24.2 一元二次方程 因式分解法
04-24.2 解一元二次方程-课时3 因式分解法九年级上册数学冀教版
（2）解法一 移项，得，即..解法二 移项，得.这里,,.,..
（3）整理方程，得.这里，，.，.，.过能力 学科关键能力构建 1.C
2.（1）解：这里，，.，，即，.（2）因式分解，得.移项、提公因式，得.或.，.
（3）移项，得，即..（4）因式分解，得,即.或.，.
2 023
【解析】 由，得 ， .
（2）解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么 ，于是原方程可变为，解得， .当时，， ；当时，， . 原方程的根为，，， .请你用（2）中的方法求出方程 的实数解.
解： ， .设 ， ， ，， .当时，，解得， ；当时， ，
， ， 此方程无实数解. 原方程的实数解为， .
5.解下列方程：
（1） ；
解：原方程可化为 ，即 .或， .
（2） .
解：原方程可变形为 ， ,即 .或， .
知识点3 用完全平方公式解一元二次方程
6.一元二次方程 的解是( )
C
A., B. C. D.,
【解析】 ，.解得 .
7.原创题方程 的解为( )
D
A., B., C. D.
3.,,解：方程左边分解因式，得.或.,.素养提升 4.（1）2 023
（2）解：，.设，，，，.当时，，解得，；当时，，，
， 此方程无实数解. 原方程的实数解为，.
24.2 解一元二次方程
课时3 因式分解法
过基础 教材必备知识精练
知识点1 型直接求解
1.[2023南充期中]方程 的解是( )
甲
乙
丙
两边同时除以 ，得 方程的解为 .
冀教版九年级上册数学第24章 一元一次方程 因式分解法
(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根为 x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙 两名同学的说法，下列判断正确的是( A )
A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都正确
D．甲、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ都错误
7． (2019·江 苏 扬 州 ) 一元二次 方程 x(x－ 2)＝ x－ 2 的 根 是 __x_1＝___2_，__x_2＝__1____．
解：x2－( 2＋ 3)x＋ 6＝0， (x－ 2)(x－ 3)＝0. ∴x1＝ 2，x2＝ 3.
(3)(2x＋1)2－3(2x＋1)－28＝0.
解：(2x＋1)2－3(2x＋1)－28＝0， [(2x＋1)－7][(2x＋1)＋4]＝0， (2x－6)(2x＋5)＝0. ∴x1＝3，x2＝－52.
当－2≤x＜－1 时，12x2＝－2，方程没有实数解； 所以方程[x]＝12x2 的解为 0 或 2.
【答案】A
12．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线
上．
①2(x－1)2＝6；
②(x－2)2＋x2＝5；
③(x－2)(x－4)＝4； ④x2－3x－1＝0；
⑤x2－ 2x＋14＝0； ⑥x2＋3x＝0. (1)直接开平方法：___①_____； (2)配方法：__②__③____；
15．已知关于 x 的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，x＝3 是方程的 一个根．
(2)一个三角形的三边长是此方程的根，求这个三角形的周长．
解：∵三角形的三边长都是这个方程的根， ∴①当三边长都为 1 时，周长为 3； ②当三边长都为 3 时，周长为 9； ③当两边长为 3，一边长为 1 时，周长为 7； ④当两边长为 1，一边长为 3 时，不满足三角形三边关系，不能 构成三角形． ∴这个三角形的周长为 3 或 9 或 7.
24.2一元二次方程解法-因式分解法
年级：九科目：数学课题：24.2一元二次方程解法－因式分解法
课型：新授课使用时间：2015.9主备人：李素香主审人：王淑娴班级
知识技能目标
1、熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。
2、通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想
方法情感目标
事物间的相互转化思想．
重点
用因式分解法解一元二次方程
这一方法可写成如下形式：
1 p
1 q
p＋q
我们把这种方法称为十字相乘法，用它解决型”x2+(p+q)x+pq”式子的因式分解问题非常方便。
试把下列式子分解因式：
(1)x2-5x-6=0 (2)x2+13x+40=0
预期目的：提高一部分学生的阅读理解能力，增强知识的深度
(2)4(x-3)2=15x-45
（3）这节课还存在的疑问。
难点
正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0（A、B表示两个因式）
教法
指导阅读法，讲练结合法
学法
类比学习法，小组讨论与自主学习相结合
一、创设情境，激情导入：
1．因式分解：
(1)16x2-25 =
(2) 3x2+2x=
(3)(2x-3)2-x(2x-3)=
2.若AB=0，则A=________或B=________．
4.例题讲解：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例5：用因式分解法解下列方程：
(1)2x2-5x=0
六、当堂检测，巩固升华：
1、5x2+15x=0 2、x（x-5）=3x
3、2x3-x=0 4、2x（x-1）=1-x
5、9x2=46、5x(x+2)=4x+8
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是学生掌握数学思想方法的重要环节。
这部分内容主要让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法、降次法等。
通过这部分的学习，让学生能够灵活运用各种方法解决实际问题，培养学生解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生能够灵活运用所学知识，进行逻辑推理和运算。
在学生的学习过程中，可能会遇到解法不明确、运算不熟练等问题。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法、降次法等。
2.培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑推理能力和运算能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法。
2.教学难点：一元二次方程的解法在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
通过设计具有挑战性的问题，引导学生独立思考，小组讨论，共同探索解决问题的方法。
同时，结合具体案例，让学生在实际问题中运用一元二次方程的解法，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，用于引导学生思考和讨论。
2.准备一元二次方程的解法演示课件，用于讲解和展示解题过程。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元一次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
同时，引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）通过课件展示一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法、降次法等。
讲解解题过程，让学生明确各种解法的步骤和应用场景。
3.操练（15分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
《解一元二次方程因式分解法》PPT课件
- .
24．2 解一元二次方程 因式分解法
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边化为零；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的________；(3)令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的________．
a＝1
24．2 解一元二次方程 因式分解法
17．(12分)已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程：x2－1＝0①x2＋x－2＝0②x2＋2x－3＝0③…… x2＋(n－1)x－n＝0○n(1)请解上述一元二次方程①、②、③、○n ；(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
0，15或－15等(答案不唯一)
7
24．2 解一元二次方程 因式分解法
15．(10分)用恰当的方法解下列方程．(1)(x＋3)(x－4)＝－12； (2)(2x－1)2－4(2x－1)＝12.
(1)x1＝0，x2＝1
24．2 解一元二次方程 因式分解法
16．(8分)已知关于x的一元二次方程(a＋4)x2＋3x＋a2＋3a－4＝0的一个根为0，求a的值．
x1＝23，x2＝－21
D
24．2 解一元二次方程 因式分解法
9．(4分)方程的较简单的解法是( )A．因式分解法 B．公式法 C．配方法 D．直接开平方法 【易错盘点】
A
24．2 解一元二次方程 因式分解法
10．(2013·宜宾)已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值是( )A．－3 B．3 C．0 D．0或311．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是( )A．11 B．11或13C．13 D．11和13
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了有理数的运算、方程的解法等知识的基础上进行学习的。
这部分内容主要是让学生掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等。
这些解法不仅是解决一元二次方程的关键，也是进一步学习高中数学的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的解法，他们可能还停留在机械记忆和简单应用的层面，对于解法的原理和适用范围可能还不够清楚。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生理解一元二次方程解法的原理，提高他们的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等，并能灵活运用。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等环节，培养学生解决实际问题的能力，提高他们的数学思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、严谨求实的科学态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法及其应用。
2.教学难点：一元二次方程解法的原理和适用范围。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导等教学方法，让学生在探究中学习，提高他们的数学思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片等教学手段，帮助学生直观地理解一元二次方程的解法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元一次方程的解法，引导学生思考如何解决一元二次方程。
2.自主学习：让学生自主探究一元二次方程的解法，总结解法步骤和原理。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解法，互相学习和借鉴。
4.教师引导：教师通过提问、解答疑问等方式，引导学生深入理解一元二次方程的解法。
5.练习巩固：布置一些练习题，让学生运用所学的解法进行解答，巩固知识。
九年级数学上一元一次方程24.2解一元二次方程第3课时因式分解法目标二解一元二次方程习题冀教
解：设x2＋y2＝n(n≥0)， 则原方程可化为(n＋1)(n－3)＝5， 解得n1＝－2(舍去)，n2＝4， 则x2＋y2＝4.
(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，求 代数式x2－x＋1的值．
解：设x2－x＝m，则方程可化为m2－4m－12＝0. 解得m1＝6，m2＝－2.即x2－x＝6或x2－x＝－2. x2－x＋2＝0中，b2－4ac＝(－1)2－4×2×1＝－7 ＜0，此方程无实数根．故x2－x＝6. ∴x2－x＋1＝6＋1＝7.
错解：C
诊断：设x2＋x＋1＝y， 则已知等式可化为y2＋2y－3＝0， 分解因式得(y＋3)(y－1)＝0， 解得y1＝－3，y2＝1. 当y＝－3时，x2＋x＋1＝－3无实数根；当y＝1时，x2 ＋x＋1＝1有实数根．本题易因未讨论满足x2＋x＋1＝ y的实数x是否存在而错选C.
5．【教材P44习题A组T2变式】用适当的方法解下
∴x1＝74，x2＝54. 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化 的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)x4－x2－6＝0；
解：设 x2＝y，原方程可化为 y2－y－6＝0， 整理得(y－3)(y＋2)＝0，解得 y1＝3，y2＝－2. 当 y＝3 时，即 x2＝3，∴x＝± 3； 当 y＝－2 时，x2＝－2，无解． ∴原方程的解为 x1＝ 3，x2＝－ 3.
(2)(x2－2x)2－5x2＋10x－6＝0.
解：设 x2－2x＝y，原方程可化为 y2－5y－6＝0， 整理得(y－6)(y＋1)＝0，解得 y1＝6，y2＝－1. 当 y＝6 时，即 x2－2x＝6， 解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7； 当 y＝－1 时，即 x2－2x＝－1，解得 x3＝x4＝1. 综上所述，原方程的解为 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7，x3＝x4＝1.
解一元二次方程.2解一元二次方程因式分解法
教学目标： 1.会用因式分解法解一 些一元二次方程。 2.能根据具体一元二次 方程的特征，灵活选择 方程的解法。
复习引入: 1.已学过的一元二次方程解 法有哪些？ 2.请用已学过的方法解方程 x2 －2x=0
x 2x 0
2
x( x 2) 0.
x x 2 0
把一元二次方程的一边化为0，另一边分 解成两个一次因式的乘积，进而转化为求两个 一元一次方程的解.
因式分解法
用因式分解法解下列方程：
(1) x 7 x 0； 1 2 (2) x x； 2 2 (3)4 x 9 0；
2
(4) x 2 x 1 0.
2
(3)3x 2 9 x 4； 2 (4)4 x 12x 5 0.
2
两个正方形的面积之和为100cm2.已知一个正 方形的边长比另一个正方形边长的2倍还少10cm， 求这两个正方形的边长.
课本第44页B组习题1、2
(4)2( x 1) 3( x 1) 0.
2
解一元二次方程的方法有哪几种？根据你学习 的体会，谈谈通常你是如何选择解法的，并与同学 交流.
公式法是解一元二次方程的通法.
请用适当的方法解下列方程：
(1)( x 2) 2 x 4； 2 (2)(3x 1) 4 0；
2
例5
用因式分解法解下列方程：
2 2
(1)3( x 1) 2( x 1)； (2)( x 5) 49.
解：（1）原方程可化为
3( x 1) 2( x 1) 0， ( x 1)(3x 5) 0.
一元二次方程的解法——因式分解法
一元二次方程的解法——因式分解法
第二十四章一元二次方程与二次函数
一一元二次方程
24．2（1）一元二次方程的解法--因式分解法
教学目标：
1．明确具备什幺条件的一元二次方程可适用因式分解法；
2．熟练正确地运用因式分解法解一元二次方程；
3．掌握用因式分解法解一元二次方程的依据：AB = 0 可得A = 0 或B = 0；
4．能把已知两数作为方程的两根来求作一个一元二次方程。
教学重点：熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。
教学难点：能灵活地应用因式分解法解一元二次方程。
教学过程：
一、引入新课：
你能解决这个问题吗？
一个数的平方与这个数的3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
小明是这样解的：
解设这个数是x.
依题意得：x2 = 3x
两边同时约去x，得x = 3
∴这个数是3
这个解法正确吗？答：不正确。
解设这个数是x.。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法汇总1．直接开方法解一元二次方程(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：（点击图片可放大阅览）要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤:①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：（点击图片可放大阅览）类型二、因式分解法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．（点击图片可放大阅览）【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
冀教版数学九年级上册24.2.3-因式分解法-预学检验+课堂导学(含答案)
第二十四章 一元二次方程24. 2 解一元二次方程第3课时 因式分解法1．如果a·b＝0，那么a＝________或b＝________．2．你学过的因式分解中的平方差公式：a2－b2＝____________；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝________．3．分解因式：(1)x2－2x＝______________；(2)2a(x－y)－(x－y)＝______________；(3)2x2－4x＋2＝______________．1．把一元二次方程的一边化为__________，另一边分解成两个________________的乘积，进而转化为两个______________方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．[2023宿迁月考]方程x(x－1)＝0的根是( )A．x＝0 B．x＝1C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝－13．[2023邯郸期末]用因式分解法解一元二次方程(x－1)2－4＝0时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是x－1＋2＝0，则另一个方程是________________，一元二次方程(x－1)2－4＝0的解是______________．4．解方程：(1)(x－1)2－16＝0； (2) x(x－7)＝8(7－x)； (3)(x－1)2＝2x(1－x)．知识点1 用因式分解法解一元二次方程解方程：(1)a2＋a＝0；(2)(y－1)2＝2y(y－1)；(3)16(x－7)2－9(x＋2)2＝0.变式1用因式分解法解下列方程：(1)(x－1)2＝2x(1－x)；(2)(x－1)2－4＝0；(3)x2－4 2x＋8＝0. 知识点2 用适当的方法解一元二次方程用适当的方法解下列方程：(1)x2－4x－7＝0；(2)2x2－7x－2＝0；3(3)2(x－3)2＝3(x－3)．变式2用适当的方法解下列方程：(1)(2x＋3)2－25＝0；(2)x2－2x＝2x＋1；(3)(x＋2)2＝3(x＋2)．5答案第二十四章 一元二次方程24. 2 解一元二次方程第3课时 因式分解法1．0；0 2.(a ＋b )(a －b )；(a ±b )23．(1)x (x －2) (2)(x －y )(2a －1) (3)2(x －1)21．0；一次因式； 一元一次2．C 3.x －1－2＝0；x 1＝－1，x 2＝34．解：(1)x 1＝5，x 2＝－3.(2)x 1＝7，x 2＝－8. (3)x 1＝1，x 2＝13.例1 解：(1)a 2＋a ＝0，因式分解，得a (a ＋1)＝0，∴a ＝0或a ＋1＝0，∴a 1＝0，a 2＝－1.(2)整理，得(y －1)2－2y (y －1)＝0，因式分解，得(y －1)(y －1－2y )＝0，∴y －1＝0或y －1－2y ＝0，∴y 1＝1，y 2＝－1.(3)16(x－7)2－9(x＋2)2＝0，整理，得[4(x－7)]2－[3(x＋2)]2＝0.因式分解，得[4(x－7)＋3(x＋2)][4(x－7)－3(x＋2)]＝0，∴(7x－22)(x－34)＝0，∴x1＝227，x2＝34.变式1.解：(1)(x－1)2＝2x(1－x)，(x－1)2＋2x(x－1)＝0，(x－1)(x－1＋2x)＝0，x－1＝0或x－1＋2x＝0，∴x1＝1，x2＝1 3 .(2)(x－1＋2)(x－1－2)＝0，(x＋1)(x－3)＝0，∴x1＝－1，x2＝3.(3)x2－4 2x＋8＝0，(x－2 2)2＝0，∴x1＝x2＝2 2.例2 解：(1)x2－4x－7＝0，移项，得x2－4x＝7，配方，得x2－4x＋4＝11，即(x－2)2＝11，两边开平方，得x－2＝±11，7∴x 1＝2＋11，x 2＝2－11.(2)2x 2－7x －2＝0，这里a ＝2，b ＝－7，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝49＋16＝65，∴x ＝7±652×2＝7±654，∴x 1＝7＋654，x 2＝7－654.(3)2(x －3)2＝3(x －3)，2(x －3)2－3(x －3)＝0，(x －3)(2x －6－3)＝0，∴x －3＝0或2x －9＝0，∴x 1＝3，x 2＝92.变式2. 解：(1)(2x ＋3)2－25＝0，移项，得(2x ＋3)2＝25，∴2x ＋3＝5或2x ＋3＝－5，∴x 1＝1，x 2＝－4.(2)移项，得x 2－4x ＝1，配方，得x 2－4x ＋4＝1＋4，即(x －2)2＝5，两边开平方，得x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－5.(3)(x ＋2)2＝3(x ＋2)，原方程可化为(x＋2)2－3(x＋2)＝0，∴(x＋2)(x＋2－3)＝0，∴x＋2＝0或x＋2－3＝0，∴x1＝－2，x2＝1.。
因式分解法解一元二次方程
第四讲 一元二次方程的解法通过因式分解，把方程变形为(-)(-)0a x m x n =，则有=x m 或x n =。
步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③另每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，他们的解救是原方程的根。
注：（1）因式分解常用的方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法。
①提公因式法：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式 ②公式法：平方差公式：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）完全平方公式：a 2+2ab+b 2=（a+b ）2; a 2－2ab+b 2=（a －b ）2.（2）此法克拓展应用于求解高次方程。
【例1】用因式分解法解下列方程(1) (2x-1)2-x 2=0 (2) (x-3)-x(x-3) =0(3) y 2＋7y ＋6＝0； （4）0)32(2)32(32=---x x【变式练习】解下列方程(1) 4(3x+1)2-9=0 (2) 5(2x-1)=(1-2x)(x+3)（3）035122=+-x x （4）06)3(5)3(2=++-+x x【例2】解下列方程（1）42-6+5=0x x （2）20x x +=（3）24(-3)(-3)0x x x += （4）22()(-2)24x x x x ++=【变式练习】解下列方程(1)2(1)230x x +++= (2)2(32)-6(32)90x x +++=(3)(-3)(4)-12t t += (4)(-5)(3)(6)-17x x x x +++=【例3】解关于x 的方程：222-2++=0x ax a b【例4】已知：2++=14x xy y ，228y xy x ++=，求+x y 的值。
（1）方程23(4-9)-2(2-3)0x x =的解是 ； （2）已知：22-2-3=0x xy y (0,0)x y ≠≠，则代数式2+32x yy= ； （3）已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．（4）已知c 为实数，并且方程2+3+=0x x c 的一根的相反数是方程2+3-=0x x c 的一根，求方程2+3-=0x x c的根和c 的值。
一元二次方程(因式分解法)
一元二次方程（因式分解法）【知识要点】1、 分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
2、分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。
【典型例题】例1、（1）方程)2(2)2)(1(+=+-x x x 的根是__________ （2）方程0)3)(2)(1(=-+-x x x 的根是__________ 例2、 用分解因式法解下列方程（1）0632=-x x （2）)5(2)5(32x x -=-（3） 0122=+-x x （4）4842-=+x x（5） 0)3()23(22=+-+x x （6）22)6(16)3(49+=-x x（7）0625412=-+x x （8）(x －1)2－4(x －1)－21＝0．例3、2－3是方程x 2+bx －1=0的一个根，则b =_________，另一个根是_________. 例4、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 （ ） 21331D.2 31321C.2 31B.3 21A.2或或例5、解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2+4abx ＝a 2－b 2．例6、x 为何值时，等式0232222=--+--x x x x【经典练习】填空题1、用因式分解法解方程9=x 2-2x+1 (1)移项得 ；(2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得 ； (3)将方程左边分解成两个一次因式之积得 ； (4)分别解这两个一次方程得x 1 = ， x 2= 。
2、（1）方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．3、（1）用因式分解法解方程5（x+3）-2x （x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程和 求解。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别代表不为零的实数常数。
解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
下面将逐一介绍这些解法。
一、因式分解法当一元二次方程的因式分解形式为(x + m)(x + n) = 0时，方程的解即为x = -m和x = -n。
通过因式分解法求解一元二次方程的具体步骤如下：1. 将方程移项，将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。
2. 如果方程可以因式分解为两个一次式的乘积，即可直接得到方程的解。
3. 如果方程无法因式分解，可以通过配方法或求根公式等其他方法求解。
二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，通过配方法将其变形为(a'x + p)(b'x + q) = 0的形式，从而得到方程的解。
具体步骤如下：1. 将方程移项，将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。
2. 根据配方法的原则，首先将方程中二次项的系数a拆分为两个数m和n，使得a = m * n，并保证m + n等于一次项的系数b。
3. 将方程进行变形，得到(ax^2 + mx + nx + c = 0)。
4. 对方程进行因式分组，将前两项和后两项分组并提取公因式，得到((ax^2 + mx) + (nx + c) = 0)。
5. 分别对括号中的项进行因式分解，得到(x(a + m) + (n + c) = 0)。
6. 化简方程，继续合并同类项，得到(x(a + m) + (n + c) = 0)。
7. 根据方程(x(a + m) + (n + c) = 0)，可得到方程的解。
三、求根公式法求根公式法是一种比较常用的解一元二次方程的方法，通过求解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到方程的解。
求根公式法的具体步骤如下：1. 将方程移项，将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。
解一元二次方程--因式分解法
(2x +1)(2x −1) = 0.
4x2 −1 = 0,
例4、用分解因式法解方程 、用分解因式法解方程: (1)5x (2)x-2=x(x(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2);
(1)解: 5x − 4x = 0,
2
∴x = 0,或 x − 4 = 0. 5
4 ∴x1 = 0; x2 = . 5
问题1 问题
你学过哪几种解一元二次方程的方法? 你学过哪几种解一元二次方程的方法 解一元二次方程的方法 (1)直接开平方法 x2=a (a≥0) 直接开平方法: 直接开平方法 (2)配方法 配方法: 配方法
(x+h)2=k (k≥0)
2
−b ± b − 4ac 2 (3)公式法 x = 公式法: 公式法 . b − 4ac ≥ 0 . 2a
(
)
问题2、什么叫分解因式 什么叫分解因式? 什么叫分解因式
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式. 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式 整式乘积的形式叫做分解因式
问题3、分解因式的方法有那些 的方法有那些? 问题 、分解因式的方法有那些 （1）提取公因式法: ）提取公因式法 am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法 ）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2. ± x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
提示: 提示: 1.用分解因式法的条件是 方程左边易于分解, 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 关键是熟练掌握因式分解的知识 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 理论依旧是 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零. 少有一个因式等于零.”
《解一元二次方程公式法》PPT课件
第二十四章 解一元二次方程
24.2 解一元二次方程
第3课时 因式分解法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.回顾因式分解的相关知识. 2.学会用因式分解法解一元二次方程. (重点、难点)
导入新课
观察与思考
问题 一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次 方程的解的方法有哪些？
ax2 bx c 0（a≠0）
24．2 解一元二次方程 公式法
12．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是2x2－8x＋7＝
0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是( B )
A. 3 B．3 C．6
D．9
13．已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根
是( C )
A．1 B．2 C．－2 D．－1
24．2 解一元二次方程 公式法
适合运用公式法 ① ⑦ ⑧
；
适合运用配方法 ④
.
2.解下列一元二次方程： （1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解： (1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0,
∴x=0 或3x－17=0
解得
x1=0,
x2=
17 3
则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3.
(2)同上可得x1=0.8，x2=-0.8. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式 分解法.
归纳 因式分解法的基本步骤是： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； 将方程的左边分解因式； 根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两 个一元一次方程.
用因式分解法解一元二次方程详细
用因式分解法解一元二次方程【主体知识概括】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式时，比如，x 2－ 9＝0，这个方程可变形为 ( ＋ 3)( － 3) ＝ 0，要 ( x ＋ 3)( x －3) 等于 0，一定并且只需 ( x ＋ 3) 等于 0 或( x － 3) 等于 0，x x所以，解方程 ( x ＋ 3)( x － 3) ＝ 0 就相当于解方程 x ＋ 3＝ 0 或 x －3＝ 0 了，经过解这两个一次方程便可获得 原方程的解．这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的重点是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论依据是：若A ·B ＝0 A ＝ 0 或B ＝ 0．【基础知识解说】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0 的时候， 才能应用因式分解法解一元二 次方程．分解因式时，要依据状况灵巧运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法能够说是通法，即能解任何一个一元二次 方程．但对某些特别形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简易，有的用因式分解法简易．所以，在碰到一道题时， 应选择适合的方法去解． 配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实质解一元二次方程时， 一般不用配方法．而在此后的学习中，会经常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例 1：用因式分解法解以下方程：(1)y 2＋7 ＋ 6＝ 0； (2)t (2 t － 1) ＝ 3(2 t － 1) ；(3)(2 x －1)( x － 1) ＝ 1．y解：(1) 方程可变形为 ( y ＋ 1)( y ＋ 6) ＝ 0， y ＋ 1＝ 0 或 y ＋ 6＝ 0，∴ y 1＝－ 1， y 2＝－ 6． (2) 方程可变形为 t (2 t －1)－3(2 t －1)＝0，(2 t －1)( t －3)＝0，2t －1＝0或 t －3＝0，∴ t 1＝1， t 22＝ 3．(3) 方程可变形为 2x 2－ 3x ＝0．x (2 x － 3) ＝ 0，x ＝ 0 或 2x － 3＝ 0． ∴ x 1＝0， x 2＝3．2说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，假如左侧的代数式能够 分解为两个一次因式的乘积，而右侧为零时，则可令每一个一次因式为零，获得两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如 ( x－a)( x－b) ＝c的方程，其左侧是两个一次因式之积，但右侧不是零，所以应转变为形如( x－e)( x－f ) ＝0 的形式，这时才有x1＝ e， x2＝ f ，不然会产生错误，如(3) 可能产生以下的错解：原方程变形为：2x－ 1＝1 或x－ 1＝ 1．∴x1＝ 1，x2＝ 2．(3) 在方程 (2) 中，为何方程两边不可以同除以(2 t－1) ，请同学们思虑？例 2：用适合方法解以下方程：(1) 3 (1－ x)2＝ 27 ；(2) x2－6x－19＝0；(3)3 x2＝4x＋1；(4) y2－15＝2y；(5)5 x( x－3)－( x－3)( x＋1) ＝ 0；(6)4(3 x＋ 1) 2＝ 25( x－ 2) 2．解析：方程 (1) 用直接开平方法，方程(2) 用配方法，方程(3) 用公式法，方程(4) 化成一般式后用因式分解法，而方程(5) 、 (6) 不用化成一般式，而直接用因式分解法就能够了．2 ＝9 ，( x－1) 2 ＝ 3，x－ 1＝±3 ，∴ x ＝1＋ 3 ， x ＝1－ 3 ．解： (1)(1 － x)1 2(2) 移项，得x 2－ 6 ＝ 19，配方，得x2－ 6x＋ ( － 3) 2＝ 19＋( － 3) 2， ( － 3) 2＝ 28，－ 3＝± 27，x x x∴ x1＝3＋2 7 ， x2＝3－2 7 ．(3)移项，得 3x2－4x－ 1＝0，∵ a＝3， b＝－4， c＝－1，∴ x＝( 4)( 4)2 43 ( 1) 2 7 ，2 3 3∴ x1＝2 7，x2＝27 ．3 3(4) 移项，得y2－ 2y－ 15＝0，把方程左侧因式分解，得( y－ 5)( y＋ 3) ＝ 0；∴ y－5＝0或 y＋3＝0，∴ y1＝5， y2＝－3．(5)将方程左侧因式分解，得 ( x－ 3) ［ 5x－( x＋ 1) ］＝ 0， ( x－ 3)(4 x－ 1) ＝ 0，∴ x－3＝0或4x－1＝0，∴x1＝3， x2＝1．4(6)移项，得 4(3 x＋ 1) 2－ 25( x－ 2) 2＝ 0，［ 2(3 x＋ 1) ］2－［ 5( x－ 2) ］2＝ 0，［2(3 x＋ 1) ＋ 5( x－ 2) ］·［ 2(3 x＋ 1) － 5( x－2) ］＝ 0，(11 x－8)( x＋ 12) ＝ 0，∴11x－ 8＝ 0 或x＋ 12＝ 0，∴x1＝8，x2＝－ 12．11说明： (1) 对于无理系数的一元二次方程解法同有理数同样，只可是要注意二次根式的化简．(2) 直接因式分解就能转变成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这类形式的方程就不用要整理成一般式了．例 3: 解对于x的方程： ( a2－b2) x2－ 4abx＝a2－b2．解： (1) 当a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b｜时，方程为－4abx＝ 0．当 a＝b＝0时， x 为随意实数．当｜a｜＝｜ b｜≠0时， x＝0．(2)当 a2－ b2≠0，即 a＋ b≠0且 a－ b≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［ ( a＋b) x＋ ( a－b) ］［ ( a－b) x－ ( a＋b) ］＝ 0，∵ a＋ b≠0且 a－ b≠0，∴ x1＝b a， x2＝ab ．a b a b说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不一样状况分别求解．此题其实是分三种状况，即①a＝ b＝0；②｜ a｜＝｜ b｜≠0；③｜ a｜≠｜ b｜．2 2x 2 2xy 5 y 2例 4: 已知x－xy－ 2y＝ 0，且x≠ 0，y≠ 0，求代数式x 2 2xy 5 y 2 的值．解析：要求代数式的值，只需求出 x、y 的值即可，但从已知条件中明显不可以求出，要求代数式的分子、分母是对于 x、 y 的二次齐次式，所以知道x 与 y 的比值也可．由已知x2－ xy－2y2＝0因式分解即可得 x 与 y 的比值．解：由 x2－ xy－2y2＝0，得( x－2y)( x＋y)＝0，∴ x－2y＝0或 x＋y＝0，∴ x＝2y 或 x＝－ y．当 x＝2y 时，x22xy 5y 2 (2y) 2 2 2y y 5y 2 5y 2 5 ．x 2 2xy 5y 2 (2y ) 2 2 2y y 5y 2 13y 2 13当 x＝－ y 时，x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 2 2y 2 1．x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 4y 2 2说明：因式分解法表现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不单可用来解一元二次方程，并且在解一元高次方程、二元二次方程组及相关代数式的计算、证明中也有着宽泛的应用．【同步达纲练习】 1．选择题(1) 方程 ( x － 16)(x ＋8)＝0的根是 ()A ．x 1＝－ 16，x 2＝ 8B ．x 1＝ 16，x 2＝－ 8C ．x 1＝16，x 2＝ 8D ．x 1＝－ 16，x 2＝－ 8(2) 以下方程 4x 2－3x － 1＝0， 5x 2－ 7x ＋ 2＝ 0，13x 2－ 15x ＋2＝ 0 中，有一个公共解是 ( )A ．． x ＝1B ． x ＝ 2C ． x ＝ 1D ．x ＝－ 12(3) 方程 5 x ( x ＋3) ＝ 3( x ＋ 3) 解为 ( )1＝ 3 2B ． x ＝ 3A ． x 5 ， x ＝ 35C ． x 1＝－ 3， x 2＝－ 3D ． x 1＝ 3， x 2＝－ 355(4) 方程 ( y － 5)( y ＋ 2) ＝1 的根为 ( )A ． y 1＝5， y 2＝－ 2B ． y ＝ 5C ． y ＝－ 2D ．以上答案都不对(5) 方程 ( x － 1) 2－4( x ＋ 2) 2＝ 0 的根为 ( )A ． x 1＝1， x 2＝－ 5B ． x 1＝－ 1， x 2＝－ 5C ． x 1＝ 1， x 2＝ 5D ． x 1＝－ 1， x 2＝ 5(6) 一元二次方程 x 2＋ 5x ＝ 0 的较大的一个根设为 m ， x 2－ 3x ＋ 2＝ 0 较小的根设为 n ，则 m ＋ n 的值为( )A ． 1B ． 2C ．－ 4D ． 4(7) 已知三角形两边长为4 和 7，第三边的长是方程x 2－ 16x ＋ 55＝ 0 的一个根，则第三边长是( ) A ． 5 B ． 5 或 11 C ． 6D ． 11(8) 方程 x 2－3| x －1|＝1的不一样解的个数是( ) A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 2．填空题(1) 方程 t ( t ＋3)＝28的解为_______．(2) 方程 (2 x ＋ 1) 2＋ 3(2 x ＋1) ＝ 0 的解为 __________ ． (3) 方程 (2 y ＋ 1) 2＋ 3(2 y ＋1) ＋ 2＝ 0 的解为 __________．(4)对于 x 的方程 x2＋( m＋n) x＋ mn＝0的解为__________．(5)方程 x( x－ 5 )＝ 5 － x 的解为__________．3．用因式分解法解以下方程：(1) x2＋12x＝ 0；(2)4 x2－ 1＝ 0；(3) x2＝ 7x；(4) x2－4x－ 21＝0；(5)(x－1)( x＋3)＝12；(6)3 x2＋ 2x－ 1＝ 0；(7)10 x2－x－ 3＝0；(8)(x－1)2－4( x－1)－21＝0．4．用适合方法解以下方程：(1) x2－4x＋ 3＝ 0；(2)(x－2)2＝256；(3) x2－ 3x＋ 1＝0；(4) x2－2x－ 3＝ 0；(5)(2 t＋ 3) 2＝ 3(2 t＋ 3) ；(6)(3 －y) 2＋y2＝ 9；(7)(1 ＋2 ) x2－(1－2 ) x＝0；(8) 5 x2－ (5 2＋ 1) x＋10 ＝0；(9)2 x2－8x＝ 7( 精准到 0．01) ； (10)( x＋ 5) 2－2( x＋ 5) － 8＝ 0．5．解对于x 的方程：(1) x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2) x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；2222(3) x －2mx － 8m ＝ 0； (4) x ＋ (2 m ＋ 1) x ＋ m ＋ m ＝0． 6．已知x 2＋ 3xy －4y 2＝ 0( y ≠ 0) ，试求x y的值．x y7．已知 ( x 2＋y 2)( x 2－ 1＋y 2) － 12＝ 0．求x 2＋y 2的值． 8．请你用三种方法解方程：x ( x ＋12)＝864．9．已知x 2＋ 3x ＋ 5 的值为 9，试求 3x 2＋ 9x － 2 的值．10．一跳水运动员从 10 米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系 式 h ＝－5( t －2)( t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程 ( x 2－ 1) 2－ 5( x 2－1) ＋ 4＝0，我们能够将 x 2－1 视为一个整体，而后设x 2－ 1＝ y ，则 y 2＝( x 2－ 1) 2，原方程化为2－ 5 ＋ 4＝0，解此方程，得y 1＝ 1， y 2＝ 4．y y当 y ＝1时， x 2－1＝1， x 2＝2，∴ x ＝±2 ．当 y＝4时， x2－1＝4， x2＝5，∴ x＝± 5 ．∴原方程的解为 x1＝－ 2 ， x2＝ 2 ， x3＝－ 5 ， x4＝ 5 ．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，表现了转变的思想．(1)运用上述方法解方程： x4－3x2－4＝0．(2)既然能够将 x2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参照答案【同步达纲练习】1． (1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2． (1) t 1＝－ 7，t 2＝ 4(2) x 1＝－1 2， 2＝－2(3) y 1＝－1， y 2＝－3 (4) x 1＝－ ， 2＝－ n (5) x 1＝ 5 ， 2＝－1 x 2m x x3．(1) x 1＝0，x 2＝－ 12；(2) x 1＝－1，x 2＝1；(3) x 1＝0，x 2＝ 7；(4) x 1＝ 7，x 2＝－ 3；(5) x 1＝－ 5，x 2＝3；(6) x 1＝－ 1，22x 2＝1；3(7) x 1＝3，x 2＝－1；(8) x 1＝8， x 2＝－2．524． (1) x 1＝ 1， x 2＝ 3； (2) x 1＝ 18， x 2＝－ 14； (3) x 1＝35， x 2 ＝35； (4) x 1 ＝3， x 2＝－ 1；22(5) t 1＝0， t 2＝－3； (6) y 1＝ 0，y 2 ＝ 3； (7) x 1＝ 0，x 2＝ 22 － 3；2(8) x1＝5 x2＝ 10； (9) x 1≈， x 2＝－； (10)xx＝－ 7． ，1＝－ 1，255． (1) x 2－ 4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，( x － 2a ) 2＝ ( a － 1) 2， ∴ x －2a ＝±( a －1)，∴ x 1＝3a －1， x 2＝ a ＋1．(2) x 2＋(5－2k ) x ＋ k 2－5k －6＝0， x 2＋(5－2k ) x ＋( k ＋1)( k －6)＝0， ［ x －( k ＋1)］［ x －( k －6)］＝0， ∴ x 1＝ k ＋1，x 2＝( k －6)．(3) x 2－2 ＋ 2＝ 9 2 ，( x － ) 2＝ (3 ) 2mx m m m m ∴ x 1＝4m ， x 2＝－2m(4) x 2＋(2 m ＋1) x ＋m ( m ＋ 1) ＝ 0， ( x ＋m ) ［x ＋ ( m ＋ 1) ］＝ 0，∴ x 1＝－ m ，x 2＝－ m －16． ( x ＋ 4y )( x －y ) ＝ 0，x ＝－4y 或 x ＝y当 x＝－4y 时，xy ＝ 4 y y 5 ；x y 4 y y 3当 x＝ y 时，xy ＝ yy＝ 0．x y y y7． ( x2＋y2)( x2＋y2－ 1) － 12＝ 0，( x2＋y2 ) 2－ ( x2＋y2) －12＝0，( x2＋y2－ 4)( x2＋y2＋ 3) ＝ 0，∴ x2＋ y2＝4或 x2＋ y2＝－3(舍去)8．x1＝－ 36，x2＝ 249．∵x2＋ 3x＋ 5＝9，∴x2＋ 3x＝ 4，∴3x2＋9x－2＝ 3( x2＋ 3x) － 2＝ 3×4－ 2＝ 10 10． 10＝－ 5( t－ 2)(t ＋1)，∴ t ＝1( t ＝0舍去) 11． (1)x1＝－2，x2＝2(2)(x2－2)( x2－5)＝0，( x＋2 )(x－ 2 )(x＋ 5 )(x－5 )＝0。
24.2 解一元二次方程 - 第3课时因式分解法课件(共20张PPT)
D
知识点2
用适当的方法解方程
②
解一元二次方程的方法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．其 中配方法和公式法适合于所有一元二次方程，直接 开方法和因式分解法适合于某些特殊方程.
例2
用适当的方法解方程：(1) (3x＋2)2－8(3x＋2)＋15＝0； (2)（5x + 1）2 = 1；
第 二十四章 一元二次方程
24.2 解一元二次方程 第3课时 因式分解法
学习目标
学习重难点
用因式分解法解特殊的一元二次方程.
选用恰当的方法解一元二次方程.
难点
重点
1.理解用因式分解法解方程的依据，能用因式分解法解特殊的一元二次方程.2.会选用恰当的方法解一元二次方程.
解：(1) 因式分解，得[(3x＋2)－3] [(3x＋2)－5]＝0， 即 (3x－1)(3x－3)＝0， ∴x1＝ ，x2＝1.（2）开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0 , x2=
例2
（3）2x2－7x－6＝0； （4） x2 - 12x = 4
随堂演练
2. 解下列方程：(1)9(x－1)2=5；(2)x2+5x+7=3x+11；(3)3x2－6x=－3.
随堂演练
解：（2）化简，得 x2+2x=4，x2+2x+1=5， (x+1)2=5
(3)化简，得
x2－2x+1 = 0.
因式分解，得
( x－1 )( x－1 ) = 0.
即x － 1 = 0 或 x － 1 哪些解一元二次方程方法？这些方法是否能解所有的一元二次方程.
导入新知
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24.2一元二次方程的解法—因式分解法
学习目标：会用因式分解法解某些一元二次方程。
教学重难点：灵活运用分解因式法解一元二次方程。
学习过程：
（一）、学前小测：
用配方法或公式法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0；（2）x2+2x-4=0；（3）2x2-3x-2=0；（4））x2 – 2 x = 0；（5））x2+ 7x =0 （6）x2 = 4x (7) 4x2 - 9=0 (8) x2- 2x + 1=0；
（二）、合作交流
1、小组交流以上测试题，看看谁的方法更简单？你还有更好的方法吗？试一试。
总结：
用因式分解法解一元二次方程：____________________________________________________
_________________________________________________________________________________
2、用因式分解法解方程
（1）4x2-12x＝0 (2) 4x2-9=0 (3) (2x-1)2-(x-3)2=0
（三）、巩固提高
1、用因式分解法解方程:
(1)5x 2=4x; (2)x-2-(x-2)²=0
(4) 0)1(922=--t t (5) (6) 22)1()32(-=+x x
2、用适当的方法解方程: 16)6)(2)(1(-=+-x x (2) 2x 2－x ＝0 (3) x 2＋2x －8＝0
(4)（2x ＋1）2＝2（2x ＋1） (5) ()2
2380x --=
知识梳理
1、三种解一元二次方程的方法：
2、能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法。
).
2x (4)2)(3(2+=+x .94)5(2
=+x。