第13讲 函数与导数之导数及其应用(教师版)
人教版高中数学目录(文科)
人教 A 版高中数学（文）目录表必修 1 第一章会合与函数观点1．1 会合1．2 函数及其表示1．3 函数的基天性质阅读与思虑广告中数据的靠谱性阅读与思虑怎样获得敏感性问题的诚实反响2．2 用样本预计整体阅读与思虑生产过程中的质量控制图2．3 变量间的有关关系阅读与思虑有关关系的强与弱第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思虑天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修 4 第一章三角函数1．1 随意角和弧度制1．2 随意角的三角函数必修21．3 三角函数的引诱公式第一章空间几何体1．4 三角函数的图象与性质1．1 空间几何体的构造1．2 空间几何体的三视图和直观图1．5 函数 y=Asin（ωx+ψ）1．3 空间几何体的表面积与体积1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量第二章点、直线、平面之间的地点关2．1 平面向量的实质背景及基本概牵挂2．1 空间点、直线、平面之间的位2．2 平面向量的线性运算置关系2．3 平面向量的基本定理及坐标表2．2 直线、平面平行的判断及其性示质2．4 平面向量的数目积2．3 直线、平面垂直的判断及其性2．5 平面向量应用举例质第三章直线与方程第三章三角恒等变换3．1 直线的倾斜角与斜率3．1 两角和与差的正弦、余弦和正3．2 直线的方程切公式3．3 直线的交点坐标与距离公式3．2 简单的三角恒等变换必修 3 第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法事例阅读与思虑割圆术必修 5 第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列第二章统计2．1 随机抽样阅读与思虑一个有名的事例 1 人教 A 版高中数学（文）目录表2.1 数列的观点与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前 n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前 n 项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面地区3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式第一章统计事例1．1 回归剖析的基本思想及其初步应用1．2 独立性查验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩大与复数的引入3．1 数系的扩大和复数的观点3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图4．2 构造图选修 1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充足条件与必需条件1.3 简单的逻辑联络词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算3.3 导数在研究函数中的应用3.4 生活中的优化问题举例选修4-1 第一讲相像三角形的判断及有关性质第二讲直线与圆的地点关系第三讲圆锥曲线性质的商讨选修 4-4 第一讲坐标系第二讲参数方程选修 1-22。
山东高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第13讲定积分与微积分基本定理理课件
_____f_(x_)_d_x_______叫做被积式．
(2)其定义体现求定积分的四个步骤：
①__分__割____；②__近__似__代__替____；③__取__和____；④__取__极__限____.
(3)定积分的几何意义：
f(x) f(x)≥0
bf(x)dx 的几何意义
a
表示由直线___x_＝__a____，___x_＝__b____，y＝0 及曲 线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
S△BOC－S1＝2－2(x－1x)dx＝2－(x22－ln x)21 1
＝12＋ln 2，故选 D．
角度2 已知曲线围成的图形的面积求参数
例 3 (2019·广州模拟)曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积 为43，则 k＝___2___.
[解析] 由yy＝ ＝xkx2， 得xy＝＝00， 或xy＝ ＝kk， 2， 则曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k>0)所围 成的曲边梯形的面积为k(kx－x2)dx＝(2kx2－13x3)k0 ＝k23－13k3＝43，即 k3＝8，所以 k＝2.
考点一 定积分的运算——自主练透
例 1 (1)计算：
①3
(3x2－2x＋1)dx＝___2_4____；
－1
②0
(cosx＋ex)dx＝___1_－__e1_π ___；
－π
③若 f(x)＝ 3＋2x－x2，则3f(x)dx 为___π___. 1
x2，x∈[0，1]，
4
(2)设 f(x)＝1x，x∈1，e]
分的概率等于__1_2___.
[解析] 依题意知点 D 的坐标为(1,4)，所以矩形 ABCD 的面积 S ＝1×4＝4，阴影部分的面积 S 阴影＝4－2x2dx＝4－13x312 ＝4－73＝53，根
导数的概念及运算【题集】-讲义(教师版)
导数的概念及运算【题集】1. 函数的平均变化率A. B. C. D.1.如图，函数在，两点间的平均变化率是（ ）．【答案】B 【解析】由图可知，，所以，所以函数在，两点间的平均变化率是．故选B ．【标注】【知识点】求平均变化率（1）（2）2.求下列函数在区间和上的平均变化率．．．【答案】（1）（2）在区间和上的平均变化率均为．在区间上的平均变化率，在区间上的平均变化率．【解析】（1）（2）在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率【素养】数学运算A.B.C.D.3.在函数的图象上取一点及邻近一点，则等于（）．【答案】C【解析】，．【标注】【知识点】求平均变化率A. B. C. D.4.函数的图象如图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是（）．【答案】C【解析】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间上的平均变化率小于；在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大，所以函数在区间上的平均变化率最大．故选：．【标注】【知识点】求平均变化率2. 瞬时变化率与导数（1）（2）5.利用导数的定义求下列函数的导数．．．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）．从而，当时，，∴．∵∴，∴当时，，∴．【标注】【知识点】导数的定义A.B.C.D.6.若，则（ ）．【答案】D 【解析】．故选：．【标注】【知识点】导数的定义A. B. C. D.7.设是可导函数，且，则（）．【答案】C【解析】，故选 C．【标注】【知识点】导数的定义；导数的几何意义的实际应用；函数的极限A. B.C. D.8.若函数在区间内可导，且，则的值为（）．【答案】C【解析】因为在可导，所以，．【标注】【知识点】导数的定义；函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率3. 基本初等函数的导数A.B.C.D.9.下列求导数运算正确的是（）．【答案】C【解析】根据导数的四则运算以及基本初等函数运算法则，故有选项，故错误．选项，故错误．选项，故正确．选项，故错误．故选．【标注】【素养】数学运算【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.10.下列导数运算错误的是（ ）．【答案】C 【解析】选项：．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导11.如果函数，那么 ．【答案】【解析】由题意可知，∴，，∴．故答案为：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；计算任意角的三角函数值A. B.C.D.12.已知，则的值为（ ）．【答案】A 【解析】，【标注】【知识点】复合函数的求导法则4.导数的四则运算13.函数的导数是 ．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.14.函数在处的导数等于（ ）．【答案】A 【解析】∵，∴．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导15.的导数 ．【答案】【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导（1）16.求下列函数的导数：．（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．先使用三角公式进行化简．∴．【标注】【素养】数学运算A. B. C. D.17.已知函数的导数为，且满足，则（）．【答案】C【解析】由函数，∴，∴当时，则有，解得．故选：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.18.已知，则（）．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B.C. D.19.已知函数的导函数为且满足，则（）．【答案】B【解析】，．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）．【答案】B 【解析】，令，即，解得．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导5. 复合函数求导法则（1）（2）（3）（4）（5）（6）21.求下列函数的导数．．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）．．．．．．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）22.求下列函数的导数．．．．．．．．．（9）（10）．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）．．．．．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）略．略．略．略．略．略．略．略．略．略．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导23.已知函数，且，则的值为．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】复合函数的求导法则A.B.C. D.24.已知函数，是函数的导函数，则函数的部分图象是（ ）．【答案】D 【解析】因为，所以，可知为奇函数，故排除，；又因为，，排除选，故选．【标注】【知识点】函数图象的识别问题；根据奇偶性确定图象；利用公式和四则运算法则求导6. 导数的几何意义A. B.C.D.25.曲线在点处的切线的斜率为（ ）．【答案】B【解析】∵，∴，∴．故选．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B.C.D.26.设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为（ ）．【答案】B【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用（1）（2）（3）27.导数等于切线斜率．如图，直线是曲线在处的切线，则．如图，曲线在点处的切线方程是， ．设是偶函数．若曲线在点处的切线的斜率为，则该曲线在点处的切线的斜率为 ．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）（3）直线的斜率为，所以．时，，∵的斜率为，故，∴．由偶函数的图象关于轴对称知，在对称点处的切线也关于轴对称，故所求切线的斜率为．也可由特殊函数得到此题答案．【标注】【知识点】导数的几何意义的实际应用；已知切线方程求参数；导数的几何意义；斜率计算28.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是．【答案】【解析】函数的定义域为，函数的导数为，直线的斜率，∵曲线上点处的切线平行与直线，∴，即，解得，此时，故点的坐标是，故答案为：．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义29.曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】因为，所以，所以该切线方程为，即．故答案为：．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B. C. D.30.曲线在点处的切线方程是（）．【答案】A【解析】，故，所以曲线在处的切线斜率为，切线方程为，化简整理得，故选．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程31.已知函数，求过点的切线方程．【答案】和．【解析】，因为点在曲线上．①若点为切点，则此时切线斜率为，则切线方程为，即；②若点不是切点，则设切点为，有，切线方程满足，（*）整理得，因为点满足方程（*），则是方程的一个根，即，即，所以或（舍，因为切点不为），即，，则此时切线的方程为，即，综上所述，过点的切线方程为和．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；求在某点处的切线方程；导数的几何意义A. B.C.或D.或32.过点的切线方程是( )．【答案】C【解析】设切点坐标为，，切线斜率，则，解得或，∴所求切线方程为或．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义（1）（2）33.已知曲线．求曲线在点处的切线方程．求曲线过点的切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】方法一：方法二：（1）（2）∵，∴在点处的切线的斜率，∴曲线在点处的切线方程为，即．∵点在曲线上，且，∴在点处的切线的斜率为，∴曲线在点处的切线方程为，即．设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率为，∴切线方程为，即，∵点在切线上，∴，即，∴，即，∴，解得或，故所求的切线方程为或．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；求过某点的切线方程34.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】方法一：方法二：设直线与曲线和曲线的切点分别为和．由导数的几何意义可得，即，由切点也在各自的曲线上，可得，解得，从而，则．由，得，由，得．设直线与曲线相切于点，则①，②，设直线与曲线相切于点，则③，④，由①得，代入②得，即⑤，由③得，代入④得，即⑥，⑤⑥得，，代入⑤得，故答案为．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义的实际应用；导数的几何意义35.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】设与曲线的切线，曲线的切点分别为，，∵，曲线，∴，，∴，①切线方程分别为，即为，或，即为，解得，②由①②解得，，可得：，则有，．故答案为：．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义。
专题13 导数的概念及其意义、导数的运算(解析版)
6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为( )
A．y=2x+1B．y=2x+ C．y= x+1D．y= x+
【答案】D
解析：设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，设直线 的方程为 ，即 ，
【小问2详解】 ，则 在点 处的切线方程为 ，整理得 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整理得 ，则 ，整理得 ，令 ，则 ，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：
0
1
0
0
0
则 的值域为 ，故 的取值范围为 .
4.（2022·新高考Ⅰ卷T22）已知函数 和 有相同 最小值．
2．函数f(x)的导函数：函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
基本题型：
1．设 为可导函数，且满足 ，则 为（）
A．1B．
C．2D．
【答案】B
【分析】利用导数的定义进行求解.
【详解】因为 ，所以 ，即
所以 .
2．已知函数 ，且 ，则 的值为（）
A． B．2C． D．
【答案】D
【分析】利用导数定义，可求得 ，代入 ，即得解
②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x .
∵点A在曲线上，∴y0＝x ，∴ ＝3x ，∴x －3x ＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0.
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
高考数学导数专题专讲 专题13 导数中对数单身狗指数找基友的应用(含答案)
专题13导数中对数单身狗指数找基友的应用导数在高考中占据了及其重要的地位，导数是研究函数的一个重要的工具，在判断函数的单调性、求函数的极值、最值与解决函数的零点(方程的根)、不等式问题中都用到导数．而这类问题都有一条经验性规则：对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手．考点一对数单身狗【方法总结】在证明或处理含对数函数的不等式时，如f (x )为可导函数，则有(f (x )ln x )′＝f ′(x )ln x ＋f (x )x ，若f (x )为非常数函数，求导式子中含有ln x ，这类问题需要多次求导，烦琐复杂．通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”．1．设f (x )>0，f (x )ln x ＋g (x )>0⇔ln x ＋g (x )f (x )>0，则(ln x ＋g (x )f (x ))′＝1x ＋(g (x )f (x ))′，不含超越函数，求解过程简单．或者f (x )ln x ＋g (x )>0⇔f (x )(ln x ＋g (x )f (x ))>0，即将前面部分提出，就留下ln x 这个单身狗，然后研究剩余部分．2．设f (x )≠0，f (x )ln x ＋g (x )＝0⇔ln x ＋g (x )f (x )＝0，则(ln x ＋g (x )f (x ))′＝1x ＋(g (x )f (x ))′，不含超越函数，求解过程简单．或者f (x )ln x ＋g (x )＝0⇔f (x )(ln x ＋g (x )f (x ))＝0，即将前面部分提出，就留下ln x 这个单身狗，然后研究剩余部分．【例题选讲】[例1](2016·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围．解析(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2．故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0．(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a (x －1)x ＋1＞0．设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a (x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0．①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1．由x 2＞1和x 1x 2＝1得0<x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )＜g (1)＝0．综上，a 的取值范围是(－∞，2]．[例2]已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞ln xx －1．解析(1)f ′(x )－b x 2(x ＞0)．由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1，1)，＝1，＝－12，1，b ＝－12.＝1，＝1.(2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x (x ＞0)，所以f (x )－ln x x －1＝x 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x ＞0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2．所以当x ≠1时，h ′(x )＜0．而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x 2h (x )＞0．从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－ln x x －1＞0，即f (x )＞ln x x －1．【对点精练】1．若不等式x ln x ≥a (x －1))对所x ≥1有都成立，求实数a 的取值范围．1．解析原问题等价于ln x －a (x －1)x≥0对所有x ≥1都成立，令h (x )＝ln x －a (x －1)x (x ≥1)，则f ′(x )＝x －ax 2．(1)当a ≤1时，f ′(x )＝x －ax 2≥0恒成立，即f (x )在[1，＋∞)上单调递增，因而f (x )≥f (1)＝0恒成立；(2)当a >1时，令f ′(x )＝0，则x ＝a ，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝ln a －a ＋1，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 2－ax －x ln x ，且f (x )≥0．(1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f (x 0)<2－2．2．解析(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0．因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0，而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1．若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x ．当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0．综上，a ＝1．(2)由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x ．设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x ．当x h ′(x )<0；当x h ′(x )>0．所以h (x )h (e －2)>0，，h (1)＝0，所以h (x )x 0，在12，＋1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0．因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点．由f ′(x 0)＝0得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)．由x 0∈(0，1)得f (x 0)<14．因为x ＝x 0是f (x )在(0，1)的最大值点，由e －1∈(0，1)，f ′(e －1)≠0得f (x 0)>f (e －1)＝e －2，所以e －2<f (x 0)<2－2．3．(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)·ln(1＋x )－2x ．(1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0；(2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a ．3．解析(1)当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x 1＋x．设函数g (x )＝ln(1＋x )－x 1＋x ，则g ′(x )＝x(1＋x )2．当－1<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，故当x >－1时，g (x )≥g (0)＝0，且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0．所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．又f (0)＝0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0．另解当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x (x >－1)，由于2＋x >0．故令g (x )＝ln(1＋x )－2x2＋x ，g ′(x )＝11＋x －4(2＋x )2＝x 2(x ＋1)(x ＋2)，故x ∈(－1，＋∞)，g ′(0)>0．所以g (x )在(－1，＋∞)上单调递增．因为g (0)＝0，所以，当－1<x <0时，gx )<0；当x >0时，g (x )>0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0．(2)①若a ≥0，由(1)知，当x >0时，f (x )≥(2＋x )ln(1＋x )－2x >0＝f (0)，这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾．②若a <0，设函数h (x )＝f (x )2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x 2＋x ＋ax 2．由于当|x |<min2＋x ＋ax 2>0，故h (x )与f (x )符号相同．又h (0)＝f (0)＝0，故x ＝0是f (x )的极大值点，当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点．h ′(x )＝11＋x －2(2＋x ＋ax 2)－2x (1＋2ax )(2＋x ＋ax 2)2＝x 2(a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1)(x ＋1)(ax 2＋x ＋2)2．若6a ＋1>0，则当0<x <－6a ＋14a，且|x |<minh ′(x )>0，故x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1<0，故当x ∈(x 1，0)，且|x |<minh ′(x )<0，所以x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3(x －24)(x ＋1)(x 2－6x －12)2，则当x ∈(－1，0)时，h ′(x )>0；当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0．所以x ＝0是h (x )的极大值点，从而x ＝0是f (x )的极大值点．综上，a ＝－16．考点二指数找基友【方法总结】在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找基友”．1．由e x ＋f (x )>0⇔1＋f (x )e x >0，则(1＋f (x )e x )′＝f ′(x )－f (x )e x是一个多项式函数，变形后可大大简化运算．2．由e x ＋f (x )＝0⇔1＋f (x )e x ＝0，则(1＋f (x )e x )′＝f ′(x )－f (x )e x 是一个多项式函数，变形后可大大简化运算．【例题选讲】[例3](2018·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ax 2．(1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a ．解析(1)当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x －1≤0．设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x －1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －x ＝－(x －1)2e －x ．当x ≠1时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1．另解当a ＝1时，f (x )＝e x －x 2，则f ′(x )＝e x －2x ．令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x －2．令g ′(x )＝0，解得x ＝ln2．当x ∈(0，ln2)时，g ′(x )<0；当x ∈(ln2，＋∞)时，g ′(x )>0．∴当x ≥0时，g (x )≥g (ln2)＝2－2ln2>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴f (x )≥f (0)＝1．(2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x ．f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．(ⅰ)当a ≤0时，h (x )＞0，h (x )没有零点；(ⅱ)当a ＞0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x ．当x ∈(0，2)时，h ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0．所以h (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)上的最小值．①当h (2)＞0，即a ＜e 24时，h (x )在(0，＋∞)上没有零点．②当h (2)＝0，即a ＝e 24时，h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．③当h (2)＜0，即a ＞e 24时，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0，2)上有一个零点．由(1)知，当x ＞0时，e x ＞x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a 3(e 2a )2＞1－16a 3(2a )4＝1－1a ＞0，故h (x )在(2，4a )上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点时，a ＝e 24．另解(参变分离)若f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程e x －ax 2＝0在(0，＋∞)上只有一个解，由a ＝e x x 2，令φ(x )＝e xx 2，x ∈(0，＋∞)，φ′(x )＝e x (x －2)x 3，令φ′(x )＝0，解得x ＝2．当x ∈(0，2)时，φ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )>0．∴φ(x )min ＝φ(2)＝e 24．∴a ＝e 24．[例4](2020·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－x ．(1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≥12x 3＋1，求a 的取值范围．解析(1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋2x －1，由于f ″(x )＝e x ＋2＞0，故f ′(x )单调递增，注意到f ′(0)＝0，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．(2)f (x )≥12x 3＋1等价于(12x 3－ax 2＋x ＋1)e －x ≤1．设函数g (x )＝(12x 3－ax 2＋x ＋1)e －x (x ≥0)，则g ′(x )＝－(12x 3－ax 2＋x ＋1－32x 2＋2ax －1)e －x＝－12x [x 2－(2a ＋3)x ＋4a ＋2]e －x ＝－12x (x －2a －1)(x －2)e －x ．（i ）若2a +1≤0，即a ≤－12，则当x ∈（0，2）时，g ′(x )>0．所以g （x ）在（0，2）单调递增，而g （0）=1，故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意．（ii ）若0<2a +1<2，即－12<a <12，则当x ∈(0，2a +1)∪(2，+∞)时，g'(x )<0；当x ∈(2a +1，2)时，g'(x )>0．所以g (x )在(0，2a +1)，(2，+∞)单调递减，在(2a +1，2)单调递增．由于g (0)=1，所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7−4a )e −2≤1，即a ≥7－e 24．所以当7－e 24≤a <12时，g (x )≤1．（iii ）若2a +1≥2，即a ≥12，则g (x )≤(12x 3＋x ＋1)e －x ．由于0∈[7－e 24，12)，故由（ii ）可得(12x 3－ax 2＋x ＋1)e －x ≤1．故当时a ≥12，g (x )≤1．综上，a 的取值范围是7－e 24，＋另解(参变分离)由f (x )≥12x 3＋1，得e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0，①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；②当x ＞0时，分离参数a 得a ≥－e x －12x 3－x －1x2，记g (x )＝－e x－12x 3－x －1x2，g ′(x )令h (x )＝e x －12x 2－x －1(x ≥0)，则h ′(x )＝e x －x －1，h ″(x )＝e x －1≥0，故h ′(x )单调递增，h ′(x )≥h ′(0)＝0，故函数h (x )单调递增，h (x )≥h (0)＝0，由h (x )≥0可得e x －12x 2－x －1≥0恒成立，故当x ∈(0，2)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e24，综上可得，实数a 的取值范围是7－e 24，＋【对点精练】1．已知函数f (x )＝e x －1－x －ax 2，当x ≥0时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．1．解析解法一由f ′(x )＝e x －1－2ax ，又e x ≥x ＋1，所以f ′(x )＝e x －1－2ax ≥x －2ax ＝(1－2a )x ，所以当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0，满足题意；又x ≠0时，e x ＞x ＋1，所以可得e －x ＞1－x ，从而当a ＞12时，f ′(x )＝e x －1－2ax ≤e x －e x ·e －x ＋2a (e －x －1)＝(1－e －x )·(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，f ′(x )＜0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )＜0，不合题意．综上所述，实数a ∞，12．解法二因为e x ≥x ＋1，所以当a ≤0时，e x ≥ax 2＋x ＋1恒成立，故只需讨论a ＞0的情形．令F (x )＝e －x (1＋x ＋ax 2)－1，问题等价于F (x )≤0，由F ′(x )＝e －x [－ax 2＋(2a －1)x ]＝0得x 1＝0，x 2＝2a －1a．当0＜a ≤12时，F (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以F (x )≤F (0)＝0恒成立；当a ＞12时，因为F (x )在[0，x 2]上单调递增，所以F (x 2)≥F (0)＝0恒成立，此时F (x )≤0不恒成立．综上所述，实数a ∞，12．2．已知函数f (x )＝e －x ＋ax (a ∈R )．(1)讨论f (x )的最值；(2)若a ＝0，求证：f (x )>－12x 2＋58．2．解析：(1)依题意，得f ′(x )＝－e －x ＋a ．①当a ≤0时，f ′(x )<0，所以f (x )在R 上单调递减，故f (x )不存在最大值和最小值；②当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝－ln a ．当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故当x ＝－ln a 时，f (x )取得极小值，也是最小值，最小值为f (－ln a )＝a －a ln a ，不存在最大值．综上，当a ≤0时，f (x )不存在最大值和最小值；当a >0时，f (x )的最小值为a －a ln a ，不存在最大值．(2)当a ＝0时，f (x )＝e －x ，要证f (x )>－12x 2＋58，即证e －x >－12x 2＋58，即证(5－4x 2)e x <8．设h (x )＝(5－4x 2)e x ，当5－4x 2≤0，即x ≤－52或x ≥52时，h (x )≤0<8；当5－4x 2>0，即－52<x <52时，h ′(x )＝(－4x 2－8x ＋5)e x ＝－(2x －1)(2x ＋5)e x ，所以当－52<x <12时，h ′(x )>0，h (x )－52，当12<x <52时，h ′(x )<0，h (x )所以当－52<x <52时，h (x )≤4e<8．综上所述，不等式f (x )>－12x 2＋58成立．3．已知函数f (x )＝a (x －1)，g (x )＝(ax －1)·e x ，a ∈R ．(1)求证：存在唯一实数a ，使得直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )相切；(2)若不等式f (x )＞g (x )有且只有两个整数解，求a 的取值范围．3．解析(1)f ′(x )＝a ，g ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ．设直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )的切点的坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝a (x 0－1)＝(ax 0－1)0e x ，得a (x 00e x －x 0＋1)＝0e x ，①又因为直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )相切，所以a ＝g ′(x 0)＝(ax 0＋a －1)0e x ，整理得a (x 00e x ＋0e x －1)＝0e x ，②结合①②得x 00e x －x 0＋1＝x 00e x ＋0e x －1，即0e x ＋x 0－2＝0，令h (x )＝e x ＋x －2，则h ′(x )＝e x ＋1＞0，所以h (x )在R 上单调递增．又因为h (0)＝－1＜0，h (1)＝e －1＞0，所以存在唯一实数x 0，使得0e x ＋x 0－2＝0，且x 0∈(0，1)，所以存在唯一实数a ，使①②两式成立，故存在唯一实数a ，使得直线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相切．(2)令f(x)＞g(x)，即a(x－1)＞(ax－1)e x，所以ax e x－ax＋a＜e x，所以－1，令m(x)＝x－x－1e x，则m′(x)＝e x＋x－2e x，由(1)可得m(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，且x0∈(0，1)，故当x≤0时，m(x)≥m(0)＝1，当x≥1时，m(x)≥m(1)＝1，所以当x∈Z时，m(x)≥1恒成立．①当a≤0时，am(x)＜1恒成立，此时有无数个整数解，舍去；②当0＜a＜1时，m(x)＜1a，因为1a＞1，m(0)＝m(1)＝1，所以两个整数解分别为0，1(2)≥1a，(－1)≥1a，解得a≥e22e2－1，即a∈e22e2－1，＋③当a≥1时，m(x)＜1a，因为1a≤1，m(x)在x∈Z时大于或等于1，所以m(x)＜1a无整数解，舍去．综上所述，a的取值范围为e22e2－1，＋考点三指对在一起，常常要分手【方法总结】设f(x)为可导函数，则有(e x ln x－f(x))′＝e x ln x＋e xx－f′(x)，若f(x)为非常数函数，求导式子中还是含有ex，ln x，针对此类型，可以采用作商的方法，构造e x ln x－f(x)e x＝ln x－f(x)e x，从而达到简化证明和求极值、最值的目的，e x ln x腻在一起，常常会分手．【例题选讲】[例5](2014·全国Ⅰ)设函数f(x)＝a e x ln x＋b e x－1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝e(x－1)＋2．(1)求a，b；(2)证明：f(x)＞1．解析(1)f′(x)＝a ex＋b e x－1(x－1)x2(x＞0)，由于直线y＝e(x－1)＋2的斜率为e，图象过点(1，2)，＝2，＝e，＝2，e＝e，＝1，＝2.(2)由(1)知f(x)＝e x ln x＋2e x－1x(x＞0)，从而f(x)＞1等价于x ln x＞x e－x－2e．构造函数g(x)＝x ln x，则g′(x)＝1＋ln x，所以当xg′(x)＜0，当xg′(x)＞0，故g(x)g(x)在(0，＋∞)上的最小值为＝－1e．构造函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0；故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e ．综上，当x ＞0时，g (x )＞h (x )，即f (x )＞1．[例6]已知函数f (x )＝1x ＋a ln x ，g (x )＝e x x ．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：a ＝1时，f (x )＋g (x )x ＞e ．解析(1)f (x )＝1x ＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)．f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2．当a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，由f ′(x )<0，得0<x <1a ，由f ′(x )>0，得x >1a ，所以函数f (x )(2)a ＝1时，要证f (x )＋g (x )x ＞e ．即要证1x ＋e x x －ex 2ln x －e ＞0⇔e x －e x ＋1>eln x x ，x ∈(0，＋∞)．令F (x )＝e x －e x ＋1，F ′(x )＝e x －e ，当x ∈(0，1)时，F ′(x )＜0，此时函数F (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＞0，此时函数F (x )单调递增．可得当x ＝1时，函数F (x )取得最小值F (1)＝1．令G (x )＝eln xx ，G ′(x )＝e(1－ln x )x 2，当0<x <e 时，G ′(x )>0，此时G (x )为增函数，当x >e 时，G ′(x )<0，此时G (x )为减函数，所以x ＝e 时，函数G (x )取得最大值G (e)＝1．x ＝1与x ＝e 不同时取得，因此F (x )＞G (x )，即e x －e x ＋1>eln xx ，x ∈(0，＋∞)．故原不等式成立．【对点精练】1．设函数f (x )＝ln x ＋1x ，求证：当x ＞1时，不等式f (x )e ＋1＞2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1)．1．解析将不等式f (x )e ＋1＞2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1)变形为1e ＋1·(x ＋1)(ln x ＋1)x ＞2e x －1x e x ＋1，分别构造函数g (x )＝(x ＋1)(ln x ＋1)x 和函数h (x )＝2e x －1x e x ＋1．对于g ′(x )＝x －ln x x 2，令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x．因为x ＞1，所以φ′(x )＞0，所以φ(x )在(1，＋∞)上是增函数，所以φ(x )＞φ(1)＝1＞0，所以g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以当x ＞1时，g (x )＞g (1)＝2，故g (x )e ＋1＞2e ＋1．对于h ′(x )＝2e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2，因为x ＞1，所以1－e x ＜0，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上是减函数，所以当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝2e ＋1．综上所述，当x ＞1时，g (x )e ＋1＞h (x )，即f (x )e ＋1＞2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1)．(第1题)(第2题)2．已知f (x )＝e x －a ln x －a ，其中常数a>0．(1)当a>e 时，求函数f (x )的极值；(2)求证：e 2x －2－e x －1ln x －x ≥0．2．解析(1)当e a =时，()e eln e x f x x =--，()ee xf x x'=-，()10f '=．()2ee 0xf x x ''=+>，()f x '∴在()0, +∞单调递增．()0, 1x ∴∈时，()()10f x f ''<=，()1, x ∈+∞，()()10f x f ''>=．()f x ∴在()0, 1单调递减，在()1, +∞单调递增．∴()f x 的极小值为()10f =，无极大值．(2)由(1)得e eln e 0e eln e x x x x --≥⇒-≥，所证不等式：221e e ln 0x x x x ----≥2e eln ex x x x -⇔-≥．设()22e ex x x g x x --==，()()222e e 1e x x x g x x x ---'=-=-，令()0g x '>可解得：1x <．()g x ∴在()0, 1单调递增，在()1, +∞单调递减．()()max 1e g x g ∴==．()e eln e x x g x ∴-≥≥，即2e eln e x x x x --≥，221e e ln 0x x x x --∴--≥．3．已知函数f (x )＝1x ＋a ln x ，g (x )＝e x x．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：a ＝1时，f (x )＋g (x )x ＞e ．3．解析(1)f (x )＝1x ＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)．f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2．当a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，由f ′(x )<0，得0<x <1a ，由f ′(x )>0，得x >1a，所以函数f (x )(2)a ＝1时，要证f (x )＋g (x )x ＞e ．即要证1x ＋e x x －e x 2ln x －e ＞0⇔e x －e x ＋1>eln x x，x ∈(0，＋∞)．令F (x )＝e x －e x ＋1，F ′(x )＝e x －e ，当x ∈(0，1)时，F ′(x )＜0，此时函数F (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＞0，此时函数F (x )单调递增．可得当x ＝1时，函数F (x )取得最小值F (1)＝1．令G (x )＝eln x x ，G ′(x )＝e(1－ln x )x 2，当0<x <e 时，G ′(x )>0，此时G (x )为增函数，当x >e 时，G ′(x )<0，此时G (x )为减函数，所以x ＝e 时，函数G (x )取得最大值G (e)＝1．x ＝1与x ＝e 不同时取得，因此F (x )＞G (x )，即e x －e x ＋1>eln x x ，x ∈(0，＋∞)．故原不等式成立．。
(江苏专用)2013高考数学总复习 第三篇 导数及其应用《第13讲 导数的概念与运算》课件 理 苏教版
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝ axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
f(x)＝logax(a＞0，a≠1)
f′(x)＝
1 xln
a
f(x)＝ln x
f′(x)＝1 x源自．导数的运算法则∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2
＝10u4＝10(2x－3)4.
(2)设u＝3－x，则y＝ 3－x.
由y＝u12与u＝3－x复合而成．
y′＝f′(u)·u′(x)＝(u12)′(3－x)′＝12u－12(－1)
＝－12u－12＝－2
31－x＝
3－x 2x－6 .
(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋3π， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin2x＋3π·cos2x＋π3＝2sin4x＋23π. (4)设y＝ln u，u＝2x＋5，则yx′＝yu′·ux′ y′＝2x＋1 5·(2x＋5)′＝2x＋2 5.
(4)∵y＝－sin2x－cos2x＝12sin x，
∴y′＝12sin x′＝12(sin x)′＝12cos x.
(5)y＝1－1
x＋1＋1
x＝11＋－
x＋1－ x1＋
xx＝1－2 x，
∴y′＝1－2 x′＝－211－－xx2′＝1－2 x2.
2．(2011·南通调研)已知函数f(x)＝
1 3
x3＋x2＋(2a－1)x＋a2－a＋
1，若f′(x)＝0在(1,3]上有解，则实数a的取值范围为
________．
【教案】校级公开课--导数的应用(教案)
《导数的应用》教学设计开课班级：高二（1）开课教师：教学设计背景本节是高中数学人教A版选修2-2第一章“导数在研究函数中的应用”内容基础上，进一步拓展延伸应用的内容。
导数除了在函数的单调性及函数的极值、最值等方面应用外，还可以应用于探究函数的零点或方程的解问题，以及应用于不等式证明问题，既灵活多变，又具有一定的综合能力要求，基于教材和学生知能背景及前期教学状况，相应作此导数的应用教学设计，以帮助学生进一步树立联系的观点利用导数处理问题的意识．学情分析学生前期已经学习导数在研究函数中的应用等内容，体会了导数的思想，初步感受了导数应用价值，初步具备了利用导数处理问题的意识和能力。
教学目标通过变式教学过程，用联系的观点，进一步探究导数在方程实根(或函数零点)问题、不等式问题、函数的极值或最值问题中的应用，培养运用函数与方程、化归与转化、数形结合及分类讨论等数学思想方法解决问题的能力。
培养学生综合思考问题的能力，以及克服困难解决问题的信心与毅力。
教学重点、难点重点应用导数导数在方程实根(或函数零点)问题、不等式问题、函数的极值或最值问题中的应用难点利用联系的观点，运用函数与方程、化归与转化、数形结合及分类讨论等数学思想解决问题教法变式教学、学生探究、引导讲授教学用具：多媒体教学过程一、复习回顾知识点一：导数的几何意义函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x, f(x))处的切线的斜率，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x))处的切线方程为y－y=f′(x) (x－x)知识点二：函数的单调性当函数y=f(x)在某个区间(),a b 内可导如果'()0f x >，则函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果'()0f x <，则函数y=f(x)在这个区间上为减函数．知识点三：函数的极值对于可导函数f(x)判断其极值的方法为如果在0x 附近的左侧'()0f x >，右侧'()0f x <，那么，0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧'()0f x <，右侧'()0f x >，那么，0()f x 是极小值.知识点四：函数的最值闭区间[a ，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为：○1求函数f(x)在(a ，b)内的极值；○2将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
考研数学辅导,第13讲：经济应用
第十三讲 经济学中的若干数学问题一、考试基本要求1、 了解导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。
2、 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
3、 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。
4、 会应用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。
二、基本内容（一）、微积分在经济学中的应用 1、 极限在经济学中的应用（1）复利：经济学中一个基本概念，它是指按本金计算的每个存款周期的利息在期末加入本金，并在以后的各期内再计利息。
设某银行年利率为r ，一年支付n 次，初始存款为P 元，则t年后在银行的存款余额为ntt nr P A )1(+=。
称%100]1)1[(⨯-+nnr 为年有效收益，银行称之为票面率。
由于rtrt r n n e nr =+∞→])1[(lim ，该式表示当初始存款为1元，且每年支付次数趋于无穷时，称t 年后存款余额为按连续复利计算得到的存款余额。
因此，当初始存款为P ，年利率为r ，则按连续复利计息t 年后的存款余额为rtPe 。
现实世界中有许多事物的变化都类似于连续复利，如放射性物质的衰变、细胞繁殖等。
（2）将来值与现值：现存入100元，按年利率为r 计。
若以年复利方式获得利息（即以年为计息基本单位，每年支付一次本息），那么一年后存款为)1(100r +元。
因此可以说今天的100元相当于一年后的存款)1(100r +元，称这)1(100r +元是100元的将来值，而100元是)1(100r +元的现值。
一般地，称P 元存款的将来值为B 元是指将来指定时刻原P 元加上利息后正好为B 元。
年利息为r ，P 元存款按连续复利计算，现值与将来值关系为rt Pe B =或rt Be P -=。
2、利用导数求解经济应用问题 “边际”、“弹性”成本函数：21C CC +=总收益函数：Q Q P Q R R )()(== 利润函数：C R L -=弹性：yxdx dy Ex Ey ∙= “导数”ד倒数”反映随x 的变化函数)(x f 的变化幅度的大小，即)(x f 对x 的变化所反映出的强烈程度或灵敏度。
高中数学_导数及其应用教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计-------导数及其应用一．教学目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求最值极值过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性、最值的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
二．教学重难点对于函数导数及其应用，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：探索研究切线、单调区间、最值和极值。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
三．教法分析：1．教学方法的选择：为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式、讲练结合的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
3．教学课堂结构知识回顾—问题情境—新课探究—知识运用（例题精讲—变式训练—拓展延伸—能力提升）—课堂小结—作业布置四．学法分析：为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动；3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
五．教学过程：（一）知识回顾从已学过的知识（导数几何意义、求导公式、判断二次函数的单调性、极值）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性、求极值），引起认知冲突，激发学习的兴趣。
《高职应用数学》教案 第13课 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数
第13课隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数的导数为000e 010e x y =-'==+． 由以上两例可以得出求隐函数的导数y '的方法：求由方程()0F x y =，所确定的隐函数y 的导数y '时，将方程()0F x y =，的两边同时对自变量x 求导，注意到y是x 的函数，y 的函数则是x 的复合函数，利用导数的基本公式，函数和、差、积、商的求导法则，以及复合函数的求导法则，解出y '，就得到隐函数的导数．（例3～例5详见教材）【教师】讲解由参数方程确定的函数的求导方法，并通过例题介绍其应用我们知道，参数方程()()，x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩确定了y 是x 的函数，如何计算这个函数的导数d d y x呢？ 在式()()，x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩中，如果函数()x t ϕ=具有单调连续反函数1()t x ϕ-=，且此反函数与函数()y t ψ=构成复合函数，那么由参数方程()()，x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩所确定的函数可以看成由函数()y t ψ=，1()t x ϕ-=复合成的函数1[()]y x ψϕ-=．因此，根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，有d d d d ()d d d d d ()d yy y t t t x x t x t tψϕ'=⋅=='．求由参数方程cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩，所确定的函数y 的导数d d y x． 解 因为()cos ()sin y t b t x t a t ''==-，，所以d ()cos cot d ()sin y y t b t b t x x t a t a'===-'-． 求摆线(sin )(1cos )，x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩在π2t =时相应点处的切线方程．解 当π2t =时，摆线上相应点的坐标为π12P a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．因为()sin y t a t '=，()(1cos )x t a t '=-，即 d ()sin sin d ()(1cos )1cos y y t a t t x x t a t t'==='--， 所以，摆线在点P 处的导数为2sin d 21d 1cos 2t y x π=π==π-． 因此，摆线在点P 处的切线方程为π12y a x a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 即π22y x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．【学生】理解隐函数的导数、掌握其求导方法；理解由参数方程确定的函数的求导方法第二节课讲授新课 （16 min ） 【教师】讲解对数求导法，并通过例题介绍其应用有时我们会遇到这样一种情形：虽然给定的函数是显函数，但是直接求它的导数很困难或很麻烦，如幂指函数、多个函数相乘的函数等。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1．3.3 函数的最大(小)值与导数(一)学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点函数的最大(小)值与导数如图为函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考1 观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．梳理(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．函数的最大值不一定是函数的极大值．( √)2．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．( ×)3．有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( ×)类型一求函数的最值命题角度1 利用导数直接求最值例1 求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值解(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故当x＝－1时，f(x)min＝－12；当x＝1时，f(x)max＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．跟踪训练1 求下列函数的最值．(1)f (x )＝x －1ex；(2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 解 (1)函数f (x )＝x －1ex的定义域为R .f ′(x )＝1·e x－e x(x －1)(e x )2＝2－xe x ， 当f ′(x )＝0时，x ＝2， 当f ′(x )>0时，x <2， 当f ′(x )<0时，x >2.所以f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 所以f (x )无最小值，且当x ＝2时，f (x )max ＝f (2)＝1e 2.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，x ∈[0,2π]，令f ′(x )＝0，得x ＝23π或x ＝43π.因为f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝π3＋32，f⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＝23π－32， 所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0， 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π. 命题角度2 对参数讨论求最值例2 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． 考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求含参数函数的最值 解 因为f (x )＝e x－ax 2－bx －1， 所以g (x )＝f ′(x )＝e x－2ax －b ， 又g ′(x )＝e x－2a ， 因为x ∈[0,1]，1≤e x≤e，(1)若a ≤12，则2a ≤1，g ′(x )＝e x－2a ≥0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递增，g (x )min ＝g (0)＝1－b . (2)若12<a <e2，则1<2a <e ，于是当0<x <ln(2a )时，g ′(x )＝e x－2a <0， 当ln(2a )<x <1时，g ′(x )＝e x－2a >0， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增，g (x )min ＝g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .(3)若a ≥e 2，则2a ≥e，g ′(x )＝e x－2a ≤0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递减，g (x )min ＝g (1)＝e －2a －b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为1－b ；当12<a <e2时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为e －2a －b .引申探究1．若a ＝1，b ＝－2，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 因为a ＝1，b ＝－2，g (x )＝f ′(x )＝e x －2x ＋2，又g ′(x )＝e x－2，令g ′(x )＝0， 因为x ∈[0,1]，解得x ＝ln 2，已知当x ＝ln 2时，函数取极小值，也是最小值，故g (x )min ＝g (ln 2)＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2.2．当b ＝0时，若函数g (x )在区间[0,1]上的最小值为0，求a 的值． 解 当b ＝0时，因为f (x )＝e x－ax 2－1， 所以g (x )＝f ′(x )＝e x－2ax ，又g ′(x )＝e x－2a ，因为x ∈[0,1]，1≤e x≤e，(1)若a ≤12，则2a ≤1，g ′(x )＝e x－2a ≥0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递增，g (x )min ＝g (0)＝1，不符合题意．(2)若12<a <e2，则1<2a <e ，于是当0<x <ln(2a )时，g ′(x )＝e x－2a <0， 当ln(2a )<x <1时，g ′(x )＝e x－2a >0， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增，g (x )min ＝g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )＝0，解得a ＝e2不符合题意，舍去．(3)若a ≥e 2，则2a ≥e，g ′(x )＝e x－2a ≤0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递减，g (x )min ＝g (1)＝e －2a ＝0，解得a ＝e 2.反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．跟踪训练2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0,2]上的最大值． 考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求含参数函数的最值 解 f ′(x )＝3x 2－2ax .令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.①当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .②当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0.③当0<2a 3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，0<a ≤2，0，2<a <3，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2，0，a >2.类型二 由函数的最值求参数例3 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数解 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①当a >0，且当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.②当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．跟踪训练3 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数解∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.1．如图所示，函数f (x )导函数的图象是一条直线，则( )A ．函数f (x )没有最大值也没有最小值B ．函数f (x )有最大值，没有最小值C ．函数f (x )没有最大值，有最小值D ．函数f (x )有最大值，也有最小值 考点 导数在最值问题中的应用 题点 最值与极值的综合应用 答案 C解析 由导函数图象可知，函数f (x )只有一个极小值点1， 即f (x )在x ＝1处取得最小值，没有最大值．2．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17D ．9，－19考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.又f (－3)＝－27＋9＋1＝－17，f (0)＝1，f (－1)＝－1＋3＋1＝3,1∉[－3,0]． 所以最大值为3，最小值为－17. 3．函数f (x )＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 A解析 令f ′(x )＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx2＝0， 解得x ＝e.当x >e 时，f ′(x )<0；当0<x <e 时，f ′(x )>0.f (x )极大值＝f (e)＝1e ，且函数在定义域内只有一个极值，所以f (x )max ＝1e.4．函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 是常数)在区间[－2,2]上有最大值3，则在区间[－2,2]上的最小值为________．考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数 答案 －37解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由题意知，在区间[－2,2]上，x ＝0是f (x )的最大值点， ∴f (x )max ＝f (0)＝m ＝3.∵f (－2)＝－16－24＋3＝－37，f (2)＝16－24＋3＝－5， ∴f (x )min ＝－37.5．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 考点 导数在最值问题中的应用 题点 最值与极值的综合应用解 (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b . 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12.(2)令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值，f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值，f (2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4. 因此，f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.一、选择题1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)( ) A．等于0 B．小于0C．等于1 D．不确定考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求导数答案 A解析因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.2．函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)( )A．有最大值，无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案 D解析f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值，故选D.3．函数f(x)＝2x＋1x，x∈(0,5]的最小值为( )A．2 B．3C.174D．22＋12考点利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 B解析 由f ′(x )＝1x －1x 2＝32x －1x2＝0，得x ＝1， 且当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，∴当x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3.4．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( ) A ．2B ．1 C.233 D ．0考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 A解析 ∵f (x )在x ＝π3处有最值， ∴x ＝π3是函数f (x )的极值点． 又∵f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝a cos π3＋cos π＝0，解得a ＝2. 5．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 A解析 令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a )．6．已知函数f (x )＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 C解析 由题意知a <2，令f ′(x )＝－2x －2＝0，则x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数， f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)． 所以a ＝－12. 7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( )A ．15B ．－15C ．10D ．－13考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求含参数函数的最值答案 D解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3，由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在区间[－1,0)上单调递减，在区间(0,1]上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为直线x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.二、填空题8．函数f (x )＝4x x 2＋1(x ∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________． 考点 导数在最值问题中的应用题点 最值与极值的综合应用答案 2 －2解析 f ′(x )＝4(x 2＋1)－4x ×2x (x 2＋1)2 ＝4(1－x 2)(x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.由f (－2)＝－85，f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (2)＝85， ∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.9．已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________．考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 15x －3y －2＝0解析 ∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋3＋2a 2，∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5，∵a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3， f ′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f (1)＝－23＋2＋3＝133， ∴所求切线方程为y －133＝5(x －1)． 即15x －3y －2＝0.10．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________． 考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12π2e 解析 f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ， 当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数， 故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12π2e ，f (x )的最小值为f (0)＝12. 11．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 1解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a， 当0<x <1a时，f ′(x )>0； 当x >1a时，f ′(x )<0. ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1， 解得a ＝1.12．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是__________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 最值与零点问题答案 (－∞，2ln 2－2]解析 由题意知e x －2x ＋a ＝0有根，即a ＝2x －e x ，令g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2.而g (x )在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝2ln 2－eln 2＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2.三、解答题13．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求a ，b 的值； (2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值． 考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值解 (1)f ′(x )＝a x－2bx .由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， 得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －2b ＝0，－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12. (2)由(1)，得f (x )＝ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x－x ＝1－x 2x . 令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝－12. 四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________． 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 2解析 由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ， 可得f ′(x )＝x 2－2x －1，令x 2－2x －1＝0，可得x ＝1± 2.当x ∈(1－2，1＋2)时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(1－2，1＋2)上是减函数，即f (x )在[0,1]上为减函数，故f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，所以13－1－1＋m ＝13，解得m ＝2.15．已知函数f (x )＝ln x ＋a x .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值． 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数解 函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2， (1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾； ②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e. ④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )≤0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾； ⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e>2，仍与最小值是32相矛盾； 综上所述，a 的值为 e.。
1.3 1函数单调性与导数 导学案 (教师版)
§1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数内容要求 1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间.知识点1函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0【预习评价】思考在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？提示必要不充分条件.知识点2利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.【预习评价】函数f(x)＝13－x2－3x＋2的单调增区间是________.3x解析 f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞3，故f (x )的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞). 答案 (－∞，－1)，(3，＋∞)题型一 利用导数判断(或证明)函数的单调性【例1】 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f ′(x )>0(或<0)，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥0(或≤0).【训练1】 证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数. 证明 ∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2.又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数.题型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2) f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4) f (x )＝x 3－3tx .解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36.由f ′(x )＞0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2； 由f ′(x )＜0解得－3<x <2.故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2). (2)f ′(x )＝cos x －1.因为0<x <π，所以cos x －1＜0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π). (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x . 令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0， 解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0， 解得x <－33或0<x <33. 又∵x >0，∴0<x <33.∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).(4)f′(x)＝3x2－3t.令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t，∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)；当t>0时，由x2＞t解得x＞t或x＜－t；由f′(x)＜0解得－t＜x＜t，函数f(x)的增区间是(－∞，－t)和(t，＋∞)，减区间是(－t，t).综上，当t≤0时，f(x)的增区间是(－∞，＋∞)；当t＞0时，f(x)的增区间是(－∞，－t)，(t，＋∞)，减区间是(－t，t).规律方法求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间.【训练2】求函数f(x)＝x3＋3x的单调区间.解方法一函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2.由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1.由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0，1).方法二函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3(x2－1x2)；令f′(x)＝0，得x＝±1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1)－1 (－1，0) (0，1) 1 (1，＋∞)f ′(x )＋0 －－0 ＋ f (x ) 单调递增Z －4单调递减] 单调递减]4单调递增Z0)，(0，1).方向1 已知函数的单调性求参数的取值范围【例3－1】 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立. ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16].方向2利用函数的单调性证明不等式【例3－2】已知a，b为实数，且b＞a＞e，其中e为自然对数的底，求证：a b＞b a.证明当b＞a＞e时，要证a b＞b a，只要证b ln a＞a ln b，即只要证ln aa＞ln bb.构造函数y＝ln xx(x＞0)，则y′＝1－ln xx2.因为当x＞e时，y′＝1－ln xx2＜0，所以函数y＝ln xx在(e，＋∞)内是减函数.又因为b＞a＞e，所以ln aa ＞ln bb.故a b＞b a.规律方法(1)已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.(2)“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.【训练3】若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围.解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立.因为二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.因此Δ＝4－12m≤0，故m≥13.当m ＝13时，使f ′(x )＝0的点只有一个x ＝－13，也符合题意.故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.课堂达标1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0，6)上是( ) A.增函数 B.减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数解析 ∵f ′(x )＝1＋1x >0， ∴函数在(0，6)上单调递增. 答案 A2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数.观察选项易知D 正确. 答案 D3.若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0，1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.a ＝1C.(－∞，1]D.(0，1)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1，又f (x )在(0，1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0，1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1. 答案 A4.函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为______，减区间为______. 解析 y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2；令y ′<0，得x <2， 所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2). 答案 (2，＋∞) (－∞，2)5.若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x.因为函数f (x )存在单调递减区间，所以f ′(x )≤0有解.又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内有解. ①当a ＞0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线，ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a ＜0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线， 若ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a ＞0，解得－1≤a ＜0， 而当a ＝－1时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x ＝（x －1）2x ≥0，不符合题意，故－1＜a ＜0；③当a ＝0时，显然符合题意.综上所述，a 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (－1，＋∞)课堂小结1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.基础过关1.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)解析 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，即(x －2)e x ＞0，解得x ＞2，故选D. 答案 D2.y ＝x ln x 在(0，5)内的单调性是( ) A.单调递增 B.单调递减C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递减解析 函数的定义域为(0，＋∞).y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e ；令y ′＜0，得0＜x ＜1e .所以函数y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增.答案 C3.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )是( ) A.增函数 B.减函数 C.常数D.既不是增函数也不是减函数解析 求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的Δ＝4(a 2－3b )<0，所以f ′(x )>0恒成立，故f (x )是增函数. 答案 A4.函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________.解析 函数y ＝f (x )为减函数的区间，反映在图象上图象是下降的. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2，3)5.当x >0时，f (x )＝x ＋2x 的单调递减区间是________.解析 f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2.由f ′(x )<0且x >0得0<x < 2. 答案 (0，2)6.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0，2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间.解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0，2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3. 故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2).7.已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t ).若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围.解 由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上f ′(x )≥0恒成立.即t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立.令函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.故t的取值范围是[5，＋∞).能力提升8.已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内的单调情况一定是()A.单调递减B.单调递增C.先增后减D.先减后增解析因为函数f(x)在定义域R上为增函数，所以f′(x)≥0.又因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0恒成立，所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内单调递增.答案 B9.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，选项中的四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是()解析由题图可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的.由上述分析可知选C.答案 C10.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________.解析 由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，故f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0＜1x ＜1，故k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).答案 [1，＋∞)11. 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数．又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x ＋e x －1e x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．由f (a －1)＋f (2a 2)≤0得，f (2a 2)≤－f (a －1)＝f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 12.已知函数f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，试求f (x )的单调区间.解 由f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝1x －f ′(1).令x ＝1，则f ′(1)＝1－f ′(1)，∴f ′(1)＝12，f ′(x )＝1x －12.由f ′(x )＞0，即1x －12＞0，得0＜x ＜2；由f ′(x )＜0，即1x －12＜0，得x ＞2.故f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞).创新突破13.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，Δ＝4(a 2－3).当Δ＞0，即a ＞3或a ＜－3时，令f ′(x )＞0，即3x 2＋2ax ＋1＞0，解得x ＞－a ＋a 2－33或x ＜－a －a 2－33；令f ′(x )＜0，即3x 2＋2ax ＋1＜0， 解得－a －a 2－33＜x ＜－a ＋a 2－33. 故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －a 2－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞； 单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33. 当Δ＜0，即－3＜a ＜3时，对所有的x ∈R 都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.当Δ＝0，即a ＝±3时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，且对所有的x ≠－a 3都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.(2)由(1)，知只有当a ＞3或a ＜－3时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33内是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －a 2－33≤－23，－a ＋a 2－33≥－13.解得a ≥2.故a 的取值范围是[2，＋∞).。
2023年高考数学总复习第三章 导数及其应用第2节：导数与函数的单调性(教师版)
2023年高考数学总复习第三章导数及其应用第2节导数与函数的单调性考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.利用导数研究函数的单调性，并会解决与之有关的方程(不等式)问题.1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.3.单调性的应用若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则y＝f′(x)在该区间上不变号.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数在(a，b)内单调递减与函数的单调递减区间为(a，b)是不同的.()(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.2.(易错题)函数f(x)＝x＋ln(2－x)的单调递增区间为()A.(－∞，1)B.(－∞，2)C.(1，＋∞)D.(2，＋∞)答案A解析由f(x)＝x＋ln(2－x)，得f′(x)＝1－12－x＝1－x2－x(x<2).令f′(x)>0，即1－x2－x>0，解得x<1.∴函数f(x)＝x＋ln(2－x)的单调递增区间为(－∞，1).3.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是()答案D解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图像易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.4.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.R答案B解析由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1，故选B.5.(易错题)若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________.答案－4解析f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]，∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.6.(2021·青岛检测)已知函数f(x)＝sin2x＋4cos x－ax在R上单调递减，则实数a 的取值范围是________.答案[3，＋∞)解析f′(x)＝2cos2x－4sin x－a＝2(1－2sin2x)－4sin x－a＝－4sin2x－4sin x＋2－a＝－(2sin x＋1)2＋3－a.由题设，f′(x)≤0在R上恒成立.因此a≥3－(2sin x＋1)2恒成立，则a≥3.考点一不含参函数的单调性1.函数f(x)＝x＋3x＋2ln x的单调递减区间是()A.(－3，1)B.(0，1)C.(－1，3)D.(0，3)答案B 解析法一函数的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－3x 2＋2x ，令f ′(x )＝1－3x 2＋2x<0，得0<x <1，故所求函数的单调递减区间为(0，1)，故选B.法二由题意知x >0，故排除A 、C 选项；又f (1)＝4<f (2)＝72＋2ln 2，故排除D选项.故选B.2.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间为________.答案(2，＋∞)解析f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，得x >2，∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞).3.已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.答案0，π6，5π6，π解析f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)，令f ′(x )＝0，得x ＝π6或x ＝5π6，当0<x <π或5π<x <π时，f ′(x )>0，∴f (x )0，π6，5π6，π.感悟提升确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.考点二讨论含参函数的单调性例1已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性.解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－（a＋1）x＋1x＝（ax－1）（x－1）x.(1)当0<a<1时，1a>1，∴x∈(0，1)f′(x)>0；x f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，1)(2)当a＝1时，1a＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(3)当a>1时，0<1a<1，∴x(1，＋∞)时，f′(x)>0；x f′(x)<0，∴函数f(x)(1，＋∞).综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f(x)(1，＋∞).感悟提升 1.含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论.2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.训练1已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a >0，讨论f (x )的单调性.解f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3＝a （x －1）x 3x －2a x ＋2a (1)当0<a <2时，2a>1，当x (0，1)∪2a，＋∞时，f ′(x )>0，当x 1，2a 时，f ′(x )<0.(2)当a ＝2时，2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )递增.(3)当a >2时，0<2a <1，当x 0，2a ∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，当x 2a，1时，f ′(x )<0.综上所述，当0<a <2时，f (x )在(0，1)2a ，＋∞内递增，在1，2a 内递减.当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内递增；当a >2时，f (x )0，2a (1，＋∞)2a，1.考点三根据函数单调性求参数值(范围)例2(经典母题)已知x ＝1是f (x )＝2x ＋bx ＋ln x 的一个极值点.(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)设函数g (x )＝f (x )－3＋ax，若函数g (x )在区间[1，2]内单调递增，求实数a 的取值范围.解(1)f (x )＝2x ＋bx＋ln x ，定义域为(0，＋∞).∴f ′(x )＝2－b x 2＋1x ＝2x 2＋x －bx2.因为x＝1是f(x)＝2x＋bx＋ln x的一个极值点，所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.所以f′(x)＝2x2＋x－3x2，令f′(x)<0，得0<x<1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1).(2)g(x)＝f(x)－3＋ax＝2x＋ln x－ax(x>0)，g′(x)＝2＋1x＋ax2(x>0).因为函数g(x)在[1，2]上单调递增，所以g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，即2＋1x＋ax2≥0在[1，2]上恒成立，所以a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2].因为在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3.所以实数a的取值范围是[－3，＋∞).迁移在本例(2)中，若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围.解∵函数g(x)在区间[1，2]上不单调，∴g′(x)＝0在区间(1，2)内有解，则a＝－2x2－x＝－＋18在(1，2)内有解，易知该函数在(1，2)上是减函数，∴a＝－2x2－x的值域为(－10，－3)，因此实数a的取值范围为(－10，－3).感悟提升 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.2.如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.3.若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解.训练2(1)若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是()A.13，＋∞ B.－∞，13C.13，＋∞ D.－∞，13(2)(2022·郑州调研)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________.答案(1)C(2)(1，2]解析(1)由y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，所以y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，或y ′＝3x 2＋2x ＋m ≤0恒成立，显然y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，则Δ＝4－12m ≤0，所以m ≥13.(2)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －9x.又x >0，令f ′(x )＝x －9x ≤0，得0<x ≤3.因为函数f (x )在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.考点四与导数有关的函数单调性的应用角度1比较大小例3(1)已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则π5f (1)，f －π3的大小关系为()A.－π3f (1)>π5B.f (1)>－π3π5C.π5f (1)>－π3D.－π3π5>f (1)(2)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.c >a >b答案(1)A(2)D解析(1)因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以又当x f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )f (1)<f (1)> A.(2)设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，∴x <0时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减.由y ＝f (x )在R 上为奇函数，知g (x )在R 上为偶函数，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴c ＝g (－2)＝g (2)，又0<log π3<1<30.3<3<2，∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，即b <a <c .角度2解不等式例4已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有f (x )>f ′（x ）ln 2成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x －1的解集为()A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，2)答案D解析f (x )>f ′（x ）ln 2⇔f ′(x )－ln 2·f (x )<0.令g(x)＝f（x）2x，则g′(x)＝f′（x）－f（x）·ln22x，∴g′(x)<0，则g(x)在(－∞，＋∞)上是减函数.由f(－2)＝2，且f(x)在R上是奇函数，得f(2)＝－2，则g(2)＝f（2）22＝－12，又f(x)>－2x－1⇔f（x）2x>－12＝g(2)，即g(x)>g(2)，所以x<2.感悟提升 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.训练3(1)已知函数f(x)＝3x＋2cos x.若a＝f(32)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a(2)(2021·西安模拟)函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>－f(x)成立，若f(ln2)＝12，则满足不等式f(x)>1e x的x的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(0，1)C.(ln2，＋∞)D.(0，ln2)答案(1)D(2)C解析(1)由题意，得f′(x)＝3－2sin x.因为－1≤sin x≤1，所以f′(x)>0恒成立，所以函数f(x)是增函数.因为2>1，所以32>3.又log 24<log 27<log 28，即2<log 27<3，所以2<log 27<32，所以f (2)<f (log 27)<f (32)，即b <c <a .(2)对任意x ∈R ，都有f ′(x )>－f (x )成立，即f ′(x )＋f (x )>0.令g (x )＝e x f (x )，则g ′(x )＝e x [f ′(x )＋f (x )]>0，所以函数g (x )在R 上单调递增.不等式f (x )>1e x 即e xf (x )>1，即g (x )>1.因为f (ln 2)＝12，所以g (ln 2)＝e ln 2f (ln 2)＝2×12＝1.故当x >ln 2时，g (x )>g (ln 2)＝1，所以不等式g (x )>1的解集为(ln 2，＋∞).1.如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下列判断正确的是()A.在区间(－2，1)上f (x )单调递增B.在区间(1，3)上f (x )单调递减C.在区间(4，5)上f (x )单调递增D.在区间(3，5)上f (x )单调递增答案C解析在区间(4，5)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在区间(4，5)上单调递增.2.函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为()D.(－∞，a)答案A解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a，令f′(x)＝1x－a>0，得0<x<1a，所以f(x)3.函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f′(x)的图像可能是()答案D解析由函数f(x)的图像可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)>0；在(0，＋∞)上，f′(x)<0，选项D满足. 4.(2021·德阳诊断)若函数f(x)＝e x(sin x＋a)在R上单调递增，则实数a的取值范围为()A.[2，＋∞)B.(1，＋∞)C.[－1，＋∞)D.(2，＋∞)答案A解析因为f(x)＝e x(sin x＋a)，所以f′(x)＝e x(sin x＋a＋cos x).要使函数f(x)在R上单调递增，需使f′(x)≥0恒成立，即sin x＋a＋cos x≥0恒成立，所以a≥－sin x－cos x.因为－sin x－cos x＝－2sin所以－2≤－sin x－cos x≤2，所以a≥ 2.5.(2021·江南十校联考)已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是()A.a>－12B.0<a<116C.a>116或－12<a<0 D.a>116答案D解析f′(x)＝2ax－4a－1x＝2ax2－4ax－1x，令g(x)＝2ax2－4ax－1，则函数g(x)＝2ax2－4ax－1的对称轴方程为x＝1，若f(x)在(1，4)上不单调，则g(x)在区间(1，4)上有零点.当a＝0时，显然不成立；当a≠0>0，（1）＝－2a－1<0，（4）＝16a－1>0，<0，（1）＝－2a－1>0，（4）＝16a－1<0，解得a>116或a<－12.∴a>116是f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件.6.已知函数y＝f(x＋1)是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sin x－x，设a＝b＝f(3)，c＝f(0)，则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c答案A解析由函数y＝f(x＋1)是偶函数，可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，则a＝b＝f(3)，c＝f(0)＝f(2)，又当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝cos x－1≤0，所以f(x)＝sin x－x在(1，＋∞)上为减函数，所以b<a<c，故选A.7.若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为________.答案(－3，0)∪(0，＋∞)解析依题意知，f ′(x )＝3ax 2＋6x －1有两个不相等的零点，≠0，＝36＋12a >0，解得a >－3且a ≠0.8.(2022·哈尔滨调研)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________.答案1解析f ′(x )＝4x －1x ＝（2x －1）（2x ＋1）x(x >0)，令f ′(x )>0，得x >12；令f ′(x )<0，得0<x <12.－1≥0，－1<12<k ＋1，解之得1≤k <32.9.设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′（x ）－f （x ）x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________.答案(－∞，－2)∪(0，2)解析令φ(x )＝f （x ）x，∵当x >0时，f （x ）x ′＝x ·f ′（x ）－f （x ）x 2<0，∴φ(x )＝f （x ）x 在(0，＋∞)上为减函数，又f (2)＝0，即φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数，由数形结合知x∈(－∞，－2)时，f(x)>0.故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2).10.已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)f′(x)＝1x－ln x－ke x(x>0).又由题意知f′(1)＝1－ke＝0，所以k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x－ln x－1e x(x>0).设h(x)＝1x－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－1x2－1x<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，所以f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.综上f(x)的单调增区间是(0，1)，减区间为(1，＋∞).11.讨论函数g(x)＝(x－a－1)e x－(x－a)2的单调性.解g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)e x－2(x－a)＝(x－a)(e x－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2，①当a>ln2时，x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(ln2，a)时，f′(x)<0；②当a＝ln2时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在R上单调递增；③当a<ln2时，x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(a，ln2)时，f′(x)<0，综上，当a>ln2时，f(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减；当a＝ln2时，f(x)在R上单调递增；当a<ln2时，f(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减.12.已知a＝ln33，b＝e－1，c＝3ln28，则a，b，c的大小关系为()A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c答案D解析依题意，得a＝ln33＝ln33，b＝e－1＝ln ee，c＝3ln28＝ln88.令f(x)＝ln xx(x>0)，则f′(x)＝1－ln xx2，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.所以f(x)max＝f(e)＝1e＝b，且f(3)>f(8)，即a>c，所以b>a>c.13.(2021·成都诊断)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x).若x>0时，f′(x)<2x，则不等式f(2x)－f(x－1)>3x2＋2x－1的解集是________.答案1解析令g(x)＝f(x)－x2，则g(x)是R上的偶函数.当x>0时，g′(x)＝f′(x)－2x<0，则g(x)在(0，＋∞)上递减，于是在(－∞，0)上递增.由f(2x)－f(x－1)>3x2＋2x－1得f(2x)－(2x)2>f(x－1)－(x－1)2，即g (2x )>g (x －1)，于是g (|2x |)>g (|x －1|)，则|2x |<|x －1|，解得－1<x <13.14.(2021·全国乙卷)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标.解(1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a ).①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2.所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )∞(1＋1－3a 3，＋∞)上单调递增，在.(2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1).因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0).由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x .＝（1＋a ）x ，＝x 3－x 2＋ax ＋1，＝1，＝1＋a＝－1，＝－1－a .所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a).。
(新课标)人教版高中教材目录
(新课标)人教版高中教材目录——数学必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量间的相关关系第三章概率3．1 随机事件的概率3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换1必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例1．3 实习作业第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4 基本不等式======================================================== 选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算3．3 导数在研究函数中的应用3．4 生活中的优化问题举例选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图4．2 结构图2选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线3选修4-4 坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4-5 不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式4(新课标)人教版高中教材目录——政治必修1 经济生活【第一单元生活与消费】第一课神奇的货币揭开货币的神秘面纱信用工具和外汇第二课多变的价格影响价格的因素价格变动的影响第三课多彩的消费消费及其类型树立正确的消费观综合探究正确对待金钱【第二单元生产、劳动与经营】第四课生产与经济制度发展生产满足消费我国的基本经济制度第五课企业与劳动者公司的经营新时代的劳动者第六课投资理财的选择储蓄存款和商业银行股票、债券和保险综合探究做好就业与自主创业的准备【第三单元收入与分配】第七课个人收入的分配按劳分配为主体多种分配方式并存收入分配与社会公平第八课财政与税收国家财政征税和纳税综合探究提高效率促进公平【第四单元发展社会主义市场经济】第九课走进社会主义市场经济市场配置资源社会主义市场经济第十课社会发展观和小康社会的经济建设全面建设小康社会的经济目标又好又快科学发展第十一课经济全球化与对外开放面对经济全球化积极参与国际经济竞争与合作综合探究经济全球化与中国5【第一单元公民的政治生活】第一课生活在人民当家作主的国家人民民主专政：本质是人民当家作主政治权利与义务：参与政治生活的基础和准则政治生活：有序参与第二课我国公民的政治参与民主选举：投出理性一票民主决策：作出最佳选择民主管理：共创幸福生活民主监督：守望公共家园综合探究有序与无序的政治参与【第二单元为人民服务的政府】第三课我们政府是人民的政府政府的职能：管理与服务政府的责任：对人民负责第四课我国政府受人民的监督政府的权力：依法行使权力的行使：需要监督综合探究政府的权威从何而来【第三单元发展社会主义民主政治】第五课我国的人民代表大会制度人民代表大会：国家权力机关人民代表大会制度：我国的根本政治制度第六课我国的政党制度中国共产党执政：历史和人民的选择中国共产党：以人为本执政为民共产党领导的多党合作和政治协商制度：中国特色的政党制度第七课我国的民族区域自治制度及宗教政策处理民族关系的原则：平等、团结、共同繁荣民族区域自治制度：适合国情的基本政治制度我国的宗教政策综合探究社会主义民主政治的特点和优势【第四单元当代国际社会】第八课走近国际社会国际社会的主要成员：主权国家和国际组织国际关系的决定性因素：国家利益第九课维护世界和平促进共同发展和平与发展：时代的主题世界多极化：不可逆转我国外交政策的宗旨：维护世界和平促进共同发展6【第一单元文化与生活】第一课文化与社会体味文化文化与经济、政治第二课文化对人的影响感受文化影响文化塑造人生综合探究聚焦文化竞争力【第二单元文化传承与创新】第三课文化的多样性与文化传播世界文化的多样性文化在交流中传播第四课文化的继承性与文化发展传统文化的继承文化在继承中发展第五课文化创新文化创新的源泉和作用文化创新的途径综合探究建设“学习型社会”【第三单元中华文化与民族精神】第六课我们的中华文化源远流长的中华文化博大精深的中华文化第七课我们的民族精神永恒的中华民族精神弘扬中华民族精神综合探究铸牢中华民族的精神支柱【第四单元发展中国特色社会主义文化】第八课走进文化生活色彩斑斓的文化生活在文化生活中选择第九课推动社会主义文化大发展大繁荣坚持先进文化的前进方向建设社会主义精神文明第十课文化发展的中心环节加强思想道德建设思想道德修养与科学文化修养综合探究感悟当代中国的先进文化7必修4 生活与哲学【第一单元生活智慧与时代精神】第一课美好生活的向导生活处处有哲学关于世界观的学说第二课百舸争流的思想哲学的基本问题唯物主义和唯心主义第三课时代精神的精华真正的哲学都是自己时代的精神上的精华哲学史上的伟大变革综合探究走进哲学问辩人生【第二单元探索世界与追求真理】第四课探究世界的本质世界的物质性认识运动把握规律第五课把握思维的奥妙意识的本质意识的作用第六课求索真理的历程人的认识从何而来在实践中追求和发展真理综合探究求真务实与时俱进【第三单元思想方法与创新意识】第七课唯物辩证法的联系观世界是普遍联系的用联系的观点看问题第八课唯物辩证法的发展观世界是永恒发展的用发展的观点看问题第九课唯物辩证法的实质与核心矛盾是事物发展的源泉和动力用对立统一的观点看问题第十课创新意识与社会进步树立创新意识是唯物辩证法的要求创新是民族进步的灵魂综合探究坚持唯物辩证法反对形而上学【第四单元认识社会与价值选择】第十一课寻觅社会的真谛社会发展的规律社会历史的主体第十二课实现人生的价值价值与价值观价值判断与价值选择价值的创造与实现综合探究坚定理想铸就辉煌思想政治选修1 科学社会主义常识思想政治选修2 经济学常识思想政治选修4 科学思维常识思想政治选修5 生活中的法律常识思想政治选修6 公民道德与伦理常识8(新课标)人教版高中教材目录——历史必修一第一单元古代中国的政治制度第一课夏、商、西周的政治制度第二课秦朝中央集权制度的形成第三课从汉至元政治制度的演变第四课明清君主专制的加强第二单元古代希腊罗马的政治制度第五课古代希腊民主政治第六课罗马法的起源与发展探究活动课“黑暗”的西欧中世纪——历史素材阅读与研讨第三单元近代西方资本主义政治制度的确立与发展第七课英国君主立宪制的建立第八课美国联邦政府的建立第九课资本主义政治制度在欧洲大陆的扩展第四单元近代中国反侵略、求民主的潮流第十课鸦片战争第十一课太平天国运动第十二课甲午中日战争和八国联军侵华第十三课辛亥革命第十四课新民主主义革命的崛起第十五课国共的十年对峙第十六课抗日战争第十七课解放战争第五单元从科学社会主义理论到社会主义制度的建立第十八课马克思主义的诞生第十九课俄国十月革命的胜利第六单元现代中国的政治建设与祖国统一第二十课新中国的民主政治建设第二十一课民主政治建设的曲折发展第二十二课祖国统一大业第七单元现代中国的对外关系第二十三课新中国初期的外交第二十四课开创外交新局面第八单元当今世界政治格局的多极化趋势第二十五课两极世界的形成第二十六课世界多极化趋势的出现第二十七课世纪之交的世界格局必修二第一单元古代中国经济的基本结构与特点第一课发达的古代农业第二课古代手工业的进步第三课古代商业的发展第四课古代的经济政策第二单元资本主义世界市场的形成和发展第五课开辟新航路第六课殖民扩张与世界市场的拓展第七课第一次工业革命第八课第二次工业革命第三单元近代中国经济结构的变动与资本主义的曲折发展第九课近代中国经济结构的变动第十课中国民族资本主义的曲折发展第四单元中国特色社会主义建设的道路第十一课经济建设的发展和曲折第十二课从计划经济到市场经济第十三课对外开放格局的初步形成第五单元中国近代社会生活的变迁第十四课物质生活与习俗的变迁第十五课交通工具和通讯工具的进步第十六课大众传媒的变迁探究活动课中国民生百年变迁（20世纪初～21世纪）──历史展览第六单元世界资本主义经济政策的调整第十七课空前严重的资本主义世界经济9危机第十八课罗斯福新政第十九课战后资本主义的新变化第七单元苏联的社会主义建设第二十课从“战时共产主义”到“斯大林模式”第二十一课二战后的苏联经济改革第八单元世界经济的全球化趋势第二十二课战后资本主义世界经济体系的形成第二十三课世界经济的区域集团化第二十四课世界经济的全球化趋势必修三第一单元中国传统文化主流思想的演变第1课“百家争鸣”和儒家思想的形成第2课“罢黜百家，独尊儒术”第3课宋明理学第4课明清之际活跃的儒家思想第二单元西方人文精神的起源及其发展第5课西方人文主义思想的起源第6课文艺复兴和宗教改革第7课启蒙运动第三单元古代中国的科学技术与文学艺术第8课古代中国的发明和发现第9课辉煌灿烂的文学第10课充满魅力的书画和戏曲艺术探究活动课中国传统文化的过去、现在与未来──历史小论文第四单元近代以来世界的科学历程第11课物理学的重大进展第12课探索生命起源之谜第13课从蒸汽机到互联网第五单元近代中国的思想解放潮流第14课从“师夷长技”到维新变法第15课新文化运动与马克思主义的传播第六单元20世纪以来中国重大思想理论成果第16课三民主义的形成和发展第17课毛泽东思想第18课新时期的理论探索第七单元现代中国的科技、教育与文学艺术第19课建国以来的重大科技成就第20课“百花齐放”“百家争鸣”第21课现代中国教育的发展第八单元19世纪以来的世界文学艺术第22课文学的繁荣第23课美术的辉煌第24课音乐与影视艺术第一单元梭伦改革第1课雅典城邦的兴起第2课除旧布新的梭伦改革第3课雅典民主政治的奠基石第一单元资料与注释第1课改革变法风潮与秦国历史机遇第2课“为秦开帝业”──商鞅变法第3课富国强兵的秦国第二单元资料与注释第1课改革迫在眉睫第2课北魏孝文帝的改革措施第3课促进民族大融合第三单元资料与注释第1课社会危机四伏和庆历新政第2课王安石变法的主要内容第3课王安石变法的历史作用第四单元资料与注释探究活动课一历史上的改革与发展10第五单元欧洲的宗教改革第1课宗教改革的历史背景第2课马丁·路德的宗教改革第3课宗教改革运动的扩展第五单元资料与注释第六单元穆罕默德·阿里改革第1课18世纪末19世纪初的埃及第2课穆罕默德·阿里改革的主要内容第3课改革的后果第六单元资料与注释第七单元1861年俄国农奴制改革第1课19世纪中叶的俄国第2课农奴制改革的主要内容第3课农奴制改革与俄国的近代化第七单元资料与注释探究活动课二古老文化与现代文明第八单元日本明治维新第1课从锁国走向开国的日本第2课倒幕运动和明治政府的成立第3课明治维新第4课走向世界的日本第八单元资料与注释第九单元戊戌变法第1课甲午战争后民族危机的加深第2课维新运动的兴起第3课百日维新第4课戊戌政变第九单元资料与注释探究活动课三改革成败的机遇与条件选修二近代社会的民主思想与实践第一单元专制理论与民主思想的冲突第1课西方专制主义理论第2课近代西方的民主思想第二单元英国议会与国王的斗争第1课英国议会与王权矛盾的激化第2课民主与专制的反复较量第三单元向封建专制统治宣战的檄文第1课美国《独立宣言》第2课法国《人权宣言》第3课《中华民国临时约法》探究活动课一撰写历史短评──试评辛亥革命和《中华民国临时约法》第四单元构建资产阶级代议制的政治框架第1课英国君主立宪制的建立第2课英国责任制内阁的形成第3课美国代议共和制度的建立第五单元法国民主力量与专制势力的斗争第1课法国大革命的最初胜利第2课拿破仑帝国的建立与封建制度的复辟第3课法国资产阶级共和制度的最终确立第六单元近代中国的民主思想与反对专制的斗争第1课西方民主思想对中国的冲击第2课中国资产阶级的民主思想第3课资产阶级民主革命的酝酿和爆发第4课反对复辟帝制、维护共和的斗争第七单元无产阶级和人民群众争取民主的斗争第1课英国宪章运动第2课欧洲无产阶级争取民主的斗争第3课抗战胜利前中国人民争取民主的斗争第4课抗战胜利后的人民民主运动探究活动课二近代时期人民对民主的追求与斗争──学习编辑历史报纸1112(新课标)人教版高中教材目录——地理必修1第一章行星地球第一节宇宙中的地球第二节太阳对地球的影响第三节地球的运动第四节地球的圈层结构第二章地球上的大气第一节冷热不均引起大气运动第二节气压带和风带第三节常见天气系统第四节全球气候变化第三章地球上的水第一节自然界的水循环第二节大规模的海水运动第三节水资源的合理利用第四章地表形态的塑造第一节营造地表形态的力量第二节山岳的形成第三节河流地貌的发育第五章自然地理环境的整体性与差异性第一节自然地理环境的整体性第二节自然地理环境的差异性必修2第一章人口的变化第一节人口的数量变化第二节人口的空间变化第三节人口的合理容量第二章城市与城市化第一节城市内部空间结构第二节不同等级城市的服务功能第三节城市化第三章农业地域的形成与发展第一节农业的区位选择第二节以种植业为主的农业地域类型第三节以畜牧业为主的农业地域类型第四章工业地域的形成与发展第一节工业的区位因素与区位选择第二节工业地域的形成第三节传统工业区与新工业区第五章交通运输布局及其影响第一节交通运输方式的布局第二节交通运输布局变化的影响第六章人类与地理环境的协调发展第一节人地关系思想的演变第二节中国的可持续发展实践必修3第一章地理环境与区域发展第一节地理环境对区域发展的影响第二节地理信息技术在区域地理环境研究中的应用第二章区域生态环境建设13第一节荒漠化的防治──以我国西北地区为例第二节森林的开发和保护──以亚马孙热带林为例第三章区域自然资源综合开发利用第一节能源资源的开发──以我国山西省为例第二节河流的综合开发──以美国田纳西河流域为例第四章区域经济发展第一节区域农业发展──以我国东北地区为例第二节区域工业化与城市化──以我国珠江三角洲地区为例第五章区际联系与区域协调发展第一节资源的跨区域调配──以我国西气东输为例第二节产业转移──以东亚为例选修1 宇宙与地球第一章宇宙第一节天体和星空第二节探索宇宙第三节恒星的一生和宇宙的演化第二章太阳系与地月系第一节太阳和太阳系第二节月球和地月系第三节月相和潮汐变化第三章地球的演化和地表形态的变化第一节地球的早期演化和地质年代第二节板块构造学说第三节地表形态的变化选修2 海洋地理第一章海洋概述第一节地球上的海与洋第二节人类对海洋的探索与认识第二章海岸与海底地形第一节海岸第二节海底地形的分布第三节海底地形的形成第三章海洋水体第一节海水的温度和盐度第二节海水的运动第四章海－气作用第一节海－气相互作用及其影响第二节厄尔尼诺和拉尼娜现象第五章海洋开发第一节海岸带的开发第二节海洋资源的开发利用第三节海洋能的开发利用第四节海洋空间的开发利用第六章人类与海洋协调发展第一节海洋自然灾害与防范第二节海洋环境问题与环境保护14第三节维护海洋权益加强国际合作选修3 旅游地理第一章现代旅游及其作用第一节现代旅游第二节现代旅游对区域发展的意义第二章旅游资源第一节旅游资源的分类与特性第二节旅游资源开发条件的评价第三节我国的旅游资源第三章旅游景观的欣赏第一节旅游景观的审美特性第二节旅游景观欣赏的方法第三节中外著名旅游景观欣赏第四章旅游开发与保护第一节旅游规则第二节旅游开发中的环境保护第五章做一个合格的现代游客第一节设计旅游活动第二节参与旅游环境保护选修4 城乡规划第一章城乡发展与城市化第一节聚落的形成和发展第二节城市化与城市环境问题第二章城乡合理布局与协调发展第一节城市空间形态及变化第二节城镇布局与协调发展第三节城乡特色景观与传统文化的保护第三章城乡规划第一节城乡规划的内容及意义第二节城乡土地利用与功能分区第三节城乡规划中的主要布局第四章城乡建设与人居环境第一节城乡人居环境第二节城乡商业与生活环境第三节城乡公共服务设施与生活环境选修5 自然灾害与防治第一章自然灾害与人类活动第一节自然灾害及其影响第三节人类活动对自然灾害的影响第二章中国的自然灾害第一节中国自然灾害的特点第二节中国的地质灾害第三节中国的水文灾害第四节中国的气象灾害第五节中国的生物灾害第三章防灾与减灾第一节自然灾害的监测与防御第二节自然灾害的求援与求助第三节自然灾害中的自救与互救15。
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第13讲 函数与导数之导数及其应用一． 基础知识回顾1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商00()()f x x f x x+-△△＝Δy Δx称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率0limx y x →△△△通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即00'()lim x y f x x→=△△△． (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的切线的斜率．导函数y ＝f ′(x )的值域即为切线斜率的取值范围．3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作y ′或f ′(x)．4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) ； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2[g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是增函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是减函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间(3)若在(a ，b )上，f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为增函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为减函数．6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上连续，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．二．典例精析探究点一：导数的运算例1：求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x . 解：(1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝1122x x --，∴y ′＝1122()'()'x x --＝31221122x x ----.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝221ln 1ln x x x x x x--=. (3)y ′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)．(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. 变式迁移1：求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (3)y ＝ln x x 2＋1. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)(3e)x －2x ln 2.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x ＋1)＝1x (x 2＋1)－ln x ·2x (x ＋1)＝x 2＋1－2x 2ln x x (x ＋1). 探究点二：导数的几何意义例2：已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．解：(1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1,1)．故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1， 即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.变式迁移2：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．解：f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①②得x 0＝32，k ＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .综上，曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x . 探究点三：函数的单调性例3：已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，∵e x >0，∴－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.∴函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)．(2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增，∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈(－1,1)恒成立．设h (x )＝x 2－(a －2)x －a 只须满足⎩⎪⎨⎪⎧h (－1)≤0h (1)≤0，解得a ≥32. 变式迁移3：已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，又⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－a ＋23或⎩⎨⎧ －1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12.所以a 的取值范围为(－5，－12)∪(－12，1)． 探究点四：函数的极值例4：若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．解：(1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝12a －b ＝0f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13，b ＝4故所求的函数解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)． 令f 因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数的大致图象如图（略），故实数k 的取值范围为(－43，283)． 变式迁移4：设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值； (2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．解：(1)f ′(x )＝a x ＋2bx ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a ＋2b ＋1＝0f ′(2)＝a 2＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－16. (2)f ′(x )＝－2＋(－x )＋1＝－(x －1)(x －2).函数定义域为(0，＋∞)，列表探究点五：求闭区间上函数的最值例5：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0；①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4，又切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4.∴1＋a ＋b ＋c ＝4.∴c ＝5.(2)由(1)，得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23，∴f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－2，23，即为f (x )的减区间．[－3，－2)、⎝⎛⎦⎤23，1是函数的增区间．又f (－3)＝8，f (－2)＝13，f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，f (1)＝4，∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527. :变式迁移5：已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式； (2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．解：(1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 三．方法规律总结1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧．2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．3．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．4．可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x 0一定满足f ′(x 0)＝0，但当f ′(x 1)＝0时，x 1不一定是极值点．如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．5．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 6．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．四．课后作业设计1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx为 ( C ) A ．Δx ＋1Δx ＋2 B ．Δx －1Δx －2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1Δx2．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =( A )A ．64B ．32C ．16D ．83．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是 ( D )A ．－ln 22B ．－ln 2 C.ln 22D ．ln 2 4．已知函数f (x )＝2ln(3x )＋8x ，则0lim →∆x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值为 ( C ) A ．10 B ．－10 C ．－20 D ．205．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是 ( C )A.⎝⎛⎭⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(2,3) 6．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 (A )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝07．设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有 ( C )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )8.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点 ( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若函数y ＝a (x 3－x )在区间⎝⎛⎭⎫－33，33上为减函数，则a 的取值范围是 ( A )A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <110．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( A ) A ．m ≥32 B ．m >32 C ．m ≤32 D ．m <3211．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( D ) A.⎣⎡⎭⎫0，π4 B.⎣⎡⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 12．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x 1，x 2 (x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|恒成立”的只有 ( A )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝|x |C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝x 2 13．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示，给出以下结论：①函数f (x )在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数；②函数f (x )在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；③函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值；④函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)．则正确命题的序号是②④．(填上所有正确命题的序号)．14．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为(－∞，－3)∪(6，＋∞)．15．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝1. 16．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为2．17．设点P 是曲线y ＝x 33－x 2－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是12x ＋3y ＋8＝018．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．解:(1)因为f ′(x )＝x －a x (x >0)又f(x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ln 2＝2＋b ，2－a 2＝1，解得a ＝2，b ＝－2ln 2.(2)若函数f (x)在(1，＋≦)上为增函数，则f ′(x )＝x －a x ≥0在(1，＋≦)上恒成立，即a ≤x 2在(1，＋≦)上恒成立．所以有a ≤1.19．已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )．(1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值． 解:(1)由f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得f ′(x )＝3x 2－2ax －4.(2)因为f ′(－1)＝0，所以a ＝12，所以f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.又f ′(x )＝0，所以x ＝43或x ＝－1.又f ⎝⎛⎭⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，所以f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为92、－5027. 20．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．解:(1)由函数f (x )图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－ 3. ①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g (x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0.所以m ＝－3，代入①，得n ＝0.于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．由f ′(x )>0，得x >2或x <0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)；由f ′(x )<0，得0<x <2, 故f (x )的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f ′(x )＝3x (x －2)，令f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值；当1<a <3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值；当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值综上得：当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值；当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a ＝1或a ≥3时，f (x )无极值21.已知函数f (x )＝12(1＋x )2－ln(1＋x )．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[1e－1，e －1]时，f (x )<m 恒成立，求m 的取值范围．解:(1)∵f (x )＝12(1＋x )2－ln(1＋x )，∴f ′(x )＝(1＋x )－11＋x ＝x (2＋x )1＋x(x >－1)．∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)又∵f (1e －1)＝12e 2＋1，f (e －1)＝12e 2－1>12e 2＋1，又f (x )<m 在x ∈[1e－1，e －1]上恒成立，∴m >12e 2－1.。