材料力学(材料成型矿物等)第5章弯曲应力
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材料力学第5章弯曲应力
( y)d d y
d
bb dx OO O'O' d
应变分布规律：
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.
三、物理关系
Hooke’s Law σ Eε M
z
所以 σ E y
?
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴
的距离成正比.
待解决问题
拉应力为 [t] = 30MPa ，许用压应力为[c] =160MPa. 已知截面
对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的强度.
20
F1=9kN
F2=4kN
80
y1
A C
z
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
y2
y1
FRA A
z
F1=9kN FRB F2=4kN 解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
B
C
2a
a
Fa
Iz
(3cm)(2cm)3 12
(1.4cm)(2cm)3 12
1.07cm4
Wz
Iz ymax
1.07cm4 1cm
1.07cm3
（3）求许可载荷
Fa Wz[σ]
Mmax Wz[σ]
F Wz[σ] 3kN a
+
φ14 φ30
20
例题2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用
（4）切应力沿截面高度的变化规律
沿截面高度的变化由静矩 Sz 与y之间的关系确定.
Sz A1 y1dA
材料力学第五章弯曲应力
式中 ： M 横截面上的弯矩
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
y
求应力的点到中性轴的距离
I z A y2dA
m 惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为 4
My
IZ
讨论
应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。
max M (x) WZ
RA
P
A
C
5m 10m
RB B
a
12.5
z
166
例题1 ：图示简支梁由 56 a 工字钢制成 ，其横截面见图 p = 150kN。求 (1) 梁上的最大正应力 max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
解：
C 截面为危险截面。最大弯矩
+
M max 375KN.m
查型钢表，56 a 工字钢
I z 65586 cm6
W z 2342cm2
(1) 梁的最大正应力 +
σ max
M max WZ
160MPa
(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
所以 a 点的正应力为
σ a M max ya 145MPa IZ
12.5
My
IZ
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 当 中性轴为对称轴时 ，ymax 表示最大应力点到中性轴 的距离，横截面上的最大正应力为
max M ymax Iz
WZ
IZ ymax
材料力学-第五章-弯曲应力
弯曲正应力强度条件的应用：
max
M max WZ
1、强度校核
M max
WZ
2、梁的截面尺寸设计
M max
WZ
3、确定许可载荷
Mmax WZ
例1 已知：F=10KN，a=1.2m F
3F
F
b
[σ]=10MPa，h/b=2
试：选择梁的截面尺寸。 解： 由对称性，可得：
故： b 121.6mm h 2b 243.2mm
选取截面为： 125 250 mm 2
例2 已知：l=1.2m[σ]=170MPa，
18号工字钢，不计自重。
F
A
求：F的最大许可值。
解： 作弯矩图，由图可得：
M
| M |max Fl 1.2F N m
查附录A表4，
Wz 185103 mm3 1.85104
的变形：
变形前： bb oo d x
变形后： oo d d x
b'b' ( y)d
bb的线应变为
( y)d d d
即： y
由实验观察，横截面变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直，γ=0
2、物理关系
由假设（2）知，各纵向纤维
（3）矩形横截面上宽下窄。
二、两个假设
（1）平面假设
（2）单向受力假设： 纵向纤维间互不挤压， 即单向拉压。
Fa
D
B
z y
z y
三、理论分析
从以下三方面来分析：
1、变形几何关系
中性层：梁中纤维即不 伸长也不缩短的那层。
中性轴：中性层与横截 面的交线。
材料力学第五章 弯曲应力-正式
9
4.静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
Mz
z
内力与外力相平衡可得
O
y
dA
x σdA
FN
FN A dFN AσdA 0
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσ dA 0 （2）
dFN σ d A
d M y z dA
29
S * y1dA
* z A
z
h/2
y
FS S FS h ( y2 ) I zb 2 I z 4
* z
b h 2 y1bdy1 ( y ) 2 4
2
2
y1
y A1
O B1 A
x
d y1
m1
B
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
明，当
l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。 横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、
离中性轴最远处：
σ max
M max ymax M max Iz W Iz W ymax
17
其中，抗弯截面系数为:
二、强度条件
x
m
n dx
m’
z
m
y
n x
B
z x
B1 A B y
h
O
A1 B1 A
FN1
ḿ
FN2
m’
y
m
4.静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
Mz
z
内力与外力相平衡可得
O
y
dA
x σdA
FN
FN A dFN AσdA 0
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσ dA 0 （2）
dFN σ d A
d M y z dA
29
S * y1dA
* z A
z
h/2
y
FS S FS h ( y2 ) I zb 2 I z 4
* z
b h 2 y1bdy1 ( y ) 2 4
2
2
y1
y A1
O B1 A
x
d y1
m1
B
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
明，当
l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。 横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、
离中性轴最远处：
σ max
M max ymax M max Iz W Iz W ymax
17
其中，抗弯截面系数为:
二、强度条件
x
m
n dx
m’
z
m
y
n x
B
z x
B1 A B y
h
O
A1 B1 A
FN1
ḿ
FN2
m’
y
m
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学第5章弯曲应力
Iz
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
材料力学第五章-弯曲应力知识分享
材料力学第五章-弯曲应力注：由于本书没有标准答案，这些都是我和同学一起做的答案，其中可能会存在一些错误，仅供参考。
习 题6-1厚度mm h 5.1=的钢带,卷成直径 D=3m 的圆环,若钢带的弹性模量E=210GPa ，试求钢带横截面上的最大正应力。
解: 根据弯曲正应力公式的推导: Dy E yE 2..==ρσ MPa D h E 1053105.110210.39max =⨯⨯⨯==-σ 6—2直径为d 的钢丝，弹性模量为E ，现将它弯曲成直径为D 的圆弧。
试求钢丝中的最大应力与d ／D 的关系。
并分析钢丝绳为何要用许多高强度的细钢丝组成。
解: ρσyE .= Dd E ED d .22max ==σ max σ与Dd成正比,钢丝绳易存放,而引起的最大引力很小.6—3 截面形状及尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁，如果所受的外力也相同，则内力是否相同?横截面上正应力的变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同? 解: 面上的内力相同，正应力变化规律相同。
处的正应力相同，线应变不同6—4 图示截面各梁在外载作用下发生平面弯曲，试画出横截面上正应力沿高度的分布图.6—5 一矩形截面梁如图所示，已知F=1.5kN 。
试求(1) I —I 截面上A 、B 、C 、D 各点处的正应力; (2) 梁上的最大正应力，并指明其位置。
解：（1）m N F M .3002.0*10*5.12.0*3===MPa M I y M z A 11110*30*1812*10*15*.1233===--σ A B σσ-= 0=C σMPa M D 1.7410*30*1812*10*)5.15(*1233==--σ MPa W Fl z 5.16610*30*186*10*300*10*5.19233max ===--σ 位置在：固定端截面上下边缘处。
6—6 图示矩形截面简支梁，受均布载荷作用。
已知载荷集度q=20kN ／m ，跨长l ＝3，截面高度=h 24cm ，宽度=b 8cm 。
材料力学 第五章 弯曲应力
因为 y 是对称轴，所以
I yz 0
该式自动满足
中性轴是截面的形心主轴
E EIz 2 M M Z A y dA A y dA
1 M E IZ
EIZ 称为抗弯刚度
y E E
My
I
Z
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式 式中 ： M Iz y 横截面上的弯矩 横截面对中性轴的惯性矩 求应力的点到中性轴的距离
y
Z
O
x
y
上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距 离 y 成正比 ；在距中性轴为 y的同一横线上各点处的正应力 均相等 。
y E E
1 以及中性轴的位置？
M
中性轴
静力学方面
M 在横截面上法向内力元素 dA
O Z
x
dA
构成了空间平行力系。
dA
y
Z
y
N Aσ dA 0
l AB1 B1 B y (d) l dx AB1 O1 O 2
1 d dx
因为 是个非负的量，于是
A
C
d
o1
y
dx
d
o2
B1
B
y
（a ）
C
y
o1
x
d
Z
O
dx
o2
d
A
y
B1
B
y y
C
y
o1
A y
d
该式说明 ， 和 y 成正比 ,， 而与 z 无关 。变
解 ：
C 截面为危险截面。最大弯矩 +
I yz 0
该式自动满足
中性轴是截面的形心主轴
E EIz 2 M M Z A y dA A y dA
1 M E IZ
EIZ 称为抗弯刚度
y E E
My
I
Z
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式 式中 ： M Iz y 横截面上的弯矩 横截面对中性轴的惯性矩 求应力的点到中性轴的距离
y
Z
O
x
y
上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距 离 y 成正比 ；在距中性轴为 y的同一横线上各点处的正应力 均相等 。
y E E
1 以及中性轴的位置？
M
中性轴
静力学方面
M 在横截面上法向内力元素 dA
O Z
x
dA
构成了空间平行力系。
dA
y
Z
y
N Aσ dA 0
l AB1 B1 B y (d) l dx AB1 O1 O 2
1 d dx
因为 是个非负的量，于是
A
C
d
o1
y
dx
d
o2
B1
B
y
（a ）
C
y
o1
x
d
Z
O
dx
o2
d
A
y
B1
B
y y
C
y
o1
A y
d
该式说明 ， 和 y 成正比 ,， 而与 z 无关 。变
解 ：
C 截面为危险截面。最大弯矩 +
材料力学第5章弯曲应力
3 R2
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
材料力学 5.弯曲应力
h h 2 时, 强度最大 ; 3 时, 刚度最大。 b b
39
M max bh2 b(d 2 b 2 ) s max , Wz Wz 6 6
h
R
W 0, d 3b 0,
' z 2 2
b
d 2d h b ,h , 2 3 3 b 1 M bh3 , Iz EI z 12 h I 0, 3 b
正应力；
（2）此截面上的最大正应力；
30
（3）全梁的最大正应力；
180
1
2
z
120 y
（4）已知E=200GPa，求1-1 截面的曲率半径。
16
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m
解：画M图， 求截面弯矩
qLx qx M1 ( ) x 1 60kNm 2 2
2
M
M1 Mmax
由此得
3 3 1200 12.2cm b
2
h 2b 24.4cm
最后选用12.525cm2的截面。
52
例3 一T字形截面铸铁梁，已知P=3.5kN, a=0.5m, 截面尺寸及搁置方式如图示，材料的
抗拉强度sb=320MPa, 抗压强度sC=750MPa,取
安全系数n=4, 试校核梁的强度。
平面弯曲时横截面t
例如： P1
剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
P2
纵向对称面
4
a A
P
P
a B
Q x
M
x
5
纯弯曲(Pure Bending):
某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，
该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。
6
39
M max bh2 b(d 2 b 2 ) s max , Wz Wz 6 6
h
R
W 0, d 3b 0,
' z 2 2
b
d 2d h b ,h , 2 3 3 b 1 M bh3 , Iz EI z 12 h I 0, 3 b
正应力；
（2）此截面上的最大正应力；
30
（3）全梁的最大正应力；
180
1
2
z
120 y
（4）已知E=200GPa，求1-1 截面的曲率半径。
16
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m
解：画M图， 求截面弯矩
qLx qx M1 ( ) x 1 60kNm 2 2
2
M
M1 Mmax
由此得
3 3 1200 12.2cm b
2
h 2b 24.4cm
最后选用12.525cm2的截面。
52
例3 一T字形截面铸铁梁，已知P=3.5kN, a=0.5m, 截面尺寸及搁置方式如图示，材料的
抗拉强度sb=320MPa, 抗压强度sC=750MPa,取
安全系数n=4, 试校核梁的强度。
平面弯曲时横截面t
例如： P1
剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
P2
纵向对称面
4
a A
P
P
a B
Q x
M
x
5
纯弯曲(Pure Bending):
某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，
该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。
6
材料力学弯曲应力
材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。
弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。
本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。
弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。
在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。
根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。
在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。
梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。
从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。
影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。
首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。
其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。
最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。
同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。
综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。
同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。
希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。
材料力学 第五章 弯曲应力
h
z y D d
空心圆截面 W
D 3
32
(1 )
4
d α D
z y
( Stresses in Beams) （2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 y c max 和
y t max 直接代入公式 My 求得相应的最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ正应力 Iz
( Stresses in Beams)
My 纯弯曲时横截面上正应力的计算公式: Iz
M为梁横截面上的弯矩 y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离 Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩 讨论
(1)应用公式时,一般将 M,y 以绝对值代入.根据梁变形的情况 直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应 力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力( 为负号). (2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处
( Stresses in Beams)
Mechanics of
Materials
Chapter5 Stresses in beams
( Stresses in Beams)
第五章 弯曲应力 (Stresses in beams)
§5–1 引言 ( Introduction) §5–2 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams ) §5–3 横力弯曲时的正应力(Normal stresses in transverse bending ) §5–4 梁的切应力及强度条件 (Shear stresses in beams and strength condition) §5–5 提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams)
材料力学第05章(弯曲应力)
物重量F=265kN，l=4m， 求：1）设计h/b=1.5的矩形截面梁；
2）选择工字钢型号： 3）比较这两种截面梁的耗材。
FF
AA
B
z
C
h
l/2
l l/2
by
z y
M (kNm)
解：(1)当小车在跨中时梁最危险。 求支座反力,画弯矩图。
265
F
A C
B
(2)矩形截面梁
l/2
l/2
M (kNm)
(4)比较耗材
A矩 160.8241.2 3.23
A工
12000
工字钢耗材是矩形截面梁的三分之一。
z
z
h
by
y
[例2] 受均布载荷作用的简支梁如图所示， 试求：梁内的最大正应力；
q=60kN/m
A
B
3m
M
67.5 (kNm)
z
y 120
解： Mmax67.5kNm
Wz
bh2 6
1201802 6
ρydA
E ρ
ydA
A
E
S
Z
0
E
y
由于
E
0，
所以
SZ
0
z (中性)轴通过截面形心
z
Fx
My
x
Mz
y
z
x
dA
y
dA
zy
由（2）式
M
y
A(dA)
z
A
Eyz
dA
E
A
yzdA
EI yz
0
2）选择工字钢型号： 3）比较这两种截面梁的耗材。
FF
AA
B
z
C
h
l/2
l l/2
by
z y
M (kNm)
解：(1)当小车在跨中时梁最危险。 求支座反力,画弯矩图。
265
F
A C
B
(2)矩形截面梁
l/2
l/2
M (kNm)
(4)比较耗材
A矩 160.8241.2 3.23
A工
12000
工字钢耗材是矩形截面梁的三分之一。
z
z
h
by
y
[例2] 受均布载荷作用的简支梁如图所示， 试求：梁内的最大正应力；
q=60kN/m
A
B
3m
M
67.5 (kNm)
z
y 120
解： Mmax67.5kNm
Wz
bh2 6
1201802 6
ρydA
E ρ
ydA
A
E
S
Z
0
E
y
由于
E
0，
所以
SZ
0
z (中性)轴通过截面形心
z
Fx
My
x
Mz
y
z
x
dA
y
dA
zy
由（2）式
M
y
A(dA)
z
A
Eyz
dA
E
A
yzdA
EI yz
0
材料力学第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在 剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
(1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是各横 线作相对转动。
（2）纵线由直线弯成同心圆弧线，靠近梁底面的纵线伸 长，靠近梁顶面的纵线缩短。
（3）原来的矩形截面，下部变窄，上部变宽。
第五章 弯曲应力
图5－3
第五章 弯曲应力
根据上述现象，提出以下假设： （1）平面假设:变形后，横截面仍保持平面，且仍与变 形后的轴线正交。在变形过程中，横截面只不过发生了“刚 性”转动。 （2）单向受力假设:梁的纵向“纤维”仅发生轴向伸长 或缩短，即只承受轴向拉力或压力。也就是说，纵向“纤维” 之间无挤压作用。
第五章 弯曲应力
图5－1
第五章 弯曲应力
图5－2
第五章 弯曲应力
5.1.1 试验与假设 首先观察梁的变形。研究具有纵向对称截面的梁（如矩
形截面梁），在梁表面画出平行于轴线的纵线ab、cd以及垂 直于轴线的横线1－1、2－2（见图5－3(a)），然后在梁纵 向对称面内加载，使梁处于纯弯曲状态，其弯矩为M（见图 5－3(b)），可观察到以下现象：
第五章 弯曲应力
设横截面的纵向对称轴为y轴，中性轴为z轴，梁轴线为 x轴，绕点（y,z）取一微面积dA，作用在其上的法向微内力 为σdA（见图5－7），横截面上各点的法向微内力σdA组成 一空间平行力系，而且横截面上不存在轴力，仅存在位于x －y平面内的弯矩M，根据静平衡关系有
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在 剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
(1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是各横 线作相对转动。
（2）纵线由直线弯成同心圆弧线，靠近梁底面的纵线伸 长，靠近梁顶面的纵线缩短。
（3）原来的矩形截面，下部变窄，上部变宽。
第五章 弯曲应力
图5－3
第五章 弯曲应力
根据上述现象，提出以下假设： （1）平面假设:变形后，横截面仍保持平面，且仍与变 形后的轴线正交。在变形过程中，横截面只不过发生了“刚 性”转动。 （2）单向受力假设:梁的纵向“纤维”仅发生轴向伸长 或缩短，即只承受轴向拉力或压力。也就是说，纵向“纤维” 之间无挤压作用。
第五章 弯曲应力
图5－1
第五章 弯曲应力
图5－2
第五章 弯曲应力
5.1.1 试验与假设 首先观察梁的变形。研究具有纵向对称截面的梁（如矩
形截面梁），在梁表面画出平行于轴线的纵线ab、cd以及垂 直于轴线的横线1－1、2－2（见图5－3(a)），然后在梁纵 向对称面内加载，使梁处于纯弯曲状态，其弯矩为M（见图 5－3(b)），可观察到以下现象：
第五章 弯曲应力
设横截面的纵向对称轴为y轴，中性轴为z轴，梁轴线为 x轴，绕点（y,z）取一微面积dA，作用在其上的法向微内力 为σdA（见图5－7），横截面上各点的法向微内力σdA组成 一空间平行力系，而且横截面上不存在轴力，仅存在位于x －y平面内的弯矩M，根据静平衡关系有
材料力学第5章弯曲应力
材料力学第5章弯曲应力
欢迎来到材料力学第5章弯曲应力的世界！在本章中，我们将深入探讨什么是 弯曲应力，并研究其在不同形状截面中的计算方法和应用。
弯曲应力的定义和概念
什么是弯曲应力？
弯曲应力是物体受到外力作用时，在横截面上产生的力分布状态。
应变张量与应力张量
了解应变张量和应力张量的关系是理解弯曲应力的基础。
应力-应变曲线与弯曲应力
探索材料的应力-应变曲线与弯曲应力之间的关系。
弯曲应力在工程中的应用
建筑结构
了解弯曲应力在建筑结构中的应 用，如桥梁和楼梯等。
机械设计
探索弯曲应力在机械设计中的重 要性，如机械零件和工具。
航空航天工程
了解弯曲应力在航空航天工程中 的关键应用，如飞机和火箭。
梯形截面
探索梯形截面的弯曲应力计算方法。
弯曲应力的影响因素
1 外力
外力的大小和方向将直接影响到物体的弯曲应力。
2 截面形状
不同形状的截面将对弯曲应力的分布产生影响。
3 材料的力学性质
材料的弯曲应力极限和应力-应变关系是必须考虑的因素。
材料的弯曲应力极限
如何确定材料的弯曲应力极限
了解如何通过实验和模拟来确定材料的弯曲应力极限。
材料力学中的弯曲应力方程
一般弯曲应力方程
通过一般弯曲应力方程，我们可以计算出材料在弯曲时 的应力。
悬臂梁的弯曲应力
悬臂梁的弯曲应力方程与一般情况下的方程有所不同， 的弯曲应力计算方法
1
圆形截面
2
了解计算圆形截面的弯曲应力的公式和步骤。
3
矩形截面
学习如何计算矩形截面的弯曲应力。
欢迎来到材料力学第5章弯曲应力的世界！在本章中，我们将深入探讨什么是 弯曲应力，并研究其在不同形状截面中的计算方法和应用。
弯曲应力的定义和概念
什么是弯曲应力？
弯曲应力是物体受到外力作用时，在横截面上产生的力分布状态。
应变张量与应力张量
了解应变张量和应力张量的关系是理解弯曲应力的基础。
应力-应变曲线与弯曲应力
探索材料的应力-应变曲线与弯曲应力之间的关系。
弯曲应力在工程中的应用
建筑结构
了解弯曲应力在建筑结构中的应 用，如桥梁和楼梯等。
机械设计
探索弯曲应力在机械设计中的重 要性，如机械零件和工具。
航空航天工程
了解弯曲应力在航空航天工程中 的关键应用，如飞机和火箭。
梯形截面
探索梯形截面的弯曲应力计算方法。
弯曲应力的影响因素
1 外力
外力的大小和方向将直接影响到物体的弯曲应力。
2 截面形状
不同形状的截面将对弯曲应力的分布产生影响。
3 材料的力学性质
材料的弯曲应力极限和应力-应变关系是必须考虑的因素。
材料的弯曲应力极限
如何确定材料的弯曲应力极限
了解如何通过实验和模拟来确定材料的弯曲应力极限。
材料力学中的弯曲应力方程
一般弯曲应力方程
通过一般弯曲应力方程，我们可以计算出材料在弯曲时 的应力。
悬臂梁的弯曲应力
悬臂梁的弯曲应力方程与一般情况下的方程有所不同， 的弯曲应力计算方法
1
圆形截面
2
了解计算圆形截面的弯曲应力的公式和步骤。
3
矩形截面
学习如何计算矩形截面的弯曲应力。
材料力学 第5章 弯曲应力
材料力学
（三）静力学关系
FN x
dA 0
A
Mz A (dA) y M
1 Mz
EI z
由(2)(3)两式可得
… …(3)
x
M y Iz
z x
y
EIz ——抗弯刚度
...... (4)
材料力学
（四）最大正应力
… …(5)
z x
Wz
Iz ymax
——抗弯截面系数
y
z
D
z b
实心圆截面
Pa
92.6MPa
④全梁最大正应力
max
M max Wz
67.5103 6.48 104
Pa
104
.2MPa
材料力学
5.4 弯曲切应力
一、 矩形截面梁横截面上的切应力
x dx 图a
M(x) Fs(x)
Fs(x) y
x 图b
dx M(x)+d M(x)
z
t1
x
b FN1
t
y FN2 图c
1、两点假设： ①切应力与剪力平行； ②距中性轴等距离处，切应力 相等。 2、研究方法：分离体平衡。
60
103 (60 10 3 ) 5.832 10 5
Pa
61.7MPa
材料力学
1 q=60kN/m
A
B
1m
2m
1
180 30
12 z
120 y
qL2
M
8
+
M1 Mmax
x
③1-1截面上的最大正应力
Wz
Iz y
Iz h2
6.48 10 4 m3
1max
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M1(q2Lxq22 x)x160 kNm
1 Q=60kN/m
M ma x q2/L 86 0 3 2/86.5 7 kN
A
B 求应力
1m
2m
1
Izb 13 h 211 2 12 0 3 8 10 10 25 .8 3 1 2 50 m 4
180 30
12
求曲率半径
+
M
qL 2
8
M1 Mmax
x
1E M 1 zI20 650 .8 03 1 2 019 .4m 4
§5－3 梁横截面上的剪应力
一、 矩形截面梁横截面上的剪应力
x dx
图a y
M(x)
Q(x)+d Q(x)
图b
Q(x) dx M(x)+d M(x)
z
t1
x
s
t y s1 图c
dx 图a
Q(x)+d Q(x)
N2
(MdM)Sz Iz
t1
dM dx
Sz bIz
QSz bIz
图b
由剪应力互等பைடு நூலகம்
Q(x)
s
dx
t1
M(x)+d z x
t
M(xS ) zyc Ath 2t2 (yyb )(h 2t1y) Qbb 2I(Szh 42y2)
y s1 图c
y
x
y
...... (1)
（二）物理关系：
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应
力状态。
sx
sx
sx Ex Ey....(..2)
（三）静力学关系：
N x A sd A A E d A yE A y d A E z S 0
Sz 0z(中性 )轴过形心
Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力
①工字钢截面：
Q
t max
Af
; Af —腹板的面积。
t m in t max
结论： 翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。
铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈ tmin
Q
B
1 Q=60kN/m
例1 受均布载荷作用的简支梁如 图所示，试求：
A
B （1）1—1截面上1、2两点的正
1m 1
2m
12 z
120 y
180 30
应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求1—1截
面的曲率半径。
+
M
qL 2
8
M1 Mmax
x 解：画M图求截面弯矩
1
第五章 弯曲应力
§5–1 引言 §5–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §5–3 梁横截面上的剪应力 §5–4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面 §5–5 非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心 §5–6 考虑材料塑性时的极限弯矩
2
§5－１ 引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
2、研究方法
平面弯曲时横截面s
平面弯曲时横截面t
例如：
P1
纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况) 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
P2
纵向对称面
aP A
Q
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
B 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x
EIz 杆的抗弯刚度。
s x
My Iz
...... (4)
（四）最大正应力：
s max
M Wz
… …(5)
W z yIm zax 抗 弯 截 面 模 量 。
d
a d
D
圆 环 W zyIm z a x3D32(1a4)
D
b
回字 框 W zyIm z axB62 H (1B b3h 3 H )
1、两点假设： 剪应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，剪应力
相等。
2、研究方法：分离体平衡。
在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡
t X N 2 N 1 1 b ( d ) x 0
s N1A
dAM ydAMzS
I A z
Iz
x
y M(x)
W zIz/26 .4 8 1 4 0 m 3
z
120 y
s1
s2
M1y Iz
+
x
6060105 61.7MPa
5.832
M
qL 2
8
M1 Mmax
1 Q=60kN/m
A
B
s1maxW M z166.408 14 09.26MP
1m 1
2m
12 120
180 30
sma xM W m z a x6 6.4.7 5 814010.2M 4 P
Q
t矩
Q 2Iz
h2 (
4
y2)
tmax23Q A1.5t
t方向：与横截面上剪力方向相同；
t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。
二、其它截面梁横截面上的剪应力
1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：
t
QS
z
1 bIz
其中Q为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；
3.推论 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。
横截面上只有正应力。
（可由对称性及无限分割法证明）
4. 几何方程：
dq
a
b
A c
B d
O A1
) ))
)
x
A1B1ABA1B1O1O
AB
OO1
O1 B1
x
(y)dqdqy
dq
故工字钢最大剪应力
t max
Af
;
②圆截面：
tmax
4Q4t
3A 3
③ 薄壁圆环：
tmax2QA2t
④槽钢： Q
t 腹板 上QzS;合力 R， 为 RQ
bzI QA
x M
§5－2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
纵向对称面 中性层
一、 纯弯曲时梁横截面 上的正应力
中性轴 （一）变形几何规律：
a
c
b
d
M
a
c
b
d
1.梁的纯弯曲实验
横向线(a b、c d）变
形后仍为直线，但有转动； M 纵向线变为曲线，且上缩
下伸；横向线与纵向线变 形后仍正交。
2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
s M yA (d A )zA Ed A y z E A yd A z E y z I0 （对称面）
s M zA (d A )yA E 2d y A EA y 2 d A E z IM
1 Mz EI z
… …(3)
1 Q=60kN/m
M ma x q2/L 86 0 3 2/86.5 7 kN
A
B 求应力
1m
2m
1
Izb 13 h 211 2 12 0 3 8 10 10 25 .8 3 1 2 50 m 4
180 30
12
求曲率半径
+
M
qL 2
8
M1 Mmax
x
1E M 1 zI20 650 .8 03 1 2 019 .4m 4
§5－3 梁横截面上的剪应力
一、 矩形截面梁横截面上的剪应力
x dx
图a y
M(x)
Q(x)+d Q(x)
图b
Q(x) dx M(x)+d M(x)
z
t1
x
s
t y s1 图c
dx 图a
Q(x)+d Q(x)
N2
(MdM)Sz Iz
t1
dM dx
Sz bIz
QSz bIz
图b
由剪应力互等பைடு நூலகம்
Q(x)
s
dx
t1
M(x)+d z x
t
M(xS ) zyc Ath 2t2 (yyb )(h 2t1y) Qbb 2I(Szh 42y2)
y s1 图c
y
x
y
...... (1)
（二）物理关系：
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应
力状态。
sx
sx
sx Ex Ey....(..2)
（三）静力学关系：
N x A sd A A E d A yE A y d A E z S 0
Sz 0z(中性 )轴过形心
Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力
①工字钢截面：
Q
t max
Af
; Af —腹板的面积。
t m in t max
结论： 翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。
铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈ tmin
Q
B
1 Q=60kN/m
例1 受均布载荷作用的简支梁如 图所示，试求：
A
B （1）1—1截面上1、2两点的正
1m 1
2m
12 z
120 y
180 30
应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求1—1截
面的曲率半径。
+
M
qL 2
8
M1 Mmax
x 解：画M图求截面弯矩
1
第五章 弯曲应力
§5–1 引言 §5–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §5–3 梁横截面上的剪应力 §5–4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面 §5–5 非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心 §5–6 考虑材料塑性时的极限弯矩
2
§5－１ 引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
2、研究方法
平面弯曲时横截面s
平面弯曲时横截面t
例如：
P1
纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况) 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
P2
纵向对称面
aP A
Q
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
B 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x
EIz 杆的抗弯刚度。
s x
My Iz
...... (4)
（四）最大正应力：
s max
M Wz
… …(5)
W z yIm zax 抗 弯 截 面 模 量 。
d
a d
D
圆 环 W zyIm z a x3D32(1a4)
D
b
回字 框 W zyIm z axB62 H (1B b3h 3 H )
1、两点假设： 剪应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，剪应力
相等。
2、研究方法：分离体平衡。
在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡
t X N 2 N 1 1 b ( d ) x 0
s N1A
dAM ydAMzS
I A z
Iz
x
y M(x)
W zIz/26 .4 8 1 4 0 m 3
z
120 y
s1
s2
M1y Iz
+
x
6060105 61.7MPa
5.832
M
qL 2
8
M1 Mmax
1 Q=60kN/m
A
B
s1maxW M z166.408 14 09.26MP
1m 1
2m
12 120
180 30
sma xM W m z a x6 6.4.7 5 814010.2M 4 P
Q
t矩
Q 2Iz
h2 (
4
y2)
tmax23Q A1.5t
t方向：与横截面上剪力方向相同；
t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。
二、其它截面梁横截面上的剪应力
1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：
t
QS
z
1 bIz
其中Q为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；
3.推论 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。
横截面上只有正应力。
（可由对称性及无限分割法证明）
4. 几何方程：
dq
a
b
A c
B d
O A1
) ))
)
x
A1B1ABA1B1O1O
AB
OO1
O1 B1
x
(y)dqdqy
dq
故工字钢最大剪应力
t max
Af
;
②圆截面：
tmax
4Q4t
3A 3
③ 薄壁圆环：
tmax2QA2t
④槽钢： Q
t 腹板 上QzS;合力 R， 为 RQ
bzI QA
x M
§5－2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
纵向对称面 中性层
一、 纯弯曲时梁横截面 上的正应力
中性轴 （一）变形几何规律：
a
c
b
d
M
a
c
b
d
1.梁的纯弯曲实验
横向线(a b、c d）变
形后仍为直线，但有转动； M 纵向线变为曲线，且上缩
下伸；横向线与纵向线变 形后仍正交。
2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
s M yA (d A )zA Ed A y z E A yd A z E y z I0 （对称面）
s M zA (d A )yA E 2d y A EA y 2 d A E z IM
1 Mz EI z
… …(3)