相似三角形判定(2)课堂作业

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九年级数学上册 18《相似形》相似三角形的判定(二)课后作业北京课改版(2021学年)

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相似三角形的判定(二)课后作业１、如图，在大小为４×４的正方形网格中,是相似三角形的是（ )A.①和②B.②和③C ．①和③D.②和④２、如图所示，棋盘上有A 、B 、C 三个黑子与P 、Ｑ两个白子,要使△ABＣ∽△RPQ,则第三个白子R 应放的位置可以是（）A ．甲B ．乙C.丙D ．丁3、如图,在8×４的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△AＢＣ的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D 、点E 、点F 也都在格点上,则下列与△ＡBC 相似的三角形是( ）A.△AＣDB.△AＤFC.△BDFD.△CDE4、如图，∠ACB=∠ADC=9０°,BC＝a,A Ｃ=ｂ,ＡＢ=c,要使△ＡBC ∽△C ＡＤ，只要C Ｄ等于( )A ．c b 2 B ．a b 2 C.c ab D.ca 25、下列说法不正确的是（)A.两对应角相等的三角形是相似三角形B.两对应边成比例的三角形是相似三角形C．三边对应成比例的三角形是相似三角形D．以上有两个说法是正确6、下列五幅图均是由边长为１的１6个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ＡＢC相似的个数有( ）Ａ.1 个B．2个C.3个D．4个7、如图，已知：∠ACB=∠AＤＣ=90°，AD＝2,CD=2,当AＢ的长为时,△ACB 与△ADC相似.８、已知一个三角形三边长是6cｍ，7。

课时作业2：27.2.1 相似三角形的判定（2）

27.2.1相似三角形的判定(2)1.下列说法正确的个数是( )①有一个角相等的两个等腰三角形相似②有一个底角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形相似④顶角相等的两个等腰三角形相似A.1B.2C.3D.42.如图1,D为△ABC的边AB上一点,且∠ABC=∠ACD,AD=3 cm,AB=4 cm,则AC的长为_______________.3.在△ABC中,∠C=90°,D是边AB上一点(不与点A,B重合),过点D作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形相似,这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条4.如图2,正方形ABCD内接于等腰三角形PQR,则PA∶PQ等于( )A.1∶2B.1∶2C.1∶3D.2∶3图1 图2 图35.如图3,阳光通过窗口照到室内,在地面上留下了2.7 m宽的亮区,已知亮区的一边到窗下的墙角距离CE=8.7 m,窗口高AB=1.8 m,那么窗口底边离地面的高度为BC=______.6.将两块完全相同的等腰直角三角形板摆放成如图4所示的样子,假设图中的所有点,线都在同一平面内.请问图中(1)共有多少个三角形?把它们一一写出来.(2)有相似(不包括全等)三角形吗?若有,请把它们一一写出来.图47.如图5,已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG在同一直线上,且AB=3,BC=1,连结BF,分别交AC,DC,DE于点P,Q,R.(1)求BF的长;(2)求BR的长;(3)求BQ的长;(4)求PQ的长.图58.如图6,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上.图6参考答案1.【答案】B2.【答案】32 cm3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】4 m6.【答案】(1)7个,△ABD,△ABE,△ABC,△ADC,△ADE,△AEC,△AFG;(2)有,△ADE ∽△CDA,△BAE ∽△ADE,△ABE ∽△DCA.7.【答案】(1)∵△ABC ≌△DCE ≌△FEG,BC=1,AB=3, ∴BC=CE=EG=1,EF=FG=AB=3.∴BG=3. ∴3331,33===FG EG BG FG ∴FGEG BG FG =. ∵∠G=∠G,∴△BFG ∽△FEG. ∴FG EG BF EF =. ∴313=BF .∴BF=3. (2)∵△ABC,△DCE,△FEG 是三个全等的等腰三角形,∴∠ACB=∠DEB=∠FGB=∠DCE=∠FEG.∴AC ∥DE ∥FG,DC ∥EF.又∵BG=BF,∴BR=BE=2.(3)∵DC ∥EF,BC=CE,∴BQ=21BF=1.5. (4)∵AC ∥DE,∴BP=BC=1.∴PQ=BQ -BP=0.5.8.【答案】如图所示.。

人教版数学九年级下册数学：27.2.1 相似三角形的判定同步练习(附答案)

27．2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例1．如图所示，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE ACC.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2．两个三角形相似，且相似比k ＝1，则这两个三角形．3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝．5．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为( )A ．4B ．7C ．3D ．126．如图，点E ，F 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且EF ∥BC ，点M 在边BC 上，AM 与EF 交于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对7．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点P 是直线AB 上一点，且AP ＝2，过点P 作BC 边的平行线，交直线AC 于点M ，则MC 的长为．8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A.ABAE＝AGADB.DFCF＝DGADC.FGAC＝EGBDD.AEBE＝CFDF9．如图，AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC的值是()A．3∶2B．4∶3C．6∶5D．8∶510．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4 cm，则线段BC＝cm.11．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝.12．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝．13．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择作MN的平行线BC，并测得AM＝900米， AB＝30米，BC＝45米，求直线隧道MN的长．14．如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过点F作FG∥BE 交AE于点G，求证：GF＝FB.15．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．第2课时相似三角形的判定定理1，21．将一个三角形的各边长都缩小12后，得到的三角形与原三角形( )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法确定2．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝ cm 时，△ABC ∽△DEF. 3．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．4．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF.5．能判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )A.AB A ′B ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′ D.AB A ′B ′＝ACA ′C ′且∠B ＝∠B ′6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()7．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，当OC＝时，△AOC∽△BOD.8．如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的长．9．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．10．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P 1B．P2C．P3D．P411．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC和△ACB相似的条件有()A．1个 B．2个C．3个D．0个12．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE.13．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.15．如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ ∽△QCP.16．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．第3课时相似三角形的判定定理31．下列各组图形中有可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是.3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形．(用相似符号连接) 4．如图，点B，D，C，F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.5．如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D.求证：△ABC ∽△AED.6．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A ′C ′＝8，则当A ′B ′＝时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.7．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm 和454 cm ，这两个直角三角形 (填“是”或“不是”)相似三角形．8．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 (填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，且∠DCE ＝∠B.那么下列判断中，错误的是( )A ．△ADE ∽△ABCB ．△ADE ∽△ACDC ．△DEC ∽△CDBD ．△ADE ∽△DCB10．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．12．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？13．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.求证：△ABF∽△BEC.14．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?15．如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.参考答案：27．2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例1．A2．全等．3．B4． 2．5．B6．B7． 6或12．8．D9．D10．12.11．4.12．169．13．解：∵BC ∥MN ，∴△ABC ∽△AMN.∴AB AM ＝BC MN ，即30900＝45MN .∴MN ＝1 350.答：直线隧道MN 的长为1 350米．14．证明：∵GF ∥AD ，∴GF AD ＝EFED .又FB ∥DC ，∴FB DC ＝EFED .又AD ＝DC ，∴GF AD ＝FBAD .∴GF ＝FB.15．解：∵在△ABC 中，EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC ＝AEAB .∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD ＝BE AB. ∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5，∴EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时相似三角形的判定定理1，21．A2．3.3．解：相似．理由如下：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝32－2.42＝1.8，在Rt △DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝62－3.62＝4.8，∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.4．证明：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.5．B6．C7． 1858．解：∵AE BF ＝34.5＝23，AD BC ＝23，∴AE BF ＝AD BC.又∵∠A ＝∠B ，∴△AED ∽△BFC.∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF. ∴CF ＝152. 9． 125或53． 10．C11．B12． AD AB ＝AE AC 13．证明：∵AB ∥DE ，∴△ODE ∽△OAB.∴DE AB ＝OE OB. ∵BC ∥EF ，∴△OEF ∽△OBC.∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC. ∵AC ∥DF ，∴△ODF ∽△OAC.∴DF AC ＝OF OC. ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC. ∴△DEF ∽△ABC.14．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB . 又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DB AC. ∴△ADB ∽△EAC.15．证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a.∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ，∴DQ ＝CQ ＝2a ，PC ＝a.∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP.16．3__s 或4.8__s ．第3课时相似三角形的判定定理31．A2． △EFD ，△HGK .3．答案不唯一，如△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE 等．4．证明：∵AB ∥EF ，AC ∥DE ，∴∠B ＝∠F ，∠ACB ＝∠EDF.∴△ABC ∽△EFD.5．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠EAD.又∵∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△AED.6．10.7．是．8．不一定．9．D10．B11．6017． 12．解：①若△ABC ∽△ADB ，则AB AD ＝AC AB.∴AD ＝3； ②若△ABC ∽△DAB ，则AB AD ＝BC AB.∴AD ＝3 2.综上所述，当AD ＝3或32时，两直角三角形相似．13．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D ＋∠C ＝180°，∠ABF ＝∠BEC.又∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°，且∠AFE ＝∠D ， ∴∠C ＝∠AFB.又∵∠ABF ＝∠BEC ，∴△ABF ∽△BEC.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD.∴△APQ ∽△CDQ.(2)当DP ⊥AC 时，∠QCD ＋∠QDC ＝90°.∵∠ADQ ＋∠QDC ＝90°，∴∠DCA ＝∠ADP. 又∵∠ADC ＝∠DAP ＝90°，∴△ADC ∽△PAD.∴AD PA ＝DC AD .∴10PA ＝2010，解得PA ＝5. ∴t ＝5.15．证明：∵AD ，BF 分别是BC ，AC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠BED ＝90°.∴∠EBD ＋∠EDB ＝∠EDB ＋∠ADE.∴∠EBD ＝∠EDA.∴△AED ∽△DEB.∴AE DE ＝DE BE，即DE 2＝AE ·BE. 又∵∠HFG ＝90°，∠BGE ＝∠HGF ，∴∠EBG ＝∠H.∵∠BEG ＝∠HEA ＝90°，∴△BEG ∽△HEA.∴EG AE ＝BE EH，即EG ·EH ＝AE ·BE. ∴DE 2＝EG ·EH.。

相似三角形判定-(2)

一、知识回顾
相似三角形的判定定理：
A'
定理1：两角对应相等，两三角形相似。
∠A= ∠A' ∠B= ∠B'
△ABC∽△A'B'C'
B'
C'
定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
AB BC A' B' B'C'
△ABC∽△A'B'C'
A
∠B= ∠B'
定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
⑵ ∵∠A=∠A，
A
∴当AC:AP＝AB:AC时，
P1
△ ACP∽△ABC.
B
2 C
答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或
AC:AP＝AB:AC,△ ACP∽△ABC.
三、随堂练习
1、已条知过，点△D的AB直C线中(，不D与为ABA重B上合一),点交，AC画于一E，使所得三角形与原三角形相似，这样的直线最多能画出多少条?
解：(1)∵∠A＝∠A
∴ 当∠ACP＝∠B时, △ACP∽△ABC. A
(2)∵∠A＝∠A
P
∴当AC:AP=AB:AP 时，
△ACP∽△ABC.
B
C
如果将题目变为：
已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结 CP．满足什么条件时,△ ACP∽△ABC．解:⑴∵∠A=∠A，
∴当∠1= ∠ACB (或∠2= ∠B)时,△ACP∽△ABC .
A D
E
A D
E
B
CB
C
如果将题目变为：
已知，△ABC中，D为AB上一点，画一条过
点D的直线（不与AB重合），交另一边于E，

《22.2相似三角形的判定》作业设计方案-初中数学沪科版12九年级上册

《相似三角形的判定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对相似三角形概念的理解，掌握相似三角形的判定方法，并能够运用所学知识解决实际问题。

通过本作业的完成，学生应能初步建立数学建模的思想，培养分析问题和解决问题的能力。

二、作业内容（一）知识点复习1. 回顾相似三角形的定义，明确相似三角形的特征。

2. 掌握相似三角形的判定定理，如AA相似、SSS相似等。

（二）作业题目设计1. 基础题：设计一系列选择题和填空题，考察学生对相似三角形概念及判定定理的掌握情况。

- 例题：给出两个三角形，根据其边长或角度关系，判断是否相似，并说明理由。

2. 应用题：设计实际情境下的应用问题，要求学生运用所学知识解决实际问题。

- 例题：在建筑测量中，如何通过相似三角形的原理确定建筑物的高度？3. 拓展题：设计一些具有挑战性的题目，鼓励学生进行深度思考和创新。

- 例题：给出多个条件，让学生自行设计并证明两个三角形相似的多种方法。

（三）作业实践环节1. 小组合作：学生分组进行讨论，每组选择一个题目进行深入研究，并记录讨论过程和结果。

2. 动手操作：利用几何工具，让学生亲手制作相似三角形，加深对概念的理解。

3. 数学日记：鼓励学生记录今天学习的收获和感悟，以及对作业题目的解题思路和过程。

三、作业要求1. 认真审题：仔细阅读题目，明确题目要求，避免因理解错误导致答案偏离。

2. 规范答题：按照数学作业的规范格式进行答题，字迹工整，步骤清晰。

3. 独立思考：在完成作业过程中，应独立思考，尽量自己解决问题，不轻易求助他人。

4. 小组合作：在小组合作环节中，应积极参与讨论，尊重他人意见，共同完成任务。

四、作业评价1. 教师评价：教师根据学生完成作业的情况，给予客观、公正的评价，并指出存在的问题及改进方向。

2. 小组互评：小组内成员互相评价，促进相互学习和交流。

3. 自评反思：学生应对自己的作业进行反思，找出不足并制定改进措施。

相似三角形的判定(二)

例1：已知：△ABC
例2 已知：△ABC 求作△A′B′C′，使它与△ABC 相似，并使 △ABC 与△A′B′C′的相似比为 5：3

C
A
B
求证：命题：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 AB BC AC 已知：如图， AB B C AC 求证：△A B C∽△A′B′C′
碌着，并没有随女眷们壹起去永和宫请安。因此直到乾清宫，他才见到魂牵梦萦の小仙女。两年不见，水清仍然如他三年前初见の那样，岁月不曾在她の身上留下壹丝壹毫の痕迹。壹样の稚嫩脸庞，壹样の冰清玉洁，壹样の傲然孤立。而且二十三小格还知道，水清两年如壹日，壹样の冷遇无宠。对于这各结果，他既是暗自高兴，也是黯然神伤。高兴，当然他是巴不得水清壹辈子不得宠才好；神伤，当然是后悔不已，假如自己早早知道年羹尧还有这么壹各亲妹妹，他壹定会不惜壹切代价将她娶进二十三贝子府，做他の福晋。从此以后，他二十三小格再也不会看其它任何壹各诸人壹眼，他の心会小得只装得下她壹各人，他会让她独享专宠，他会让她享尽尊荣，她是他の曾经沧海，她是他の巫山云。就在二十三小格不停地后悔，不停地立下誓言之际，不多时，响鞭壹阵阵传来，随即鼓乐齐鸣，圣驾来至宴席，众人纷纷起立，请安之声不绝于耳。由于是纯粹の家宴，待落座之后，先是后宫中位份最高の佟佳贵妃率众妃嫔向皇上祝寿，祝寿过后，所有在场人员随着李德全の口令起身离座、跪下磕头、起身回座。后妃祝寿过后便是皇子们の祝寿。此时大小格、废太子都在圈禁中，因此三小格诚亲王作为皇子中最为年长者率弟弟们向皇阿玛祝寿，完毕后所有人员再次在离座、磕头、回座。然后是儿媳妇们の祝寿，众人再次行磕头大礼。最后是皇孙、重皇孙们，众人再行磕头大礼。多半各时辰里除咯祝寿和行磕头大礼之外，所有の人没有吃壹口饭，没有喝壹口水。好不容易集体祝寿结束，众人可以踏实落座，李德全壹声令下，宫女太监们开始摆膳。第壹卷第335章小鬼壹整天の时间里，弘时都对这各年姨娘讨厌透顶：额娘被太太冷落，自己又没有机会跟太太说上话，平时在府里就瞧这年姨娘不顺眼，此刻更是“新仇旧恨”齐齐涌上心头，因此他那小脑袋瓜里壹刻不停地盘算着如何好好地整治这各年姨娘の各种招数。他要让这各平时对他不够恭敬、不够谦卑の年姨娘必须吃点儿苦头，知道他小爷不是好惹の。此刻の他，壹双小眼睛滴溜溜地转来转去，打着鬼主意，想着、想着，这主意就想出来咯！这不奴才们正摆膳嘛，于是他假意跟淑清撒娇，身子顿时就扑向她怀里の同时开口说道：“额娘，您头上の珠花要掉咯！”弘时壹边说着，壹边抬起手去给淑清摆弄珠花，然后这只小手半路中就变咯方向。他哪里是伸向咯他额娘の珠花，而是直直地照着正在布菜の壹各奴才の胳膊上伸咯过去。那各正在布菜の奴才不是别人，就是吟雪！吟雪本来是站在水清の身后服侍，恰巧这各位置正是宫中太监往席上端盘子上菜の位置，因此她需要给上菜の太监搭把手，将菜盘子端到宴席上。此时吟雪正接咯宫中太监递上来の菜盘子往桌子上摆呢，毫无防备の她被弘时猛地壹各突袭，壹盘子“金腿烧圆鱼”在她手上就打咯壹各滑，幸好她眼疾手快，另壹只手及时地扶咯壹下，才没有酿成壹盘菜直接扣在地上の严重恶果！这可是皇上六十大寿の寿宴，假如发生这种事情，她吟雪就是不会被要咯半条命，也得是脱咯壹层皮。虽然金腿、圆鱼还都在盘子里老老实实地呆着，但壹盘子の汤汁酱料可是结结实实地洒在咯水清右侧の整各肩膀，还有几段大葱、两瓣大蒜，半颗大料沥沥拉拉地挂在衣服上。吟雪吃咯壹各哑巴亏！她哪儿敢说是弘时小格碰咯她の胳膊，只能是赶快先找热巾来擦试。好不容易汤汁不再四处横流咯，但水清整整右肩膀外加右前襟全都是油腻腻の酱汁。今天因为是出席宫中の寿宴，她の服饰完全是按品级穿戴，侧福晋の公服是粉红色旗装。因此，在粉红色旗装の映衬下，那壹大片近乎黑色の酱汁极为刺眼夺目。看着平时漂漂亮亮、光光鲜鲜の年姨娘现在竟是这副狼狈不堪の样子，弘时の心中简直就是乐开咯花。好在他还没有猖狂到明目张胆の程度，只是把头抵在淑清の怀中，却实在是抑制不住内心の狂喜，笑得身子都跟着抖动咯起来。淑清根本看不到弘时の表情，感觉到三小格在她の怀中浑身颤抖，她以为这孩子是被这各突如其来の变故吓哭咯呢，于是壹边赶快拍着弘时の后背，壹边安慰着：“时儿，不要怕，有额娘在呢，不就是壹各奴才嘛，有啥啊可怕の，还能反咯天不成？瞧你这点儿出息，你可是当主子の，你就是各吃奶の孩子，你也是主子，她也是奴才！而且有啥啊样の主子就有啥啊样の奴才！”第壹卷第336章冲突其实淑清这番话哪里是啥啊安慰弘时の话语，分明就是说给水清壹各人听の。她当然看到咯年妹妹身上那片难看の菜汁，也知道吟雪の胳膊被弘时挡咯壹下。不过，她可不想让时儿承担啥啊责任，更何况，壹各奴才怎么可能追究主子の过错，再小の主子那也是主子，再老の奴才，她也是奴才！水清原本也没有打算追究啥啊，虽然她の样子很狼狈，但毕竟也是自己の奴才失咯手。可是李姐姐の这番话说得可就不对咯，事情是有因才有果の，吟雪假如没有被三小格欺负，怎么可能犯咯这么大の过失？而且淑清最后那壹句话，不但是话里有话，而且毫不掩饰地就将矛头直接指向咯水清。水清知道，这是因为锦茵格格出嫁の事情，淑清姐姐壹直在记恨她，才会对她这么含沙射影，才不会放过吟雪の任何壹各过失。可是这是皇上六十大寿の寿宴，又是当着其它嫂子、弟妹们の面，她就是再有天大の委屈，无论如何也不能跟李姐姐起

244 相似三角形的判定(作业)-2021-2022学年九年级数学上(沪教版)(解析版)

24.4相似三角形的判定一、单选题1．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）A．AB∥CD B．A D∠=∠C．OA OBOD OC=D．OA ABOD CD=【答案】D【解析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．C、由OA OBOD OC=、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．D、已知两组对应边的比相等：OA ABOD CD=，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．故选：D【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．2．在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（）A．AD AEBD EC=B．∠ADE=∠ACBC．AE﹒AC=AB﹒AD D．AD DE AB BC=【答案】D【解析】由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．【详解】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；由AE﹒AC=AB﹒AD得AD ACAE AB=，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意；而D不是夹角相等，故选项D符合题意；故选：D【点睛】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．3．下列各组图形中，不一定相似的是（）A．各有一个角是100°的两个等腰三角形B．各有一个角是90°的两个等腰三角形C．各有一个角是60°的两个等腰三角形D．各有一个角是50°的两个等腰三角形【答案】D【解析】根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解．【详解】A 、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；B 、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；C 、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；D 、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；故选：D ．【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照判定定理即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形的性质对解题也很关键．4．如图，已知12,∠=∠则添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADE ∆∆的是（）A ．AB BC AD DE = B ．AB AC AD AE = C ．B ADE ∠=∠ D ．C E ∠=∠【答案】A【解析】先根据∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE ，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE ． A. AB BC AD DE=，∠B 与∠D 的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE ，故本选项符合题意； B.AB AC AD AE =，∴△ABC∽△ADE ，故本选项不符合题意；∠=∠∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；C. B ADE∠=∠∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；D. C E故选：A【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．5．下列说法中，正确的是（）①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．A．①，②B．②，③C．③，④D．①，④.【答案】B【解析】根据三角形相似的判定判定即可；【详解】①必须是夹角，故错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，正确；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，正确；④必须是第三边的平行线，故错误；故答案选D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，准确判断是解题的关键．6．如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解析】试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4对，故选D．考点：1．相似三角形的判定；2．平行线的判定．7．如图，下列选项中不能判定ACD ABC ∆∆的是（）A ．2AC AD AB =⋅B ．2BC BD AB =⋅ C ．ACD B ∠=∠D ．ADC ACB ∠=∠ 【答案】B【解析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：A 、∵AC 2=AD•AB ， ∴AC AB AD AC=， ∵∠A=∠A ，∴△ACD∽△ABC ，故本选项不符合题意；B 、∵BC 2=BD•AB ， ∴BC AB BD BC=， ∵∠B=∠B ，∴△BCD∽△ABC ，不能推出△ACD∽△ABC ，故本选项符合题意；C 、∵∠A=∠A ，∠ACD=∠B ，∴△ACD∽△ABC ，故本选项不符合题意；D 、∵∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB ，∴△ACD∽△ABC ，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记并理解应用相似三角形的判定定理是解此题的关键．8．在△ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（）A．2条B．3条C．4条D．5条【答案】C【解析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．【详解】满足条件的直线有4条，如图所示：如图1，过D作DE∥AC，则有△BDE∽△BAC；如图2，过D作DE∥BC，则有△ADE∽△ABC；如图3，过D作∠AED=∠B，又∠A=∠A，则有△ADE∽△ACB；如图4，过D作∠BED=∠A，又∠B=∠B，则有△BED∽△BAC，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．9．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（）①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．【详解】解：如图示，在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，①55A ∠=︒905535B35D ，B D ∴∠=∠C F ∠=∠ABC EDF ∴∆∆∽，故①是不正确的；9=AC ，12BC =，6DF =，8EF =， ∴32ACBC DF EF ， C F ∠=∠，ABC DEF ∴∆∆∽，故③是正确的；10AB =，6BC =，15DE =，9EF =， ∴23ABBC DE EF ， C F ∠=∠，ABC DEF ∴∆∆∽；故④是正确的；∵3AC =，4BC =，6DF =，8DE =， ∴12ABBC DF DE ，C F ∠=∠有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；故②是错误的；综上所述③④是正确的，正确的有2个，故选：B ．【点睛】此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．10．如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC ＝，AE=BE ，则有（）A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD【答案】B【解析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，13AD AC ＝，AE=BE ，我们可以分别得到：△AED 、△BCD 为锐角三角形，△BED 、△ABD 为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案．【详解】由已知中正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，13AD AC ＝，AE=BE ，易判断出：△AED 为一个锐角三角形，△BED 为一个钝角三角形，故A 错误；△ABD 也是一个钝角三角形，故C 也错误；但△BCD 为一个锐角三角形，故D 也错误；故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论．11．下列条件，能使ABC 和111A B C △相似的是（）A ．1111112.5,2,3;3,4,6AB BC AC A B BC AC ======B ．11111192,3,4;3,6,2AB BC AC A B B C AC ======C．11111110,8;AB BC AC A B BC AC =====D．1111111,3;AB BC AC A B BC AC ======【答案】B【解析】【解析】根据相似三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A 、11112.55213642AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； B 、11111123242933632AB BC AC A B AC B C =======，能使ABC ∆和△111A B C 相似，正确； C、1111AB BC A B B C =≠=，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； D、1111AB BC A C B C ==≠=，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误；故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．12．如图，在平面直角坐标系中，A （0，4），B （2，0），点C 在第一象限，若以A 、B 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似（不包括全等），则点C 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】试题解析：如图①，∠OAB =∠1BAC ，∠AOB =∠1ABC 时，△AOB ∽△1ABC ．如图②，AO ∥BC ，BA △2AC ，则∠2ABC =∠OAB ，故△AOB ∽△2BAC ；如图③，3AC ∥OB ，∠ABC 3=90 ，则∠ABO =∠CAB ，故△AOB ∽△3C BA ；如图④，∠AOB =∠4BAC =90 ，∠ABO =∠4ABC ，则△AOB ∽△4C AB ．故选D ．二、填空题13．如图，在△ABC 中，DE∥BC ，则DE BC=______．【答案】=AB AD AE AC【解析】根据平行线的性质得∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，利用“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得△ADE∽△ABC ，根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】∵DE∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴△ADE∽△ABC ， ∴=AB AD AE AC，故答案为：=AB AD AE AC ．【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 14．如图，在△ABC 中，DE∥BC ，13ADBD ，则△ABC∽______，其相似比为______．【答案】△ADE41【解析】根据已知条件判定相似三角形即可；【详解】∵DE∥BC ，∴ABC ADE ， ∵13AD BD ， ∴1A 4AD B =， ∴4A 1=AB D ; 故答案是△ADE 和41．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确分析是解题的关键．15．点D 在ABC 的边AB 上，且2AC AD AB =⋅，则ABC ACD ，理由是_______．【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似【解析】先依题意画出图形，再根据相似三角形的判定即可得．【详解】依题意，画图如下：2AC AD AB=⋅，即AB AC AC AD=，又A A∠=∠，ABC ACD~∴（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．16．如图，添上条件________，则ABC ADE∽．【答案】∠ABC=∠ADE（答案不唯一）【解析】根据相似三角形的判定定理添加即可.【详解】添上∠ABC=∠ADE条件，则△ABC∽△ACD．理由：∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD ．故答案为∠ACD=∠B （答案不唯一）【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：有两个角对应相等的三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题键． 17．如图，∠DAB=∠CAE ，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE ．【答案】解：∠D=∠B 或∠AED=∠C ．【解析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴当∠D=∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE ：AC 或AD•AC=AB•AE 时两三角形相似．故答案为∠D=∠B （答案不唯一）．18．在ABC 和A B C '''中，若B B '∠=∠，6AB =，8BC =，4B C ''=，则当A B ''=________时，ABC A B C '''.【答案】3【解析】在ABC 和A B C '''中，已知了B B '∠=∠，要判定这两个三角形全等，可以利用定理“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，得到AB BC A B B C '''='，即可求出A B ''的值．【详解】由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，若要使ABC A B C '''，已知'B B ∠=∠，只要::AB BC A B B C ''''=即可，解得3A B ''=.【点睛】本题考查的是利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定两三角形相似方法为图形补充条件，紧扣定理构成比例式是解题的关键．19．如图，E 是□ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，图中______对相似三角形．【答案】3【解析】由□ABCD 可得//AB CD ，//AD BC ，再由平行线性质推导而证明△AFE∽△CFD∽△BCE ，从而完成求解．【详解】∵□ABCD∴//AB CD ，//AD BC∴E DCF ∠=∠，EAFEBC ∠=∠ ∵AFE CFD ∠=∠∴AEF DCF ∽∵EAFEBC ∠=∠，AEF BEC ∠=∠ ∴AFE BCE ∠=∠∴△CFD∽△BCE∴△AFE∽△CFD∽△BCE故答案为：3．【点睛】本题考查了平行四边形和相似三角形的知识；求解的关键是熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质，从而得到答案．20．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，12AD =，点E 在边AD 上，8AE =，点F 在边DC 上，则当EF =________时，ABE △与DEF 相似．【答案】5或203【解析】若要ABE △与DEF 相似,则需要对应直角边成比例,代入数值计算即可．【详解】由题意,知ABE △与DEF 都是直角三角形, 所以当AB BE DE EF =或AE BE DE EF =时,ABE △与DEF 相似, 由6AB=,8AE =,12AD =,得10BE =,4DE =, ∴6104EF =或8104EF=, ∴EF =5或203．故答案为: 5或203．【点睛】ABE △与DEF 相似和ABE DEF △△∽是有区别的,前者没有明确两个三角形的对应关系,后者已给出了对应关系,因此前者要分类讨论．21．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC ，②△BCD ，③△BDE ，④△BFG ，⑤△FGH ，⑥△EFK ，在②～⑥中，与三角形①相似的有____（填序号）【答案】③④⑤【解析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1②△BCD的各边长分别为1③△BDE的各边长分别为2、2△ABC各边长的2倍）；④△BFG的各边长分别为5（为△ABC；⑤△FGH的各边长分别为2（为△ABC；⑥△EFK的各边长分别为3根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．故答案为③④⑤．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题的关键．22．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度【答案】145【解析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.【详解】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，△ABD与△DBC相似，但不全等，∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.三、解答题23．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．【答案】见解析【解析】根据两角对应相等，两三角形相似的判定定理得解．【详解】证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的各种判定方法是解题关键．24．如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF 于点G，求证：△BGF∽△DCF．【答案】见解析．【解析】先根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB =∠DCF =90°，由CE=CF可得出△DCF≌△ECB，故∠CDF=∠CBE，再根据∠F 为公共角即可得出结论．【详解】∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90︒，DC=BC∵CE=CF∴△DCF≌△ECB∴∠CDF =∠CBE∵∠CDF＋∠F=90︒∴∠CBE＋∠F=90︒∴∠BGF=90︒=∠DCF∴△BGF∽△DCF【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．25．如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．【答案】△ADE∽△BDA【解析】先利用勾股定理求得AD=，进而有ED AD AD BD ==，又∠ADB=∠ADB ，利用“两组边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似”即可证得△ADE∽△BDA ．【详解】∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE ，∴AD=，BD=2CD ， ∴ED AD AD BD ==， ∵∠ADB=∠ADB ，∴△ADE∽△BDA ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．26．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ．（1）写出图中的两对相似三角形；（2）选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．【答案】（1）ACD ABC ∽，CDB ACB ∽；（2）详见解析【解析】（1）根据相似三角形的判定定理，结合图形可得出ACD ABC △∽△，CDB ACB ∽△△，ACD CBD △∽△；（2）根据题意可选择证明ACD ABC △∽△，利用等角代换得出B ACD ∠=∠，从而利用两角法判断ACD ABC △∽△．【详解】解：()1根据相似三角形的判定定理可知：图中的两对相似三角形为：ACD ABC △∽△和CDB ACB ∽△△；（2）∵90A B ∠+∠=，90A ACD ∠+∠=，∴B ACD ∠=∠，又∵90ACB ADC CDB ∠=∠=∠=，∴ACD ABC △∽△．【点睛】本题考查有两组对应角相等的两三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．27．如图，已知//,//,//AB DE AC DF BC EF .求证：~DEF ABC ．【答案】证明见解析【解析】根据对应边平行可得对应边之比，从而证明~DEF ABC .【详解】解：//,~,DE OE AB DE ODE OAB AB OB∴∴=． //,~,EF OE OF BC EF OEF OBC BC OB OC∴∴==． //,~,DF OF AC DF ODF OAC AC OC ∴∴=． ∴DE EF DF AB BC AC ==， ∴~DEF ABC .【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键.28．如图，在△ABC 中，∠C=90°，DM△AB 于点M ，DN△BC 于点N ，交AB 于点E ．求证：△DME∽△BCA ．【答案】见解析【解析】先证明∠DEM=∠A ，再由∠C=∠DME=90°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明DME ∽BCA ．【详解】证明：∵∠C=90°，DM△AB 于点M ，DN△BC 于点N ，∴∠C=∠ENB=∠DME=90°，∴AC∥DN ，∴∠BEN=∠A ，∵∠BEN=∠DEM ，∴∠DEM=∠A ．在DME 与BCA 中，DEM A DME C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴DME ∽BCA ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，方法有（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．29．如图，ABC 和EFD △的顶点都在正方形网格的格点上，则ABC 与EFD △相似吗？请说明理由．【答案】~ABC EFD .理由见解析【解析】利用勾股定理求出网格中三角形的边长，再证明两个三角形三边对应成比例即可得到结论.【详解】解：相似，理由如下：设网格中小正方形的边长均为1．根据勾股定理，得5,AB AC BC EF DE DF ====∴AB AC BC EF DE DF === ∴~ABC EFD .【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键.30．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），∠ADE ＝45°．求证：△ABD ∽△DCE ．【答案】见解析【解析】已知等腰直角三角形的两底角相等：∠B ＝∠C ＝45°，所以欲证明△ABD ∽△DCE ，只需推知∠1＝∠3，由“两角法”证得结论．【详解】∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠B ＝135°，∵∠2+∠ADE +∠3＝180°，∠ADE ＝45°，∴∠2+∠3＝180°﹣∠ADE ＝135°，∴∠1＝∠3，∴△ABD ∽△DCE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的判定与性质． 31．如图，在ABCD 中，E 是DC 上一点，连接AE 、F 为AE 上一点，且BFE C ∠=∠. 求证：ABF EAD .【答案】证明见解析.【解析】本题要证明ABF EAD ，根据题目给定的条件中没有给定与边对应成比例有关的信息，只有与角有关的条件，故在方法选择上确定利用定理“两角对应相等，两三角形相似”，通过证明BFE C ∠=∠，BAE AED∠=∠即可完成．【详解】证明∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，//AB CD ，//AD BC ，∴180D C ∠+∠=︒∵180AFB BFE ∠+∠=︒，且BFE C ∠=∠，∴D AFB ∠=∠.∵//AB CD ，∠=∠，∴BAE AED∴ABF EAD.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，关键是根据题意利用“两角对应相等，两三角形相似”的方法来证明两三角形相似．32．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）求证：△ADP∽△BDF；（3）如图2，若PE＝BE，PC CF的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF1，【解析】（1）根据SAS证明即可；（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．易证△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，进而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可得到结论；（3）如图2，作PH△BC于H．首先证明∠EFB＝30°，由PC得：HF进而求出CF，即可解决问题．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠FCH＝45°，∵AB∥FH，∴∠HFC＝∠ABC＝90°，∴∠FCH＝∠H＝45°，∴CF＝FH＝AE，∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH，∴△APE≌△HPF（AAS），∴PE＝PF，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵EP＝PF，∴∠EDP＝∠FDP＝45°，∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，∴∠ADP＝∠BDF，∵∠DAP＝∠DBF＝45°，∴△ADP∽△BDF；（3）如图2中，作PH△BC于H．∵∠ACB＝45°，PC∴PH＝CH＝1．由（2）得：BE＝PE＝PF，∴BE＝12 EF，∴∠BFE＝30°，∴PF＝2，∴HF∴CF1，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，正方形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及含30°角的直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形和含30°角的直角三角形，是解题的关键．。

第5课相似三角形的判定(2)

2．(例1)如图，根据条件证明：△ABC∽△A′B′C′.
3. 根据下面条件证明△ABC∽△A′B′C′. 已知：AB＝10，BC＝8，CA＝6，A′B′＝5，B′C′＝4，C′A′＝3.
4. 网格图中每个方格都是边长为1的正方形．
求证：△ABC∽△DEF.

提示：先用勾股定理求出各边，
AC＝ 12 12 2 ， DF＝ 22 22 2 2
知识点3：相似三角形的判定3
若两个三角形的两组对应边的比________ 相等，并且这两边
相等，则这两个三角形相似．的夹角________
几何语言
AB CA AB C A ∵________________ ，
________________ ∠A=∠A＇； △ABC∽△A＇B＇C＇ ∴_______________________.
提示：利用中位线定理 11．如下图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：AC＝_______ 2 ，BC＝_______ 2 ； (2)△ABC与△DEF是否相似？证明你的结论．
12．如图，点D在AB上，如果AC2＝AD· AB，那么△ACD 与△ABC相似吗？为什么？ ∵ AC2＝AD· AB
PPT课程
主讲老师:
第二十七章
第5课
一、知识储备知识点1：相似三角形的判定1 DE∥BC ∵________________ ， △ADE∽△ABC ∴________________.
相似
相似三角形的判定(2)
1．如图，已知BC∥DE，求证：△ADE∽ABC.
二、新课学习知识点2：相似三角形的判定2 相等，则这两个三角若两个三角形的对应边的比________ 形相似．几何语言 ∵________________， ∴________________.

第二十七章第5课相似三角形的判定(2)

(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝ BC＝AD， ∵E 是 AB 中点，FC＝3BF，∴AD∶BE＝AE∶BF＝2， ∴△BEF∽△ADE.
(2)△ADE∽△EDF. 证明：∵△BEF∽△ADE， ∴∠AED＝∠BFE，AD∶BE＝DE∶EF. ∵AE＝BE，∴AD∶DE＝AE∶EF. ∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠AED＋∠BEF＝90°. ∴∠DEF＝∠A＝90°.∴△ADE∽△EDF.
解：∵AA′BB′＝142＝13 AA′CC′＝155＝13 ∴AA′BB′＝AA′CC′ 又∵∠A＝∠A′＝30° ∴△ABC∽△A′B′C′
3．如图，在△ABC 中，DE∥BC. 求证△ADE∽△ABC.
解：∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∴△ADE∽△ABC
4．如图，根据图形中提供的数据，你能得到三角形相似吗？为什么？
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0,6)，点 B(8,0)．动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P，Q 移动的时间为 t s.
(1)求直线 AB 对应的函数表达式； (2)当 t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？
解：(1)设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b；已知点 A(0,6)、点 B(8,0)，
则8b＝ k＋6b＝0
b＝6 ；解得k＝－34
，
∴直线 AB 的解析式为 y＝－43x＋6
(2)由题意可知 AO＝6，BO＝8，则 AB＝10，BQ＝2t，△APQ 与△AOB 相似有两种情况： ①当∠APQ＝∠AOB 时，如图(1)，有AAOP＝AAQB，即6t ＝101－0 2t，解得 t＝3110，

《24.4相似三角形的判定》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第一学期

《相似三角形的判定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生在初中数学课程中对于相似三角形判定的理解，能够熟练运用相关定理和性质，通过实际操作和练习，提升学生对相似三角形问题的分析和解决能力。

二、作业内容（一）理论复习学生需回顾相似三角形的定义、性质及判定定理，如AA相似、SSS相似等，并尝试通过例题理解各种判定方法的应用场景。

（二）练习题设计1. 基础题：选择、填空题，涉及相似三角形的概念及基本判定方法。

2. 综合题：设计实际问题，要求学生通过画图、计算、推理等步骤，判断三角形的相似性。

3. 拓展题：提供复杂图形，要求学生运用所学知识，分析并判定多个三角形之间的相似关系。

（三）实践操作学生需自行寻找或绘制实际生活中的相似三角形实例，如地图上的建筑物与实地建筑物的关系等，并尝试用所学知识解释其相似性。

三、作业要求1. 理论复习部分：学生需自行总结相似三角形的判定方法，并尝试举一反三，通过典型例题加深理解。

2. 练习题部分：要求学生在规定时间内独立完成，综合题和拓展题需有详细的解题步骤和思路说明。

3. 实践操作部分：学生需拍摄或绘制实例的照片或草图，附在作业中，并简要说明其相似性的判定过程。

4. 作业需整洁、字迹清晰，解答过程逻辑严谨，表达准确。

四、作业评价1. 教师根据学生完成情况，对理论复习部分进行批改，并给出相应的指导建议。

2. 对练习题部分进行评分，重点关注学生的解题思路和步骤是否正确，表达是否清晰。

3. 对实践操作部分进行评价，关注学生是否能从实际生活中找到相似三角形的例子，并正确分析其相似性。

五、作业反馈1. 教师将批改后的作业发回给学生，让学生了解自己的不足之处。

2. 对于共性问题，教师将在课堂上进行讲解，帮助学生解决疑惑。

3. 鼓励学生之间互相交流学习，分享解题经验和思路。

4. 定期收集学生的作业反馈，了解学生的学习需求和困难，以便调整教学策略和作业设计。

通过以上作业设计旨在通过多维度、多层次的练习，帮助学生全面掌握相似三角形的判定方法，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关练习题2（附答案详解）

青岛版2020九年级数学 1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关练习题2（附答案详解）1．如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，有下列三个结论：①DE ＝12AB ；②△CDE ∽△CAB ；③△CDE 与△CAB 的相似比为 2.其中正确的结论有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图所示，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE ⊥AF ，垂足为点M ，BE=3，AE=26，则MF 的长是（）A ．15B ．1510C ．1D ．15153．已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E 和F ，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（）A ．43B ．245C ．43或245D ．23或1254．如图，已知AD 为ABC 的角平分线，//DE AB 交AC 于E ，如果23AE EC，那么(AB AC)A ．13B ．23C ．25D ．355．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（）A．4对B．3对C．2对D．1对6．如图在ABC中，ACB90，CD AB，DE BC，垂足分别为D、E．则与Rt CDE（本身除外）相似的三角形共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO=3，BO=5，DC=4，则AB长为（）A．6B．8C．203D．1548．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC=1：2，BE 交AD于P，则AP：PD等于（）A．1：1 B．1：2 C．2：3 D．4：39．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE 的面是2，则四边形BCED的面积是（）A．4 B．8 C．212D．25210．如图，△ABC中∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=，PB=5，PC=2，则∠APC的度数为_____，△ABC的面积为_____．11．请说一说什么是相似三角形答：_____________.通过探索和学习，你知道怎样判定两个三角形相似？那么请把你的判定方法写在下面吧.（1）_____________.（2）_____________.（3）_____________.12．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=6，AC=4，AD=3，当AP的长度为__________时，△ADP与△ABC相似．13．如图，D、E分别在ABC的AB、AC边上，且DE与BC不平行，要使ABC 与AED相似，需要添加一个条件________．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE DF，AE 与BF相交于点M，则图中与ABM相似的三角形有________．15．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=32ED，EC交对角线BD于点F，则EFFC等于_____．16．如图为两正方形ABCD，BPQR重叠的情形，其中R点在AD上，CD与QR相交于S点．若两正方形ABCD、BPQR的面积分别为16、25，则四边形RBCS的面积为__________．17．如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当_____时，△ADE∽△ABC．其中D、E 分别对应B、C．（填一个条件）．18．如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，//DE BC，6BC，2DE，当ADE面积为3时，则ABC的面积为________．19．在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(10，0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为13，把线段AB缩小后得到线段A/B/，则A/B/的长度等于____________．20．如图，AB//CD，ACB BDC90，CE AB于点E，DF CB于点F．1求证：ABC BCD∽；2已知AC2BC，求DFCE的值．21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1、P 2、P 3、P 4、P 5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明△ABC 为直角三角形；(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；22．在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与A ，B 重合），分别连接ED 、EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形．如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“强相似点”．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=70°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）四边形AOBC 在平面直角坐标系中的位置如图2所示，若点A ，B ，C 的坐标分别为（6，8）、（25，0）、（19，8），则在四边形AOBC 的边OB 上是否存在强相似点？若存在，请求出其坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点D 落在AB 边上的点F 处，若点F 恰好是四边形ABCE 的边AB 上的一个强相似点，直接写出BC AB的值．23．已知直线y=mx+2（m ≠０）交x 轴，y 轴于A ，B 两点，点O 为坐标原点，点C （2，0）．（1）用含m 的代数式表示点A 的横坐标_____；（2）若直线AB 上存在点P 使∠OPC=90°，求m 的取值范围．24．如图，Rt ABC 中，90C ，4AC ．3BC，点M 是AB 上一点，以M为圆心作M ，1若M 经过A 、C 两点，求M 的半径，并判断点B 与M 的位置关系．2若M 和AC 、BC 都相切，求M 的半径．25．在ABC 和DEF 中，90A D，3ABDE ，24ACDF ．（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC 分割成的两个三角形与DEF 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．26．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。

相似三角形的判定二

相似三角形判定二【知识要点】1．三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。

已知：求证：证明：AC1 12．三角形相似的判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。

已知：求证：证明：C1 1【典型例题】例1-1 如图,A 、D 、B 、E 、C 、F 分别在射线OA 、OB 、OC 上且,OFOCOE OB OD OA ==试判断 △ABC 与△DEF 是否相似。

例1-2 如图，四边形ABCD 中，AB EF //，交BC 于F ，交AC 于E ，AD EG //，交CD 于G ，连结FG ，求证：CFG ∆∽CBD ∆.例2-1 已知：如图，,EDCABE BC BD AB == （1）求证：∠ABD=∠CBE ；（2）求证：∠BAD=∠BCE 。

BCEO例2-2 如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，试问：（1） △ABD 与△CBE 能相似吗？请说明理由。

（2）△ABC 与△DBE 能相似吗？请说出你的看法。

例3-1 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E 。

求证：△BDE ∽△BAC 。

C例3-2 如图，△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 的高，求证：DE=21BC 。

例4-1 已知：如图所示，四边形ABDC ，CDFE ，EFHG 都是正方形，求证：（1）△ADF ∽△HAD ；（2）∠AFB ＋∠AHB=∠ADB 。

例4-2 如图，在矩形ABCD 中，E ，F 为AB 边上两点，且AD=AE=EF=FB ，DF 交AC 于G 。

求证：EG ⊥FD 。

例5 如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ，Q 是CD 的中点。

（1）求证：△ADQ ∽△QCP ；（2）求证：AQ ⊥PQ ；（3）求证：△ADQ ∽△AQP 。

例6 已知，如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F 。

相似三角形的判定(2)

AB 8 1 A ' B ' 16 2
AC 15 1 A ' C ' 30 2
AB AC A' B ' A'C '
（ 2）
AB 10 5 0.625 A ' B ' 16 8
AC 16 0.625 A'C ' 25.6
BC 8 0.625 B ' C ' 12.8
A`
C`
AB AC BC ∵ A`B` A`C ` B`C `
∴△ABC∽△A`B`C`
反馈练习 1、试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．在△ABC和△A′B′C′中，已知： (1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm， A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．
A ' B ' A 'C ' AB AC
A'
A
AD AE AB AC
∴ DE//BC ∴ △ADE ∽ △ABC
B'
C' B
D
E C
∴ △A'B'C' ∽ △ABC
AB AC 对于△ABC和△A'B'C'，如果 A' B ' A' C '
∠B＝∠B'，这
两个三角形一定相似吗？试着画画看．
相似，因为对应边的比相等.
在△ABC和△A′B′C′中，已知： (2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A′B′＝16cm，B′C′＝20cm，A′C′＝30cm