运筹学2014-2015-2第2章

则称下列线性规划问题 Min W b1 y1 b2 y 2 bm ym a11 y1 a 21 y 2 a m 1 ym c1 a12 y1 a 22 y 2 a m 2 ym c 2 s .t a y a y a y c 2n 2 mn m n 1n 1 yi 0 i 1 ,2 , , m
Z 5 x1 6 x 2 3 x1 2 x 2 7 4 x 1 x 2 9 x1 , x 2 0
Min s .t
W 7 y1 9 y 2 3 y1 4 y 2 5 2 y1 y 2 6 y1 , y 2 0
王老板做家 具赚了大钱， 可惜我老李 有高科技产 品，却苦于 没有足够的 木工和油漆 工咋办？只 有租咯。
家具生意还真赚钱， 但是现在的手机生 意这么好，不如干 脆把我的木工和油 漆工租给他，又能 收租金又可做生意。
王 老 板
价格嘛…… 好商量， 好商量。只 是…...
Hi：王老板，听 说近来家具生意 好呀，也帮帮兄 弟我哦! 李 老 板
CB b b 0 XB B CB CB b B-1b -CBB-1b XB I 0 CN XN N CN CN XN B-1N CN-CBB-1 N CS(0) XS I 0 CS(0) XS B-1 -CBB-1
2.3 对偶问题的提出
对偶问题的提出
引例1
俩家具制造商间的对话：
唉!我想租您的木工和 油漆工一用。咋样？价 格嘛……好说，肯定不 会让您兄弟吃亏。
x1 + x2 ≤45 2x1 + x2 ≤80 x1 +3x2 ≤90 x1，x2 ≥0
LP
2. 两问题数学模型的对应关系
(1)两个问题的系数矩阵互为转置。
(2)一个问题变量的个数，等于另一个问题的约束条件的个数。 (3)一个问题的右端常数，是另一个问题的目标函数的系数。
(4) 若一个问题的目标为“ max”，约束为“≤类型；则另一个 问题的目标为“min”，约束为“≥”类型。
线性规划的对偶理论
例3 求线性规划问题的 对偶规划
Max s .t
Z 5 x1 6 x 2 3 x1 2 x 2 7 4 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题，可先化为 对称型，再求其对偶规划。
Max s .t
这种关系称为对称型对偶关系。
2.4 线性规划的对偶理论
线性规划的对偶理论
一、 原问题与对偶问题的对应关系
Max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 s.t 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0 原问题 （对偶问题）
（y1） （x 1 ） （x 2 ） 1 2 30 （y2） 3 2 60
4、将原问题约束条件的系数矩阵转置，得到其对偶问
题约束条件的系数矩阵； 5、改变约束问题不等号的方向，即将“≤”改为“≥”；
6、原问题为“max”型，对偶问题为“min”型。
线性规划的对偶理论
原始问题 Max Z=CX s.t. AX≤b X ≥0 Max
C
Y为行向量 对偶问题 Min W=Yb s.t. YA≥C Y ≥0
线性规划的对偶理论 上式已为对称型对偶问题，故可写出它的对偶 2 Z 7 y1 3 y1 4 y 2 5 3 y1 2 y1 y 2 6 2 y1 , y1 , y 2 0 y1
1
0 0 0 1 0 0 0
0
1 0 0 0 1 0 0
0
0 1 0 -0.4 -0.5 0.1 -1.2
90
40 30 30.8 20 100

•每一列的含 义？ •每个表中的 B和B-1的查 找？

0
7 12
x3
x1 x2
84
20 24
0
1 0
0
0 1
1
0 0
-3.12
0.4 -0.12
1.16
为其对偶问题，其中yi (i=1,2,…,m) 上述对偶问题称为对称型对偶问题
称为对偶变量
线性规划的对偶理论
对称型问题的对偶规则
1、给每个原始约束条件定义一个非负对偶变量 yi(i=1,2,…,m)；
2、使原问题的目标函数系数 cj 变为其对偶问题约束条 件的右端常数； 3、使原问题约束条件的右端常数 bi 变为其对偶问题目 标函数的系数；
4. 了解影子价格、灵敏度分析。
2.1 单纯形法的矩阵描述
单纯形法的矩阵描述
XB CB B-1b x1 x2 x3 x4 x5 ɵ
x3
x4 x5 x3 x4 x2
0
0 0 0 0 12
360
200 300 240 50 30
9
4 3 7 7.8 2.5 0,3 3.4
4
5 10 12 0 0 1 0
则上式化为
令
y1 y1 y1
Min s .t
Z 7 y1 9 y 2 3 y1 4 y 2 5 2 y1 y 2 6 y 无限制, y 0 2 1
Max s .t
Z 5 x1 6 x 2 3 x1 2 x 2 7 4 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
按时下最流行的一个词，叫什么来着————
引例：资源价格问题
生产计划问题 甲 A B C 利润 1 乙 1 资源量 45 80 90 资源价格问题 Max Z（X）=4x1+5x2 x1 + x2 ≤ 45 2x1 + x2 ≤ 80 x1 + 3x2 ≤ 90 x1 ，x2 ≥ 0
2
1 4
1
3 5
线性规划的对偶理论
例2 求线性规划问题的 对偶规划
Max s .t
Z 5 x1 6 x 2 3 x1 2 x 2 7 4 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题，可先化为 对称型，再求其对偶规划。
Max s .t
Z 5 x1 6 x 2 3 x1 2 x 2 7 3 x1 2 x 2 7 4 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
Max s .t
Z 5 x1 6 x 2 3 x1 2 x 2 7 3 x 1 2 x 2 7 4 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
假设企业决策者不考虑自己生产产品甲、乙，而是将厂 里的现有资源卖出。试问该厂的决策者应给每种资源制 定一个怎样的价格，才能获得良好收益?
甲
分析： 决策者要考虑两个因素： 第一，每种资源所收回的费 用应不底于自己生产时所获 得的利润； 第二，定价又不能太高，要 使对方容易接受。 总之，定价要公平合理，使 双方都能接受。 资源价格问题 y1 y2 y3 A B C 利润
对偶问题的提出
王老板的家具生产模型：
x1 、 x2是桌、椅生产量。 Z是家具销售总收入（总利润）。 max Z = 50x1 + 30x2 s.t. 4x1+3x2 ≤ 120（木工） 2x1+ x2 ≤ 50 （油漆工） x1， x2
≥
王老板的资源出租模型：
y1、 y2单位木、漆工出租价格。 W是资源出租租金总收入。 min W =120y1 + 50y2 s.t. 4y1+2y2 ≥ 50 3y1+ y2 ≥ 30 y1， y2
线性规划的对偶理论 求线性规划问题的 例1 对偶规划
Max s .t
z 5 x1 6 x 2 3 x1 2 x 2 7 4 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
解：由原问题的结构可知为对称型对偶问题
Min s .t
w 7 y1 9 y 2 3 y1 4 y 2 5 2 y1 y 2 6 y1 , y 2 0
3个约束 2个变量
Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3
y1 + 3y2 s.t
y1 , y2 , y 3 0
40
2y1 + 2 y2 + 2y3 50
2个约束 3个变量
对偶问题
（原问题）
（y3） 0 2 24 40 50 minω max z
线性规划的对偶理论
对偶问题的形式
≥
0
0
原始线性规划问题，记为（P）
对偶线性规划问题，记为（D）
1. 所得不得低于生产的获利 （不吃亏原则） 两个原则 2. 要使对方能够接受
（竞争性原则）
对偶问题的提出 王老板按（D）的解 y1 、y2出租其拥有的木、漆工资源， 既保证了自己不吃亏（出租资源的租金收入并不低于自己生 产时的销售收入），又使得出租价格对李老板有极大的吸引 力（李老板所付出的总租金W最少）。
定义 设原线性规划问题为
Max
s .t
Z c1 x 1 c 2 x 2 c n x n a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x j 0 j 1 ,2 , , n
线性规划的对偶理论
原问题（或对偶问题） 约束条件右端项 目标函数变量的系数 目标函数 max 约 束 条 件 m个 ≤ ≥ = n个 变 量 ≥0 ≤0 无约束 对偶问题（或原问题） 目标函数变量的系数 约束条件右端项 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 约 束 条 件 变 量