一单元知识点(倍数与因数)

第一单元倍数与因数
本单元学习目标：
1.掌握倍数和因数的意义。

2.掌握求一个数的倍数和因数的方法。

3.能运用倍数和因数的知识解决简单的数学问题。

4.熟练掌握并运用2 、3、5 的倍数的特征。

5.理解质数和合数的概念，并能判断一个数是质数还是合数。

6.学会用短除法分解质因数。

7.理解公因数和公倍数的概念，并能正确找两个数的公因数和公倍数。

8.学会用短除法求最大公因数和最小公倍数。

9.利用最大公因数和最小公倍数解决生活中的实际问题。

本单元知识点：
一、倍数、因数
（一）揭示自然数的概念
1.0和1，2，3，4，5……这些数都是自然数。

2.在自然数中，数与数之间有许多非常有趣的联系，让我们在非零自然数1，2，3，4，5，•••中找一找。

（二）例1讲解，从中引出因数和倍数的意义
假如a*b=c（a、b、c都是整数），那么我们称a和b 就是c的因数，称c为a和b的倍数。

4和9都是36的因数。

也可以说36是4和9的倍数。

强调倍数和因数不能单独存在！
易错题型：
1.因为18÷2=9，所以2是因数，18是倍数。

（解析：不对，因为倍数和因数不能单独存在。

）
2.36是0.4的倍数,0.4是36的因数。

（解析：不对，因为0.4是小数,在说因数和倍数时只限于非0自然数。

）
（三）讲解议一议和例2，找一个数的因数和倍数的方法1.找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大（从1开始）的顺序一组一组的找，这时，两个乘数都是积的因数。

2.找一个数的倍数，用这个数和非零自然数相乘（从1开始，
从小到大），所得的积就是这个数的倍数。

补充：
1.一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

2.一个数的倍数个数的无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

3.1是任一非零自然数的因数，也是任一非零自然数的最小因数。

4.除1以外的任何非零自然数至少有两个因数。

（1和它本身）
5.一个数的因数都小于或等于它本身，一个数的倍数都大于或等于它本身。

6.一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数。

典题精讲：
1.一个长方形的面积是18平方厘米，长和宽各可能是多少？（长和宽是整数厘米）
二、2、3、5的倍数特征
（一）2的倍数特征
1.2、4、6、8、10，…是2的倍数，它们是偶数（0也是偶数）。

2.1、3、5、7、9不是2的倍数，它们是奇数。

2.个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。

（凡是2的倍数都是偶数。

）
（二）5的倍数特征
个位上是0或5的数是5的倍数。

学以致用：
选出两张数字卡片,按要求组成一个数。

（0、5、6、7）
(1)组成的数是偶数;
(2)组成的数是5的倍数;
(3)组成的数既是2的倍数又是5的倍数。

补充：个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。

（三）3的倍数特征
一个数，如果各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

扩展：一个数，如果各数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。

（如18，各位数字和1+8=9是9的倍数，18也是9的倍数。

又如果1899三位数字之各1+8+9+9=27是9的倍数，1899也是9的倍数。

）
典题精讲：
（1）□里能填几？
3的倍数:6□ □13 2□5
填数方法：先把已经有的各个数位上的数字相加，看再加几能被3整除。

(2）下列数中3的倍数有（45、876）。

14 35 45 100 332 876 74 88
易错提醒：记住用各个数位相加的和要被3整除，
而不是个位数字被3整除！
（3）将10——30的自然数填在下面的圈内。

（3的倍数，5的倍数，既是3的倍数，又是5的倍数）
补充：同时为2、3、5倍数的数，其个位数是0，并且各数位的数字相加是3的倍数。

（最小的三位数是120，最大的三位数是990）
4.有一筐苹果，个数比20个多比40个少，如果每个人分2个正好分完，如果每人分5个也刚好分完，这筐苹果有多少个？
三、合数、质数
（一）合数、质数的概念
1.像2，11，29，…只有1和它本身两个因数的数，叫做质数(或素数）
2.像4，9，12，15,…除了1和它本身以外还有别的因数的数,叫做合数。

3.1 既不是质数，也不是合数。

补充：最小的质数是2，最小的合数是4。

20以内的所有质数：2、3、5、7、11、13、17、19。

典题精讲：
1.在括号里填上合适的质数
10=（）+（） 12=（）+（）
21=（）×（） 49=（）×（）
2.一个长方形的长和宽都是质数，并且周长是38cm，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？
3.两个质数的和是18，积是65，这两个质数是多少。

4.判断
所有的奇数都是质数。

（错）9
所有的偶数都是合数。

（错）2
在自然数中，除了质数以外都是合数。

（错）1
5.有一个五位数(15726)
万位上的数既不是质数也不是合数。

千位上的数比最小的合数多1。

百位上的数是10以内最大的素数。

十位上的数既是偶数，又是质数。

个位上的数是最小的两个连续质数的积。

（二）分解质因数
典题精讲：
1.把42分成质数相乘的形式
方法一：数枝法
方法二：短除法
用质数做除数，除到商是质数为止。

把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。

这些质数叫质因数。

2.把8，30写成质数相乘的形式
四、公因数、公倍数
（一）公因数和最大公因数
1.1,2,3,6是12和30公有的因数,叫做12和30的公因数。

其中6是最大的一个公因数,叫做它们的最大公因数。

补充：只有公因数1的两个数叫互质数。

2.用短除法求最大公因数的方法：
①把两个数写在短除法竖式内。

②用两个数公有的质因数作除数。

③最后除得两个数的商只有公因数1。

④把所有公有的质因数相乘，积就是这两个数的最大公因数。

典题精讲：
找出下面各组数的最大公因数
6和10 15和45 8和9 16和24
3.12,24,36,…是4和6公有的倍数,叫做4和6的公倍数。

12是公倍数中最小的,叫做4和6的最小公倍数。

3.用短除法求最小公倍数的方法：
①把两个数写在短除法竖式内。

②用两个数公有的质因数作除数。

③最后除得两个数的商只有公因数1。

④把两个数公有的质因数和独有质因数相乘，积就是这两个数的最小公倍数。

小结：利用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，有什么相同点？有什么不同点？
典题精讲：
找出下面各组数的最小公倍数
3和7 4和14 7和21 8和10
找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数
5和11 7和13 7和28 36和9
补充：
1.当两个数为互质数时，那么这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。

2.当两个数中较大数是较小数的倍数时，那么这两个数的最大公因数就是较小数，最小公倍数就是较大数。

应用题讲解：
1.有一堆水果，平均分给小朋友，不论分给8个小朋友还是12个小朋友都正好分完，这堆水果至少有多少个？
2.甲乙两人去图书馆，甲6天去一次，乙9天去一次，如果他们在3月16日相遇了，那么他们下一次相遇是几月几号？
3.花匠每4天给兰花浇一次水，每6天给菊花浇一次水，花匠今天给两种花同时浇了水，至少多少天后再同时给这两种花浇水。

4.如果把参加体育大课间活动的同学分成每组42人或是48人，都恰好分完，参加的同学至少有多少人
5.把16个橘子,20个苹果放篮子里，要求每个篮子里既有橘子又有苹果，且每个篮子里橘子的个数相同，苹果的个数也相同，请问最多要多少个篮子？
6.把长45厘米，30厘米的两根木棍锯成长度一样的小段且没有剩余，每小段最长是多少厘米？一共能锯成几段？
补充：
用最大公因数解题的条件：当题目里面问“最多可以分给”、“最大的”、“最长的”...
用最小公倍数解题的条件：当题目里面问“至少”、“最少在几天（几次）后，会再一次...”、“同时....”“下一次....”...。