2012全国大学生数模竞赛A题二等奖答卷

日期： 2012
月
10
日
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2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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葡萄酒评价模型
摘 要
葡萄酒等级划分是葡萄酒研究和发展过程中的一个重要领域， 以往人们都是 通过主观感受对葡萄酒进行评定的，难以确立可信度较高的评价标准。随着技术 的发展，化合物的鉴定方法趋于成熟，理化指标评定方法将成为主流。本文主要 研究各种理化指标与感观评价标准的关系以及葡萄酒理化指标和酿酒理化指标 的关系。问题一讨论两组评酒员的差异性，本文选用非参数方法。问题二分析酿 酒葡萄理化指标和葡萄酒质量的关系，采用因子分析和聚类分析进行处理。问题 三需要讨论两组理化指标之间的相关关系，本文采取典型相关分析方法解决； 问 题四运用逐步回归分析对得到葡萄理化指标和葡萄酒理化指标的函数关系。 对于问题一我们选用非参数方法对数据进行评分， 用秩和的方差和极差比值 作为评价标准，评价标准值越小，结果越合理。最终得到的结果是两个评价组之 间存在显著性差异，且第二组评酒员对红葡萄酒的评价相对可信，第一组评酒员 对白葡萄酒的评价更为合理。 对于问题二，我们选用因子分析对标准化以后的数据进行处理，使数据降至 18 维，再对处理后的结果进行聚类分析，得到结果与葡萄酒理化指标进行比较， 得到最终的评价结果。 对于问题三我们用多元统计分析中的典型相关分析方法建立模型， 利用因子 分析法对模型进行改进。对模型进行了合理的理论证明和推导，利用 SAS 软件所 得出的结果为：酿酒葡萄和葡萄酒之间的关系主要取决于总酚、单宁、蛋白质、 DPPH、酒总黄酮、花色苷这七个理化指标；葡萄酒第一典型相关变量解释酿酒葡 萄的方差比较小，约为 4.92%，而酿酒葡萄第一典型相关变量解释葡萄酒的方差 比较大，约为 21.94%，这个结果与实际是相吻合的。 对于问题四我们运用 SAS 软件，先是采用了相关分析，得出结论：葡萄酒 的质量与葡萄、葡萄酒的理化指标之间存在较好的相关性；接着以葡萄酒的质量 为因变量，葡萄和葡萄酒的理化指标为自变量做线性逐步回归分析，得出结论： 葡萄的理化指标酒总黄酮、PH 值和甘氨酸对红葡萄酒的质量存在显著影响，葡 萄理化指标氨基酸，总酚，还原糖，PH 值， 干物质的含量，谷氨酸, 丙氨酸对 白葡萄酒的质量存在显著影响；最后通过葡萄酒质量实际值与预测值的对比， 论 证了能用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。 在模型检验和改进中，采用了条件数指标来诊断自变量间的相关性，并得到 变量之间不存在共线性的结论， 接着用学生化残差和 cook’d 统计量检验并得到 葡萄和葡萄酒样本中存在异常值，然后在剔除异常值后做逐步回归分析，得到剔 除异常之后的模型更加显著，误差更小，预测的质量也有提高。
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图 2 秩和检验 由图结果分析如下： W1 和 W2 ， R1 和 R 2 的秩和分别为 170464.00 和 164580.00， 141932.50 和 128573.50。原假设（ W1 和 W2 ， R1 和 R1 的总体分布相同）为真时， 期望秩值（Expected）分别为 154140.0 和 154140.0，148635.0 和 148635.0；标准 差（Std Dev ）为 4548.08250，4493.27832。每组平均得分（Mean Score ）分别为 608.800000 和 587.785714 ，525.675926 和 476.198148 。近似卡方检验统计量为 30.2514，自由度为 3， p = 0.0101，拒绝原假设，即两组评酒员对每一种酒的评 价是存在差异的。 （4） 最合理评酒员组 计算每一组内的方差、极差，并定义评分的标准为方差与极差的比值，其中 极差（RANGE） ： 方差（Var） ：
X ~ F ( x − mex ), Y ~ ( y − me y )
从而原假设 H 0 : mex = mey 等价于： H 0 : X 和 Y 同分布。 将两组样本混合，求出每个样本在合样本中的秩。记样本 y j , j = 1,2,⋯, n 在 合样本中的秩为 R j ，则 R j = 1,2,⋯ , N 。令 WY 表示总体 Y 的样本 y1 , y2 , ⋯, y n 的秩 之和，即
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 廖静 欧凯波 杜娜娜 (打印并签名) ： 陈光喜 年 9
A A0617
桂林电子科技大学
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Ri ：第 i 种组评酒员对红葡萄酒的评价结果 Wi ：第 i 种组评酒员对红葡萄酒的评价结果
p ：变量的个数
m ：公共因子个数
xi ：第 i 个变量观测值 Fi ：第 i 个公共因子 ε i ：变量 xi 特有的特殊因子 aij ：因子载荷，表示第 i 个变量在第 j 个公共因子上的体现 Gr ：红葡萄指标集 Gw ：白葡萄指标集 Gi ：第 i 类样本 nt ： Gi 类样本的个数 X (t ) ： Gt 类的重心 X ((it)) ：表示 Gt 中第 i 个样品 Wt ： Gt 中的样品的离差平方和 W ：全部类的总离差平方和 grapes i ：第 i 类葡萄 q _ wine ：葡萄酒的质量
二、 背景分析
葡萄酒的评价标准是鉴定葡萄酒好坏的重要指标。 目前国际上对葡萄酒的评 价方法主要通过对葡萄酒的气味，口感，色泽做出感官评定。但是感官评定主要 是依靠人体的感觉器官，因此，在评价过程中，难免会出现差异。且在评价过程 中，品酒员会受到时间、气候、情绪、体力等因素的影响，甚至个人喜好也会一 定程度的影响鉴定结果 [1] 。主观因素是葡萄酒评定结果的主宰。 本文的主要目的是建立模型对葡萄酒的客观评价指标进行研究， 将葡萄酒进 行化学成分分解，分析化合物对口感、气味和色泽的影响，并检验这些理化指标 分析的结果与品酒员的感官评价得到的结果是否相符。 研究者通过进一，酿酒葡萄理化指标与葡萄酒 的理化指标存在相关关系。除了理化指标，芳香烃也是一个重要的因素，葡萄酒 的酿制过程中，烃类物质发生化学反应，使得酒更加的浑厚香醇。
图 1 正态性检验 在样本数小于 30 时， 通常通用的是 Shapiro-Wilk 检验， 而 P 值小于 0.005， 拒绝原假设，即这一组样本结果不服从正态分布。按此方式分析，对余下其他组 数据进行分析，不难发现， P 值都小于 0.005，即每一组评酒员的评价结果都不
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服从正态分布，故无法用方差分析进行显著性检验，考虑到样本数据量较少， 所 以我们选择非参数统计方法进行显著性检验。 3、非参数统计分析 由于每个总体独立，但是不服从正态分布且不确定是否具有相同的方差， 所 以我们选用非参数统计中 Wilcoxon 秩和检验方法检验评价结果的显著性 [3 ] 。 将两组数据混合排序、编秩、然后求秩和。 （1） 建立检验假设：两个总体分布相同； （2） 两样本混合统一编秩次， 相同秩在不同组时去平均秩次， 计算两组的秩和。 两个组别为独立的连续型随机变量总体， 可将两个组 X 和 Y 的评酒员分别记 为 x1 , x2 , ⋯, x m 和 y1 , y 2 , ⋯, y n 。记合样本容量为 N = m + n 。 假设两个总体 X 和 Y 的分布函数具有相同的形式，但不一定对称分布。 即假 设：
n
WY = ∑ R j .
j =1
同样定义 W X 为 X 样本 x1 , x2 , ⋯ x3 的秩之和， W X 和 WY 为 Wilconxon 秩和检 验统计量。运用 SAS 软件中的 npar1way 语句求解。 （3） 结果分析 对十个评酒员的评价数据进行分析，根据每一组评酒员对 28 种白葡萄酒 和 27 种红葡萄酒进行的评分结果，对四个组进行差异性分析。
2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行 公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表 等） 。
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白葡萄酒的评分当成四个总体，每一个总体有十个评酒员，每一个品酒员对 28 种红葡萄酒和 27 种白葡萄酒进行评价。为了验证两组评酒员对葡萄酒的评价结 果是否存在差异， 分别把红葡萄酒第一组评酒员和第二组评酒员对样品酒的评价 分数视为总体 R1 和 R 2 ，白葡萄酒的第一组评酒员和第二组评酒员对样品酒的评 价分数视为总体 W1 和 W2 ，把这四个总体之间是否存在差异转化为分别研究总体
R1 和 R 2 ， W1 和 W2 之间是否存在差异性的问题。我们的方法是，先用正态性检验
分析数据，再用非参数评价的差异。 2、正态性检验 由于两组葡萄酒的总体分布情况未知， 必须利用附件 1 中评酒员对酒的评价 样本参数来估计总体分布的参数，下面先考虑样本是否服从正态分布，并对四个 总体的样本做正态性检验，并采用均值检验或者方差检验。 （1）数据预处理 对数据进行正态检验前，先对数据进行标准化，标准化过程为：
五、 问题一建模与求解
1、问题分析 葡萄酒一直以评酒员的感官评价为标准， 但是人的主观感受是受天气， 环境， 体力等诸多因素的影响，甚至评酒员的个人品味也会使葡萄酒的评分存在差异。 为了减少这种差异，在现实的评酒过程中，往往通过邀请多个评酒员同时对同一 款酒进行评价打分，综合所有评酒员的评分得到比较合理的结果。 题中给出了两组评酒员分别对红葡萄酒和白葡萄酒的评价，分别从外观， 香 气，口感，平衡/ 整体四个方面对葡萄酒进行打分。将两组评酒员对红葡萄酒和