【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期开学摸底测试理数(解析版)
优质金卷：湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟考试理数试题(解析版)
1．B 【解析】由题设可得212z i =-， ()212121214434125555i z i i i z i ++-+====-+-，应选答案B.4．C 【解析】设三只笔的笔筒与笔帽的搭配方式分别有： ,,Aa Bb Cc ， ,,Aa Bc Ca ， ,,Ab Bb Ca ，,,Ab Ba Cc ，共12种情形，其中恰有两只笔和笔帽的颜色混搭的可能有,Bc Ca ， ,Ab Ca ， ,Ab Ba 共6种情形，故所求事件的概率是61122P ==，应选答案C . 5．A 【解析】如图， 2OB OC OD +=，又22OB OC OA AO +=-=，故AO OD=，应选答案A .6．B 【解析】由题设22T ππωω==⇒=，则()()sin 2f x x ϕ=+，向左平移3π后可得()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭经过点()0,1P ，即2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解之得6πϕ=-，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2sin 21,sin 1666336f f ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可知函数 ()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，应选答案B .9．D 【解析】的正四面体，如图，则2242S a ==，应选答案D.10．A 【解析】因为()1,0F ，直线():1AB y k x =-，代入24y x =可得()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则121x x ⋅=，由抛物线的定义可得121,1AF x BF x =+=+，所以()()22121222112221111x x x x AF x BF x x x ++-+-=+-==+++，故令 2222222221211111x x t AF x BF x x x +-=-==-+++，令21x t -=，则21x t =+，所以)2211211112222AFtBFt t tt-==≥===++++++，应选答案A .点睛：解答本题的关键是先建立直线的方程，再与抛物线的方程联立得到()2222240k x k x k-++=，然后依据抛物线的定义与坐标之间的关系建立目标函数22222222121111xAFxBF x xx+-==-+++，进而通过换元转化为22111112222AFtBFt t tt-==++++++，最后运用基本不等式使得问题巧妙获解. 12．D【解析】因为()()1,32sinxf x eg x a x''=--=-，所以直线12,l l的斜率分别为()11201,32sinxk e k a x=-+=-，则由题设可得()()1132sin1xe a x-+-=-，即1132sin1xa xe-=+，又因为对任意1x，都有11011x e<<+，故存在x使得032sin1a x<-<，即存在x使得002sin312sinx a x<<+，故1232a-≤≤，即1233a-≤≤，应选答案D.点睛：本题将导数的几何意义与函数的切线的斜率有解地整合在一起，旨在考查导数的几何意义、全称命题与特称命题的真假判定等有关知识的综合运用。
2017年湖南省长沙市长郡中学理科数学模拟试卷(Word版含
2021年湖南省长沙市长郡中学理科数学模拟试卷〔Word版含解析〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合标题问题要求.1．〔5分〕〔2021•天心区校级一模〕调集A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，那么A∩B=〔〕A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11 ：计算题；37 ：调集思想；4O：定义法；5J ：调集．【阐发】调集A与调集B的公共元素构成调集A∩B．【解答】解：∵调集A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B={0，1}．应选A．【点评】此题考查调集的交集及其运算，是根底题．解题时要当真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．〔5分〕〔2021•武昌区模拟〕复数〔i 为虚数单元〕的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，那么实数a的取值范围是〔〕A．B．C．〔﹣∞，﹣2〕D．【考点】A4：复数的代数暗示法及其几何意义．【专题】35 ：转化思想；59 ：不等式的解法及应用；5N ：数系的扩充和复数．【阐发】操纵复数的运算法那么、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数==+i的共轭复数﹣i的共在复平面内对应的点在第三象限，∴＜0，﹣＜0，解得a，且a＞﹣2，那么实数a的取值范围是．应选：A．【点评】此题考查了复数的运算法那么、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．3．〔5分〕〔2021•新课标Ⅰ〕设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，那么a=〔〕A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3【考点】7F：根本不等式．【专题】5B ：直线与圆．【阐发】如下图，当a≥1时，由，解得．当直线z=x+ay 颠末A点时取得最小值为7，同理对a＜1得出．【解答】解：如下图，当a≥1时，由，解得，y=．∴．当直线z=x+ay颠末A点时取得最小值为7，∴，化为a2+2a﹣15=0，解得a=3，a=﹣5舍去．当a＜1时，不符合条件．应选：B．【点评】此题考查了线性规划的有关常识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．4．〔5分〕〔2021•江西二模〕的最大值为A，假设存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f〔x1〕≤f〔x〕≤f〔x2〕成立，那么A|x1﹣x2|的最小值为〔〕A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值；H2：正弦函数的图象．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值．【阐发】按照题意，操纵三角恒等变换化简函数f〔x〕的解析式，再操纵正弦函数的周期性和最值，即可求出 A|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：=sin2021xcos+cos2021xsin+cos2021xcos+sin2021xsin =sin2021x+cos2021x+cos2021x+sin2021x=sin2021x+cos2021x=2sin〔2021x+〕．或==2sin〔2021x+〕．∴f〔x〕的最大值为A=2；由题意得，|x1﹣x2|的最小值为=，∴A|x1﹣x2|的最小值为．应选：B．【点评】此题考查了三角函数的恒等变换以及正弦、余弦函数的周期性和最值问题，是根底标题问题．5．〔5分〕〔2021•天河区三模〕设f〔x〕=，那么f 〔x〕dx的值为〔〕A．+B．+3C．+D．+3【考点】67：定积分．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；52 ：导数的概念及应用．【阐发】按照定积分性质可得f〔x〕dx=+，然后按照定积分可得．【解答】解：按照定积分性质可得f〔x〕dx=+，按照定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，=，∴f〔x〕dx=+〔〕，=+，故答案选：A．【点评】此题求一个分段函数的定积分之值，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等常识，属于根底题．6．〔5分〕〔2021•福建模拟〕一个篮球运发动投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c〔a，b，c∈〔0，1〕〕，他投篮一次得分的数学期望为2，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．4【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；7F：根本不等式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；59 ：不等式的解法及应用；5I ：概率与统计．【阐发】由题意可得：3a+2b+0•c=2，即3a+2b=2．a，b，c∈〔0，1〕〕，再操纵“乘1法〞与根本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：3a+2b+0•c=2，即3a+2b=2．a，b，c∈〔0，1〕〕，∴===，当且仅当a=2b=时取等号．应选：C．【点评】此题考查了数学期望计算公式、“乘1法〞与根本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．〔5分〕〔2021•南开区三模〕在如下图的程序框图中，假设输出的值是3，那么输入x的取值范围是〔〕A．〔4，10]B．〔2，+∞〕C．〔2，4]D．〔4，+∞〕【考点】EF：程序框图．【专题】11 ：计算题；28 ：操作型；5K ：算法和程序框图．【阐发】由中的程序框图可知：该程序的功能是操纵循环布局计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，阐发循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈〔4，10]，应选：A【点评】此题考查的常识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．〔5分〕〔2021•武昌区模拟〕假设的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，那么该展开式中的常数项是〔〕A．﹣270B．270C．﹣90D．90【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；5P ：二项式定理．【阐发】的展开式中所有项系数的绝对值之和等于为展开式中所有项系数的绝对值之和，令x=1可得：4n=1024，解得n=5．操纵的通项公式即可得出．【解答】解：的展开式中所有项系数的绝对值之和等于为展开式中所有项系数的绝对值之和，令x=1可得：4n=1024，解得n=5．==〔﹣1〕r35﹣r，∴的通项公式为：Tr+1令=0，解得r=3．∴该展开式中的常数项是=﹣90．应选：C．【点评】此题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．〔5分〕〔2021•天心区校级一模〕假设等边△ABC的边长为3，平面内一点M 满足，那么的值为〔〕A．2B．C．D．﹣2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【阐发】操纵向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算即可得出．【解答】解：如下图，A〔，0〕，B〔0，〕，C〔﹣，0〕，∴=〔，〕，=〔3，0〕，∴=〔，〕+〔3，0〕=〔2，〕，∴=+=〔，〕，∴=﹣=〔﹣1，〕，=﹣=〔﹣，〕，∴=﹣1×〔﹣〕+×=2，应选：A．【点评】此题考查了向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算、等边三角形的性质，属于中档题．10．〔5分〕〔2021•天心区校级一模〕抛物线C：y2=2px〔0＜p＜4〕的焦点为F，点P为C上一动点，A〔4，0〕，B〔p，p〕，且|PA|的最小值为，那么|BF|等于〔〕A．4B．C．5D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【阐发】操纵|PA|的最小值为，求出p，可得B的坐标，操纵抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：设P〔x，y〕，那么|PA|==，∴x=4﹣p时，|PA|的最小值为=，∵0＜p＜4，∴p=3，∴B〔3，3〕，∴|BF|=3+=，应选B．【点评】此题考查抛物线的定义与方程，考查配方法的运用，正确求出p是解题的关键．11．〔5分〕〔2021•商丘二模〕如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】31 ：数形结合；35 ：转化思想；5F ：空间位置关系与距离．【阐发】如下图，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．【解答】解：如下图，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=VB﹣PAD +VB﹣PCD==．应选：B．【点评】此题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．〔5分〕〔2021•泰安一模〕函数满足条件：对于∀x1∈R，且x1≠0，∃独一的x2∈R且x1≠x2，使得f〔x1〕=f〔x2〕．当f〔2a〕=f〔3b〕成立时，那么实数a+b=〔〕A．B．C．+3D．+3【考点】5B：分段函数的应用．【专题】11 ：计算题；32 ：分类讨论；51 ：函数的性质及应用．【阐发】按照条件得到f〔x〕在〔﹣∞，0〕和〔0，+∞〕上单调，得到a，b 的关系进行求解即可．【解答】解：假设对于∀x1∈R，存在独一的x2∈R，使得f〔x1〕=f〔x2〕．∴f〔x〕在〔﹣∞，0〕和〔0，+∞〕上单调，那么b=3，且a＜0，由f〔2a〕=f〔3b〕得f〔2a〕=f〔9〕，即2a2+3=+3=3+3，即a=﹣，那么a+b=﹣+3，应选：D【点评】此题主要考查分段函数的应用，按照条件得到a，b的关系是解决此题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．〔5分〕〔2021•武昌区模拟〕函数的最大值为 4 ．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4G ：演绎法；57 ：三角函数的图像与性质．【阐发】先化简函数，再配方，即可得出结论．【解答】解：=cos2x﹣5sinx=1﹣2sin2x﹣5sinx=﹣2〔sinx+〕2﹣，∵﹣1≤sinx≤1，∴sinx=﹣1时，函数的最大值为4，故答案为4．【点评】此题考查函数的最大值，考查诱导公式，考查配方法的运用，属于中档题．14．〔5分〕〔2021•天心区校级一模〕设，那么a1+a2+a3+a4+a5= ﹣1 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；5P ：二项式定理．【阐发】令x=0，可得：1=a0．令x=，那么=a+a1+a2+a3+a4+a5，即可得出．【解答】解：令x=0，可得：1=a．令x=，那么=++…+=a0+a1+a2+a3+a4+a5，∴a1+a2+a3+a4+a5=﹣a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．15．〔5分〕〔2021•武昌区模拟〕平面向量的夹角为120°，且．假设平面向量满足，那么=．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；44 ：数形结合法；5A ：平面向量及应用．【阐发】由画出图形，然后操纵坐标法求解．【解答】解：如图，设，那么A〔1，0〕，B〔﹣1，〕，再设，由，得，解得．∴||=．故答案为：．【点评】此题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标运算，建系起到事半功倍的效果，是中档题．16．〔5分〕〔2021•天心区校级一模〕设数列{an }〔n≥1，n∈N〕满足a1=2，a2=6，且an+2﹣2an+1+an=2，假设[x]暗示不超过x的最大整数，那么= 2021 ．【考点】8H：数列递推式．【专题】35 ：转化思想；4M：构造法；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列．【阐发】构造bn =an+1﹣an，那么b1=a2﹣a1=4，由题意可得〔an+2﹣an+1〕﹣〔an+1﹣a n 〕=bn+1﹣bn=2，操纵等差数列的通项公式可得bn=an+1﹣an=2n+2，再操纵“累加求和〞方法可得an=n〔n+1〕，可得=，再操纵取整数函数即可得出．【解答】解：构造bn =an+1﹣an，那么b1=a2﹣a1=4，由题意可得〔an+2﹣an+1〕﹣〔an+1﹣an〕=bn+1﹣bn=2，故数列{bn}是4为首项2为公差的等差数列，故bn =an+1﹣an=4+2〔n﹣1〕=2n+2，故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，an﹣an﹣1=2n，以上n﹣1个式子相加可得an ﹣a1=4+6+…+2n=，解得an=n〔n+1〕，∴=，∴+=+…+〔〕=1﹣，∴…+=2021﹣那么==2021．故答案为：2021．【点评】此题考查了构造方法、等差数列的通项公式可、“累加求和〞方法、“裂项求和〞方法、取整数函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解容许写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．〔12分〕〔2021•焦作一模〕a，b，c别离为锐角△ABC三个内角A，B，C 的对边，且〔a+b〕〔sinA﹣sinB〕=〔c﹣b〕sinC〔Ⅰ〕求∠A的大小；〔Ⅱ〕假设f〔x〕=sin•cos+cos2，求f〔B〕的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值；58 ：解三角形．【阐发】〔I〕由〔a+b〕〔sinA﹣sinB〕=〔c﹣b〕sinC，由正弦定理可得：〔a+b〕〔a﹣b〕=〔c﹣b〕c，化为b2+c2﹣a2=bc．再操纵余弦定理可得：cosA．〔II〕f〔x〕=sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，可得＜B+＜，即可得出．【解答】解：〔I〕∵〔a+b〕〔sinA﹣sinB〕=〔c﹣b〕sinC，由正弦定理可得：〔a+b〕〔a﹣b〕=〔c﹣b〕c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∵A∈〔0，π〕，∴A=．〔II〕f〔x〕==sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，∴∈，∴f〔B〕的取值范围是．【点评】此题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．〔12分〕〔2021•天心区校级一模〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．〔1〕求证：平面PQB⊥平面PAD；〔2〕设PM=tMC，假设二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°，试确定t的值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5G ：空间角．【阐发】〔1〕由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，可得四边形BCDQ为平行四边形，得到CD∥BQ．结合∠ADC=90°，得QB⊥AD．然后操纵面面垂直的性质得BQ⊥平面PAD．再由线面垂直的判定得平面PQB⊥平面PAD；〔2〕由PA=PD，Q为AD的中点，得PQ⊥AD．结合〔1〕可得PQ⊥平面ABCD．以Q为原点成立空间直角坐标系．然后求出平面BQC的一个法向量，再由PM=tMC 把平面MBQ的一个法向量用含有t的代数式暗示，结合二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°求得t的值．【解答】〔1〕求证：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD；〔2〕解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点成立空间直角坐标系．那么面BQC的法向量为；Q〔0，0，0〕，P〔0，0，〕，B〔0，，0〕，C〔﹣1，〕．设M〔x，y，z〕，那么，，∵PM=tMC，∴，那么，即，在平面MBQ中，，，设平面MBQ的一个法向量，由，，取z=t，得x=．∴平面MBQ法向量为．∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，解得t=3．【点评】此题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了操纵空间向量求解二面角的平面角，是中档题．19．〔12分〕〔2021•天心区校级一模〕近年来我国电子商务行业迎来开展的新机遇.2021年双11期间，某购物平台的发卖业绩高达918亿人民币．与此同时，相关办理部分推出了针对电商的商品和效劳的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对效劳的好评率为0.75，此中对商品和效劳都作出好评的交易为80次．〔1〕能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与效劳好评有关？〔2〕假设将频率视作概率，某人在该购物平台长进行5次购物中，设对商品和效劳全好评的次数为随机变量X：①求对商品和效劳全为好评的次数X的分布列〔概率用组合数算式暗示〕；②求X的数学期望和方程．0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001P〔K2≥k〕k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828〔K2=，此中n=a+b+c+d〕【考点】BO：独立性查验的应用；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5I ：概率与统计．【阐发】〔1〕由题意列出2×2列联表，计算不雅测值K2，对照数表即可得出正确的结论；〔2〕按照题意，得出商品和效劳都好评的概率，求出X的可能取值，计算对应的概率值，写出期望与方差．【解答】解：〔1〕由题意可得关于商品和效劳评价的2×2列联表为：对效劳好评对效劳不对劲合计对商品好评80 40 120对商品不对劲70 10 80合计150 50 200计算不雅测值K2=，对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与效劳好评有关；〔6分〕〔2〕每次购物时，对商品和效劳都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；所以X的分布列为：X 0 1 2 3 4 5PC52〔〕2〔〕3C53〔〕3〔〕2C54〔〕4〔〕1〔〕5由于X～B〔5，〕，那么EX=5×=2，DX=5××〔1﹣〕=〔12分〕【点评】此题主要考查了统计与概率的相关常识，包罗独立性查验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法问题，也考查了对数据处置能力的应用问题．20．〔12分〕〔2021•河北二模〕椭圆C1：+=1〔a＞b＞0〕的离心率为，P〔﹣2，1〕是C1上一点．〔1〕求椭圆C1的方程；〔2〕设A，B，Q是P别离关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【考点】K4：椭圆的简单性质．【专题】34 ：方程思想；48 ：阐发法；5B ：直线与圆；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【阐发】〔1〕运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；〔2〕设A〔﹣2，﹣1〕，B〔2，1〕，Q〔2，﹣1〕，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，设C〔x1，y1〕，D〔x2，y2〕，E〔﹣x1，﹣y1〕，运用韦达定理，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，化简整理，代入韦达定理，即可得证．【解答】解：〔1〕由题意可得e==，且a2﹣b2=c2，将P〔﹣2，1〕代入椭圆方程可得+=1，解得a=2，b=，c=，即有椭圆方程为+=1；〔2〕证明：A，B，Q是P〔﹣2，1〕别离关于两坐标轴及坐标原点的对称点，可设A〔﹣2，﹣1〕，B〔2，1〕，Q〔2，﹣1〕，直线l的斜率为k=，设直线l的方程为y=x+t，〔t≠0〕代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，设C〔x1，y1〕，D〔x2，y2〕，E〔﹣x1，﹣y1〕，即有△=4t2﹣4〔2t2﹣4〕＞0，解得﹣2＜t＜2，〔t≠0〕x 1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，那么k1+k2=+=，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，即〔2﹣x1〕〔y2﹣1〕﹣〔2+x2〕〔y1+1〕=0，由y1=x1+t，y2=x2+t，可得〔2﹣x1〕〔y2﹣1〕﹣〔2+x2〕〔y1+1〕=2〔y2﹣y1〕﹣〔x1y2+x2y1〕+x1﹣x2﹣4=x2﹣x1﹣〔x1x2+tx1+tx2〕+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t〔x1+x2〕﹣4=﹣〔2t2﹣4〕+2t2﹣4=0，那么直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【点评】此题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式和运用，化简整理的运算能力，属于中档题．21．〔12分〕〔2021•天心区校级一模〕函数f〔x〕=xlnx﹣x2﹣x+a〔a∈R〕在定义域内有两个不同的极值点〔1〕求a的取值范围；〔2〕记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，λ＞0，假设不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．【考点】6D：操纵导数研究函数的极值；6E：操纵导数求闭区间上函数的最值．【专题】33 ：函数思想；49 ：综合法；52 ：导数的概念及应用．【阐发】〔1〕由导数与极值的关系知可转化为方程f′〔x〕=lnx﹣ax=0在〔0，+∞〕有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在〔0，+∞〕上有两个不同交点；〔2〕原式等价于＞，令t=，t∈〔0，1〕，那么不等式lnt＜在t∈〔0，1〕上恒成立．令h〔t〕=lnt﹣，t∈〔0，1〕，按照函数的单调性求出即可．【解答】解：〔1〕由题意知，函数f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕，方程f′〔x〕=0在〔0，+∞〕有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在〔0，+∞〕有两个不同根；转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在〔0，+∞〕上有两个不同交点，如图示：，可见，假设令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A〔x0，lnx〕，故k=y′|x=x=，又k=，故=，解得，x=e，故k=，故0＜a＜；〔2〕因为e1+λ＜x1•x2λ等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由〔1〕可知x1，x2别离是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a〔x1+λx2〕，因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于a＞，又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln =a〔x1﹣x2〕，所以原式等价于＞，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即ln＜恒成立．令t=，t∈〔0，1〕，那么不等式lnt＜在t∈〔0，1〕上恒成立．令h〔t〕=lnt﹣，t∈〔0，1〕，又h′〔t〕=，当λ2≥1时，可见t∈〔0，1〕时，h′〔t〕＞0，所以h〔t〕在t∈〔0，1〕上单调增，又h〔1〕=0，h〔t〕＜0在t∈〔0，1〕恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈〔0，λ2〕时，h′〔t〕＞0，t∈〔λ2，1〕时h′〔t〕＜0，所以h〔t〕在t∈〔0，λ2〕时单调增，在t∈〔λ2，1〕时单调减，又h〔1〕=0，所以h〔t〕在t∈〔0，1〕上不克不及恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，假设不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．【点评】此题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，是一道综合题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，那么按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．〔10分〕〔2021•天心区校级一模〕在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为〔φ为参数〕，以O为顶点，x轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．〔1〕求圆C的极坐标方程；〔2〕假设直线〔t为参数〕与圆C交于A，B两点，且，求m的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】17 ：选作题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5S ：坐标系和参数方程．【阐发】〔1〕求出圆C的普通方程，可得圆C的极坐标方程；〔2〕求出直线l的普通方程，操纵勾股定理，成立方程，即可求出m的值．【解答】解：〔1〕圆C的参数方程为〔φ为参数〕，普通方程为〔x﹣2〕2+y2=4，极坐标方程为ρ=4cosθ；〔2〕直线〔t为参数〕，消去参数可得y﹣x+m=0，圆心C到直线的距离d=，|AB|=2=，∴m=1或3．【点评】此题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．〔2021•天心区校级一模〕函数f〔x〕=|x+2|﹣2|x﹣1|．〔Ⅰ〕求不等式f〔x〕≥﹣2的解集M；〔Ⅱ〕对任意x∈[a，+∞〕，都有f〔x〕≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；59 ：不等式的解法及应用．【阐发】〔Ⅰ〕通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；〔Ⅱ〕法一：求出f〔x〕的分段函数的形式，令y=x﹣a，通过讨论求出a的范围即可；，求出g〔x〕的最大值，法二：设g〔x〕=f〔x〕﹣x，问题转化为﹣a≥g〔x〕max得到a的范围即可．【解答】解：〔Ⅰ〕f〔x〕=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，所以x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，所以﹣≤x＜1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，所以1≤x≤6；综上，不等式f〔x〕≥﹣2的解集为M={x|﹣≤x≤6}；〔Ⅱ〕f〔x〕=，令y=x﹣a，当直线颠末点〔1，3〕时，﹣a=2，所以当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；当﹣a＜2即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，所以a≥2+，即a≥4，综上，a≤﹣2或a≥4．解法二：〔Ⅰ〕同解法一，〔Ⅱ〕设g〔x〕=f〔x〕﹣x=，因为对任意x∈[a，+∞〕，都有f〔x〕≤x﹣a成立，，所以﹣a≥g〔x〕max=g〔a〕=﹣2a+4，①当a＞1时，g〔x〕max所以﹣a≥﹣2a+4，所以a≥4，符合a＞1．②当a≤1时，g〔x〕=g〔1〕=2，max所以﹣a≥2，所以a≤﹣2，符合a≤1，综上，实数a的取值范围是〔﹣∞，﹣2]∪[4，+∞〕．【点评】本小题考查绝对值不等式的解法与性质等根底常识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．。
湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底测试理科综合物理试题 含解析
二、选择题14、只要选定几个物理量的单位，就能利用物理量间的关系推导出其他物理量的单位，下列单位不是力的单位的是（ ）A 、2kg m s -⋅⋅ B 、2C V m -⋅⋅ C 、T A m ⋅⋅D 、1C T s -⋅⋅ 【答案】B 【解析】考点：单位制【名师点睛】单位制由基本单位和导出单位组成，导出单位是由基本单位根据物理关系推导出来的单位．国际单位制规定了七个基本物理量．分别为长度、质量、时间、热力学温度、电流、光强度、物质的量．它们的在国际单位制中的单位称为基本单位。
15、如图所示，负载电阻R 接在理想变压器的副线圈上，虚线部分可以用一个电阻1R 来等效替代，1R 称为等效电阻,这里的等效，是指输入电路的电压、电流、功率不变。
若理想变压器的原、副线圈的匝数之比为12:n n ，则有（ )A 、2121R n R n =⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、2112R n R n =⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、112R n R n =D 、211R n R n = 【答案】B 【解析】试题分析：设副线圈中的电流为I ，则副线圈两端的电压为IR ，根据1122 =Un U n ,得：112n R n I U = 由121 =I n I n ，得：211 n I n I =等效电阻：211212111 2IRI n n R n n n U R I n ===⎛⎫⎪⎝⎭,故选项B 正确. 考点:变压器的构造和原理【名师点睛】解决本题的关键是掌握理想变压器的变压比规律和变流比规律，再结合欧姆定律即可顺利求解，题目较新颖。
16、2015年7月23日美国航天局宣布，天文学家发现“另一个地球”-—太阳系外行星开普勒-452b.假设行星开普勒-452b 绕中心恒星公转周期为385天，它的体积是地球的5倍,其表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的两倍，它与中心恒星的距离和地球与太阳的距离很接近，则行星开普勒—452b 与地球的平均密度的比值及其中心恒星与太阳的质量的比值分别为（ ）A 、1385⎛⎫ ⎪⎝⎭和2365385⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、1385⎛⎫ ⎪⎝⎭和2385365⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、1358⎛⎫⎪⎝⎭和2365385⎛⎫⎪⎝⎭D 、1358⎛⎫⎪⎝⎭和2385365⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】考点：万有引力定律及其应用【名师点睛】在行星表面，万有引力等于重力，据此列式，再根据密度、体积公式联立方程求解，根据万有引力提供向心力，结合公转周期列式求出恒星质量的表达式，进而求出质量之比即可。
【数学】湖南省长沙市长郡中学2017届高三第一次模拟考试(理)
湖南省长沙市长郡中学2017届高三第一次模拟考试（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1.下列关系正确的是（ ） A ．0∈NB ．1⊆RC ．{}π⊆QD ．3-∉Z2.若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象 可能是 ( )3.若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 4.在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形5.设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,36.若)(42)(2R m mx x x f ∈+-=在),2[+∞单调递增，则m 的取值范围为( ) A ．2=m B. 2<m C ．2≤m D. 2≥m7.同时满足两个条件：（1）定义域内是减函数；（2）定义域内是奇函数的函数是（）A.()x x x f -=B.()xx x f 1+= C.()x x f tan = D.()xxx f ln =8.函数)2lg(x xy -=的定义域是( )A ．[0,2)B ．[0,1)∪(1,2)C ．(1,2)D ．[0,1)9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x ，x ≤1，1－log 3x ，x ＞1，则满足f (x )≤3的x 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[91，3] C ．[0，3] D ．[91，＋∞) 10.若向量),sin 2,cos 2(αα=a ),sin 2,cos 2(ββ=b 且,6526πβπαπ≤<<≤若 ),(a b a -⊥则αβ-的值为( )A.434ππ或B.4πC.43π D. 474ππ或 11.已知函数)sin()(ϕω+=x x f (其中,0>ω2πϕ<)图象相邻对称轴的距离为2π，一个 对称中心为)0,6(π-,为了得到x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象（）A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π12个单位12.偶函数()x f 满足())1(1-+=x f x f ,且在]1,0[∈x 时,()2x x f =,()x x g ln =，则函数()x f 与)(x g 图象交点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知θ的终边过点)512(，-P ，则=θcos .14.⎩⎨⎧≥<=2,2,lg )(2-x e x x x f x ，则=)]2([f f .15.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足PM AP 2=，则)(PC PB PA +⋅的值为.16.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=2,13212)(x x x x f x ，，若0)(=-a x f 有三个不同的实数根，则实数a 的取值 范围为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）计算下列式子的值： (1)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8；(2))425tan(325cos 625sin πππ-++18.(本题满分12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R ． (1)求A ∪B ，(C U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠φ，求a 的取值范围．19.(本题满分12分)已知平面上三点A ，B ，C ，BC →＝(2－k ，3)，AC →＝(2，4)． (1)若三点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC 中角A 为直角，求k 的值．20．（本题满分12分）一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N*)件．当x ≤ 20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(1)求y (万元)与x (件)的函数关系式为，并写出自变量x 的取值范围(2)该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？(年利润＝年销售总收入－年总投资)．21．（本题满分12分）已知函数2()2cos 23sin cos ().f x x x x x R =+∈ （1）当],0[π∈x 时，求函数的单调递增区间；（2）若方程1-)(=t x f 在]2,0[π∈x 内恒有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．22 .（本小题满分12分）已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1],0m n m n ∈-+≠时，有()()0f m f n m n+>+.(1)求证：()f x 在[1,1]-上为增函数； (2)求不等式1()(1)2f x f x +<-的解集；(3)若1tan 2cos 1)(22---+≤ααt t x f 对所有]4,3[],1,1[ππα-∈-∈x 恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A BCDACABABDB二、填空题 13. 1312-14.0 15. -416. （0,1） 三、解答题17.解：(1)原式＝1＋lg 0.6＋lg 2＝lg 121＋lg 1.2＝lg 12lg 10＋lg 1.2＝1. ………………5分(2)原式=)4tan(3cos6sinπππ-++=01-2121=+……………10分 18.解：(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}．………………4分 ∵C U A ＝{x |x <2或x >8}，∴(C U A )∩B ＝{x |1<x <2}． ………………8分 (2)∵A ∩C ≠φ，∴a <8． ………………12分19.解：(1)由三点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一直线上， 即向量BC →与AC →平行， ……3分 ∴4(2－k )－2×3＝0，解得k ＝12. ……6分(2)∵BC →＝(2－k ，3)，∴CB →＝(k －2，－ 3)， ∴AB →＝AC →＋CB →＝(k ，1)． ……9分 当A 是直角时，AB →⊥AC →，即AB →·AC →＝0，∴2k ＋4＝0，解得k ＝－2； ……12分20．解：（1）当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；…2分 当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x . ……4分故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)． ……6分（2）当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156， x ＝16时，y max ＝156. ……9分而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润． ……12分21.解：(1)2()2cos 3sin 2f x x x =+=cos 23sin 21x x ++=2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭…2分 令-222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得322322ππππ+≤≤-k x k 即63ππππ+≤≤-k x k ，Z k ∈ ………4分 ],0[π∈x ,∴f (x )的递增区间为]6,0[π，],32[ππ………………6分(2)依题意：由2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=1+t ，得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx t ， 即函数t y =与⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx y 的图象在]2,0[π∈x 有两个交点，………………7分]2,0[π∈x ∴]67,6[62πππ∈+x ，当]2,6[62πππ∈+x 时，]1,21[62sin ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，]2,1[∈y 当]67,2[62πππ∈+x 时，]1,21[62sin -∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，]2,1[-∈y ………………10分 故由正弦图像得：21<≤t ………………12分 22.解：（1）任取12,[1,1]x x ∈-且12x x <，则2121212121()()()()()()()0()f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=∙->+-∴21()()f x f x >，∴()f x 为增函数 ……………4分（2）1()(1)2f x f x +<-,4101211111211<≤⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-⇔x xx x x …………7分即不等式1()(1)2f x f x +<-的解集为)41,0[. …………8分 （3）由于()f x 为增函数，∴()f x 的最大值为1tan 2cos 11)1(22---+≤=ααt t f 对]4,3[ππα-∈恒成立 2tan 2cos 122++≥+⇔ααt t 对]4,3[ππα-∈∀的恒成立, 设2tan 2cos 1)(2++=αααg ，则]4,3[,))((max2ππαα-∈≥+g t t ……9分 又2tan 2cos 1)(2++=αααg 2tan 2cos sin cos 222+++=αααα 2tan 2tan 12+++=αα2)1(tan 2++=α，],1,3[tan ]4,3[-∈∴-∈αππα， 时，当1tan =∴α6)4())((max ==παg g .…11分 .32,0)2)(3(,62-≤≥∴≥-+≥+∴t t t t t t 或则所以实数t 的取值范围为.32-≤≥t t 或…………………………………………12分。
2017年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编 专题06 数列(第01期) 含解析
一．基础题组1。
【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】已知等差数列{}na 的前n 项和nS 满足350,5SS ==，数列21211{}n n a a -+的前2016项的和为 。
【答案】20164031-考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和．2. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）(开学考试）】已知等比数列{}na 中,262,8a a ==，则345a a a =( ）A ．64±B ．64C ．32D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==，而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==. 考点：等比数列的性质．3。
【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一)（开学考试）】 数列{}na 满足()121112n n an N a a *+=+=∈,记212n n n b a =，则数列{}nb 的前n 项和nS = ．【答案】2332nn +-【解析】 试题分析：11n a +=得221112n n a a +-=,且2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以211(1)221nn n a =+-⨯=-，从而得到2121n a n =-，则212nnn b-=， 所以21321222nn n S-=+++，231113232122222nn n n n S +--=++++, 两式相减,得2111111121222222n n n n S -+-=++++-1111121323122222n n n n n -++-+=+--=- 所以2332nnn S+=-. 考点：错位相减法求和．【名师点睛】利用错位相减法求数列的前n 项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的1n -项是一个等比数列．4。
2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学(理)试题(解析版)
2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{|A x y ==，{|1}B x a x a =≤≤+，若A B A = ，则实数a的取值范围为（ ）A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．[2,1]-D ．[2,)+∞ 【答案】C【解析】试题分析：{}{||22A x y x x ===-≤≤，又因为A B A = 即B A ⊆，所以122a a +≤⎧⎨≥-⎩，解之得21a -≤≤，故选C.【考点】1.集合的表示；2.集合的运算.2．设复数2()1a i z i+=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．12i - C ．32- D ．32i -【答案】C【解析】试题分析：2222122(1)1()1222a i a ai a a i a z a i i i +-+---====-+,因为z 的实部为2，所以2a =，所以z 的虚部为221322--=-,故选C. 【考点】1.复数数的概念；2.复数的运算.3．“0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 【答案】A【解析】试题分析：当0a <时，在区间(,0)-∞上，1()|(1)|()f x x ax ax x a=+=--单调递减，但()|(1)|f x x ax =+区间(,0)-∞上单调递减时，0a ≤，所以“0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的,故选A. 【考点】1.函数的单调性；2.充分条件与必要条件.4．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围为（ ）A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e【答案】D【解析】试题分析：由()(21)0x f x e x ax a =--+<得(21)(1)x e x a x -<-，令()(21),()(1)xh x e x g x a x =-=-，则若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <等价于存在唯一的整数0x 使00()()h x g x <，在同一坐标系内作出两个函数的图象，由图象可知0()0f x <等价于存在唯一的整数0x 使00()()h x g x <等价于(0)(0)(1)(1)h g h g <⎧⎨-≥-⎩，解之得312a e≤<,故选D.【考点】函数与不等式.【名师点睛】本题考查函数与不等式,中档题；函数与不等式是高考考查的重要内容，数形结合是解决函数与不等式的重要途径，通常可把所有的数学表达式移到不等式的一边，构造一个函数作图解决不等式问题，也可象本题这样把变量放在不等式的两边，构造两个函数，在同一坐标系内作出两个函数的图象，通过图象求解. 5．将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ） A ．54π-B ．4π-C ．4π D ．34π【答案】C【解析】试题分析：1sin()cos()sin(2)222y x x x ϕϕϕ=++=+的图象沿x 轴向右平移8π个单位后得到的函数解析式为11sin[2()]sin(2)2824y x x ππϕϕ=-+=+-,因为该函数为偶函数,所以()42k k Z ππϕπ-=+∈即3()4k k Z πϕπ=+∈,由此可知选项C 不符合题意,故选C.【考点】1.三角函数的图象与性质；2.函数图象平移变换.6．已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ∙= ，则MA BA ∙的取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．2[,9]3D ．[3【答案】C 【解析】试题分析：设1122(,),(,)A x yB x y ，则11221(1,),(1,),(,)M A x y M B xyB A x x y y=-=-=--，由题意有121(1)(1)0M A M B x x y y ∙=--+=，所以 21121121112112(1)()()(1)(1)MA BA x x x y y y x x x x y y y ∙=--+-=---+-[]22221111212111111(1)(1)(1)114x x y x x y y x x x x x =-+---++-=-+--+ 221111334222(),[2,2]4433x x x x =-+=-+∈- 所以，当2x =-时，MA BA ∙ 有最大值9，当43x =时，MA BA ∙ 有最小值23，故选C.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.向量的运算. 7．如图所示程序框图中，输出S =（ ）A ．45B ．-55C ．-66D ．66 【答案】B【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：222222222212345678910(12345678910)55S =-+-+-+-+-=-+++++++++=-，故选B.【考点】程序框图.8．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为（ ）A ．ln 22 B ．1ln 22- C ．1ln 22+ D ．2ln 22- 【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，四边形OABC 的面积122S =⨯=，阴影部分的面积可分为两部分，一部分是四边形OEDC 的面积11212S =⨯=，另一部分是曲边梯形的面积11121221ln ln 2S dx x x ===⎰，所以点M 来自E 内的概率为121ln 22S S P S ++==，故选C.【考点】1.几何概型；2.积分的几何意义.【名师点睛】本题考查几何概型、积分的几何意义，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过积分运算来完成的，把积分运算与几何概型有机的结合在一起是本本题的亮点.9．在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，P 在线段1BD 上，且112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ） A ．1 B ．32C ．92D ．与M 点的位置有关 【答案】B【解析】试题分析：三棱锥M PBC -的高为点M 到平面PBC的距离，即2h =底面三角形PBC 的底为3BC=，高为P到BC的距离23=，所以三棱锥M P B C-的体积1133322V=⨯⨯=，故选B.【考点】1.正方体的性质；2.多面体的体积.10．已知点A是抛物线2:2(0)C x py p=>上一点，O为坐标原点，若,A B是以点(0,10)M为圆心，||OA的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且ABO∆为等边三角形，则P的值是（）A．52B．53C．56D．59【答案】C【解析】试题分析：由抛物线的性质及题意可知，,A B两点关于y轴对称，所以可设1111(,),(,)A x yB x y-，则2222211111(10)4x y x y x+=+-=，解之得2112535xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，又因为点A在抛物线上，所以25253p=⨯，解得56p=，故选C.【考点】抛物线的标准方程与几何性质.11．设,x y满足约束条件1210,0y xy xx y≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，则目标函数(0,0)z abx y a b=+>>的最大值为11，则a b+的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】试题分析：在直角坐标系中作出可行域，如下图所示，因为0,0a b>>，所以目标函数z abx y=+取得最大值时的最优解为(2,3)B，所以1123ab=⨯+，即4ab=，所以4a b+≥=，当且仅当2a b==时取等号，故选B.【考点】1.线性规划；2.基本不等式.12．设函数61(),0()0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，则当0x >时，[()]f f x 表达式的展开式中常数项为（ ）A ．-20B ．20C ．-15D ．15 【答案】A【解析】试题分析：因为0x >，所以()0f x x =<，所以66[()](f f x ==，其展开式的通项为626166((1)rr r r rr r T C C --+==-，当3r =时为常数项，所以[()]f f x 表达式的展开式中常数项为3346(1)20T C =-=-,故选A.【考点】1.分段函数的表示；2.二项式定理.【名师点睛】本题考查分段函数的表示与二项式定理，属中档题；分段函数的表示与二项式定理是最近高考的常考内容，但两者很少在同一个题目中出现，本题在考查分段函数的同时，考查二项式定理的应用，可谓立意新颖、思维独特.二、填空题13．若423401234(12)x a ax a x a x a x -=++++，则013||||||a a a ++等于 .【答案】41【解析】试题分析：423(12)18243216x x x xx -=-+-+，所以0131,8,32a a a ==-=-，013||||||41a a a ++=.【考点】二项式定理.14．给定双曲线22:1C x =，若直线l 过C 的中心，且与C 交于,M N 两点，P为曲线C 上任意一点，若直线,PM PN 的斜率均存在且分别记为,P M P N k k ，则P M P N k k ∙= .【答案】12【解析】试题分析：设直线l 的方程为y kx =，1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)P x y ，则01020102,,PM PNy y y y k k x x x x --==--由221x y kx ⎧=⎪⎨⎪=⎩得，222)1)0k x -=,所以有12120,x x x x +==， 2220102001212001212220102001212001212()()()()PM PNy y y y y y y y y y y ky x x k x x k k x x x x x x x x x x x x x x x x ---++-++⋅=⨯==---++-++20x +===. 【考点】1.双曲线的标准方程与几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.斜率公式.15．已知点(,)P x y 的坐标满足0200y x y -<+<⎨⎪≥⎪⎩，则的取值范围为 .【答案】[【解析】0y +=，如下图所示，过点P 作PF ⊥0y +=于点F ，表示可行域内的点(,)P x y到直线0y +=的距离PF表示可行域内的点P 到原点O 的距离PO ，所以sin PF POF PO==∠，当点P 在直线0y +=上时，222sin0POF===∠=，当点P在直线0y+=r222sin POF===∠，此时的取值范围为，当点P在直线0y+=r在左下方时，222sin POF==-=-∠，的取值范围为[的取值范围为[.【考点】1.线性规划；2.点到直线距离、两点间的距离；3.直角三角形中正弦函数定义.【名师点睛】本题考查线性规划、两点间的距离公式、点到直线距离公式、直角三角形中正弦函数定义，属难题；对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z 的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.本题利用两个距离的比构成了一个角的三角函数值，再数形结合求解，可谓是匠心独运，视角独特.16．在数列{}na中，11a=，122133232(2)n n nn na a n----=-∙+≥，nS是数列1{}nan+的前n项和，当不等式*1(31)()1()3()mnmnS mm NS m++-<∈-恒成立时，mn的所有可能取值为 .【答案】1或2或4【解析】试题分析：由122133232(2)n n nn na a n----=-∙+≥得1212213(1)3(1)33232(2)n n n n nn na a n------+=++--∙+≥，即1213(1)3(1)2(2)n nn na a n---+=++≥，所以数列{}13(1)nna-+是以1113(1)2a-+=为首项、2为公比的等比数列，所以13(1)2n n a n -+=，由1123n n a n -+=，12(1)133(1)1313n n n S ⨯-==--，所以 1111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3m m m n m n n mn n m m n m m n mm n n m S m m m m S m m m m +++++++--+---+----⋅-===+<-------即(3)32330(3)33n m m n mm m +--⋅-<--，当3m =时，该不等式不成立，当3m ≠时有233330133m nn m m⋅+--<--恒成立， 当1m =时，19322n <<，1n =，这时1mn =，当2m =时，1321n<<，1,2n =，这时2mn =或4mn =，当4m ≥时，233330133m nn m m⋅+--<--不成立，所以mn 的所有可能取值为1或2或4. 【考点】1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列{}13(1)n n a -+是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力. 三、解答题17．已知函数2()2sin (0)2xf x x ωωω=->的最小正周期为3π.（1）求函数()f x 在区间3[,]4ππ-上的最大值和最小值； （2）已知,,a b c 分别为锐角三角形ABC 中角,,A B C 的对边，且满足2,()1b f A =2sin b A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）min ()1f x =，max ()1f x =；（2【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得()2sin()16f x x πω=+-，由周期为3π，可求ω的值，由三角函数性质可求函数的最值.（22sin b A =及正弦定理可求得sin B =，从而是求出解B的值，由()1f A =可求出角4A π=及角51246C πππ==+，由正弦定理求出边a ，即可求三角形面积.试题解析：（1）∵1c o s ()22s i n ()126xf xx x ωπωω-=-⨯=+-，∴23ππω=，∴23ω=， ∴2()2sin()136f x x π=+-，∵34x ππ-≤≤，∴253366x πππ-≤+≤，∴2sin()136x π≤+≤， 所以当34x π=-时，()f x取最小值1；当2x π=时，()f x 取最大值1. （22sin b A =2sin sin A B A =，∴sin 2B =，∵02B π<<，∴3B π=，由()1f A =得锐角4A π=，由正弦定理得：a =11sin 222ABC S ab C ∆===.【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质；3.正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、正弦定理与余弦定理,属中档题；此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数解析式从而达到求最值的目的，三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. 18．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程y bx a =+；（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.参考公式：^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.【答案】（1）13(2013)260.2y x =-+；（2）351.2万吨【解析】试题分析：（1）由公式先求出,x y ，再利用公式求出 ,b a 即可求回归方程；（2）将2020x =代入所求回归方程求出y 的值即可. 试题解析：（1）解法一：容易算得：2013,260.2x y ==，121()()13()niii nii x x y y b x x ==--==-∑∑，260.2132013a y bx =-=-⨯，故所求的回归直线方程为13260.213201313(2013)260.2y x x =+-⨯=-+ 解法二：由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似值直线上升，为此时数据预处理如下表：对预处理后的数据，容易算得：110n i i x x n ===∑，11 3.2ni i y y n ===∑，12211301310()ni ii nii x y nx yb xn x ==-===-∑∑， 3.2a y bx =-= 所求的回归直线方程为257(2013)13(2013) 3.2y b x a x -=-+=-+， 即13(2013)260.2y x =-+.（2）根据题意，该城市2023年的居民生活用水量与该城市2020年的居民生活用水量相当，当2020x =时，满足（1）中所求的回归直线方程，此时13(2013)260.2351.2y x =-+=（万吨）【考点】线性回归方程及其应用.19．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤ ，试求cos θ的取值范围.【答案】（1）由余弦定理求出2AC ，由勾股定理的逆定理证明BC AC ⊥即可；（2）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立所示空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤,求出平面MAB 与平面FCB 的法向量（用λ表示）即可求cos θ的范围.【解析】试题分析： 试题解析：（1）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠= ，∴2AB =， ∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-∙∙= ， ∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥，∴平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE .（2）由（1）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴发建立如图所示空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤，则(0,0,0),(0,1,0),(,0,1)C A B M λ，∴(,0),(,1,1)AB BM λ==-. 设1(,,)n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取1x =，则1(1)n λ=，∵2(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量，∴1212||cos ||||n n n n θ∙=== .∵0λ≤≤0λ=时，cos θ，当λ=cos θ有最大值12，∴1cos ]2θ∈. 【考点】1.空间直线与直线垂直的判定；2.空间向量的应用.20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F，2F ，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M . （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ，问12k k +是否为定值？并证明你的结论.【答案】（1）2213x y +=;（2）12k k +为定值2. 【解析】试题分析：（1）由以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M 可得1b =，由焦点坐标得c =2223a b c =+=，从而可求出椭圆方程；（2）当直线l 的斜率不存在时,求出点,A B 的坐标，可求得122k k +=；当当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-,代入椭圆方程得2222(31)6330k x k x k +-+-=,则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，计算12k k +的值即可.试题解析：（1）由已知得：222c a b =-=，由已知易得||1b OM ==，解得a =则椭圆C 的方程为2213x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,3x y ==±，设(1,A B，122233222k k +=+=. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简，得 2222(31)6330k x k x k +-+-=，依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以12122112121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++22122222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21)26(21)k k +==+ 综上得：12k k +为定值2.（说明：若假设直线l 为1x my =+，按相应步骤给分）【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系,属难题；高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.21．设1()1xxa f x a+=-（0a >且1a ≠），()g x 是()f x 的反函数.（1）设关于x 的方程2log ()(1)(7)a tg x x x =--在区间[2,6]上有实数解，求t 的取值范围；（2）当a e =（e为自然对数的底数）时，证明：22()nk g k =>∑（3）当102a <≤时，试比较1|()|nk f k n =-∑与4的大小，并说明理由.【答案】（1）[5,32]；（2）见解析；（3）1|()|4nk f k n =-<∑【解析】试题分析：（1）由反函数的定义先求出()g x 的解析式，代入已知条件可得2(1)(7)t x x =--，[2,6]x ∈，求导，研究函数2(1)(7)t x x =--的单调性，即可求t的取值范围； （2）21231(1)()ln ln ln ln ln 34512nk n n n g k n =-+=++++=-+∑ ,构造函数 2211()ln 2ln ,0z u z z z z z z z-=--=-+->，求导研究其单调性可得()u z 在(0,)+∞上是增函数，从而(1)0u u >=，即(1)12ln 0(1)n n n n +->+,可证结论成立；（3）当1n =时易得2|(1)1|24f p-=≤<，当2n ≥时，由122(1)122()11(1)1(1)1k k k k k k k k p f k p p C p C p C p ++==+=++-+-+++ 可得1224441()111(1)1k k f k C C k k k k <≤+===+-+++，求和可得1()(1)14nk n fkf n n =<<++≤+∑，即可得到1|()|4nk f k n =-<∑.试题解析：（1）由题意，得101xy a y -=>+， 故1()log 1ax g x x -=+，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ ，由21log log (1)(7)1aa t x x x x -=--+，得2(1)(7)t x x =--，[2,6]x ∈ 则'2318153(1)(5)t x x x x =-+-=---，令'0t >，得25x ≤<，知2(1)(7)t x x =--在区间[2,5)上递增；令'0t <，得56x <≤，知2(1)(7)t x x =--在区间(5,6]上递减，所以当5t =时，32t =最大值，有当2x =时，5t =；6x =时，25t =，所以5t =最小值， 所以t 的取值范围为[5,32] （2）212311231(1)()ln ln ln ln ln()ln 345134512nk n n n n g k n n =--+=++++=⨯⨯⨯⨯=-++∑ 令2211()ln 2ln ,0z u z z z z z z z-=--=-+-> 则'22211()1(1)0u z z z z=-++=-≥，所以()u z 在(0,)+∞上是增函数， 又因为当2n ≥10>>，所以(1)0u u >=即(1)12ln0(1)n n n n +->+，即22()nk g k =>∑（3）设11a p=+，则1p ≥，121(1)131a f a p +<==+≤-当1n =时，2|(1)1|24f p-=≤<， 当2n ≥时， 设*2,k k N ≥∈时，则122(1)122()11(1)1(1)1k k k k kk k k p f k p p C p C p C p ++==+=++-+-+++ ， 所以1224441()111(1)1k k f k C C k k k k <≤+===+-+++ 从而24441()111211nk n f k n n n n n =-<≤-+-=+-<+++∑所以1()(1)14nk n f k f n n =<<++≤+∑，综上所述，总有1|()|4nk f k n =-<∑【考点】1.反函数的定义与求法；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式. 22．已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ，连接,FB FC .（1）求证：FB FC =；（2）若AB 是ABC ∆外接圆的直径，120EAC ∠=，BC =AD 的长. 【答案】（1）见解析；（2）6 【解析】试题分析：（1）欲证FB FC =，只要证FBC FCB ∠=∠即可，由AD 平分EAC ∠可得EAD DAC ∠=∠，由圆内接四边形性质得DAC FBC ∠=∠，又因为同弧上的圆周角相等、对顶角相等，所以EAD FAB FCB ∠=∠=∠，即可证得FBC FCB ∠=∠；（2）120EAC ∠= ，∴60DAC BAC ∠=∠=，所以在Rt ACB∆中，∵BC =60BAC ∠=可求出3AC =，从而求出AD 的值.试题解析：（1）证明：∵AD 平分EAC ∠，∴E A D D A C ∠=∠，因为四边形AFBC 内接于圆，∴DAC FBC ∠=∠，又∵EAD FAB FCB ∠=∠=∠，∴FBC FCB ∠=∠，∴FB FC =.（2）∵AB 是圆的直径，∴90ACD ACB ∠=∠= ，∵120EAC ∠=，∴60DAC BAC ∠=∠= ，∴30D ∠=，在R t A C B ∆中，∵BC =60BAC ∠=，∴3AC =，又在Rt ACD ∆中，30D ∠=，3AC =，∴6AD =. 【考点】1.三角形外角平分线性质；2.圆的性质.23．已知曲线C的参数方程为31x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；（2）若直线的极坐标方程为1sin cos θθρ-=，求直线被曲线C 截得的弦长.【答案】（1）C 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+,表示圆；（2【解析】试题分析：（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式进行转换即可;（2）将1sin cos θθρ-=转换为直角坐标方程，求出圆心C 到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.试题解析：（1）∵曲线C的参数方程为31x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.∴曲线C 的普通方程为22(3)(1)10x y -+-=. 曲线C 表示以(3,1)为圆心，为半径为圆，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得：6cos 2sin ρθθ=+，即曲线C 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+. （2）∵直线的直角坐标方程为1y x -=∴圆心C到直线的距离为2d == 【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.直线坐标与极坐标的互化；3.直线与圆的位置关系.24．已知函数1()||||f x x a x a=+++(0)a >. （1）当2a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）证明：1()()4f m f m +-≥. 【答案】（1）111{|}44x x x <->或;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）当2a =时，分区间去绝对值，分别解不等式即可；（2）由绝对值不等式的性质及基本不等式可得111111()()||||||||2|f m f m a a m m m m a m a m+-=++-++++-+≥. 试题解析： （1）当2a =时，1()|2|||2f x x x =+++，原不等式等价于21232x x x <-⎧⎪⎨---->⎪⎩或1221232x x x ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪+-->⎪⎩或121232x x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪+++>⎪⎩ 解得：114x <-或φ或14x > 不等式的解集为111{|}44x x x <->或（2）11111()()||||||||f m f m a m a m a m m a+-=++++-++-+11111||||||||2||m a a m m m a m a m=++-++++-+≥+ 12(||)4||m m =+≥ 当且仅当11m a =±⎧⎨=⎩时等号成立.【考点】1.绝对值不等式的解法；2.绝对值不等式的性质.。
【全国百强校】湖南省长郡中学2016-2017学年高二上学期第二次模块检测理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“数列{}n a 前n 项和是2n S An Bn =+的形式，则数列{}n a 为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0 【答案】C 【解析】考点：四种命题的真假判定． 2.下列说法正确的是（ ）A ．“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件B ．命题“0x R ∃∈，2010x +<”的否定是“2,10x R x ∀∈+>”C ．关于x 的方程()2120x a x a +++-=的两实根异号的充要条件是1a <D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为真命题 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，对于A 中，如“23>-”，而“222(3)<-”，所以不正确；对于B 中，命题“0x R ∃∈，2010x +<”的否定是“2,10x R x ∀∈+≥”，所以不正确；对于C 中，关于x 的方程()2120x a x a +++-=的两实根异号，则1220x x a =-<，即2a <，所以不正确， 对于D 中，“在ABC ∆中，由正弦定理可得，若sin sin A B a b A B >⇒>⇒>”是正确的，故选D ． 考点：命题的真假判定．3.某工厂生产A B C 、、三种不同型号的产品，其产品的数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为（ ）A ．100B ．90C ．80D ．60 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，三种型号的产品中，产品的数量之比依次为2:3:5，所以可得162235n =++，解得80n =，故选C ．考点：分层抽样．4.设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（ ） A ．14-B ．2C ．4D ．12- 【答案】C 【解析】考点：利用导数研究曲线在某点的切线的斜率．5.在Excel 中产生[]0,1区间上均匀随机数的函数为“()rand ”，在用计算机模拟估计函数sin y x =的图像、直线2x π=和x 轴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上部分围成的图形面积时，随机点()11,a b 与该区域内的点(),a b 的坐标变换公式为（ ） A ．11,2a ab b π=+= B ．()()1120.5,20.5a a b b =-=-C ．[]0,,0,12a b π⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦D ．11,2a a b b π== 【答案】D 【解析】试题分析：注意到0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的区间的长度为[]0,1的区间长度的2π倍，所以1a 与a 的关系式为12a a π=，因为10,2a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11sin b a =，所以1b 的取值范围为[]0,1，则1b b =，故选D ．考点：随机数的含义与应用．6.甲、乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲、乙两人的平均数与中位数分别相等，则:x y 为（ ）A ．3:2B ．2:3C ．3:1或5:3D ．3:2或7:5 【答案】D 【解析】考点：茎叶图的应用．7.已知命题*11:,23x xp x N ⎛⎫⎛⎫∀∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；命题*1:x N ,22x x q -∃∈+=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】C 【解析】试题分析：根据指数函数的图象可知，命题*11:,23x xp x N ⎛⎫⎛⎫∀∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是真命题，又122222x x x x -+=+≥=，当且仅当222xx =，即x =是等号是成立的，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，所以()p q ∧⌝为真命题，故选C ． 考点：复合命题的真假判定．8.已知函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x R ∈，都有()23x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()3f 的值是（ ） A ．3 B ．7 C ．9 D ．12 【答案】C 【解析】考点：抽象函数的应用及函数值的求解．9.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线与,A B 两点，若()22,FA FB OA OB OB ==，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 【答案】C 【解析】试题分析：因为()2OA OB OB =，所以()0OA OB OA -=，所以0OA AB = ,因为2FA FB = ，所以B 为FA 的中点，所以060BOF AOB AOx ∠=∠=∠=，所以0tan 60ba==，所以双曲线的离心率为2e ==，故选C ．考点：双曲线的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质的求解，其中解答中涉及到双曲线的离心率的求解、向量的运算，正切函数的求值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，解答中根据向量的运算，得到060AOx ∠=，即ba=是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．10.已知函数()234201712342017x x x x f x x =+-+-++ 设()()4F x f x =+，且函数()F x 的零点均在区间[](),,,a b a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【答案】A 【解析】考点：导数在函数中的应用． 11.关于曲线22:1C xy --+=的下列说法：（1）C 关于直线0x y +=对称；（2）C 是封闭图形，面积大于2π；（3）C 不是封闭图形，与圆222x y +=无公共点；（4）原点到曲线的距离的最小值为4；（5）C 与曲线:D x y += ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：将方程中的,x y 换成,y x --方程不变，所以曲线22:1C x y --+=关于直线0x y +=对称，所以①是正确的；因为曲线22:1C xy --+=不是封闭图形，与坐标轴没有公共点，所以②不正确；曲线22:1C x y --+=与圆222x y +=联立无解，所以没有公共点，所以③是正确的；由曲线上点(,)P x y 到原点的距离为2422222211x x PO x y x x x =+=+=--，可得最小值为2，所以④不正确；由0,0x y >>时，曲线:D x y +=与曲线22:1C xy --+=只有一个公共点，根据对称性可得与曲线:D x y +=B ．考点：曲线与方程．【方法点晴】本题主要考查了曲线与方程问题，其中解答中考查两点间的距离公式，曲线的对称性，两曲线的位置关系的判定，以及曲线的形状等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中紧紧把握曲线221x y --+=的特征，利用曲线的性质是解答的关键，试题抽象性强，思维难度大，属于中档试题．12.已知函数()()3lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的函数()()21y f x bf x =-+有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．172,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．172,4⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】考点：函数的零点的判定及应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点的判定及应用问题，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质、二次函数的图象与性质的应用，试题思维量大，有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用，解答中正确作出分段函数的图象，合理转化为一元二次方程根的分别是解答的关键．第Ⅱ卷（非选择题共52分）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．）13.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为_____________．【答案】1 6【解析】考点：几何概型及其概率的计算．14.双曲线2213yx-=的右焦点为,F O，为坐标原点，以F为圆心，FO为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点A B、（不同于O点），则AB=_____________．【答案】【解析】试题分析：由题意得，双曲线的右焦点(2,0)F，所以以F为圆心，FO为半径的圆的方程为22 (2)4 x y-+=，其中两条渐近线的方程为y=，联立22(2)4yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得A，同理得(1,B，所以AB=．考点：双曲线的几何性质；直线与圆的位置关系．15.已知函数()()233xf x x x e=-+ ，设2t>-，函数()f x在[]2,t-上为单调函数时，则t的最大值为_____________． 【答案】0 【解析】考点：利用导数研究函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查了导数的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、导数与函数的单调性的关系、导数的四则运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中正确求解函数的导数和掌握导数与函数的单调性的关系是解答的关键，属于中档试题．16.已知椭圆221,4y x A B +=、是椭圆的左右顶点，P 是椭圆上不与A B 、重合的一点，PA PB 、的倾斜角分别为αβ、，则()()cos cos αβαβ-=+_____________．【答案】35- 【解析】试题分析：设(cos ,2sin )P θθ，所以2sin 2sin tan ,tan cos 1cos 1θθαβθθ==+-，所以 2sin 2sin tan tan 4cos 1cos 1θθαβθθ=⋅=+-，则()()cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-+=+- 1tan tan 1431tan tan 145αβαβ+-===-++．考点：椭圆的方程的应用；三角函数的化简求值．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程及三角函数的化简求值，其中解答中涉及到椭圆的参数方程的应用、三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据椭圆的参数方程，得出tan tan αβ的值是解答关键，试题涉及新颖，属于中档试题．三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题8分）设:p 实数a 满足不等式39a≤，:q 函数()()32331932a f x x x x -=++无极值点．（1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）已知“p q ∧”为真命题，并记为r ，且211:2022t a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若r 是t ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|15a a a <≤或2<；（2）312m ≤≤． 【解析】试题分析：（1）由题意得，求解命题:2p a ≤，命题:15q a ≤≤，根据“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，得命题p 与q 只有一个命题是真命题，分类讨论，即可求解实数a 的取值范围；（2）由“p q ∧”真命题，得出21215a a a ≤⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩，求得关于a 一元二次不等式的解集，再由r 是t ⌝的必要不充分条件，即可求解实数m 的取值范围．（1）∵“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，∴p 与q 只有一个命题是真命题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 若p 为真命题，q 为假命题，则215a a a ≤⎧⎨<>⎩或1a ⇒<；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分若q 为真命题，p 为假命题，则22515a a a >⎧⇒<≤⎨≤≤⎩，于是，实数a 的取值范围为{}|15a a a <≤或2<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分∵r 是t ⌝的必要不充分条件，即t ⌝是r 的充分不必要条件，∴1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得312m ≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 考点：命题的真假判定及应用． 18.（本小题8分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图2．（1）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；（2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）045． 【解析】试题分析：（1）由平面ADEF ⊥平面ABCD ，证得ED AD ⊥，得到ED ⊥平面ABCD ，进而得到ED BC ⊥，在直角梯形ABCD 中，利用勾股定理得BC BD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面BDE ．即可证明平面BDE ⊥平面BEC ；（也可建立空间直角坐标系利用向量法证明）（2）根据几何体的结构特征和线面位置关系，得到以EGD ∠是平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的平面角，即可求解平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小．（也可利用空间向量法，利用平面ABCD 与平面EFB 的法向量所成的角，求解二面角的大小）．所以222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又,ED BD ⊂平面,BDE ED BD D = ，所以BC ⊥平面BDE ．而BC ⊂平面EC B , …………………….4分.（法二）同法一，得ED ABCD ⊥ ， 以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,1D B C E ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分所以()()()1,1,0,1,1,0,0,0,1BC DB DE =-==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分()1111000BC DB =-⨯+⨯+⨯= ，()1010010BC DE =-⨯+⨯+⨯= ，所以,BC DB BC DE ⊥⊥ ，．．．．．．．．．．．．．．．3分又,DB DE 不共线，,DE DB ⊂平面BDE ，所以BC ⊥平面BDE ，而BC ⊂平面BEC ，所以平面BDE ⊥平面BEC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分又//AB DG ，且1,2AB CD ==，所以G 为CD 中点，ABGD 也为正方形，易知BG ⊥平面ECD ，所以,BG EG BG DG ⊥⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以EGD ∠是平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的平面角，而045EGD ∠=，所以平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为45°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（法二）由（1）知，平面ABCD 的一个法向量是()0,0,1m =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 设平面EFB 的一个法向量为(),,n x y z =，考点：平面与平面垂直的判定；二面角的求解．19.（本小题10分）双曲线()22122:10,b 0x y C a a b -=>>的一条渐近线方程为12y x =；点P 是圆222x y a +=上的动点，作PD x ⊥轴于D ，且DM DP = ． （1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）设直线y kx m =+与轨迹2C 相交于不同的两点A B 、，是否存在过点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l ，使得点A B 、关于l 对称，如果存在，求实数m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212015x y +=；（2）当0k =时，(m ∈，当0k ≠时，3,102m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）由题意得，列出方程组，求得a =，在由DM = 化简，即可求得求点M 的轨迹2C 的方程；（2）由2234600y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 整理得()()2223484150k x kmx m +++-=，由∴0∆>， 整理得222015k m >-，设AB 的中点()00,Q x y ，则02434km x k =-+，2334m y k =+，根据对称，化简得2234m k =+，代入上式，即可求解实数m 的取值范围．（2）由2234600y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩， 消去y 整理得()()2223484150k x kmx m +++-=．．．．．．．．．．．．．．．5分∴()()()22284344150km k m ∆=-+⨯->，整理得：222015k m >-，①令()()1122,,,A x y B x y ，则()122212283441534km x x k m x x k ⎧+==-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设AB 的中点()00,Q x y ，则()012214234km x x x k =+=-+， ()()1212021132234m y y y kx m kx m m kx k =+=+++=+=+， ①当0k =时，由题知，(m ∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ②当0k ≠时，直线l 的方程为112y x k+=-， 由()00,Q x y 在直线l 上，得2231434234m m k k +=++， 化简得2234m k =+，②把②式代入①中，可得()252315m m ->-，解得010m <<， 又由②得22340m k -=>，解得32m >，所以3102m <<．．．．．．．．．．．．．．9分 综上，当0k =时，(m ∈；当0k ≠时，3,102m ⎛⎫∈⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系的应用． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆锥曲线的位置关系、以及中点公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中把直线的方程和圆锥曲线的方程联立，转化为利用方程的根与系数的关系是解答的关键，试题运算量大，思维深度大，属于难题．20.（本小题10分）已知函数()()2ln 1f x ax x =++．（1）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在00x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围； （3）求证：()()1248211112335592121n n n e -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（其中*,n N e ∈，是自然对数的底数）．【答案】（1）单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,+∞；（2）(],0-∞；（3）证明见解析．【解析】知，当0a =时，ln(1)x x +≤在[0,)+∞上恒成立，利用次不等式，对所要证明的不是进行放缩，从而进行证明．试题解析：（1）当14a =-时，()()()21ln 114f x x x x =-++>-， ()()()()()211112121x x f x x x x x +-'=-+=->-++， 由()0f x '>解得11x -<<，由()0f x '<解得1x >，故函数()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．2分②当0a >时，由()()22101x ax a g x x +-⎡⎤⎣⎦'==+， 因为[)0,x ∈+∞，所以0x =或112x a =-， ①若1102a -≤，即12a ≥时，在区间()0,+∞上，()0g x '>，则函数()g x 在()0,+∞上单调递增，()g x 在[)0,+∞上无最大值（或：当x →+∞时，()g x →+∞），此时不满足条件；②若1102a ->，即102a <<时，函数()g x 在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，同样()g x 在[)0,+∞上无最大值，不满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分③当0a <时，由()()2211x ax a g x x +-⎡⎤⎣⎦'=+，∵[)0,x ∈+∞，∴()2210ax a +-<，∴()0g x '<，故函数()g x 在[)0,+∞上单调递减，故()()00g x g ≤=成立，综上所述，实数a 的取值范围是(],0-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．7分.()()124822335592121nn n -<++++⨯⨯⨯++ ， 111111111112212335592121221n n n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， ∴()()1248211112335592121n n n e -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：导数在函数中的综合应用；不等式的证明．【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用及不等式的证明，其中解答中涉及到导数的运算、利用导数研究函数的单调性以及求解函数的极值与最值、函数的恒成立问题的求解——分离参数和新函数的构造与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与分离、构造思想的应用，试题难度较大，属于难题，此类问题解答中多次用到转化思想和构造新函数的应用，平时注意总结和积累．：。
【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期入学考试理综物理(解析版)
二、选择题：本题共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分14、如图所示，梯形物块静止与墙角附近的水平面上，现将一小球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放至地面的过程中，下列说法正确的是A 、梯形物块的机械能守恒B 、小球与梯形物块之间的弹力不做功C 、梯形物块与小球组成的系统机械能守恒D 、小球重力势能的减少量等于梯形物块动能的增加量【答案】C考点：考查了功的计算，机械能守恒【名师点睛】本题关键分析清楚物体的运动和能量的转化情况，要明确是小球和梯形物块组成的系统机械能守恒，而不是单个物体机械能守恒．15、如图所示，某钢制工件上开有一个楔形凹槽，凹槽的截面是一个直角三角形ABC ，∠CAB=30°，∠ABC=90°，∠ACB=60°，在凹槽中放有一个光滑的金属球，当金属球静止时，金属球对凹槽的AB 边的压力为1F ，对BC 边 的压力为2F ，则12F F 的值为A 、12B C D 【答案】B考点：考查了共点力平衡条件的应用【名师点睛】在处理共点力平衡问题时，关键是对物体进行受力分析，然后根据正交分解法将各个力分解成两个方向上的力，然后列式求解，如果物体受到三力处于平衡状态，则可根据矢量三角形法，将三个力移动到一个三角形中，然后根据角度列式求解，16、如图所示，M 、N 、P 三点位于直角三角形的三个顶点上，∠PMN=30°，∠MNP=60°，一负电电荷位于三角形在平面上，已知M 点和N 点的电势相等，P 点的电势与MN 中点F 的电势相等，则下列说法正确的是A 、M 点和P 点的电场强度相等B 、N 点和P 点的电场强度相等C 、同一正电荷在M 点时的电势能大于在P 点时的电势能D 、同一正电荷在N 点时的电势能小于在P 点时的电势能【答案】C【解析】试题分析：由M 点和N 点的电势相等，P 点的电势与F 点的电势相等，则知负点电荷Q 应位于MN 连线的垂直平分线和PF 连线的垂直平分线上，作图得到Q 的位置如图．可知，P 点离Q 近，场强较大，故A 错误；N 点离Q 较远，则N 点的场强比P 点的小，故B 错误；正电荷从M 点运动到P 点，电场力做正功，电势能减小，则同一正电荷在M 点的电势能大于在P 点的电势能，故C 正确；M 点的电势和N 点的电势相等，所以正电荷从N 点运动到P 点，电场力做正功，电势能减小，则同一正电荷在N 点的电势能大于在P 点的电势能，故D 错误考点：电场强度，电势，电势能，电势能【名师点睛】抓住点电荷等势面的分布情况，运用几何方法找到Q 点的位置是解决本题的关键，再由电场的基本知识分析．17、如图所示，理想变压器原副线圈各接一个电阻1R 和2R ，原线圈中接有220V 交流电源，此时两只电阻上的电压都是10V ，设变压器原副线圈的匝数比为n ：1，电阻1R 和2R 消耗的功率之比为k ：1，则A 、121,21n k ==B 、121,576n k ==C 、1441,24n k ==D 、1441,576n k == 【答案】A考点：考查了理想变压器【名师点睛】对于变压器需要掌握公式1122U n U n =、1222I n I n =，以及知道副线圈的电流以及功率决定了原线圈中的电流和功率，理想变压器是理想化模型，一是不计线圈内阻；二是没有出现漏磁现象．同时当电路中有变压器时，只要将变压器的有效值求出，则就相当于一个新的恒定电源，18、如图所示，A 、B 为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A 为地球同步卫星，A 、B 卫星的轨道半径的比值为k ，地球自转周期为0T ，某时刻A 、B 两卫星距离达到最近，从该时刻起到A 、B 间距离最远所经历的最短时间为ABCD【答案】C【名师点睛】星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，由开普勒第三定律得出半径与周期的关系，当卫星B 转过的角度与卫星A 转过的角度之差等于π时，卫星相距最远，注意只有围绕同一个中心天体运动才可以使用开普勒第三定律，难度不大，属于基础题．19、如图所示的电路由电源、电阻箱和电流表组成，电源电动势E =4V ，内阻2r =Ω。
【百强校】2017届湖南省长沙市长郡中学高三入学考试理综化学试题(带解析)
绝密★启用前【百强校】2017届湖南省长沙市长郡中学高三入学考试理综化学试题（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：40分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、短周期元素X 、Y 、Z 、W 的原子序数依次增大，它们分别位于不同的主族。
X 的最高正价与最低负价代数和为0，Y 为金属元素，Y 与Z 最外层电子数之和与W 的最外层电子数相等，X 与W 所在族序数之和等于10。
下列说法正确的是（） A ．原子半径大小顺序：r （W ）>r （Z ）>r （Y ）>r （X ） B ．沸点：XW 2<Y 2WC ．最高价氧化物对应的水化物的酸性：X>ZD ．简单氢化物的热稳定性：Z>W2、常温下，0.2 mol/L 的一元酸HCl 与等浓度的MOH 溶液等体积混合后，所得溶液中部分微粒组成及浓度如图所示，下列说法正确的是A ．MOH 的电离方程式：MOH=M ++OH -B ．该混合液中水电离出的c(H +)<l0-7mol/LC ．该混合溶液中：c(Y)+c(X ）=c(R)＋c(Z)D ．图中c(X)+c(Z ）=0.1mol/L3、一种三室微生物燃料电池污水净化系统原理如右图所示，图中有机废水中有机物可用C 6H 10O 5表示。
有关说法错误的是A ．中间室Cl -移向左室B ．反应后将左右两室溶液混合比反应前将两室溶液混合的酸性强C ．气体X 为CO 2D ．左边离子交换膜为氯离子交换膜，右边离子交换膜为钠离子交换膜4、下列实验中根据现象得出的结论错误的是 选项 实验 现象 结论 A向NaAlO 2溶液中持续通入气体Y先出现白色沉淀，最终沉淀又溶解Y可能是CO2气体B向某溶液中加入Cu 和浓H2SO4试管口有红棕色气体产生原溶液可能含有NO3-C将打磨过的Al片投到一定浓度的CuCl2溶液中出现气泡井有固体生成，过滤，向固体中加入过量的氨水，固体部分溶解Al与CuCl2溶液反应，有H2和Cu(OH)2生成D向浓度均为0.1mol/L的MgCl2、CuCl2混合溶液中逐滴加入氨水先出现蓝色沉淀Ksp[Mg(OH)2]>Ksp[Cu(OH)2]5、在一定条件下4mol乙酸与1mol葡萄糖，完全反应得到1mol葡萄糖醋酸酯，则该葡萄糖醋酸酯的分子式为A．C14H18O10 B．C14H20O9 C．C14H20O10 D．C14H22O106、用N A表示阿伏加德罗常数的数值，下列判断正确的是A．1molCl2参加反应转移电子数一定为2N AB．一定条件下，足量铜与200g98％的浓硫酸充分反应，转移电子数为2N AC．300mL2mol/L蔗糖溶液中所含蔗糖分子数为0.6N AD．标准状况下，22.4L氦气与22.4L氟气所含原子数均为2N A7、化学与生活密切相关。
湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期摸底物理试卷 含解析
2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高三（上)摸底物理试卷二、选择题1．只要选定几个物理量的单位,就能利用物理量间的关系推出其他物理量的单位，下列单位不是力的单位的是（)A．kg•m•s﹣2 B．C•V•m﹣2 C．T•A•m D．C•T•m•s﹣12．如图所示，负载电阻为R接在理想变压器的副线圈上，虚线部分可以用一个电阻R1来等效代替，R1称为等效电阻，这里的等效，是指输入电路的电压丶电流丶功率不变．若理想变压器的原丶副线圈的匝数之比为n1n2，则有(）A．R1=R B．R1=R C．R1=R D．R1=R3．2015年7月23日美国航天局宣布，天文学家发现“另一个地球”﹣﹣太阳系外行星开普勒452b．假设行星开普勒452b绕恒星公转周期为385天，它的体积是地球的5倍，其表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的2倍,它与恒星的距离和地球与太阳的距离很接近，则行星开普勒452b与地球的平均密度的比值及其中心恒星与太阳的质量的比值分别为(）A．和B．和C．和D．和4．如图所示，水平，面上有一个足够上的平板车,平板车左端O点固定一竖直板，竖直板上有两个水平小支架，两支架与平板车上表面的距离之比为1：2，支架上分别放有A、B两个小球，初始时平板车与两小球一起向左做匀速直线运动，不计一切摩擦和阻力．若平板车突然以恒定的加速度向左做加速运动，两小球离开支架落到平板车上，则小球A、B在平板车上的落点到O点的距离之比为（）A．1：4 B．1：2 C．4：1 D．2:15．如图所示，图甲为水平传送带，图乙为倾斜传送带，两者长度相同，均沿顺时针方向转动，转动速度大小相等，将两个完全相同的物块分别轻放在图甲、乙传送带上的A端，两物块均由静止开始做匀加速运动，到B端时均恰好与传送带速度相同，则下列说法正确的是（)A．图甲中物块运动时间小于图乙中物块运动时间B．图甲、乙中传送带和物块间因摩擦产生的热量相等C．图甲、乙中传送带对物块做的功都等于物块动能的增加量D．图甲、乙传送带对物块做的功都等于物块机械能的增加量6．如图所示,同一平面内有两根平行的无限长直导线1和2，通有大小相等、方向相反的电流,a、b两点与两导线共面，a点在两导线的中间且与两导线的距离均为r,b点在导线2右侧,与导线2的距离也为r．现测得a点的磁感应强度大小为B0，已知距一无限长直导线d处的磁感应强度大小B=，其中k为常量，I为无限长直导线的电流大小,下列说法正确的是（）A．b点的磁感应强度大小为B．若去掉导线2,b点的磁感应强度大小为C．若将导线1中电流大小变为原来的2倍,b点的磁感应强度为0D．若去掉导线2，再将导线1中电流大小变为原来的2倍，a点的磁感应强度大小仍为B0 7．如图甲所示，水平面上质量均为m的两物块A、B用一轻弹簧相连，该系统处于平衡状态，弹簧的劲度系数为k．现用一竖直向上的力F拉动物块A，使物块A向上做匀加速直线运动．从力F刚作用在物块A上到物块B刚好离开地面的过程，力F和物块A的位移x之间的关系图象如图乙所示，g为重力加速度，则下列说法中正确的是（)A．物块A运动的加速度大小为gB．当物块B刚好离开地面时，拉力大小为F1=2mgC．当物块B刚好离开地面时,物块A的速度大小为2gD．这一过程中拉力F做功大小为8．如图所示为两光滑金属导轨MNQ和GHP，其中MN和GH部分为竖直的半圆形导轨,NQ 和HP部分为水平平行导轨,整个装置置于方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中．有两个长均为l、质量均为m、电阻均为R的导体棒垂直导轨放置且始终与导轨接触良好，其中导体棒ab在半圆形导轨上,导体棒cd在水平导轨上,当恒力F作用在导体棒cd 上使其做匀速运动时，导体棒ab恰好静止，且距离半圆形导轨底部的高度为半圆形导轨半径的一半，已知导轨间距离为l，重力加速度为g,导轨电阻不计,则（）A．每根导轨对导体棒ab的支持力大小为2mgB．导体棒cd两端的电压大小为C．作用在导体棒cd上的恒力F的大小为mgD．恒力F的功率为三、非选择题（一）必考题9．某同学把一个小铁块放在一斜劈的顶端，小铁块沿斜劈斜面下滑，如图所示．他想测量小铁块与斜劈斜面间的动摩擦因数，于是找来一个电子秤和一个量角器．他先把小铁块和斜劈一起放到电子秤上，电子秤的读数为M1，然后将斜劈放在电子秤上，把小铁块轻放在斜面顶端,当小铁块下滑时，电子秤的读数为M2，他用量角器测量斜劈斜面的倾角为θ．若要测量小铁块与斜劈斜面间的动摩擦因数μ，他还需要测量（填物理量及相应字母），用他测量的物理量表示小铁块下滑的动摩擦因数为μ=．10．电流表G1的量程为0～5mA，内阻r=290Ω，把它改装成如图所示的一个多量程多用电表,电流、电压和电阻的测量都各有两个量程．当开关S接到1或2位置时为电流档,其中小量程为0～10mA,大量程为0～100mA．（1）关于此多用电表,下列说法不正确的是．A．开关S接到位置4时是欧姆挡B．开关S接到位置6时是电压挡C开关S接到位置5时的量程比接到位置6时的量程大D．A表笔为红表笔，B表笔为黑表笔（2）开关S接位置(填“1"或“2”）时是电流挡的小量程，图中电阻R2=Ω,R6=Ω（3）已知图中的电源E′的电动势为9V，当把开关S接到位置4,短接A、B进行欧姆调零后，此欧姆挡内阻为kΩ,现用该挡测一未知电阻阻值，指针偏转到电流表G1满刻度的处,则该电阻的阻值为kΩ．11．如图所示，ABCD为边长为2a的正方形，O为正方形中心,正方形区域左丶右两对称部分分别存在方向垂直ABCD平面向里和向外的匀强磁场．一个质量为|m丶电荷量为q的带正电粒子从B点处以速度v垂直磁场方向射入左侧磁场区域,速度方向与BC边夹角为15°，粒子恰好经过O点．已知cos15°=，粒子重力不计．（1)求左侧磁场的磁感应强度大小;(2）若粒子从CD边射出,求右侧磁场的磁感应强大大小的取值范围．12．如图所示，水平虚线MN下方有一竖直向上的匀强电场，一根轻质绝缘杆（质量不计）两端分别套有A、B两个小球，A球的质量为m，带正电，在匀强电场中受到的电场力为其重力大小的3倍，A球和杆间的滑动摩擦力的大小等于其重力大小．B球的质量为3m，不带电，B球和杆间的滑动摩擦力大小也等于其重力大小，设两球的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度为g．开始时A、B球和杆均静止,A球距MN高度为h，同时释放A、B两球和杆，当A球第二次进入电场区域时，A、B两球恰好相遇，运动过程中杆始终保持竖直状态．求：(1)A球运动过程中的最大电势能（设MN处电势为零）；(2）从A球第一次进入电场到A球第二次进入电场的过程中经历的时间及杆的长度．（二)选考题．【物理-选修3—3】13．下列说法不正确的是（）A．悬浮在液体中的微粒越小,在某一瞬间跟它相撞的液体分子数就越少，布朗运动不明显B．晶体与非晶体间不能相互转化C．第二类永动机违反了热力学第二定律，但不违反能量守恒定律D．气体的内能是分子运动的动能和分子势能之和E．液体表面层分子间距离小于液体内层分子间距离，所以液体表面存在张力14．如图所示，质量为m=5kg，长为2a=20cm,底面积为S=10cm2的薄壁气缸放在水平面上，气缸与水平面间的动摩擦因数为μ=0。
湖南省长沙市长郡中学2017届高考模拟试卷(一)数学(理)答案
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【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期第12次周测理数(原卷版)
长郡中学2017年高三周考卷（十二）数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}2|20M x x x =->，集合{}0,1,2,3,4N =，则()R M N ð等于（ ）A ．{}4B ．{}3,4C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3,4 2.已知i 是虚数单位，复数11z i i=+-，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．32 C ．32- D ．23.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a 满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是（ ）A ．1(,)2-∞B ．1(,)2-∞3(,)2+∞ C ．13(,)22D ．3(,)2+∞4.函数sin xy x=的图像大致是（ ）5.执行如图所示的程序框图，若输出的86s =，则判断框内的正整数n 的值为（ ）A ．7B ．6,7C ．6,7,8D ．8,96.向量a ,b 满足||23||a b a +=，且()0a b a -⋅=，则a ，b 的夹角的余弦值为（ ）A ．0B ．13C ．12D 7.已知等差数列{}a，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若244n S an n a =++-（a R ∈），记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则10T =（ ） A ．18 B ．14 C ．940 D ．5228.不透明的袋子内装有相同的5个小球，分别标有1-5五个编号，现有放回的随机摸取三次，则 摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为（ ） A ．42125 B ．18125 C ．625 D ．121259.，则正视图中x 的值为（ ）A ． C D ．2310.已知函数()sin()6f x x πω=-（0ω>），若(0)()2f f π=-且在(0,)2π上有且仅有三个零点， 则ω=（ ） A ．23 B ．2 C ．263 D ．14311.已知点1F 、2F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12||2||F F OP =，12||3||PF PF ≥，则双曲线C 的离心率的取值范围 为（ ）A ．(1,)+∞ B．)+∞ C． D ．5(1,]212.已知定义在R 内的函数()f x 满足(4)()f x f x +=，当[]1,3x ∈-时，[](1||),1,1,()(1,3],t x x f x x ⎧-∈-⎪=∈则当8(,2]7t ∈时，方程7()20f x x -=的不等实数根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立，则实数k 的取值范围为 ． 14.设函数()ln ,0,()22,0,x a x x f x ax a x +>⎧=⎨++≤⎩且'(1)'(1)f f -=，则当0x >时，()f x 的导函数'()f x 的极小值为 ．15.已知点A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的上顶点和左焦点，若AF 于圆O ：224x y +=相切于点T ，且点T 是线段AF 靠近点A 的三等分点，则椭圆C 的标准方程为 ． 16.若数列{}n a 满足2132431n n a a a a a a a a +->->->>->……，则称数列{}n a 为“差递减” 数列．若数列{}n a 是“差递减”数列，且其通项n a 与其前n 项和n S （*n N ∈）满足2321n n S a λ=+- （*n N ∈），则实数λ的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量(cos,1)2x m =-，2(3sin ,cos )22x xn =，函数()1f x m n =⋅+． （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11()10f x =，求cos x 的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2cos 2b A c ≤，求角B 的取 值范围．18.已知五边形ABCDE 由直角梯形ABCD 与直角△ADE 构成，如图1所示，AE DE ⊥，//AB CD ，AB AD ⊥，且23AD CD DE AB ===，将梯形ABCD 沿着AD 折起，形成如图2所示的几何体，且使平面ABCD ⊥平面ADE ． （1）在线段CE 上存在点M ，且13EM CE =，证明：//BM 平面ADE ； （2）求二面角B CE D --的平面角的余弦值．19.在一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下定义域为R 的函数：1()1f x x =+，22()f x x =，3()sin f x x =，42()log )f x x =，5()cos ||f x x x =+， 6()sin 2f x x x =-．（1）现在从盒子中任意取两张卡片，记事件A 为“这两张卡片上函数相加，所得新函数是奇函数”，求事 件A 的概率；（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取，否则继续进行，记停 止时抽取次数为ξ，写出ξ的分布列，并求其数学期望E ξ．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，A 为椭圆上一点，AF 交y 轴于点M ，且M 为AF 的中点． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点A ，平行于OA 的直线交l 于P ，交椭圆C 于不同的亮点D ，E ， 问是否存在常熟λ，使得2||||||PA PD PE λ=⋅，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．21.已知函数2()(ln )(ln )1()f x ax x x x a R =--+∈． （1）若2ln ax x >，求证：2()ln 1f x ax x ≥-+；（2）若0(0,)x ∃∈+∞，20000()1ln ln f x x x x =+-，求a 的最大值； （3）求证：当12x <<时，()(2)f x ax ax >-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，C 是劣弧BD 的中点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ． （1）求证：CF FG =；（2）求证：DG AC AG CE ⋅=⋅．23.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程式1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同 的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为)4πρθ=+．（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A 、B 两点，若P 点的直角坐标为(1,0)，求||||PA PB +的值．24.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|||f x x x a =+-+． （1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围．：。
【百强校】2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学(理)试卷(带解析)
试卷第1页，共8页绝密★启用前【百强校】2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（理）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：190分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设函数，则当时，表达式的展开式中常数项为（ ）A ．-20B ．20C ．-15D ．152、设满足约束条件，则目标函数的最大值为11，则的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8试卷第2页，共8页3、已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．4、在棱长为3的正方体中，在线段上，且，为线段上的动点，则三棱锥的体积为（ ）A ．1B ．C ．D ．与点的位置有关5、如图，设是图中边长分别为1和2的矩形区域，是内位于函数图象下方的区域（阴影部分），从内随机取一个点，则点取自内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第3页，共8页6、如图所示程序框图中，输出（ ）A ．45B ．-55C ．-66D ．667、已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8、将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9、设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．10、“”是“函数在区间内单调递减”的（ ）试卷第4页，共8页A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要11、设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．12、已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．试卷第5页，共8页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、在数列中，，，是数列的前项和，当不等式恒成立时，的所有可能取值为 .14、已知点的坐标满足，则的取值范围为 .15、给定双曲线，若直线过的中心，且与交于两点，为曲线上任意一点，若直线的斜率均存在且分别记为，则.16、若，则等于 .三、解答题（题型注释）17、已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；（2）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长.试卷第6页，共8页18、已知是的外角的平分线，交的延长线于点，延长交的外接圆于点，连接.（1）求证：；（2）若是外接圆的直径，，，求的长.19、设（且），是的反函数.（1）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围；（2）当（为自然对数的底数）时，证明：；（3）当时，试比较与4的大小，并说明理由.20、已知椭圆的两个焦点分别为，，以椭圆短轴为直径的圆经过点.（1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.21、如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，试卷第7页，共8页（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.22、某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程；（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.参考公式：，.23、已知函数的最小正周期为.（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）已知分别为锐角三角形中角的对边，且满足，，求的面积.24、选修4-5：不等式选讲已知函数.试卷第8页，共8页（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：.参考答案1、A2、B3、C4、B5、C6、B7、C8、C9、D10、A11、C12、C13、或或14、15、16、17、（1）的极坐标方程为,表示圆；（2）18、（1）见解析；（2）19、（1）；（2）见解析；（3）20、（1）;（2）为定值2.21、（1）由余弦定理求出，由勾股定理的逆定理证明即可；（2）分别以直线为轴，轴，轴建立所示空间直角坐标系，令,求出平面与平面的法向量（用表示）即可求的范围.22、（1）；（2）万吨23、（1），；（2）24、（1）;（2）见解析.【解析】1、试题分析：因为，所以，所以，其展开式的通项为，当时为常数项，所以表达式的展开式中常数项为,故选A.考点：1.分段函数的表示；2.二项式定理.【名师点睛】本题考查分段函数的表示与二项式定理，属中档题；分段函数的表示与二项式定理是最近高考的常考内容，但两者很少在同一个题目中出现，本题在考查分段函数的同时，考查二项式定理的应用，可谓立意新颖、思维独特.2、试题分析：在直角坐标系中作出可行域，如下图所示，因为，所以目标函数取得最大值时的最优解为，所以，即，所以，当且仅当时取等号，故选B.考点：1.线性规划；2.基本不等式.3、试题分析：由抛物线的性质及题意可知，两点关于轴对称，所以可设，则，解之得，又因为点在抛物线上，所以，解得，故选C.考点：抛物线的标准方程与几何性质.4、试题分析：三棱锥的高为点到平面的距离，即，底面三角形的底为，高为到的距离，所以三棱锥的体积，故选B.考点：1.正方体的性质；2.多面体的体积.5、试题分析：如下图所示，四边形的面积，阴影部分的面积可分为两部分，一部分是四边形的面积，另一部分是曲边梯形的面积，所以点来自内的概率为，故选C.考点：1.几何概型；2.积分的几何意义.【名师点睛】本题考查几何概型、积分的几何意义，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过积分运算来完成的，把积分运算与几何概型有机的结合在一起是本本题的亮点.6、试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：，故选B.考点：程序框图.7、试题分析:设，则，由题意有，所以所以，当时，有最大值，当时，有最小值，故选C.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.向量的运算.8、试题分析：的图象沿轴向右平移个单位后得到的函数解析式为,因为该函数为偶函数,所以即,由此可知选项C不符合题意,故选C.考点：1.三角函数的图象与性质；2.函数图象平移变换.9、试题分析：由得，令，则若存在唯一的整数，使得等价于存在唯一的整数使，在同一坐标系内作出两个函数的图象，由图象可知等价于存在唯一的整数使等价于，解之得,故选D.考点：函数与不等式.【名师点睛】本题考查函数与不等式,中档题；函数与不等式是高考考查的重要内容，数形结合是解决函数与不等式的重要途径，通常可把所有的数学表达式移到不等式的一边，构造一个函数作图解决不等式问题，也可象本题这样把变量放在不等式的两边，构造两个函数，在同一坐标系内作出两个函数的图象，通过图象求解.10、试题分析：当时，在区间上，单调递减，但区间上单调递减时，，所以“”是“函数在区间内单调递减”的,故选A.考点：1.函数的单调性；2.充分条件与必要条件.11、试题分析：,因为的实部为2，所以，所以的虚部为,故选C.考点：1.复数数的概念；2.复数的运算.12、试题分析：，又因为即，所以，解之得，故选C.考点：1.集合的表示；2.集合的运算.13、试题分析：由得，即，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，所以，由，，所以即，当时，该不等式不成立，当时有恒成立，当时，，，这时，当时，，，这时或，当时，不成立，所以的所有可能取值为或或.考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题.【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力.14、试题分析：在直角坐标系内作出可行域及直线，如下图所示，过点作直线于点，，表示可行域内的点到直线的距离，表示可行域内的点到原点的距离，所以，当点在直线上时，，当点在直线r在右上方时，，此时的取值范围为，当点在直线r在左下方时，，此时的取值范围为，综上的取值范围为.考点：1.线性规划；2.点到直线距离、两点间的距离；3.直角三角形中正弦函数定义. 【名师点睛】本题考查线性规划、两点间的距离公式、点到直线距离公式、直角三角形中正弦函数定义，属难题；对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z 的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.本题利用两个距离的比构成了一个角的三角函数值，再数形结合求解，可谓是匠心独运，视角独特.15、试题分析：设直线的方程为，，，则由得，,所以有，，故应填.考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.斜率公式.16、试题分析：，所以，.考点：二项式定理.17、试题分析：（1）将曲线的参数方程化为普通方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式进行转换即可;（2）将转换为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.试题解析：（1）∵曲线的参数方程为（为参数）.∴曲线的普通方程为.曲线表示以为圆心，为半径为圆，将代入并化简得：，即曲线的极坐标方程为.（2）∵直线的直角坐标方程为∴圆心到直线的距离为，∴弦长为考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线坐标与极坐标的互化；3.直线与圆的位置关系.18、试题分析：（1）欲证，只要证即可，由平分可得，由圆内接四边形性质得，又因为同弧上的圆周角相等、对顶角相等，所以，即可证得；（2），∴，所以在中，∵，可求出，从而求出的值.试题解析：（1）证明：∵平分，∴，因为四边形内接于圆，∴，又∵，∴，∴.（2）∵是圆的直径，∴，∵，∴，∴，在中，∵，，∴，又在中，，，∴.考点：1.三角形外角平分线性质；2.圆的性质.19、试题分析：（1）由反函数的定义先求出的解析式，代入已知条件可得，，求导，研究函数的单调性，即可求的取值范围；（2）,构造函数，求导研究其单调性可得在上是增函数，从而，即,可证结论成立；（3）当时易得，当时，由可得，求和可得，即可得到.试题解析：（1）由题意，得，故，，由，得，则，令，得，知在区间上递增；令，得，知在区间上递减，所以当时，，有当时，；时，，所以，所以的取值范围为（2）令则，所以在上是增函数，又因为当时，，所以即，即（3）设，则，当时，，当时，设时，则，所以从而所以，综上所述，总有考点：1.反函数的定义与求法；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式.20、试题分析：（1）由以椭圆短轴为直径的圆经过点可得，由焦点坐标得，所以，从而可求出椭圆方程；（2）当直线的斜率不存在时,求出点的坐标，可求得；当当直线的斜率存在时，设直线的方程为,代入椭圆方程得,则，，计算的值即可.试题解析：（1）由已知得：，由已知易得，解得，则椭圆的方程为.（2）①当直线的斜率不存在时，由，解得，设，.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入整理化简，得，依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，则，，又，，所以综上得：为定值2.（说明：若假设直线为，按相应步骤给分）考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系,属难题；高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.21、试题分析：试题解析：（1）证明：在梯形中，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）由（1）分别以直线为轴，轴，轴发建立如图所示空间直角坐标系，令，则，∴.设为平面的一个法向量，由，得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴.∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值，∴.考点：1.空间直线与直线垂直的判定；2.空间向量的应用.22、试题分析：（1）由公式先求出，再利用公式求出即可求回归方程；（2）将代入所求回归方程求出的值即可.试题解析：（1）解法一：容易算得：，，，故所求的回归直线方程为解法二：由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似值直线上升，为此时数据预处理如下表：对预处理后的数据，容易算得：，，，所求的回归直线方程为，即.（2）根据题意，该城市2023年的居民生活用水量与该城市2020年的居民生活用水量相当，当时，满足（1）中所求的回归直线方程，此时（万吨）考点：线性回归方程及其应用.23、试题分析：（1）利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得，由周期为，可求的值，由三角函数性质可求函数的最值.（2）由及正弦定理可求得，从而是求出解的值，由可求出角及角，由正弦定理求出边，即可求三角形面积.试题解析：（1）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，所以当时，取最小值；当时，取最大值1.（2）由已知及正弦定理得：，∴，∵，∴，由得锐角，由正弦定理得：，∴. 考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质；3.正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、正弦定理与余弦定理,属中档题；此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数解析式从而达到求最值的目的，三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.24、试题分析：（Ⅰ）当时，求不等式即，再利用对值的意义求得它的解集．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式、基本不等式，证得要证的结论．试题解析: （Ⅰ）当时，，原不等式等价于解得不等式的解集为（Ⅱ），当且仅当时等号成立。
【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期开学摸底测试理数(原卷版)
湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底测试数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{|230}A x x x =--≤，{|ln(2)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．(1,3)B ．(1,3]C ．[1,2)-D ．(1,2)- 2.已知2016z =（i 是虚数单位），则z 等于（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．i3.设变量,x y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则1y x s x -=+的取值范围是（ ）A ．3[1,]4B ．1[,1]2C ．1[,2]2D ．1[,1]2- 4.等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则'(0)f =（ ）A ．62 B ．92 C ．122 D ．152 5.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12x π=对称 B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称 6.已知边长为ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120 的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．26πC ．27πD ．28π 7.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ） A ．11?12S ≤B ．3?4S ≤C ．25?24S ≤D ．137?120S ≤8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A D9.已知221)a ex dx π-=-⎰，若2016220160122016(1)()ax b b x b x b x x R -=++++∈，则20161222016222b b b +++的值为（ ） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．e 10.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0,1,2,2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜 的条件下，乙摸1号球的概率为（ ） A ．516 B ．916 C ．15 D ．2511.已知直线980x y --=与曲线32:3C y x px x =-+相交于,A B ，且曲线C 在,A B 处的切线 平行，则实数p 的值为（ ）A ．4B ．4或-3C ．-3或-1D ．-3 12.数列{}n a 满足143a =，*11(1)()n n n a a a n N +-=-∈且12111n nS a a a =+++，则n S 的整数部 分的所有可能值构成的集合是（ ）A ．{0,1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2}D ．{0,2}第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知03sin m xdx π=⎰，则二项式(23)m a b c +-的展开式中23m ab c -的系数为 .14.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足350,5S S ==，数列21211{}n n a a -+的前2016项的和为 .15.已知AD 是ABC ∆的中线，(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，0120,2A AB AC ∠=∙=-，则||AD 的最小值是 . 16.已知函数1()3(3)ln f x mx m x x=--+，若对任意的(4,5)m ∈，12,[1,3]x x ∈，恒有 12(ln 3)3ln 3|()()|a m f x f x -->-成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知ABC ∆中，(01)BD BC λλ=<<，3cos 5C =，cos ADC ∠=.（1）若5,7AC BC ==，求AB 的大小； （2）若7,10AC BD ==，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）长郡中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平 均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生 中的“课外体育达标”学生人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，设底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥面ABCD . （1）求证：PC BD ⊥；（2）过BD 且与直线PC 垂直的平面与PC 交于点E ，当三棱锥E BCD -的体积最大时，求二面角E BD C --的大小.20.（本小题满分12分）已知点C 为圆22(1)8x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点(1,0)A 和AP上的点M ，满足0MQ AP ∙=，2AP AM =. （1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，直线l 与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且3445OF OH ≤∙≤时，求k 的取值范围.21.（本小题满分12分） 已知函数ln ()(0)1x xf x a a x =-<-. （1）当(0,1)x ∈时，求()f x 的单调性；（2）若2()()()h x x x f x =-，且方程()h x m =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：121x x +>.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 外接于圆，AC 是圆周角BAD ∠的角平分线，过点C 的切线与AD 延长线交于点E ，AC 交BD 于点F .（1）求证：//BD CE ；（2）若AB 是圆的直径，4,1AB DE ==，求AD 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径.（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求||||PA PB .24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （1）设函数5()||||,2f x x x a x R =-+-∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大 值；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值.：。
2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)入学数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a+1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）B．[﹣1，2]C．[﹣2，1]D．[2，+∞）2．（5分）设复数w＝（）2，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）“a＜0”是“函数f（x）＝|x（ax+1）|在区间（﹣∞，0）内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）5．（5分）将函数y＝sin（x+）cos（x+）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（）A．B．﹣C．D．6．（5分）已知点M（1，0），A，B是椭圆+y2＝1上的动点，且＝0，则•的取值是（）A．[，1]B．[1，9]C．[，9]D．[，3] 7．（5分）如图所示程序框图中，输出S＝（）A．45B．﹣55C．﹣66D．668．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝（x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为（）A．1B．C．D．与M点的位置有关10．（5分）已知点A是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是（）A．B．C．D．11．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z＝abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为11，则a+b的最小值为（）A．2B．4C．6D．812．（5分）设函数f（x）＝，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20B．20C．﹣15D．15二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则|a0|+|a1|+|a3|＝．14．（5分）给定双曲线C：x2﹣＝1，若直线l过C的中心，且与C交M，N两点，P为曲线C上任意一点，若直线PM，PN的斜率均存在且分别记为k PM、k PN，则k PM•k PN ＝．15．（5分）已知，点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为．16．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，3n﹣1a n＝3n﹣2a n﹣1﹣2•3n﹣2+2（n≥2），S n是数列{}的前n项和，当不等式（m∈N*）恒成立时，m•n的所有可能取值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数f（x）＝sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．（1）求函数f（x）在区间[﹣，π]上的最大值和最小值；（2）已知a，b，c分别为锐角三角形ABC中角A，B，C的对边，且满足b＝2，f（A）＝﹣1，a＝2b sin A，求△ABC的面积．18．（12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：（Ⅰ）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y＝bx+a；（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．（1）求证：平面FBC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．21．（12分）设f（x）＝（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．（1）设关于x的方程log a＝g（x）在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；（2）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：g（k）＞；（3）当0＜a≤时，试比较|f（k）﹣n|与4的大小，并说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（几何证明选讲选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB＝FC；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝3，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ＝，求直线被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x+|（a＞0）（I）当a＝2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）证明：f（m）+．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得﹣2≤x≤2，∴A＝[﹣2，2]．∵A∪B＝A，∴，解得﹣2≤a≤1．故选：C．2．【解答】解：∵＝＝．a为实数，∴复数w＝（）2＝﹣+＝a+，∵w的实部为2，∴a＝2则w的虚部为＝﹣．故选：A．3．【解答】解：当a＜0时，f（x）＝|ax2+x|═|a（x+）2|，则函数f（x）的对称轴为x＝﹣＞0，又f（x）＝|ax2+x|＝0得两个根分别为x＝0或x＝＞0，∴函数f（x）＝|ax2+x|在区间（﹣∞，0）内单调递减．函数在上单调递减，∴“a＜0”是“函数f（x）＝|（ax+1）x|在区间（﹣∞，0）内单调递减”的充分不必要条件．故选：A．4．【解答】解：设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x＝﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D．5．【解答】解：∵y＝sin（x+）cos（x+）＝sin（2x+φ），将函数y的图象向右平移个单位后得到f（x﹣）＝sin（2x﹣+φ），∵f（x﹣）为偶函数，∴﹣+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝kπ+，k∈Z，故选：C．6．【解答】解：∵＝0，可得•＝•（﹣）＝，设A（2cosα，sinα），则＝（2cosα﹣1）2+sin2α＝3cos2α﹣4cosα+2＝3（cosα﹣）2+，∴cosα＝时，的最小值为；cosα＝﹣1时，的最大值为9，故选：C．7．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T＝（﹣1）2•12＝1，S＝0+1＝1，n＝1+1＝2；第二次运行T＝（﹣1）3•22＝﹣4，S＝1﹣4＝﹣3，n＝2+1＝3；第三次运行T＝（﹣1）4•32＝9，S＝1﹣4+9＝6，n＝3+1＝4；…直到n＝9+1＝10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T＝（﹣1）10•92，S＝1﹣4+9﹣16+…+92﹣102＝1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100＝×9﹣100＝﹣55．故选：B．8．【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S＝2×＝1+＝1﹣ln＝1+ln2∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得P＝故选：C．9．【解答】解：如图所示，连接BC1，取＝，则PN∥D1C1，，PN＝1，∵D1C1⊥平面BCC1B1，∴PN⊥平面BCC1B1，即PN是三棱锥P﹣BCM的高．∴V三棱锥M﹣PBC＝V三棱锥P﹣BCM＝＝＝．故选：B．10．【解答】解：由题意，|MA|＝|OA|，∴A的纵坐标为5，∵△ABO为等边三角形，∴A的横坐标为，∵点A是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，∴∴p＝．故选：C．11．【解答】解：满足约束条件，的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即11＝2ab+3，∴ab＝4，∴a+b≥2＝4，在a＝b＝2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：B．12．【解答】解：当x＞0时，f[f（x）]＝＝的展开式中，常数项为：＝﹣20．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：令x＝0，可得：a0＝1．对（2x﹣1）4＝（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两边求导可得：4（2x﹣1）3×2＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3，令x＝0，可得：a1＝8．上式两边再两次求导可得：4×3×2（2x﹣1）×2×2×2＝3×2×1×a3+4×3×2a4x，令x＝0，可得a3＝﹣32．∴|a0|+|a1|+|a3|＝41．故答案为：41．14．【解答】设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N（﹣x0，﹣y0）．设P（x P，y P），则，又∵x2﹣＝1，∴x2＝+1，则x02＝y02+1．同理x P2＝y P2+1，两式作差得x P2﹣x02＝（y P2﹣y02），即y P2﹣y02＝（x P2﹣x02），则＝，故答案为：15．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的平面区域，其中B（﹣2，0），C（1，）设A（，），P（x，y）为区域内一个动点，向量、的夹角为θ∵||＝，•＝x+y∴cosθ＝＝＝×∵当P运动到C点时，θ达到最小值；P运动到与x轴负半轴上一点重合时，θ达到最大值∴∠AOC＜θ≤∠AOB，由直线OA、OC的倾斜角分别为、，可得θ∈（，]由此可得：﹣≤cosθ＜，即﹣≤×＜∴﹣≤＜，即的取值范围为[﹣）故答案为：[﹣）16．【解答】解：∵3n﹣1a n＝3n﹣2a n﹣1﹣2•3n﹣2+2（n≥2），∴3n a n﹣3n﹣1a n﹣1＝6﹣2×3n﹣1．∴3n a n＝（3n a n﹣3n﹣1a n﹣1）++…+（32a2﹣3a1）+3a1＝（6﹣2×3n﹣1）+（6﹣2×3n﹣2）+…+（6﹣2×3）+3＝6（n﹣1）﹣2×+3＝6n﹣3n，∴a n＝（n＝1时也成立）．∴＝．∴数列{}的前n项和S n＝＝．不等式（m∈N*）化为：＜1（*），m＝1时，化为：2•3n﹣1＜3，n＝1时成立．此时mn＝1．m＝2时，化为：3n＜21，n＝1，2时成立．此时mn＝2，或4．m≥3时，3m+1＞3m，＝＞1，∴＞1，因此上式（*）不成立．综上可得：m•n的所有可能取值为1，2，4．故答案为：1，2，4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴当时，f（x）取最小值；当时，f（x）取最大值1；（2）由正弦定理：＝2R，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B，∵a＝2b sin A，sin A＝2sin B sin A，∴sin B＝，∵0＜B＜，∴B＝，由f（A）＝﹣1，即＝﹣1，解得：A＝由正弦定理得：，∴．△ABC的面积．18．【解答】解：（I）＝2013，＝＝260.2，＝（﹣2）×（﹣24.2）+（﹣1）×（﹣14.2）+0+1×15.8+2×25.8＝130．＝4+1+0+1+4＝10．∴b＝＝13，∴回归方程为y﹣260.2＝13（x﹣2013），即y＝13（x﹣2013）+260.2．（II）当x＝2020时，y＝13（2020﹣2013）+260.2＝351.2（万吨）．答：该城市2023年的居民生活用水量预计为351.2万吨．19．【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，∴AB＝2，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°＝3，∴AB2＝AC2+BC2，∴BC⊥AC．∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE．又∵BC⊂平面FBC，∴平面ACFE⊥平面FBC．…（5分）（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM＝λ（0≤λ≤），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴＝（﹣，1，0），＝（λ，﹣1，1），设＝（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由，得取x＝1，则＝（1，，），∵＝（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cosθ＝cos＜＞＝＝，…（10分）∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cosθ有最小值，当λ＝时，cosθ有最大值．∴cosθ∈[]．…（12分）20．【解答】解：（1）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），∴，解得，b＝1，∴椭圆C的方程为＝1．（2）k1+k2是定值．证明如下：设过M的直线：y＝k（x﹣1）＝kx﹣k或者x＝1①x＝1时，代入椭圆，y ＝±，∴令A（1，），B（1，﹣），k1＝，k2＝，∴k1+k2＝2．②y＝kx﹣k代入椭圆，（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）＝0设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝﹣2k ＝，y1y2＝k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2＝﹣，k1＝，k2＝，∴k1+k2＝＝2．21．【解答】解：（1）由题意，得a x ＝＞0故g（x ）＝，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）由得t＝（x﹣1）2（7﹣x），x∈[2，6]则t′＝﹣3x2+18x﹣15＝﹣3（x﹣1）（x﹣5）列表如下：所以t最小值＝5，t最大值＝32所以t的取值范围为[5，32]（5分）（Ⅱ）＝ln（）＝﹣ln令u（z）＝﹣lnz2﹣＝﹣2lnz+z﹣，z＞0则u′（z）＝﹣＝（1﹣）2≥0所以u（z）在（0，+∞）上是增函数又因为＞1＞0，所以u（）＞u（1）＝0即ln＞0即（9分）（3）设a＝，则p≥1，1＜f（1）＝≤3，当n＝1时，|f（1）﹣1|＝≤2＜4，当n≥2时，设k≥2，k∈N*时，则f（k）＝，＝1+所以1＜f（k）≤1+，从而n﹣1＜≤n﹣1+＝n+1﹣＜n+1，所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，综上所述，总有|﹣n|＜4．[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】（1）证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC；∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC；…2′∵∠EAD＝∠F AB＝∠FCB∴∠FBC＝∠FCB∴FB＝FC． (5)（2）解：∵AB是圆的直径，∴∠ACD＝90°∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝60°，∴∠D＝30°…7′在Rt△ACB中，∵BC＝3，∠BAC＝60°，∴AC＝3又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6 …10′[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴由sin2α+cos2α＝1，得曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10，即x2+y2＝6x+2y，由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，得曲线C的极坐标方程为ρ2＝6ρcosθ+2ρsinθ，即ρ＝6cosθ+2sinθ，它是以（3，1）为圆心，以为半径的圆．（2）∵直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ＝，∴ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线的直角坐标为x﹣y+1＝0，∵曲线C是以（3，1）为圆心，以r＝为半径的圆，圆心C（3，1）到直线x﹣y+1＝0的距离d＝＝，∴直线被曲线C截得的弦长|AB|＝2＝2＝．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】（I）解：当a＝2时，f（x）＝|x+2|+|x+|，不等式f（x）＞3等价于或或，∴x＜﹣或x＞，∴不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（Ⅱ）证明：f（m）+f（﹣）＝|m+a|+|m+|+|﹣+a|+|﹣+|≥2|m+|＝2（|m|+）≥4，当且仅当m＝±1，a＝1时等号成立，∴f（m）+．。
湖南省长沙市长郡中学2017届高三第一次模拟数学理试卷 Word版含解析
2017年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}2．已知复数（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，﹣2）D．3．设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣34．已知的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．5．设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．+B．+3 C．+D．+36．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为（）A．B．C．D．47．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4]D．（4，+∞）8．若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（）A．﹣270 B．270 C．﹣90 D．909．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（）A．2 B．C．D．﹣210．已知抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的焦点为F，点P为C上一动点，A（4，0），B（p，p），且|PA|的最小值为，则|BF|等于（）A．4 B．C．5 D．11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．412．已知函数满足条件：对于∀x1∈R，且x1≠0，∃唯一的x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．C．+3 D．+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数的最大值为．14．设，则a1+a2+a3+a4+a5=．15．已知平面向量的夹角为120°，且．若平面向量满足，则=．16．设数列{a n}（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且a n+2﹣2a n+1+a n=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则=．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=sin•cos+cos2，求f（B）的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）设PM=tMC，若二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°，试确定t的值．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次．（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视作概率，某人在该购物平台上进行5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全为好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方程．（K 2=，其中n=a +b +c +d ）20．（12分）已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，P （﹣2，1）是C 1上一点．（1）求椭圆C 1的方程；（2）设A ，B ，Q 是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交C 1于异于P 、Q 的两点C ，D ，点C 关于原点的对称点为E ．证明：直线PD 、PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线（t为参数）与圆C交于A，B两点，且，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．2017年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B={0，1}．故选A．【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．已知复数（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，﹣2）D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数==+i的共轭复数﹣i的共在复平面内对应的点在第三象限，∴＜0，﹣＜0，解得a，且a＞﹣2，则实数a的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3【考点】基本不等式．【专题】直线与圆．【分析】如图所示，当a≥1时，由，解得．当直线z=x+ay 经过A点时取得最小值为7，同理对a＜1得出．【解答】解：如图所示，当a≥1时，由，解得，y=．∴．当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，∴，化为a2+2a﹣15=0，解得a=3，a=﹣5舍去．当a＜1时，不符合条件．故选：B．【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．4．已知的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】根据题意，利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出A|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：=sin2017xcos+cos2017xsin+cos2017xcos+sin2017xsin=sin2017x+cos2017x+cos2017x+sin2017x=sin2017x+cos2017x=2sin（2017x+），∴f（x）的最大值为A=2；由题意得，|x1﹣x2|的最小值为=，∴A|x1﹣x2|的最小值为．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦、余弦函数的周期性和最值问题，是基础题目．5．（设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．+B．+3 C．+D．+3【考点】定积分．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】根据定积分性质可得f（x）dx=+，然后根据定积分可得．【解答】解：根据定积分性质可得f（x）dx=+，根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，=，∴f（x）dx=+（），=+，故答案选：A．【点评】本题求一个分段函数的定积分之值，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为（）A．B．C．D．4【考点】离散型随机变量的期望与方差；基本不等式．【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用；概率与统计．【分析】由题意可得：3a+2b+0•c=2，即3a+2b=2．a，b，c∈（0，1）），再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：3a+2b+0•c=2，即3a+2b=2．a，b，c∈（0，1）），∴===，当且仅当a=2b=时取等号．故选：C．【点评】本题考查了数学期望计算公式、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．）在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4]D．（4，+∞）【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．（若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（）A．﹣270 B．270 C．﹣90 D．90【考点】二项式系数的性质．【专题】方程思想；转化思想；二项式定理．【分析】的展开式中所有项系数的绝对值之和等于为展开式中所有项系数的绝对值之和，令x=1可得：4n=1024，解得n=5．利用的通项公式即可得出．【解答】解：的展开式中所有项系数的绝对值之和等于为展开式中所有项系数的绝对值之和，令x=1可得：4n=1024，解得n=5．==（﹣1）r35﹣r，∴的通项公式为：T r+1令=0，解得r=3．∴该展开式中的常数项是=﹣90．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（）A．2 B．C．D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算即可得出．【解答】解：如图所示，A（，0），B（0，），C（﹣，0），∴=（，），=（3，0），∴=（，）+（3，0）=（2，），∴=+=（，），∴=﹣=（﹣1，），=﹣=（﹣，），∴=﹣1×（﹣）+×=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算、等边三角形的性质，属于中档题．10．已知抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的焦点为F，点P为C上一动点，A（4，0），B（p，p），且|PA|的最小值为，则|BF|等于（）A．4 B．C．5 D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用|PA|的最小值为，求出p，可得B的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：设P（x，y），则|PA|==，∴x=4﹣p时，|PA|的最小值为=，∵0＜p＜4，∴p=3，∴B（3，3），∴|BF|=3+=，故选B．【点评】本题考查抛物线的定义与方程，考查配方法的运用，正确求出p是解题的关键．11．（2017•河北二模）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．4 【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P ﹣ABCD ． 【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P ﹣ABCD ． 连接BD ．其体积V=V B ﹣PAD +V B ﹣PCD==． 故选：B ．【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（2017•福建模拟）已知函数满足条件：对于∀x 1∈R ，且x 1≠0，∃唯一的x 2∈R 且x 1≠x 2，使得f （x 1）=f （x 2）．当f （2a ）=f （3b ）成立时，则实数a +b=（ ）A．B．C．+3 D．+3【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】根据条件得到f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a，b 的关系进行求解即可．【解答】解：若对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，则b=3，且a＜0，由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9），即2a2+3=+3=3+3，即a=﹣，则a+b=﹣+3，故选：D【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据条件得到a，b的关系是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2017•武昌区模拟）函数的最大值为4．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；方程思想；演绎法；三角函数的图像与性质．【分析】先化简函数，再配方，即可得出结论．【解答】解：=cos2x﹣5sinx=1﹣2sin2x﹣5sinx=﹣2（sinx+）2﹣，∵﹣1≤sinx≤1，∴sinx=﹣1时，函数的最大值为4，故答案为4．【点评】本题考查函数的最大值，考查诱导公式，考查配方法的运用，属于中档题．14．设，则a1+a2+a3+a4+a5=﹣1．【考点】二项式系数的性质．【专题】方程思想；转化思想；二项式定理．【分析】令x=0，可得：1=a0．令x=，则=a0+a1+a2+a3+a4+a5，即可得出．【解答】解：令x=0，可得：1=a0．令x=，则=++…+=a0+a1+a2+a3+a4+a5，∴a1+a2+a3+a4+a5=﹣a0=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（2017•武昌区模拟）已知平面向量的夹角为120°，且．若平面向量满足，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】由已知画出图形，然后利用坐标法求解．【解答】解：如图，设，则A（1，0），B（﹣1，），再设，由，得，解得．∴||=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标运算，建系起到事半功倍的效果，是中档题．16．设数列{a n}（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且a n+2﹣2a n+1+a n=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则=2016．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】构造b n=a n+1﹣a n，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=b n+1﹣b n=2，利用等差数列的通项公式可得b n=a n+1﹣a n=2n+2，再利用“累加求和”方法可得a n=n（n+1），可得=，再利用取整数函数即可得出．【解答】解：构造b n=a n+1﹣a n，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=b n+1﹣b n=2，故数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，故b n=a n+1﹣a n=4+2（n﹣1）=2n+2，故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，a n﹣a n﹣1=2n，以上n﹣1个式子相加可得a n﹣a1=4+6+…+2n=，解得a n=n（n+1），∴=，∴+=+…+（）=1﹣，∴…+=2017﹣则==2016．故答案为：2016．【点评】本题考查了构造方法、等差数列的通项公式可、“累加求和”方法、“裂项求和”方法、取整数函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=sin•cos+cos2，求f（B）的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形．【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a ﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA．（II）f（x）=sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，可得＜B+＜，即可得出．【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）f（x）==sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，∴∈，∴f（B）的取值范围是．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）设PM=tMC，若二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°，试确定t的值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；向量法；空间角．【分析】（1）由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，可得四边形BCDQ为平行四边形，得到CD∥BQ．结合∠ADC=90°，得QB⊥AD．然后利用面面垂直的性质得BQ⊥平面PAD．再由线面垂直的判定得平面PQB⊥平面PAD；（2）由PA=PD，Q为AD的中点，得PQ⊥AD．结合（1）可得PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系．然后求出平面BQC的一个法向量，再由PM=tMC 把平面MBQ的一个法向量用含有t的代数式表示，结合二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°求得t的值．【解答】（1）求证：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD；（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则面BQC的法向量为；Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，）．设M（x，y，z），则，，∵PM=tMC，∴，则，即，在平面MBQ中，，，设平面MBQ的一个法向量，由，，取z=t，得x=．∴平面MBQ法向量为．∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，解得t=3．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次．（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视作概率，某人在该购物平台上进行5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全为好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方程．（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计．【分析】（1）由题意列出2×2列联表，计算观测值K 2，对照数表即可得出正确的结论；（2）根据题意，得出商品和服务都好评的概率，求出X 的可能取值，计算对应的概率值，写出期望与方差．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为：计算观测值K 2=，对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6分）（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，5； 所以X 的分布列为： （由于X ～B （5，），则EX=5×=2，DX=5××（1﹣）=（12分）【点评】本题主要考查了统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．20．（12分）（2017•河北二模）已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，P （﹣2，1）是C 1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），运用韦达定理，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，化简整理，代入韦达定理，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得e==，且a2﹣b2=c2，将P（﹣2，1）代入椭圆方程可得+=1，解得a=2，b=，c=，即有椭圆方程为+=1；（2）证明：A，B，Q是P（﹣2，1）分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，可设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），直线l的斜率为k=，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），即有△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，则k1+k2=+=，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，即（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=0，由y1=x1+t，y2=x2+t，可得（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=2（y2﹣y1）﹣（x1y2+x2y1）+x1﹣x2﹣4 =x2﹣x1﹣（x1x2+tx1+tx2）+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t（x1+x2）﹣4=﹣（2t2﹣4）+2t2﹣4=0，则直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式和运用，化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；（2）原式等价于＞，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，t∈（0，1），根据函数的单调性求出即可．【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图示：，可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故k=y′|x=x0=，又k=，故=，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜；（2）因为e1+λ＜x1•x2λ等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（1）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于a＞，又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln =a（x1﹣x2），所以原式等价于＞，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即ln＜恒成立．令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，t∈（0，1），又h′（t）=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，是一道综合题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线（t为参数）与圆C交于A，B两点，且，求m的值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】选作题；转化思想；演绎法；坐标系和参数方程．【分析】（1）求出圆C的普通方程，可得圆C的极坐标方程；（2）求出直线l的普通方程，利用勾股定理，建立方程，即可求出m的值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（φ为参数），普通方程为（x ﹣2）2+y2=4，极坐标方程为ρ=4cosθ；（2）直线（t为参数），消去参数可得y﹣x+m=0，圆心C到直线的距离d=，|AB|=2=，∴m=0或4．【点评】本题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）法一：求出f（x）的分段函数的形式，令y=x﹣a，通过讨论求出a的范围即可；法二：设g（x）=f（x）﹣x，问题转化为﹣a≥g（x）max，求出g（x）的最大值，得到a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，所以x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，所以﹣≤x＜1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，所以1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为M={x|﹣≤x≤6}；（Ⅱ）f（x）=，令y=x﹣a，当直线经过点（1，3）时，﹣a=2，所以当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；当﹣a＜2即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，所以a≥2+，即a≥4，综上，a≤﹣2或a≥4．解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣x=，因为对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，所以﹣a≥g（x）max，①当a＞1时，g（x）max=g（a）=﹣2a+4，所以﹣a≥﹣2a+4，所以a≥4，符合a＞1．②当a≤1时，g（x）max=g（1）=2，所以﹣a≥2，所以a≤﹣2，符合a≤1，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．【点评】本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．。
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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{|230}A x x x =--≤，{|ln(2)}B x y x ==-，则A B = （ ）A ．(1,3)B ．(1,3]C ． [1,2)-D ．(1,2)- 【答案】C考点：集合交集.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 2.已知2016z =（i 是虚数单位），则z 等于（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．i 【答案】B 【解析】试题分析：()22,1i i =--=，即504201641⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.考点：复数概念及运算.3.设变量,x y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则1y x s x -=+的取值范围是（ ）A ．3[1,]4B ．1[,1]2C ．1[,2]2D ．1[,1]2- 【答案】D【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，分别将,,A B C 三点坐标代入1y x s x -=+，可得最小值为12-，最大值为1.考点：线性规划.4.等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =--- ，则'(0)f =（ ） A ．62 B ．92 C ．122 D ．152 【答案】C考点：等比数列的基本概念.5.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12x π=对称 B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称 【答案】C 【解析】考点：三角函数图象与性质.6.已知边长为的菱形ABCD 中，60BAD ∠= ，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120 的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．26πC ．27πD ．28π 【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，设两三角形外心分别为23,O O ,球心为O ，1120AO C ∠= ,故132,OO OO ==，球的半径为OC ==28π.O 1BCDAOO 3O 2考点：几何体外接球.7.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ） A ．11?12S ≤B ．3?4S ≤C ．25?24S ≤D ．137?120S ≤【答案】A考点：算法.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A D【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知,该几何体是由正三棱柱截取一部分所得,故体积为2112222V =⋅=. 考点：三视图.9.已知221)a ex dx π-=-⎰，若2016220160122016(1)()ax b b x b x b x x R -=++++∈ ，则20161222016222b b b +++ 的值为（ ） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．e 【答案】B 【解析】试题分析：()222-211111)422a ex dx ex dx πππππ-=-=-=⋅⋅=⎰⎰⎰.即2016(12)x -.令0x =，得01b =，令12x =，得20161222016011222b b b +++=-=- . 考点：定积分.10.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0,1,2,2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为（ ） A ．516 B ．916 C ．15 D ．25【答案】D考点：1.古典概型；2.条件概型.11.已知直线980x y --=与曲线32:3C y x px x =-+相交于,A B ，且曲线C 在,A B 处的切线平行，则实数p 的值为（ ）A ．4B ．4或-3C ．-3或-1D ．-3 【答案】B 【解析】试题分析：'2323y x px =-+，设()()1122,,,A x y B x y ，切线平行，即斜率相等，即可令221122323323x px x px m -+=-+=，12,x x 是方程23230x px m -+-=的两个根，则1223x x p +=，下证线段AB 的中点在曲线C 上，因为32323111222332227x px x x px x p p -++-+=-，而3231212122322227x x x x x x p p p +++⎛⎫⎛⎫-+⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以线段AB 的中点在曲线C 上，由1223x x p +=知，线段的中点为111,8393p p ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以381292727p p p -+=-，解得1,3,4p =--，经验证，1p =-时，不符合题意，故选B. 考点：导数与切线.【思路点晴】本题考察利用导数研究曲线上某点的切线方程，求解该题的关键是利用AB 中点的坐标相等，关键是证明AB 中点在曲线C 上.求函数切线的步骤如下：第一先求函数的导数，然后求出在该点的导数，接着求出切点，然后利用点斜式()()()'000y f x f x x x -=-，即可得到切线方程.读题时要注意是“在某点的切线”，还是“过某点的切线”. 12.数列{}n a 满足143a =，*11(1)()n n n a a a n N +-=-∈且12111n nS a a a =+++ ，则n S 的整数部 分的所有可能值构成的集合是（ ）A ．{0,1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2}D ．{0,2} 【答案】A考点：数列.【思路点晴】这个是递推数列求通项的问题，首先由11(1)n n n a a a +-=-两边取倒数，得111111n n n a a a +-=--，累加得1111113111n n n S a a a ++=-=----，然后通过列举123413133,,3981a a a ===，和211(1)0,n n n n n a a a a a ++-=-≥≥，n a 为单调递增数列，判断出可以取0,1，由于11331n n S a +=-<-，故不能取3，根据选项可有A 正确.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知03sin m xdx π=⎰，则二项式(23)m a b c +-的展开式中23m ab c -的系数为 .【答案】6480-考点：二项式定理.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足350,5S S ==，数列21211{}n n a a -+的前2016项的和为 .【答案】20164031- 【解析】试题分析：111330,5105,1,1,2n a d a d a d a n +=+==-==-,()()2121112321n n a a n n -+=⋅-⋅-()()11122321n n ⎡⎤=-⎢⎥--⎣⎦,故201611140322016124031*********S ⎛⎫=--=-⋅=- ⎪⎝⎭. 考点：裂项求和法.15.已知AD 是ABC ∆的中线，(,)AD AB AC R λμλμ=+∈ ，0120,2A AB AC ∠=∙=- ，则||AD 的最小值是 . 【答案】1 【解析】试题分析：cos1202AB AC bc ⋅==-，4bc =，()()()222211142242AD AB AC c b bc ⎡⎤=+=+-≥-⎢⎥⎣⎦1=．考点：向量运算.【思路点晴】AD 是ABC ∆的中线，则1122AD AB AC =+，这个公式可以作为一个常用的结论记忆下来.利用两个向量数量积的概念，可将cos1202,4AB AC bc bc ⋅==-=，要求的是||AD 的最小值，要能够运算，必须先对其进行平方，化为()()222211424AD AB AC c b ⎡⎤=+=+-⎢⎥⎣⎦，然后考虑基本不等式，有()()221142142c b bc +-≥-=，最后两边开方. 16.已知函数1()3(3)ln f x mx m x x=--+，若对任意的(4,5)m ∈，12,[1,3]x x ∈，恒有12(ln 3)3ln 3|()()|a m f x f x -->-成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】37,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭考点：函数导数.【思路点晴】恒成立问题主要解题思路是划归与转化的思想.本题中，任意的(4,5)m ∈，12,[1,3]x x ∈，恒有12(ln 3)3ln 3|()()|a m f x f x -->-成立，等价于()()max min (ln 3)3ln 3a m f x f x -->-.经过划归之后，问题就转化为求函数()f x 的最大值和最小值问题，可以通过导数来解决.在问题的最后，还需要用分离常数的方法来计算.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知ABC ∆中，(01)BD BC λλ=<< ，3cos 5C =，cos ADC ∠=.（1）若5,7AC BC ==，求AB 的大小； （2）若7,10AC BD ==，求ABC ∆的面积.【答案】（1）；（2）42.考点：解三角形. 18.（本小题满分12分）长郡中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平 均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生 中的“课外体育达标”学生人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）列联表见解析，不能；在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；（2）13()344E X =⨯=，139()34416D X =⨯⨯=. 【解析】试题分析：（1）计算22200(60203090)2006.060 6.635150509011033K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关；（2）X 为二项分布，且X ～1(3,)4B ，故13()344E X =⨯=，139()34416D X =⨯⨯=.试题解析：（1）22200(60203090)2006.060 6.635150509011033K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.（2）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，∴X ～1(3,)4B ， ∴13()344E X =⨯=，139()34416D X =⨯⨯=. 考点：1.独立性检验；2.二项分布.19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，设底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥面ABCD .（1）求证：PC BD ⊥；（2）过BD 且与直线PC 垂直的平面与PC 交于点E ，当三棱锥E BCD -的体积最大时，求二面角 E BD C --的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）4π.（2）设PA x =，三棱锥E BCD -的底面积为定值，求得它的高22x h x =+，考点：空间向量与立体几何.20.（本小题满分12分）已知点C 为圆22(1)8x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点(1,0)A 和AP 上的点M ，满足0MQ AP ∙= ， 2AP AM = .（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，直线l 与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ， O 是坐标原点，且3445OF OH ≤∙≤ 时，求k 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2||k ≤≤. 【解析】试题分析：（1）由题意知：MQ 中线段AP 的垂直平分线，所以||||||||||||2CP QC QP QC QA CA =+=+=>=，所以点Q 的轨迹是以点,C A 为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，故点Q 的轨迹方程是2212x y +=；（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，写出根与系数关系，代入求得22112k OF OH k +⋅=+ ，22231411412532k k k +≤≤⇔≤≤+||k ≤≤.||k k ⇒≤≤⇒≤≤或k ≤≤为所求. 考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】解析几何解答题一般为试卷两个压轴题之一，“多考想，少考算”，但不是“不计算”.常用的解析几何题目中的简化运算的技巧有：利用圆锥曲线的概念简化运算，条件等价转化简化运算，用形助数简化运算，设而不求简化运算.圆锥曲线题目运算量较大时，要合理利用圆锥曲线的几何特征将所求的问题代数化.21.（本小题满分12分） 已知函数ln ()(0)1x x f x a a x =-<-. （1）当(0,1)x ∈时，求()f x 的单调性；（2）若2()()()h x x x f x =-，且方程()h x m =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：121x x +>.【答案】（1）()f x 在(0,1)上单调递增；（2）证明见解析.试题解析：（1）'21ln ()(1)x x f x x --=-，设()1ln g x x x =--，则'1()1g x x=-， ∴当(0,1)x ∈时，'()0g x <，∴()(1)0g x g >=，∴'()0f x >，∴()f x 在(0,1)上单调递增.（2）22()ln (0)h x x x ax ax a =-+<，∴'()2ln 2h x x x x ax a =+-+，∴''()2ln 23h x x a =-+，∴''()h x 在(0,)+∞上单调递增，考点：函数导数.【方法点晴】极点偏移是16年全国乙卷压轴题考核的内容.本题就是基于极点偏移来命制的.极点偏移题目在10年天津卷第一次出现，当时题目是已知()xf x xe =，如果12x x ≠，且()()12f x f x =，求证122x x +>．16年全国乙卷压轴题正是由这个题改编而成.在求解此类问题中，主要利用极值点，和单调性来完成，对运算能力有较高的要求.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 外接于圆，AC 是圆周角BAD ∠的角平分线，过点C 的切线与AD 延长线交于点E ， AC 交BD 于点F .（1）求证：//BD CE ；（2）若AB 是圆的直径，4,1AB DE ==，求AD 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2.（2）由（1）知，ECD BAC ∠=∠，CED ADB ∠=∠，∵AB 是圆的直径，∴90ACB ADB ∠=∠= ，∴90CED ACB ∠=∠= ，∴Rt CED ∆～Rt ACB ∆，∴DE DC BC BA=. ∵EAC DBC ∠=∠，由（1）知，EAC BDC ∠=∠，∴DBC BDC ∠=∠，∴DC BC =， ∴DE DC BC BC BA AB==，则24BC AB DE =∙=，∴2BC =. ∴在Rt ABC ∆中，12BC AB =，∴30BAC ∠= ，∴60BAD ∠= ， ∴在Rt ABD ∆中，30ABD ∠= ，所以122AD AB ==. 考点：几何证明选讲.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径.（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求||||PA PB .【答案】（1）直线l的参数方程为1122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆的极坐标方程为6sin ρθ=；（2）7. 考点：坐标系与参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）设函数5()||||,2f x x x a x R =-+-∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大 值；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值.【答案】（1）54；（2）16 .考点：不等式选讲.：。