散度与高斯公式
10-6第六节 高斯公式与散度
-3-
Dxy
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
∂R 所以 ∫∫∫ ∂z dxd ydz = ∫∫ Rdxd y Σ Ω 若 Ω 是 其它类型区域 , 则可引进辅助面 相应的区域, 将其分割成若干个 相应的区域 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 正反两侧面积分正负抵消 故上式仍成立 . 类似可证 ∂Q ∂P ∫∫∫ ∂x dxd ydz= ∫∫ Pd ydz ∫∫∫ ∂y dxd ydz= ∫∫Qdzdx Ω Σ Ω Σ
三式相加, 公式: 三式相加 即得所证 Gauss 公式: ∂P ∂Q ∂R ∫∫∫( ∂x + ∂y + ∂z )dxd ydz Ω = ∫∫ Pd ydz +Qdzd x + Rd xdy
Σ
-4-
第六节
高斯公式与散度
第六节
高斯公式与散度
例1 计算曲面积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
( x 2 − yz )dydz + ( y 2 − xz )dzdx + ( z 2 − xy )dxdy ∫∫
表面外侧。 其中 Σ 长方体 Ω : 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c 表面外侧。
Σ
P = x − yz , Q = y − xz , R = z 2 − xy ,
Σ
- 10 -
第六节
高斯公式与散度
∂v ∂v ∂v 证:令 P = u , Q= u , R= u , 由高斯公式得 = = ∂x ∂y ∂z
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
第六节
高斯公式与散度
∂2v ∂2v ∂2v 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式是∫∫((əQ/əx)-(əP/əy))dxdy。
散度定理又称为高斯散度定理、高斯公式,是指在向量分析中,一个把向量场通过曲面的流动(即通量)与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。
散度定理经常应用于矢量分析中。
矢量场的散度在体积τ上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面s上的面积分。
在物理和工程中,散度定理通常运用在三维空间中。
然而,它可以推广到任意维数。
在一维,它等价于微积分基本定理;在二维,它等价于格林公式。
散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处流散开来程度的量。
从定义中还可以看出,散度是向量场的一种强度性质,就如同密度、浓度、温度一样,它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量。
微积分高斯公式与散度
一、高斯(Gauss)公式
定理:设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成,
函数 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在 上具有 一阶连续偏导数,则有公式:
P Q R
( )dV Pdydz Qdzdx Rdxdy.
x y z
Байду номын сангаас
其中 表示 的边界曲面的外侧。
3
其中 为柱面 x 2 y 2 1及
平面 z 0 z 3,所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面
o1
y
1
的外侧。
x
例2、计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
z
其中 为锥面 x2 y2 z2介于平
h
面 z 0,z h (h 0)之间的部分的下侧,
3 :
取外侧。
(1)高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系;
(2)使用高斯公式时的注意事项:
① P,Q, R分别是对什么变量求偏导数;
②是否满足高斯公式的条件;
③ 取的是闭曲面的外侧。
二、高斯公式的应用
例1、计算曲面积分
z
( x y)dxdy ( y z)xdydz
x 2 yz 2dydz xy2 z 2dzdx z(1 xyz)dxdy V . S
div F dV F d S
设M 为场内一点,为包围点 M的任一闭曲面,其
所围区域 位于场内。则
F d S
表示单位时间内通过 流向外部的流体
的总质量,即流量或通量。
其中:F ( x, y, z) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场;
第四章 曲线积分与曲面积分 第六节 高斯公式与散度
1 2 3 , 1 : z z1 ( x , y ) ,
第 十则 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
2 : z z2 ( x , y ),
z
z
z d x d y d z d x d y z ( x , y )
1
R
z2 ( x , y ) R
流速场,穿过有向曲面 的流量
v n dS
电位移为 D
电场,穿过有向曲面 的电通量
磁感应强度为 B 磁场,穿过有向曲面 B dS B n dS
D dS
D n dS
2 ( x y z )dxdydz h dS
2
2
, 0, z h
Dxy
z
1
h
2
2
d
0
0
h
d zdz h 4
h
h 2
1
4
o x
y
-9-
第六节
高斯公式与散度
例5 设函数
在闭区域 上具有一阶和
x v Qu y v Ru z
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
第 十 章
曲 线 积 分 u v u v u v ( d x d y d z 与 x x y y z z 曲 面 其中 是整个 边界面的外侧. 积 P Q R 分 分析: 高斯公式 d x d ydz x y z
高斯公式通量与散度课件
通过高斯公式,可以对流体的能量进 行分析,了解流体在某一区域的能量 分布情况。
流速场分析
结合高斯公式和压力场,可以对流速 场进行分析,了解流体在某一区域的 流速大小和方向。
04
高斯公式通量与散度的推导
推导高斯公式通量部分
推导过程
利用微分几何中的高斯定理,将三维 空间中的通量转化为曲面上的积分, 再通过坐标变换和代数运算,得到通 量的高斯公式。
详细描述
高斯公式也称为高斯-奥斯特罗格 拉德斯基公式,它表示一个封闭 曲面内的体积等于该曲面所包围 的三维空间的体积的积分。
高斯公式的应用领域
总结词
高斯公式的应用领域包括物理学、工程学和统计学等。
详细描述
在物理学中,高斯公式被广泛应用于电磁学、流体动力学和量子力学等领域。在工程学中,高斯公式被用于解决 各种实际问题,如流体流动、热传导和结构分析等。在统计学中,高斯公式用于概率论和数理统计中的随机变量 和概率分布的计算。
实例三:流体流动的高斯公式应用
总结词
流体流动的特性
详细描述
流体流动具有连续性和不可压缩性,其流线 呈现出特定的规律。高斯公式在流体流动中 的应用,可以用来计算流速和流量。
06
高斯公式通量与散度的扩展思考
高斯公式的推广与应用
推广到多维空间
高斯公式在三维空间中得到了广泛应用,但其实它也可以推广到 更高维度的空间,为解决更复杂的问题提供工具。
总结词
散度是描述矢量场在某一点的发散程度。
详细描述
散度是矢量场的一个重要性质,它描述了矢量场在某一点的发散程度。对于标 量场,散度等于标量场在某一点的梯度的散度;对于矢量场,散度等于矢量场 在某一点的三个分量的散度的和。
通量与散度在物理中的意义
高斯公式散度
高斯公式散度
高斯公式是物理学中的一个重要定理,用于计算三维空间中任意区域的散度。
散度描述了一个向量场的源汇性质,即矢量场中的流量增加或减少的速率。
高斯公式的数学表达为:对于一个闭合曲面S,曲面内无任何漏洞或孔隙,且向外指向为正。
如果向量场F在曲面S的每一点都是连续可导的,那么该向量场经过曲面S的总流量等于该向量场在曲面S 内的散度与曲面S的体积积分之和。
即∮F·dS = ∭div(F)dV
其中,F为向量场,dS为曲面面积元素的矢量微元,div(F)为F 的散度,dV为体积元素。
通过高斯公式,我们可以将原本需要对整个体积进行积分的问题,转化为只需要对曲面上的散度进行积分的问题。
这简化了很多计算过程。
高斯公式在物理学中的应用非常广泛,例如在电磁学中用于计算电场、磁场的通量,以及在流体力学中用于计算流体的体积流量等。
它为我们研究各种物理现象提供了强大的数学工具。
散度形式高斯公式证明
散度形式高斯公式证明一、高斯公式的散度形式。
高斯公式的散度形式表述为:设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面§igma所围成,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数,则有。
∭_Ω((∂ P)/(∂ x)+(∂ Q)/(∂ y)+(∂ R)/(∂ z))dV = ∬_§igmaPdydz + Qdzdx+Rdxdy二、证明思路。
1. 用微元法进行分析。
- 把闭区域Ω分割成许多小闭区域。
考虑一个小闭区域Δ V,其边界曲面为Δ§igma。
- 设小闭区域Δ V在点(x,y,z)处的体积为Δ V,Δ§igma的外法线方向的单位向量为→n=(cosα,cosβ,cosγ)。
2. 对P分量进行分析。
- 根据通量的概念,向量场→A = P→i+Q→j+R→k通过Δ§igma的通量ΔvarPhi中关于P的部分为∬_Δ§igmaP→i·→ndS=∬_Δ§igmaPcosα dS。
- 由高斯公式的物理意义(通量与散度的关系),在小闭区域Δ V内,P对通量的贡献近似为((∂ P)/(∂ x))Δ V(这里是利用了散度的定义div→A=(∂ P)/(∂ x)+(∂ Q)/(∂ y)+(∂ R)/(∂ z),当只考虑P分量时,其散度的主要部分为(∂ P)/(∂ x))。
- 当Δ Vto0时,精确地有∬_Δ§igmaPcosα dS = ((∂ P)/(∂ x))Δ V。
3. 同理对Q和R分量进行分析。
- 对于Q,有∬_Δ§igmaQcosβ dS = ((∂ Q)/(∂ y))Δ V。
- 对于R,有∬_Δ§igmaRcosγ dS = ((∂ R)/(∂ z))Δ V。
4. 对整个闭区域Ω和闭曲面§igma进行分析。
- 将所有小闭区域的上述关系相加。
对于整个闭区域Ω,其被分割成了n个小闭区域Δ V_i,i = 1,2,·s,n。
散度与高斯公式
,
其中 是锥面 z2 x2 y2 介于 z 0 和 z 2 两平面间
的部分取上侧。
不是封闭曲面,能否直接用高斯公式?
z
解:添补平面 1 : z 2, ( x2 y2 4) ,
取下侧;
1 z 2
则 1 是一个封闭曲面的内侧, 可用 Gauss 公式求解。
Ò Gauss
8
,
1
udivA A gardu.
10.5 散度与高斯公式
例 1.设点电荷 q 位于 坐标原点,它在真空中产生一电场,
场中任一点 M(
r
{
x,
y,
z}
,
r
x,
y, r
z) 处的电场强度
E
1
4
q r2
r
(
r
r r
,
),求场中点 M 处电场强度 E 的 散度。
divE
P x
Q y
R z
由高斯公式得:
Ò
r F
dA
(
P x
Q y
R z
)dv
,
再由积分中值定理可以得到散度的计算公式:
P Q R x y z
r
r
故高斯公式可以表示为: Ò F dA divFdv 。
Gauss 公式建立了曲面积分与三重积分之间的联系,
其物理意义为:一区域中总散度等于通过边界的通量。
9
10.5 散度与高斯公式
体积为 ΔV ,直径为 d,且取外侧,如果当 d 0 时,
比式 r
1 V
r
Ò F(M ) dA的极限存在,则称此极限为向量场
r
F (M ) 在点 M 处的散度,记为 divF (M ) ,即
高数 高斯公式 通量与散度
P d y d z Q d z d x R d x d y
13
v v v , Q u , R u , 由高斯公式得 证 令P u x y z 2v 2v 2v x2 y 2 z 2 v v v x y z
9.4 高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式 1.高斯公式
Gauss 公式
Hale Waihona Puke 2.通量与散度1一、高斯公式
定理1 设空间闭区域Ω 是由分片光滑的闭曲面Σ 所 围成,函数P(x,y ,z)、Q(x,y ,z) 、R(x,y ,z) 在Ω 上具有一阶连续偏导数,则有 P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy, (1)
I (
1
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
1
2
xy
8
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
I 2 ( x y z ) d xdydz
1
1
封
6
例1 用Gauss公式计算 其中为柱面 及平面z = 0,z = 3所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
Dx y
h d xd y
z
2
利用重心公式, 注意 x y 0
4 2 z d x d ydz h
1 h h
o x
高斯定理的公式
高斯定理的公式高斯定理,又称为高斯散度定理,是微积分中的重要定理之一。
它是由德国数学家高斯于19世纪提出的,用于描述向量场通过封闭曲面的流量与该曲面内部的源和汇的关系。
在物理学和工程学中,高斯定理被广泛应用于电磁学、流体力学、热力学等领域。
高斯定理的公式可以表达为:∮S F·dA = ∭V ∇·F dV,其中S为封闭曲面,F为向量场,dA为面元矢量,∮表示曲面积分,V为曲面所围成的空间,∇·F表示F的散度。
根据高斯定理,当向量场F通过封闭曲面S时,曲面上的流量等于空间内源的总量。
这意味着,如果向量场F在某一点的散度为正,则该点是流出的源,如果散度为负,则该点是流入的汇。
举个例子来说明高斯定理的应用。
假设有一个电荷位于空间中的某一点,那么该电荷产生的电场可以用向量场F来表示。
如果我们将一个球面围绕该电荷,根据高斯定理,球面上的电场流量等于球内电荷的总量。
这意味着,通过球面的电场线越多,球内的电荷量就越大。
在流体力学中,高斯定理的应用也非常重要。
假设有一个液体通过一个封闭表面的流动,我们可以用向量场F表示液体的流速。
根据高斯定理,表面上的流量等于液体在表面内部的源和汇的总量。
这可以帮助我们分析液体流动的特性,比如流速的分布、流动的稳定性等。
除了电磁学和流体力学,高斯定理还在其他领域有着广泛的应用。
在热力学中,高斯定理可以用来描述热流通过封闭表面的传递;在数学中,高斯定理可以用来计算曲面的面积和体积等。
总结一下,高斯定理是微积分中的一项重要定理,可以用于描述向量场通过封闭曲面的流量与该曲面内部的源和汇的关系。
它在电磁学、流体力学、热力学等领域有着广泛的应用。
通过高斯定理,我们可以更好地理解和分析各种物理现象,从而推动科学技术的发展。
9(7)散度和高斯公式
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z1( x, y)]dxdy
1
Dxy
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z2( x, y)]dxdy
2
Dxy
R( x, y, z)dxdy 0
3
15
散度和高斯(Gauss)公式
R
dv z
{R[x, y, z2( x, y)] R[x, y, z1( x, y)]}dxdy
点(x,y,z)在曲面上, 可先用曲面方程将被积
函数化简,然后再用高斯公式.
I
1
a
xdydz
ydzdx
zdxdy
z
n
3 dxdydz 3 4 a3 4a2
O
a
a3
x
y
26
散度和高斯(Gauss)公式
对有的非闭曲面的曲面积分,有时可作 辅助面, 化为闭曲面的曲面积分, 然后利用 高斯公式.(将辅助面上的积分减去).
通量的计算公式
Pdydz Qdzdx Rdxdy
3
散度和高斯(Gauss)公式
2.散度
F dS
设有向量场 F(x, y, z),P( x, y, z)为场中任一点,
在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面
,它所围成的小区域及其体积记为 V , 以
表示 从 内穿出的通量, 若当 V 0, 即V
柱面
z
n
的直即线边至界多面相由交于1,两 2点,. 3
三部分组成:
n
: z z1( x, y) (取下侧) 2 : z z2( x, y) (取上侧)
O
x Dxy
y n
3 :母线平行于z轴的柱面. (取外侧)
大学经典课件之高等数学——106高斯公式与散度
cosα ,cos β ,cosγ 是Σ在点( x, y, z)处法向量的方向余弦。
解1 直接用公式
z
∫∫ I = x2dydz + y2dzdx + z2dxdy
⋅h
∫∫Σ
= − [x2
−x
+ y2
−y
Dxy
x2 + y2
x2 + y2
Σ
+ ( x2 + y2 )]dxdy
o
hy
= − ∫∫ ( x2 + y2 )dxdy
,
∂P + ∂Q + ∂R ∂x ∂y ∂z
=
3r 2
−
3( x2 + r5
y2
+
z2)
= 0,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
∫∫ I =
Σ
x r3
d
yd
z
+
y r3
d
z
d
x
+
z r3
d
ห้องสมุดไป่ตู้
x
d
y,r
=
x2 + y2 + z2
在椭球面内作辅助小球面
Σ1 : x2 + y2 + z2 = ε 2
∫∫ ∫∫ 则 I =
R2 − x2 − y2
o
y
∫∫ +
R2 − x2 − y2 ]dxdy = − 1 R Dxy
R2
dxdy
R2 − x2 − y2
∫ ∫ = − 1 2π dθ R
R0
0
R2 R2 −
ρ2
⋅ρdρ
=
13.5 Guass公式、通量和散度
x3 y3 z3 (2) ∫∫ 3 dy d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r 3 3 3 ∂ x ∂ y ∂ z = ∫∫∫ [ ( 3 ) + ( 3 ) + ( 3 ) ]dv =L Ω ∂x r ∂y r ∂z r
19
是一光滑闭曲面, 备用题 设 ∑ 是一光滑闭曲面 所围立体 Ω 的体 积为V, θ 是 ∑ 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径 积为 的夹角, 的夹角 试证
12
为了揭示场内任意点M 处的特性, 为了揭示场内任意点 处的特性 设Σ 是包含点 M 且 所围域为Ω 方向向外的任一闭曲面 , 记Σ 所围域为Ω, 并令Ω 式两边同除以Ω 在③式两边同除以Ω 的体积 V, 并令Ω 以 任意方式缩小至点 M 则有 Φ lim Ω→M V
∂P ∂Q ∂R )M =( + + ∂x ∂y ∂z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 此式反应了流速场在点 的特点 其值为正 负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 分别反映在该点有流体涌出 吸入 或没有任何变化
Φ = ∫∫ Pd y d z + Qd z d x + Rdx d y
Σ
Σ
由两类曲面积分的关系, 由两类曲面积分的关系 流量还可表示为
Φ = ∫∫
Σ
( Pcosα + Qcos β + Rcosγ ) d S
= ∫∫ v ⋅ nd S
Σ
11
为方向向外的闭曲面 则单位时间通过Σ 向向外的闭曲面, 若Σ 为方向向外的闭曲面 则单位时间通过Σ 的流量为
Ω
= ∫∫∫ (r sinθ − z)r dr dθ d z
10.6 高斯(Gauss)公式与散度
2 2 2 2
xy dydz x ydzdx z ( x y ) dxdy
1
z n1
1
z ( x y ) dxdy
2 2
1
1
( x
2 2
2
y ) dxdy
2
D xy : x y 1
o
y
2
0
d d
3 0
1
2
1
xdydz z dxdy
2
2
z
n2
6 0
2 1
4 dxdy
D xy : x y 1
2 2
6 4 2
2
o
1
y
x
n1
二 散度(divergence)
1 通量
定义1
F ( x, y, z )
设
F ( x , y , z ) 是空间中一向量场,则
M 0 (1, 2 , 3 ),
求
.
M
0
(2) grad ( div F )
解 (1) div F y 2 z 2 x 2
div F ( M 0 ) 2 3 1 14
2 2 2
(2) grad ( div F ) 2 x i 2 y j 2 z k
grad ( div F )
z
解 由高斯公式有
a
( x
yz ) dydz ( y zx ) dzdx ( z xy ) dxdy
o a x
a
y
(1 1 1) dV 3 dV 3a
第六节 高斯公式与散度解析
4.若Σ不是闭曲面,可采用补上若干块曲面
后使之成为闭曲面,补上的曲面要与原曲面 构成外侧或内侧.
例4 计算 I x(8 y 1)dydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
其中
是由曲线
z
y1,1 y 3绕 y轴
x 0
z
设向量场 F(x, y,z)
P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
称数量 P Q R
x y z ( x, y,z)
为F在点( x, y, z)处的散度(divergence),记为divF ,
即
divF
P
Q
R
x y z
高斯公式可写成 divF dV F dS
其中 为 x2 y2 z2 1的内侧 .
解 记 所围立体区域为 , 则
原积分 [3( x2 y2 z2 ) 6]dxdydz
2
30
d
0
sind
1
0 r
4dr
6
4
3
13
3 2 2 1 8 52 .
5
5
使用Guass公式时应注意:
1. P,Q,R 是对什么变量求偏导数;
设 有向量场
F ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一定向曲面Σ的第二类曲面积分为
F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场F ( x, y, z)向正侧穿过曲面Σ的通量.
2. 散度的定义:
则有公式
(
P x
Q y
R )dV z
Gauss公式与散Stokes公式
有向封闭曲面
外侧的流量
v ndS
,其中n
为
外
侧的单位法向量 , 所围成的区域为 。
总流量 流出的流量—流入的流量。
(1) 0 ,流出大于流入,表明 内 有“源”; (2) 0 ,流出小于流入,表明 内 有“洞”;
(3)0 ,流出等于流入。
比式
1 V
vndS
表示流速场中单位时间内从单位
体积内流出 的平均流量,称为流速场 v在内的
(1,1,0)
2
.
3.5 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯 (Stokes) 公式
高斯公式是格林公式在三维空间的推广,而格林 公式还可从另一方面推广,就是将曲面 的曲面积分 与该曲面 的边界闭曲线 C 的曲线积分 联系起来。
定理3.4(斯托克斯定理)
n
设分片光滑曲面 的边界是分段光滑闭曲线 C 。 空间
(2)若当积P分 x曲, 面Q y不, 封R 闭z,时则,添由加G辅au助ss 曲公面式使得之封闭;
当封闭xd曲y面dz取内yd侧z时dx,Gzdaxussd公y 式3中的dV符号3V应,为负号;
应用 Gauss 公式前首先要检验 P, Q,R, P , Q , R 的
x y z
故连续V条件。dV
Dxy
二、旋度
1、环量
定义设有向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} ,
称 A 沿有向闭曲线 C 的 曲线积分
C Ads C Pdx Qdy Rdz
为向量场 A 沿有向闭曲线 C 的 环量。
环量表示了向量场 A 沿有向闭曲线 C 旋转的整体
则 1 是一个封闭曲面的内侧, 记其所围成的空间区域为 ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
D
CuvdxuvdyC ydx ydy(01)dxdy. D
错解:由题意得
F(
x,
y){
y,
1}
,
G(
x,
y){0,
1}
,
F ( x, y)G( x, y)1 ,故 F Gdxdydxdy 。
D
D
§10.5 高斯公式
10.5.1 高斯(Gauss)公式 一、高斯定理
设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ围成,
x
,
y){
u
u,
v
v
}
,又已知在圆周x
2
y
2
1
x y x y
上, u(x, y) 1 ,v( x, y) y ,求F Gdxdy 。
D
解:
F Gdxdy
v(
u x
u ) u( y
v x
v y
)dxdy
D
D
u v u v
[(v
x
u x
)(v
y
u y
)]dxdy [ 间的部分的下侧,
cos,cos,cos
是Σ在( x, y, z)处
o
y
的外法向量的方向余弦. x
解 曲面不是封闭曲面, 为利用
z
高斯公式
补充 1 : z h ( x2 y2 h2 ) 1 h
1取上侧, 1构成封闭曲面, 1围成空间区域 . 在上使用高斯公式 ,
o Dxy
y
x
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
C( AO)OA 才是正向封闭曲线。
P e x sinymy ,Qe x cos ym , o
P e x cos ym , Q e x cos y ,
y
x
C
D A (a,0) x
y
Q P e x cos ye x cos ymm 。 x y
(e xsinymy)dx(e xcos ym)dy
C(OA)
1 3
xdy
dz
ydx
dz
zdx
dy
dv
例 1 计算曲面积分
( x y)dx dy ( y z)xdy dz
其中Σ为柱面 x2 y2 1及平面 z 0, z 3所围成的空间闭区域的
整个边界曲面的外侧.
z
3
o1
y
1
解 P ( y z)x, Q 0, R x y, x
1 : z z1( x, y)
2 : z z2( x, y)
o
3
x
2
3
1
Dxy
y
根据三重积分的计算法
R z
dy
Dxy
{
z2( x, y) z1( x, y)
R z
dz}dxdy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
Dxy
根据曲面积分的计算法
习题二(P218)
1(4)应用格林公式计算曲线积分:
(e x sinymy )dx(e x cos ym)dy ,其中C(OA) 为
C (OA)
由点 O(0,0) 至 A(a,0) 的上半圆周 x2 y2 ax ( y0, a0) 。
解:添加线段AO ,则 C(OA) AO y
为封闭曲线,但不是正向曲线,
使用Guass公式时注意:
(1)公式的条件是:封闭、外侧、偏导数连续,
三者缺一不可。若积分曲面不封闭,则添加辅助曲面
使之封闭;当封闭曲面取内侧时,Gauss公式中的
符号应为负号;应用公式前首先要检验
P, Q, R, P , Q , R 的连续条件。
x y z
(2) P x,Q y, R z
V
Σ取外侧,函数 P( x, y, z)、Q( x, y, z)、 R( x, y, z)在
上具有一阶连续偏导数, 则有公式
A
nds
Pdy
dz
Qdz
dx
Rdx
dy
(P x
Q y
R )dv z
R z
dv
R(
x
,
y,
z
)dx
dy.
证明 设闭区域 在面xoy z 上的投影区域为Dxy .
由1 ,2 和3 三部分组成,
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
原式 ( y z)dxdydz (z)dxdydz
03zdz dxdy 9
D(z)
2
9 . 2
例 2 计算曲面积分
I (8 y 1)xdy dz 2(1 y2 )dz dx 4 yzdx dy
其中 是由曲线z y 1 (1 y 3)绕 y 轴旋转一周
x 0
所成的曲面,它的法向量与 y 轴正向的夹角恒大于 .
z
2
2
解 z
y 1绕y轴旋转面方程为
o
1
x 0
x
y 1 z2 x2
*
y
3
欲求 I (8 y 1)xdy dz 2(1 y2 )dz dx 4 yzdx dy
z
且有 I
* *
*
(P x
Q y
R)dv z
2
3
2
(8 y 1)xdy dz 2(1 y )dz dx x4 yzdx dy
*
2 (1 32 )dzdx 32,
*
*
故I 2 (32) 34.
例 3 计算曲面积分
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
z
锥面 x2 y2 z2介于平面
z 0及z h(h 0)
(1取下侧, 2取上侧, 3取外侧)
R( x, y, z)dx dy R[x, y, z1( x, y)]dxdy,
1
Dxy
R( x, y, z)dx dy R[ x, y, z2( x, y)]dxdy,
2
Dxy
R( x, y, z)dx dy 0.
3
于是 R( x, y, z)dx dy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy,
Dxy
R z
dv
R(
x,
y
,
z)dx
dy.
同理
P x
dv
P(
x,
y,
z
)dy
dz,
Q y
dv
Q(
x,
y
,
z
)dz
dx,
(
P x
Q y
R z
)dv
Pdy
dz
Qdz
dx
Rdx
dy
高斯公式
表达了空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系.
o1 x
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dv dv
3
2
2
3
dxdz
dy d d dy
1 z2 x2
0
0
12
Dxz
2 2 (2 3 )d 2, 0
或:dv 13dy dxdz
D( y)
y 1 z2 x2
13 ( y 1)dy 2,
z
2
o1
*
y
o
C (OA) AO
AO
C( AO)OA
0
adx
a
C
D A (a,0) x
Green公式
m
d0
m
2
(
a 2
)2
m 8
a
2
.
D
5.设 u( x, y) ,v( x, y) 在区域 D:x2 y2 1 上有
一阶连续偏导数, F ( x, y){v( x, y),u( x, y)} ,
G(