巧用定积分的概念求和式极限的方法技巧

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利用定积分定义求和式极限问题的探讨

．
上式的和是函数Ｆ（ｘ，ｙ）＝５ｘ一１８×２ｙ＋５ｙ４在Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）
＝击．
酬＝击＋＝
。＝ｌ０≤×≤１，０≤ｙ≤１｝上的一个积分和。该题在求解过程中将Ｄ：
｛（ｘ，ｙ）＝１０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１｝进行等分成个ｎ小区域，按照划
＋
这里取ｆ（ｘ）＝，区间为［ａ，ｂ】，极限转化为击
Ｊｘｄ×。若取分—— 求和 —— 取极限的方法来进行分析，且已知函数Ｆ（ｘ）
＝５ｘ一侣 ×２ｙ＋５ｙ在整个闭区域上是连续的，故二重积分存在，可
ｆ（ｘ）＝［ａ＋（ｂ—ａ）ｘ】。，区间为［０，１】，极限转化为Ｊ。［ａ＋（ｂ—ａ）×］Ｄｄ×。后以利用二重积分来计算该极限和。
ｆｓｉｎｓｉｎ
１
椭【０叶哥
有些特殊的和的极限可以利用二重积分的定义求解。
例４计算。。 ∑ ∑（５ｍ一１８ｍ。＋５ｋ）。
ｎｍ。。
解：。。 ∑ ∑ （５ｍ一１８ｍ２ｋ２＋５ｋ）： ∑ ∑
［５例２求极限ｓｉｎ ’ ∑［ｎａ＋ｉ（ｂ—ａ）］（ｐ＞ｏ。ａ＜ｂ）
的空间，让他们用手中的立体图形和平面图形自由结合创造出一些模型、图案，然后让代表在讲台前展示并给自己的模型作简短的介绍，就这样把本节课推入了高潮。
不管是怎样的教学模式，本着 “在活动中体验，在活动中感悟、在感悟中成长”的理念，努力地创设问题情境，使内容活动化，活动内容化，使我们的教学设计真正是学生活动的设计。让学生在民主和谐的环境中学习，在激烈竞争的环境中探索，给学生一个自由翱翔的空间和发挥的舞台，让学生充分体验到投入实践和探索的成就感。让学生没有理由不爱上数学！带着一种欣赏的眼光去聆听学生们的话语，使你不能不为孩子丰富的想象力、大胆的创造力而惊叹！

利用定积分定义求极限的原理

利用定积分定义求极限的原理定积分是微积分的一个重要概念，用于计算函数在一定区间上的面积。

定积分的定义可以用来求极限，这是一项重要的数学技巧。

本文将介绍利用定积分定义求极限的原理，并通过实例说明其应用。

首先，我们来回顾一下定积分的定义。

对于一个函数f(x)在[a,b]区间上的定积分，可以用极限的概念表达为：∫(a,b) f(x) dx = lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx其中，Δx = (b - a) / n 是每个小区间的宽度，x_i 是区间中的任意一点，lim(n→∞)代表当n趋向于无穷大时取的极限，Σ[i=1,n]表示对每个小区间做求和运算。

根据定积分的定义，我们可以利用它来求解一些函数的极限。

具体步骤如下：第一步，确定求解的函数。

首先需要选择一个待求解的函数f(x)，并找到一个包含区间[a,b]的闭区间来计算。

第二步，进行积分近似。

利用定积分的定义，将函数f(x)分割成若干个小区间，并在每个小区间上选择一个代表点x_i。

然后，计算相应的Σ[i=1,n]f(x_i)Δx。

第三步，求解极限。

根据极限的定义，将积分近似的结果取极限，即lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx。

第四步，验证结果。

通过比较求得的极限与给定函数的极限是否相等，来验证我们的结果。

接下来，我们通过一个具体的实例来说明利用定积分定义求极限的原理。

例子1：求解函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的极限lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx。

首先，将区间[0,1]分割成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=1/n。

然后，在每个小区间上选择一个代表点x_i，可以选择x_i=Δx/2接下来，计算Σ[i=1,n]f(x_i)Δx：Σ[i=1,n]f(x_i)Δx=Σ[i=1,n](Δx/2)^2Δx=Σ[i=1,n]Δx^3/4=(∑[i=1,n]Δx^3)/4=nΔx^3/4=n(1/n)^3/4=1/4n^2最后，取极限得到极限结果：lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx = lim(n→∞) (1 / 4n^2) = 0我们知道函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的极限为0，因此利用定积分的方法求得的极限结果与函数极限相等，验证了我们的结果。

考研数学专题利用定积分的几何意义求和式极限

2
ln xdx
1
故选择 B.
注：根据定积分的几何意义，易知如果将 C 选项改为 2 1ln(1 x)dx 也正确。利 0 用分部积分法容易算出结果,即：
lim ln n
n
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n n
2
2
2
ln xdx 4 ln 2 2.
1
例题
1.2： lim n
n
1
1 n
2
1
2 n
们来看具体的做法。
解：先对原式进行适当的放缩
lim
n
sin k n
n k 1 n 1
lim
n
n k 1
sin k n
n 1
lim
n
sin k n
n n k 1
，下面利用定积分的定义求两侧极限，
k
lim
n
sin k n
n n k 1
1
sin
0
xdx
1
cos
x |10
2
,
lim
这道题目应该深刻体会和式的极限与定积分之间的转化并且熟悉定积分
的几何意义。
解：
lim ln
n
n
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n 2 n
lim
n
1 n
(ln
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n n
2
)

2
lim
n
1 n
(ln
1
1 n
ln
1

高等数学定积分及重积分的方法与技巧

高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注（1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结（定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数；（2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解（1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结（1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。

定积分的定义公式分割近似求和取极限

定积分的定义公式分割近似求和取极限定积分这玩意儿，在数学里那可是个相当重要的角色。

它的定义公式——分割近似求和取极限，听起来好像挺复杂，但咱们慢慢捋捋，其实也没那么可怕。

我记得有一次，我在课堂上讲定积分的时候，有个学生一脸迷茫地看着我，那小眼神仿佛在说：“老师，这都是啥呀？”我就跟他说：“别着急，咱们一步一步来。

”咱先说分割。

这就好比你有一块大蛋糕，你要把它切成好多小块。

比如说，一个函数的区间[a,b] ，咱把它分成 n 个小区间，这就是分割。

每个小区间的长度不一定相等，但加起来就是整个区间的长度。

然后是近似。

这就像你切完蛋糕，要估计每一小块的大小。

对于每个小区间里的函数值，咱找个简单的数来近似代替，比如说区间里某一点的函数值。

再说说求和。

把每个小区间里近似的函数值乘以小区间的长度，然后加起来，这就是求和。

最后是取极限。

当把区间分得越来越细，小区间的数量越来越多，每个小区间的长度越来越小，这个求和的结果就会越来越接近一个确定的值，这个值就是定积分的值。

比如说，你要计算从 0 到 1 区间上 x²的定积分。

咱先把这个区间分成 n 个小区间，每个小区间的长度就是 1/n 。

然后在每个小区间里，咱用区间中点的函数值来近似代替。

比如第 i 个小区间的中点是 i/n ，那这个小区间里的函数值就近似为 (i/n)²。

把每个小区间的近似值乘以小区间长度 1/n 再加起来，得到一个式子。

最后让 n 趋向于无穷大，取这个式子的极限，就能得到定积分的值 1/3 。

在实际生活中，定积分也有很多用处呢。

就像你要计算一个不规则图形的面积，或者计算一个物体在一段时间内移动的路程，都能用到定积分。

还记得有一次我装修房子，要计算一面墙的不规则形状的面积，来确定需要多少壁纸。

我就用定积分的思路，把那面墙的形状分割成好多小部分，近似计算每一部分的面积，最后求和取极限，算出了差不多准确的面积，成功买到了合适数量的壁纸。

定积分的定义在求无穷和式极限中的应用

参考文献：［１］吴立根．食品质量与安全专业的实践教学体系构建与改进
［Ｊ］．河南教育学院学报（自然科学版），２００８，１７（１）：６０～６２．［２］朱正伟，刘东燕，何敏．进一步加强高校实践教学环节的思考
［Ｊ］．高等理科教育，２００８（２）：７４～７６．［３］励建荣，邓少平，顾振宇等．我国食品质量与安全专业人才教育
。
通过上述四个例题的分析，我们知道数列的ｎ项之和的
分析：此题所研究的和式为ｎ项和的形式，却不易求出极限可以通过定积分的定义来计算。下面举例说明含有三
该数列的前ｎ项和，所以不能像例１那样先求和再求极限，角函数数列的ｎ项之和的极限的求法。
而应该用定积分的定义来求。如能找到函数ｆ（ｘ）和区间
例５：求极限
要改变从过去考核实验和实习报告为主的传统考评方法向将来的考核放在学生在实践教学过程中所表现出来的主动性与创新性的综合能?为主的考评方法过渡即对学生的考核包括实验报告和实践总结的撰写水平实验?论的书面考核实践过程的态度操作技能的掌握程度收集整?资?的能?以及观察问题和分析解决问题的能?等充分发挥学生的主观能动性
度、操作技能的掌握程度、收集整理资料的能力以及观察问题和分析解决问题的能力等，充分发挥学生的主观能动性。３实施方案
（１）根据素质教育要求和教育部“关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质量的若干意见”，结合专业实际在充分调研的基础上调整好食品质量与安全专业实践教学体系。
（２）以学科与课程组为单位，编写实验教学大纲和实习实践教学大纲，在修订实验大纲以及实验教材时，增加综合性、设计性实验比重，并把学科发展的新成果充实到教学内容中去。
模式的思考与实践［Ｊ］．中国食品学报，２００４，（４）：１０９～１１２．

运用定积分求极限

运用定积分求极限修正后：求极限的方法层出不穷，但最常用的方法有极限的定义和性质、重要极限的结论、洛必达法则以及泰勒公式等。

应用极限的定义时，往往是在极限的结果已经比较明显，只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果。

但这种方法一方面叙述上比较麻烦，另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子。

重要极限的结论形式上要求非常严格，只能解决两种形式的极限问题。

洛必达法则是用于解决“$\frac{0}{0}$”型的极限和“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限的。

泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题，通过___展式后可以达到某些项抵消效果。

但若仔细观察这些方法，其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识。

事实上，微分学和积分学的关系正如中小学时代研究过的加法与减法、乘法与除法、乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样，它们互为逆运算。

如果也能用到积分学知识来解决求极限的问题，那么求极限的方法才算完美。

而利用定积分求极限正体现了这一理念。

下面回顾一下定积分以及极限的定义：定积分：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在闭区间$[a,b]$内任意插入$n-1$个分点将$[a,b]$分成$n$个区间$[x_{i-1},x_i]$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots,n)$，$\forall \xi\in[x_{i-1},x_i]$，作乘积$f(\xi_i)\Delta x_i$（称为积分元），把这些乘积相加得到和式$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Deltax_i$（称为积分形式）。

设$\lambda=\max\{\Delta i\leq n\}$，若$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$极限存在唯一且该极限值与区间$[a,b]$的分法$\lambda\to 0$及分点$\xi_i$的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，即$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。

定积分求极限的方法总结

定积分求极限的方法总结1. 使用定积分的定义直接计算极限值。

2. 将定积分转化为不定积分，再求导计算极限值。

3. 将定积分转化为无穷级数，并利用级数求极限的方法。

4. 运用分部积分的方法化简定积分，再求极限值。

5. 使用换元积分法将定积分中的变量进行替换，再求极限值。

6. 将定积分拆分成多个部分，分别计算每部分的极限值，再求和得到总极限。

7. 将定积分转化为面积或体积，并通过几何图形的方式求极限值。

8. 运用洛必达法则，将定积分中的参数带入得到的极限表达式中。

9. 利用夹逼定理，将定积分所求的函数夹在两个已知的函数之间，再求极限。

10. 将定积分转化为递推式，逐步递推计算极限值。

11. 运用积分的性质，将定积分拆分成更简单的形式，再求极限值。

12. 将定积分表示的区域进行分割，通过分割后的极限值之和来求得总极限。

13. 将定积分所求函数进行分段处理，每个分段求极限后再组合求总极限。

14. 利用泰勒级数展开函数，再求得展开式在无穷远点的极限值。

15. 将定积分中的变量进行代换，把变量限定在一个特定范围内再求极限。

16. 利用柯西定理，将定积分转化为复积分，再求极限值。

17. 运用平均值定理，将定积分转化为函数的平均值来计算极限值。

18. 将定积分转化为广义积分，并通过广义积分的性质求得极限值。

19. 利用积分中值定理，将定积分转化为函数在某一点的导数表达式，再求极限值。

20. 运用积分的区间可加性，将定积分的区间进行划分，再通过区间极限值之和来求总极限。

21. 将定积分中的变量限制在一个趋向于极限值的范围内再进行计算。

22. 运用积分中的对称性或周期性，将定积分化简后再求极限值。

23. 利用积分中的不等式性质，将定积分转化为不等式，再求得不等式的边界极限值。

24. 将定积分中的参数带入函数中，得到极限参数函数表达式，再求其极限值。

25. 运用积分的递推性质，将定积分拆分成多个部分，再逐步递推计算总极限。

专题利用定积分定义求极限

专题1——利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：① 是n →∞时的极限② 极限运算中含有连加符号1n i =∑在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为b a n-（即定义中的i x ∆），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n--++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n-+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i ii f x ξ=∆∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。

（取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n→∞=--+-=∑⎰）注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑⎰。

考研数学：用定积分的定义求极限

f ( x)
在区间
[ a, b]
上有界，在，这样
[ a, b]
内任意插入
n 1
个分点
a x0 x1 x2 ... x n 1 x n b [ xi 1 , xi ], (i 1, 2,..., n)
用 xi
[ a, b]
就被分为了
1i n
0
i 1
…………………………………………………………………………………………取极限
则作dx lim f (i )xi ，其中 f ( x) 称为被积函数， f ( x)dx 称为被积式， x 称
0
i 1
n
为积分变量， [a, b] 称为积分区间， b, a 分别称为积分上、下限。我们从定积分的定义内容可知，定积分的本质其实就是和式的极限。因此，我们可以利用定积分的定义来计算和式的极限。 2.利用定积分的定义求极限基本公式： lim
i 1 i
n
i
f (1 )x1 f (2 )x2 f (n )xn …………………求和 f ( x)
在区间 [ a, b] 上的定积分，记令
称
f ( x)
在区间 [ a, b] 上可积，该极限称之为
n
max(xi ) ，如果有极限 lim f (i )xi 存在且与 [a, b] 的划分及 i 的选取无关
取自 xi 处，那么和式极限就可以表示为 lim
n
f nn
i 1
n
i 1
1
0
f ( x)dx
考研试题中的应用：我们 2017 年研究生考试数一、二、三中就出现了这种题型。例题:求 lim

数列极限定积分求法

数列极限定积分求法数列极限和定积分是微积分中的两个重要概念。

数列极限用于描述数列中的值趋向于某个常数的情况，而定积分用于计算函数在某个区间上的面积。

在某些情况下，我们可以使用定积分的方法来求解数列极限。

下面将讨论数列极限与定积分的关系以及具体的求解方法。

首先，我们来讨论数列极限和定积分的关系。

当我们需要求解一个数列的极限时，我们可以将其转化为一个定积分，并通过计算定积分来求解数列极限。

具体的方法是将数列中的项表示为一个函数，并将其转化为函数在某个区间上的定积分。

通过计算该定积分，我们可以得到数列的极限。

这个方法在一些特定的数列中尤为有效，例如几何数列、调和数列等。

接下来，我们来介绍几个具体的求解数列极限的例子。

1. 求解几何数列的极限考虑几何数列$a_n=a_0 \cdot r^n$，其中$a_0$为首项，$r$为公比。

我们想要求解当$n$趋向于无穷大时，数列$a_n$的极限。

我们可以将几何数列转化为一个函数$f(x) = a_0 \cdot r^x$，其中$x$为实数。

然后我们要计算函数$f(x)$在区间$[0, +\infty)$上的定积分$\int_0^{+\infty} a_0 \cdot r^x dx$。

当$r$的绝对值小于1时，我们可以通过计算定积分得到数列的极限为$\frac{a_0}{1-r}$。

2. 求解调和数列的极限考虑调和数列$a_n = \frac{1}{n}$。

我们想要求解当$n$趋向于无穷大时，数列$a_n$的极限。

我们可以将调和数列转化为一个函数$f(x) = \frac{1}{x}$，然后计算函数$f(x)$在区间$[1, +\infty)$上的定积分$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx$。

通过计算该定积分，我们可以得到数列的极限为0。

通过以上两个例子，我们可以看到数列极限与定积分之间的关系。

在一些特定的情况下，我们可以通过将数列转化为函数的定积分来求解数列的极限。

考研数学：用定积分定义计算极限的方法和技巧

考研数学：用定积分定义计算极限的方法和技巧求极限是考研数学中的一个重要考点，每年都考，因此，各位考生应该学会如何熟练地求极限。

求极限的方法很多，包括：利用四则运算、两个准则、两个重要公式、变量代换、等价代换、恒等变形（指数化，有理化，三角变换等）、洛必达法则、泰勒公式、导数定义、定积分定义、中值定理和无穷级数。

为了帮助各位考生掌握好求极限的各种方法，文都考研辅导老师会向大家逐步地介绍这些方法，今天将向大家介绍如何用定积分定义求极限的方法，供各位考生参考。

用定积分定义求极限的基本思路：根据定积分的定义：若()f x 在[,]a b 上可积，则01lim()()nbiiak f x f x dx λξ→=∆=∑⎰，其中1max{}i i n x λ≤≤=∆，若取(),i i b a b a kx a n nξ--∆==+，则得1()lim []()nb a n k b a k b af a f x dx n n→∞=--+=∑⎰，特别是，当0,1a b ==时，1011lim ()=()n n k kf f x dx n n →∞=∑⎰。

如果所求极限可以转化为这些和式的极限形式，则可以运用定积分定义计算极限。

适用情形：利用定积分定义计算极限，主要用于n 项和式（或可以化为n 项和式）的极限计算，n 项和式中的每项须具有同样的表示形式（是某个函数()f x 的函数值），如果是分式，则分子的次数须相同，分母的次数须相同，且分母的次数须比分子的次数高1次。

一般求解步骤：1）先对和式进行恒等变形化简，使之符合11()n k k f n n =∑或1()[]nk b a k b af a n n =--+∑的表示形式；2）利用定积分的性质计算出积分值；3）由定积分值得出原和式的值（有时结合使用夹逼准则）。

典型例题：例1.求2lim+nn →∞+解：2lim+n In →∞=+111lim nn i n →∞==⎰，令tan x t =，则2444000sec sec ln sec tan ln(1sec tI dt tdt t ttπππ===+=+⎰⎰例2.求1lim()(1)nn k kn k n k →∞=+++∑ 解：先进行恒等变形化简，然后用定积分定义计算极限，具体过程如下：11()()(1)1nnk k k k kn k n k n k n k ===-=++++++∑∑ 112233()()()()1223341n nn n n n n n n n n n -+-+-++-=+++++++++1121nk n n kn =-++∑，1112122n n n=→++，1100111111lim lim ln(1)ln 211nn n n k k dx x k n k n x n→∞→∞===⋅==+=+++∑∑⎰，所以，原式=1ln 22- 例3. 求2sinsinsinlim (+++)1112n n n n n n n n n πππ→∞+++ 解：此题须结合夹逼准则求极限：112sinsinsin11sin +++sin 11112nn i i n i i n n n n n n n n n n n πππππ==≤≤++++∑∑，1011112lim sin lim sin sin 11n n n ni i i n i xdx n n n n n ππππ→∞→∞===⋅==++∑∑⎰，由夹逼准则得，所求极限为2π 例4. 求limn n→∞解：此题表达式是乘积的形式，通过指数化方法可以化为n 项和的形式：11011limlnln 12lim lim()nn i ixdxn n nn n nI e e n n nn→∞=→∞→∞∑⎰==⋅⋅⋅==，1111ln lim ln lim[(ln )]lim [ln 1+]=1xdx xdx x x dx εεεεεεεεε+++→→→==-=---⎰⎰⎰，故1I e -= 上面就是考研数学中如何用定积分定义求极限这类问题的解题方法，供考生们参考借鉴。

积分求极限的方法

积分求极限的方法在微积分中，求解极限是一个重要的概念和技巧。

其中，积分是一种常用的方法之一。

本文将介绍以积分求解极限的方法，并通过具体的例子进行说明。

一、定积分的定义在介绍以积分求极限的方法之前，我们首先回顾一下定积分的定义。

对于一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫[a,b] f(x)dx其中，积分号∫表示求和的意思，f(x)表示被积函数，dx表示求和的变量。

二、以积分求极限的方法以积分求极限的方法主要包括以下两个步骤：1. 将待求极限转化为积分形式；2. 利用定积分的性质和公式进行计算。

下面通过两个具体的例子来演示这个方法。

例子1：求极限lim(x→0) (sinx/x)。

我们将待求极限转化为积分形式。

根据三角函数的性质，我们知道：lim(x→0) (sinx/x) = lim(x→0) (∫[0,x] cosudu/u)接下来，我们利用定积分的性质和公式进行计算。

根据定积分的定义，我们可以将积分号∫展开，得到：lim(x→0) (∫[0,x] cosudu/u) = lim(x→0) (∫[0,x] cosu/u) - lim(x→0) (∫[0,x] cosv/v)其中，u和v是新的积分变量。

根据定积分的性质，我们可以将上式中的两个积分分别拆开，得到：lim(x→0) (∫[0,x] cosu/u) - lim(x→0) (∫[0,x] cosv/v) = ∫[0,0] cosudu/u - ∫[0,0] cosv/v根据定积分的性质，我们知道∫[0,0] f(x)dx = 0，因此上式可以化简为：∫[0,0] cosudu/u - ∫[0,0] cosv/v = 0 - 0 = 0因此，原极限lim(x→0) (sinx/x)的值为0。

例子2：求极限lim(n→∞) ∑(k=1 to n) (1/n)。

我们将待求极限转化为积分形式。

根据求和的性质，我们知道：lim(n→∞) ∑(k=1 to n) (1/n) = lim(n→∞) (1/n) ∑(k=1 to n) 1接下来，我们利用定积分的性质和公式进行计算。

巧用定积分的概念求和式极限的方法技巧

巧用定积分的概念求和式极限的方法技巧【摘要】在数学分析、高等数学教科书中，经常会遇到一类无限多项和式极限的求解难度大，结构复杂、抽象不易理解的问题。

本文通过几个实例介绍如何运用定积分定义求和式极限的方法和技巧，使求和式极限问题简单化。

【关键词】定积分概念；和式极限；极限一、定积分的概念我们就称这个极限值为函数在区间上的定积分，记作，区间的划分与的选取是否适当将决定能否用定义求出定积分。

定积分是用和式极限定义的，所以用定积分可以求一类特殊类型的和式极限。

二、定理如果函数在上连续，则函数在上可积。

说明：当遇到一个和式满足如下条件时，a）每项都含有（作为公因子提出）。

b）（1）式中每项都是一个函数形式时，也就是每一项形式相同。

第一项含有，第二项，...，（2）式中第二项含，第二项含，…，设法第一项添加并变出含（往往不明显）。

无论（2）式或（3）式第项都必须含有，其余的不能含多余的，这样的和式极限就是一个上的一个定积分，就是积分中的，所谓的规律就是，通过求出定积分的值就可求出和式极限的值。

三、利用定积分概念求和式极限的实例分析四、结论巧妙的运用定积分的概念、繁复的求极限（先求和再求极限）问题瞬间得到解决，从而突破了习惯性思维的框架，克服了思维定势的束缚，常常带有创造性，完善了和式极限的计算方法，对教学和科研具有双重意义。

参考文献：[1]吉林大学数学系.数学分析（中册）〔M〕.北京人民教育出版社：1978.[2]华东师范大学数学系编.《数学分析》（上册）〔M〕，高等教育出版社，2001.[3]盛骤，吴迪光，张光天.《高等数学》高等学校专科教学用书，浙江大学出版社，1985.[4]欧阳光中，朱学炎，秦曾复.《数学分析》（上册）〔M〕.上海：上海科学技术出版社1983.[5]刘光祖，鲁恩双.大学数学辅导与考研指导〔M〕.北京，科学出版社，2002.。

2016考研数学利用定积分的定义求“积和式”的极限

2016考研复习备考的小伙伴在高等数学的复习过程中一定遇到过形如的形式，对于多项求和再取极限的题目初次接触往往会觉得无从下手，考试中高度紧张的情况下甚至会选择直接放弃. 像这样，多项的乘积求和的形式统称为“积和式”. 在学过定积分的定义后，会发现积和式的形式与定积分“分割、近似、求和、取极限”类似，当遇到积和式求极限的题目，自然想到能不能将其转化为求函数的定积分来简化计算.首先，回顾一下定积分的定义. 其定义如下：由以上例子可知，利用定积分的定义来计算“积和式”的极限，大大减少了计算量，从而有效节省了解题时间. 这类题目不仅考查数列极限的知识点，而且考查了定积分的定义，因此，在历年考试中受到出题人的“青睐”，在复习过程中应该特别引起重视，相信会得到很好的复习效果，对考生的复习大有裨益.When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。

定积分定义求极限公式

考研数学——定积分定义求极限众所周知，2021年考研数学大纲进行了很大的调整，很多知识点的要求也更加深刻，其中对于定积分定义求极限部分的要求也有了很大提高，如果同学们对定积分定义求极限的复习还停留在最基本的公式层面是远远无法满足考试的要求的，而且从调整后的真题也能反映出来，考试对这一内容的要求是更加灵活的，这就需要大家对定积分的定义有着深刻的理解。

1）用定积分定义求极限基本思路：再由分部积分求定积分，上述方法属于定积分定义求极限的基本方法，但这还远远不够，接下来我们介绍这一公式在目前考研中的变化方向。

2）两个变形方向①积分区间的变化：前文中我们说了，一般情况下积分区间是，但是考试这一块是可以灵活变化的。

针对这种情况，可以先用上述公司把定义写成原始积分，再对区间进行调整。

此时，我们发现选项中没有对应选项，区别是选项中的区间都是，此时我们就需要调整积分区间，即积分上下限，换元即可，令T=1+X 可得：【解析】由上述公式知此题取的算术平均值，故直接选出B选项。

此题划分方式的变化较简单，我们再来看其他形式。

【解析】（1）式，显然是原始公式，即右端点，正确。

（2）式，对应的是算术平均值，正确。

（3）式，对应的是左端点，正确。

（4）式，将区间划分成段2n段，仍然选取右端点，正确。

（5）式，对应几何平均值，正确。

（6）式，对应调和平均值，正确。

故选D。

根据以上的讲解，相信大家能够发现，定积分定义求极限的变化方向多，灵活度广，就需要大家在学习中，一方面能够深刻理解微元法的思想及定积分定义的内容，另一方面也要掌握其中变形的方向和技巧，且备综合应用能力。

以此类推其他考点，也希望大家在学习中能够全面的把握知识点并结合考试要求进行理解和学习。

定积分的级数求和

定积分的级数求和在高等数学的学习中，我们了解到了不同的数学概念，并学会了各种计算方法。

其中，定积分是一个重要的概念，它可以用来求出曲线下方某一段的面积。

而在实际应用中，我们有时需要对一些无穷级数进行求和，这时就可以利用定积分的方法来求解。

本文将介绍如何使用定积分的方法对某些级数进行求和。

一、级数的概念在介绍定积分的方法前，我们先来了解一下级数的概念。

级数是由一串数列相加得到的无穷和，一般可以表示为：$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n=a_1+a_2+a_3+...$$其中，$a_n$为级数的项。

二、级数的收敛性一个级数可能会收敛或发散。

如果一个级数的和是一个有限的数，那么这个级数就是收敛的；如果一个级数的和是无限的或者不存在，那么这个级数就是发散的。

在这里，我们不详细介绍级数的收敛性相关的定义和判定方法，感兴趣的读者可以去查阅相关资料。

三、级数求和方法对于一个已知的级数，我们可以使用很多不同的方法来求和。

这里我们主要介绍定积分的方法。

1.级数求和公式如果一个级数的通项公式可以表示为$f(n)$，并且$f(n)$为一个连续的函数，那么该级数的和可以表示为一个定积分：$$\sum_{n=1}^{\infty} f(n)=\int_{1}^{\infty} f(x)dx $$这个式子的意义是：将一个区间$[1,\infty)$分成一个一个长度为1的子区间，然后将$f(x)$在每个子区间内的取值相加，最后取这些和的极限值。

举个例子，假设要求下面这个级数的和：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$这个级数的通项公式为$f(n)=\frac{1}{n^2}$，而$\frac{1}{n^2}$在$[1,\infty)$上是连续的。

因此，我们可以使用公式$\sum_{n=1}^{\infty} f(n)=\int_{1}^{\infty} f(x)dx$来求出该级数的和：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}= \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{\infty}=1$$这个结果表示$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$的和等于1。

关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结(最新整理)

n1
f
k 0
k
n
1 n
第一项是f
0
n
=f
0
, 第二项是f
n- 1
n
,
n- 1 n
0 n
n- 1 n
n
f
k 1
k
n
1 n
第一项是f
1 n
,
第二项是f
n n
,
n n
1 n
n- 1 n
n- 1 我们发现这两种方法选取的第一个点和最后的一个点自变量相减都是，
n
n
1
1
n
1
2
AAA
1 2n
=
1 n
n
n
1
n
n
2
AAA
n
2n
现在问题又来了，
1
感觉括号里面还是找不到对应的规律啊，因为要出来 f 0
n
x dx =l i m f n k 1
k 1
n
n
也就是说要出来 k ，说的更详细点也就是每一项要出现 0 , 1 , 2 , 3 之类的，
n
nnnn
分析：因为每一项xnk
1 k 1含有n, 所以想到定积分，但是每一项并没有 n2
出来
1 n
,
所以转化一下xnk
1 k n2
1=
1 n
n
1 k n2
1
下面我要让式子中出现 k 这个整体有关的东西，不然没法利用定积分去做 n
xnk
1 n
n
1 k n2
1
=
1 n
n
k n2
1 n n
n 1
2n

利用定积分定义求和式极限问题的探讨

利用定积分定义求和式极限问题的探讨作者：陈小蕾来源：《成才之路》2009年第16期摘要:无限多项和式的极限求解具有一定的难度。

本文用具体例题形式给出了利用定积分求解和式极限的常用方法.关键词:和式;积分;极限在一般的规律总结中,通常把极限的求法总结为十种具体的求解方法。

利用定积分来求和式极限的方法在总结中常常被忽略掉,因为这种方法具有很强的针对性。

为了对加深对积分概念的理解,很有必要对种方法进行讨论归纳。

例1 求极限。

解:因为ln=ln=ln•=lnxdx=-1,所以=e=e=e-1极限问题转化为,把[0,1]区间n等分,?孜取,的右端点(即?孜=),由函数f(x)=lnx构成的积分和f•的极限, 再根据积分定义转化为定积分求解。

一般情况下只要符合定积分定义和式结构都可以利用定积分来进行求解,积分限的选取需要由函数结构本身和极限和形式来定,恰当的选择积分限可以简化运算.若能和其他求解极限方法结合效果会更好。

例2 求极限sin[na+i(b-a)]p (p>0,a解:因n→∞时,sin~,所以sin[na+i(b-a)]p=[na+i(b-a)]p =[a+(b-a)]p •=xpdx=。

这里取f(x)=xp,区间为[a,b],极限转化为xpdx。

若取f(x)=[a+(b-a)x]p,区间为[0,1],极限转化为[a+(b-a)x]pdx。

后者较前者稍显复杂。

在历年的考研数学中也曾多次出现过利用定积分来求解极限和的形式,下例就是在考研数一中出现的题型。

例3 求极限++…+。

解:利用夹逼原理:sin+sin+…+sin?仔?燮++…+?燮sin+sin+…+sin?仔。

三端同时取极限有sin+sin+…+sin?仔=•sin=,又sin+sin+…+sin?仔=sin= ,故有++…+=。

有些特殊的和的极限可以利用二重积分的定义求解。

例4 计算 (5m4-18m2k2+5k4)。

解:(5m4-18m2k2+5k4) =5-18+5•= (5x4-18x2y2+5y4)d?滓=dx(5x4-18x2y2+5y4)dy=(5x4-6x2+1)dx=0 ,其中D={(x,y)=|0≤x≤1,0≤y≤1｝。

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