散度与高斯公式

使用Guass公式时注意:
（1）公式的条件是：封闭、外侧、偏导数连续，
三者缺一不可。若积分曲面不封闭，则添加辅助曲面
使之封闭；当封闭曲面取内侧时，Gauss公式中的
符号应为负号；应用公式前首先要检验
P, Q, R, P , Q , R 的连续条件。
x y z
(2) P x,Q y, R z
V
3
2
(8 y 1)xdy dz 2(1 y )dz dx x4 yzdx dy
*
2 (1 32 )dzdx 32,
*
*
故I 2 (32) 34.
例 3 计算曲面积分
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
z
锥面 x2 y2 z2介于平面
z 0及z h(h 0)
(1取下侧, 2取上侧, 3取外侧)
R( x, y, z)dx dy R[x, y, z1( x, y)]dxdy,
1
Dxy
R( x, y, z)dx dy R[ x, y, z2( x, y)]dxdy,
2
Dxy
R( x, y, z)dx dy 0.
3
于是 R( x, y, z)dx dy
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
原式 ( y z)dxdydz (z)dxdydz
03zdz dxdy 9
D(z)
2
9 . 2
例 2 计算曲面积分
I (8 y 1)xdy dz 2(1 y2 )dz dx 4 yzdx dy
其中 是由曲线z y 1 (1 y 3)绕 y 轴旋转一周
D
CuvdxuvdyC ydx ydy(01)dxdy. D
错解：由题意得
F(
x,
y){
y,
1}
，
G(
x,
y){0,
1}
，
F ( x, y)G( x, y)1 ，故 F Gdxdydxdy 。
D
D
§10.5 高斯公式
10.5.1 高斯（Gauss）公式 一、高斯定理
设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ围成,
1 3
xdy
dz
ydx
dz
zdx
dy
dv
例 1 计算曲面积分
( x y)dx dy ( y z)xdy dz
其中Σ为柱面 x2 y2 1及平面 z 0, z 3所围成的空间闭区域的
整个边界曲面的外侧.
z
3
o1
y
1
解 P ( y z)x, Q 0, R x y, x
o
C (OA) AO
AO
C( AO)OA
0
adx
a
C
D A (a,0) x
Green公式
m
d0
m
2
(
a 2
)2
m 8
a
2
.
D
5．设 u( x, y) ，v( x, y) 在区域 D：x2 y2 1 上有
一阶连续偏导数， F ( x, y){v( x, y),u( x, y)} ，
G(
x
,
y){
u
u,
v
v
}
，又已知在圆周x
2
y
2
1
x y x y
上， u(x, y) 1 ，v( x, y) y ，求F Gdxdy 。
D
解：
F Gdxdy
v(
u x
u ) u( y
v x
v y
)dxdy
D
D
u v u v
[(v
x
u x
)(v
y
u y
)]dxdy [ x (uv)
y
(uv)]dxdy
D
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy,
Dxy
R z
dv
R(
x,
y
,
z)dx
dy.
同理
P x
dv
P(
x,
y,
z
)dy
dz,
Q y
dv
Q(
x,
y
,
z
)dz
dx,
(Biblioteka Baidu
P x
Q y
R z
)dv
Pdy
dz
Qdz
dx
Rdx
dy
高斯公式
表达了空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系.
o1 x
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dv dv
3
2
2
3
dxdz
dy d d dy
1 z2 x2
0
0
12
Dxz
2 2 (2 3 )d 2, 0
或：dv 13dy dxdz
D( y)
y 1 z2 x2
13 ( y 1)dy 2,
z
2
o1
*
y
x 0
所成的曲面,它的法向量与 y 轴正向的夹角恒大于 .
z
2
2
解 z
y 1绕y轴旋转面方程为
o
1
x 0
x
y 1 z2 x2
*
y
3
欲求 I (8 y 1)xdy dz 2(1 y2 )dz dx 4 yzdx dy
z
且有 I
* *
*
(P x
Q y
R)dv z
2
h
之间的部分的下侧,
cos,cos,cos
是Σ在( x, y, z)处
o
y
的外法向量的方向余弦. x
解 曲面不是封闭曲面, 为利用
z
高斯公式
补充 1 : z h ( x2 y2 h2 ) 1 h
1取上侧， 1构成封闭曲面， 1围成空间区域 . 在上使用高斯公式 ,
o Dxy
y
x
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
1 : z z1( x, y)
2 : z z2( x, y)
o
3
x
2
3
1
Dxy
y
根据三重积分的计算法
R z
dy
Dxy
{
z2( x, y) z1( x, y)
R z
dz}dxdy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
Dxy
根据曲面积分的计算法
C( AO)OA 才是正向封闭曲线。
P e x sinymy ，Qe x cos ym ， o
P e x cos ym ， Q e x cos y ，
y
x
C
D A (a,0) x
y
Q P e x cos ye x cos ymm 。 x y
(e xsinymy)dx(e xcos ym)dy
C(OA)
Σ取外侧,函数 P( x, y, z)、Q( x, y, z)、 R( x, y, z)在
上具有一阶连续偏导数, 则有公式
A
nds
Pdy
dz
Qdz
dx
Rdx
dy
(P x
Q y
R )dv z
R z
dv
R(
x
,
y,
z
)dx
dy.
证明 设闭区域 在面xoy z 上的投影区域为Dxy .
由1 ,2 和3 三部分组成,
习题二（P218）
1（4）应用格林公式计算曲线积分：
(e x sinymy )dx(e x cos ym)dy ，其中C(OA) 为
C (OA)
由点 O(0,0) 至 A(a,0) 的上半圆周 x2 y2 ax ( y0, a0) 。
解：添加线段AO ，则 C(OA) AO y
为封闭曲线，但不是正向曲线，