数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案
数论专题-余数问题
数论专题一、带余除法及同余余数的可加性余数的可乘性例1(★)一排吊灯，3个3个地数剩1个，4个4个地数剩1个，6个6个地数剩1个，这排吊灯至少有多少个？例2一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。
例3求乘积34×37除以13所得的余数例4 19983除以7余数是多少。
练习1 求33335555+ 55553333被7除的余数。
例5 55555555573⋅⋅⋅÷个的余数是多少？二、位值原理例1、证明：一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除例2、有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。
例3、某三位数是其各位数字之和的23倍，求这个三位数。
数论综合：1、某校的学生总数是一个三位数，平均每个班有35人，统计员提供的学生总数比实际总数少270人，原来，他在记录时粗心的将这个三位数的百位与十位数字对调了。
这个学校的学生最多是多少人？2、一次数学考试共有20道题，规定答对一题得2分，答错一题扣1分，未答题不得分，小明得了23分，已知他未答题目是偶数，他答错了几道？3、A.B.C.E.F.G七盏灯各自装有拉线开关，开始B.D.F亮着，一个小朋友从A到G再从A 到G，再……的顺序拉开关，一共拉了2000次，问此时哪几盏灯是亮着的。
4、“任何不小于4的偶数都可以表示为两个质数之和”这就是著名的哥德巴赫猜想，例如8=5+3.但是8只有一种表示形式，而22却有3+19和5+17两种表示成不同质数之和的形式，那么，能有两种表示成不同质数之和的形式的最小自然数是几？5.有1,2,3,4,5,6,7,8,9,九张牌，甲乙丙各拿了3张，甲说：我的三张牌的积是48:；乙说：我的三张牌的和是15，丙说：我的三张牌的积是63,。
问，他们各拿的是哪三张牌？6、李老师带领同学们去植树，学生们按人数分恰好分成三组，已知他们共种了312棵树，老师和学生每人种的树一样多，且不超过10棵。
数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案
数论问题之余数问题:余数问题练习题含答案1.数11 1(2007个1),被13除余多少分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7.2.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11 (2)2123 6分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 .3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真.4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17.5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.6.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)2123 6分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.7.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .8.(第十三届迎春杯决赛) 已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .分析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2 2 3 717=51 28=68 21=84 17,因此所求的两位数51或68或84.9.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.10.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.第二页：练习题含答案11 20题第三页：练习题含答案21 28题11.除以99,余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.12.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)19992000 7分析:(1)5;(2)1999 7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000 3 余2 可以得到42000除以7 的余数是2,故19992000 7的余数是2 .13.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .14.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.15.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.16.除以99的余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.17.19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是______.分析:法1:从简单情况入手找规律,发现1994 15余14,19941994 15余4,199419941994 15余9,1994199419941994 15余14,......,发现余数3个一循环,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4;法2:我们利用最后一个例题的结论可以发现199419941994能被3整除,那么19941994199400 0能被15整除,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4.18.a b c 是自然数,分别除以11的余数是2,7,9.那么(a+b+c) (a-b) (b-c)除以11的余数是多少分析:(a+b+c) 11的余数是7;(a b) 11的余数是1l+2 7=6;(b c) 11的余数是11+7 9=9.所求余数与7 6 9 11的余数相同,是4.19.盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个？分析与解答:如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.2 8 10 122 4 5 62 5 3故8,10,12的最小公倍数是22253=120.所以这盒乒乓球有123个.20.自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.分析与解答:设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c 不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.21.求123456789101112 199200除以9的余数是________;解答:一位数个位数字之和是1+2+3+ ..9=45二位数数字之和是1 10+1+2+3+ .9 (10-19)2 10+1+2+3+ .9 (20-29)9 10+1+2+3+ .9 (90-99) 余90,9余0,11余2故二位数总和为(1+2 ..+9) 10+1+2 ..+9=495100 199与1 99的区别在于百位多了100个1,共100所以原数数字值和为45+495+495+100+2=1137,除以9余3. 22: 222 22除以13所得的余数是_____.2000个分析与解答:因为222222=2111111 =21111001=211171113所以222222能被13整除. 又因为2000=6333+2 222 2=222 200+22 2000个19982213=1 9所以要求的余数是9.求除以9,11,99,101,999,1001,13和91的余数分别是多少;解答:23: 除以9的余数是0,11: 一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5. 2007个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5 2007.5 2007 3(mod11),所以除以11的余数是399: 能被9整除,被11除余3的数最小是36,所以除以99余36200720072007能被7,13,37整除.999=27 37 1001=7 11 13 91=7 1313: 0(mod13) 除以13余091: 0(mod91) 除以91余0所以除以13,91,999的余数都是0.1001: 除以11余3,除以7,13余0,满足次条件的最小数是1092,1092除以1001余91.所以除以1001的余数是91.101: 我们发现9999=101 99,所以=0000+2007= 10000+2007= 9999++2007 +2007(mod101)同样道理+2007 +2007 2(mod101)以此类推2007 2007(mod101)=6824、今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物最少几何解答:此数除以3余2,除以5余3,除以7余2,满足条件最小数是2325、(23+105k)2)一个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________;如果它是一个四位数,那么最大可能是________;解答:满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4, 69-a=13b.a最小等于4.满足条件的最小数是381.设最大的四位数为381+1001x,最大的四位数为9390.(1732)26、今天周一,天之后是星期________;这个数的个位数字是________;天之后是星期________;解答:只要求出7的余数就可以知道天后是星期几. 52007(mod7),56 1(mod7)2007 3(mod6), 52007 53 6(mod7) s所以天之后是星期日2007的个位数字是720072的个位数字是920073的个位数字是320074的个位数字是120075的个位数字是127、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;解答:设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三位数为192,498,804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)这个四位数是194628、甲,乙,丙三个数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.A是________;解答:如果A除丙所得的余数是1份的话,那么A除乙所得余数就是2份,A除甲所得的余数就是4份.把2乙-甲,则没有余数,即2乙-甲使A的倍数;同理乙-2丙也同样没有余数,是A的倍数.939 2-603=1275,939-393 2=153A是1275和153的公约数,而1275与153的最大公约数是51,所以A可能是1,3,17,51再实验得到A为17,余数分别为8,4,2.。
小学奥数题库《数论》余数问题同余5星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-同余-5星题课程目标知识提要同余•定义同余定理：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为a≡b（mod m），这个式子叫做同余式，读作：a同余于b，模m．•性质及推论（1）若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。
（2）用式子表示为：如果有a≡b（mod m），那么一定有a - b = mk、k是整数，m|（a - b）精选例题同余1. 若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d−r的最大值是．【答案】35【分析】（1）2017−1029=988，1029−725=304，因为2017，1029与725除以d的余数均为r，所以d∣988，d∣304，d是988和304的公约数．（2）988=22×13×19，304=24×19，所以d可以是2，4，19，38，76．（3）经检验2017，1029与725除以76的余数依次为41，41，41；2017，1029与725除以38的余数依次为3，3，3；（2017，1029与725除以2的余数均为1，2017，1029与725除以4的余数均为1，2017，1029与725除以19的余数依次为3，3，3；）（4）d−r的最大值是35．2. 用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=．【答案】43【分析】n能整除63+91+129−25=258．因为25÷3=8⋯⋯1，所以n是258大于8的约数．显然，n不能大于63．符合条件的只有43．3. 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【答案】17【分析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90+164= 254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254−220=34的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．4. 20092009的各位数字和为A，A的各位数字和为B，B的各位数字和为C，C的各位数字和为D，D的各位数字和为E，求E．【答案】5【分析】ABCD除以9的余数应该相同．20092009除以9的余数和22009除以9的余数相同，而2的乘方除以9的余数依次为2、4、8、7、5、1、2⋯⋯6个数一循环，故而22009除以9的余数等同于2的5次方除以9，余数为5．20092009小于100002009，所以一定不多于8037位，数字和不会超过72333，故而B小于72333．B最多为5位数，数字和不会超过45，所以C是两位数，故而D不会超过18，E一定是一个1位数．所以E=5．5. 请证明p4≡1(mod240)，其中p是大于5的质数．【答案】见解析【分析】p4−1=(p2+1)(p+1)(p−1)，240=24×3×5，由于p不是3的倍数，则p+1、p−1必有一个3的倍数；由于p的尾数只能是1、3、7、9，则p+1、p−1、P2+1必有一个尾数为0，是5的倍数；p+1、p−1、P2+1都是偶数，其中p+1、p−1是连续偶数，必有一个是4的倍数，所以至少有4个质因数2．6. 我们将具有如下性质的自然数 K 称为“高思数”：如果一个整数 M 能被 K 整除，则把 M 的各位数字按相反顺序重写时所得到的数也能被 K 整除，请求出所有的“高思数”．【答案】 1、3、9、11、33、99【分析】 易知，1 必为“高思数”；因为一个数反序重写数字和不变，所以 3、9 为“高思数”；因为一个数反序重写奇位和与偶位和之差也不变，所以 11 为“高思数”，由整除规律，33、99 也是“高思数“．除此之外，感觉是没有了，下面给出证明．引理（可以看做是先证明一个小结论）：对于任意的不含 2 或 5 的正整数 n ，形如 1、11、111、1111、…的数中一定有无数个是 n 的倍数．证明：由于 1,11,111,1111,⋯,11⋯1⏟n+1个1这 n +1 个数中一定存在 2 个数关于 n 同余，那么这两个数的差一定是 n 的倍数，而这两个数的差是形如 11⋯1⏟a 个100⋯0⏟b 个0 的数，说明 11⋯1⏟a 个1是 n 的倍数，同理可得这里面有无数个数是 n 的倍数．首先说明“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9．因为，“高思数”肯定不是偶数，否则肯定能得到它的某个倍数的首位是 1，那么这个偶数就无法整除这个倍数的反序数．同理，“高思数”的个位数字也不能是 5．所以“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9．若 K 是“高思数”，根据引理得一定存在某个自然数 l 使得 K ∣11⋯1⏟l 个1，那么 K ∣77⋯7⏟l 个7，进一步得 K ∣77⋯1⏟l 个700⋯0⏟(l−1)个0+77⋯1⏟l 个7，即 K ∣77⋯7⏟(l−2)个78477⋯7⏟(l−1)个7，利用“高思数”的性质得 K ∣77⋯7⏟(l−1)个74877⋯7⏟(l−2)个7，利用整除的性质得 K ∣77⋯7⏟(l−2)个78477⋯7⏟(l−1)个7−77⋯7⏟(l−1)个74877⋯7⏟(l−2)个7，即 K ∣9900⋯0⏟(l−2)个0．因为“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9，所以“高思数”分解质因数后一定不含质因数 2 和 5，故 K ∣99，所以 K 只可能是 1、3、9、11、33、99，经验证这 6 个都是“高思数”，至此已求出所有的“高思数”．7. 在给定的圆周上有 100 个点．任取一点标上 1；按顺时针方向从标有 1 的点往后数 2 个点，标上 2；从标有 2 的点再往后数 3 个点，标上 3 ……依此类推，直至在圆周上标出 100．对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数．请问：标有 100 的那个点上标出的数最小是多少？【答案】 75【分析】 标有 100 的那个点是从标有 1 的点开始数（包括标有 1 的这个点）1+2+⋯+100=5050 的点，所以这个点上标的数是符合 1+2+⋯+n ≡5050(mod100) 的点，即 n(n+1)2≡50(mod100)，故 n(n +1)≡0(mod100)，由于 n 和 n +1 互质，要想乘积是 100 的倍数，那么 n 和 n +1 中有一个数要是 25 的倍数，可能的情况有 (24,25)、(25,26)、(49,50)、(50,51)、(74,75)、(75,76)，很明显只有 (24,25) 和 (75,76) 可能符合，经检验，只有 (75,76) 符合，说明这个点上还标有 75，所以标有 100 的那个点上标出的数最小是 75．8. 任意给定一个正整数 n ，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由 0 和 7 组成的数．【答案】 见解析．【分析】 考虑如下 n +1 个数：7，77，777，⋯⋯，77⋯7⏟n 位，77⋯7⏟n+1位，这 n +1 个数除以 n 的余数只能为 0，1，2，⋯⋯，n −1 中之一，共 n 种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以 n 的余数相同，不妨设为 77⋯7⏟p 位和 77⋯7⏟q 位（p >q ），那么 77⋯7⏟p 位−77⋯7⏟q 位=77⋯7⏟(p−q)位00⋯0⏟q 位 是 n 的倍数，所以 n 乘以适当的整数，可以得到形式为 77⋯7⏟(p−q)位00⋯0⏟q 位的数，即由 0 和 7 组成的数．9. 学校新买来 118 个乒乓球，67 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【答案】 17【分析】 设学校一共有 A 个班级，则有：118≡67(modA)≡33(modA)，据同余性质，可知 x 为它们两两差的约数，118−67=51，118−33=85，67−33=34，(51,85,34)=17，所以学校共有 17 个班10. 一个不超过 200 的自然数，如果用四进制表示，那么它的数字之和是 5；如果用六进制表示，那么它的数字之和是 8；如果用八进制表示，那么它的数字之和是 9．如果用十进制表示，那么这个数是多少？【答案】 23【分析】 根据结论：“在 n 进制中，一个自然数与它的数字和模 (n −1) 同余”，所以这个数 {÷3⋯2,÷5⋯3,÷7⋯2, 利用物不知数可以求出符合的答案为 23、128、233、…，符合“不超过 200”的只有 23 和 128，经检验，23=(113)4=(35)6=(27)8，128=(2000)4=(332)6=(200)8，只有 23 符合．11. 求证：可以找到一个各位数字都是 4 的自然数，它是 1996 的倍数．【答案】 见解析．【分析】 1996÷4=499，下面证明可以找到 1 个各位数字都是 1 的自然数，它是 499 的倍数．取 500 个数：1，11，111，⋯⋯，111⋯⋯1（500 个 1）．用 499 去除这 500 个数，得到 500 个余数 a 1，a 2，a 3，⋯，a 500．由于余数只能取 0，1，2，⋯，498 这 499 个值，所以根据抽屉原则，必有 2 个余数是相同的，这 2 个数的差就是 499 的倍数，差的前若干位是 1，后若干位是 0：11⋯100⋯0．又 499 和 10 是互质的，所以它的前若干位由 1 组成的自然数是 499 的倍数，将它乘以 4，就得到一个各位数字都是 4 的自然数，这是 1996 的倍数．12. 一个正整数，它分别加上 75 和 48 以后都不是 120 的倍数，但这两个和的乘积却能被 120 整除．这个正整数最小是多少？【答案】 117【分析】 先将 120 分解质因数 120=23×3×5，设这个数为 A ，依题意得后来的两个数分別是 A +75 和 A +48，这两个数相差 (A +75)−(A +48)=27．因为 27 是 3 的倍数，所以 A +75 和 A +48 除以 3 的余数相同；因为 (A +75)(A +48) 是 120 的倍数，所以 A +75 和 A +48 都是 3 的倍数．因为 27 不是 5 的倍数，所以 A +75 和 A +48 中只有 1 个是 5 的倍数；因为 27 和 8 互质，所以 A +75 和 A +48 中只有 1 个是 8 的倍数；又因为 A +75 和 A +48 都不是 120 的倍数，所以不可能有一个数既是 5 的倍数也是 8 的倍数，说明 A +75 和 A +48 中一个是 5 的倍数，另一个是 8 的倍数．综上，A +75 和 A +48 中一个是 15 的倍数，另一个是 24 的倍数．若 A +75 是 15 的倍数．A +48 是 24 的倍数，则很明显 A 既是 15 的倍数又是 24 的倍数，最小是 120；若 A +75 是 24 的倍数，A +48 是 15 的倍数，则 {A ÷24⋯21,A ÷15⋯12,所以 A 最小是 117． 所以这个正整数最小是 117．13. 设 20092009 的各位数字之和为 A ，A 的各位数字之和为 B ，B 的各位数字之和为 C ，C 的各位数字之和为 D ，那么 D =？【答案】 5【分析】 由于一个数除以 9 的余数与它的各位数字之和除以 9 的余数相同，所以 20092009 与 A 、B 、C 、D 除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为 2，则 20092009 除以 9 的余数与 22009 除以 9 的余数相同，而 26=64 除以 9 的余数为 1，所以 22009=26×334+5=(26)334×25 除以 9 的余数为 25 除以 9 的余数，即为 5．另一方面，由于 20092009<100002009=108036，所以 20092009 的位数不超过 8036 位，那么它的各位数字之和不超过 9×8036=72324，即 A ⩽72324；那么 A 的各位数字之和 B <9×5=45，B 的各位数字之和 C <9×2=18，C 小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么 C 为 5 或 14，C 的各位数字之和为 5，即 D =5．14. 某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3,⋯,12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除．已知这些电话的首位数字都小于6，并且门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除．请问：这一家的电话号码是多少？【答案】388089【分析】设第一家住户的电话号码为n+1，则1∣n+1,2∣n+2,3∣n+3,⋯,12∣n+12,由此可知n能被1∼12同时整除，而1∼12的最小公倍数为23×32×5×7×11=27720，则n=27720m，其中m为正整数．由条件“门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除”可得，13∣27720m+9．而27720m+9≡4m+9(mod13)，所以m=14时满足条件，这一家的电话号码为27720×14+9=388089．15. 设2n+1是质数，证明：12，22，⋯，n2被2n+1除所得的余数各不相同．【答案】见解析．【分析】假设有两个数a、b，（1⩽b<a⩽n），它们的平方a2，b2被2n+1除余数相同．那么，由同余定理得a2−b2≡0( mod(2n+1))，即(a−b)(a+b)≡0( mod(2n+1))，由于2n+1是质数，所以a+b≡0( mod(2n+1))或a−b≡0( mod(2n+1))，由于a+ b，a−b均小于2n+1且大于0，可知，a+b与2n+1互质，a−b也与2n+1互质，即a+b，a−b都不能被2n+1整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证．16. 三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理游戏．小强和小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安，小安告诉小强和小花，他将分别把两个数的和与乘积写在不同的纸上．小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2008）．小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数．请问：小花所选的数是多少？【答案】1004【分析】首先小强和小花肯定都没有选0，否则一看就知道2008是和，就能知道对方的数．设这两个数分别为强和花，首先，很明显强∣2008，否则立刻盼断出2008是和，花= 2008−强，此时小强是因为无法确定2008是和还是积导致无法判断出小花的数．同理，花∣2008．此时小花也知道了强∣2008，小花会这样进行推理：如果2008是积，那么与已知的情况都符合；如果2008是和，那么由强∣2008知2008−花∣2008，如果2008−花不能整除2008，小花立刻就知道2008不是和，是积，就能知道小强的数．由于实际上小花无法确定小强的数，说明花∣2008的同时2008−花∣2008．而2008=23×251，枚举出它所有的约数：1、2008、2、1004、4、502、8、251，经检验只有1004符合，所以小花所选的数是1004．17. 在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于．第十一届+华杯赛2006【答案】35【分析】根据弃九法两个加数除以9的余数与他们和除以9的余数相同，因为2006除以9余8，所以第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和除以9的余数为8，再根据加法规则，“第”=1．“届+赛”=6或“届+赛”=16．若“届+赛”=6，只能是“届”、“赛”分别等于2或4，此时“一”十“杯”=10只能“一”、“杯”分别为3或7．此时“十+华”=9，“十”、“华”分别只能取（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），但1，2，3，4均已被取，不能再取．所以，“届+赛”=6填不出来，只能是“届+赛”=16，“十+华”+1=10，也就是“一+杯”=9同时“十+华”=9．所以它们可以分别在（3，6），（4，5）两组中取值．因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．。
数论问题10种题型例题精讲和练习题汇总
数论问题10种题型例题精讲和练习题汇总
小编寄语：数论问题是学习中的难点，华杯赛尤其热衷数论题目，数论问题细分起来可以分为10种题型，他们分别是：数的整除,约数倍数,余数问题,质数合数、分解质因数,奇偶分析,中国剩余定理,位值原理,完全平方数,整数拆分,进位制。
下面是网编辑为您收集的这14种题型的例题精讲以及专项训练，希望对您的学习有帮助。
1、数论问题之数的整除：五年级整除的性质解析（1-5）
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3、数论问题之约数倍数：关于最小公倍数的应用题解析
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5、数论问题之余数问题：定义、性质、定理。
余数问题
整数专题之二：余数问题一、带余除法：除数⨯商=被除数-余数例1：2023被一个数去除，得到余数是23，那么这个数最小是_____；二、尾数问题：1、个位问题：一个数的与另一个数的四则运算，只有它们的个位数字与运算结果的个位有关；形如n a 的个位规律：44411422433,,,n n n n a a a a a a a a +++→→→→；例2：（1）235678⨯345953-2345的个位数字是____；（2）20073的个位数字是_____；（3）20062008的个位数字是_____；（4）a =100！=1⨯2⨯3⨯⋯⨯100，那么a 的末尾有_____个“0”；（5）a =1！+2！+3！+⋯+2008！，那么a 的末两位数是_____；（6）“1+12+123+1234+12341+123412+1234123+⋯+200812341234位”计算结果的末四位数是______；三、同余问题：1、定义1：两个整数a 、b 同被正整数p 来整除，若余数相同，则称a 与b 对模p 同余，记作：a ≡b (modp)，或者p|a-b 。
可见：当a ≡0 (modp)时，p 整除a 。
2、性质：（1）a ≡a (modp) (反身性)（2）若a ≡b (modp)，则b ≡a (modp)（对称性）（3）a ≡b (modp) ，b ≡c(modp), a ≡c (modp) (传递性)（4）a ≡b (modp) c ≡d (modp) 则a ±c ≡b±d (modp)（5） a ≡b (modp) c ≡d (modp) 则ac ≡bd (modp)（6） a ≡b (modp) 则ac ≡bc (modp)（7） a ≡b (modp) 则a n ≡b n (modp)（n 为正整数）（8） n ⨯a ≡n ⨯b (modn ⨯p) 则a ≡b (modp)（n 为正整数）（9）a ≡b (modp)则a ≡b ±kp (modp) (k 为正整数)（10）a ≡b (modp 1),a ≡b (modp 2),…,a ≡b (modp k )则a ≡b (modP) P=[p 1，p 2，…，p k ]例3：（1）“1998⨯3627”的计算结果除以19的余数为______；（2）“216⨯34⨯45+112⨯23-490÷35”的计算结果除以13的余数为______；（3）“20062007+20072006”计算结果的个位数字是______；（3）“20062007+20072006”计算结果被7除余______；（4）“2006555个”除以7的的余数是_____，除以9的余数是_____；（5）“20062006200620062006 个”除以11的余数是______，除以13的余数是______；（6）“19901991…20052006”除以55的余数是______；四、中国剩余定理在中国古代的《孙子算经》里，有这样一个问题：例4：题曰：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰二十三。
小学奥数题库《数论》余数问题中国剩余定理2星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-中国剩余定理-2星题课程目标知识提要中国剩余定理•概述中国剩余定理即我们常说的“物不知数”，是利用同余式组来求解的一类问题。
A、一个数分别除以两个数余数相同的时候，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数B、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后便可以整除C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法．精选例题中国剩余定理1. 5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少人．【答案】59．【分析】分析题意知，这个班的人数除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，凑缺相同，这个班人数为[3、4、5、6]−1=59（人）．2. 一个数，除以11余7，除以13余9，除以19余15，问满足条件的最小自然数是．【答案】2713．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺4能被整除，这样得[11、13、19]−4=2713．3. 一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，问满足条件的最小自然数为．【答案】43．【分析】根据总结，我们发现两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处理成都余8，所以[5、7]=35，所以这个数就是35+8=43．4. 一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为．【答案】323．【分析】根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处理成都余8，所以[5、7、9]=315，所以这个数就是315+8=323．5. 一个大于100的数，除以9余3，除以11余1，问满足条件的最小自然数为．【答案】111．【分析】据题意，我们发现两个数的除数与余数的和都是9+3=11+1=12，这样我们可以把余数都处理成都余12，所以[9、11]=99，所以这个数就是99+12=111．6. 一个大于2000数，除以11余5，除以13余3，除以17余16，问满足条件的最小自然数为．【答案】2447．【分析】根据题意，我们发现三个算式中两个数的除数与余数的和都是11+5=13+3= 16，这样我们可以把余数都处理成都余16，所以[11、13、17]=2431，所以这个数就是2431+16=2447．7. 有一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块．这堆糖至少有块．【答案】354【分析】这堆水果糖的总数被8除余2，被9除余3，被10除余4，如果增加6块就刚好是8、9、10的公倍数，又8、、9、10的最小公倍数是360．所以这堆水果糖至少有360−6=354(块)．8. 某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是．【答案】41【分析】这个自然数除以2、4、5都余1，[2,4,5]=20，所以这个数应满足1+20n，同时除以3余2，所以最小是41．9. 有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少个．【答案】62【分析】设有x个苹果．因为11除以3余2，所以x除以3余2；因为10除以4余2，所以x除以4余2；因为12除以5余2，所以x除以5余2．又因为x大于12，x=[3,4,5]+2=60+2=62（个）．10. 一个自然数能被11整除，除以13余12；除以15余13；这个数最小为．【答案】1078．【分析】n除以15余13：最小为13，通式为13+15k1；n除以13余12：k1最小为6，则有13+15×6=103，通式为103+[15,13]k2=103+ 195k2．n除以11余0：k2最小为5，则有103+195×5=1078．11. 一个大于3的数，除以7余4，除以9余6，除以11余8，问满足条件的最小自然数是．【答案】690．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺3能被整除，这样得[7、9、11]−3=690．12. 一个大于2的数，除以3余1，除以5余3，除以7余5，问满足条件的最小自然数是．【答案】103．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺2能被整除，这样得[3、5、7]−2=103．13. 小明心里想了一个正整数．并且求出了它分别被14和21除后所得的余数，已知这两个余数的和是33，则该整数被42除的余数是．【答案】41【分析】该整数除以14的余数不大于13，除以21余数不大于20，所以这两个余数的和不大于33，而由题有这两个余数的和恰好是33，所以该整数除以14余数是13，除以21余数是20．这个数加上1就是14和21的倍数，而[14,21]=42，所以这个数可以表示成42k−1的形式，被42除的余数是41．14. 智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级人数应该是人．【答案】127【分析】根据条件，该数除以3余1，除以5余2，除以7余1，逐级满足法，令该数为a，则a÷3⋯⋯1 ①a÷5⋯⋯2 ②a÷7⋯⋯1 ③符合条件①的有1，4，7，10，13，16，⋯．同时满足①、②的最小值为7，以后a=7+15m均满足①、②；现在来看(7+15m)除以7余1，则15m除以7余1，则m最小取1，符合，最小的符合的数为a=22．以后每隔[3,5,7]=105即符合．由于该年级有100多名学生，为22+105= 127．15. 某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是．【答案】62【分析】由题可知，此数是一个2的倍数，并且除以3、4、5都余2的数，这样的数最小是2，因为这个数是两位数，2+[3、4、5]=62.16. 某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是．【答案】998【分析】观察到11−8＝13−10＝3，因此除以11余8，除以13余10的最小自然数为11×13−3＝140,设某数为a，则a＝143m−3m为非零自然数，只需143m−3除以17余12，而143÷17＝8⋯7,只需(7m−3)÷17＝n⋯12,即7m−15是17的倍数所以，m＝7，所以a＝143×7−3＝998.17. —个自然数被3除余2，被5除余4，并且这个数大于100且小于125，那么这个数是．【答案】104或119【分析】被3除余2，被5除余4，求出3和5的最小公倍数15，估算15的哪一个倍数大于100小于125，经计算可知，105和120介于100到125之间，再用105和120分别减1即可，这个自然数是104或119．18. 我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．”用现代语言表述就是：“有一个数用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数是多少？”请将满足条件的最小的自然数写在这里．【答案】157【分析】（解法一）先考虑除以5余2，除以7余3，除以9余4；用剩余定理得5×7×5+5×9×1+7×9×4=472[5,7,9]=315，故472±315k都符合除以5余2，除以7余3，除以9余4最小是472−315=157，且也符合除以2余1．（解法二）除以2余1的数有：1，3，5，7，9，11，13，15，17，⋯；除以5余2的数有：2，7，12，17⋯；除以7余3的数有：3，10，17⋯；所以满足“用2除余1，用5除余2，用7除余3”的数的形式为[2,5,7]n+17=70n+17（n为自然数）此时只需要找一个最小的n，满足除以9余4即可．当n=2时，满足除以9余4，所以满足条件的最小的自然数为70⋯2+17=15719. 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为．【答案】323【分析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而[5,7,9]=315所以这个数最小为315+8=323.20. 红星小学组织学生划船．若乘坐大船，除1条船坐6人外，其余每船均坐17人；若乘小船，则除1条船坐2人外，其余每船均坐10人．如果学生的人数超过100、不到200，那么学生共有人．【答案】142【分析】除1条船坐6人外，其余每船均坐17人，说明总人数可以表示成17m+6的形式；除1条船坐2人外，其余每船均坐10人，说明总人数可以表示成10n+2的形式；那么有17m+6=10n+2，化简得17m+4=10n，经分析m的个位只能是8．又学生的人数超过100、不到200，所以m=8，学生的人数是17×8+6=142．21. 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为．【答案】148【分析】观察发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5＋3＝7＋1＝8,这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以满足前两个条件的自然数为a＝35m＋8,下一步只需要a除以9余4，35÷9＝3⋯8,只需8＋8m除以9余4，只需8m除以9余5，最小的m＝4，因此满足所有条件的最小自然数为8＋35×4＝148.22. 有一个自然数用7除余3，用9除余4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数写在这里．【答案】31，94【分析】除以7余3的数有：3，10，17，24，31⋯；除以9余4的数有：4，13，22，31⋯；所以满足“除以7余3，除以9余4”的数的形式为[7,9]n+31=63n+31（n为自然数）按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数为31，94．23. 在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个．【答案】6【分析】根据余数不能比除数大．一个数除以2，余数只能是1．而要求余数彼此不等，所以，这些数除以3，余数只能是2．满足以上两个条件的数为6的倍数少1．有：5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65、71、77、83、89、95．再满足被5除有余数，且余数不为1和2，（个位不能为5、1、7）．符合条件的数只有：23、29、53、59、83、89，共6个数．24. 一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5，求符合条件的最小的奇数．【答案】1523．【分析】本题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，符合条件的最小偶数是368，只要将368加上3×5×7×11就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368+3×5×7×11=1523．25. 有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余6，则这个数最小是．【答案】419．【分析】分析题意知，这个数加1就能被2,3,4,5,6,7整除，所以这个数为[2、3、4、5、6、7]−1=420−1=419．26. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数．【答案】23．【分析】由中国剩余定理得这个数为23．27. （1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？（2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？【答案】（1）3；（2）31【分析】（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3．（2）这个自然数加上4以后是5和7的公倍数，所以最小是31．28. 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩四，七七数之剩三，问物几何？【答案】59【分析】70×2+21×4+15×3=269；269−105−105=59；29. 小朋友们做游戏，若7人分成一组，则最后余下5人；若9人分成一组，则最后余下5人；若11人分成一组，则最后余下5人．那么一起做游戏的小朋友至少有人．【答案】698【分析】分析题意知，小朋友的人数是7，9，11的公倍数减5，所以做游戏的小朋友的人至少有[7、9、11]+5=698（人）30. 有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本．那么这批图书共有本．【答案】670．【分析】由题意知，这批数的总数除以24余22，除以28余26，除以32余30，[24、28、32]=672，所以这批书的数量为672k−2，又因为这批图书总数在1000本以内，所以k=1，这本书为670．31. 已知自然数A除以11余5，除以9余7，除以13余3，这个数最小是多少？【答案】1303【分析】本题属于“物不知数”问题，可以运用中国剩余定理，但需要先要找出11与9的公倍数中除以13余1的数、11与13的公倍数中除以9余1的数以及9与13的公倍数中除以11余1的数．比较麻烦．实际上，观察可知11+5=9+7=13+3=16,也就是说这个数减去16后是11、9、13的公倍数，那么这个数最小就是11、9、13的最小公倍数加上16，为11×9×13+16=1303.32. 有一个自然数，用它分别去除61、90、130都有余数，3个余数的和是26，这3个余数中最大的一个是多少？【答案】11【分析】．简答：61、90和130的和减去26得到255，255的约数中验证得满足条件的只有17，所以这个自然数是17，所以余数中最大的是130除以17的余数1133. —个盒子中装有棒棒糖100多个，如果每次取5个最后剩4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个．那么如果每次取12个，最后剩多少个？【答案】11【分析】简答：除以5余4，除以4余3，除以3余2的数最小是59，满足上述条件的100以上的数是59加上若干个60，如119、179等，这些数除以12余11．34. （1）一个数除以7余2，除以11余1．这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1，2，3，⋯，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1，2，⋯，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4．请问：一共有多少名战士？【答案】（1）23；（2）165【分析】（1）采用逐步满足条件法．满足条件第二个条件的数位1、12、23、⋯发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23．（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39，不断加63，直到满足限制条件，最后得到165．35. 一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．（使用中国剩余定理求解）【答案】1102【分析】70+21×2+15×3=70+42+45=157，157+105n在1000到1200之间．可以先写成52+105n，105×10+1050，1050+52=1102．36. 已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这两个两位数．【答案】77和78【分析】两个连续的两位数除以5的余数之和是5，则可以判断出第一个数除以5余2．除以6的余数之和是5，则可以判断出第一个数除以6余2或余5．除以7的余数之和是1，则可以判断出第一个数除以7余0．满足第一、三两个条件的数有7、42、77，再考虑第二个条件，只有77满足．因此这两个数为77和78．37. 一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？【答案】999【分析】这是一道余同的问题．满足条件的数可以表示为[4,6]×n+3，其中n为自然数．要求满足条件的最大三位数，应令n为83，即[4,6]×83+3=999．38. 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？【答案】140．【分析】分析题意，我们发现这两个算式除数与余数的差都等于11−8=13−10=3，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除，所以[11、13]=143，所以这个数是143−3=140．39. 被2，3，5除余1且不等于1的最小整数是几？【答案】31【分析】除1以外，被2除余1的所有整数是：3,5,7,9,11,⋯,27,29,31,33,⋯被3除余1的所有整数是：4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,⋯被5除余1的所有整数是：6,11,16,21,26,31,36,⋯上面三列数中，第一个同时出现的数是31，所以31是同时满足被2，3，5除均余1且不等于1的最小数．40. 有5000多根牙签，可按6种规格分成小包．如果10根一包，那么最后还剩9根．如果9根一包，那么最后还剩8根．第三、四、五、六种的规格是，分别以8，7，6，5根为一包，那么最后也分别剩7，6，5，4根．原来一共有牙签多少根？【答案】5039【分析】设这包牙签有n根，那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包，还可以分成8、7、6、5根一包．所以，n+1是10、9、8、7、6、5的倍数，即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520，即n+1是2520的倍数，在满足题下只能是2520×2=5040，所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．41. 炒饭老师非常喜欢吃炒饭．有一天，炒饭老师给自己炒了一桶的炒饭．他算了一下，如果他每天吃3碗，最后剩下2碗；如果每天吃4碗，最后剩下2碗；如果每天吃5碗，最后剩下2碗．问炒饭老师炒了至少多少碗炒饭？【答案】62【分析】炒饭老师炒的饭的碗数减去2是3，4，5的公倍数，所以老师炒的饭的最小值为[3,4,5]+2=60+2=62（碗）．42. 被3，5除余2的最小两位数是几？【答案】2【分析】被5除余2的所有整数是：2,7,12,17,22,27,32,37⋯被3除余2的所有整数是：2,5,8,11,14,17⋯所以，被3，5除余2的最小两位数是2．43. 韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五．那么这队兵有多少人？【答案】473【分析】先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3的数．44. 刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】467【分析】兔子数除以3余2，除以5余2，除以7余5．所有满足前两个条件的数为2+ [3,5]×n，其中n为自然数，即2、17、32、47、⋯其中47同时满足第三个条件．所有满足条件的数为47+[3,5,7]×m，其中m为自然数．m取4时满足条件，为467．45. 一个两位数分别除以7、8、9，所得的余数的和为20．问：这个两位数是多少？【答案】62【分析】余数的和为20，则这个两位数除以7、8、9的余数分别为6、7、7或6、6、8或5、7、8．其中只有6、6、8的情况存在满足条件的两位数为62．46. 有一个自然数，用它去除25，38，43所得到的3个余数之和是18，那么这个自然数是多少？【答案】11【分析】设这个数为x，由题意可得：① $\left\{\begin{gathered}25 \div x = a \cdots {r_1} \hfill \\38 \div x = b \cdots {r_2} \hfill \\43 \div x = c \cdots {r_3} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow 25 + 38 + 43 - 18 = 88$ 为x的倍数；②88=2×2×2×11③枚举验证⇒x=11．47. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数．【答案】53．【分析】分析题目，我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍的“中国剩余定理”：3、5的公倍数 3、7的公倍数 5、7的公倍数15 21 3530 42 7045 63 10560 84 140… … …找出除以7余4的 除以5余3 除以3余2．可以找出分别是：60 63 35可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内．所以答案为：158−105=53．48. （1）一个三位数除以6余2，除以8余2，那么这个三位数最小是多少？（2）—个数除以3余2，除以5余4，除以7余6，那么这个数最小是多少？（3）—个数除以6余2，除以11余1，那么这个数最小是多少？【答案】（1）122；（2）104；（3）5649. 有一个整数，用它去除63，90，130所得到的3个余数之和是25，那么这3个余数中最大的一个是多少？【答案】20【分析】设这个数为x，由题意可得：① $\left\{\begin{gathered}63 \div x = a \cdots {r_1} \hfill \\90 \div x = b \cdots {r_2} \hfill \\130 \div x = c \cdots {r_3} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow 63 + 90 + 130 - 25 =258$ 为x的倍数；②258=2×3×43③枚举验证⇒x=43．所以 $\left\{ \begin{gathered}63 \div 43 \cdots 20 \hfill \\90 \div 43 \cdots 4 \hfill \\130 \div 43 \cdots 1 \hfill \\\end{gathered} \right.$，显然这3个余数中最大的一个是20．50. 一个自然数除以7余3，除以27余5，这个自然数最小是多少？【答案】59【分析】除以27余5的数有5、32、59、⋯，其中除以7余3的最小的数是59．51. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问这个数是多少？【答案】53【分析】如果用剩余定理相信大家会做了，接下来看逐步满足法．第一个条件，除以3余2，最小是2；先记下2．第二个条件，除以5余3，原来已经有了2，要保持满足第一个条件不变，那么在2的基础上增加3的倍数，这样除以3余2不会变．2+3n的形式．这个数要满足第二个条件，除以5余3．在2+3n中，2已经余2了，3n需要余1，所以n=2即可．这样满足前两个条件的最小的数是8．第三个条件，除以7余4.8+3×5n的形式．3×5n=15n除以7要余4−1=3，15除以7余1，所以n最小是3，这个数是8+45=53满足题意．52. 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？【答案】5【分析】方法一：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23，⋯；它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，⋯；除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，⋯；它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，⋯；一个数除以12的余数是唯一的．上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5．方法二：一个数，除以3余2，除以4余1，可以理解为除以3余3+2，除以4余4+1，所以这个数减去5后，既能被3整除，又能被4整除，设这个数为a，则a=12m+5，（m为自然数）所以这个数除以12余5．53. （1）一个数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少？（2）—个数除以11余7，除以10余6．这个数最小是多少？第二小是多少？【答案】（1）17；437（2）106；216【分析】（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是[21,10]+17=437．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4即可被11和10整除，[11,10]=110，因此这个数最小为110−4=106．第二小的是110×2−4=216．54. 一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．（使用逐步满足法）【答案】1102【分析】方法1（比较法）：我们先找出被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，⋯；被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，⋯；被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是105×10+52=1102.方法2（逐步满足的比较法）：先列出除以3余1的数：1，4，7，10，13，16，⋯；再列出除以5余2的数：2，7，12，17，22，27，⋯；这两列数中，首先出现的公共数是7．3与5的最小公倍数是15．两个条件合并成一个就是7+15×整数，列出这一串数是7，22，37，52，⋯；再列出除以7余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；就得出符合题目条件的最小数是52．事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52．那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102.方法3（逐步满足法）：设这个自然数为a，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余3×2+1，被5除与5+2，所以满足前面两个条件的a=15m+7（m为自然数），只需15m+7除以7余3，即15m除以7余3，而15÷7=2⋯⋯1，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为3×15+7=52，那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102.55. 今有物不知其数，三三数之剩一，四四数之剩三，五五数之剩二，问物几何？【答案】7【分析】40×1+45×3+36×2=247，3×4×5=60，247÷60=4⋯⋯7，最少是7．56. 今有一堆石子，三个三个数余2个，五个五个数余2个，七个七个数余4个，这堆石子最少有多少个？【答案】32【分析】70×2+21×2+15×4=242；244−105−105=32；57. 有一个正整数除以7、8、9的余数分别为1、5、4，求这个数至少是多少？【答案】85【分析】除以7余1的数至少是1，为满足这一特点每次要加7，加了4个7后首次满足除以8余5；然后每次加56，加了一个后满足除以9余4，此时这个数是85．58. 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【答案】172【分析】法一：仔细分析可以发现3×2+1=5+2=7，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于[3,5,11]=165，所以这个数最小是165+7=172．法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数．59. 一个自然数除以8、9、11后分别余2、7、3，而所得的三个商的和是622，这个数是多少？【答案】1906．【分析】设这个数为x．x除以8余2：最小为2，通式为2+8k1；x除以9余7：k1最小为4，则有2+8×4=34，通式为34+[8,9]k2=34+72k2．x除以11余3：k2最小为4，则有34+72×4=322．则x=322+[8,9,11]n=322+792n．322+792n−28+322+792n−79+322+792n−311=622 40+99n+35+88n+29+72n=622259n=518n=2x=322+792×2=1906．60. 有一个整数，用它去除53，89，127所得到的3个余数之和是23，那么这个整数是多少？【答案】41【分析】设这个数为x，由题意可得：① $\left\{\begin{gathered}53 \div x = a \cdots {r_1} \hfill \\89 \div x = b \cdots {r_2} \hfill \\127 \div x = c \cdots {r_3} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow 53 + 89 + 127 - 23 =246$ 为x的倍数；②246=2×3×41③枚举验证⇒x=41．61. 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小的自然数？【答案】148．【分析】设这个数为n．n除以5余3：最小为3，通式为3+5k1；n除以6余4：k1最小为5，则有3+5×5=28，通式为28+[5,6]k2=28+30k2．n除以7余1：k2最小为4，则有n=28+30×4=148．62. 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．【答案】2430，2431，2432．【分析】设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为n+1，n+2．依题意可知：15∣n，17∣(n+1)，19∣(n+2)，根据整除的性质对这三个算式进行变换：15∣n 17∣(n +1)19∣(n +2)→→→15∣2n 17∣(2n +2)19∣(2n +4)→→→15∣(2n −15)17∣(2n −15)19∣(2n −15)}⇒[15,17,19]∣(2n −15)从上面可以发现 2n −15 应为 15、17、19 的公倍数．由于 [15,17,19]=4845，所以 2n −15=4845(2k −1)（因为 2n −15 是奇数），可得 n =4845k −2415．当 k =1 时 n =2430，n +1=2431，n +2=2432，所以其中的一组自然数为 2430、2431、2432．63. 有一个数，除以 3 余数是 2，除以 4 余数是 1．问这个数除以 12 余数是几？【答案】 5【分析】 满足条件的最小值是 5，那么所有满足条件的数肯定具有 [3,4]k +5=12k +5 的形 式，除以 12 —定是余 5 的．64. （1）一个三位数除以 8 余 3，除以 12 也余 3．这个三位数最小是多少？（2）—个三位数除以 6 余 1，除以 10 余 5．这个三位数最小是多少？【答案】 （1）123；（2）115【分析】 （1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为 [8,12]×n +3，其中 n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令 n 为 5，即 [8,12]×5+3=123．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为 [6,10]×n −5，其中 n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令 n 为 4，即 [6,10]×4−5=115．65. 一个布袋中装有 5000 多个小球，如果 10 个一包，最后还剩 9 个，如果 9 个一包，最后还剩 8 个 ⋯⋯ 如果 5 个一包，最后还剩 4 个，那么如果 13 个一包，最后还剩多少个？【答案】 8 个【分析】 简答：布袋中的小球数除以 10 余 9，除以 9 余 8，除以 8 余 7⋅⋯，除以 5 余 4，[5,6,7,8,9,10]=[5,7,8,9]=5×7×8×9=2520，所以，布袋中球数是 2520−1+2520=5039，5039÷13 余 8．66. （1）—个三位数除以 4 余 2，除以 6 余 2，那么这个三位数最小是多少？（2）—个三位数除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 6 余 4，那么这个三位数最小是多少？（3）—个数除以 9 余 2，除以 12 余 5，那么这个数最小是多少？【答案】 （1）110；（2）106；（3）29【分析】 简答：（1）[4,6]=12，14+12×8=110；（2）按“差同”计算；（3）按“差同”计算．67. 一个数被5除余3，被7除余4，被9除余5，这个数最小是几？【答案】158【分析】7和9的公倍数9和5的公倍数5和7的公倍数6345351269070135105180140225175210245280⋯⋯⋯在7和9的公倍数中，除以5余1的最小数是126；在5和9的公倍数中，除以7余1的最小数是225；在5和7的公倍数中，除以9余1的最小数是280；那么126×3+225×4+280×5=2678．[5,7,9]=315．所以，最小的数为2678−315×8=158．68. 一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．【答案】1102【分析】方法1：先列出除以3余1的数：1，4，7，10，13，16，⋯；再列出除以5余2的数：2，7，12，17，22，27，⋯；这两列数中，首先出现的公共数是7．3与5的最小公倍数是15．两个条件合并成一个就是7+15×整数，列出这一串数是7，22，37，52，⋯；再列出除以7余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；就得出符合题目条件的最小数是52．事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52．那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102．方法2：我们先找出被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，⋯；被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，⋯；被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是105×10+52=1102．方法3：设这个自然数为a，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余3×2+1，被5除与5+2，所以满足前面两个条件的a=15m+7（m为自然数），只需15m+7除以7余3，即15m除以7余3，而15÷7=2⋯1，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为3×15+7=52，那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102．69. 一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数：【答案】368．【分析】将3、5、7、11这4个数3个3个分别计算公倍数，如表：5、7、11公倍数3、7、11公倍数3、5、11公倍数3、5、7公倍数3852311651057704623302101155693495315……………………除3余2的最小数是770除5余3的最小值是693除7余4的最小值是165 3、5、7公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以210×5=1050被11除余5，由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个值，又3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以2678−1155×2=368是符合条件的最小值．70. 有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少？【答案】20【分析】设这个除数为M，设它除63，90，130所得的余数依次为a，b，c，商依次为A，B，C．63÷M=A⋯⋯aa+b+c=25，则(63+90+130)−(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283−25=258=(A+B+C)×M.所以M是258的约数．258=2×3×43显然当除数M为2、3、6时，3个余数的和最大为3×(2−1)=3,3×(3−1)=6,3×(6−1)=15所以均不满足．而当除数M为43×2，43×3，43×2×3时，它除63的余数均是63，所以也不满足．那么除数M只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足．显然这3个余数中最大的为20．71. 有一个整数，用它分别去除157、234和324，得到的三个余数之和是100，这个整数是多少？。
小学三年级下数学余数练习题
小学三年级下数学余数练习题题1：小明有10只篮球，他希望把这些篮球平均分给他的4个朋友，每人分得几只篮球？剩下几只篮球？解析：我们可以使用除法来解决这个问题。
将10除以4，商为2、余数为2。
所以小明的每个朋友可以分到2只篮球，剩下的2只篮球是多余的。
题2：小红有15个橙子，她希望把这些橙子平均分给她的6个同学，每人分到几个橙子？剩下几个橙子？解析：同样地，我们使用除法来解决这个问题。
15除以6，商为2、余数为3。
所以小红的每个同学可以分到2个橙子，剩下的3个橙子是多余的。
题3：小华有20个糖果，她希望把这些糖果平均分给她的5个朋友，每人分到几个糖果？剩下几个糖果？解析：我们继续使用除法。
20除以5，商为4、余数为0。
所以小华的每个朋友可以分到4个糖果，没有剩下任何一个糖果。
题4：小杰有18个饼干，他希望把这些饼干平均分给他的3个朋友，每人分到几个饼干？剩下几个饼干？解析：使用除法，18除以3，商为6、余数为0。
所以小杰的每个朋友可以分到6个饼干，没有剩下任何一个饼干。
题5：小明有30个苹果，他希望把这些苹果平均分给他的8个朋友，问每人最多能分到几个苹果？每人最少能分到几个苹果？解析：同样地，我们使用除法。
30除以8，商为3、余数为6。
所以每个朋友最多能分到3个苹果，最少能分到2个苹果。
总结：余数问题在数学中是非常常见的。
我们可以使用除法来解决余数问题，商表示每人平均能得到的数量，余数表示剩余的部分。
在解决问题时，我们要根据具体的情景来判断商和余数的意义，有时候可能存在多种解答。
熟练掌握余数问题的解决方法对于学习和日常生活都有帮助。
小学奥数题库《数论》余数问题带余除法1星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-带余除法-1星题课程目标知识提要带余除法•定义一般的，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q⋯⋯r，也就是说a=b×q+r，0≦r<b，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
（1）当r=0时，我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商；（2）当r≠0时，我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。
精选例题带余除法1. 有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是．【答案】17【分析】（1）被除数÷除数=7，因此我们能得到被除数是除数得7倍．（2）如果设除数是1份，那么被除数就是7份，它们的和是136．所以每份量为：136÷8=17．即除数是17．2. 在一个除法算式中，被除数是12，除数小于12，则可能出现的不同的余数之和是．【答案】15【分析】除数小于12且有不同余数，除数可能是11、10、9、8、7．余数分别是1、2、3、4、5．余数之和是1＋2＋3＋4＋5=15.3. 已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．那么这些自然数共有个．【答案】11个【分析】2008−10=1998一定能被这些数整除，且这些数一定大于10，1998=2×3×3×3×37．1998的因数一共有：(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个．其中小于10的有：1，2，3，6，9那么大于10的因数有16−5=11个．即这些自然数共有11个．4. 买一支水彩笔需要1元7角，用15元钱最多可以买这样的水彩笔支．【答案】8【分析】1元7角相当17角，15元相当于150角．可列出如下算式：150÷17=8⋯14.故最多可以买这样的水彩笔8支．5. 两数相除，商4余8，被除数、除数两数之和等于73，则被除数是．【答案】60【分析】被除数=4×除数+8，被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为(73−8)÷(4+1)=13，所以，被除数为13×4+8=60．6. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是．【答案】1968【分析】设除数为a，被除数为17a+13，即可得到(17a+13)+a+17+13=2113,那么除数=115，被除数=115×17+13=1968．7. 在一个除法算式中，如果商是16，余数是8，那么被除数最小是．【答案】152【分析】根据余数小于除数，得到除数最小为9，那么被除数的最小值为16×9+8=152．8. 在一个除法算式中，如果商是16，余数是8，那么被除数与除数的和最小是．【答案】161【分析】由上题152+9=161．9. （1）34÷4=8⋯⋯2，则[34÷4]=，{34÷4}=；（2）已知a÷125=b⋯⋯10，[a÷125]=6，求{a÷125} = ；（3）已知a÷20=3⋯⋯b，{a÷20}=0.45，求[a÷20] = ，a = ．【答案】（1）8,0.5；（2）0.08；（3）3,69【分析】（1）34÷4的整数部分就是商，因此为8，{34÷4}相当于余数除以4，因此为0.5．（2）如果a÷b=q⋯⋯r，[a÷b]=q,{a÷b}=r÷b方法1：b=6，a=6×125+10=760，{760÷125}=0.08；方法2：b=6，{a÷125}=10÷125=0.08．（3）如果a÷b=q⋯⋯r，[a÷b]=q，{a÷b}=r÷b，所以[a÷20]=3，b=0.45×20=9，a=3×20+9=69．10. 用一个自然数去除另一个自然数，商为5．被除数、除数的和是36，求这两个自然数各是多少？【答案】被除数为30，除数为6．【分析】被除数÷除数=5，所以根据和倍问题可知，除数为36÷(5+1)=6，所以被除数为5×6=30．11. 若a÷b=7⋯⋯9，则a的最小值是多少？【答案】79【分析】根据余数小于除数，得到除数最小为10，那么a的最小值为7×10+9=79．12. （1）25÷6=4⋯⋯1；34÷6=5⋯⋯4，那么(25+34)÷6=( )⋯⋯( )．（2）45÷7=6⋯⋯3；26÷7=3⋯⋯5，那么(45+26)÷7=( )⋯⋯( )．（3）a÷8⋯⋯5；b÷8⋯⋯6，那么(a+b)÷8⋯⋯( )．（4）a÷8⋯⋯5；b÷8⋯⋯6；c÷8⋯⋯7，那么(a+b+c)÷8⋯⋯( )．【答案】（1）(25+34)÷6=(9)⋯⋯(5)；（2）(45+26)÷7=(10)⋯⋯(1)．（3）(a+b)÷8⋯⋯(3)．（4）(a+b+c)÷8⋯⋯(2)．【分析】（1）(25+34)÷6=9⋯⋯5；（2）(45+26)÷7=10⋯⋯1．（3）所以余数的和为5+6=11，11÷8=1⋯⋯3，余数为3．（4）余数的和为5+6+7=18，18÷8=2⋯⋯2，余数为2．13. 请在下列括号中填上适当的数．（1）a÷8⋯⋯6；b÷8⋯⋯7，那么(a+b)÷8⋯⋯( )．（2）a÷10⋯⋯5；b÷10⋯⋯6；c÷10⋯⋯7，那么(2a+b+c)÷10⋯⋯( )．【答案】（1）5；（2）3【分析】（1）余数的和为6+7=13，13÷8=1⋯⋯5，余数为5．（2）2a+b+c=a+a+b+c，所以余数的和为5+5+6+7=23，23÷10=2⋯⋯3，余数为3．14. 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【答案】13,77,91【分析】1013−12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”，所以舍去11，答案只有13,77,91．15. 1013除以一个两位数，余数是12．求出所有符合条件的两位数．【答案】13,77,91【分析】1013−12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”，所以舍去11，答案只有13,77,91．16. 甲、乙两数的和是16，甲数除以乙数商是2余1，求甲数和乙数各是多少？【答案】乙=5，甲=11【分析】设乙数为a，即甲为2a+1，可得到(2a+1)+a=16，那么乙=5，甲=11．17. 2025除以一个两位数，余数是75，这个两位数是多少？【答案】78【分析】这个两位数是2025−75=1950的约数，其中比75大的只有78．18. 一个数除以另一个数，商是3，余数是3．如果除数和被除数都扩大10倍，那么被除数、除数、商、余数的和是263，求这2个自然数各是多少？【答案】5、18【分析】设除数为a，被除数为3a+3，即可得到10(3a+3)+10a+3+30=263,那么除数=5，被除数=5×3+3=18．19. 甲、乙两数的差是113，甲数除以乙数商7余5，则甲数和乙数各是多少？【答案】乙=18，甲=131【分析】设乙数为a，即甲为7a+5，可得到(7a+5)−a=113，那么乙=18，甲= 131．20. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【答案】324【分析】设被除数和除数分别为x，y，可以得到\[ \begin{cases} x = 4y + 8\hfill \\ x + y + 4 + 8= 415 \hfill \\ \end{cases} \]解方程组得\[ \left\{ \begin{gathered} x = 324 \hfill\\ y = 79 \hfill\\ \end{gathered} \right. \]即被除数为324．21. 78除以一个数得到的商是8，并且除数与余数的差是3，求除数和余数．【答案】除数为9，余数为6．【分析】78÷除数=8⋯⋯(余数−3)，81÷除数=9⋯⋯0被除数加上除数与余数的差3的和刚好是除数的9倍，则除数为(78+3)÷9=9，余数为6．22. 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【答案】a=43，r=14【分析】由1992是a的46倍还多r，得到1992÷46=43......14，得1992=46×43+ 14，所以a=43，r=14．23. 甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．【答案】乙=24，甲=65【分析】设乙数为a，即甲为2a+17，可得到10a÷(2a+17)=3⋯⋯45，整理为10a= 3(2a+17)+45，那么乙=24，甲=65．24. 一个三位数除以43，商是a余数是b，求a+b的最大值．【答案】64【分析】试除法：999÷43=23⋯⋯10；999−10−1=988；988÷43=22⋯⋯42．余数最大为42，所以a+b的最大值为42+22=64．25. （1）82÷6=13⋯⋯4；50÷6=8⋯⋯2，那么(82−50)÷6=( )⋯⋯( )．（2）74÷6=12⋯⋯2；22÷6=3⋯⋯4，那么(74−22)÷6=( )⋯⋯( )．（3）a÷6余5；b÷6余1，那么(a−b)÷6余几呢？（4）a÷6余3；b÷6余5，那么(a−b)÷6余几呢？【答案】（1）(82−50)÷6=(5)⋯⋯(2)．（2）(74−22)÷6=(8)⋯⋯(4)．（3）余4．（4）余4．【分析】（1）(82−50)÷6=5⋯⋯2．（2）(74−22)÷6=8⋯⋯4．（3）余数的差是4，所以余数是4．（4）余数不够减时借1当6用来减，3+6=9，9−5=4，所以余数是4．26. 用一个自然数去除另一个自然数，商为8，余数是3．被除数、除数的和是48，求这两个自然数各是多少？【答案】被除数为43，除数为5．【分析】因为被除数减去3后使除数的8倍，所以根据和倍问题可知，除数为(48−3)÷(8+1)=5，所以被除数为5×8+3=43．27. 50除以一个一位数，余数是2．求出符合条件的一位数．【答案】3，4，6，8【分析】50÷除数=商⋯⋯2，50−2=48，48=除数×商，48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，因为“余数小于除数且除数是一位数“那么符合条件的所有的数有3，4，6，8．28. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数．【答案】39；91【分析】本题为余数问题基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题．方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数．本题中310−37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的两位数有39，91．29. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【答案】83【分析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于78，并且小于13×(6+1)=91；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78+5=83．30. 43除以一个数得到的商是8，并且除数与余数的差是2，求除数和余数．【答案】除数为5，余数为3．【分析】43=8×除数+余数，被除数加上除数与余数的差2的和刚好是除数的9倍，则除数为(43+2)÷(8+1)=5，余数为3．31. 用一个自然数去除另一个自然数，商为7．被除数、除数的和是48，求这两个自然数各是多少？【答案】除数为6，被除数为42．【分析】被除数÷除数=7，所以根据和倍问题可知，除数为48÷(7+1)=6，所以被除数为6×7=42．32. 计算：（1）已知a÷25=b⋯⋯5，[a÷20]=4，求a=；（2）已知a÷10=7⋯⋯b，{a÷10}=0.5，求[a÷10]=，a=．【答案】（1）105；（2）7,75【分析】（1）b =4，a=4×25+5=105（2）a÷b=q⋯⋯r，[a÷b]=q，{a÷b}=r÷b，所以[a÷10]=7，b=0.5×10=5，a=7×10+5=75．33. 46除以一个一位数，余数是1．求出符合条件的一位数．【答案】3，5，9【分析】46÷除数=商⋯⋯1，46−1=45，45÷除数=商⋯⋯0，45=除数×商，45=3×15=5×9，因为“余数小于除数且除数是一位数”那么符合条件的所有的一位数有3，5，9．34. 博士要给小朋友们分糖，一共128块，如果每人分5块，最多可以分给几个小朋友？【答案】25【分析】128÷5=25⋯⋯3，最多分给25个小朋友，还剩3块．35. 128除以一个数得到的商是9，并且除数与余数的差是2，求除数和余数．【答案】除数为13，余数为11．【分析】128÷除数=9⋯⋯(余数−2)，130÷除数=10⋯⋯0被除数加上除数与余数的差2的和刚好是除数的10倍，则除数为(128+2)÷10=13，余数为11．36. 有一个整数，39，51，147被它除所得的余数都是3，求这个数．【答案】4；6；12【分析】方法一：39−3=36，147−3=144，(36,144)=12，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4，6，12．方法二：由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．51−39=12，147−39=108，(12,108)=12，所以这个数是4，6，12．37. 一个除法算式中，被除数、除数、商与余数都是自然数，并且商与余数相等．若被除数是47，则除数是多少？【答案】46【分析】设除数为b，商和余数都是c，这个算式就可以表示为：47÷b=c⋯⋯c，即b×c+c=47；c×(b+1)=47，所以c一定是47的因数，47的因数只有1和47；c为47肯定不符合条件，所以c=1，即除数是46，余数是1．38. 已知2012被一些正整数去除，得到的余数为10，则这样的正整数共有多少个？【答案】13个【分析】2012−10=2002一定能被这些数整除，2002=2×7×11×13．因为2002中一共有(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16个，排除小于10的因数1、2、7，满足条件的正整数共有16−3=13个．39. 188＋288＋388＋…＋2088除以9、11的余数各是多少？【答案】8；11．【分析】根据等差数列求和列式：188＋288＋388＋…＋2088=22760，所以22760÷9⋯⋯8；22760÷11⋯1．40. 著名的斐波那契数列是这样的：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【答案】0【分析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将斐波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，⋯，第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以斐波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数为0．。
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.2.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.3.除以99,余数是______.分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.4.求下列各式的余数：(1)2461×135×6047÷11(2)19992000÷7分析：(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 能够得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 .【第二篇】(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .【第三篇】有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.【第四篇】1.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.2.除以99的余数是______.分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.【第五篇】。
余数问题之 中国剩余定理 例题+答案
例3、一堆苹果，若5个5个的数则余4个，如果7个7个的数则余5个， 问至少有多少个苹果？
余补 ÷5 4 1 ÷7 5 2
没有同余也没有同补，只能采取逐步满足 法
注意：先满足大的数字7
5×
12 × 19 √
练习3、一个数除以3的余数是2，除以,5的余数是1，问这个数除 以,15的余数是多少？
余补 ÷3 2 1 ÷5 1 4
23×7=161， 159,160,161 √
没有同余也没有同补，只能采取逐步满足 法
注意：先满足大的数字5
6×
11 √
例4、一个数除以3余2，除以,5余3，除以,7余2，求适合此条件的最 小数。
余补 ÷3 2 1 ÷5 3 2 ÷7 2 5
先满足第1,3两项是同余
[3,7]=21
21+2=23 √
练习4、有一些苹果，五个五个地数余下2个，六个六个的数余下2个， 七个七个的数少2个，这些苹果最少有多少个？
中国剩余定理
例1、一些小朋友分组做游戏，第一次分组每组4人余下2人，第二次 分组每组,5人也余下2人，问最少有多少名小朋友做游戏？
余补 ÷4 2 ÷5 2
[4,5]=20
20+2=22
练习1、一个两位数除以9余3，除以,10余3，问这个数是多少？
余补 ÷9 3 ÷10 3
[9,10]=0
90+3=93
余补 ÷5 2 3 ÷6 4 2 ÷7 5 2
先满足后两项是同补 [6,7]=42 42-2=40 × 42×2-2=82 √
例5、一批书大约300本到400本，包装成每包12本剩下11本；每包 18本，缺1本；每包15本就有7包每包各多2本。这批书有多少本？
小学奥数-余数问题-完整版题型训练
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
五年级数论问题：余数问题试题及详解3
好好学习，天天向上五年级数论问题：余数问题试题及详解3
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五年级数论问题：余数问题3
难度：高难度
一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？
幸福像花儿一样，学习像溪水一般。
小学奥数题库《数论》余数问题余数的性质4星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-余数的性质-4星题课程目标知识提要余数的性质•余数的基本性质被除数=除数×商+余数除数=（被除数−余数）÷商商=（被除数−余数）÷除数余数小于除数。
•余数的三大性质（1）余数的加法性质：和的余数等于余数的和，或这个和除以除数的余数。
（2）余数的减法性质：差的余数等于余数的差，不够减加除数再减。
（3）余数的乘法性质：积的余数等于余数的积，或者余数的积除以除数的余数。
精选例题余数的性质1. 有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是人．【答案】1484【分析】三所学校的高中生分别是：A校742人，B校732人，C校722人．如果A校或C校初中人数是高中人数的1.5倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校总人数5480是偶数矛盾，因此只能是B校的初中人数是高中人数的1.5倍．三校初中的总人数是5480−2196=3284，被3除余2；732被3整除，722被3除余2，742被3除余1．从余数来看2×2+1=5，1×2+2=4，就断定初中人数是高中人数的2倍，只能是C校．所以，A校总人数是742+742=1484(人)．2. 在自然数1∼2011中，最多可以取出个数，使得这些数中任意四个数的和都不能被11整除．【答案】550【分析】2011÷11=182⋯9,可以全选余数是3、4、5的，因为3×4=12,5×4=20,在20和22之间还可以有一个21，所以还可以选一个余数是6的．所以是183×3+1=550,这种选法能选到550，选余数是6、7、8和一个余数是5的，还是可以选出550个．3. 如果两个自然数的积被13除余1，那么我们称这两个自然数互为“模13的倒数”，比如，2×7=14，被13除余1，则2和7互为“模13的倒数”；1×1=1，则1的“模的倒数”是它自身，显然，一个自然数如果存在“模13的倒数”，则它的倒数并不是唯一的，比如，14就是1的另一个“模13的倒数”，判断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12是否有“模13的倒数”，并利用所得结论计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12（记为12!，读作12的阶乘）被13除所得的余数．【答案】12【分析】模13的倒数：(1,1)，(2,7)，(3,9)，(4,10)，(5,8)，(6,11)1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12=(2×7)×(3×9)×(4×10)×(5×8)×(6×11)×12,所以被13除所得的余数为12．4. （1）(123456789+23456879)÷3的余数是；（2）(12345687×24568×365878)÷9的余数是．【答案】（1）2；（2）0．【分析】根据余数定理可得．5. M、N为非零自然数，且2007M+2008N被7整除．M+N的最小值为．【答案】5【分析】2007除以7的余数是5，2008除以7的余数是6，所以5M+6N能被7整除试算，M+N最小值为3+2=5．6. 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有组．【答案】4．【分析】1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为2+5=2+5+0=7，2+5+3+6=0+2+5+3+6=7+9，所以这样的数组共有下面4个：(2000,2003)，(1998,2000,2003)，(2000,2003,2001,1995)，(1998,2000,2003,2001,1995)．7. 三位数abc除以它的各位数字和的余数是1，三位数cba除以它的各位数字和的余数也是1．如果不同的字母代表不同的数字，且a>c，那么abc = ．【答案】452【分析】abc−cba=99(a−c)，故(a+b+c)∣[99(a−c)]，但(a+b+c)必定不是3的倍数，否则abc是3的倍数，abc÷(a+b+c)的余数必为3的倍数．故(a+b+c)∣[11(a−c)]，11是质数，且a+b+c>a−c，故(a+b+c)必为11的倍数．若a+b+c=11,则a+c−b=1，b=5，又a、b、c互不相同，a>c，故a=4,c=2,abc=452；若a+b+c=22，则a+c−b=12，b=5，又a、b、c互不相同，a>c，故a=9,c=8，但此解并未满足(a+b+c)∣[11(a−c)]的要求，故知此种情况无解．综上，本题有唯一答案452．8. 如果自然数 a 、b 、c 除以 14 都余 5，则 a +b +c 除以 14，得到的余数是 ．【答案】 1【分析】 已知 a ÷14⋯5，b ÷14⋯5，c ÷14⋯5，由余数的可加性得知：(a +b +c)÷14⋯19. 商店里有六箱货物，分别重 15，16，18，19，20，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是 千克．【答案】 20【分析】 两个顾客买的货物重量是 3 的倍数．(15+16+18+19+20+31)÷(1+2)=119÷3=39⋯⋯2,剩下的一箱货物重量除以 3 应当余 2，只能是 20 千克．10. 由 1、4、7、10、13 组成甲组数，由 2、5、8、11、14 组成乙组数，由 3、6、9、12、15 组成丙组数．现在从三组数中各取一个数相加，共可以得到 个不同的和．【答案】 13【分析】 所得的和数一定是 3 的倍数，最小是 6，最大是 42，中间的 3 的倍数也都能得到，所以一共有 (42−6)÷3+1=13(个) 不同的和．11. 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是 ．【答案】 29【分析】 (70+110+160)−50=290，50÷3=16......2，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是 29 和 58，110÷58=1......52，52>50，所以除数不是 58．70÷29=2......12，110÷29=3......23，160÷29=5......15，12+23+15=50，所以除数是 29．12. 四个最简真分数 12、a 3、b 5、c 67，满足：12−a 3+b 5+c 67=20092010．则 a +b +c = ．【答案】 32【分析】由题可得1005−670a+402b+30c=2009,整理得402b+30c−670a=1004,考虑除以5的余数，且b<5，推断出b=2，把b=2代入上式，可得3c−67a=20,所以c=29，a=1，a+b+c=32．13. 定义：1!=1，2!=1×2，3!=1×2×3，n!=1×2×3×⋯×n，则2011!+10除以2012的余数为．【答案】10【分析】2011!中包含2与1006，所以2011!是2012的倍数．那么余数为10．14. 将1至8填入方格中，使得数列□□,9,□□,□□,□□从第三个项开始，每一项都等于前面两项的和，那么这个数列的所有项之和是．【答案】198【分析】第三个数比第一个数多9，第四个数比第三个数多9；若第一个数除以9余a，则第三个数和第四个数也余a，第五个数则余2a，五个数总和除以9余4a；而由于1+2+3++9=45是9的倍数，易知a=0，即这五个数都是9的倍数；若设第一个数为18，则这五个数分别为18，9，27，36，63；6出现两次不符合要求；若设第一个数为27，则这五个数分别为27，9，36，45，81；符合要求．所有项之和为27+9+36+45+81=19815. 将1∼2015这2015个自然数依次写出，得到一个多位数123456789⋯20142015，这个多位数除以9，余数是．【答案】0【分析】乱切法，求多位数123456789⋯20142015除以9的余数，即要求1+2+3+4+5+⋯+2015=(1+2015)×20152=1008×2015除以9的余数，1008×2015≡0×8 (mod 9),则余数为0．16. 有8只盒子，每只盒内放有同一种笔．8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有支．【答案】49【分析】铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的3+2+1=6(倍)．17+23+33+36+38+42+49+51=289，除以6余1，所以水彩笔的支数除以6余1，在上述8盒的支数中，只有49除以6余1，因此水彩笔共有49支．17. 22003与20032的和除以7的余数是．【答案】5．【分析】找规律．用7除2，22，23，24，25，26，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为22003=23×667+2，所以22003除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以20032除以7余1．故22003与20032的和除以7的余数是4+1=5．18. 从1到999这999个自然数中有个数的各位数字之和能被4整除．【答案】248【分析】由于在一个数的前面写上几个0不影响这个数的各位数字之和，所以可以将1到999中的一位数和两位数的前面补上两个或一个0，使之成为一个三位数．现在相当于要求001到999中各位数字之和能被4整除的数的个数．一个数除以4的余数可能为0，1，2，3，0～9中除以4余0的数有3个，除以4余1的也有3个，除以4余2和3的各有2个．三个数的和要能被4整除，必须要求它们除以4的余数的和能被4整除，余数的情况有如下5种：0+0+0；0+1+3；0+2+2；1+1+2；2+3+3．（1）如果是0+0+0，即3个数除以4的余数都是0，则每位上都有3种选择，共有3×3×3=27种可能，但是注意到其中也包含了000这个数，应予排除，所以此时共有27−1=26(个);（2）如果是0+1+3，即3个数除以4的余数分别为0，1，3，而在3个位置上的排列有3!=6(种)，所以此时有3×3×2×6=108(个);（3）如果是0+2+2，即3个数除以4的余数分别为0，2，2，在3个位置上的排列有3种，所以此时有3×2×2×3=36(个);（4）如果是1+1+2，即3个数除以4的余数分别为1，1，2，在3个位置上的排列有3种，所以此时有3×3×2×3=54(个);（5）如果是2+3+3，即3个数除以4的余数分别为2，3，3，在3个位置上的排列有3种，此时有2×2×2×3=24(个).根据加法原理，共有26+108+36+54+24=248(个).19. 下列算式中，“迎”、“春”、“杯”、“数”、“学”、“花”、“园”、“探”、“秘”代表1~9 中的不同非零数字，那么，“迎春杯”所代表三位数的最大值是．1984−迎春杯=2015−数学−花园−探秘【答案】214【分析】（1）将等式整理得：迎春杯+31=数学+花园+探秘,等式两边除以9的余数相同，所以迎春杯除以9的余数只能为7，等式右侧除以9的余数为2；（2）要想迎春杯最大，则数学，花园，探秘应尽量的大，这3个数和最大为96+85+74=255,所以迎春杯最大不大于255−31=224，由于不同汉字代表不同非零数字，所以“迎”最大为2，“春”最大为1；（3）由于迎春杯除以9的余数为7，若“迎”取2，“春”取1，则“杯”为4，经尝试可得：214+31=97+85+67,所以迎春杯最大值为21420. 18＋28＋38＋…＋98除以3的余数是多少？【答案】0．【分析】根据等差数列求和列式：18＋28＋38＋…＋98=(18+98)×9÷2，整理可得58×9，因为58÷3⋯⋯1，9÷3⋯⋯0，根据余数定理，58×9除以3的余数等于1乘0除以3的余数，即1×0÷3⋯⋯0，所以18＋28＋38＋…＋98除以3的余数是0．21. 从1，2，3，4，⋯，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N最大为多少？【答案】134【分析】取出的N个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10．在1∼2007中，除以15的余数为0的有15×1,15×2,⋯,15×133,共有133个；除以15的余数为5的有15×0+5,15×1+5,⋯,15×133+5,共有134个；除以15的余数为10的有15×0+10,15×1+10,⋯,15×133+10,共有134个．所以N最大为134．22. 验算46876×9573=447156412这个算式是否正确？【答案】不正确．【分析】根据余数乘积性质，以及弃九法可知这个算式左边(46876×9573)÷9的余数为6，而右边447156412除以9的余数为7，所以这个算式不成立．23. 有如下图所示的十二张扑克牌．2点、6点、10点各四张，你能从中选出七张牌，使上面点数之和恰等于52吗？说明理由．【答案】不能【分析】因为每张牌除以4的余数均为2，7张牌除以4的余数仍为2，而52是4的倍数，矛盾，所以不能选出这样的7张牌．24. 若a为自然数，证明10∣∣(a2005−a1949)．【答案】见解析．【分析】10=2×5，由于a2005与a1949的奇偶性相同，所以2∣∣(a2005−a1949)．a2005−a1949=a1949(a56−1)，如果a能被5整除，那么5∣a1949(a56−1)；如果a不能被5整除，那么a被5除的余数为1、2、3或者4，a4被5除的余数为14、24、34、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管a为多少，a4被5除的余数为1，而a56=(a4)14，即14个a4相乘，所以a56除以5均余1，则a56−1能被5整除，有5∣a1949(a56−1)．所以5∣(a2005−a1949)．由于2与5互质，所以10∣(a2005−a1949)．25. 求644312÷19的余数．【答案】11【分析】本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况．由6443÷19余2，求原式的余数只要求212÷19的余数即可．但是如果用2÷19发现会进入一个死循环，因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整，212=26×26=64×64，64÷19余数为7，那么求212÷19的余数就转化为求64×64÷19的余数，即49÷19的余数．49÷19余数为11，所以644312÷19的余数为11．26. 从1，2，3，4，⋯，200中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和都不能被7整除．N最大为多少？【答案】60【分析】除以7的余数有：0、1、2、3、4、5、6，从余数看，能整除7的组合有：余数和为7：(0,0,0)、(0,1,6)、(0,2,5)、(0,3,4)、(1,1,5)、(1,2,4)、(1,3,3)、(2,2,3);余数和为14：(2,6,6)、(3,5,6)、(4,4,6)、(4,5,5).取1，则不能取6、5、3；取2，则不能取6、5、3；取1和2，则不能取4.1和2，与6、5、4、3选择，要选择取1和2．200÷7＝28⋯⋯4,取29个1，取29个2，2个0，共计：29+29+2＝60(个).27. 用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=．【答案】43．【分析】n能整除63+91+129−25=258．因为25÷3=8...1，所以n是258大于8的约数．显然，n不能大于63．符合条件的只有43．28. 已知:a÷5=⋯⋯3，b÷5=⋯⋯2且a>b那么：（1）(a+b)÷5⋯⋯；（2）(a−b)÷5⋯⋯；（3）(a×b)÷5⋯⋯．【答案】（1）0；（2）1；（3）1．【分析】（1）(3+2)÷5⋯⋯0；（2）(3−2)÷5⋯⋯1；（3）(3×2)÷5⋯⋯1．29. 1＋2＋3＋…＋2000除以19的余数是多少？【答案】15．【分析】根据等差数列求和列式：1＋2＋3＋…＋2000=(1+2000)×2000÷2，整理可得2001×1000，因为2001÷19⋯6，1000÷19⋯12，根据余数定理，2001×1000除以19的余数等于6×12除以19的余数，即6×12÷19⋯15，所以1＋2＋3＋…＋2000除以19的余数是15．30. 如果a+b+c是5的倍数，2a+3b+4c也是5的倍数，求证a−c是5的倍数．（a、b、c都是自然数）【答案】见解析【分析】a−c=3(a+b+c)−(2a+3b+4c)，所以a−c能被5整除．31. 有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2014个数中，有几个是5的倍数？【答案】402【分析】先观察规律可知这组数从第三个开始，每个数都等于与它相邻的前面两个数的和，所以根据余数的加法性质得出如下表格：数112358⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯除以5的余数112303314044320从上表可知这组自然数除以5的余数是每5个就有一个余数为0，所以2014÷5=402⋯⋯4所以，在这串数的前2014个数中，有402个是5的倍数．32. 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《数学的发现》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这本《数学的发现》的定价是多少元？【答案】32【分析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《数学的发现》的定价是(14+17+18+21+26)÷3=32元．33. 六位数20▫▫08能被49整除，▫▫中的数是多少？【答案】05或54．【分析】设六位数为20ab08，则20ab08=200008+ab00=200008+ab×100．因为200008÷49=4081⋯⋯39，所以(ab×100)÷49的余数为49−39=10．又因为100÷49=2⋯⋯2，所以ab÷49的余数为5．则ab可以是05或54．34. 在所有由1、3、5、7、9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？【答案】24【分析】除以3余0的数有3,9，除以3余1的数有1,7，除以3余2的数有5，三个数字之和为3的倍数，本题只能从除以3余0,1,2的数中各取一个，每个三位数交换位置又可以变换出6个，因此共有2×2×1×6=24(个)．35. （1）123+456+789的结果除以111的余数是多少？（2）224468−6678的结果除以22的余数是多少？【答案】（1）36；（2）12【分析】简答：利用替换求余法计算．36. 已知98个互不相同的质数p1，p2，⋯，p98，记N=p12+p22+⋯+p982，问：N被3除的余数是多少？【答案】1或2．【分析】（1）这些质数中不含质数3，所以该数平方后被3除的余数就是1，所以N被3除的余数就是98被3除的余数，是2；（2）如果有3，那么剩下97个除以3余1．3的平方除以3余数是０，那么N除以3的余数1．37. 已知n!+4等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×⋯×n）【答案】2【分析】注意到两个相邻自然数的乘积除以3只能余0或余2．因为当n⩾3时，n!+4除以3余1，所以n<3，尝试n取0、1、2后得n为2．38. 从1，2，3，⋯⋯49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？【答案】23【分析】将1至50这50个数，按除以7的余数分为7类：[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，所含的数的个数分别为7，8，7，7，7，7，7．被7除余1与余6的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；同样的，被7除余2与余5的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；被7除余3与余4的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；两个数都是7的倍数，它们的和也是7的倍数，所以7的倍数中只能取1个．所以最多可以取出8+7+7+1=23个39. （1）21100的个位数字是多少？32014除以10的余数是多少？（2）32014除以7的余数是多少？【答案】（1）6；9（2）4【分析】详解：（1）2n的个位数字依次是2、4、8、6、⋯每四个数为一个周期．100除以4的余数是0，那么2100的个位数字是周期中的第四个数6．3n的个位数字依次是3、9、7、1、⋯每四个数为一个周期．2014除以4的余数是2，那么32014的个位数字是周期中的第二个数9．（2）3n除以7的余数依次是3、2、6、4、5、1、⋯每六个数为一个周期．2014除以6的余数是4．所以32014除以7的余数是周期中的第四个数4．40. 甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪—个是平衡的？【答案】天平乙是平衡的．【分析】考虑除以3，所得的余数．因为478除以3余1，9763除以3也余1（只要看4+7+8，9+7+6+3除以3的余数），所以478×9763除以3余1×1=1，而4666514除以3余2（即4+6+6+6+5+1+4除以3余2），因此478×9763≠4666514，从而天平甲不平衡．天平乙是平衡的．41. 有6个密封的盒子，分别装有红球、白球和黑球，每个盒子里只有一种颜色的球，且球的个数分别是15，16，18，19，20，31，已知黑球的个数是红球个数的两倍，装白球的盒子只有1个，问：（1）装有15个球的盒子里装的是什么颜色的球？（2）有多少个盒子里装的是黑球？【答案】（1）红球；（2）3【分析】（1）所有球的个数：15+16+18+19+20+31=119(个).黑球的个数是红球的2倍，黑球加红球的个数是红球的2+1=3倍119÷3=39⋯⋯2根据余数的可加可减性，白球的个数除以3也是余2，白球的个数只能是20．黑球和红球共：119−20=99(个).红球：99÷3=33(个)只能是15+18=33(个).答：装有15个球的盒子里装的是红球．（2）还剩下16，19，31的盒子里装的是黑球，即有3个盒子．答：有3个盒子里装的是黑球．42. 如果(3a+b)是7的倍数，求证(2b−a)也是7的倍数．（a、b都是自然数）．【答案】见解析【分析】方法一：因为(3a+b)是7的倍数，所以(6a+2b)也是7的倍数，所以(6a+2b−7a)即(2b−a)，也是7的倍数．方法二：设3a+b=7k，那么a=7k−b3，所以2b−a=7b−7k3也是7的倍数．43. 11+22+33+44+⋯+20052005除以10所得的余数为多少？【答案】3【分析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个（20是4和10的最小公倍数）一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算11+22+33+44+⋯+2020的个位数字，为1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0=94的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4×100=400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1+4+7+6+5=23的个位数3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．44. 今天是星期四，101000天之后将是星期几？【答案】星期一【分析】先求较小的n，使10n除以7的余数为1．10除以7余3，102除以7余2，103=10×102除以7余3×2=6，104=102×102除以7余2×2=4，106=103×103除以7的余数等于6×6=36除以7的余数等于1，所以，101000除以7的余数等于104×106×166除以7的余数等于4×1=4故101000天后为星期一．45. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）【答案】99【分析】我们知道18，33的最小公倍数为[18,33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，⋯，17，198（余0）这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5⋯⋯9，所以共有5×18+9=99个这样的数．46. 如果六位数1992▫▫能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【答案】90【分析】方法一：利用整除特征．因为105=3×7×5，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可．末位只能为0或5．①如果末位填入0，那么数字和为1+9+9+2+▫+0=21+▫，要求数字和是3的倍数，所以▫可以为0，3，6，9，验证200−199=1，230−199=31，260−199=61，290−199=91，有91是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90．②如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征．所以，题中数的末两位只能是90．方法二：采用试除法用199200试除，199200÷105=1897⋯⋯15，余15可以看成不足，105−15=90．所以补上90，即在末两位的方格内填入90即可．47. 22008+20082除以7的余数是多少？【答案】3【分析】23=8除以7的余数为1，2008=3×669+1，所以22008=23×669＋1=(23)669×2，其除以7的余数为：1669×2=2；2008除以7的余数为6，则20082除以7的余数等于62除以7的余数，为1；所以22008+20082除以7的余数为：2+1=3．48. 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？【答案】17【分析】设这个数为M，则603÷M=A1⋯⋯r1，939÷M=A2⋯⋯r2，393÷M=A3⋯⋯r3，r1=2×r2，r2=2×r3，要消去余数r1,r2,r3，我们只能先把把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．这样我们可以得到下面的式子：603÷M=A1…r1，(939×2)÷M=2A2…(r2×2)，(393×4)÷M=4A3⋯⋯(r3×4)这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被M整除．939×2−603=1275，393×4−603=969，1275−969= 306，(1275,306)=51=3×17．603,939,393这三个数有公约数3．51÷3=17．则A等于17．49. 如果(a+2b)被5除余数为2，(3a−b)被5除所得的余数为3，求证：(a−b)能被5整除．（a、b都是自然数）．【答案】证明见解析【分析】方法一：设a+2b=5k+2，3a−b=5l+3，解方程组 $\left\{ \begin{gathered}a + 2b = 5k +2 \hfill \\3a - b = 5l +3 \hfill \\\end{gathered} \right.$ 得到 $\left\{ \begin{gathered}a = \dfrac{{10l+ 5k + 8}}{7} \hfill \\b = \dfrac{{3 +15k - 5l}}{7} \hfill \\\end{gathered} \right.$，所以a−b=15l−10k+57能被5整除．方法二：由题目条件2(3a−b)−3(a+2b)能被5整除，即3a−8b能被5整除，继而得到3a−3b能被5整除，所以a−b能被5整除．50. 在六位数11▫▫11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？【答案】53【分析】采用试除法．设六位数为11ab11，则11ab11=11×10000+ab00+11=110011+ab00如果一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整除．110011÷323=340⋯⋯191,余191也可以看成不足323−191=132．所以当ab00=132+323n时，即ab00是100的倍数时，六位数才是323的倍数．所以有323n的末位只能是10−2=8，所以n只能是6，16，26，⋯验证有n=16时，132+ 323×16=5300，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意．−1的个位数字是多少？51. 自然数2×2×2×...×2⏟67个2【答案】7．的个数数字，再减去1即为所求（特别的如果是0，【分析】我们先计算2×2×2×...×2⏟67个2那么减去1后的个位数字因为借位为9）．将一个数除以10，所得的余数即是这个数的个位数字．而积的余数，等于同余余数的积．2除以10的余数为2，2×2除以10的余数为4，2×2×2除以10的余数为8，2×2×2×2除以10的余数为6；2×2×2×2×2除以10的余数为2，2×2×...×2除以10的余数为4，⏟6个22×2×...×2除以10的余数为8，⏟7个22×2×...×2除以10的余数为6；⋯⋯⏟8个2也就是说，n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．除以10的余数同余与2×2×2，即余数为8，因为67÷4=16⋯⋯3，所以2×2×2...×2⏟67个2−1除以10的余数为7．所以2×2×2...×2⏟67个2−1的个位数字为7．即2×2×2...×2⏟67个2评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．52. 11+22+33+44+⋯⋯+20132013+20142014除以10所得的余数为多少？【答案】3【分析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2014这2014个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个（20是4和10的最小公倍数）一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算11+22+33+44+⋯⋯+2020的个位数字，为1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0=94结果的个位数字为4，由于2014个加数共可分成100组另14个数，100组的个位数字和是4×100=400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005、…… 20142014，它们和的个位数字是1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6=63，63的个位数3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．53. 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．【答案】见解析．【分析】1996÷4=499，下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数．取500个数：1，11，111，⋯⋯，111⋯⋯1（500个1）．用499去除这500个数，得到500个余数a1，a2，a3，⋯，a500．由于余数只能取0，1，2，⋯，498这499个值，所以根据抽屉原则，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，差的前若干位是1，后若干位是0：11⋯100⋯0．又499和10是互质的，所以它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，这是1996的倍数．54. 已知n!+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×⋯×n）【答案】0、1或3【分析】枚举验证n为0、1、2、3、4、…，得到n为0、1或3时满足．因为当n⩾4时，n!+3除以4余3，根据完全平方数除以4只能余0或余1，可知当n⩾4时，n!+1不可能是完全平方数．55. 算式188+288+388+⋯+1988+2088的结果除以9、13的余数分别是多少？【答案】8；10【分析】188+288+388+⋯+1988+2008=(188+2088)×10然后利用替换求余法计算．56. （1）87784+49235×81368除以4、9的余数分別是多少？（2）365366+367368×369370除以7、11、13的余数分别是多少？【答案】（1）0；2（2）2；2；2【分析】 详解：提示，特性求余法和替换法结合使用．57. 用 0 至 9 这十个数字各 1 次，组成四位数、三位数、两位数和一位数各 1 个，并使这四个数两两互质．已知组成的四位数是 1860，那么其他的三个数是多少？【答案】 7；43；529【分析】 1860=22×3×5×31，一位数只能是 7，另外两个数的末位只能是 3 和 9．剩下的数字之和除以 3 余 2，只能拆成两个数除以 3 余 1 的组合，所以 4 和 2、5 是分成两组，49 是 7 的倍数，所以两位数只能是 43，259 是 7 的倍数，所以三位数只能是 529．58. 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 3 整除？【答案】 是．【分析】 因为任何整数除以 3，其余数只可能是 0，1，2 三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”．一个整数除以 3 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以 3 的余数相同，所以这两个数的差必能被 3 整除．59. 一个大于 1 的数去除 290，235，200 时，得余数分别为 a ，a +2，a +5，则这个自然数是多少？【答案】 19【分析】 设这个数为 x ，则有{290÷x =m ⋯⋯a235÷x =n ⋯⋯a +2200÷x =p ⋯⋯a +5可以转化为：{290÷x =m ⋯⋯a233÷x =n ⋯⋯a 195÷x =p ⋯⋯a即有 290≡233(modx)≡195(modx)，根据同余性质，可知 x 为它们两两差的约数，又290−233=57，290−195=95，233−195=38，(38,57,95)=19，所以这个自然数为 19．60. 算式 2009×2009+2010×2010+2011×2011 除以 31 的余数是多少？【答案】 15【分析】 简答：利用替换求余法计算．61. 已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是a−1，a2，a3−1，求该自然数的值．【答案】29【分析】根据题意可知，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a，a2，a3．由于a2=a×a，所以自然数612=3721与154同余；由于a3=a×a2，所以61×154=9394与201同余，所以除数是3721−154=3567和9394−201=9193的公约数，运用辗转相除法可得到(3567,9193)=29，该除数为29．经检验成立．62. 一个自然数除429、480所得的余数相等，求这个自然数的值．【答案】3，17或51．【分析】这两个数除以该自然数的余数相同，也就是同余，那么这两个数的差除以该自然数就除得开，也就是(480−429)能够除得开，即51．51=3×17，这个数可以是3，17或51．63. 请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？【答案】12504【分析】五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3．首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7．可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8×9×9×9×3=17496(个).所以满足条件的五位数共有30000−17496=12504(个).64. (3130+3031)被13除所得的余数是多少？【答案】3【分析】31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，⋯，时5n被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1，⋯，以4为周期循环出现，所以530被13除的余数与52被13除的余数相同，余12，则3130除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，⋯，时，4n被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，⋯，以6为周期循环出现，所以431被13除所得的余数等于41被13除所得的余数，即4，故3031除以13的余数为4；所以(3130+3031)被13除所得的余数是12+4−13=3．65. 求1∼2013的自然数中最多可以取出多少个数，使得任意两数之和不能被两数之差整除？。
小学奥数 数论 余数问题 带余除法(一).题库版
1. 能够根据除法性质调整余数进行解题2.能够利用余数性质进行相应估算3. 学会多位数的除法计算4. 根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0），若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ，0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式．这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数．这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系．并且可以看出余数一定要比除数小．2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵ 余数小于除数．知识点拨教学目标5-5-1.带余除法（一）3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．除法公式的应用【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于 ．【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，复赛，第2题，5分【解析】 125【答案】125【例 2】 一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________．【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，四年级，复赛，第3题【解析】 因为最大的三位数为999，999362727÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980⨯+=【答案】980【巩固】 计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲．如果▲的值是6，那么△的最小值是_____．【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】2005年，希望杯，第三届，五年级，复赛，第4题，6分【解析】 根据带余除法的性质，余数必须小于除数，则有 △的最小值为7．【答案】7【例 3】 除法算式÷□□=208中，被除数最小等于 ．【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】2007年，第5届，希望杯，4年级，初赛，4题【解析】 本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是819+=，所以本题答案为：20×（8+1）+8=188.【答案】188【例 4】 71427和19的积被7除，余数是几?【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】第一届，华杯赛，初赛，第14题【解析】 71427被7除，余数是6，19被7除，余数是5，所以71427×19被7除，余数就是6×5被7除所得的余数2．【答案】2例题精讲【例 5】 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 1013121001-=，100171113=⨯⨯，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”，所以舍去11，答案只有13,77,91．【答案】13,77,91共三个【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数．【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题．方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数．本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.【答案】39或者97【巩固】 在下面的空格中填上适当的数．3124774002【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2004年，第2届，走美杯，3年级，决赛，第10题，12分【解析】 本题的被除数、商和余数已经给出，根据除法的计算公式：被除数÷除数=商余数，逆推计算得到：除数=(20047—13)÷742=27．【答案】27【例 6】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 这个两位奇数能被1477-49=1428整除，且必须大于49，1428=2×2×3×7×17，所以这样的两位奇数只有51．【答案】51【例 7】 大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【解析】 除以7的余数只能是0～6，所以商只能是0～6，满足大于7的数只有商和余数都为5、6，所以只能是40、48．【答案】40、48【例 8】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=⨯⨯，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个．【答案】11【巩固】 写出全部除109后余数为4的两位数．【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】美国长岛，小学数学竞赛，第五届【解析】 1094105357-==⨯⨯．因此，这样的两位数是：15；35；21．【答案】两位数是：15；35；21【例 9】 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】清华附中，小升初分班考试【解析】 (法1)因为 甲=乙1132⨯+，所以 甲+乙=乙1132⨯++乙=乙12321088⨯+=；则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=．(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=．【答案】乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=【例 10】 用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r ，求a 和r ．【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】第五届，小数报，决赛【解析】 因为1992是a 的46倍还多r ，得到19924643......14÷=，得1992464314=⨯+，所以43a =，14r =．【答案】43a =，14r =【例 11】 当1991和1769除以某个自然数n ，余数分别为2和1．那么，n 最小是多少？【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如果用1990和1769去除这个自然数n 时，余数是1．而1901769211317-==⨯，我们不妨取13n =，再验证一下：1991131532÷=，1769131361÷=，所以n 最小为13．【答案】13【例 12】 有三个自然数a ，b ，c ，已知b 除以a ，得商3余3；c 除以a ，得商9余11．则c 除以b ，得到的余数是 ．【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010年，第8届，希望杯，5年级，初赛，第4题，6分【解析】 33b a =+911c a =+(99)232c a b =++=+所以应该余2．【答案】2【例 13】 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2003年，小学数学奥林匹克【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．【答案】1968【巩固】 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2002年，小学数学奥林匹克【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为4154884179---÷+=（）（），所以，被除数为7948324⨯+=．【答案】324【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型．根据题意设两个自然数分别为x ，y ，可以得到40164016933x y x y =+⎧⎨+++=⎩，解方程组得85621x y =⎧⎨=⎩，即这两个自然数分别是856，21. 【答案】两个自然数分别是856，21【例 14】 有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍．且这个三位数除以5余4，除以11余3．这个三位数是_【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【解析】 首先个位数不是4就是9，又因为它是百位的3倍所以一定是9，那么百位就是3，又因为它被11除余3，因此十位是9，答案是399【答案】399【例 15】 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________.【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2004年，福州市，迎春杯【解析】设这个自然数除以11余a (011)a ≤<，除以9余b (09)b ≤<，则有1193a a b b +=⨯+，即37a b =，只有7a =，3b =，所以这个自然数为12784⨯=．【答案】84【例 16】 盒子里放有编号1到10的十个球，小红先后三次从盒子中共取出九个球，如果从第二次起，每次取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩下的球的编号为____．【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】第五届，走美杯，四年级，初赛，第11题【解析】 令第1次取的编号为a ，第二次取的编号为2a+1，第三次取的编号为：2（2a+1）+1=4a+3；还剩下的编号为：55-7a-4=51-7a ，当a 为6时，余下的是9；当a 为7时，余下的是2.【答案】9或者2【例 17】 10个自然数，和为100，分别除以3．若用去尾法，10个商的和为30；若用四舍五入法，l0个商的和为34．10个数中被3除余l 的有________个．【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008年，第六届，走美杯，五年级，初赛，第13题【解析】 由题意，“用去尾法，10个商的和为30；用四舍五入法，l0个商的和为34”可知，10个数中除以3余2的数有34-30=4（个），又知道10个自然数的和为100，设除以3余1的数有x 个，那么根据用去尾法后十个商的和与10个自然数的和，可得关系式：2410030333x ⨯+=-，解得，2x =． 【答案】2【例 18】 3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍，那么除数最小可能是 ．【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008年，学而思杯，4年级，第2题【解析】 设除数为a ，商为b ，余数为c ，则3782a b c ÷=，且21b c =．可以将除式转化为213782a c c ⨯+=，所以2113782c a +=（），所以c 和211a +（）是3782的约数，378223161=⨯⨯，在3782的约数中只有31611891⨯=被21除所得的余数为1，所以2111891a +=，90a =．【答案】90【例 19】 在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个.【考点】除法公式的应用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2009年，第14届，华杯赛，初赛，第10题【解析】 根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为a （a ﹤57），则这个数为57×a +a =58a ．所以58a﹥2009，得到a ﹥2009÷58=373458，由于a 为整数，所以a 至少为35.又由于a ﹤57，所以a 最大为56，则a可以为35，36，37，…，56.由于每一个a的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有56-35+1=22个．【答案】22【例 20】用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？【考点】除法公式的应用【难度】5星【题型】填空【关键词】第二届，华杯赛，初赛，第14题【解析】用1、9、8、8可排成12个四位数，即1988，1898，1889，9188，9818，9881，8198，8189，8918，8981，8819，8891它们减去8变为1980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，8973，8811，8883其中被11整除的仅有1980，1881，8910，8811，即用1、9、8、8可排成4个被1除余8的四位数，即1988，1889，8918，8819.【又解】什么样的数能被11整除呢？一个判定法则是：比较奇位数字之和与偶位数字之和，如果它们之差能被11除尽，那么所给的数就能被11整除，否则就不能够．现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11除尽，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1、9、8、8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：经过验证，第（1）种分组法满足前面的要求：A＝1＋8，B＝9＋8＋3＝20，B－A＝11能被11除尽．但其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被11除也余8．于是，上面第（1）分组中，1和8中任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．答：能排成4个被11除余8的数【答案】4。
余数问题——精选推荐
余数问题概念：两个整数相除或能整除（⼜称余数为零）；或不能整除，则余数不为零。
⽤公⽰表⽰有以下两种情况：a = b×q + r a÷b= q 余r （0≤r＜b）a称为被除数,b称为除数，q称商，r称余数（0≤r＜b）。
本节课我们主要讨论r≠0的情况。
例题1：⼀个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
分析：由被除数-余数=除数×商得之除数×商=310-27=273由273=3×7×13 除数可能是3×7=21,3×13=39，7×13=91，这些两位数都能整出273.但是考虑到余数应⼩于除数，所以适合的两位数为39、91习题1：有⼀个整数，⽤它去除70、110、160所得到的三个余数之和。
这个整数是多少？例题2. 9437569与8057127的乘积被9除，余数是多少？这两个数的和被9除，余数是多少？提⽰：a与b的和（或者积）除以c（c≠0）的余数，等于a、b分别除以c的余数之和（或余数之积），或这个和（或积）除以c 的余数解：9437569除以9余7，8057127除以9余3 （可⽤弃9法更为快捷）7×3=21, 21除以9余3，所以9437569与8057127的乘积被9除，余数是3；7+3=10, 10除以9余1，所以这两个数的和被9除，余数是1.习题2. 11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3余⼏？注意：如果a除以3余a1，b除以3余b1，那么a×b除以3的所得余数就是a1×b1除以3的余数。
（先说思考过程，把九个数字分⼏组）例题3.⼀个数除以2余2，除以5余3，除以7余2，求符合此条件的最⼩数。
提⽰1：剩余定理《孙⼦算经》中记载：“今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，⽓⽓数之剩⼆，问物⼏何？”关于这道题的解法，在明朝就流传着⼀⾸解题之歌：“三⼈同⾏七⼗稀，五数梅花廿⼀枝，七⼦团圆正半⽉，除百零五便得知”意思是，⽤除以3的余数乘以70，⽤除以5的余数乘以21，⽤除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加。
小学奥数 数论 余数问题 余数性质(二).题库版
1.学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4知识点拨教学目标5-5-4.余数性质（二）678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
小学奥数数论专题--余数(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数数论专题--余数（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】号码分别为101，126，173，193的4个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数．那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【答案】5【解析】因为两个数和的余数同余与余数的和．有101，126，173，193除以3的余数依次为2，0，2，1．则101号运动员与126，173，193号运动员依次进行了2，1，0盘比赛，共3盘比赛；26号运动员与101，173，193号运动员依次进行了2，2，1盘比赛，共5盘比赛；173号运动员与101，126，193号运动员依次进行了1，2，0盘比赛，共3盘比赛；193号运动员与101，126，173号运动员依次进行了0，1，0盘比赛，共1盘比赛．所以，打球盘数最多的运动是126号，打了5盘．【题文】自然数－1的个位数字是多少?【答案】7【解析】我们先计算出的个数数字，再减去1即为所求．(特别的如果是0，那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10，所得的余数即是这个数的个位数字．而积的余数等于余数的积．有2除以10的余数为2，2×2除以10的余数为4，2×2×2除以10的余数为8，2×2×2×2除以10的余数为6；2×2×2×2×2除以10的余数为2，除以10的余数为4，除以10的余数为8，除以10的余数为6；…… ……也就是说，n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4＝16……3，所以除以10的余数同余与2×2×2，即余数为8，所以－1除以8的余数为7．即－1的个位数字为7．评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．【题文】算式7+7×7+…+计算结果的末两位数字是多少?【答案】56【解析】我们只用算出7+7×7+…+的和除以100的余数，即为其末两位数字．7除以100的余数为7，7×7除以100的余数为49，7×7×7除以100的余数为43，7×7×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而除以100的余数等于×7的余数，即为7，……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数，4个数一循环，依次为7，49，43，1．1990÷4＝497……2，所以7+7×7+…+的和除以100的余数同余与：497×(7+49+43+1)+7+49＝49756，除以100余56．所以算式7+7×7+…+计算结果的末两位数字是56．【题文】除以9的余数是多少?【答案】2【解析】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除，如果这个数的数字和除以9余a，那么我们在减去a而得到的新数一定能被9整除，那么这个新数加上a后再除以9，所得的余数一定为a，即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数．的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8＝11，11除以9的余数为2，所以除以9的余数是2．【题文】将1，2，3，…，30从左往右依次排列成一个5l位数，这个数被11除的余数是多少?【答案】8【解析】1，2，3，...，30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456...910...17...192021...25 (2930)记个位为第1位，十位为第2为，那么：它的奇数位数字和为：0+9+8+7+6+…+1+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+1＝115；它的偶数位数字和为：3+++8+6+4+2＝53；它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115－53＝62.而62除以11的余数为7．所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…17…192021…25…2934就是11倍数，则将123456…910…17…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7．即这个51位数除以11的余数是7．评注：如果记个位为第1位，十位为第2位，那么一个数除以11的余数为其奇数位数字A和减去偶数位数字和B的差A－B＝C，再用C除以11所得的余数即是原来那个数的余数．(如果减不开可将偶数位数字和B 减去奇数位数字和A，求得B－A＝C，再求出C除以11的余数D，然后将11－D即为原来那个数除以11的余数) ．如：123456的奇数位数字和为6+4+2＝12，偶数位数字和为5+3+1＝9，奇数位数字和与偶数位数字和的差位12－9＝3，所以123456除以11的余数为3．又如：654321的奇数位数字和为1+3+5＝9，偶数位数字和位2+4+6＝12，奇数位数字和减不开偶数位数字和，那么先将12－9＝3，显然3除以11的余数为3，然后再用11－3＝8，这个8即为654321除以11的余数．【题文】一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3．它除以13，商的第200位(从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【答案】2,7【解析】这个数即为，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有能够被13类整除，而1994÷6＝332……2，即＝＝+33，而是13的倍数，所以除以13的余数即为33除以13的余数为7．有÷13＝25641，而÷13＝25641025641，所以除以13所得的商每6个数一循环，从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6＝33……2，所以除以13所得商的第23位为5．除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第23位(从左往右数)数字是5，商的个位数字是2，余数是7．【题文】己知：a＝．问：a除以13的余数是几？【答案】8【解析】因为199119911991能被13整除，而1991÷3＝663……2．有a＝＝199119911991×+199119911991×+199119911991×++199119911991×+…+199119911991×+19911991．所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．【题文】有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几?【答案】5【解析】我们将这个数加上7，则这个数能被3整除，同时也能被4整除，显然能被12整除，所以原来这个数除以12的余数为12－7＝5．【题文】某个自然数被247除余63，被248除也余63．那么这个自然数被26除余数是多少?【答案】11【解析】我们将这个数减去63，则得到的新数能被247整除，也能被248整除，而相邻的两个整数互质，所以得到的新数能被247×248，显然能被26整除．于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11．所以这个自然数被26除余数是11．【题文】一个自然数除以19余9，除以23余7．那么这个自然数最小是多少?【答案】237【解析】这个自然数可以表达为19m+9，也可以表达为23n+7，则有19m+9＝23n+7，即23n－19m＝2，将未知数系数与常数对19取模，有4n≡2(mod 19) ．n最小取10时，才有4n≡2(mod 19) ．所以原来的那个自然数最小为23×10+7＝237．评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系，反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解．【题文】如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)．小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好回到A孔．问这个圆圈上共有多少个孔？【答案】91【解析】设这个圆圈有n个圆孔，那么有n除以3余1，n除以5余1，n能被7整除．则将n－1是3、5的倍数，即是15的倍数，所以n＝15t+1，又因为n是7的倍数，即15t+1＝7A，将系数与常数对7取模，有t－1≡0(mod 7)，所以t取6或6与7的倍数和．对应孔数为15×6+1＝91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．【题文】某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是l，2，3，…，12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除．已知这些电话的首位数字都小于6，并且门牌号码是9的这一家的电话号码也能被13整除，问这一家的电话号码是什么数?【答案】388089【解析】设这12个连续的自然数为n+1，n+2，n+3，…，n+12，那么有它们依次能被1，2，3，…，12整除，显然有n能同时被1，2，3，…，12整除．即为1，2，3，…，12的公倍数．[1，2，3，…，12]＝23×32×5×7×11＝27720，所以n是27720的倍数，设为27720k．则有第9家的门牌号码为27720k+9为13的倍数，即27720k+9＝13A，将系数与常数对13取模有：4k+9≡0(mod 13)，所以k可以取1或1与13的倍数和．有要求n+1，n+2，n+3，…，n+12，为六位数，且首位数字都小于6，所以k只能取14，有n＝27720×14＝388080．那么门牌号码是9的这一家的电话号码是388080+9＝388089．【题文】有5000多根牙签，可按6种规格分成小包．如果10根一包，那么最后还剩9根．如果9根一包，那么最后还剩8根．第三、四、五、六种的规格是，分别以8，7，6，5根为一包，那么最后也分别剩7，6，5，4根．原来一共有牙签多少根?【答案】5039【解析】设这包牙签有n根，那么加上1根后为n+1根，此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包，还可以分成8、7、6、5根一包．所以，n+1是10、9、8、7、6、5的倍数，即它们的公倍数．[10，9，8，7，6，5]＝23×32×5×7＝2520，即n+1是2520的倍数，在满足题意下只能是2520×2＝5040，所以n＝5039．即原来一共有牙签5039根．【题文】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少?【答案】20【解析】设这个自然数为☆，设它除63，90，130所得的余数依次为a，b，c，商依次为A，B，C．显然有63+90+130＝☆×(A+B+C)+(a+b+c)＝☆×(A+B+C)+25，所以☆×(A+B+C)＝(63+90+130)－25＝258，所以☆是258的约数．258＝2×3×43，显然当除数☆为2、3、6时，3个余数的和最大为3×(2－1)＝3，3×(3－1)＝6，3×(6－1)＝15，所以均不满足．而当除数☆为43×2，43×3，43×2×3时，它除以63的余数均是63，所以也不满足．那么除数☆只能是43，它除以63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足．显然这3个余数中最大的为20．【题文】一个数去除55l，745，1133，1327这4个数，余数都相同．问这个数最大可能是多少?【答案】194【解析】这个数A除55l，745，1133，1327，所得的余数相同，所以有55l，745，1133，1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．1327－1133＝194，1133－745＝388，745－551＝194，1327－745＝582，1327－551＝776，1133－551＝582．这些数都是A的倍数，所以A是它们的公约数，而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)＝194．所以，这个数最大可能为194．【题文】用某自然数去除，得到商是46，余数是，求和．【答案】43,14【解析】因为是的倍还多,得到，得，所以，．【题文】甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数．【答案】1000,88【解析】(法1)因为甲乙，所以甲乙乙乙乙；则乙，甲乙．(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从中减掉以后，就应当是乙数的倍，所以得到乙数，甲数．【题文】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
第五讲 余数问题-(带完整答案)五年级奥数
第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。
小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。
余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。
例题讲析基本性质1：被除数=除数×商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
余数小于除数。
理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。
在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。
【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。
法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。
【例2】（第十三届迎春杯决赛）已知一个两位数除1477，余数是49.那么，满足那样条件的所有两位数是 .分析：1477-49=1428是这两位数的倍数，又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17，因此所求的两位数51或68或84.【例3】（第十届迎春杯决赛）一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.分析：设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13—8=5，又显然q≤13.q=5时，r=8，n=5×8+4=44；q=6时，r=7，n=6×8+4=52；q=7时，r=6，n=7×8+4=60；q=8时，r=5，n=8×8+4=68；q=9时，r=4，n=9×8+4=76；q=10时，r=3，n=10×8+4=84；q=11时，r=2，n=11×8+4=92；q=12时，r=1，n=12×8+4=100；q=13时，r=0，n=13×8+4=108.满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44.【例4】（北京八中小升初入学测试题）有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
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数论问题之余数问题:余数问题练习题含答案1.数11 1(2007个1),被13除余多少分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7.2.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11 (2)2123 6分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 .3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真.4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17.5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.6.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)2123 6分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.7.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .8.(第十三届迎春杯决赛) 已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .分析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2 2 3 717=51 28=68 21=84 17,因此所求的两位数51或68或84.9.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.10.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.第二页：练习题含答案11 20题第三页：练习题含答案21 28题11.除以99,余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.12.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)19992000 7分析:(1)5;(2)1999 7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000 3 余2 可以得到42000除以7 的余数是2,故19992000 7的余数是2 .13.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .14.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.15.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.16.除以99的余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.17.19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是______.分析:法1:从简单情况入手找规律,发现1994 15余14,19941994 15余4,199419941994 15余9,1994199419941994 15余14,......,发现余数3个一循环,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4;法2:我们利用最后一个例题的结论可以发现199419941994能被3整除,那么19941994199400 0能被15整除,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4.18.a b c 是自然数,分别除以11的余数是2,7,9.那么(a+b+c) (a-b) (b-c)除以11的余数是多少分析:(a+b+c) 11的余数是7;(a b) 11的余数是1l+2 7=6;(b c) 11的余数是11+7 9=9.所求余数与7 6 9 11的余数相同,是4.19.盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个？分析与解答:如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.2 8 10 122 4 5 62 5 3故8,10,12的最小公倍数是22253=120.所以这盒乒乓球有123个.20.自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.分析与解答:设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c 不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.21.求123456789101112 199200除以9的余数是________;解答:一位数个位数字之和是1+2+3+ ..9=45二位数数字之和是1 10+1+2+3+ .9 (10-19)2 10+1+2+3+ .9 (20-29)9 10+1+2+3+ .9 (90-99) 余90,9余0,11余2故二位数总和为(1+2 ..+9) 10+1+2 ..+9=495100 199与1 99的区别在于百位多了100个1,共100所以原数数字值和为45+495+495+100+2=1137,除以9余3. 22: 222 22除以13所得的余数是_____.2000个分析与解答:因为222222=2111111 =21111001=211171113所以222222能被13整除. 又因为2000=6333+2 222 2=222 200+22 2000个19982213=1 9所以要求的余数是9.求除以9,11,99,101,999,1001,13和91的余数分别是多少;解答:23: 除以9的余数是0,11: 一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5. 2007个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5 2007.5 2007 3(mod11),所以除以11的余数是399: 能被9整除,被11除余3的数最小是36,所以除以99余36200720072007能被7,13,37整除.999=27 37 1001=7 11 13 91=7 1313: 0(mod13) 除以13余091: 0(mod91) 除以91余0所以除以13,91,999的余数都是0.1001: 除以11余3,除以7,13余0,满足次条件的最小数是1092,1092除以1001余91.所以除以1001的余数是91.101: 我们发现9999=101 99,所以=0000+2007= 10000+2007= 9999++2007 +2007(mod101)同样道理+2007 +2007 2(mod101)以此类推2007 2007(mod101)=6824、今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物最少几何解答:此数除以3余2,除以5余3,除以7余2,满足条件最小数是2325、(23+105k)2)一个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________;如果它是一个四位数,那么最大可能是________;解答:满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4, 69-a=13b.a最小等于4.满足条件的最小数是381.设最大的四位数为381+1001x,最大的四位数为9390.(1732)26、今天周一,天之后是星期________;这个数的个位数字是________;天之后是星期________;解答:只要求出7的余数就可以知道天后是星期几. 52007(mod7),56 1(mod7)2007 3(mod6), 52007 53 6(mod7) s所以天之后是星期日2007的个位数字是720072的个位数字是920073的个位数字是320074的个位数字是120075的个位数字是127、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;解答:设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三位数为192,498,804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)这个四位数是194628、甲,乙,丙三个数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.A是________;解答:如果A除丙所得的余数是1份的话,那么A除乙所得余数就是2份,A除甲所得的余数就是4份.把2乙-甲,则没有余数,即2乙-甲使A的倍数;同理乙-2丙也同样没有余数,是A的倍数.939 2-603=1275,939-393 2=153A是1275和153的公约数,而1275与153的最大公约数是51,所以A可能是1,3,17,51再实验得到A为17,余数分别为8,4,2.。