乘法公式压轴解答题 人教版八年级数学《整式的乘法与因式分解》单元 (6)
【中考数学】整式乘法与因式分解易错压轴解答题练习题(及答案)
【中考数学】整式乘法与因式分解易错压轴解答题练习题(及答案)一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．[数学实验探索活动]实验材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片.实验目的：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积，写出相应的等式有a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2.问题探索：（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片________张，长方形纸片________张；（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块，可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框3内.2．如图1，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张.（1）用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图2，用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式________；（2）选取1张A型卡片，10张C型卡片，________张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为________；（3）如图3，两个正方形边长分别为m、n，m+n=10，mn=19，求阴影部分的面积. 3．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a²+5ab+2b²可以因式分解为________.（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积.4．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形（1）若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ________ .(只要写出一个即可)（2）请利用(1)中的等式解答下列问题:①若三个实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z= ，x2+4y2+9z2=44，求2xy-3xz-6yz的值5．【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次_一项式ax2+bx+c进行因式分解呢?我们已经知道，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2.反过来，就得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1， a2， c1，c2，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1， c1位于图的上一行，a2， c2位于下一行.像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2×（-3)；然后把1，1，2，-3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解为(x+2)(x-3).（1）请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6=________.（2）【理解与应用】请你仔细体会上述方法，并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：Ⅰ.2x2+5x-7=________；Ⅱ.6x2-7xy+2y2=________ .（3）【探究与拓展】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解.如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：Ⅰ.分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=________ .Ⅱ.若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24 可以分解成两个一次因式的积，求m的值.________Ⅲ.己知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1，请写出一组符合题意的x，y的值.________6．阅读下列材料:对于多项式x2+x-2，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+x-2的值为0，这时可以确定多项式中有因式(x-1):同理，可以确定多项式中有另一个因式(x+2)，于是我们可以得到:x2+x-2=(x-1)(x+2)又如:对于多项式2x2-3x-2，发现当x=2时，2x2-3x-2的值为0，则多项式2x2-3x-2有一个因式(x-2)，我们可以设2x2-3x-2=(x-2)(mx+n)，解得m=2，n=1，于是我们可以得到:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1)请你根据以上材料，解答以下问题:（1）当x=________时，多项式6x2-x-5的值为0，所以多项式6x2-x-5有因式________ ，从而因式分解6x2-x-5=________.（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式.请你尝试用试根法分解多项式:①2x2+5x+3;②x3-7x+6（3）小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想:代数式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3有因式________ ，________ ，________ ，所以分解因式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3= ________。
八年级整式的乘法与因式分解单元试卷(word版含答案)
八年级整式的乘法与因式分解单元试卷（word版含答案）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是( )A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）+1=（28-1）（28+1）+1=216根据21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；···因此可由16÷4=4，所以216的末位为6故选C点睛：此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式；再根据2的n次幂的计算总结规律，从而可得到结果.2．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．【详解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2＝3．故选D．【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．3．已知20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+，则222a b c ab ac bc ++---的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】根据20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+分别求出a-b 、a-c 、b-c 的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.【详解】∵20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+， 20192019201920201a b x x -=+--=-20192019201920212a c x x -=+--=-20192020201920211b c x x -=+--=-∴222a b c ab ac bc ++---2221(222222)2a b c ab ac bc =++--- 2222221(222)2a ab b a ac c b bc c =-++-++-+ 222111()()()222a b a c b c =-+-+- 222111(1)(2)(1)222=⨯-+⨯-+⨯- 11222=++ 3=故选D【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.4．如果多项式29x kx -+能用公式法分解因式，那么k 的值是( )A ．3B ．6C ．3±D ．6±【答案】D【解析】由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式222a ab b ±+，所以236k =±⨯=±.故选D.5．已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=， 246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．无法确定【答案】A【解析】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A．点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．6．下列分解因式正确的是（）A．x2-x+2=x（x-1）+2 B．x2-x=x（x-1）C．x-1=x（1-1x）D．（x-1）2=x2-2x+1【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、x2-x+2=x（x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；B、x2-x=x（x-1），故选项正确；C、x-1=x（1-1x），不是分解因式，故选项错误；D、（x-1）2=x2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．7．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．(a＋1)(a－1)＝a2－1 B．a2－6a＋9＝(a－3)2C．x2＋2x＋1＝x(x＋2x)＋1 D．－18x4y3＝－6x2y2·3x2y【答案】B【解析】【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【详解】A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B、是因式分解，正确．C 、右边不是积的形式，错误；D 、左边是单项式，不是因式分解，错误．故选B ．【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．8．下列因式分解正确的是（ ）A ．()()2444x x x -=+- B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()22212x x x x -+=-+ 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可.【详解】A. ()()2422x x x -=+-，故不正确； B. 221x x +-在实数范围内不能因式分解，故不正确；C. ()()()222x 2x 2=12x 1x 1--=+-，正确； D. ()22212x x x x -+=-+的右边不是积的形式，故不正确； 故选C.【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.9．不论x ，y 为何有理数，x 2+y 2﹣10x+8y+45的值均为（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．非负数【答案】A【解析】【详解】因为x 2+y 2－10x +8y +45=()()225440x y -+++>, 所以x 2+y 2－10x +8y +45的值为正数,故选A.10．小淇用大小不同的 9 个长方形拼成一个大的长方形 ABCD ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．(a + 1)(b + 3)B ．(a + 3)(b + 1)C ．(a + 1)(b + 4)D ．(a + 4)(b + 1)【答案】B【解析】【分析】 通过平移后，根据长方形的面积计算公式即可求解.【详解】 平移后，如图，易得图中阴影部分的面积是(a+3)(b+1).故选B.【点睛】本题主要考查了列代数式.平移后再求解能简化解题.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．设123,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11a =，2214(1)(1)nn n a a a ，则2018a =___________.【答案】4035【解析】【分析】()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---整理得()()22n n 1a 1a 1++=-，从而可得a n+1-a n =2或a n =-a n+1，再根据题意进行取舍后即可求得a n 的表达式，继而可得a 2018.【详解】∵()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---，∴()()22n n n 14a a 1a 1++-=-，∴()()22n n 1a 1a 1++=-，∴a n +1=a n+1-1或a n +1=-a n+1+1，∴a n+1-a n =2或a n =-a n+1，又∵123a ,a ,a ⋯⋯是一列正整数，∴a n =-a n+1不符合题意，舍去，∴a n+1-a n =2，又∵a 1=1，∴a 2=3，a 3=5，……，a n =2n-1，∴a 2018=2×2018-1=4035，故答案为4035.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n =2.12．多项式18x n+1-24x n 的公因式是_______.【答案】6x n【解析】运用公因式的概念，找出系数的最大公约数是6，相同字母的最低指数次幂是x n ，可得公因式为6x n ．故答案为：6x n.13．如果实数a ，b 满足a +b ＝6，ab ＝8，那么a 2+b 2＝_____．【答案】20【解析】【分析】【详解】∵6,a b +=∴222()236,a b a ab b +=++=∵ab=8，∴22a b +=36-2ab=36-2×8=20.【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.14．已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，则22x y +=__________.【答案】40【解析】【分析】根据22x y xy 96+=可知xy(x+y)=96，由x 、y 是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96 可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x 、y 的值，根据x 、y 的值求得答案即可.【详解】∵22x y xy 96+=，∴xy(x+y)=96，∵x 、y 为正偶数，xy≥4，x+y≥4，∴96=2⨯2⨯2⨯2⨯2⨯3=6⨯16=8⨯12=4⨯24当xy(x+y)= 4⨯24时，无解，当xy(x+y)= 6⨯16时，无解，当xy(x+y)=8⨯12时，x+y=8，xy=12，解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，∴x 2+y 2=22+62=40.故答案为：40【点睛】本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.15．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2=_____．【答案】0【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a ，b 互为相反数，∴a+b=0，∴a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）=0，故答案为0．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．16．若(x+p)与(x+5)的乘积中不含x 的一次项，则p ＝_____．【答案】-5【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a +b ）（m +n ）＝am +an +bm +bn 计算，再根据乘积中不含x 的一次项，得出它的系数为0，即可求出p 的值．【详解】解：（x +p ）（x +5）＝x 2+5x +px +5p ＝x 2+（5+p ）x +5p ，∵乘积中不含x 的一次项，∴5+p ＝0，解得p ＝﹣5，故答案为：﹣5．17．长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，则a 2b +ab 2的值为_____．【答案】70．【解析】【分析】由周长和面积可分别求得a+b 和ab 的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab （a+b ），代入可求得答案【详解】∵长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，∴a+b=142=7，ab=10， ∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=10×7=70，故答案为：70．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为ab （a+b ）是解题的关键．18．若21x x +=，则433331x x x +++的值为_____．【答案】4【解析】【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．【详解】∵21x x +=，∴()43222233313313313()1314x x x xx x x x x x x +++=+++=++=++=+=； 故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．19．分解因式：3x 2-6x+3=__．【答案】3(x-1)2【解析】【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】()()222-+=-+=-.36332131x x x x x故答案是：3(x-1)2.【点睛】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．20．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为________．【答案】12【解析】原式=2（m2+2mn+n2）-6，=2（m+n）2-6，=2×9-6，=12．。
人教版八年级上册数学第14章《整式的乘法与因式分解》单元测试卷(Word版,含答案)
人教版八年级上册数学第14章《整式的乘法与因式分解》单元测试卷题号一二三总分19 20 21 22 23 24分数一、选择题(每题3分，共30分)1.计算(-2a2b)3的结果是()A. -6a6b3B. -8a6b3C. 8a6b3D. -8a5b32.计算的结果是A. a7B. a8C. a10D. a113．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )A．(3－x)(3＋x)＝9－x2B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)24．下列多项式中，不能因式分解的是（）A．a3﹣a B．a2﹣9 C．a2+2a+2 D．a2+a+1 5．若x+y＝1且xy＝﹣2，则代数式（1﹣x）（1﹣y）的值等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．26．若x2+6x+p＝（x﹣q）2，则p，q的值分别为（）A．6，6 B．9，﹣3 C．3，﹣3 D．9，37．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．18．20042-2003×2005的计算结果是（）A．1 B．-1 C．0 D．2×20042-19. 将代数式2x+4x-1化成()2x+p+q的形式为（）A．（x-2）2+3 B．（x+2）2-4C．（x+2）2 -5 D．（x+2）2+410．下列各式，能够表示图中阴影部分的面积的是（）①ac+（b﹣c）c；②ac+bc﹣c2；③ab﹣（a﹣c）（b﹣c）；④（a﹣c）c+（b﹣c）c+c2A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．①二、填空题(每题3分，共24分)11．把多项式2a 2b ﹣18b 分解因式的结果是 ． 12．若ab ＝﹣2，a 2+b 2＝5，则（a ﹣b ）2的值为 ． 13．已知：x +＝3，则x 2+＝ ．14.若(m+1)0=1，则实数m 应满足的条件 ． 15.若(x+2)(x −6)=x 2+px+q ，则p+q= ． 16.等式(a+b)2=a 2+b 2成立的条件为 ．17.若x 2−(m −1)x+36是一个完全平方式，则m 的值为 ．18．如图，边长为（m +n ）的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为n ，则另一边长是 ．三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分) 19．计算： (1)(－1)2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 2－(3.14－π)0； (2)(2x 3y )2·(－2xy )＋(－2x 3y )3÷2x 2；(3)(2x －3)2－(2x ＋3)(2x －3);。
人教版八年级上册各章节压轴题解析 整式的乘法与因式分解
整式的乘法与因式分解【知识脉络】【基础知识】1．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3 a2 b2×2abc=（3×2）×（a2 b2 ×abc）=6 a3 b3c2．单项式与多项式的乘法法则： a(b+c+d)= ab + ac + ad单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．3．多项式与多项式的乘法法则：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．4．乘法公式：①完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．5．因式分解（难点）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．一、掌握因式分解的定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2【典例解析】例题1：数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：（a﹣1）（b﹣2）．现将数对（m，1）放入其中，得到数n，再将数对（n，m）放入其中后，最后得到的数是 ﹣m2+2m ．（结果要化简）【考点】整式的混合运算．【分析】根据题意的新定义列出关系式，计算即可得到结果．解：根据题意得：（m﹣1）（1﹣2）=n，即n=1﹣m，则将数对（n，m）代入得：（n﹣1）（m﹣2）=（1﹣m﹣1）（m﹣2）=﹣m2+2m．故﹣m2+2m【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．例题2：乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是 a+b ，宽是 a﹣b ，面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1： （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 公式2： a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） （4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．【考点】平方差公式的几何背景．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；反过来也成立；（4）把10.3×9.7写成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；故a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）故（a+b）（a﹣b），a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91．例题3：如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（ ）A．b2+（b﹣a）2 B． b2+a2 C．（b+a）2 D． a2+2ab考点：勾股定理．分析：先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可．解答：解：∵DE=b﹣a，AE=b，∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）•b=b2+（b﹣a）2．故选：A．点评:本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．例题4：如图1，我们在2017年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为10×12﹣4×18=48，再选择其他位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 24 ．（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2017，则这个十字星中心的数为 975 （直接写出结果）．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1），理由为：设十字星中心的数为x，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据相应的“十字差”为2017求出a的值即可．解：（1）根据题意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；故24；（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，故这个定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据题意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）=2017，解得：a=975．故975．【跟踪训练】1.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式 ．2.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？3.已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是（ ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形4.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题[2016年1月份的日历]日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）计算：（12+92）﹣（22+82）= ，自己任选一个有4个数的方框进行计算 （2）通过计算你发现什么规律，并说明理由．5.已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．6. 已知，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值为 ．7. ①一个多项式除以2m得1﹣m+m2，这个多项式为 ．② ÷（2x+3）=（3x﹣2）．③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．若小玉报的是3a2b﹣ab2，则小丽报的是 ；若小丽报的是9a2b，则小玉报的整式是 ．④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为（a+b）cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为 m．8. 阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．答案：1.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式 a2+2ab+b2=（a+b）2 ．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】根据提示可知1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解．解：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，所以a2+2ab+b2=（a+b）2．【点评】本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．2.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？【考点】多项式乘多项式．【分析】根据长乘以宽，表示出大长方形的面积，即可确定出三类卡片的张数．解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张．3.已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是（ ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【考点】因式分解的应用．【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，即（a﹣b）（a+b﹣c）=0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b=0，即a=b，则△ABC为等腰三角形．故选：C．4.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题[2016年1月份的日历]日一二三四五六123456789 10111213141516 17181920212223 2425262728293031（1）计算：（12+92）﹣（22+82）= 14 ，自己任选一个有4个数的方框进行计算 14 （2）通过计算你发现什么规律，并说明理由．【考点】整式的混合运算．【分析】（1）先算乘法，再合并即可；（2）设最小的数字为n，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，根据题意得出算式[n2+（n+8）2]﹣[（n+1）2+（n+7）2]，求出即可．解：（1）（12+92）﹣（22+82）=1+81﹣4﹣64=14，（32+112）﹣（42+102）=9+121﹣16﹣100=14，故14；（2）计算结果等于14，理由是：设最小的数字为n，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，所以[n2+（n+8）2]﹣[（n+1）2+（n+7）2]=n2+n2+16n+64﹣n2﹣2n﹣1﹣n2﹣14n﹣49=14．5.已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．【考点】完全平方公式．【分析】根据完全平方公式即可求出答案．解：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，∴25=x2+y2+，∴x2+y2=∵（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，∴（x﹣y）2=﹣=16∴x﹣y=±46. 已知，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值为 1 ．考点：因式分解-运用公式法．分析：首先利用完全平方公式展开进而合并同类项，再将已知代入求出即可．解答：解：∵（a+b）2﹣（a﹣b）2=（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣2ab+b2）=4ab，∴将，代入上式可得：原式=4ab=4××=1．故1．点评：此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．7. ①一个多项式除以2m得1﹣m+m2，这个多项式为 2m﹣2m2+2m3 ．② 6x2+5x﹣6 ÷（2x+3）=（3x﹣2）．③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．若小玉报的是3a2b﹣ab2，则小丽报的是 a﹣b ；若小丽报的是9a2b，则小玉报的整式是 27a3b2 ．④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为（a+b）cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为 a+c m．考点：整式的混合运算．分析：①利用2m乘1﹣m+m2计算即可；②把除式和商相乘即可；③根据被除式÷商=除式，被除式=除式×商列式计算即可；④利用4块土地换成一块地后的面积与原来4块地的总面积相等，而原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，得到4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，又此块地的宽为（a+b）米，根据矩形的面积公式得到此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b），把被除式分解后再进行除法运算即可得到结论．解答：解：①2m（1﹣m+m2）=2m﹣2m2+2m3；②（2x+3）（3x﹣2）=6x2+5x﹣6；③（3a2b﹣ab2）÷3ab=a﹣b，3ab•9a2b=27a3b2；④∵原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，∴将这4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，而此块地的宽为（a+b）米，∴此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b）=（a2+ac+bc+ab）÷（a+b）=[a（a+c）+b（a+c）÷（a+b）]=（a+b）（a+c）÷（a+b）=a+c．故2m﹣2m2+2m3；6x2+5x﹣6；a﹣b，27a3b2；a+c．点评：此题考查整式的混合运算，掌握计算方法是解决问题的关键．8. 阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．考点：因式分解的应用．专题：阅读型．分析：（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．解答：解：（1）m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥．则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5．点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．。
《整式的乘法与因式分解》单元测试带答案
∴多项式x2－9与x2－6x＋9有相同的因式是：x-3．
考点：公因式．
18.若实数a、b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－10，则ab的值是_______．
【答案】－2
【解析】
【分析】
先提取公因式ab，整理后再把a+b的值代入计算即可．
【解析】
【分析】
根据单项式乘单项式法则计算逐一分析即可.
【详解】解:A. 3ab·3ac＝9a2bc,故此答案不正确;
B. 4a2b·4b2a＝16a3b3,故此答案不正确;
C. 2x2·7x2＝14x4,故此答案不正确;
D. 3y2·2y2＝6y4,故此答案正确;
故选:D.
【点睛】本题考查了单项式乘单项式,掌握单项式乘单项式法则是解决问题的关键.
C.x2-x =" x(x-1)"D. 2a(b+c)=2ab+2ac
6.如果（x+1）(5x+a) 乘积中不含x的一次项,则a为（）
A.5B.－5C. D.
7.多项式a2－9与a2－3a的公因式是（ ）
A. a＋3B. a－3C. a＋1D. a－1
8.通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（）
(2)请写出三个代数式(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的一个等量关系：___________________________；
问题解决：根据上述(2)中得到的等量关系，解决下列问题：已知x＋y＝8，xy＝7，求x－y的值．
26.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：
人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解(篇)(Word版 含解析)
解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，
故答案为：19；
（2） 所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1，
故答案为：1；
（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，则（x2-3x+1）（x2+mx+2）=x4+ax2+bx+2，
4．阅读下列解题过程，再解答后面的题目.
例题：已知 ，求 的值.
解：由已知得
即
∵ ，
∴有 ，解得
∴ .
题目：已知 ，求 的值.
【答案】-
【解析】
【分析】
先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求出xy的值．
【详解】
解：将 ，
化简得 ，
即 ．
∵ ， ，且它们的和为0，
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算 所得多项式的一次项系数为____________________.
(2)计算 所得多项式的一次项系数为_____________.
(3)若 是 的一个因式，求 、 的值.
【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．
【解析】
【ห้องสมุดไป่ตู้析】
（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a、一次项系数为b列出方程组求出a、b的值，可得答案．
人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解(篇)(Word版 含解析)
人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解（篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（ ） A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣1【答案】C【解析】【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2＝（x 2﹣4xy +4y 2）+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x ﹣2y +1）．故选：C ．【点睛】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y ），将其当成整体提出，进而得到答案.2．把多项式2425m -分解因式正确的是（ ）A ．(45)(45)m m +-B ．(25)(25)m m +-C ．(5)(5)m m -+D ．(5)(5)m m m -+【答案】B【解析】利用公式法分解因式的要点，根据平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，分解因式为：()()()222425252525m m m m -=-=+-.故选B.3．利用平方差公式计算(25)(25)x x ---的结果是A ．245x -B ．2425x -C ．2254x -D ．2425x + 【答案】C【解析】【分析】平方差公式是（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2.【详解】解：()()()()()2225252525425254x x x x x x ---=--+=--=-，【点睛】本题考查了平方差公式，应牢记公式的形式.4．已知48-可以被在0～10之间的两个整数整除，则这两个数是（）21A．1、3 B．3、5 C．6、8 D．7、9【答案】D【解析】248－1=(224+1)(224－1)= (224+1)(212+1)(212－1)= (224+1)(212+1)(26+1)(26－1)=(224+1)(212+1)(26+1)(23+1) (23－1) , 23+1=9, 23－1=7,所以这两个数是7、9.故选D.点睛：平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）.2x的结果是（）5．化简()2A．x4B．2x2C．4x2D．4x【答案】C【解析】【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．【详解】(2x)²=2²·x²=4x²，故选C.【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则.6．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是( )A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2【答案】B【解析】图（4）中，∵S正方形=a2-2b（a-b）-b2=a2-2ab+b2=（a-b）2，∴（a-b）2=a2-2ab+b2．7．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）A．a2+2ab+b2=（a+b）2B．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2C．4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2【答案】C【解析】【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．【详解】∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．故选C．8．若33×9m=311，则m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，可得关于m的方程，解方程即可求得答案.【详解】∵33×9m=311，∴33×(32)m=311，∴33+2m=311，∴3+2m=11，∴2m=8，解得m=4，故选C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键．9．下列因式分解正确的是（ ）A ．()()2444x x x -=+- B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()22212x x x x -+=-+ 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可.【详解】A. ()()2422x x x -=+-，故不正确； B. 221x x +-在实数范围内不能因式分解，故不正确；C. ()()()222x 2x 2=12x 1x 1--=+-，正确； D. ()22212x x x x -+=-+的右边不是积的形式，故不正确； 故选C.【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.10．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．()()2224x x x +-=-B ．2222()a ab b a b -+=-C ．()11am bm m a b +-=+-D ．()21(1)1111x x x x ⎛⎫--=--- ⎪-⎝⎭【答案】B【解析】【分析】 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．【详解】A ．属于整式的乘法运算，不合题意；B ．符合因式分解的定义，符合题意；C ．右边不是乘积的形式，不合题意；D ．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的关键．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货A 和B ，已知A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了A 、B 各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A 和B 的单价看反了，那么小明实际总共买了______件年货.【答案】22【解析】【分析】设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，根据题意列出方程组130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩，将两个方程相加得到(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，分解因式得()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，由A 和B 的单价总和是100到200之间的整数得到()(1)12921a b x y ++-=⨯，由此求得答案.【详解】设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩， ∴(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，∴()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，∵A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，即100a b 200<+<，∴()(1)12921a b x y ++-=⨯，即129a b +=， 121x y +-=，∴x+y=22，故答案为：22.【点睛】此题考查因式分解，设未知数列出方程组后将两个方程相加再因式分解是关键的步骤，根据A 和B 的单价总和确定出x+y 的值.12．在实数范围内因式分解：231x x +-=____________【答案】3322x x ⎛⎫⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】利用一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可.【详解】令2310x x +-=∴1x =2x =∴231x x +-=x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭故答案为：x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，利用一元二次方程的解法即可解答，熟练掌握相关知识点是解题关键.13．（1）已知32m a =，33n b =，则()()332243mn m n m a b a b a +-⋅⋅=______． （2）对于一切实数x ，等式()()212x px q x x -+=+-均成立，则24p q -的值为______．（3）已知多项式2223286x xy y x y +--+-可以分解为()()22x y m x y n ++-+的形式，则3211m n +-的值是______． （4）如果2310x x x +++=，则232016x x x x +++⋅⋅⋅+=______．【答案】（1）5-; （2）9; （3）78-; （4）0. 【解析】【分析】（1）根据积的乘方和幂的乘方，将32m a =整体代入即可；（2）将等式后面部分展开，即可求出p 、q 的值，代入即可；（3）根据多项式乘法法则求出()()22x y m x y n ++-+，即可得到关于m 、n 的方程组，解之即可求得m 、n 、的值，代入计算即可；（4）4个一组提取公因式，整体代入即可.【详解】（1）32m a =，33n a =，()()()()332222343333m n m n m m n m n a b a b a a b a b ∴+-⋅⋅=+-22232343125=+-⨯=+-=-（2）222x px q x x -+=--对一切实数x 均成立，1p ∴=，2q =-249p q ∴-= （3）()()222223286x y m x y n x xy y x y ++-+=+--+-，()()22222322223286x xy y m n x n m y mn x xy y x y ∴+-+++-+=+--+- 21,28,6,m n n m mn +=-⎧⎪∴-=⎨⎪=-⎩解得2,3.m n =-⎧⎨=⎩321718m n +∴=-- （4）2310x x x +++=，232016x x x x ∴+++⋅⋅⋅+()()2320132311x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅++++000=+⋅⋅⋅+=故答案为： −5；9；78-；0. 【点睛】本题主要考察幂的运算及整式的乘法，掌握其运算法则是关键.14．计算：=_____． 【答案】1【解析】【分析】根据平方差公式可以使本题解答比较简便.【详解】解：====1.【点睛】本题应根据数字特点，灵活运用运算定律会或运算技巧，灵活简算.15．已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，则22x y +=__________.【答案】40【解析】【分析】根据22x y xy 96+=可知xy(x+y)=96，由x 、y 是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96 可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x 、y 的值，根据x 、y 的值求得答案即可.【详解】∵22x y xy 96+=，∴xy(x+y)=96，∵x 、y 为正偶数，xy≥4，x+y≥4，∴96=2⨯2⨯2⨯2⨯2⨯3=6⨯16=8⨯12=4⨯24当xy(x+y)= 4⨯24时，无解，当xy(x+y)= 6⨯16时，无解，当xy(x+y)=8⨯12时，x+y=8，xy=12，解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，∴x 2+y 2=22+62=40.故答案为：40【点睛】本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.16．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．【答案】xy （x ﹣1）2【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式=xy （x 2-2x+1）=xy （x-1）2．故答案为：xy （x-1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．分解因式：4ax 2-ay 2=________________.【答案】a （2x+y ）（2x-y ）【解析】【分析】首先提取公因式a ，再利用平方差进行分解即可．【详解】原式=a （4x 2-y 2）=a （2x+y ）（2x-y ），故答案为a （2x+y ）（2x-y ）．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．18．有两个正方形A ，B ，现将B 放在A 的内部得图甲，将A ，B 并列放置后构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A ，B 的面积之和为______．【答案】13【解析】【分析】设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，由图形得出关系式求解即可．【详解】解：设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，由图甲得a 2﹣b 2﹣2（a ﹣b ）b=1即a 2+b 2﹣2ab=1，由图乙得（a+b ）2﹣a 2﹣b 2=12，2ab=12，所以a 2+b 2=13，故答案为13．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．19．若21x x +=，则433331x x x +++的值为_____．【答案】4【解析】【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．【详解】∵21x x +=，∴()43222233313313313()1314x x x xx x x x x x x +++=+++=++=++=+=； 故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．20．已知(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)-----可分解因式为(3x a)(x b)++，其中a 、b 均为整数，则a 3b +=_____.【答案】31-．【解析】首先提取公因式3x ﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a 、b 的值，从而可算出a+3b 的值：∵()()()()(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)3x 72x 21x 133x 7x 8-----=---+=--， ∴a=－7，b=－8．∴a 3b 72431+=--=-．。
人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》测试卷(含答案)
人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》测试卷（含答案）一、选择题(每小题3分，共30分)1.下列计算正确的是( )A.x+x²=x³B.x²・x³=x6C.(x³)²=x6D.x9÷x³=x³2.若12x m y2与13x3y n是同类项,则m,n的值为( )A.m=3,n=2B.m=2,n =3C.m=-3.n=2D.m=-2,n=33.下列因式分解不完全的是( )A.a²-2ab+b²=(a-b)²B.a³-a =a (a²-1)C.a²b-ab²=ab(a-b)D.a²-b²=(a+b)(a-b)4.已知(a +b)²=(a-b)²+M,则M为( )A.abB.2abC.-2abD.4ab5.下列多项式乘法中,能运用平方差公式的是()A.(a-b)(a-b)B.(a-b)(-a+b)C.(a+b)(-a+b)D.(a-b)(b-a)6.如果(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为( )A.-3B.3C.0D.17.如图的图形面积由以下哪个公式表示( )A.a²-b²=a(a-b)+b(a-b)B.(a-b)²=a²-2ab+b²C.(a+b)²=a²+2ab+b²D.a²-b²=(a+b)(a-b)8.若△ABC的三边a,b,c满足a²+b²+c²-ab-bc-ca=0,则△ABC是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形9.下列计算:①3a+2b=5ab;②3x³×(-2x²)=-6x5;③4a³b÷(-2a²b)=-2a;④(-a²)³=a6;⑤(-a)³÷(-a)=-a².其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4 个10.已知x+y=6,xy=8,下列结论:①(x+y)²=36;②x²+y²=20;③x-y=2;④x²y²=12.其中正确的是( )A.①②③④B.①②④C.①②D.①③④二、填空题(每小题3分,共18分)11.x平方x²+y²+2x-6y+10=0,则x・y=_________12.当x______时,(x-3)0=1.13.若x²+2(m-3)x+16是一个完全平方式,那么m应为_________.14.若x-1x =1,则x²+1x2的值是__________.15.观察下列关于自然数的等式:①3²-4X1²=5;②5²-4X2²=9;③7²-4X3²=13.根据上述规律解决下列问题:(1)完成第四个等式:____________________;(2)写出你猜想的第n个等式_____________________(用含n的式子表示).16.已知a,b满足等式x=a²+b²+5,y=2(2b-a),则x,y的大小关系为______________.三、解答题(72分)17.(10分)计算下列各题.(1)-2a²bx(−12ab2)x(-abc);(2)(5x-3)(-5x-3)-(5x+3)²+(5x-3)².18.(12分)分解因式。
初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题知识点： 1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()nm mn a a =⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考题：一．选择题（共12小题）面积为（）A．（2a2+5a）cm2B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2二．填空题（共13小题）13．分解因式：3x2﹣27= ．14．分解因式：a2﹣1= ．15．因式分解：x2﹣9y2= ．16．分解因式：x3﹣4x= ．17．因式分解：a3﹣ab2= ．18．分解因式：x2+6x+9= ．19．分解因式：2a2﹣4a+2= ．20．分解因式：x3﹣6x2+9x= ．21．分解因式：ab2﹣2ab+a= ．22．分解因式：2a3﹣8a2+8a= ．23．分解因式：3a2﹣12ab+12b2= ．24．若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n= ．25．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．三．解答题（共15小题）26．计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）27．若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．28．已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b2．29．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．30．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．31．若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．32．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．33．（2a+b+1）（2a+b﹣1）34．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．35．分解因式：（1）a4﹣16；（2）x2﹣2xy+y2﹣9．36．分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．37．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．38．因式分解（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；（2）（a2+1）2﹣4a2．39．因式分解：（1）3x﹣12x3（2）6xy2+9x2y+y3．40．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2015•甘南州）下列运算中，结果正确的是（）A．x3•x3=x6 B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y2【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、合并同类项得到结果，即可做出判断；C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、x3•x3=x6，本选项正确；B、3x2+2x2=5x2，本选项错误；C、（x2）3=x6，本选项错误；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，本选项错误，故选A【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．2．（2008•南京）计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5 D．a3b6【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．【解答】解：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b6．故选D．【点评】本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．3．（2011•呼和浩特）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x6【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．【解答】解：2x2•（﹣3x3），=2×（﹣3）•（x2•x3），=﹣6x5．故选：A．【点评】本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．4．（2005•茂名）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．【解答】解：A、是多项式乘法，故A选项错误；B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B选项错误；C、提公因式法，故C选项正确；D、右边不是积的形式，故D选项错误；故选：C．【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．5．（2017春•薛城区期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；D、﹣x2+9=﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．6．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．7．（2009•眉山）下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）2【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．【解答】解：A、是平方差公式，故A选项正确；B、是完全平方公式，故B选项正确；C、是提公因式法，故C选项正确；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．8．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选：A．【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．9．（2016秋•南漳县期末）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m 的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m=0，解得m=﹣3．故选：A．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．10．（2009•内江）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．11．（2013•枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2D．a2﹣b2【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b=a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．12．（2012•枣庄）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）A．（2a2+5a）cm2B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2【分析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积，据此即可求解．【解答】解：矩形的面积是：（a+4）2﹣（a+1）2=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）=3（2a+5）=6a+15（cm2）．故选B．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是关键．二．填空题（共13小题）13．（2015•黄石）分解因式：3x2﹣27= 3（x+3）（x﹣3）．【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．【解答】解：3x2﹣27，=3（x2﹣9），=3（x+3）（x﹣3）．故答案为：3（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．14．（2013•上海）分解因式：a2﹣1= （a+1）（a﹣1）．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．故答案为：（a+1）（a﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．15．（2013•邵阳）因式分解：x2﹣9y2= （x+3y）（x﹣3y）．【分析】直接利用平方差公式分解即可．【解答】解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．16．（2017•大庆）分解因式：x3﹣4x= x（x+2）（x﹣2）．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．17．（2016•乐山）因式分解：a3﹣ab2= a（a+b）（a﹣b）．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．18．（2013•三明）分解因式：x2+6x+9= （x+3）2．【分析】直接用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2+6x+9=（x+3）2．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键．19．（2017•咸宁）分解因式：2a2﹣4a+2= 2（a﹣1）2．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2．故答案为：2（a﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．（2015•西藏）分解因式：x3﹣6x2+9x= x（x﹣3）2．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：x3﹣6x2+9x，=x（x2﹣6x+9），=x（x﹣3）2．故答案为：x（x﹣3）2．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．21．（2008•大庆）分解因式：ab2﹣2ab+a= a（b﹣1）2．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：ab2﹣2ab+a，=a（b2﹣2b+1），=a（b﹣1）2．【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．22．（2013•安顺）分解因式：2a3﹣8a2+8a= 2a（a﹣2）2．【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：2a3﹣8a2+8a，=2a（a2﹣4a+4），=2a（a﹣2）2．故答案为：2a（a﹣2）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．23．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2= 3（a﹣2b）2．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．【解答】解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．故答案为：3（a﹣2b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．24．（2013•内江）若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n= 3 ．【分析】将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n 的值．【解答】解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，故m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．25．（2014•西宁）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为70 ．【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．【解答】解：∵a+b=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．故答案为：70．【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．三．解答题（共15小题）26．（2006•江西）计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）【分析】利用完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项．【解答】解：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x），=x2﹣2xy+y2﹣（y2﹣4x2），=x2﹣2xy+y2﹣y2+4x2，=5x2﹣2xy．【点评】本题考查完全平方公式，平方差公式，属于基础题，熟记公式是解题的关键，去括号时要注意符号的变化．27．（2013春•苏州期末）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式，运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可．【解答】解：4x•32y=22x•25y=22x+5y∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=23=8．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．28．（2009•十堰）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b2．【分析】（1）把代数式提取公因式ab后把a+b=3，ab=2整体代入求解；（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解．【解答】解：（1）a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6；（2）∵（a+b）2=a2+2ab+b2∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab，=32﹣2×2，=5．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3，ab=2整体代入解答．29．（2015•张家港市模拟）若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【分析】（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；（2）先变形，再整体代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，∴xy+2x+2y+4=12，∴xy+2（x+y）=8，∴xy+2×3=8，∴xy=2；（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+3xy+y2=（x+y）2+xy=32+2=11．【点评】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．30．（2014秋•德惠市期末）先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2=﹣20a2+9a，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．【点评】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．31．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．【分析】根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．【解答】解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；把a=1代入=1+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．32．（2012春•郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．33．（2011春•乐平市期中）（2a+b+1）（2a+b﹣1）【分析】把（2a+b）看成整体，利用平方差公式和完全平方公式计算后整理即可．【解答】解：（2a+b+1）（2a+b﹣1），=（2a+b）2﹣1，=4a2+4ab+b2﹣1．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，构造成公式结构是利用公式的关键，需要熟练掌握并灵活运用．34．（2009•贺州）分解因式：x3﹣2x2y+xy2．【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2），=x（x﹣y）2．【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，本题难点在于要进行二次分解．35．（2011•雷州市校级一模）分解因式：（1）a4﹣16；（2）x2﹣2xy+y2﹣9．【分析】（1）两次运用平方差公式分解因式；（2）前三项一组，先用完全平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式进行分解．【解答】解：（1）a4﹣16=（a2）2﹣42，=（a2﹣4）（a2+4），=（a2+4）（a+2）（a﹣2）；（2）x2﹣2xy+y2﹣9，=（x2﹣2xy+y2）﹣9，=（x﹣y）2﹣32，=（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）．【点评】（1）关键在于需要两次运用平方差公式分解因式；（2）主要考查分组分解法分解因式，分组的关键是两组之间可以继续分解因式．36．（2008春•利川市期末）分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．【分析】显然只需将y﹣x=﹣（x﹣y）变形后，即可提取公因式（x﹣y），然后再运用平方差公式继续分解因式．【解答】解：x2（x﹣y）+（y﹣x），=x2（x﹣y）﹣（x﹣y），=（x﹣y）（x2﹣1），=（x﹣y）（x﹣1）（x+1）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．37．（2009秋•三台县校级期末）分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．【分析】（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．38．（2009春•扶沟县期中）因式分解（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；（2）（a2+1）2﹣4a2．【分析】（1）先提取公因式﹣8a，再用完全平方公式继续分解．（2）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2，=﹣8a（x2﹣2xy+y2），=﹣8a（x﹣y）2；（2）（a2+1）2﹣4a2，=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a），=（a+1）2（a﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．39．（2011秋•桐梓县期末）因式分解：（1）3x﹣12x3（2）6xy2+9x2y+y3．【分析】（1）先提取公因式3x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．．【解答】解：（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）；（2）6xy2+9x2y+y3=y（6xy+9x2+y2）=y（3x+y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．40．（2003•黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．【分析】先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．【解答】解：原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴﹣a（x+y）=±2×5•（x+y），解得a=±10．【点评】本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要．。
人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解(篇)(Word版 含解析)
人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解（篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 1．对二次三项式4x 2﹣6xy ﹣3y 2分解因式正确的是（ ）A ．3213214()()44x y x y +-++B ．2132134()()44x y x y +--- C ．(321)(321)x y y x y y ---+D ．321213(2)(2)22x y x y -+-- 【答案】D【解析】【分析】【详解】解：4x 2﹣6xy ﹣3y 2=4[x 2﹣32xy +（34y ）2]﹣3y 2﹣94y 2 =4（x ﹣34y ）2﹣214y 2 =（2x ﹣32y ﹣212y ）（2x ﹣32y +212y ） =（2x ﹣3212+y ）（2x ﹣3212-） 故选D ．【点睛】本题主要是用配方法来分解因式，但本题的计算，分数，根式多，所以学生还是很容易出错的，注意计算时要细心．2．在矩形ABCD 中，AD =3，AB =2，现将两张边长分别为a 和b （a ＞b ）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2．则S 1﹣S 2的值为（ ）A ．-1B ．b ﹣aC ．-aD ．﹣b【答案】D【分析】利用面积的和差分别表示出S 1、S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差.【详解】∵1()()()(2)(2)(3)S AB a a CD b AD a a a b a =-+--=-+--2()()()2(3)()(2)S AB AD a a b AB a a a b a =-+--=-+--∴21S S -=(2)(2)(3)a a b a -+--2(3)()(2)a a b a -----32b b b =-+=-故选D.【点睛】本题考查了整式的混合运算，计算量比较大，注意不要出错，熟练掌握整式运算法则是解题关键.3．已知a 与b 互为相反数且都不为零，n 为正整数，则下列两数互为相反数的是( ) A ．a 2n －1与－b 2n －1 B ．a 2n －1与b 2n －1 C ．a 2n 与b 2n D ．a n 与b n【答案】B【解析】已知a 与b 互为相反数且都不为零，可得a 、b 的同奇次幂互为相反数，同偶次幂相等，由此可得选项A 、C 相等，选项B 互为相反数，选项D 可能相等，也可能互为相反数，故选B.4．因式分解x 2－ax ＋b ，甲看错了a 的值，分解的结果是(x ＋6)(x －1)，乙看错了b 的值，分解的结果为(x －2)(x ＋1)，那么x 2＋ax ＋b 分解因式正确的结果为（ ）A ．(x －2)(x ＋3)B ．(x ＋2)(x －3)C ．(x －2)(x －3)D ．(x ＋2)(x ＋3)【答案】B【解析】【分析】【详解】因为(x ＋6)(x －1)=x 2+5x-6，所以b=-6；因为(x －2)(x ＋1)=x 2-x-2，所以a=1.所以x 2-ax ＋b=x 2-x-6=(x-3)(x+2).故选B.点睛：本题主要考查了多项式的乘法和因式分解，看错了a ，说明b 是正确的，所以将看错了a 的式子展开后，可得到b 的值，同理得到a 的值，再把a ，b 的值代入到x 2＋ax ＋b 中分解因式.5．下列计算正确的是（ ）A ．224a a a +=B ．352()a a =C ．527a a a ⋅=D ．2222a a -=【答案】C【详解】解：A. 222a a 2a +=，故A 错误；B. ()326a a =，故B 错误；C. 527a a a ⋅=，正确；D. 2222a a a -=，故D 错误；故选C6．如果是个完全平方式，那么的值是（ ） A ．8 B ．-4 C ．±8 D ．8或-4【答案】D【解析】试题解析：∵x 2+（m -2）x +9是一个完全平方式，∴（x ±3）2=x 2±2(m -2)x +9，∴2(m -2)=±12，∴m =8或-4．故选D ．7．下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．8．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为()2a b +，则宽为（ ）A ．12 B ．1 C ．()12a b + D ．+a b【答案】C【解析】【分析】用长方形的面积除以长可得.【详解】宽为:()()()()22222a ab ab b a b a b a b +++÷+=+÷+= ()12a b +故选：C【点睛】考核知识点：整式除法与面积.掌握整式除法法则是关键.9．观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x +a ）（x +b ）=x 2-7x +12，则a ，b 的值可能分别是（）A ．3-，4-B ．3-，4C ．3，4-D ．3，4【答案】A【解析】【分析】根据题意可得规律为712a b ab +=-⎧⎨=⎩，再逐一判断即可.【详解】根据题意得，a ，b 的值只要满足712a b ab +=-⎧⎨=⎩即可，A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.故答案选A.【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.10．下列式子从左至右的变形，是因式分解的是（ ）A ．21234x y x xy -=B ．11(1)x x x -=-C ．2221(1)x x x -+=-D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的意义进行判断即可．【详解】因式分解是指将一个多项式化为几个整式的积的形式．A ．21234x y x xy -=，结果是单项式乘以单项式，不是因式分解，故选项A 错误；B ．11(1)x x x-=-，结果应为整式因式，故选项B 错误；C ．2221(1)x x x -+=-，正确；D ．22()()a b a b a b +-=-是整式的乘法运算，不是因式分解，故选项D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，涉及完全平方公式，本题属于基础题型．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____．【答案】27【解析】【分析】把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．【详解】解：将x a =代入2269x x k ++=-，得：2269a a k ++=-移项得：2269a a k ++=-22(3)a k ∴+=-2(3)0a +，20k -30a ∴+=，即3a =-，0k =x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=故答案为：27【点睛】本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键．12．x+1x＝3，则x 2+21x ＝_____． 【答案】7【解析】【分析】 直接利用完全平方公式将已知变形，进而求出答案．【详解】解：∵x +1x ＝3， ∴（x +1x ）2＝9， ∴x 2+21x +2＝9， ∴x 2+21x ＝7． 故答案为7．【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．13．已知（a ﹣2016）2+（2018﹣a ）2=20，则（a ﹣2017）2的值是 .【答案】9【解析】（a ﹣2016）2+（2018﹣a ）2=20，（a ﹣2016）2+（a －2018）2=20，令t =a －2017，∴（t +1）2+（t －1）2=20,2t 2=18，t 2=9，∴（a ﹣2017）2=9.故答案为9.点睛：掌握用换元法解方程的方法.14．若m+1m =3，则m 2+21m =_____． 【答案】7【解析】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．详解：把m+1m =3两边平方得：（m+1m ）2=m 2+21m+2=9，则m 2+21m =7， 故答案为：7 点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．15．因式分解：3222x x y xy +=﹣__________． 【答案】()2x x y -【解析】【分析】先提取公因式x ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式()()2222x x xy y x x y =-+=-， 故答案为：()2x x y -【点睛】本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.16．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．【答案】xy （x ﹣1）2【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式=xy （x 2-2x+1）=xy （x-1）2．故答案为：xy （x-1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．分解因式：a 3－a =【答案】(1)(1)a a a -+【解析】a 3－a =a(a 2-1)=(1)(1)a a a -+18．分解因式：x 2﹣1=____．【答案】（x+1）（x ﹣1）．【解析】试题解析：x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1）．考点：因式分解﹣运用公式法．19．若2a b +=，3ab =-，则代数式32232a b a b ab ++的值为__________．【答案】-12【解析】分析：对所求代数式进行因式分解，把2a b +=，3ab =-，代入即可求解.详解：2a b +=，3ab =-，()()23223222223212.a b a b ab ab a ab b ab a b ++=++=+=-⨯=- ，故答案为：12.-点睛：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.20．若2x+5y ﹣3=0，则4x •32y 的值为________．【答案】8【解析】∵2x+5y ﹣3=0，∴2x+5y=3，∴4x •32y =（22）x ·(25)y =22x ·25y =22x+5y =23=8， 故答案为：8.【点睛】本题主要考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，转化为以2为底数的幂是解题的关键，整体思想的运用使求解更加简便．。
部编数学八年级上册专题06乘法公式压轴题的四种考法(解析版)(人教版)含答案
专题06 乘法公式压轴题的四种考法类型一、平方差公式与几何图形综合例1．【探究】如图①，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a 、b 表示)；【应用】请应用这个公式完成下列各题：①已知2m ﹣n =3，2m +n =4，则4m 2﹣n 2的值为 ；②计算：(x ﹣3)(x +3)(x 2+9)．【拓展】计算()()()()()248322121212121+++++L 的结果为 ．【答案】探究：（1）22a b -，()()a b a b +-；（2）22()()a b a b a b +-=-；应用：①12；②481x -；拓展：6421-．【详解】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即22a b -，图②的阴影部分为长为()a b +，宽为()-a b 的矩形，则其面积为()()a b a b +-，故答案为：22a b -，()()a b a b +-；（2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：22()()a b a b a b +-=-，故答案为：22()()a b a b a b +-=-；应用：①22()(422342)1m n m n m n -+=´=-=，故答案为：12；②原式22(9)(9)x x =-+，222()9x =-，481x =-；拓展：原式()()()()()()24832212121212211+++=-++L ，()()()()()2248322121212121++=-++L ，()()()()4348221212121=++-+L ，()()()8328212121=-++L ，()()32322121=-+，6421=-．故答案是：6421-．【变式训练1】如图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a b >），将余下的部分拼成一个梯形，根据两个图形中阴影部分面积关系，解决下列问题：（1）如图①所示，阴影部分的面积为 （写成平方差形式）．（2）如图②所示，梯形的上底是，下底是 ，高是 ，根据梯形面积公式可以算出面积是 （写成多项式乘法的形式）．（3）根据前面两问，可以得到公式 ．（4）运用你所得到的公式计算：22252248- ．【答案】（1）22a b -；（2）()()a b a b +-；（3）22()()a b a b a b -=+-；（4）2000．【详解】解：（1）大正方形的面积为：2a ，小正方形的面积为：2b ，∴阴影部分的面积为：22a b -；故答案为：22a b -；（2）由梯形的定义可知：上底是：2b ，下底是：2a ，高是：-a b ，∴梯形的面积为：1(22)()()()2a b a b a b a b ´+-=+-；故答案为：()()a b a b +-；（3）由（1）（2）可知，22()()a b a b a b -=+-；故答案为：22()()a b a b a b -=+-；（4）22252248-=(252248)(252248)+-=5004´=2000；【变式训练2】从边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）．A ．()2222a ab b a b -+=-B ．()()22a b a b a b -=+-C ．()2a ab a a b +=+（2）若22912x y -=，34x y +=，求3x y -的值；（3）计算：22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）B ；（2）33x y -=；（3）10112021【详解】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：()()22a b a b a b -=+-，上述操作能验证的等式是B ，故答案为：B ；（2）∵()()2293312x y x y x y -=+-=，∵34x y +=∴33x y -=（3）22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111223320212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-⋅⋅⋅+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3142532022202022334420212021=´´´´´´⋅⋅⋅´´1202222021=´10112021=【变式训练3】工厂接到订单，需要边长为（a +3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为 ．【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝a2+6a；②拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）9.【详解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2中阴影部分的面积为S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．故答案为9．【变式训练4】（1）如图1所示，若大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则阴影部分的面积是______；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是_________；（2）由（1）可以得到一个乘法公式是________；（3）利用你得到的公式计算：2202120222020-´．【答案】（1）a 2-b 2，（a +b ）（a -b ）；（2）（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2；（3）1【详解】解：（1）图①阴影部分的面积为：a 2-b 2，图②长方形的长为a +b ，宽为a -b ，所以面积为：（a +b ）（a -b ），故答案为：a 2-b 2，（a +b ）（a -b ）；（2）由（1）可得：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2，故答案为：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2；（3）20212-2022×2020=20212-（2021+1）（2021-1）=20212-20212+1=1．类型二、完全平方公式变形例1．已知22()25,()9x y x y +=-=，求xy 与22x y +的值．【答案】224,17xy x y =+=【详解】Q 22()25,()9x y x y +=-=，()()22425916x y x y xy \+--==-=,4xy \=，()()22222()25934x y x y x y ++-=+=+=Q ,2217x y \+=．例2已知222462140x y z x y z ++-+++=，则xyz =________.【答案】6【详解】解：∵x 2+y 2+z 2-4x +6y+2z +14=0，∴x 2-4x +4+y 2+6y +9+z 2+2z +1=0，∴(x -2)2+(y +3)2+(z +1)2=0，∴x -2=0，y +3=0，z+1=0，∴x =2，y =-3，z =-1，∴xyz =2×（-3）×（-1）=6．故答案为：6【变式训练1】已知2|5|(7)0xy x y -++-=，求22x x y y +-的值．【答案】34【详解】解：根据非负性，得：50xy -=，70x y +-=，5xy \=，7x y +=，222()3491534x y xy x y xy \+-=+-=-=，22y x y x +-\的值是34．【变式训练2】已知（x +2021）2+（x +2022）2=49，则（x +2021）（x +2022）的值为（）A ．20B ．24C ．994D ．532【答案】B【详解】解：[]222(2021)(2022)(2021)(2022)2(2021)(2022)x x x x x x +-+=+++-++Q 且[]22(2021)(2022)(1)1x x +-+=-=221(2021)(2022)2(2021)(2022)x x x x \=+++-++22(2021)(2022)49x x +++=Q (2021)(2022)24x x \++=故选：B【变式训练3】已知：2()34x y +=，2()14x y -=，分别求22x y +和xy 的值．【答案】24，5【详解】解：222()234x y x xy y +=++=Q ①，222()214x y x xy y -=-+=②，\①+②得222248x y +=，即2224x y +=；①-②得420xy =，即5xy =．【变式训练4】已知13x x+=，求下列各式的值：(1)221x x +；(2)21(x x -.【答案】(1)7；(2)5【解析】(1)解：∵13x x +=，∴21()9x x +=，即22129x x ++=，∴2217x x +=．(2)解：∵2217x x +=，∴22125x x +-=，∴21()5x x-=．【变式训练5】当x =______时，代数式8x 2-12x +5有最小值，最小值为______.【答案】 34 12【详解】解：28125x x -+2328()5x x -=+2998()5131626x x +--=+238()9452x --+=238(412x =-+23(04x -Q …，\当34x =时，28125x x -+有最小值，最小值为12．故答案为：34；12．类型三、完全平方公式字母的值例1．当k 取何值时，2210049x kxy y -+是一个完全平方式？【答案】140k =±【详解】解：∵100x 2﹣kxy +49y 2是一个完全平方式，∴﹣k ＝±2×10×7，∴k ＝±140，即当k ＝±140时，100x 2﹣kxy +49y 2是一个完全平方式．【变式训练1】如果226x x k ++是一个完全平方公式，求k 的值．【答案】3k =±．【详解】由题意得：222(63)x x k x =+++，即222669x x k x x =++++，则29k =解得3k =±．【变式训练2】若把代数式222x x --化成()2x m k ++的形式，其中m ，k 为常数，则m k +=______．【答案】4-【详解】解：∵222x x --＝x 2−2x ＋1−3＝（x −1）2−3，∴m ＝−1，k ＝−3，∴m ＋k ＝−4．故答案为：−4．【变式训练3】（1）设22351,257M x x N x x =--=--，则__________．A ． M N >B ． M N <C ． M N ³D ． M N£（2）当=a ________时，多项式2418a a -+有最小值___________．【答案】（1）A ；（2）2，14【详解】解：（1）∵22222(351)(257)3512576M N x x x x x x x x x -=-----=---++=+，20x ³ ，∴260M N x -=+>，∴M >N ，故选A ．（2）∵2224184414(2)14a a a a a -+=-++=-+，2(2)0a -³，∴当a =2时，2(2)14a -+有最小值为14，故答案为：2，14．【变式训练4】若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．（1）若28+210+2n 是完全平方数，求n 的值．（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写所有符合的正整数．【答案】（1）n ＝4或n ＝10；（2）所有符合的正整数是20、60或300．【详解】（1）解：∵a 2+b 2+2ab ＝（a +b ）2，∴若28＝a 2，210＝b 2，则a ＝24，b ＝25，2n ＝2ab ＝210，解得：n ＝10若28＝a 2，210＝2ab ，所以b ＝25，则2n ＝b 2＝210，解得：n ＝10，若210＝a 2，28＝2ab ，所以b ＝22，则2n ＝b 2＝24，解得：n ＝4，所以n ＝4或n ＝10；（2）解：设正整数为x ，则x +61＝a 2，x ﹣11＝b 2（a ＞b ，且a ，b 是正整数），则a 2﹣b 2＝x +61﹣x +11＝72，故（a +b ）（a ﹣b ）＝72，由于a +b 与a ﹣b 同奇偶，故184a b a b +=ìí-=î或362a b a b +=ìí-=î或者126a b a b +=ìí-=î，当184a b a b +=ìí-=î时,解得：117a b =ìí=î，∴x ＝b 2+11＝60；当362a b a b +=ìí-=î时，解得：1917a b =ìí=î，∴x ＝b 2+11＝300；当126a b a b +=ìí-=î时，解得：93a b =ìí=î，∴x ＝b 2+11＝20．所以所有符合的正整数是20、60或300．类型四、完全平方公式与几何图形例.乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为a 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．方法1：________；方法2：________；(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：()2a b +，22+a b ，ab 之间的数量关系：_______；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：+5a b =，22+21=a b ，求ab 的值；②已知()()222022202010-+-=a a ，求()()20222020--a a 的值．【答案】(1)（a +b ）2；a 2+2ab +b 2 (2)（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab (3)①ab ＝2；②-3【解析】(1)方法1：大正方形的边长为（a +b ），∴S ＝（a +b ）（a +b ）＝a 2+2ab +b 2．方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和，∴S ＝a 2+2ab +b 2．故答案为：a 2+2ab +b 2．(2)由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，即（a +b ）2﹣2ab ＝a 2+b 2．故答案为：（a +b ）2﹣2ab ＝a 2+b 2．(3)①∵a +b ＝5，∴（a +b ）2＝25，a 2+b 2＝21，∴2ab ＝（a +b ）2﹣（a 2+b 2）＝25﹣21＝4，∴ab ＝2；②令2022,2020x a y a =-=-，∴2x y +=，由()()222022202010-+-=a a 可得2210x y +=，2xy ＝（x +y ）2﹣（x 2+y 2）＝4﹣10＝－6，∴()()20222020--a a ＝xy ＝-3.【变式训练1】如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a +b ）2、（a -b ）2、ab 之间的等量关系是 ；（2）根据（1）中的结论，若x +y =5，xy =94，则x -y = ；（3）拓展应用：若（2021-m ）2+（m -2020）2=7，求（2021-m ）（m -2020）的值【答案】（1）()22()4+=-+a b a b ab ；（2）4或4-；（3）3-【详解】解：（1）由图知：()22()4+=-+a b a b ab（2）∵()22()4x y x y xy +=-+，∴()22()4x y x y xy-=+-∵9=5,4x y xy +=，∴()225916x y -=-=，∴=4x y -或=4x y --，故答案为：4或4-（3）∵()222(2021)+(2020)202120202(2021)(2020)m m m m m m --=-+---+且()222021(2020)7m m -+-=，∴(2021)(2020)=3m m -+-【变式训练2】如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a 、b 的代数式表示）；(2)观察图2，请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系是____________；(3)利用（2）中的结论，若5x y +=，94x y ⋅=，求()2x y -的值____________；(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．(5)如图4，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，连接EG 、BG 、BE ，当1BC =时，BEG D 的面积记为1S ，当2BC =时，BEG D 的面积记为2S ，…，以此类推，当BC n =时，BEG D 的面积记为n S ，计算202020192018201721S S S S S S -+-+⋅⋅⋅+-的值．【答案】(1)()2b a -；(2)()()224a b a b ab +--=；(3)16(4)()()22334a b a b a ab b ++=++；(5)1020605【解析】(1)()2b a -(2)()()224a b a b ab +--=(3)5x y +=，94x y ⋅=时，22()()425916x y x y xy -=+-=-=，故答案为：16(4)()()22334a b a b a ab b++=++(5)如图，连接EC ，在正方形ACDE 和正方形BCGF 中45ECD CGB Ð=Ð=°∴EC BG∥∴BGE BGCS S =△△当1BC =时，2112S =；当2BC =时，2222S =；……当BC n =时，22n n S =；∴202020192018201721S S S S S S -+-+⋅⋅⋅+-222222202020192018201721222222⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭()2020201920182017212+++⋅⋅⋅++=1020605=．【变式训练3】如图，将边长为()a b +的正方形剪出两个边长分别为a ，b 的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：______，方法2：________；（2）从中你发现什么结论呢？_________；（3）运用你发现的结论，解决下列问题：①已知6x y +=，122xy =，求22x y +的值；②已知()()22202120209-+-=x x ，求()()20212020--x x 的值．【答案】（1）22a b +，2()2a b ab +-；（2）222()2a b a b ab +=+-；（3）①28；②4-．【详解】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即22a b +，方法2，从边长为()a b +的大正方形面积减去两个长为a ，宽为b 的长方形面积，即2()2a b ab +-，故答案为：22a b +，2()2a b ab +-；（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，222()2a b a b ab +=+-，故答案为：222()2a b a b ab +=+-；（3）①Q 122xy =，4xy \=，又6x y +=Q ，222()2x y x y xy\+=+-2624=-´368=-28=；②设2021a x =-，2020b x =-，则229a b +=，1a b +=，222()()(2021)(2020)2a b a b x x ab +-+\--==192-=4=-，答：(2021)(2020)x x --的值为4-．【变式训练4】阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2根据图②能得到的数学公式是__________．（2）如图③，请写出（a ＋b ）、（a ﹣b ）、ab 之间的等量关系是__________（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x ＋y ＝8，xy ＝2，求（x ﹣y ）2的值．（4）根据图④，写出一个等式：__________．（5）小明同学用图⑤中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a ＋b ）（a ＋3b ）长方形，请画出图形，并指出x ＋y ＋z 的值．类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．【答案】（1）（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2；（2）（a ＋b ）2＝（a ﹣b ）2＋4ab ；（3）56；（4）（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（5）画图见解析，16；（6）（a ＋b ）3＝a 2＋b 2＋3a 2b ＋3ab 2【详解】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2，故答案为：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2；（2）Q 图③中，大正方形的面积为（a ＋b ）2，小正方形的面积为（a ﹣b ）2，每个长方形的面积为ab ，()()224a b a b ab \+=-+，故答案为：()()224a b a b ab +=-+；（3）利用（2）的结论，可知()()224x y x y xy -=+-，Q x ＋y ＝8，xy ＝2，\（x ﹣y ）2＝（x ＋y ）2﹣4xy ＝64﹣8＝56；（4）根据图④，大正方形的面积可表示为（a ＋b ＋c ）2，Q 内部9块的面积分别为：222,,,,,,,,a b c ab ab ac ac bc bc ，\（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc故答案为：（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（5）Q （3a ＋b ）（a ＋3b ）＝3a 2＋3b 2＋10ab ，3,3,10x y z \===，即需要3张边长为a 的正方形，3张边长为b 的正方形，10张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片，画图如下：∴x ＋y ＋z ＝16；（6）根据图⑥，大正方体的体积为（a ＋b ）3，分割成8个“小块”的体积分别为：33222222,,,,,,,a b a b a b a b ab ab ab ，\（a ＋b ）3＝a 2＋b 2＋3a 2b ＋3ab 2故答案为：（a ＋b ）3＝a 2＋b 2＋3a 2b ＋3ab 2．【变式训练5】用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．（1）由图1可得乘法公式________；（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为()a b c ++的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为________；（3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知13a b c ++=，52ab bc ac ++=，求222a b c ++的值；（4）如图3，由两个边长分别为m ，n 的正方形拼在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，连接BD ，BF ，若12m n +=，24mn =，求图3中阴影部分的面积．【答案】（1）（a +b 2）=a 2+2ab +b 2；（2）（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ；（3）65；（4）36【详解】解：（1）图1正方形的面积可以表示为：a 2+2ab +b 2．又可以表示为：（a +b ）2．∴（a +b 2）=a 2+2ab +b 2．故答案为：（a +b 2）=a 2+2ab +b 2．（2）图2中正方形的面积可以表示为：（a +b +c ）2．还可以表示为：a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2b c ．∴（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2b c ．故答案为：（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2b c ．（3）由（2）知：a 2+b 2+c 2=（a +b +c ）2-2ab -2ac -2bc=169-2（ab +ac +bc ）=169-104=65．（4）()221122S m n n m n =+-+阴影22111222m n mn =+-21[()3]2m n mn =+-21(1272)2=-36=．。
人教版八年级上册数学第十四章 整式的乘法与因式分解单元测试卷附解析
人教版八年级上册数学第十四章整式的乘法与因式分解单元测试卷附解析一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）计算（a3）2•a2的结果是（）A．a7B．a8C．a10D．a112．（3分）若x n=2，则x3n的值为（）A．6B．8C．9D．123．（3分）计算（-2a2b）3的结果是（）A．-6a6b3B．-8a6b3C．8a6b3D．-8a5b34．（3分）如果（a-1）0=1成立，则（）A．a≠1B．a=0C．a=2 D．a=0或a=2 5．（3分）计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的值是()A．1024B．28+1C．216+1D．2166．（3分）已知a+1a=3，则a2+1a2的值为（）A．5B．6C．7D．87．（3分）下列由左到右的变形，属于因式分解的是()A．(x＋2)(x－2)＝x2－4B．x2＋4x－2＝x(x＋4)－2C．x2－4＝(x＋2)(x－2)D．x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x8．（3分）若4x2+5x+k有一个因式为(x−3)，则k的值为（）A．17B．51C．－51D．－579．（3分）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2−ab=a(a−b)B．(a+b)2=a2+2ab+b2C．(a−b)2=a2−2ab+b2D．a2−b2=(a+b)(a−b)10．（3分）如图，大正方形与小正方形的面积之差为S，则图中阴影部分的面积是（）A．2S B．S C．12S D．14S 二、填空题(共5题；共15分)11．（3分）已知2n=3，则4n+1的值是．12．（3分）设4x2+mx+121是一个完全平方式，则m=13．（3分）计算(x−y)(−y−x)的结果是.14．（3分）已知a+10=b+12=c+15，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=．15．（3分）若√a2−3a+1+b2+2b+1=0，则a2+1a2−|b|=.三、计算题(共3题；共21分)16．（8分）计算：（1）（2分）（5ab－3x）（－3x－5ab）．（2）（2分）（－y2＋x）（x＋y2）．（3）（2分）x（x＋5）－（x－3）（x＋3）．（4）（2分）（－1＋a）（－1－a）（1＋b2）．17．（8分）因式分解：（1）（2分）am−an+ap（2）（2分）2a(b+c)−3(b+c)（3）（2分）4x4−4x3+x2（4）（2分）x4−1618．（5分）已知(x+a)(x 2﹣x+c)的乘积中不含x 2和x 项，求a ，c 的值．四、解答题(共7题；共54分)19．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 x 2 - 4x + m 有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及 m 的值． 解：设另一个因式为(x+n)，得 x 2 - 4x + m = ( x + 3)( x + n) 则 x 2 - 4x + m = x 2 + (n + 3) x + 3n ∴{n +3=−4m =3n 解得：n=－7，m=－21∴另一个因式为(x －7)，m 的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式 2x 2 + 3x - k 有一个因式是(2x －3)，求另一个因式以及 k 的值．20．（6分）阅读下面解题过程，然后回答问题.分解因式： x 2+2x −3 .解：原式= x 2+2x +1−1−3 = (x 2+2x +1)−4 = (x +1)2−4 = (x +1+2)(x +1−2) = (x +3)(x −1) 上述因式分解的方法称为”配方法”.请你体会”配方法”的特点，用“配方法”分解因式： y 2−4y +3 .21．（6分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状。
【精选】人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解．
【详解】
（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
例如：
．
根据以上材料，完成相应的任务：
（1）利用“多项式的配方法”将 化成 的形式为_______；
（2）请你利用上述方法因式分解：
① ；② ．
【答案】（1） ；（2）① ；②
【解析】
【分析】
（1）将多项式 即可完成配方；
（2）①将多项式+1-1后即可用配方法再根据平方差公式分解因式进行解答；
②将多项式 即可完成配方，再根据平方差公式分解因式，整理后即可得到结果.
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式
分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式： 和完全平方公式： 进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接能运用完全平方公式分解因式时，可应用下面方法分解因式，先将多项式 变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
专题11整式的乘法与因式分解压轴题真题分类(原卷版)八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题11 整式的乘法与因式分解压轴题真题分类-高分必刷题（原卷版）专题简介：本份资料包含《整式的乘法与因式分解》这一章中五种种类型的常考压轴题，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：幂的运算的压轴题、整式乘法的压轴题、与平方差公式完全平方公式相关的的压轴题、配方法的压轴题、因式分解的压轴题。
适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生冲刺高分刷题时使用。
题型一：幂的运算的压轴题1．（2021春•岳麓区）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝，D（16）＝．（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．根据运算性质，计算：①若D（a）＝1，求D（a3）；②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．2．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b 为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．根据材料回答：（1）填空：i3＝，i4＝；（2）求（2+i）2的共轭复数；（3）已知（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值．3．（雨花区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果a c＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝；（5，1）＝；（3，27）＝．（2）计算（5，2）+（5，7）＝，并说明理由．（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．题型二：整式乘法的压轴题4．（2021•天心区开学）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊙（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）⊙（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（3，﹣5）⊙（4，﹣2）＝；（2）当满足等式（﹣2，3x﹣1）⊙（k，x+k）＝5+k的x是整数时，求正整数k的值；（3）若（s+2t，2s+t）⊙（x，﹣y）＝2t﹣s对于任意有理数s，t均成立，求x+y的值．5．（2020秋•开福区月考）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结她发现：一次项系数就是：×5×（﹣6）+2×4×（﹣6）+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为．（2）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式不含一次项，求a的值．（3）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则a2020＝．6．（2014秋•雨花区校级月考）你能求（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．分别计算下列各式的值：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（2）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（3）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…由此我们可以得到：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝；请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：（1）299+298+297+…+2+1；（2）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1．题型三：与平方差公式、完全平方公式相关的的压轴题7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？8．一个正整数m能写成m＝（a﹣b）（a+b）（a、b均为正整数，且a≠b），则称m为“美满数”，a、b为m的一个完美变形，在m的所有完美变形中，若a2+b2最大，则称a、b为m的最佳完美变形，此时F （m）＝a2+b2．例如：12＝（4+2）（4﹣2），12为“完美数”，4和2为12的一个完美变形，32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），因为92+72＞62+22，所以9和7是32的最佳完美变形，所以F（32）＝130．（1）8（填“是”或“不是”）完美数；10（填“是”或“不是”）完美数；13（填“是”或“不是”）完美数；（2）求F（48）；（3）若一个两位数n的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤9），n为“完美数”且x+y能被8整除，求F（n）的最小值．9．（2018秋•天心区校级期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．题型四：配方法的压轴题10．（2020秋•长沙县校级月考）阅读下面文字内容并解决问题：对于形如x2+2ax+a2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成（x+a）2的形式．但x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3），对于二次三项式x2+4x﹣5就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以填上一项4，使它与x2+4x构成一个完全平方式、然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即＝（x+5）（x﹣1）．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．请用配方法来解下列问题：（1）用配方法因式分解：x2﹣6x+5；（2）已知：x2+y2﹣8x+12y+52＝0，求（x+y）2的值；（3）求x2+8x+7的最小值．11．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a＝0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．（1）当x＝时，代数式2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．（2）当x＝时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？12．（2021秋•天心区校级月考）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题（1）知识再现：当x＝时，代数式x2﹣6x+12的最小值是；（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是；（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．13．（2021秋•开福区校级期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020＝（x﹣6）2+1984∵（x﹣6）2≥0，∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，最小值为0，∴（x﹣6）2+1984≥1984，∴当（x﹣6）2＝0时，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值为1984，∴代数式：x2﹣12x+2020的最小值是1984．例如：分解因式：x2﹣120x+3456解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456＝（x﹣60）2﹣144＝（x﹣60）2﹣122＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）＝（x﹣48）（x﹣72）．（1）分解因式x2﹣46x+520；（2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值；（3）当m，n为何值时，代数式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出这个最小值．14．（雨花区校级月考）对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣6a+8；（2）若x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x y的值．题型五：因式分解的压轴题15.阅读，已知4-=+b a ，ab=3，求22b a +的值。
初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题知识点：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方：()nm mn a a = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++⑷拆项法 ⑸添项法常考题： 一．选择题（共12小题）1．下列运算中，结果正确的是（ ）A．x3•x3=x6 B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y22．计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5 D．a3b63．计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x64．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x5．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+96．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+97．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）28．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）9．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．110．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b211．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2D．a2﹣b212．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）A．（2a2+5a）cm2B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2二．填空题（共13小题）13．分解因式：3x2﹣27= ．14．分解因式：a2﹣1= ．15．因式分解：x2﹣9y2= ．16．分解因式：x3﹣4x= ．17．因式分解：a3﹣ab2= ．18．分解因式：x2+6x+9= ．19．分解因式：2a2﹣4a+2= ．20．分解因式：x3﹣6x2+9x= ．21．分解因式：ab2﹣2ab+a= ．22．分解因式：2a3﹣8a2+8a= ．23．分解因式：3a2﹣12ab+12b2= ．24．若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n= ．25．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．三．解答题（共15小题）26．计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）27．若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．28．已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b2．29．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．30．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．31．若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．32．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．33．（2a+b+1）（2a+b﹣1）34．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．35．分解因式：（1）a4﹣16；（2）x2﹣2xy+y2﹣9．36．分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．37．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．38．因式分解（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；（2）（a2+1）2﹣4a2．39．因式分解：（1）3x﹣12x3（2）6xy2+9x2y+y3．40．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2015•甘南州）下列运算中，结果正确的是（）A．x3•x3=x6 B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y2【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、合并同类项得到结果，即可做出判断；C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、x3•x3=x6，本选项正确；B、3x2+2x2=5x2，本选项错误；C、（x2）3=x6，本选项错误；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，本选项错误，故选A【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．2．（2008•南京）计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5 D．a3b6【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．【解答】解：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b6．故选D．【点评】本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．3．（2011•呼和浩特）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x6【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．【解答】解：2x2•（﹣3x3），=2×（﹣3）•（x2•x3），=﹣6x5．故选：A．【点评】本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．4．（2005•茂名）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．【解答】解：A、是多项式乘法，故A选项错误；B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B选项错误；C、提公因式法，故C选项正确；D、右边不是积的形式，故D选项错误；故选：C．【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．5．（2017春•薛城区期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；D、﹣x2+9=﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．6．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．7．（2009•眉山）下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）2【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．【解答】解：A、是平方差公式，故A选项正确；B、是完全平方公式，故B选项正确；C、是提公因式法，故C选项正确；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．8．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选：A．【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．9．（2016秋•南漳县期末）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m 的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m=0，解得m=﹣3．故选：A．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．10．（2009•内江）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．11．（2013•枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2D．a2﹣b2【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b=a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．12．（2012•枣庄）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）A．（2a2+5a）cm2B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2【分析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积，据此即可求解．【解答】解：矩形的面积是：（a+4）2﹣（a+1）2=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）=3（2a+5）=6a+15（cm2）．故选B．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是关键．二．填空题（共13小题）13．（2015•黄石）分解因式：3x2﹣27= 3（x+3）（x﹣3）．【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．【解答】解：3x2﹣27，=3（x2﹣9），=3（x+3）（x﹣3）．故答案为：3（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．14．（2013•上海）分解因式：a2﹣1= （a+1）（a﹣1）．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．故答案为：（a+1）（a﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．15．（2013•邵阳）因式分解：x2﹣9y2= （x+3y）（x﹣3y）．【分析】直接利用平方差公式分解即可．【解答】解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．16．（2017•大庆）分解因式：x3﹣4x= x（x+2）（x﹣2）．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．17．（2016•乐山）因式分解：a3﹣ab2= a（a+b）（a﹣b）．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．18．（2013•三明）分解因式：x2+6x+9= （x+3）2．【分析】直接用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2+6x+9=（x+3）2．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键．19．（2017•咸宁）分解因式：2a2﹣4a+2= 2（a﹣1）2．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2．故答案为：2（a﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．（2015•西藏）分解因式：x3﹣6x2+9x= x（x﹣3）2．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：x3﹣6x2+9x，=x（x2﹣6x+9），=x（x﹣3）2．故答案为：x（x﹣3）2．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．21．（2008•大庆）分解因式：ab2﹣2ab+a= a（b﹣1）2．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：ab2﹣2ab+a，=a（b2﹣2b+1），=a（b﹣1）2．【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．22．（2013•安顺）分解因式：2a3﹣8a2+8a= 2a（a﹣2）2．【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：2a3﹣8a2+8a，=2a（a2﹣4a+4），=2a（a﹣2）2．故答案为：2a（a﹣2）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．23．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2= 3（a﹣2b）2．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．【解答】解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．故答案为：3（a﹣2b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．24．（2013•内江）若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n= 3 ．【分析】将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n 的值．【解答】解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，故m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．25．（2014•西宁）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为70 ．【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．【解答】解：∵a+b=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．故答案为：70．【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．三．解答题（共15小题）26．（2006•江西）计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）【分析】利用完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项．【解答】解：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x），=x2﹣2xy+y2﹣（y2﹣4x2），=x2﹣2xy+y2﹣y2+4x2，=5x2﹣2xy．【点评】本题考查完全平方公式，平方差公式，属于基础题，熟记公式是解题的关键，去括号时要注意符号的变化．27．（2013春•苏州期末）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式，运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可．【解答】解：4x•32y=22x•25y=22x+5y∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=23=8．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．28．（2009•十堰）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b2．【分析】（1）把代数式提取公因式ab后把a+b=3，ab=2整体代入求解；（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解．【解答】解：（1）a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6；（2）∵（a+b）2=a2+2ab+b2∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab，=32﹣2×2，=5．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3，ab=2整体代入解答．29．（2015•张家港市模拟）若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【分析】（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；（2）先变形，再整体代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，∴xy+2x+2y+4=12，∴xy+2（x+y）=8，∴xy+2×3=8，∴xy=2；（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+3xy+y2=（x+y）2+xy=32+2=11．【点评】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．30．（2014秋•德惠市期末）先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2=﹣20a2+9a，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．【点评】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．31．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．【分析】根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．【解答】解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；把a=1代入=1+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．32．（2012春•郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．33．（2011春•乐平市期中）（2a+b+1）（2a+b﹣1）【分析】把（2a+b）看成整体，利用平方差公式和完全平方公式计算后整理即可．【解答】解：（2a+b+1）（2a+b﹣1），=（2a+b）2﹣1，=4a2+4ab+b2﹣1．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，构造成公式结构是利用公式的关键，需要熟练掌握并灵活运用．34．（2009•贺州）分解因式：x3﹣2x2y+xy2．【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2），=x（x﹣y）2．【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，本题难点在于要进行二次分解．35．（2011•雷州市校级一模）分解因式：（1）a4﹣16；（2）x2﹣2xy+y2﹣9．【分析】（1）两次运用平方差公式分解因式；（2）前三项一组，先用完全平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式进行分解．【解答】解：（1）a4﹣16=（a2）2﹣42，=（a2﹣4）（a2+4），=（a2+4）（a+2）（a﹣2）；（2）x2﹣2xy+y2﹣9，=（x2﹣2xy+y2）﹣9，=（x﹣y）2﹣32，=（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）．【点评】（1）关键在于需要两次运用平方差公式分解因式；（2）主要考查分组分解法分解因式，分组的关键是两组之间可以继续分解因式．36．（2008春•利川市期末）分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．【分析】显然只需将y﹣x=﹣（x﹣y）变形后，即可提取公因式（x﹣y），然后再运用平方差公式继续分解因式．【解答】解：x2（x﹣y）+（y﹣x），=x2（x﹣y）﹣（x﹣y），=（x﹣y）（x2﹣1），=（x﹣y）（x﹣1）（x+1）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．37．（2009秋•三台县校级期末）分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．【分析】（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．38．（2009春•扶沟县期中）因式分解（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；（2）（a2+1）2﹣4a2．【分析】（1）先提取公因式﹣8a，再用完全平方公式继续分解．（2）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2，=﹣8a（x2﹣2xy+y2），=﹣8a（x﹣y）2；（2）（a2+1）2﹣4a2，=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a），=（a+1）2（a﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．39．（2011秋•桐梓县期末）因式分解：（1）3x﹣12x3（2）6xy2+9x2y+y3．【分析】（1）先提取公因式3x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．．【解答】解：（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）；（2）6xy2+9x2y+y3=y（6xy+9x2+y2）=y（3x+y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．40．（2003•黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．【分析】先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．【解答】解：原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴﹣a（x+y）=±2×5•（x+y），解得a=±10．【点评】本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要．Welcome 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《整式的乘法与因式分解》单元测试(含答案)
C.x2－xy＋y2＝(x－y)2D.2x-2y=2(x-y)
5.若 ，那么 值是
A. B. C. D.
6.如果 ，那么 的值为
A. B. C. D.
7.计算 的结果是
A. B. C. D.
8.已知 ，则 的值等于 ．
A. B. C. D.
9.下列各式中与 相等的是
A. B. C. D.
10.如果 的左边是一个关于 的完全平方式，则 的值为
【点睛】本题考查了提公因式法和运用公式法因式分解的综合运用，分解因式时，要分解到每一个因式都不能够在分解即可.
12.计算 _______________．
【答案】
【解析】
【分析】
把(-2)2014写成(-2)×(-2)2013，然后根据有理数的乘方的定义，先乘积再乘方进行计算即可得解．
【详解】原式=
故答案为2.
【点睛】考查有理数的乘方运算，掌握乘方运算法则是解题的关键.
13.分解因式: ____________________________．
【答案】(x-6)(x+1)
【解析】
因为-6×1=-6，-6+1=-5，所以利用十字相乘法分解因式为: =(x-6)(x+1).
故答案为(x-6)(x+1)
【解析】
【分析】
(1)先利用完全平方公式和多项式除单项式的方法计算，再合并同类项，再进一步代入求得数值即可;
(2)利用平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再进一步合并同类项，最后代入求得数值即可．
【详解】(1)原式=
=
当 ， 时，原式=
(2) ，
当 ， 时， ．
【点睛】考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键.
人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(篇)(Word版 含解析)
【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的意义，可得答案． 【详解】 A. 是整式的乘法，故 A 错误； B. 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 B 错误；
C. 把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 C 正确； D 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 D 错误. 故答案选：C. 【点睛】 本题考查的知识点是因式分解的意义，解题的关键是熟练的掌握因式分解的意义.
人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解（篇）（Word 版 含 解析）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 1．已知 a2 b2 6ab ，且 a>b>0，则 a b 的值为( )
ab
A． 2
【答案】A 【解析】
B．± 2
C．2
D．±2
【分析】已知 a2+b2=6ab，变形可得（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab，可以得出（a+b）和（ab）的值，即可得出答案． 【详解】∵a2+b2=6ab， ∴（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab， ∵a＞b＞0，
故选：A. 【点睛】 本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积．
7．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． (x 2)(x 2) x2 4
B． x2 4x 2 x(x 4) 2
C．2)(x 2) 3x
3．如图所示的是用 4 个全等的小长方形与 1 个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图
案的面积为 144，小正方形的面积为 4，若分别用 x 、 y （ x y ）表示小长方形的长和
宽，则下列关系式中错误的是（ ）
A． x2 y2 100
B． x y 2
人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解章末训练(Word版 含解析)
（1） ；
（2） ；
的值一定是某个整数的平方．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
2．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是 ，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了 的展开式（按 的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的 个数 ，恰好对应着 展开式中的各项系数，第四行的 个数 ，恰好对应着 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．（阅读材料）
因式分解： ．
解：将“ ”看成整体，令 ，则原式 ．
再将“ ”还原，原式 ．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
（问题解决）
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）证明：若 为正整数，则代数式 的值一定是某个整数的平方．
（3）由（2）中得到的规律即可推广到一般情况.
【详解】
解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法．
（2） =
=
……
由此可知 =
（3）原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
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人教版八年级数学《整式的乘法与因式分解》单元乘法公式压轴解答题1. 当a ＝1，b ＝－2时，求)212]()21()21[(2222b a b a b a --++的值．2. 如果92++kx x 是一个完全平方式，求k 的值3. 1)12)(12)(12)(12)(12)(12(:3216842+++++++计算4. 解下列方程：(1)(x-7)(x+9)+2x(x-5)=(3x-4)(x-1) （2）(x-3)(x+3)-(3x+1)2=8x(5-x)5. 用适当的方法计算．（1）1.02×0.98 （2）13111321⨯ （3）2)2140( （4）20052－4010×2006＋20062 6. 已知;，012=-+a a 求1999223++a a 的值7. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如22024-=， 221242=-，222064=-，因此4，12，20都是“神秘数”(1)28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？(3)两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？8. 如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式___．9. 用简便方法计算:（1）20012 （2）1241221232⨯- (3) 1998×1996-19972 （4）121()()2176n n n +⨯⨯ 10.11.用乘法公式计算：①2)32(--y x ②)1)(1(-+++y x y x12.在边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >（如图（1）），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图（2）），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是___（用字母表示）．13.14.小华探究发现：两个连续奇数的积加上1，一定是一个偶数的平方．比如，3×5+1=16=42，11×13+1=144=122…可小华不知道能不能推广到更一般的情况，他打电话给老师问了一下，老师提示说，你忘了连续奇数可以用代数式表示的吗，表示出来后就可以运算我们这两天学习的平方差公式进行说明了．小华若有所悟，在老师的提示下，很快从一般意义上想出了理由，你能做一做吗？15.先化简，再求值：)1()1(2---a a a ，其中2-=a 。
16.解方程：(1))17)(17()2)(2(3)12)(12(+-=-+++-x x x x x x (2)5x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x-13)(x+13)=2.17.简便运算 2014201220132⨯- 12014201220132+⨯ 2222482521000- 18.19.已知，8=+n m ，15=mn 求22n mn m +-的值 20.已知2x －y ＝10，求()()()222x y x y 2y x y 4y ⎡⎤+--+-÷⎣⎦的值. 21. 下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如()n a b +(n 为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出()4a b +展开式中所缺的系数． ()a b a b +=+()2222a b a ab b +=++ ()3322333a b a a b ab b +=+++则()4432234a b a a b a b ab b +=++++（）（）（） … … … …22.23.巧算：).200811()411)(311)(211(2222----24.已知a+b=6，ab=9．求222b a +． 25.若△ABC 三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca ．试问△ABC的三边有何关系？26.已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a 2b+ab 2 （2）a 2+b 227.计算：)12()12)(12)(12(42++++n 2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++ 28.已知0x ≠，且22(21)(21)M x x x x =++-+，22(1)(1)N x x x x =++-+，试探究M 与N 的大小关系．29.已知:2()4x y -=，2()64x y +=.求下列代数式的值：（1）22x y +； （2）xy30.两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6，另一个两位数的个位上的数字是4，它们的平方差是220，求这两位数.31.选做题：如图，利用图形你能得到公式(a+b)2=a 2+2ab+b 2吗？32.一个正方形的一边增加3cm,相邻一边减少3cm,所得矩形面积与这个正方形的每边减去1cm,所得正方形面积相等,求这矩形的长和宽.33.用完全平方公式计算：2200934.若x 2－2x ＋10＋y 2＋6y ＝0，求（2x ＋y ）2的值．35.观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1②2×4－32＝8－9＝－1③3×5－42＝15－16＝－1④______________________________________请你按以上规律写出第④个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．36.已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值。
37.先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．38.用简便方法计算:219921100⨯ 39.40.先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．41. 先化简再求值：2222111[()()](2)222a b a b a b ++-•-，其中3a -=，4b =． 42.解不等式（3x-4）2>（-4+3x ）（3x+4）．43.先化简，再求值.2)3)(3()2)(3(2-=-+-+-a a a x x 其中，x=1已知：32232,83,21ab b a b a ab b a ++==+求的值。
44.先化简，再求值：223(2)()()a b ab b b a b a b --÷-+- 其中112a b ==-，． 45.先化简，再求值：2(3x ＋1)(1－3x)＋(x －2)(2＋x)，其中x ＝2.46.计算：222222100994321-+⋅⋅⋅+-+-47.已知2422=-y x ，6-=+y x ，求代数式y x 35+的值48.先化简，后求值：()()()9332++-a a a ，其中1=a49.运用平方差公式计算:①2002⨯1998 ②2010200820092⨯-50.已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值．51.观察下列各式的规律．12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；（1）写出第2007行的式子；（2）写出第n 行的式子，并说明你的结论是正确的．52.观察下面的几个算式，你发现了什么规律？①16×14=224=1×(1+1)×100+6×4②23×27=621=2×(2+1)×100+3×7③32×38=1216=3×(3+1)×100+2×8……(1) 按照上面的规律，迅速写出答案。
（共2分）81×89=___73×77= 45×45=___64×66=(2)用公式(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab 证明上面所发现的规律.(提示：可设这两个两位数分别是(10n+a)、(10n+b),其中a+b=10)则(10n+a)·(10n+b)=___(3)简单叙述以上所发现的规律.53.探究题：观察下列式子：（x 2－1）÷（x －1）＝x ＋1；（x 3－1）÷（x －1）＝x 2＋x ＋1；（x 4－1）÷（x －1）＝x 3＋x 2＋x ＋1（x 5－1）÷（x －1）＝x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1⑴.你能得到一般情况下（x n －1）＋（x －1）的结果吗？（n 为正整数）⑵.根据⑴的结果计算：1＋2＋22＋23＋24＋…＋262＋263.54.2()10x y +=，2()20x y -=，求（1）22y x +的值；（2）xy 的值．55.计算:2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----. 56.已知9621-可以被在60至70之间的两个整数整除,则这两个整数是多少?57.先化简，再求值：(x-y)2+(3x-2y)(2x+y)-x(6x-y),其中x=12,y=1。
58. 59.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =--=-，．60.已知12x =-，求代数式(2x －y)(2x ＋y)＋(2x －y)(y －4x)＋2y(y －3x)的值，在解这道题时，小茹说：“只给出了x 的值，没给出y 的值，求不出答案．”小毅说：“这个代数式的值与y 的值无关，不给出y 的值，也能求出答案．”你认为谁的说法正确？请说明理由．61.化简：)8(21)2)(2(b a b b a b a ---+． 62.化简求值：(1－4y)(1＋4y)＋(1＋4y)2，其中25y =.63.若a ＋b ＝17，ab ＝60，求（a －b ）2和a 2＋b 2的值． 64. 65.66.先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，． 67.先化简，再求值：)31)(31()1(+---x x x x ，其中97-=x . 68.已知多项式216x kx ++是完全平方式，则______k =．。