42＋23，故选D.答案：D8．(2015年北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B. 2C. 3 D．2解析：将三视图还原成几何体的直观图，如图，由三视图可知，底面ABCD 是边长为1的正方形，SB⊥底面ABCD，SB＝AB＝1，由勾股定理可得SA＝SC＝2，SD＝SB2＋DB2＝1＋2＝3，故四棱锥中最长棱的棱长为 3.故选C.答案：C9.如图所示，四边形A′B′C′D′是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，则这个平面图形的实际面积为________．解析：根据斜二测画法规则可知，该平面图形是直角梯形ABCD，且AB＝6，CD＝4.由于C′B′＝2A′D′＝2 2.所以CB＝4 2.故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.答案：20 210．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的主视图的面积等于________．解析：由题知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图的面积相等，为 2.答案： 211．(2018届蚌山区校级期中)如图正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.解析：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为2，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为22，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是8 cm.答案：812．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．解：(1)如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝2 3.∴S △VBC ＝12×23×23＝6.[能力提升]1．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是( )A．定B．有C．收D．获解析：这是一个正方体的平面展开图，其直观图如下：共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．答案：B2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为()解析：M，N两点在平面ADD1A1上的射影分别为AA1，AD的中点，故选A.答案：A3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．解析：三棱锥P－ABC的正视图与侧视图都是三角形，底边长都是正方体的棱长，P的射影到底边的距离(三角形的高)都是正方体的棱长，所以，三棱锥P －ABC的正视图与侧视图的面积的比值为1.答案：14．已知圆锥的轴截面面积为4 cm2，底面面积为4π cm2，则其母线长为________．解析：设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l . 则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12×2r ×h ＝4，πr 2＝4π，解得⎩⎨⎧r ＝2，h ＝2.所以母线长l ＝r 2＋h 2＝22(cm)．答案：2 2 cm5．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形的面积为________．解析：因为矩形O ′A ′B ′C ′是一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，所以直观图的面积是6×2＝12. 因为直观图的面积∶原图的面积＝24，所以原图形的面积是12÷24＝24 2. 答案：24 2。

2019届高三数学一轮文科课时跟踪检测(48份附答案)

2019届高三数学一轮文科课时跟踪检测（48份附答案）[课时跟踪检测][基础达标]．设集合＝{－1,1}，N＝{x|x2－x1}，则A∩＝A．D．解析：∵集合B＝{x|log2x>1}＝，∴∁RB＝，∴A∩＝A．2B．3c．4D．5解析：∵32－x∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3.又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.答案：c．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2>4}，B＝xx＋3x－1≤0∁UA B等于A．{x|－2≤x4}＝{x|x>2或x5}．∴A∩＝{x|－35}＝{x|－3＋2}，因为A⊆∁RB，所以－2>3或＋25或－1时，A＝，要使得A⊆B，只要－2≥0，2－1≤3，⇒＝2.综上，的取值集合是{－1,2}．3．设集合A＝x132≤2－x≤4，B＝{x|x2＋2x－320，所以B＝．＝2时，B＝{x|－60}＝{x|x0}，依题意知，对数函数y ＝lgx的图象与直线x＝a没有交点，所以a≤0.答案：D．已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.解析：若a1∈A，由①可知a2∈A，又A中只有两个元素，所以a3∉A，此时与②矛盾，所以a1∉A.若a2∈A，那么由②可得a3∈A，此时a4∉A，满足题设条件，所以{a2，a3}是一个满足条件的A.若a2∉A，由于集合A中只有两个元素，那么集合A只可能是{a3，a4}，而这与③矛盾．故集合A＝{a2，a3}．答案：{a2，a3}．已知集合A＝{x|12，2≤1，1－≥3，解得≤－2，即实数的取值范围为由A∩B＝∅，得①若2≥1－，即≥13时，B＝∅，符合题意；②若2<1－，即<13时，需<13，1－≤1或<13，2≥3，得0≤<13或∅，即0≤<13.综上知≥0，即实数的取值范围为[0，＋∞)．。

(全国版)2019版高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系学案

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系板块一知识梳理·自主学习［必备知识］考点1 平面的基本性质考点2 空间两条直线的位置关系1．位置关系的分类错误!错误!异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角（1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角)叫做异面直线a与b所成的角．（2)范围：错误!。

考点3 空间直线、平面的位置关系［必会结论］1．公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．[考点自测］1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．( )(2)两个平面ABC与DBC相交于线段BC。

( )（3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线．（）(4)没有公共点的两条直线是异面直线．( )答案（1）×(2)×(3）√(4)×2．[2018·福州质检]已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件．故选A.3．［课本改编]若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（）A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α答案D解析b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．故选D.4．[2018·衡中调研］已知直线a，b，c，有下面四个命题:①若a，b异面,b，c异面，则a，c异面；②若a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a,b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的序号是________．答案③解析①a,c可能相交、平行或异面；②a,c可能相交、平行或异面；③正确；④a，c可能相交、平行或异面．5.[2018·大连模拟］如图，在三棱锥C－ABD中，E，F分别是AC和BD的中点,若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．答案30°解析取CB的中点G，连接EG，FG,∵EG∥AB，FG∥CD，∴EF与CD所成的角为∠EFG或其补角．又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG。

2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-3空间点、线、面之间的位置关系 Word版含解析

(浙江版)2019年高考数学一轮复习专题8.3 空间点、线、面的位置关系(测).doc

（浙江版）2019年高考数学一轮复习专题8.3 空间点、线、面的位置关系（测）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】2.【2016高考浙江文数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m ，n 满足m∥α，n⊥β，则（） A.m∥l B.m∥nC.n⊥lD.m⊥n 【答案】C 【解析】由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．3. 【2017届浙江省杭州市高三4月检测（二模）】设α， β是两个不同的平面， m 是一条直线，给出下列命题：①若m α⊥， m β⊂，则αβ⊥；②若//m α， αβ⊥，则m β⊥.则（） A. ①②都是假命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是真命题【答案】B【解析】如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，所以①正确；若//m α ， αβ⊥ ，则m 与α 不一定垂直，所以②错误.故选择B.4. 已知两直线，及两个平面，，给出下列四个命题，正确的命题是（）． A. 若，则 B. 若，，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】中，与可能相交，不一定是平行的故错误．中，两条线垂直于两个垂直的平面，则两条线应是垂直关系，故正确．中，与可能平行，故错误．中，可能在上，此时不满足错误．故选．5.【2017年福建省数学基地校】已知m 、n 是两条不同直线， α、β为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是( ) A. //m β， //αβ B. m β⊥， αβ⊥C. m n ⊥， n α⊥， m α⊄D. m 上有不同的两个点到α的距离相等【答案】C6.【浙江省嘉兴市高三教学测试】已知直线l ,m 和平面α,下列命题正确的是( ) A.若//,,l m αα⊂则//l m B.若//,,l m m α⊂ 则//l αC.若,,l m m α⊥⊂ 则l α⊥D.若,,l m αα⊥⊂ 则l m ⊥ 【答案】D7. 设为空间不重合的直线， ,,αβγ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（） ①//，//，则//；②⊥，⊥，则//；③若//,//,//m l m l αα则；④若l ∥m ， l α⊂， m β⊂，则α∥β； ⑤若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则 ⑥//,//αγβγ，则//αβ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C【解析】试题分析：①显然正确；②可能相交；③l 可能在平面α内；④l 可能为αβ、两个平面的交线，两个平面αβ、可能相交；⑤αβ、可能相交；⑥显然正确，故选C ． 8.【2017届浙江台州中学高三10月月考】正方体1111D C B A ABCD -中，M 是1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上的任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为（）A.45B.60C.90D.与点P 的位置有关【答案】C.【解析】如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设(,0,0)P x ，(1,1,2)O ，(0,2,1)M ，(0,0,2)A ，∴(1,1,2)OP x =---，(0,2,1)AM =-，∴(OP AM x ⋅=- C. 9. 如图，ABCD －A的中点，AD【答案】B【解析】设G 为AC 的中点，由已知中AD=BC=2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若EF，根据三角形中位线定理，我们易求出∠EGF 为异面直线AD 、BC 所成的角（或其补角），解三角形EGF 即可得到答案.11.【安徽蚌埠市高二期末】在正四棱锥P-ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为（） A ．90 B ．60 C ． 45 D ．30【答案】C12. 如图，正方体的棱线长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（）．A. B. 平面C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等【答案】D【解析】连接，则，所以平面，则，故A正确；因为平面，所以平面，故B正确；因为三棱锥的底面是底边为，高为棱长的三角形，面积为，三棱锥的高为点到平面的距离，所以三棱锥的体积是定值，故C正确；显然的面积与的有相同的底边，且到的距离是棱长1，且到的距离是，即两三角形的面积不相等，故D错误；；故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019高考数学文科总复习第15单元【点、线、面的位置关系】测试A卷及答案解析

第十五单元点、线、面的位置关系卷A一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（）A ．B ．C ．D ．2．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则下列命题正确的是（）A ．若αβ⊥，则l m ∥B ．若αβ∥，则l m⊥C ．若l β∥，则m α⊥D ．若l m ⊥，则αβ∥3．如图，在正方体ABCD A B C D '-'''中，M ，N 分别是BB '，CD 中点，则异面直线AM 与D N '所成的角是（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒4．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m α⊥，m β⊥，则αβ∥；②若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥；③若m α⊂，n β⊂，m n ∥，则αβ∥；④若m ，n 是异面直线，m α⊂，m β∥，n α∥，则αβ∥．其中真命题是（）A ．①和④B ．①和③C ．③和④D ．①和②5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM 与BN 所成角的大小为（）A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒6．已知直线1l 、2l ，平面α，12l l ∥，1l α∥，那么2l 与平面α的关系是（）A ．1l α∥B ．2l α⊂C ．2l α∥或2l α⊂D ．2l 与α相交7．如图，在正四棱锥S ABCD -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP AC ⊥；②EP BD ∥；③EP ∥面SBD ；④EP ⊥面SAC ，其中恒成立的为（）A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④8．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是（）A ．若m α⊥，n α⊂，则m n⊥B ．若m α∥，n α∥，则m n∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点，且22EF =．．的是（）A ．AC BF⊥B ．直线AE 、BF 所成的角为定值C ．EF ∥平面ABCD D ．三棱锥A BEF -的体积为定值10．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，13AA =，3AB BC CD ===，120BCD ∠=︒，则直线1A B 与1B C 所成的角的余弦值为（）A ．78B ．58C ．8D ．811．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为棱1BB 、1CC 的中点，P 为棱BC 上的一点，且()01BP m m =<<，则点P 到平面AEF 的距离为（）C 是正方形，ABP △，都是等边三角形，E 、F 、G 、H 为折痕将四个等边三角形折起，使得P 、②直线EF 与直线PB 所成的角为60︒④平面EFGH ∥平面ABCD ；其中正确结论的个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题：①若αβ⊥，l β⊥，则l α∥；②若l α⊥，l β⊥，则αβ∥；③若αγ⊥，βγ∥，则αβ⊥；④若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥．其中所有．．正确命题的序号是_____．14．如图所示，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，图中互相垂直的平面共有______对．15．正四面体ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BD 的中点，则异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为__________．16．如图所示，在四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，请你补充一个条件__________，使平面MBD ⊥平面PCD ．①DM PC⊥②DM BM ⊥③BM PC ⊥④PM MC =(填写你认为是正确的条件对应的序号)．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，M ，N 分别为AE ，CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．18．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，2PA =，点F 为PC 的中点．（1）求证：平面PAC ⊥平面BDF ；（2）求三棱锥P BDF -的体积．19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BD ==，2AD =，12AA BC ==，AD BC ∥．（1）证明：平面1BDB ⊥平面11ABB A ；（2）比较四棱锥11D ABB A -与四棱锥1111D A B C D -的体积的大小．20．（12分）如图所示的多面体中，底面ABCD 为正方形，GAD △为等边三角形，BF ⊥平面ABCD ，90GDC ∠=︒，点E 是线段GC 上除两端点外的一点，若点P 为线段GD 的中点．（1）求证：AP ⊥平面GCD ；（2）求证：平面ADG ∥平面FBC ．21．（12分）如图，三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，2BC BD ==，E ，F ，G 分别是棱CD ，AD ，AB 的中点．（1）证明：平面ABE ⊥平面ACD ；（2）若四面体BEFG 的体积为12，且F 在平面ABE 内的正投影为M ，求线段CM 的长．22．（12分）在如图如示的多面体中，平面AEFD ⊥平面BEFC ，四边形AEFD 是边长为2的正方形，BC ，且（1）若M ，N 分别是AE ，CF 中点，求证：MN ∥平面ABCD（2）求此多面体ABCDEF 的体积第十五单元点、线、面的位置关系卷A一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】A【解析】对于B ，易知AB MQ ∥，则直线AB ∥平面MNQ ；对于C ，易知AB MQ ∥，则直线AB ∥平面MNQ ；对于D ，易知AB NQ ∥，则直线AB ∥平面MNQ ．故排除B ，C ，D ，选A ．2．【答案】B【解析】A 中l 与m 位置不确定，D 中α与β可能相交，C 中m 与α的位置不确定，B 正确，故选B ．3．【答案】D 【解析】如图，平移直线D N '到A H '，则直线A H '与直线AM 所成角，由于点M ，H 都是中点，所以ABM A AH ≅'△△，则BAM AA H ∠=∠'，而90A HA AA H '∠+∠='︒，所以90A HA BAM ∠+∠='︒，即A H AM '⊥，应选答案D ．4．【答案】A【解析】由线面角的定义可知答案①中的直线m α⊥，m β⊥，则平面αβ∥是正确的；因为答案②中的两个平面α，β也可能相交，故不正确；答案③中的两个平面m α⊂，n β⊂可以推出两个平面α，β相交，故也不正确；对于答案④，可将直线n 平移到到平面α内，借助异面直线平移后不相交的结论及面面平行的判定定理可知αβ∥，是正确命题，所以应选答案A ．5．【答案】D【解析】AM 与BN 为正方体两相对平面的对角线，且不平行，所以AM 与BN 所成角的大小为90︒，故选D ．6．【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AB l =，2CD l =，当取面11CDD C 为平面α时，∴满足12l l ∥，1l α∥，此时2αl ⊂；当取面1111B A D C 为平面α时，∴满足12l l ∥，1l α∥，此时2l α∥，∴当直线1l 、2l ，平面α，12l l ∥，1l α∥时，2l 与平面α的关系是2l α∥或2l α⊂，故选C ．7．【答案】A【解析】连接AC ，BD 相交于点O ，连接EM ，EN ．在①中，由正四棱锥S ABCD -，可得SO ⊥底面ABCD AC BD ⊥，∴SO AC ⊥．∵SO BD O = ，∴AC ⊥面SBD ．∵E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，∴EM BD ∥，MN SD ∥，EM MN N = ，∴平面EMN ∥平面SBD ，∴AC ⊥平面EMN ，∴AC EP ⊥，故①正确;在②中，由异面直线的定义可知，EP 和BD 是异面直线，不可能EP BD ∥，因此不正确；在③中，由①可知，平面EMN ∥平面SBD ，∴EP ∥平面SBD ，因此正确；在④中，由①同理可得，EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ，则EP EM ∥，与EP EM E = 相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直，即不正确．故选A ．8．【答案】A【解析】逐一考查所给的线面关系：A ．若m α⊥，n α⊂，由线面垂直的定义，则m n ⊥，B ．若m α∥，n α∥，不一定有m n ∥，如图所示的正方体中，若取m ，n 为AB ，AD ，平面α为上底面1111A B C D 即为反例；C ．若m α⊥，m n ⊥，不一定有n α∥，如图所示的正方体中，若取m ，n 为1A A ，11AD ，平面α为上底面1111A B C D 即为反例；D ．若m α∥，m n ⊥，不一定有n α⊥如图所示的正方体中，若取m ，n 为AD ，BC ，平面α为上底面1111A B C D 即为反例；故选A ．9．【答案】B【解析】在A 中，∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点，且22EF =AC BD ⊥，1AC BB ⊥，∵1BD BB B = ，∴AC ⊥平面11BDD B ，∵BF ⊂平面11BDD B ，∴AC BF ⊥，故A 正确；在B 中，异面直线AE 、BF 所成的角不为定值，由图知，当F 与1B 重合时，令上底面顶点为O ，则此时两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线AE 、BF 所成的角不为定值．故B 错误；在C 中，∵EF BD ∥，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ，故C 正确；在D 中，∵AC ⊥平面11BDD B ，∴A 到平面BEF 的距离不变，∵22EF =B 到EF 的距离为1，∴BEF △的面积不变，∴三棱锥A BEF -的体积为定值，故D 正确．10．【答案】A【解析】如图所示，过点C 作1CE BA ∥，连接1B E ，则1B CE ∠就是直线1A B 与1B C 所成的角或其补角，由题得123B C CE ==，13B E =，由余弦定理得1121237cos B CE +-∠==⨯，故选A ．11．【答案】B【解析】由BC EF ∥可知BC ∥平面AEF ，则点P 到平面AEF 的距离即点B 到平面AEF 的距离，直线EF ⊥平面11ABB A ，则平面AEF ⊥平面11ABB A ，结合平面AEF 平面11ABB A AE =可知原问题可转换为点B 到直线AE 的距离，利用面积相等可得点P 到平面AEFB 选项．12．【答案】D 【解析】①错误．所得四棱锥中，设AS 中点为I ，则E 、I 两点重合，∵FI GH ∥，即EF GH ∥，即EF 与GH 不是异面直线；②正确．∵FI GH ∥，PB 与BQ 重合，且GH 与BQ 所成角为60︒，说明EF 与PB 所成角为60︒；③正确．∵FI GH BC ∥∥，BC ⊂平面PBC ，FI ⊄平面PBC ，∴FI ∥平面PBC ，∴FE ∥平面PBC ；④正确．∵FI ∥平面ABCD ，IH ∥平面ABCD ，FI HI I = 点，∴平面FIHG ∥平面ABCD ，即平面EFGH ∥平面ABCD ，故选D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】②③【解析】若αβ⊥，l β⊥，则lα∥，l α⊂；若l α⊥，l β⊥，则αβ∥；若αγ⊥，βγ ，则αβ⊥；若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥或,αβ相交，所以正确命题的序号是②③14．【答案】3【解析】由AB ⊥平面BCD ，又AB ⊂平面ABC 、平面ABD ，所以平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ；由AB ⊥平面BCD 可得CD AB ⊥，又CDBC ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ACD ，故平面ABC ⊥平面ACD ．故答案为3．15．【解析】取BF 中点G ，连CG ，EG ，不妨设正四面体的棱长为2，EG =，CG =，异面直线AF ，CE16．【答案】①③【解析】由定理可知，BD PC ⊥，∴当DM PC ⊥（或BM PC ⊥）时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD ，则DM PC ⊥或BM PC ⊥正确，故答案为①③．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明：（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB ∥，且12MF AB =，因为N 是矩形ABCD 的边CD 的中点，所以NC AB ∥，且12NC AB =．所以MF NC ∥且MF NC =，所以四边形MNCF 是平行四边形．所以MN CF ∥．又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以直线MN ∥平面EBC ．（2）在矩形ABCD 中，BC AB ⊥．又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD 平面EAB AB ＝，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面EAB ．又EA ⊂平面EAB ，所以BC EA ⊥．又EA EB ⊥，BC EB B ＝，EB ，BC ⊂平面EBC ，所以直线EA ⊥平面EBC ．18．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）连接AC ，BC 与AC 交于点O ，连接OF ，因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，因为点F 为PC 的中点，所以OF PA ∥．因为OF AC ⊥，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，因为OF BD O = ，所以AC ⊥平面BDF ，因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BDF ．（2）由（1）可知PA ⊥平面ABCD ，OF PA ∥，所以111333P BCD BCD V OF S -=⋅⋅=⨯⨯△，所以112333P ABD ABD V PA S -=⋅⋅=⨯⨯△，所以3333P BDF P ABCD F BCD A BDP V V V V ----=--=．19．【答案】（1）见解析；（2）111111D A B C D D ABB A V V -->．【解析】（1）证明：∵2222AB BD AD +==，∴AB BD ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，∴1AA BD ⊥，∵1AB AA A = ，∴BD ⊥平面11ABB A ．又BD ⊂平面1BDB ，∴平面1BDB ⊥平面11ABB A ．（2）解：∵AB BD =且AB BD ⊥，∴45ADB ∠=︒，又AD BC ∥，∴45CBD ADB ∠=∠=︒，∴1sin4522BCD S BD BC =⨯⨯︒=△∴四边形ABCD 的面积为12，∴11111121223223D A B C D V -⎛⎫+=⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭又1111112112D ABB A ABB A V BD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯=矩形，∵1233+>∴111111D A B C D D ABB A V V -->．20．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：因为GAD △是等边三角形，点P 为线段GD 的中点，故AP GD ⊥．因为AD CD ⊥，GD CD ⊥，且AD GD D = ，AD ，GD ⊂平面GAD ，故CD ⊥平面GAD ，又AP ⊂平面GAD ，故CD AP ⊥，又CD GD D = ，CD ，GD ⊂平面GCD ，故AP ⊥平面GCD ．（2）证明：∵BF ⊥平面ABCD ，∴BF CD ⊥，∵BC CD ⊥，BF BC B = ，BF ，BC ⊂平面FBC ，∴CD ⊥平面FBC ，由（1）知CD ⊥平面GAD ，∴平面ADG ∥平面FBC ．21．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）证明：因为BC BD =，E 是棱CD 的中点，所以BE CD ⊥，又三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，且BC BD B = ，所以AB ⊥平面BCD ，则AB CD ⊥，因为AB BE B = ，所以CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面ACD ，所以平面ABE ⊥平面ACD ．（2）由（1）知CD ⊥平面ABE ，因为MF ⊥平面ABE ，所以MF CD ∥，又F 为AD 的中点，所以M 为AE 的中点，因为BE =122MF DE ==，所以四面体体BEFG 的体积为11326BGBE BG MF ⨯⨯⨯⨯==12，则3BG =．在Rt ABE △中，26AB BG ==，AE ==在Rt CEM △中，12ME AE ==，CM =．22．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】（1）证明：在平面CDF 中，作NH CF ⊥交DC 于H ，连接AH ．∵M ，N 是AE ，CF 中点，且AEFD 是正方形，∴NH DF ∥又AM DF ∥，∴NH AM =，NH AM ∥，∴四边形AMNH 是平行四边形，∴MN AH ∥，又AH ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，∴MN ∥平面ABCD ．（2）解：如图，连BD ，BF ，过F 作FG EF ⊥，交BC 于点G ．∵四边形BEFC ．∵平面AEFD ⊥平面BEFC ，平面FG EF ⊥，DF EF ⊥，。

2019届高三一轮文科数学课件：7.3-空间点、线、面之间的位置关系(含答案)

答案：C
3．下列四个命题中，真命题的个数为(
)
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线确定一个平面； ③若 M∈α，M∈β，α∩β＝l，则 M∈l； ④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内． A．1 C．3 B．2 D．4
解析：①若三个公共点不共线，则两个平面重合；否则这三个点都在两个平面的交线上，故①不正确； ②若两直线相交或平行，则可以确定一个平面；若两直线异面，则不能确定一个平面．故②不正确； ③由公理知该命题正确； ④相交于同一点的三条直线也可能不共面，如墙角的三条直线；综上，只有③正确．故选 A.
解析：b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥α 都可以．答案：D
5．(2018 届乌鲁木齐模拟)不共面的四点可以确定平面的个数是________．
解析：不共面的四点是指任意三个点都不在同一条直线上，这样从四点中任取三个点都可以确定一个平面．设四个点为 A、B、C、D，则共确定的平面为平面 ABC，平面 ABD，平面 ACD，平面 BCD 共有 4 个．
解析：当两个平面平行时，平面 α 上存在无数多个点到平面 β 的距离相等且不为零，满足题意；当两个平面相交时，可以从交线的两侧去找三个点到平面 β 的距离相等且不为零，故选 D.
答案：D
3．下列说法错误的是(
)
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直 D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行
解析：A、B、C 都正确；D 中两条直线和一个平面所成的角相等，两条直线可能平行，也可能相交或异面，故 D 错误．

2019年高考数学(文科)一本培养限时集训专题7空间线、面的位置关系Word版含解析

专题限时集训(七)空间线、面的位置关系(建议用时：60分钟)一、选择题1．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l⊂βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥βB[若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，可得l⊥β，故B正确；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故C错误；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β或l⊂β，故D错误；故选B.]2．(2018·安庆模拟)正四面体ABCD中，E，F分别为AB，BD的中点，则异面直线AF，CE所成角的余弦值为()A.12 B.23 C.16 D.66C[取BF的中点G，连接CG，EG，(图略)易知EG∥AF，所以异面直线AF，CE所成的角即为∠GEC(或其补角)．不妨设正四面体棱长为2，易求得CE＝3，EG＝32，CG＝132，由余弦定理得cos∠GEC＝EG2＋CE2－CG22EG·CE＝34＋3－1342×32×3＝16，∴异面直线AF，CE所成角的余弦值为16.]3．如图2-4-28，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A -BCD .则在三棱锥A -BCD 中，下列命题正确的是( )图2-4-28A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABCD [∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD .又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB .又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.]图2-4-294．(2018·南昌模拟)如图2-4-29，在四面体ABCD 中，已知AB ⊥AC ，BD ⊥AC ，那么点D 在平面ABC 内的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部A [因为AB ⊥AC ，BD ⊥AC ，AB ∩BD ＝B ，所以AC ⊥平面ABD ，又AC ⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．]5．在正方形ABCD-A1B1C1D1中，E是线段BC上的动点，F是线段CD1上的动点，且E，F不重合，则直线AB1与直线EF的位置关系是() A．相交且垂直B．共面C．平行D．异面且垂直D[连接A1B，则AB1⊥平面A1BCD1，又EF⊂平面A1BCD1，则AB1⊥EF，且AB1，EF是异面直线，故选D.]6．如图2-4-30是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论中错误的是()图2-4-30A．平面EFGH∥平面ABCDB．直线BE，CF相交于一点C．EF∥平面BGDD．P A∥平面BGDC[把图形还原为一个四棱锥，如图所示，根据三角形中位线的性质，可得EH∥AB，GH∥BC，∴平面EFGH∥平面ABCD，A正确；在△P AD中，根据三角形的中位线定理可得EF∥AD，又∵AD∥BC，∴EF∥BC，因此四边形EFCB是梯形，故直线BE与直线CF相交于一点，所以B是正确的；连接AC，设AC中点为M，则M也是BD 的中点，连接MG，因为MG∥P A，且直线MG在平面BDG上，所以有P A∥平面BDG，所以D是正确的；∵EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴直线EF∥平面PBC，再结合图形可得：直线EF与平面BDG不平行，因此C是错误的，故选C.]7．如图2-4-31所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝()图2-4-31A．8 B．9 C．10 D．11A[如图，CE⊂平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1，易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴m＝4，∵EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1，且EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴n＝4，故m＋n＝8，选A.]8．(2018·武汉模拟)如图2-4-32，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD 沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()图2-4-32A．2 B．3 C．4 D．5B[设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，∵D1E⊂平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC.∵D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1，又BC⊂平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1，∵BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，∴AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BCD1.∴共有3对平面互相垂直，故选B.]二、填空题9．(2018·黄山模拟)已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长和高均为1，则异面直线SC与DE所成角的大小为________．。