平方根知识讲解
初中平方根知识讲解
平方根知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a≥0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（24=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 2、 填空：（1）4-是 的负平方根．（2表示 的算术平方根，= ．（3的算术平方根为 ．（43=，则x = ，若3=，则x = ．举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式2】求下列各式的值：（1） （2（3（43x 的取值范围是______________．类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-= 类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．-类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x . （1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-= 举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；（3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b |0b -=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-．举一反三：0=，求20112012x y +的值．。
平方根与算术平方根(知识解读)(原卷版)
平方根与算术平方根知识点 1 ：平方根1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：有意义时，≥0，≥0. 2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点3：平方根的性质知识点4：平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位..x a 2x a =x a a a a a a a a a 2x a =x a a a a (0)a a ≥a a a ±a 20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aaa =≥62500250=62525= 6.25 2.5=0.06250.25=【典例分析】【考点1：算术平方根】【典例1】求下列各数的算术平方根：（1）100；（2）；（3）0.0001．【变式1-1】求下列各数的算术平方根．（1）196 （2）（3）0.04 （4）100 （5）（﹣6）2．【变式1-2】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）【考点2：算术平方根的性质】【典例2】（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b的值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．0【变式2-1】（2021秋•滨海县期末）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（）A．1B．﹣1C．﹣3D．3【变式2-2】（2022春•绥江县期中）若（a﹣1）2+＝0，则（a﹣b）2022＝（）A．1B．﹣1C．0D．2022【考点3：算术平方根的估算】【典例3】（2022•东丽区二模）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【变式3-1】（2022•河西区模拟）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【变式3-2】（2020秋•福田区期末）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（）A．7B．8C．9D．10【变式3-3】（2018•台州）估计+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【典例4】（2015秋•萧山区期中）已知，则0.005403的算术平方根是（）A．0.735B．0.0735C．0.00735D．0.000735【变式4-1】（2019春•港口区期中）若＝5.036，则＝．【变式4-2】（2022春•渝中区校级月考）若≈7.149，≈22.608，则的值约为（）A．71.49B．226.08C．714.9D．2260.8【考点4：平方根】【典例5】求下列各数的平方根（1）49；（2）；（3）；（4）0.0016．【变式5-1】（2021秋•卫辉市月考）求下列各数的平方根（1）49 （2）；（3）2；（4）0.36；（5）（﹣）2．【变式5-2】（2022秋•青羊区校级期中）若m2＝4，则m＝（）A．2B．﹣2C．±2D．±【考点5 ：利用平方根的定义解方程】【典例6】（2022秋•莲湖区校级月考）求下列各式中x的值．（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2＝36．【变式6-1】（2022秋•江阴市校级月考）求下列各式中x的值：（1）x2﹣4＝0；（2）（x﹣1）2﹣9＝0．【变式6-2】（2022秋•新城区期中）已知2x2﹣8＝0，求x的值．【考点6：利用平方根的定义求参数】【典例7】（2021春•昭阳区校级月考）若一个正数的平方根是2m﹣4与3m﹣1，求这个正数的算术平方根．【变式7-2】（2022春•仁怀市校级月考）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：（1）m+n的值；（2）（m+n）2的平方根．【变式7-3】（2021秋•河南月考）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣18．（1）求a的值；（2）求这个数m．【变式7-3】（2022秋•朝阳区校级月考）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？【考点7：平方根的实际应用】【典例8】（2022秋•南岗区校级期中）小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”（1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？（2）你是否同意小于同学的说法？说明理由．【变式8】（2022秋•市北区期中）某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．。
平方根知识详解
平方根【知识扫描】知识点一 算术平方根的定义及表示方法1. 算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即a x ＝2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根；a 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”或“二次根号a ”，a 叫做被开方数。
规定0的算术平方根还是0，即0＝0。
当式子a 有意义时，一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0。
而当a ＜0时，a 没有意义。
2. 平方根的定义如果一个数x 的平方等于a ，即a x ＝2，那么这个数x 叫做a 的平方根。
正数a 的平方根有两根，分别是它的算术平方根“a ”和算术平方根的相反数“－a ”，记作“a ±”，读作“正、负根号a ”。
0的平方根为0。
任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根。
归纳：平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根知识点二 平方根与算术平方根的区别和联系1. 区别（1）定义不同：如果a x ＝2，那么x 叫做a 的平方根；如果a x ＝2（x ≥0），那么x 叫做a 的算术平方根；（2）表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±，正数a 的算术平方根表示为a（3）平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0和1。
2. 联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个。
知识点三 平方根的性质(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥【典型例题】 考点一 算术平方根和平方根的定义和性质【例1】求下列各数的算术平方根（1）81的算术平方根是________；（2）425的算术平方根是________； （3）0.0016的算术平方根是________【变式】下列说法正确的是（ ） A. 3是9的算术平方根 B. －2是4的算术平方根C. (－2)2的算术平方根是－2D. －9的算术平方根是3【例2】求下列各数的算术平方根（1）49的平方根是________；（2）8164的平方根是________； （3）0.36的平方根是______。
平方根知识点
平方根知识点平方根作为数学中的一个重要概念，在我们的日常生活和学习中经常会遇到。
它是数学中的一种特殊运算，用来求解一个数的平方根。
在本文中，我们将介绍平方根的定义、性质以及一些实际应用。
1. 平方根的定义平方根是指某个数的平方等于给定数的非负实数解。
例如，对于非负数a和b，如果b^2=a，那么b就是a的平方根。
表示为√a。
2. 平方根的性质（1）非负数的平方根是非负实数。
也就是说，如果a是一个非负数，那么√a大于或等于0。
（2）对于非负实数a和b，如果b^2=a，那么-b也是a的平方根。
这是因为(-b)^2=b^2=a。
（3）平方根的运算性质。
对于非负实数a和b，有以下运算规则：a. √(a*b) = √a * √b，即两个数的乘积的平方根等于它们的平方根的乘积。
b. √(a/b) = √a / √b，即一个数除以另一个数的平方根等于它们的平方根的商。
c. √(a^n) = a^(n/2)，即一个数的n次方的平方根等于这个数的n/2次方。
（4）平方根的大小。
对于非负实数a和b，如果a<b，那么√a < √b。
也就是说，较小的数的平方根更小。
3. 平方根的表示方法平方根可以用根号符号表示，也可以用指数表示。
例如，√a可以等价地表示为a^(1/2)。
4. 平方根的应用平方根在实际生活和学习中有广泛的应用。
下面是一些例子：（1）几何学：在计算图形的周长、面积或体积时，常常需要用到平方根。
例如计算一个正方形的对角线长度，可以利用平方根来求解。
（2）物理学：在物理学中，平方根用于计算速度、加速度等与运动相关的物理量。
（3）金融学：在利息计算中，常常需要用到平方根。
例如，在复利计算中，平方根可以帮助计算复利的时间间隔。
（4）计算机科学：在编程中，平方根函数常用于数值计算和算法设计中。
总结：平方根是数学中一个重要的概念，用来求解一个数的平方根。
我们介绍了平方根的定义、性质以及一些实际应用。
平方根在几何学、物理学、金融学和计算机科学等领域都有广泛的应用，是我们日常生活和学习中必不可少的数学概念之一。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。
1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。
平方根的记号为√a。
1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。
- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。
2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
以³√a表示a的立方根，其中a为实数。
2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。
立方根的记号为³√a。
2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。
- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。
3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。
3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。
- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。
4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。
4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。
- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。
- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。
4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。
初中数学易考知识点平方根的计算方法
初中数学易考知识点平方根的计算方法初中数学易考知识点：平方根的计算方法平方根是数学中的常见概念，它在初中数学中也是一个非常重要的知识点。
在学习平方根的计算方法之前，我们首先需要了解平方根的定义。
一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的运算。
设a为一个非负实数，若存在一个非负实数x，使得x²=a，则称x为a的平方根。
二、开方运算开方运算是平方根的一种常见运算方式，用符号√表示。
1. 正数的正平方根对于一个正数a，它的正平方根可以通过以下方式计算：- 如果a是一个完全平方数，则√a = a的平方根。
- 如果a不是一个完全平方数，则可以使用近似方法或手算方法计算。
近似方法是通过查表法，找到离a最近的平方数的平方根作为近似值。
2. 零的平方根对于0这个特殊的数，在实数范围内，它的平方根为0。
即√0 = 0。
3. 负数的平方根对于负数a，它的平方根在实数范围内是不存在的。
因为无论取任何非负数的平方根，都不能使平方的结果等于一个负数。
因此，负数的平方根通常用虚数单位i来表示。
三、平方根的计算方法1. 试除法试除法是一种常见且简便的计算平方根的方法。
具体步骤如下：(1) 首先，将待开方的数进行分解，每两个数字一组，由右至左，不足两位的补零。
(2) 找出一个最大的整数d，使得d乘以自己不超过当前的两位数，将d作为商的整数部分。
(3) 将上一步得到的商与商下边的数字相连，作为新的被除数。
(4) 在商下边的数字后面添加一个未用数字作为新的被除数。
(5) 将上一步得到的商与新的被除数相连，作为新的除数。
2. 短除法短除法是试除法的简化版，适用于只有两位数的平方根计算。
具体步骤如下：(1) 将待开方的数分为若干个组，每组两个数字，由右至左依次编号。
(2) 从左向右地找出各组的平方根的个位数，并将它们按顺序排列在一起，即得到平方根的个位数。
(3) 判断待开方数能否再分一组，如果可以，则继续进行下一组的计算。
解平方根的常见方法与技巧
解平方根的常见方法与技巧在数学中，平方根是一种常见的运算，求解平方根的方法与技巧是非常重要的数学基础知识。
本文将介绍一些常见的方法与技巧，以帮助读者更好地理解和运用平方根的概念。
1. 直接开平方直接开平方是最常见的方法之一，简单直接。
对于一个正实数a，其平方根记作√a，即a的平方根等于b。
举个例子，√25=5，因为5的平方等于25。
2. 分解质因数法当我们需要求解非完全平方数的平方根时，可以运用分解质因数的方法。
首先，将原数分解成质因数的乘积形式，并对每个质因数的指数进行除2操作。
最后将所得的结果相乘，并开方，即可得到原数的平方根。
例如，对于数100，先将其分解成2^2乘以5^2，然后进行除2操作，结果为2乘以5，即10，最后开方得到√100=10。
3. 二分查找法二分查找法是一种高效的找根方法，特别适用于近似解的求解过程。
该方法基于数值的中间值，通过不断缩小范围来逼近平方根的值。
具体步骤如下：- 确定平方根的上下限，例如对于求解根号2，可以将上限a设置为2，下限b设置为1。
- 求取平方根的中间值c，即(a+b)/2。
- 判断中间值的平方是否接近原数，若平方值大于目标数，将上限a 设置为c，若平方值小于目标数，将下限b设置为c。
- 重复以上步骤，不断缩小范围直至所求的平方根满足要求。
4. 迭代法迭代法是一种逐步逼近平方根的方法，通过不断迭代优化来达到精确解。
该方法使用下面的迭代公式：(x + a / x) / 2，其中x为初始近似解，a为原数。
通过不断迭代，不断更新x的值，最终得到原数的平方根。
迭代法适用于对较大的正实数进行近似求根。
5. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值分析中常用的方法，也适合用来解决平方根的问题。
其基本思想是通过切线逼近曲线来求解函数的根。
对于求解根号a，可以选取初始近似解x，然后通过不断迭代优化来逼近平方根。
具体迭代公式如下：x = (x + a / x) /2。
不断迭代，直到满足精度要求。
平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结【学习目标】1•了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2•了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1•算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即x2= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作■. a，读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：当式子.a有意义时，a一定表示一个非负数，即>0，a >0.2•平方根的定义如果x2=a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a（a > 0）的平方根的符号表达为_-、a（a_O），其中,a是a的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1•区别：（i）定义不同；（2）结果不同：和a2•联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写岀它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，62500 =250，、、宓=25，,625 =2.5，0.062^0.25 .【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m —4与3m —1是同一个正数的两个平方根，求m的值.【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m —4=—（3m —1），解方程即可求解.【答案与解析】解：依题意得2 m —4 = —（3m —1 ），解得m = 1；••• m的值为1.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.举一反三：【变式】已知2a —1与一a + 2是m的平方根，求m的值.【答案】2a —1与—a + 2是m的平方根，所以2 a —1与—a + 2相等或互为相反数.2 2解：①当2a —1 = —a + 2时，a = 1,所以m =(2a —1) =(2x 1 —1)=1②当2 a —1+(—a + 2)= 0时，a =—1，2 2 2所以m =(2a—1 ) =[2x(—1)—1]2=(七)=92、X为何值时，下列各式有意义？(1)X2; (2)、X 一4 ; (3)、、X • 1 • ■ 1 一X ; (4) ― 1 -x —3【答案与解析】解：(1)因为X2_0，所以当X取任何值时，X2都有意义.(2)由题意可知：x-4亠0，所以x亠4时，x-4有意义.「x+1^0 >(3)由题意可知：解得：一1乞X岂1 •所以「1冬X岂1时•• X • 1 • 1 - X有意义.J -x X0「x—1 兰0(4)由题意可知：，解得X _ 1且X = 3 .x -3 式0:(X -1所以当X _1且x=3时，有意义.x —3【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义.(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义.举一反三：【变式】已知b =4. 3a -2 2 . 2 -3a 2，a b【答案】^3a—2 二0 2113 1解：根据题意，得'则a ，所以b = 2，二2，2-3^0.3 a b 2 21 1二的算术平方根为a b类型二、平方根的运算3、求下列各式的值.1 ___________ 1 ____ -、.话 - .900.3 5【思路点拨】 (1)首先要弄清楚每个符号表示的意义 •( 2)注意运算顺序.【答案与解析】解：⑴、.252 -242 LI 「32 42 二「49 L 一无=7 5 = 35 ； ⑵，201 一1预一 1「81 一〕0.6 一〕30 =9—0.2 一6 —1.7 . ^43 5 V 4 3 5 2【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行. (2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据Ja 2=a(a .0)来解.类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的 X .2 2(1) x -361 =0; (2) x 1 289 ；(3) 9(3x+2 f —64 =0 【答案与解析】 解：(1)丁 x 2 -361 =0••• x 2 =361••• x = 一 361 = 192(2)丁(x +1 ) =289 • x 1 二.289 • x + 1 = ± 17x = 16 或 x =- 18.K{ A 2(3)••• 9(3x+2 丫-64 = 064• 3x 2 2二98•- 3x 2 = 32十149 9【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.(2) ( 3)小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的X :(1 )若X2=1.21，则x = ________ ；(2) X2=169，则x = __________ ；2 2 2(3)若X ,则X = ___________ ；(4)若X 2 ，贝U X = ____________ .43【答案】(1 )± 1.1 ; ( 2)± 13;( 3) ； ( 4)± 2.2类型四、平方根的综合应用5、已知a、b 是实数，且..2a 6 |b _=0，解关于X的方程(a • 2)x • b2二a _ 1 .【答案与解析】解：••• a、b 是实数，.2a 6 |b —|=0，2a 6 _ 0, |b-辽|_0,••• 2a 6 = 0 , b「.2 二0 .a = — 3，b = •. 2 .把a =—3, b-2 代入(a+2)x+b2= a-1，得—X + 2 = —4,二X = 6.【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求岀a、b的值，再解方程•此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可.举一反三：【变式】若X2—1 •y 1 =0，求X2011- y2012的值.【答案】解：由x2「1y • 1 = 0，得x2「1 = 0 , y T = 0，即X= 1 , y = -1 .2011 2012 ,2011 / 八2012①当X = 1, y =—1 时，X y =1 (—1) =2 .②当X =—1, y =—1 时，X y =(一1) (一1) =0 .2 26、小丽想用一块面积为400 cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm 的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3X ( X >0) cm，则宽为2 X cm，依题意得3X 2X =300.6X2-300 .x2=50.X >0,x 二空50.长方形纸片的长为3, 50 cm .•/ 50 > 49,/• .50 7.••• 3・.50 .21,即长方形纸片的长大于20cm .2由正方形纸片的面积为400 cm ,可知其边长为20 cm ,•长方形的纸片长大于正方形纸片的边长答：小丽不能用这块纸片裁岀符合要求的长方形纸片20 cm的正方形纸片裁【总结升华】本题需根据平方根的定义计算岀长方形的长和宽，再判断能否用边长为岀长方形纸片.。
平方根知识点
平方根知识点平方根是数学中常见的一个概念，它指的是一个数的平方根是另一个数的平方。
平方根经常在数学、物理、工程等领域中使用，在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍平方根的定义、性质以及计算方法，帮助读者更好地理解和应用平方根知识点。
一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的非负数根。
对于一个非负数x，如果存在一个非负数y，使得y的平方等于x，那么y就是x的平方根。
平方根通常用符号√来表示，例如√4=2，表示4的平方根为2。
二、平方根的性质1. 非负数的平方根为非负数。
由于平方根是一个非负数的非负数根，所以一个非负数的平方根一定是非负数。
2. 负数没有实数平方根。
由于平方根是非负数的非负数根，所以负数没有实数平方根。
例如，-4没有实数平方根。
3. 平方根的乘积等于被开方的数。
如果a和b都是非负数，那么√a * √b = √(a * b)。
这个性质可以用来简化复杂的平方根运算。
4. 平方根的和差是两个数的平方根和差。
如果a和b都是非负数，那么√a + √b ≠ √(a + b)，√a - √b ≠ √(a - b)。
平方根的和差并不能简化为一个更简单的形式。
5. 平方根的次方等于被开方数的次方除以指数。
如果a是非负数，n是一个正整数，那么(√a)^n = a^(1/n)。
这个性质可以用来计算较大数的平方根。
三、平方根的计算方法1. 通过负指数运算。
例如，√x可以写成x^(1/2)的形式。
2. 通过近似方法。
如果一个数的平方根不能通过简单的数学运算得到，可以通过近似方法来计算。
常见的近似方法有牛顿迭代法和二分法。
3. 通过计算器或计算软件。
现代科技使得平方根的计算变得更加便捷，我们可以利用计算器或计算软件来计算平方根。
四、平方根的应用平方根在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 几何学中，平方根被用于计算直角三角形的斜边长度。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两个直角边的平方和的平方根。
(学生~提高)平方根 知识讲解
平方根（提高）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥，是a 的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+b ﹣9的立方根是2，c 是的整数部分，求a+b+c 的平方根．举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的两个不同的平方根，求m 的值.2、x 为何值时，下列各式有意义？ (1)2x ； (2)4x -； (3)11x x ++-； (4)1x -．举一反三： 【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b +的算术平方根．类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．2222252434-+；111200.36900435类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；（3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______．类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数，26|20a b ++-=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-．举一反三：2110x y -+=，求20112012x y +的值．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.举一反三：【变式】某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m 2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m 2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m 宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？。
(完整版)平方根立方根知识点归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
30a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.23(2)0y z -++=，求xyz 的值。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结数字运算是数学中的基础内容，而平方根和立方根是其中常见且重要的概念。
它们用来求解数字的根号运算，能够帮助我们计算数字的次方根。
本文将对平方根和立方根进行知识点总结，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、平方根平方根是一个数学运算符号，用symbol √ 表示。
它表示一个数的平方根。
对于一个非负数 a，其平方根记作√a，表示满足 b² = a的正数 b。
例如，√25 = 5，因为 5² = 25。
1. 平方根的性质平方根有一些基本的性质，包括：（1）非负性质：一个非负数的平方根是非负的。
例如，√25 = 5，√0 = 0。
（2）保号性质：如果两个非负数 a 和 b 满足 a < b，则有√a < √b。
例如，√9 = 3 < √16 = 4。
（3）开方法则：对于任意非负数 a 和 b，有以下等式成立：√(a × b) = √a × √b。
例如，√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6。
2. 平方根的应用平方根在数学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：形的斜边长度等。
（2）物理学公式：平方根可以用于求解物理学公式中的问题，如求解速度、加速度等。
（3）统计学问题：平方根可以用于求解统计学问题，如计算方差、标准差等。
二、立方根立方根是另一种常见的根号运算，用 symbol ∛表示。
它表示一个数的立方根。
对于一个实数 a，其立方根记作∛a，表示满足 b³ = a 的实数 b。
例如，∛8 = 2，因为 2³ = 8。
1. 立方根的性质立方根与平方根一样，也有一些基本的性质。
其中包括：（1）非负性质：一个实数的立方根可以是正数、负数或零。
（2）保号性质：如果两个实数 a 和 b 满足 a < b，则有∛a < ∛b。
例如，∛1 = 1 < ∛8 = 2。
平方根(基础)知识点归纳总结及典型例题详解
平方根（基础）知识讲解【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【平方根，知识要点】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a一定表示一个非负数，0，a≥0.2.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为a≥是a的算术平方根.0)知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质20 ||00a aa a aa a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()()2a a a=≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误； D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根．（2116表示 的算术平方根，116= ．（3）181的算术平方根为 ． （4）若3x =，则x = ，若23x =，则x = ． 【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+ （3）0.040.25- （4）40.36121⋅ 【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）655 3、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________．【答案】x≥1-；【解析】x＋1≥0，解得x≥1-.【总结升华】当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a≥0，a≥0.举一反三：【变式】（2015春•中江县期中）若+（3x+y﹣1）2=0，求5x+y2的平方根．【答案】解：∵+（3x+y﹣1）2=0，∴，解得，，∴5x+y2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。
(完整版)平方根知识点总结讲义
平方根 知识点总结【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥，是a 的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠1x - 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b +的算术平方根． 【答案】解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)2222252434-+；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴36119x ==±（2）∵()21289x +=∴1289x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______； （3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数，26|20a b ++=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】解：∵a 、b 26|20a b +-=260a +≥，|20b -≥，∴260a +=，20b -=．∴a =－3，2b =把a =－3，2b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：2110x y -+=，求20112012x y +的值． 【答案】2110x y -+=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ 50x = ∴ 长方形纸片的长为350cm .∵ 50＞49,507>.∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。
平方根运算基本公式
平方根运算基本公式平方根运算，这可是数学里的一个重要知识点哦！咱先来说说啥是平方根。
比如说，一个数的平方等于 9 ，那这个数就是 9 的平方根。
因为 3 的平方是 9 ， -3 的平方也是 9 ，所以 9 的平方根就是 ±3 。
平方根运算有个基本公式，那就是：若 x² = a ，则x = ±√a 。
这里要注意啦， a 必须是非负数，也就是大于等于 0 。
就拿个简单的例子来说吧，咱算 16 的平方根。
因为 4 的平方是 16 ，-4 的平方也是 16 ，所以 16 的平方根就是 ±4 。
用公式表示就是：因为4² = 16 ，所以±√16 = ±4 。
我记得之前教过一个学生小李，他刚开始学平方根的时候，总是搞不清楚正负号的问题。
有一次做作业，题目是求 25 的平方根，他居然只写了 5 。
我就问他：“小李啊，你想想， (-5) 的平方是不是也等于 25 呀？”他恍然大悟，拍着脑袋说：“哎呀老师，我怎么给忘了！”从那以后，每次做平方根的题目，他都会特别注意正负号的问题。
再来说说平方根的一些性质。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0 ；负数没有平方根。
这就好比正数有两个“好伙伴”， 0 自己跟自己玩儿，负数连个“伙伴”都没有。
咱来做几道题练练手。
比如说求 100 的平方根，那就是 ±10 。
再比如求 0.09 的平方根，因为 0.3 的平方是 0.09 ， -0.3 的平方也是 0.09 ，所以 0.09 的平方根就是 ±0.3 。
在实际生活中，平方根的运算也有不少用处呢。
比如说，要计算一个正方形的边长，已知它的面积是 49 平方米，那边长就是 7 米，因为7 是 49 的平方根呀。
学习平方根运算的时候，可别嫌麻烦，多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢就熟练啦。
就像骑自行车，刚开始可能摇摇晃晃，但练得多了，就能骑得又稳又快。
数学平方根的计算方法知识点总结
数学平方根的计算方法知识点总结在数学中，平方根是一个重要的概念，它指的是一个数的平方等于给定数的值。
计算平方根有多种方法和技巧，以下是数学平方根的计算方法的知识点总结。
一、算术平方根算术平方根是最常见的平方根计算方法，它可以用于求解整数和小数的平方根。
算术平方根的计算方法如下：1. 估算：首先，我们可以估算给定数的平方根。
找到一个较小的整数作为估算值，使得估算值的平方大于或等于给定数，但又尽可能的接近给定数。
2. 迭代求解：利用迭代的方法不断逼近给定数的平方根。
假设我们的估算值为x，我们可以通过以下公式来迭代求解更精确的平方根值： x = (x + (给定数/x))/2使用上述公式，不断迭代计算，直到得到一个足够满意的平方根值。
3. 精确计算：在计算算术平方根时，我们可以使用现代计算器或计算机程序进行精确计算。
通过使用数值计算方法，我们可以得到给定数的精确平方根值。
二、开平方公式开平方公式是一种用于计算平方根的代数方法，它适用于求解某些特定类型的数的平方根。
开平方公式的计算方法如下：1. 完全平方数：如果给定的数是一个完全平方数，即可以表示为两个相同因子的乘积，那么它的平方根就是这个因子。
例如，给定数为16，它是一个完全平方数，因为16 = 4 * 4。
所以它的平方根是4。
2. 二次方程：开平方公式还可以用于解决某些二次方程的平方根问题。
对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，可以使用以下开平方公式计算其平方根：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)其中，±表示取正负号。
三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于求解函数零点的数值方法，也可以用于计算平方根。
牛顿迭代法的计算方法如下：对于给定的数a，考虑方程f(x) = x^2 - a = 0。
我们可以通过迭代的方式逼近方程的解，即平方根。
1. 初始猜测：选择一个初始猜测值x0，通常可以选择给定数的一半作为初始猜测值。
平方根知识点讲解(含例题)
1．算术平方根（1）定义一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的__________．（2）表示方法a的算术平方根记为__________，读作“根号a”，a叫被开方数．（3）算术平方根的性质①正数a；②0的算术平方根是0=__________；③负数__________算术平方根．被开方数a是非负数，即a≥0；0．2．平方根（1）平方根的概念一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的__________或二次方根．【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0．（2）平方根的性质①一个正数a有__________”，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根．（3）开平方的概念求一个数a的平方根的运算，叫做__________．（4）利用平方根的定义解方程将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=或ax+b=，进而得到原方程的解．3．平方根与算术平方根的区别（1）定义不同；（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；（3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a；（4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．K知识参考答案：1．（1）算术平方根（23）0，没有2．（1）平方根（2）两（3）开平方一、求平方根和算术平方根若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算术平方根，有时也可通过简单的变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率．【例1】9的算术平方根是A B．-3 C．±3 D．3【答案】D【解析】∵32=9，∴9的算数平方根是3，故选D．【例2】（-2）2的算术平方根是A．2 B．±2 C．-2 D【答案】A【解析】∵（-2）2=4，4的算术平方根是2，∴（-2）2的算术平方根是2，故选A．【名师点睛】求一个式子的算术平方根时，先把这个式子化简，再按算术平方根的定义求化简所得数的算术平方根即可．【例3】25的平方根是A ．5B ．-5C ．D ．±5【答案】D【解析】∵（±5）2=25，∴25的平方根为±5，故选D ． 【例4】设a -3是一个数的算术平方根，那么A ．a ≥0B ．a >0C ．a >3D ．a ≥3 【答案】D【解析】∵3a -是一个数的算术平方根，∴30a -≥，解得3a ≥，故选D ．【名师点睛】本题考查的是算术平方根的“非负性”，即非负数a 0≥．【例5】下列说法正确的是①–是2的一个平方根 ②–4的算术平方根是2③的平方根是±2④0没有平方根A ．①②③B ．①④C ．①③D ．②③④ 【答案】C【解析】①–是2的一个平方根，正确；②–4没有算术平方根，错误； ③的平方根是±2，正确；④0有平方根，是0，错误；故选C ．【例6】求下列各式的值：（1；（2）；（3）4．【解析】（1=12．（2）=-0.9．（3）1114±．（4=56．二、算术平方根非负性的应用常用的三类非负性的表示形式：绝对值、偶次幂、算术平方根，当几个非负数的和为0时，则每一个非负数均为0，这一结论在解答许多数学问题中起着关键的作用．【例7】的值取最小值时，a 的取值为A ．0B ．−12C ．–1D ．1 【答案】B【解析】∵2a +1≥0的值取最小值时，2a +1=0，∴a 的取值为–12．故选B ． 【例8】若实数x ，y20（y +-=，则xy 的值为__________．【答案】【解析】根据题意得：200x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则xy=故答案为：． 【例9】x 、y0，则xy =__________．【答案】–6【解析】由题意可知：x +2=0，y –3=0，∴x =–2，y =3，∴xy =–6，故答案为：–6． 三、利用平方根的知识解方程先将方程转化为一个式子的平方等于一个非负数的形式，再利用开平方发求解．【例10】求下列各式中的x ．（1）x 2=17；（2）212149x -=0． 【解析】（1）因为2(17=，所以x=．（2）2121049x -=， 212149x =，x =117±． 【例11】求下列各式中x 的值：（1）4（x -1）2-16=0；（2）8（2x +1）3-1=0.【解析】（1）4（x -1）2-16=0，4（x -1）2=16，（x -1）2=4，x -1=±2，x =-1或x =3．（2）8（2x +1）2-1=0，8（2x +1）2=1，（2x +1）2=18，2x ，2x =-，x =-12-x =-12． 四、平方根和算术平方根定义和性质的综合运用若一个数的平方根是它本身，则这个数是0；若一个数的算术平方根是它本身，则这个数是0或1．【例12】若一个正数的算术平方根是a ，则比这个数大3的正数的平方根是A B ． C ．D ．【答案】C【解析】根据一个正数的算术平方根是a ，则这个正数为2a ，则比这个数大3的正数的平方根是C ．【例13】已知2a-1的平方根是±3b．【解析】∵2a-1的平方根是±3，∴2a-1=9，∴a=5，b，即16的算术平方根是b，∴b=4=3．【名师点睛】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义，由平方根和算术平方根的定义得到2a-1=9，b=4是解题的关键．【例14】已知9的算术平方根是a，b的平方是25，求ab的值．【名师点睛】本题目是一道考查平方根和算术平方根的问题，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数．。
初中根号入门讲解
初中根号入门讲解初中阶段是学习数学的重要时期，而根号是数学中的一个重要概念，是初中数学中的基础知识之一。
本文将以初中根号入门讲解为题，详细介绍根号的概念、性质和计算方法。
一、根号的概念根号是数学中一种特殊的符号，用来表示某个数的平方根。
平方根是一个数的平方等于该数的情况下的非负解。
根号的符号是一个放在被开方数上方的开方号√。
例如，√9表示9的平方根，可以简写为3，因为3的平方等于9。
二、根号的性质1. 非负数的平方根是非负数，即对于任意非负实数a，√a ≥ 0。
2. 平方根的平方等于被开方数，即对于任意非负实数a，(√a)^2 = a。
3. 根号运算满足乘法分配律，即对于任意非负实数a和b，√(a*b) = √a * √b。
4. 根号运算满足乘方运算法则，即对于任意非负实数a和b，(√a)^b = √(a^b)。
三、根号的计算方法1. 简化根号：当被开方数中存在完全平方因子时，可以将其提取出来。
例如，√36 = √(6^2) = 6。
2. 合并根号：当被开方数中存在相同的因子时，可以合并在一起。
例如，√(4*9) = √(2^2 * 3^2) = 2*3 = 6。
3. 化简根号：当被开方数是一个分数时，可以将其化简为最简形式。
例如，√(1/4) = 1/√4 = 1/2。
四、根号的运算规则1. 加减法：根号与根号之间不能直接进行加减运算，但可以通过化简根号的方法将其转化为同类项进行计算。
2. 乘法：根号与根号之间可以进行乘法运算，即√a * √b = √(a*b)。
3. 除法：根号与根号之间可以进行除法运算，即√a / √b = √(a/b)。
五、根号的应用根号在几何学中有广泛的应用。
例如，根号可以表示线段的长度。
在勾股定理中，根号可以用来计算直角三角形的斜边长度。
此外，在物理学和工程学中，根号也常用于计算电流、电压等物理量的大小。
六、根号的拓展除了平方根，还存在其他次方根，如立方根、四次方根等。
第一讲 平方根与算术平方根(解析版)
第一讲平方根与算数平方根目录必备知识点 (1)考点一平方根与算术平方根 (1)考点二算术平方根的双重非负性 (6)考点三平方根的性质 (7)必备知识点1.平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根，从定义可知，a≥0。
2.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。
从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。
3.正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
4.算术平方根的双重非负性①a≥0，②a≥05.平方根的性质①2(0)a a=≥aaaì==í-î()()aa<≥考点一平方根与算术平方根1．64的平方根是（ ）A．±4B．4C．±8D．8【解答】解：∵±8的平方都等于64；∴64的平方根是±8．故选：C．2．已知实数a的一个平方根是4，则它的另一个平方根是（ ）a知识导航A．2B．﹣2C．﹣4D．±2【解答】解：∵数a的一个平方根是4，∴a＝16，∴a的另一个平方根是﹣4，故选：C．3．已知2a﹣1和﹣a+4是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）A．9B．1C．7D．49或【解答】解：∵2a﹣1和﹣a+4是一个正数的平方根，∴①2a﹣1+4﹣a＝0，解得a＝﹣3，把a＝﹣3代入4﹣a得7，∴这个正数的值是49；②2a﹣1＝4﹣a，解得a＝，把a＝代入4﹣a得＝，∴这个正数的值是；故选：D．4．若x+3是9的一个平方根，则x的值为（ ）A．0B．﹣6C．0或﹣6D．±6【解答】解：∵x+3是9的一个平方根，∴x+3＝3或x+3＝﹣3，解得：x＝0或x＝﹣6．故选：C．5．下列说法正确的是（ ）A．4的平方根是2B．﹣4的平方根是﹣2C．（﹣2）2没有平方根D．2是4的一个平方根【解答】解：A、4的平方根是±2，故A错误；B、﹣4没有平方根，故B错误；C、（﹣2）2＝4，有平方根，故C错误；D、2是4的一个平方根，故D正确．故选：D．6．下列判断正确的是（ ）A．0.25的平方根是0.5B．﹣7是﹣49的平方根C．只有正数才有平方根D．a2的平方根为±a【解答】解：A、0.25的平方根是±0.5，故此选项错误；B、﹣7是49的平方根，故此选项错误；C、正数和0都有平方根，故此选项错误；D、a2的平方根为±a，正确．故选：D．7．下列说法中不正确的个数是（ ）①（﹣5）2的平方根是±5；②﹣a2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负；⑤0和1的平方根等于本身．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①（﹣5）2的平方根是±5，故①正确；②a＝0时，﹣a2有平方根，故②错误；③非负数a的平方根是互为相反数，故③错误；④负数没有平方根，一个正数的平方根有两个，互为相反数，故④错误；⑤0的平方根等于它本身，1的平方根是±1，故⑤错误；故选：D．8．若（x+2）2＝2，则x的值是（ ）A．+4B．﹣2C．+2或﹣2D．﹣2或﹣﹣2【解答】解：因为（x+2）2＝2，所以x+2＝±，所以x＝﹣2，或x＝﹣﹣2．故选：D．9．7的平方根是（ ）A．±B．C．D．14【解答】解：7的平方根是：±．故选：A．10．“的平方根是±”用数学式子可表示为（ ）A．＝±B．C．±＝±D．﹣＝【解答】解：，故选：C．11．“的平方根是±”用数学式表示为（ ）A．＝±B．＝C．±＝±D．﹣＝﹣【解答】解：“的平方根是±”用数学式表示为±＝±．故选：C．12．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（ ）A．±（m+1）B．（m2+1）C．D．【解答】解：由题意得：这个自然数a为：m2，比这个自然数大1的数为m2+1，即a+1＝m2+1故a+1的平方根用m表示为：±，故选：D．13．81的算术平方根是（ ）A．3B．9C．﹣3D．﹣9【解答】解：∵81＝92，∴81的算术平方根是9，故选：B．14．10的算术平方根是（ ）A．10B．C．﹣D．±【解答】解：∵10的平方根为±，∴10的算术平方根为．故选：B．15．的值是（ ）A ．﹣3B ．3或﹣3C ．3D ．9【解答】解：＝3．故选：C ．16．下列运算正确的是（ ）A ．＝4B ．﹣|﹣2|＝2C ．＝±3D ．23＝6【解答】解：A ．根据算术平方根的定义，，那么A 正确，故A 符合题意．B ．根据绝对值的定义，﹣|﹣2|＝﹣2，那么B 错误，故B 不符合题意．C ．根据算术平方根的定义，＝3，那么C 错误，故C 不符合题意．D ．根据有理数的乘方，23＝8，那么D 错误，故D 不符合题意．故选：A ．17．的平方根是（ ）A ．B ．C ．±2D ．2【解答】解：∵＝2，∴的平方根是±．故选：B ．18．的平方根是（ ）A ．B ．﹣C ．±D ．±【解答】解：＝，的平方根是±．故选：D ．19．下列叙述中，正确的是（ ）A ．a 的平方根是B ．（﹣a ）2的平方根是﹣aC ．一个数总有两个平方根D ．﹣a 是a 2的一个平方根【解答】解：A 、a 的平方根是±．故本选项错误；B 、（﹣a ）2的平方根是a 故本选项错误；C 、负数没有平方根．故本选项错误；D 、﹣a 是a 2的一个平方根．故本选项正确．故选：D ．考点二算术平方根的双重非负性20．已知|a﹣5|+＝0，那么a﹣b＝（ ）A．2B．3C．﹣2D．8【解答】由题意可得a﹣5＝0，b﹣3＝0，故a＝5，b＝3，所以a﹣b＝5﹣3＝2故选：A．21．若实数m，n满足（m﹣6）2+＝0，则的值是（ ）A．2B．2C．2D．4【解答】解：∵实数m，n满足（m﹣6）2+＝0，∴m﹣6＝0，n+2＝0，∴m＝6，n＝﹣2，∴＝＝＝2．故选：B．22．若y＝﹣6，则xy的值为（ ）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【解答】解：由题意，得x﹣≥0且﹣x≥0，所以x﹣＝0．所以x＝，则y＝﹣6，故xy＝×（﹣6）＝﹣3，故选：C．23．计算：（1）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简+|c﹣a|+；（2）已知x、y满足y＝，求5x+6y的值．【解答】解：（1）原式＝|a|+|c﹣a|+|b﹣c|＝﹣a+c﹣a+c﹣b＝﹣2a﹣b+2c；（2）由题意得：，解得：x＝±3，∵x﹣3≠0，解得：x≠3，∴x＝﹣3，则y＝﹣，∴5x+6y＝﹣16．24．已知a为实数，且b2++9＝6b；（1）若a、b为△ABC的两边，求第三边c的取值范围；（2）若a、b为△ABC的两边，第三边c＝5，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵b2++9＝6b，∴b2﹣6b+9+＝0，即（b﹣3）2+＝0，∴b﹣3＝0，a﹣4＝0，解得a＝4，b＝3，∵a、b为△ABC的两边，∴第三边c的取值范围为：1＜c＜7；（2）∵a＝4，b＝3，c＝5，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积为：×3×4＝6．考点三平方根的性质25．计算的结果是 4 ．【解答】解：＝＝4．故答案为：4．26．计算＝ π﹣3 ，＝ π﹣3 ．【解答】解：＝π﹣3，＝π﹣3．故答案π﹣3．27．求下列各式的值．（1）±＝ ±11 ；（2）﹣＝ ﹣0.8 ；（3）﹣＝ ﹣3 ；（4）﹣＝ ﹣14 ；（5）＝ 0.04 ；（6）＝ 0.04 ．【解答】解：（1）±＝±11；（2）﹣＝﹣0.8；（3）﹣＝﹣3；（4）﹣＝﹣14；（5）＝0.04；（6）＝0.04．故答案分别为±11，﹣0.8，﹣3，﹣14，0.04，0.04．28．若实数a、b、c在数轴上的位置如图，则化简＝ c ．【解答】解：由数轴可得出：a＜b＜0＜c，∴a+b＜0，b﹣c＜0，∴＝﹣a+（a+b）+c﹣b，＝c．故答案为：c．29．实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图，化简：＝ ﹣3a ．【解答】解：由题得，c＞0＞b＞a，∴＝﹣a﹣a﹣b+c﹣a+b﹣c＝﹣3a．故答案为﹣3a．。
初中数学平方根知识点整理
初中数学平方根知识点整理平方根是数学中的一个基本概念，它在初中数学中起着重要的作用。
在这篇文章中，我将对初中数学中关于平方根的知识点进行整理。
1. 平方根的定义平方根是指一个数的平方等于给定数的数值。
例如，数a的平方根可以记作√a，即√a² = a。
如果一个数是正数，那么它有两个平方根，一个是正数，另一个是负数。
如果一个数是负数，那么它没有实数平方根。
2. 求平方根的方法有几种方法可以求解一个数的平方根：- 利用因数分解方法，将一个数分解成两个相同的因数，其中一个因数就是这个数的平方根。
- 使用开方运算符√，将数写成√a的形式，其中a是一个平方数。
- 使用近似方法，通过不断逼近一个数的平方根，直到所得结果与给定数的误差在可接受范围内。
- 利用平方根的性质，如平方根的乘法法则和平方根的整数性质，来简化计算过程。
3. 平方根的性质平方根具有以下几个重要的性质：- 平方根的乘法法则：√(a × b) = √a × √b。
即两个数的积的平方根等于每个数的平方根的乘积。
- 平方根的整数性质：如果一个数a的平方根是整数b，那么a是一个完全平方数。
- 平方根的递减性：如果a和b是两个正数，且a > b，那么√a > √b。
- 平方根的递增性：如果a和b是两个正数，且a > b，那么√a + √b > 2√ab。
4. 平方根的运算在进行平方根的运算时，需要注意以下几点：- 平方根具有数学运算优先级，即先进行平方根运算，再进行其他运算。
- 求解平方根时，结果可以是一个实数或虚数。
如果一个数的平方根是一个虚数，那么这个数是负数。
- 平方根和指数运算可以相互抵消。
例如，(a^b)^(1/b) = a，其中a和b是任意实数。
5. 平方根的应用平方根的概念和性质在数学和实际生活中都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：- 几何学中，平方根被用于计算物体的面积和体积。
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平方根
【学习目标】
1. 了解平方根、算术平方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的平方根、算术平方根.
【要点梳理】
【高清课堂：平方根、算术平方根知识要点】
知识点一、算术平方根的定义
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为√a，读作“根号a”.a叫做被开方数.
要点诠释：①算术平方根一定是正数.
②负数没有算术平方根.
③0的算术平方根是0.
知识点二、算术平方根的性质
特征：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
知识点三、平方根的定义
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
要点诠释：①正数有两个平方根，它们互为相反数.
② 0的平方根是0.
③负数没有平方根
【典型例题】
类型一、算术平方根的概念
1、求下列各数的算术平方根
（1）100 （2）49
64
（3）
2. 计算下列各式的值
（1）√1（2）√9
25
（3）−√0.49
3. 判断下列各式是否有意义？为什么？
（1）-√3（2）√−3（3）√（−3）2
（4）√0
练1、求下列各数的算术平方根
（1）（2）81 （3）32
2.计算下列各式的值
（1）√9（2）√22（3）±√64
81 3.求下列x的取值范围，使得式子有意义. （1）√x（2）√x−1（3）√x2
类型二、算术平方根的比较大小
1、比较下列各组数的大小：
（1）与 （2）与8 类型三、平方根的概念
1、 求下列各数的平方根．
（1）100 （2）4964 （3） (4)32
2.判断下列说法是否正确
（1）0的平方根是0；
（2）1的平方根是1；
（3）-1的平方根是-1；
（4）是的一个平方根.
练 1. 求下列各数的平方根．
（1）49 （2）425 （3） (4)0
2. 判断下列说法是否正确
（1）5是25的算术平方根；
（2）56是2536的一个平方根；
（3）(−4)2的平方根是-4；
（4）0的平凡根与算术平方根都是0. 类型四、解方程
（1）x 2=25；（2）x 2−81=0；（3）25x 2=36．。