数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案

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余数问题复习题

在数学中，余数问题是一个常见的概念。它涉及到整数除法中的余数，是数论

中的一个重要内容。今天，我们来复习一些与余数相关的问题，希望通过这些

练习题，加深对余数的理解。

1. 问题一

如果一个整数除以3的余数是2，那么这个整数除以6的余数是多少？

解析：我们知道，整数除以3的余数只有三种可能：0、1、2。在这个问题中，余数是2，所以这个整数可以表示为3k+2的形式，其中k是一个整数。现在，我们来看这个整数除以6的余数。假设这个整数为n，那么我们可以得到以下

等式：n = 3k + 2 = 6m + r，其中m是一个整数，r是余数。由于6可以被3

整除，所以我们可以将等式简化为：3k + 2 = 3(2m) + r。根据除法的性质，两

个整数除以3的余数相等，所以r = 2。因此，这个整数除以6的余数也是2。2. 问题二

如果一个整数除以4的余数是1，那么这个整数除以8的余数是多少？

解析：与问题一类似，我们可以将这个整数表示为4k + 1的形式。现在，我们

来看这个整数除以8的余数。假设这个整数为n，那么我们可以得到以下等式：n = 4k + 1 = 8m + r，其中m是一个整数，r是余数。根据除法的性质，两个整数除以4的余数相等，所以r = 1。因此，这个整数除以8的余数也是1。

3. 问题三

如果一个整数除以5的余数是3，那么这个整数除以10的余数是多少？

解析：我们可以将这个整数表示为5k + 3的形式。现在，我们来看这个整数除

以10的余数。假设这个整数为n，那么我们可以得到以下等式：n = 5k + 3 = 10m + r，其中m是一个整数，r是余数。根据除法的性质，两个整数除以5的余数相等，所以r = 3。因此，这个整数除以10的余数也是3。

数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案

数论问题之余数问题:余数问题练习题含答

案

1.数11 1(2007个1),被13除余多少

分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7.

2.求下列各式的余数:

(1)2461 135 6047 11 (2)2123 6

分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 .

3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位

数.

分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真.

4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班

分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17.

5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.

分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定

能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.

101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.

6.求下列各式的余数:

数论.第4讲.余数问题(二).教师版

第四讲余数问题（二）

知识点拨

一、余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

2.余数的减法定理

a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差，或这个差除以c的余数。

3.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

二、弃九法

在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

三、中国剩余定理

1.中国古代趣题

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

第五讲余数问题-（带完整答案）五年级奥数

第五讲余数问题

内容概述

从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；

当r=0时，我们称a能被b整除；

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a 除以b的商

余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。

例题讲析

基本性质1：被除数=除数×商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数

除数=（被除数-余数）÷商；

商=（被除数-余数）÷除数。

余数小于除数。

理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。

【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=

乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。

余数趣味练习题

1. 小明有20只苹果，他想平均分给他的4个朋友，每人能得到几只苹果？剩余几只苹果？

解答：

小明有20只苹果，平均分给4个朋友，每人可以得到20÷4=5只苹果。剩余的苹果数量为20-5×4=0只。

2. 一辆客车上共有40个座位，已经有32人上车了，还有多少个座位可以继续坐人？

解答：

客车共有40个座位，已有32人上车，还有40-32=8个座位可以继续坐人。

3. 小华有15元，他打算买一本书，书价格为8元，他还剩下多少钱？

解答：

小华有15元，买了一本书8元后，还剩下15-8=7元。

4. 一串灯上共有30个灯泡，每隔3个灯泡就有一个灯泡坏掉，需要更换多少个灯泡？

解答：

一共有30个灯泡，每隔3个灯泡就有一个灯泡需要更换，因此需要更换30÷3=10个灯泡。

5. 小红从1到50数数，数到的数是奇数的有多少个？

解答：

从1到50总共有25个偶数和25个奇数，因此小红数到的奇数有25个。

6. 公司发放了100个礼品盒，每个礼品盒里有8个巧克力，共有多少个巧克力？

解答：

公司发放了100个礼品盒，每个礼品盒里有8个巧克力，共有100×8=800个巧克力。

7. 小明在花园里摘了一些花朵，每束花插5朵花，他最后一共插了15束花，摘了多少朵花？

解答：

小明插了15束花，每束花插5朵花，因此他一共摘了15×5=75朵花。

8. 小刚有40颗糖果，他想将其平均分给他的5个朋友，每人能得到几颗糖果？剩余几颗糖果？

解答：

小刚有40颗糖果，平均分给5个朋友，每人可以得到40÷5=8颗糖果。剩余的糖果数量为40-8×5=0颗。

小学奥数数论同余问题练习题及答案

⼩学⽣频道为⼤家整理的⼩学奥数数论同余问题练习题及答案，供⼤家学习参考。

求21000除以13的余数.

考点：同余问题.

分析：这类型的题⽬都是采⽤⼀般⽅法来做，就是⽤前⾯⼏个数字来找规律，寻找第⼏个数被13除后的余数是1，得出对应的次⽅就是余数变化的周期，从⽽求出因此2的1000次⽅除以13的余数是与2的4次⽅除以13的余数相同，进⽽得出⼤答案.

解答：解：因为⼀个数字m如果能被13除余1的话，它就可以写成 m=13n+1这种形式.

那么根据题意它再乘以2之后就是26m+2，

这个数被13除后的余数显然是2，⼜会跟第⼀个数的余数相同了.

所以这个数对应的次⽅就是余数变化的⼀个周期.

⾸先从2开始，2除以13的余数是2;2的2次⽅是4，余数是4;按照这个⽅法⼀直找下去，

发现第12个数也就是2的12次⽅被13除后余1，所以12是余数变化的周期.

接下来把1000除以12后得到余数是4，因此2的1000次⽅除以13的余数是与2的4次⽅除以13的余数相同.

∵2的4次⽅也就是16，除以13余数为3.

故21000除以13的余数为3.点评：此题主要考查了同余问题的性质，得出2的1000次⽅除以13的余数是与2的4次⽅除以13的余数相同是解决问题的关键.

小学奥数余数问题完整版教案带解析和答案

数论问题之余数问题

教学目标

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

三大余数定理：

1、余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2、余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

六年级下册数学试题-小升初能力训练：数论综合——余数问题(解析版)全国通用

第05讲数论综合——余数问题

【一】了解“除法算式——a b q

r b r ÷=> ()” 及应用

1：一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是 .

1010

989108

=910898

÷=⇒∴÷=∴⨯+=最小的两位数是两位数一位数余数求最大值一位数最大是，余数最大是两位数两位数

2：用某自然数a 去除1707，得到商是37，余数是r ，求a 和r.

170737170737

170737465

46170746375537542454545170745374242

4645542

a r a r a r

a a r a a r a a r r =+⎧÷=⇒⎨

>⎩÷==⎧∴=⇒÷=⇒⎨

=⎩+=<=⎧∴=⇒÷=⇒⎨

=⎩==⎧⎧⎨

⎨==⎩⎩综上：或

3：523除以一个数得到的商是10，并且除数与余数的差是5，求除数与余数.

带余除法

52310

523(5)1052311

52310(5)x x x x x x ÷=÷=+∴÷+=∴÷=∴=++法一：法二：除数余数除数余数

余数与除数的差是余数与除数的差是若设余数为，则除数为若给余数加上除数 =52311=48=43

4348

x ∴÷=∴ 除数，余数余数是，除数是

4：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是 .

484

8484

848415

324

4879

4848415794798324

A B A B A B A B A B A B x A x B x x x A =+⎧÷=⇒=+÷=⇒⎨

小学奥数题库《数论》余数问题带余除法1星题(含解析)全国通用版

数论-余数问题-带余除法-1星题

课程目标

知识提要

带余除法

•定义

一般的，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q⋯⋯r，也就是说a=

b×q+r，0≦r<b，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

（1）当r=0时，我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商；

（2）当r≠0时，我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。

精选例题

带余除法

1. 有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是．

【答案】17

【分析】（1）被除数÷除数=7，因此我们能得到被除数是除数得7倍．

（2）如果设除数是1份，那么被除数就是7份，它们的和是136．

所以每份量为：136÷8=17．即除数是17．

2. 在一个除法算式中，被除数是12，除数小于12，则可能出现的不同的余数之和是．【答案】15

【分析】除数小于12且有不同余数，除数可能是11、10、9、8、7．余数分别是1、2、3、4、5．

余数之和是

1＋2＋3＋4＋5=15.

3. 已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．那么这些自然数共有个．

【答案】11个

【分析】2008−10=1998一定能被这些数整除，且这些数一定大于10，1998=

2×3×3×3×37．1998的因数一共有：(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个．其中小于10

的有：1，2，3，6，9那么大于10的因数有16−5=11个．即这些自然数共有11个．

4. 买一支水彩笔需要1元7角，用15元钱最多可以买这样的水彩笔支．

【答案】8

【分析】1元7角相当17角，15元相当于150角．可列出如下算式：

余数答案

学而思培优学科部

数论专题练习——余数问题

【例1】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？

【解析】我们发现这两个除数与余数的差都等于11- 8 =13 -10 = 3 ，可知这个数加上3 后就能同时被11和13整除，而[11,13]=143，这个数又要在200以内，所以这个数是

143 - 3 =140．

【例2】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

【解析】由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．51-39 =12，147-39=108，(12,108)=12，12的约数是1,2,3,4,6,12 ，因为余数为3 要小于除数，这个数是4,6,12．

【例3】三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

【解析】设所得的商为a，除数为b．(19a+b)+(23a+b)+(31a+b)=2001，73a+3b=2001，由b <19，可求得a=27，b=10．所以，这三个数分别是19a+b=523，23a+b=631，31a+b=847。

【例4】在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)

【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．

1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余0)，这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．

小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】

分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.

101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.

2.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.

分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.

3.除以99,余数是______.

分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.

4.求下列各式的余数：

(1)2461×135×6047÷11

(2)19992000÷7

分析：(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 能够得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 .

【第二篇】

(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够

分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加

小学奥数-余数问题-完整版题型训练

数论问题之余数问题

教学目标

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

三大余数定理：

1、余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2、余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

余数问题题集-集合

余数问题基本定理：

（一）如果a,b 除以c的余数相同，就称a, b对于除数c来说是同余的，并且a与b的差能被c整除。（a,b,c均为自然数）

（二）如果a＋b除以c的余数，将等于a除以c的余数＋b除以C的余数（如果两者余数之和大于c，则等于余数之和除以c的余数）。

例如：

23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数是3+1=4

注意：但当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和除以除数的余数。

例如：

23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数，余数为2。

（三）如果a与b的乘积除以c的余数，将等于a,b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）

例如：

23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23*16）除以5的余数等于3*1=3

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以除数的余数。

例如：

23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23*19）除以5的余数等于（3*4）除以5的余数。

五年级数论问题：余数问题1_奥数网

（1）求14389除以7的余数

五年级数论问题：余数问题2_奥数网

（2）用1、2、3、4（每个数恰好用一次）可组成24个四位数，其中共有多少个能被11整除？

余数问题练习16_奥数网-解法

（3）求123456789101112……199200除以9的余数是________;

小学数学奥数-余数问题-中国剩余定理训练试题

被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数）

同余定理1 如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。并且我们说a，b之间的差能被c整除。（a b c三个数都是自然数）

例1：有一个大于1的数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数可能是多少？

习题1：已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.

同余定理2 a和b的积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积或者这个余数的积再除以c所得的余数。（a b c均为自然数）

例2：22003除以7的余数是多少？

习题2：31453⨯68765⨯987657的积,除以4的余数是_____.

例3：今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2.试问这个类数最小那个又什么？（中国剩余定理）

分析：此题就是国际上有名的“中国剩余定理”，早在中国古代人们就中国人民就掌握了这种题型的解法。此题解法很多，在此介绍同余尝试法。在附录中有此种题型的一般解法。题目中给出的条件比较多，假如一开始就同时考虑三个条件，由于关系复杂很难一下子看出答案。所以应该先考虑其中的一个条件，进而考虑其中的两个条件，最后考虑三个条件，以求出最后答案。一般应该先考虑除数最大的那个条件，即找出除以7余2的数：

2 ，9 ，16 ，23，30，37，43，50，57……

在此，我们必须在上面的数列中找出满足第二个条件的数，即除以5

余3的数，显然，

23，23+5×7，23+5×7×2，23+5×7×3，23+5×7×4……

以上数列都能满足前面两个要求。所以，能够满足‘除以7余2，除以5余3’这两个条件的数有

小学生奥数数论问题应用题：余数问题

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⼀个⼤于10的⾃然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个⾃然数去除220后所得的余数，则这个⾃然数是多少?

解答：

这个⾃然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个⾃然数去除90+164=254后所得的余数，所以254和220除以这个⾃然数后所得的余数相同，因此这个⾃然数是254-220=34的约数，这个⾃然数只能是17或者是34，如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题⽬条件.如果这个数是17，那么他去除90、16、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题⽬条件，所以这个⾃然数是17

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求14389除以7的余数。

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