创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习大题规范天天练第四周星期六综合限时练文

星期六 (综合限时练)
2017年____月____日
解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)
1.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f (x )的单调递增区间.
解 (1)f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2ωx ＋π4
由ω＞0，f (x )最小正周期为π得2π
2ω
＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－3π8＋k π≤x ≤π
8
＋k π，k ∈Z ，
即f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ).
2.(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.
解 (1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ， 则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种. 所以P (A )＝327＝1
9
.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为1
9
.
(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ， 则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种. 所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝8
9
.
因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为8
9.
3.(本小题满分12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝
CD ＝4，BD ＝42，E ，F 分别为AC ，CD 的中点，G 为线段BD 上一点，
且BE ∥平面AGF . (1)求BG 的长；
(2)当直线BE ∥平面AGF 时，求四棱锥A －BCFG 的体积.
解 (1)连DE 交AF 于M ，连接GM ，则M 为△ACD 的重心，且DM ME ＝2
1∵BE
∥平面AGF ，∴BE ∥GM ，DG BG ＝2
1
，
∴BG ＝423
.
(2)取BD 的中点为O ，连AO ，CO ，则AO ＝CO ＝22， ∴AO ⊥OC ，AO ⊥BD ，从而AO ⊥平面BCD ∴V A －BCD ＝13×12×4×4×22＝162
3，
∴V A －FDG ＝13V A －BCD ，从而V A －BCFG ＝23V A －BCD ＝322
9
.
4.(本小题满分12分)椭圆C 1：x 2
2＋y 2
＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b
＞0)的一个焦点坐标为(5，0)，斜率为1的直线l 与椭圆C 2相交于A 、B 两点，线段AB 的中点H 的坐标为(2，－1). (1)求椭圆C 2的方程；
(2)设P 为椭圆C 2上一点，点M ，N 在椭圆C 1上，且OP →＝OM →＋2ON →
，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
解 (1)设A (x A
，y A
)，B (x B
，y B
)，H (x H
，y H
)，则⎩⎪⎨⎪
⎧x 2A a 2＋y 2A
b
2＝1，x 2
B
a 2
＋y 2
B
b 2
＝1，
∴y A －y B x A －x B ＝－b 2a 2·x A ＋x B y A ＋y B ＝－b 2a 2·x H y H
，
又l 的斜率为1，H 的坐标为(2，－1)，
∴1＝－b 2a ·2－1
，即a 2＝2b 2
，
又a 2
－b 2
＝5，∴b 2
＝5，a 2
＝10， ∴C 2：x 210＋y 2
5
＝1.
(2)设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则
∵OP →＝OM →＋2ON →
，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋2x 2，y 0
＝y 1＋2y 2.
又x 20＋2y 20＝10，∴(x 1＋2x 2)2＋2(y 1＋2y 2)2
＝10， 即x 2
1＋2y 2
1＋4(x 2
2＋2y 2
2)＋4x 1x 2＋8y 1y 2＝10， 又x 2
1＋2y 2
1＝2，x 2
2＋2y 2
2＝2，
∴10＋4x 1x 2＋8y 1y 2＝10，即x 1x 2＋2y 1y 2＝0， ∴k OM k ON ＝
y 1y 2x 1x 2＝－12
. 5.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a e x ＋x 2
，g (x )＝sin πx 2＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )
切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1)). (1)求a ，b 的值和直线l 的方程； (2)证明：f (x )＞g (x ).
(1)解 f ′(x )＝a e x
＋2x ，g ′(x )＝π2cos π2
x ＋b ，
f (0)＝a ，f ′(0)＝a ，
g (1)＝1＋b ，g ′(1)＝b .
曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线为y ＝ax ＋a ， 曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线为：
y ＝b (x －1)＋1＋b ，即y ＝bx ＋1，
依题意有a ＝b ＝1，直线l 的方程为y ＝x ＋1， (2)证明 由(1)知f (x )＝e x ＋x 2
，g (x )＝sin π2x ＋x ，
设F (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x
＋x 2
－x －1， 则F ′(x )＝e x
＋2x －1，
当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )＜F ′(0)＝0， 当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞F ′(0)＝0.
F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故F (x )≥F (0)＝0，
设G (x )＝x ＋1－g (x )＝1－sin π
2
x ，
则G (x )≥0，当且仅当x ＝4k ＋1(k ∈Z )时等号成立， 由上可知，f (x )≥x ＋1≥g (x )，且两个等号不同时成立， 因此f (x )＞g (x ).
6.请考生在以下两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. A.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，已知⊙O 的方程x 2
＋y 2
＝4，直线l ：x ＝4，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点为作射线交⊙O 于A ，交直线l 于B . (1)写出⊙O 及直线l 的极坐标方程； (2)设AB 中点为M ，求动点M 的轨迹方程.
解 (1)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝4. (2)设M (ρ，θ)，A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝ρ1
＋ρ1
2，ρ1＝2，ρ2
cos θ＝4，
∴(2ρ－2)cos θ＝4⇒ρ＝
2
cos θ
＋1. B.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －14≤1
12
的解集为{x |n ≤x ≤m }.
(1)求实数m ，n ；
(2)若实数a ，b 满足|a ＋b |＜m ，|2a －b |＜n ，求证：|b |＜5
18
.
(1)解 不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －14≤1
12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪16
≤x ≤13，所以n ＝16，m ＝13.
(2)证明 ∴3|b |＝|3b |＝|2(a ＋b )－(2a －b )|≤2|a ＋b |＋|2a －b |， 又|a ＋b |＜m ，|2a －b |＜n ， 即|a ＋b |＜13，|2a －b |＜1
6，
∴3|b |＜56，∴|b |＜5
18
.。