华师版初中数学九年级下册综合测试与复习【函数总复习】

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2019-2020学年华东师大版九年级下册第26章二次函数复习专题(PDF版)

二次函数●章复习（技训课）考点知识结构图c bx ax y ++=2（一般式）二次函数的概念、作图、图像性质（a 、b 、c 的作用）02=++c bx ax （方程）2ax y =c ax y +=2()2h x a y -=()h m x a y +-=2（顶点式）()()21x x x x a y --=（交点式）实际问题实际问题的解综合调控能力题◆抛物线的斜平移、规律问题（数列）1-01、如图，抛物线2x y =在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为1A 、2A 、3A 、…、n A 、…。

将抛物线2x y =沿直线x y L =:向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点1M 、2M 、3M 、…、n M 都在直线x y L =:上；②抛物线依次经过点1A 、2A 、3A 、…、n A 。

求顶点2014M 的坐标。

◆二次函数的斜平移、面积最值1-02、如图1，二次函数12212+-=x x y 的图像与一次函数()0≠+=k b kx y 的图像交于A、B 两点，点A 的坐标为（0，1），点B 在第一象限内，点C 是二次函数图像的顶点，点M 是一次函数()0≠+=k b kx y 的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N，且AMO S ∆：AONB S 四边形=1：48。

（1）求直线AB 和直线BC 的解析式；（2）点P 是线段AB 上一点，点D 是线段BC 上一点，PD//x 轴，射线PD 与抛物线交于点G，过点P 作PE⊥x 轴于点E，PF⊥BC 于点F。

当PF 与PE 的乘积最大时，在线段AB 上找一点H （不与点A，点B 重合），使BH GH 22+的值最小，求点H 的坐标和BH GH 22+的最小值；（3）如图2，直线AB 上有一点K（3,4），将二次函数12212+-=x x y 沿直线BC 平移，平移的距离是t （t ≥0），平移后抛物线使点A，点C 的对应点分别为点1A ，点1C ；当K C A 11∆是直角三角形时，求t 的值。

华东师大版初中数学九年级下册总复习综合练习

初中毕业班总复习综合练习数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）毕业学校姓名考生号友情提示：请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答在本试卷上无效。

一、选择题(单项选择。

每小题3分，共21分）。

1．3-的相反数是（）．A ．3-B ．13-C ．3D ．132．要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（）．A ．1x ≠B ．1x ≠-C ．0x ≠D ．1x >3．下列运算正确的是（）．A ．23a a a +=B ．22(3)6a a = C ．623a a a ÷= D ．34aa a =· 4．方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解是（）．A ．⎩⎨⎧==2,1y xB ．⎩⎨⎧-==2,1y x C ．⎩⎨⎧==1,2y x D ．⎩⎨⎧-==1,0y x5．一次函数23y x =-的图象不经过．．．（）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．已知四边形ABCD 中，90A B C ===∠∠∠，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）． A ．90D =∠B ．AB CD =C ．AD BC = D ．BC CD = 7．在抗震救灾某仓库里放着若干个相同的正方体货箱，某摄影记者将这堆货箱的三视图照了出来（如图），则这堆正方体货箱共有（）．A. 2箱B. 3箱C. 4箱D. 5箱主视图左视图俯视图（第7题图）二、填空题（每小题4分，共40分）． 8．计算：=-0)2010(．9．因式分解：29a -= ．10．将一副三角板摆放成如图所示，图中1∠= 度． 11．温家宝总理在2010年3月5日的十一届全国人大第三次会议的政府工作报告中指出，2010年，再解决60 000 000农村人口的安全饮水问题．将60 000 000用科学记数法表示应为．12．在综合实践课上，五名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，6，4．则这组数据的中位数是件．13．方程111x =-的解是________． 14．已知一个多边形的内角和等于900，则这个多边形的边数是．15．已知：⊙A 的半径为2cm ，AB=3cm ．以B 为圆心作⊙B ，使得 ⊙A 与 ⊙B 外切，则⊙B 的半径是 cm ． 16．如图，大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成，把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是． 17．如图，已知点A 在双曲线y=6x上，且OA=4，过A 作 AC ⊥x 轴于C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ．（1）则△AOC 的面积= ，（2）△ABC 的周长为．三、解答题（共89分）18．（9分）计算： 43)85(41)1(12+⨯--÷--． 19．（9分）已知12=+x y ，求代数式)4()1(22x y y --+的值．20．（9分）如图，已知点E C ，在线段BF 上，CF BE =，请在下列四个等式中，①AB ＝DE ，②∠ACB ＝∠F ，③∠A ＝∠D ，④AC ＝DF ．选出两个．．作为条件，推出ABC DEF △≌△．并予以证明．（写出一种即可）已知：，．求证：ABC DEF △≌△．证明：1（第10题图）C E B FDA （第16题图）21．（9分）2010年上海世博会于5月1日开幕，某商场销售世博会纪念品专柜对这一天销售A 、B 、C 三种品牌的纪念品情况进行了统计，并将数据绘制成如下图1和图2所示的统计图．请你根据图中信息解答下列问题： (1)请将图1补充完整；(2)A 品牌纪念品在图2中所对应的圆心角的度数是度；(3)根据上述统计信息，从5月1日开幕到10月31日闭幕期间，该商场对A 、B 、C 三种品牌纪念品应如何进货？请你提出一条合理的建议．22．（9分）“六．一”儿童节，小明去商场买书包，商场在搞促销活动，买一只书包可以送2支笔和1本书．（1）若有3支不同笔可供选择，其中黑色2支，红色1支，试用树状图（或列表法）表示小明依次．．抽取2支笔的所有可能情况，并求出抽取的2支笔均是黑色的概率；（2）若有6本不同书可供选择，要在其中抽1本，请你帮助小明设计一种用替代物模拟抽书的方法．23．（9分）在一条笔直的公路上有A 、B 两地，它们相距150千米，甲、乙两部巡警车分别从A 、B 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往B 、A 两地．甲、乙两车的速度分别为70千米/ 时、80千米/ 时，设行驶时间为x 小时．(1)从出发到两车相遇之前，两车的距离是多少千米？（结果用含x 的代数式表示）（2）已知两车都配有对讲机，每部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，24．（9分）如图，AB 为⊙O 的直径，CD AB ⊥于点E ，交⊙O 于点D ，OF AC ⊥于点F ．（1）试说明△ABC ∽△DBE ；（2）当∠A=30°，AF=3时，求⊙O 中劣弧的长．图1图2BA25．(13分) 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC ，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为c x y +-=2201且过顶点C （0，5）（长度单位：m ）（1）直接写出c 的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m 的地毯，地毯的价格为20元 / 2m ,求购买地毯需多少元？（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH （H 、G 分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG .已知矩形EFGH 的周长为27.5 m ，求斜面EG 的倾斜角∠GEF 的度数.（精确到0.1°）26.（13分）如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=，AB AC =，42BC =，另有一等腰梯形DEFG （GF DE ∥）的底边DE 与BC 重合，两腰分别落在AB 、AC 上，且G 、F 分别是AB 、AC 的中点．（1）直接写出△AGF 与△ABC 的面积的比值；（2）操作：固定ABC △，将等腰梯形DEFG 以每秒1个单位的速度沿BC 方向向右运动，直到点D 与点C 重合时停止．设运动时间为x 秒，运动后的等腰梯形为DEF G ''（如图2）． ①探究1：在运动过程中，四边形F F CE '能否是菱形？若能，请求出此时x 的值；若不能，请说明理由．②探究2：设在运动过程中ABC △与等腰梯形DEFG 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．四、附加题（共10分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．友情提示：请同学们做完上面考题后，再认真检查一遍，估计一下你的得分情况．如果你全卷得分低于90分（及格线），则本题的得分将计入全卷总分，但计入后全卷总分最多不超过90分；如果你全卷总分已经达到或超过90分，则本题的得分不计入全卷总分．填空：1．（5分）计算：=-÷)2(4 ．2．（5分）请写出一个既是轴对称，又是中心对称的几何图形名称：．AFG(D )BC (E )图1FGAF 'G 'BDCE图2。

初三全章专题训练(15套)(华东师大版初三下)《函数》基础测试doc初中数学

初三全章专题训练（15套）（华东师大版初三下）《函数》基础测试doc 初中数学〔一〕选择题〔每题4分，共32分〕1．以下各点中，在第一象限内的点是………………………………………………〔〕〔A 〕〔－5，－3〕〔B 〕〔－5，3〕〔C 〕〔5，－3〕〔D 〕〔5，3〕【提示】第一象限内的点，横坐标、纵坐标均为正数．【答案】D ．2．点P 〔－3，4〕关于原点对称的点的坐标是……………………………………〔〕〔A 〕〔3，4〕〔B 〕〔－3，－4〕〔C 〕〔－4，3〕〔D 〕〔3，－4〕【提示】关于原点对称的两个点的横、纵坐标分不互为相反数．【答案】D ．3．假设点P 〔a ，b 〕在第四象限，那么点Q 〔－a ，b －4〕在象限是………………〔〕〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限【提示】由题意得a ＞0，b ＜0，故－a ＜0，b －4＜0．【答案】C ．4．函数y ＝x -2＋31-x 中自变量x 的取值范畴是……………………………〔〕〔A 〕x ≤2 〔B 〕x ＝3 〔C 〕x ＜2且x ≠3 〔D 〕x ≤2且x ≠3【提示】由2－x ≥0且x －3≠0，得x ≤2．【答案】A ．【点评】注意：D 的错误是因为x ≤2时x 已不可能为3．5．设y ＝y 1＋y 2，且y 1与x 2成正比例，y 2与x1成反比例，那么y 与x 的函数关系是〔〕〔A 〕正比例函数〔B 〕一次函数〔C 〕二次函数〔D 〕反比例函数【提示】设y 1＝k 1x 2〔k 1≠0〕，y 2＝x k 12＝k 2x 〔k 2≠0〕，那么y ＝k 1x 2＋k 2x 〔k 1≠0，k 2≠0〕．【答案】C ．6．假设点〔－m ，n 〕在反比例函数y ＝x k 的图象上，那么以下各点中一定也在此图象上的点是……………………………………………………………………………………〔〕〔A 〕〔m ，n 〕〔B 〕〔－m ，－n 〕〔C 〕〔m ，－n 〕〔D 〕〔－n ，－m 〕【提示】由得k ＝－mn ，故C 中坐标合题意．【答案】C ．7．二次函数式y ＝x 2－2 x ＋3配方后，结果正确的选项是………………………………〔〕〔A 〕y ＝〔x ＋1〕2－2 〔B 〕y ＝〔x －1〕2＋2〔C 〕y ＝〔x ＋2〕2＋3 〔D 〕y ＝〔x －1〕2＋4【提示】y ＝x 2－2 x ＋3＝x 2－2 x ＋1＋2＝〔x －1〕2＋2．【答案】B ．8．假设二次函数y ＝2 x 2－2 mx ＋2 m 2－2的图象的顶点在x 轴上，那么m 的值是〔〕〔A 〕0 〔B 〕±1 〔C 〕±2 〔D 〕±2 【提示】由题意知∆ ＝0，即4 m 2－8 m 2＋8＝0，故m ＝±2．【答案】D ．【点评】抛物线的顶点在x 轴上，讲明抛物线与x 轴只有一个交点，现在 ∆ ＝0．〔二〕填空题〔每题4分，共28分〕 9．函数y ＝3)1(0--x x 中自变量x 的取值范畴是___________．【提示】由题意，得x －1≠0，x －3≠0．【答案】x ≠1，且x ≠3．【点评】注意零指数的底数不为0以及结论中的〝且〞字．10．假设反比例函数的图象过点〔－1，2〕，那么它的解析式为__________．【提示】设反比例函数解析式为y ＝xk ，那么k ＝－2．【答案】y ＝－x 2． 11．当m ＝_________时，函数〔m 2－m 〕m m x22是一次函数．【提示】2 m 2－m ＝1，解得m 1＝－21，m 2＝1〔舍去〕．【答案】m ＝－21．【点评】依照一次函数的定义，得2 m 2－m ＝1，且m 2－m ≠0．12．一次函数y ＝kx ＋b 〔k ≠0〕，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝0时，y ＝2．那么函数解析式为________，函数不通过第_____象限，y 随x 增大而________．【提示】设一次函数为y ＝kx ＋b ，把值代入求出k ，b ．【答案】y ＝x ＋2，四，增大．【点评】此题考查一次函数的性质与解析式的求法．13．二次函数y ＝－x 2＋mx ＋2的最大值是49，那么常数m ＝_________．【提示】可应用顶点坐标公式求出顶点纵坐标．【答案】±1．【点评】此题考查二次函数最大〔小〕值的求法．此题还可用配方法求解．14．假如二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点是〔－2，4〕，且过点〔－3，0〕，那么a 为_____________．【提示】用顶点式求出二次函数解析式．【答案】－4．15．假设直线y ＝3 x ＋b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为24，那么b ＝_________．【提示】直线与y 轴交点坐标为〔0，b 〕，与x 轴交点坐标为〔－3b ，0〕，故 24＝21·|b |·|－3b |．【答案】±12．【点评】依照直线与x 轴、y 轴交点坐标的求法．求面积时对含b 的式子要加绝对值符号．〔三〕解答题16．〔6分〕正比例函数的图象通过点〔1，－2〕，求此函数的解析式，并在坐标系中画出此函数的图象．【解】设正比例函数解析式为y ＝kx 〔k ≠0〕．∵ 图象过〔1，－2〕，∴ －2＝k ．∴ 函数解析式为y ＝－2 x ．其图象如右图所示．17．〔8分〕按以下条件，求二次函数的解析式：〔1〕图象通过A 〔0，1〕，B 〔1，3〕，C 〔－1，1〕；〔2〕图象通过〔3，1〕，且当x ＝2时有最大值为3．【答案】〔1〕y ＝x 2＋x ＋1；〔2〕y ＝－2 x 2＋8 x －5．【点评】要会用待定系数法求抛物线的解析式，〔2〕中隐含顶点坐标为〔2，3〕．18．〔8分〕二次函数y ＝2 x 2－4 x －6．〔1〕求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出草图．〔2〕求图象与x 轴的交点坐标，与y 轴的交点坐标．〔3〕当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？〔4〕x 为何值时y ≥0？【解】〔1〕图象开口向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为〔1，－8〕；〔2〕与x 轴交于〔－1，0〕，〔3，0〕两点，与y 轴交于〔0，－6〕；〔3〕当x ＞1时，y 随x 增大而增大；〔4〕当x ≤－1或x ≥3时，y ≥0．19．〔8分〕某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发觉，假设每件衬衫每降价1元，商场平均每天能够多售出2件．〔1〕假设每件降价x 元，每天盈利y 元，求y 与x 的关系式．〔2〕假设商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？〔3〕每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？【解】〔1〕y ＝〔40－x 〕〔2 x ＋20〕＝－2 x 2＋60 x ＋800．〔2〕当y ＝1200时，－2 x 2＋60 x ＋800＝1200，∴ x 1＝10，x 2＝20．∵ 要尽快减小库存，∴ x ＝20．〔3〕y ＝－2〔x －15〕2＋1250，故每件降价15元时，最多盈利可达1250元．【点评】要注意尽量减少库存的隐含条件．20．〔10分〕x 轴上有两点A 〔x 1，0〕，B 〔x 2，0〕，在y 轴上有一点C ，x 1，x 2 是方程x 2－m 2x －5＝0的两个根，且2221x x +＝26，△ABC 的面积是9．〔1〕求A ，B ，C 三点的坐标；〔2〕求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式．【解】〔1〕∵ x 1＋x 2＝m 2，x 1x 2＝－5， ∴ 2221x x +＝〔x 1＋x 2 〕2－2 x 1x 2＝m 4＋10＝26． ∴ m 2＝4，那么方程为x 2－4 x －5＝0．故x 1＝5，x 2＝－1．∴ A 〔－1，0〕，B 〔5，0〕或A 〔5，0〕，B 〔－1，0〕．设C 点坐标为〔0，c 〕．∵ AB ＝||a ∆＝6，S △ABC ＝21AB ·|h |＝9， ∴ h ＝±3．∴ C 〔0，3〕或〔0，－3〕．〔2〕抛物线的解析式为y ＝－253x ＋512x ＋3或y ＝253x －512x －3．。

华师大数学九年级下26.3.4二次函数综合题(2)课文练习含答案解析

26.3.4二次函数综合2农安县合隆中学徐亚惠一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③2已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．3．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象如图，则该图象的对称轴是（）A．直线x=﹣1B．直线x=1C．直线x=﹣D．直线x=4．抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④5．将抛物线y=x2﹣2平移到抛物线y=x2+2x﹣2的位置，以下描述正确的是（）A．向左平移1单位，向上平移1个单位B．向右平移1单位，向上平移1个单位C．向左平移1单位，向下平移1个单位D．向右平移1单位，向下平移1个单位6．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）7．关于x的二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．m＞18．已知二次函数y=ax2﹣1的图象开口向下，则直线y=ax﹣1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限二．填空题（共6小题）9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为_________．10如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是_________．11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_________米．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b 中，其值为正的式子的个数为_________个．13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…0123…y…5212…点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是_________．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________件（用含x的代数式表示）．三．解答题（共7小题）15．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？16．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y （米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x﹣6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式．（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？17．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ△AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且EF=PF，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．20．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM 是等腰三角形．21．如图，一块直角三角形木板ABC，其中△C=90°，AC=3m，BC=4m，现在要把它们加工成一个面积最大的矩形，甲、乙两位木工师傅的加工方法分别如图1、图2所示，请用学过的知识说明哪位师傅的加工方法符合要求．26.3.4二次函数综合2参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，△y=a﹣b+c＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，△对称轴为0＜x=﹣＜1，△2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0△a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，△c＞0△abc＜0，故④错误；△正确结论的序号为②③．故选：B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．2．已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．解答：解：△函数y=的图象经过二、四象限，△k＜0，由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，△k＜﹣1，△抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，对称为x=﹣=，﹣1＜＜0，△对称轴在﹣1与0之间，故选：D．点评：此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．3．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象如图，则该图象的对称轴是（）A．直线x=﹣1B．直线x=1C．直线x=﹣D．直线x=考点：二次函数的性质．分析：根据图象可以知道图象经过点（0，0），因而把这个点代入记得到一个关于a的方程，就可以求出a的值，从而根据对称轴方程求得对称轴即可．解答：解：把原点（0，0）代入抛物线解析式，得a2﹣4=0，解得a=±2，△函数开口向上，a＞0，△a=2，△对称轴为：x=﹣==，故选D．点评：本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．4.抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣＞0，b＜0，正确；②由图象知当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，正确；③图象与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac正确；④由图象知，即2a+b=0，本项错误．故选B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：①2个交点，b2﹣4ac＞0；②1个交点，b2﹣4ac=0；③没有交点，b2﹣4ac＜0．（5）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．5．将抛物线y=x2﹣2平移到抛物线y=x2+2x﹣2的位置，以下描述正确的是（）A．向左平移1单位，向上平移1个单位B．向右平移1单位，向上平移1个单位C．向左平移1单位，向下平移1个单位D．向右平移1单位，向下平移1个单位考点：二次函数图象与几何变换．分析：先将抛物线y=x2+4x+1化为y=（x+2）2﹣3的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答．解答：解：△抛物线y=x2+2x﹣2可化为y=（x+1）2﹣3，△把抛物线y=x2﹣2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位即可得到抛物线y=（x+1）2﹣3．故选：C．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减．左加右减”的法则是解答此题的关键．6．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：首先根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；解答：解：△Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，△4=a×（﹣2）2，解得：a=1△解析式为y=x2，△Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），△OB=OD=2，△Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，△CD△x轴，△点D和点P的纵坐标均为2，△令y=2，得2=x2，解得：x=±，△点P在第一象限，△点P的坐标为：（，2）故选：C．点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．7．关于x的二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．m＞1考点：二次函数的性质．分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，解不等式即可求解．解答：解：△二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m的对称轴在y轴右侧，△x=﹣＞0，△解得：m＞1．故选D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式解决问题．8．已知二次函数y=ax2﹣1的图象开口向下，则直线y=ax﹣1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限考点：一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系．分析：二次函数图象的开口向下时，二次项系数a＜0；一次函数y=kx+b（k≠0）的一次项系数k＜0、b＜0时，函数图象经过第二、三、四象限．解答：解：△二次函数y=ax2的图象开口向下，△a＜0；又△直线y=ax﹣1与y轴交于负半轴上的﹣1，△y=ax﹣1经过的象限是第二、三、四象限．故选D．点评：本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系．二次函数图象的开口方向决定了二次项系数a的符号．二．填空题（共6小题）9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为8．考点：抛物线与x轴的交点．分析：由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣2，0），根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．解答：解：△对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，△A、B两点关于直线x=2对称，△点A的坐标为（﹣2，0），△点B的坐标为（6，0），AB=6﹣（﹣2）=8．故答案为：8．点评：此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．10．如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是x1=0，x2=2．考点：抛物线与x轴的交点．专题：计算题．分析：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3求出a，b的值，再代入ax2+bx=0解方程即可．解答：解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得，代入ax2+bx=0得，﹣x2+2x=0，解得x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．点评：本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出a，b的值．11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．考点：二次函数的应用．专题：函数思想．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：米．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b 中，其值为正的式子的个数为3个．考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线开口向上，得到a＞0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b＜0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出ab＜0，ac＞0，由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2﹣4ac＞0，当x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，由﹣=1得b+2a=0．解答：解：△抛物线的开口向上，△a＞0，△﹣＞0，△b＜0，△抛物线与y轴交于正半轴，△c＞0，△ab＜0，ac＞0，bc＜0△抛物线与x轴有2个交点，△b2﹣4ac＞0△x=1时的函数值小于0，△y=a+b+c＜0又△x=﹣1时的函数值大于0△y=a﹣b+c＞0△对称轴为直线x=1，△﹣=1，即2a+b=0，所以一共有3个式子的值为正．故答案为：3．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣1对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…0123…y…5212…点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是y1＞y2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题；压轴题．分析：由二次函数图象的对称性知，图表可以体现出二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和开口方向，然后由二次函数的单调性填空．解答：解：根据图表知，当x=1和x=3时，所对应的y值都是2，△抛物线的对称轴是直线x=2，又△当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小，△该二次函数的图象的开口方向是向上；△0＜x1＜1，2＜x2＜3，0＜x1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，当x＞2时，y随x的增大而增大，△y1＞y2，故答案是：y1＞y2点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为（60+x）件（用含x的代数式表示）．考点：二次函数的应用．分析：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，设销售量为a，代入函数的解析式，即可得到a和x的关系．解答：解：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，△，解得：，△w=﹣x2+3600，设销售量为a，则a（60﹣x）=w，即a（60﹣x）=﹣x2+3600，解得：a=（60+x ），故答案为：（60+x）．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，用的知识点为：因式分解，题目设计比较新颖，同时也考查了学生的逆向思维思考问题．三．解答题（共7小题）15．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x 的取值．（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w；解答：解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，则，解得：300≤x≤350．△y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．△x=320在300≤x≤350内，△当x=320时，最大值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．点评：本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识．16．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y （米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x﹣6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式．（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？考点：二次函数的应用．专题：代数综合题；待定系数法．分析：（1）利用h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点（0，2）代入解析式求出即可；（2）利用当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，（x﹣6）2+2.6=0，分别得出即可；（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．解答：解：（1）△h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，△抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），△2=a（0﹣6）2+2.6，解得：a=，故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，（2）当x=9时，y=（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；当y=0时，（x﹣6）2+2.6=0，解得：x1=6+＞18，x2=6﹣（舍去）故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，解得，此时二次函数解析式为：y=（x﹣6）2+，此时球若不出边界h≥，当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，解得，此时球要过网h≥，故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．点评：此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．17．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出b，c即可求出二次函数解析式，（2）把二次函数式转化可直接求出顶点坐标，由A对称关系可求出点D的坐标．（3）由待定系数法可求出BC所在的直线解析式，与抛物线组成方程求出点E的坐标，利用△BDE的面积=△CDB 的面积+△CDE的面积求出△BDE的面积．（4）设点P到x轴的距离为h，由S△ADP=S△BCD求出h的值，根据h的正，负值求出点P的横坐标即可求出点P的坐标．解答：解：（1）△二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）△，解得△二次函数解析式为：y=x2﹣4x+6，（2）由y=x2﹣4x+6，得y=（x﹣4）2﹣2，△函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），△点A，D是y=x2+bx+c与x轴的两个交点，又△点A（2，0），对称轴为x=4，△点D的坐标为（6，0）．（3）△二次函数的对称轴交x轴于C点．△C点的坐标为（4，0）△B（8，6），设BC所在的直线解析式为y=kx+b，△解得△BC所在的直线解析式为y=x﹣6，△E点是y=x﹣6与y=x2﹣4x+6的交点，△x﹣6=x2﹣4x+6解得x1=3，x2=8（舍去），当x=3时，y=﹣，△E（3，﹣），△△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=×2×6+×2×=7.5．（4）存在，设点P到x轴的距离为h，△S△BCD=×2×6=6，S△ADP=×4×h=2h△S△ADP=S△BCD△2h=6×，解得h=，当P在x轴上方时，=x2﹣4x+6，解得x1=4+，x2=4﹣，当当P在x轴下方时，﹣=x2﹣4x+6，解得x1=3，x2=5，△P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）．点评：本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是利用待定系数的方法求出函数解析式以及三角形面积的转化．18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ△AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；平行四边形的性质．专题：综合题．分析：（1）有抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．由与y轴交于点C（0，﹣3），则代入易得解析式，顶点易知．（2）求△BCM面积与△ABC面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可．因为S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC，S△ABC=•AB•OC，则结论易得．（3）由四边形为平行四边形，则对边PQ、AC平行且相等，过Q点作x轴的垂线易得Q到x轴的距离=OC=3，又（1）得抛物线解析式，代入即得Q点横坐标，则Q点可求．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），△抛物线过点（0，3），△﹣3=a（0+1）（0﹣3），△a=1，△抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，△y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，△M（1，﹣4）．（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD△x轴于D，△S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC=•（3+4）•1+•2﹣4﹣•3•3=+﹣=3S△ABC=•AB•OC=•4•3=6，△S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．（3）存在，理由如下：①如图2，当Q在x轴下方时，作QE△x轴于E，△四边形ACQP为平行四边形，△PQ平行且相等AC，△△PEQ△△AOC，△EQ=OC=3，△﹣3=x2﹣2x﹣3，解得x=2或x=0（与C点重合，舍去），△Q（2，﹣3）．②如图3，当Q在x轴上方时，作QF△x轴于F，△四边形ACPQ为平行四边形，△QP平行且相等AC，△△PFQ△△AOC，△FQ=OC=3，△3=x2﹣2x﹣3，解得x=1+或x=1﹣，△Q（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）点评：本题考查了二次函数图象与性质、平行四边形及坐标系中求不规则图形面积等基础考点，难度适中，适合学生练习．19．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且EF=PF，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）E为AB中点，则横坐标、纵坐标分别为3，1，故坐标为（3，1）；由A落在F处，则BF=AB=3，所以横坐标、纵坐标分别为1，2，故坐标为（1，2）．（2）因为FP=EF且图中并无已知位置，所以画圆是找全所有情况的最好办法，发现y轴上存在两点P，使得FP=EF，进一步根据三角形性质可得到坐标，但要考虑题目中对P点的要求对最后结果进行取舍．求抛物线解析式通常采用的方法为待定系数法，注意题中已知F为顶点，故利用顶点式设抛物线解析式求解过程会简单很多．（3）四边形周长最小我们基本没有接触过，但是周长中其中EF固定，那么周长最小就转化为三段折现最短，恰起止两点已经固定，这是我们在学对称轴时常见的画图找最短路径题目，即利用两次对称点性质将问题转化为两个点间路径最短的问题，则N、M两点易找到，进而最短周长易求．解答：解：（1）E（3，1），F（1，2）．（2）如图1，以点C为圆心，BF为半径画弧交y轴于P，P'，连接EF，FP，FP'．△CF△PP'，CP=CP'△F在PP'的垂直平分线上，△FP=FP'．在△FCP和△EBF中，，△△FCP△△EBF，△FP=EF，CP=BF，△FP=FP'=EF，CP=CP'=BF=2，△P（0，4），P'（0，0）（此点不在y的正半轴上，舍去），△F（1，2）为抛物线顶点，△设抛物线解析式y=a（x﹣1）2+2，△代入P（0，4），解得a=2，y=2（x﹣1）2+2=2x2﹣4x+4．（3）如图2，作E点关于x轴的对称的E'，做F点关于y轴的对称的F'，连接E'F'交x轴，y轴分别为M，N，连接EF，EM，FM．△NF=NF'，EM=E'M，△C四边形NMEF=FM+NM+ME+FE=NF'+NM+ME'+EF=E'F'+EF，根据两点间线段最短得，此时C四边形NMEF最小．△E（3，1），F（1，2），△E'（3，﹣1），F（﹣1，2），△BF'=4，BE'=3，△根据勾股定理，E'F'=5，△EF=，△当C四边形NMEF最小时，C四边形NMEF=E'F'+EF=5+．点评：本题考查了三角形性质，待定系数求抛物线解析式及路径最短等基础知识，数据不复杂，难度也适中，是一道非常值得学生巩固练习的题目．20．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．。

华师大版九年级下册初三数学(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

华师大版九年级下册数学重难点突破全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习二次函数的概念—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.【要点梳理】要点一、函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值.要点诠释：对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.要点二、函数的三种表示方法表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.对照表如下：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a, b, c 是常数，a≠0）的函数叫做x 的二次函数.若b=0，则y=ax 2+c ；若c=0，则y=ax 2+bx ；若b=c=0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．【典型例题】类型一、函数的相关概念1、（2016•南宁）下列各曲线中表示y 是x 的函数的是（）A. B. C. D.【思路点拨】根据函数的意义求解即可求出答案．【答案】 D ；【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，故D 正确．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．举一反三：【变式】下列等式中，y 是x 的函数有（）个.22320,1,||,||x y x y y y x x y -=-==== A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C ；要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于221,x y -= 当x 取2时，y与它对应，对于||x y =，当x 取2时，y 有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数定义的要求：y 都有惟一确定的值与x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义.2、求出下列函数中自变量x 的取值范围.（1）．52+-=x x y（2）．423xy x =- （3）．y =（4）．y =（5）．y =（6）．y =【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的x 的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等. 【答案与解析】解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义；（2）．423x y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32；（3）．y =2x ＋3≥0，即32x ≥-；（4）．y =2x －1＞0，即12x >；（5）．y =x 为任何实数，函数都有意义；（6）．y =，要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2. 【总结升华】关于自变量的取值范围，在实际问题中，还要考虑实际情况.3、若y 与x 的关系式为2-+4+5y x x =，当x ＝2时，y 的值为（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【思路点拨】把2x =代入关系式即可求得函数值. 【答案】B ；【解析】224259y =-+⨯+=.【总结升华】y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 类型二、函数的三种表示方法4、一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．(1)由记录表推出这5小时中水位高度y （米）随时间t•（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？【思路点拨】观察表格发现随着时间的均匀增加，水位高度的增加量相同，可知该函数为一次函数. 【答案与解析】解：(1)由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0.05米，•这样的规律可以表示为：y=0.05t+10（0≤t ≤5）这个函数的图象如下图所示：(2)再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0.05t+10的函数值，从解析式容易算出：y=0.05×7+10=10.35,从函数图象也能得出这个值数．答：2小时后，预计水位高10.35米．【总结升华】本题综合考察了列表法、解析法和图像法，是一道不错的试题. 类型三、二次函数的概念5、当常数m≠ 时，函数y=（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m+2）x+2是二次函数；当常数m= 时，这个函数是一次函数．【思路点拨】根据一次函数与二次函数的定义求解.【答案与解析】解：由函数y=（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m+2）x+2是二次函数，得 m 2﹣2m ﹣8m≠0．解得m≠4，m≠﹣2，由y=（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m+2）x+2是一次函数，得，解得m=4，故答案为：4，﹣2；4．【总结升华】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不能为零，一次函数一次项的系数不能为零．举一反三：【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )A.22x y -= B.xx y 12-= C.22)2(x x y --= D.123+-=x x y 【答案】A 【变式2】若函数是二次函数，则m 的值是．【答案与解析】解：若函数是二次函数，则m 2﹣9m+20=2，再利用m ﹣6≠0，故（m ﹣3）（m ﹣6）=0，m≠6，解得：m=3．故答案为：3．二次函数的概念——巩固练习（基础）【巩固练习】一.选择题1．如图，表示y 是x 的函数图象是（）2. 当x=4时，函数2231y x x =-+-的值是（） A ．-19 B ．-20 C ．-21 D ．-223. 在函数31y x =-中，自变量x 的取值范围是（）A ．13x <B ．13x ≠-C ．13x ≠D ．13x >4．矩形的周长为18cm ，则它的面积S （2cm ）与它的一边长x （cm ）之间的函数关系式是（）A ．(9)(09)S x x x =-<<B ．(9)(09)S x x x =+<≤C ．(18)(09)S x x x =-<≤D ．(18)(09)S x x x =+<<5．如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）间的函数关系用图象表示是（）6. （2017•浦东新区一模）在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（） A ．y=2x 2 B ．y=2x ﹣2C ．y=ax 2D ．二.填空题7. 油箱中有油30kg ，油从管道中匀速流出，1小时流完，•求油箱中剩余油量Q （kg ）与流出时间t （分钟）间的函数关系式为_____________，•自变量的范围是____________．当Q ＝10 kg 时，t ＝__________（分钟）． 8．（2016•银川校级一模）当m= 时，函数是二次函数．9. 用一根长为800厘米的木条，做一个长方形的窗框，若宽为x 厘米，则它的面积)(2cm y 与x )(cm 之间的函数解析式y=____________. 10.当x________________时，函数23y x x =+-.11.将(23)(1)3y x x =+--化成二次函数的一般式是：________________.12.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，如果存款额为10000元，则两年后的本息和y （元）的表达式为________________. 三.解答题13.某工厂现在年产值25万元，计划今后每年增加2万元. （1）写出年产值y (万元)与年数x 的函数关系；（2）画出函数图象；（3）求计划7年后的年产值.14.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品的日销量y （件）与每件商品的销售价x （元）满足一次函数关系式y=162-3x ，求商场销售这种商品的日销售利润W （元）与每件商品的销售价x 元之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.15.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍). （1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围. （2）设该宾馆每天的利润为w 元，请写出w 关于x 的函数关系式.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】把握函数的定义，对于自变量x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值和它对应. 2. 【答案】C.【解析】将x=4代入函数2231y x x =-+-即可求得. 3. 【答案】D ；【解析】要使函数有意义，需3x －1＞0. 4. 【答案】A ；【解析】矩形的另一边长为18292xx -=-，所以(9)(09)S x x x =-<<. 5. 【答案】D ； 6.【答案】A ；【解析】A 、是二次函数，故A 符合题意；B 、是一次函数，故B 错误；C 、a=0时，不是二次函数，故C 错误；D 、a ≠0时是分式方程，故D 错误.二.填空题7. 【答案】t Q 5.030-=；600≤≤t ；40．【解析】油从油箱里流出的速度为30÷60=0.5/min kg ，所以函数关系式t Q 5.030-= 8.【答案】1．【解析】解：根据题意得：m 2+1=2且m+1≠0，解得m=±1且m ≠﹣1，所以m=1． 9. 【答案】2400y x x =-+【解析】宽为xcm ，则长为（400-x ）cm ，所以面积2(400)400y x x x x =-=-+. 10.【答案】-2≤x ≤3；【解析】二次根式有意义，需要被开方数大于等于0，即2030x x +≥⎧⎨-≥⎩.11.【答案】226y x x =+-.12.【答案】2100002000010000y x x =++【解析】定期存款一年后本息和为：10000（1+x ）元，定期存款两年后本息和为：10000（1+x ）2元.二.解答题 13.【解析】解：（1）252y x =+ （2）通过列表，描点，画出下图：（3）当x ＝7时，y ＝25＋2×7＝25＋14＝39（万元），故计划7年后的年产值是39万元.14.【解析】解：由题意得，每件商品的销售利润为（x-30）元，那么y 件的销售利润为 W=y×（x-30），又∵y=162-3x ， ∴W= (x-30)(162-3x)=-3x 2+252x-4860 ∵30016230x x -⎧⎨-⎩≥≥，解得30≤x ≤54.∴y=-3x 2+252x-4860（30≤x ≤54）. 15.【解析】解：（1）y=50—10x（0＜x ≤160，且为10的正整数倍）（2）()180205010x w x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭=2134800010x x -++（0＜x ≤160，且为10的正整数倍）二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1．（2016•潮南区模拟）二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2的顶点的坐标是，对称轴是．【思路点拨】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可．【答案】（3，2），直线x=3．【解析】二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2；顶点坐标是（3，1），对称轴是直线x=3．故答案为：（3，2），直线x=3．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．举一反三：【课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 391919 练习2】【变式】将抛物线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为．【答案】23127y x x =-+-.2．将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.【答案与解析】解：y=x 2﹣6x+5=（x ﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）， ∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2﹣2．【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．举一反三：【课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 391919 练习2】【变式】二次函数21(3)42y x =-+的图象可以看作是二次函数212y x =的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．【答案】上；右.类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3．二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点．（1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A （0，﹣1）代入y 1=a （x ﹣2）2，得：﹣1=4a ，即a=﹣，∴二次函数解析式为y 1=﹣（x ﹣2）2=﹣a 2+a ﹣1；设直线AB 解析式为y=kx+b ，把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB 解析式为y=x ﹣1；（2）根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y 1=y 2时，x=0或x=2，y 1＞y 2时，0＜x ＜2．【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．4．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：212y x =，2132y x =+，2132y x =-．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）请你说出抛物线212y x c =+的开口方向，对称轴及顶点坐标．【答案与解析】（1）列表：x... -3 -2 -1 0 1 2 3 (2)12y x =…142 212 012 2142…描点、连线，可得抛物线22y x =．将212y x =的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到2132y x =+与2132y x =-的图象（如图所示）．抛物线212y x =，2132y x =+与2132y x =-开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）抛物线212y x c =+的开口向上，对称轴是y 轴（或直线0x =），顶点坐标为（0，c ）．【总结升华】先用描点法画出212y x =的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．规律总结：2y ax k =+k ←−−−−−向上平移个单位2y ax =k −−−−→向下平移个单位2(0)y ax k k =->．二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.抛物线2(2)3y x =-+-的顶点坐标是（）A ．(2，-3)B ．(-2，3)C ．(2，3)D ．(-2，-3) 2.函数y=21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（） A.y=21(x －1)2+2 B.y=21(x －1)2+21 C.y=21(x －1)2－3 D.y=21(x+2)2－1 3．抛物线y=21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( ) A.y=21(x+3)2－2 B.y=21(x －3)2+2 C.y=21(x －3)2－2 D.y=21(x+3)2+2 4．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（）A ．2)1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2++=x yD ．2)1(2-+=x y5．由二次函数22(3)1y x =-+，可知（）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（）.A. B. C. D.二、填空题7. （2015•怀化）二次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为，对称轴是直线．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_ _____. 9．（2016•宝山区一模）抛物线y=﹣2（x ﹣3）2+4的顶点坐标是．10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．11．将抛物线22y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____． 12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知3y kx =-+的图象经过点C ，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题13．（2016•盐城校级期末）已知二次函数y=（x ﹣2）2﹣4．（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出当y ＜0时x 的取值范围．14. 已知抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线2()y a x h k =-+；（1）求出a ，h ，k 的值；（2）在同一直角坐标系中，画出2()y a x h k =-+与212y x =-的图象；（3）观察2()y a x h k =-+的图象，当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，函数y 有最________值，最________值是y =________；（4）观察2()y a x h k =-+的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？15．（2015•珠海）已知抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】D ；【解析】由顶点式可求顶点，由20x +=得2x =-，此时，3y =-． 2.【答案】D ；【解析】通过配方即可得到结论. 3.【答案】A ；【解析】抛物线 y=21x 2向左平移3个单位得到y=21(x+3)2，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y=21(x+3)2－2.4.【答案】B ；【解析】通过配方即可得到结论. 5.【答案】C ；【解析】可画草图进行判断. 6.【答案】D ；【解析】解：A 、由直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，n 2＜0，错误；B 、由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知，m ＞0，由直线可知，﹣m ＞0，错误；C 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＜0，错误；D 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＞0，正确，故选D ．二、填空题 7．【答案】（﹣1，﹣1）； x=﹣1；【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴二次函数y=x 2+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．8．【答案】x ≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y 随x 的增大而减小，故x ≥－1.9.【答案】（3，4）．【解析】y=﹣2（x ﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）． 10．【答案】249y x x =---；【解析】设2(2)5y a x =+-过点（1，－14）得1a =-，所以22(2)549y x x x =-+-=---. 11．【答案】21027y x x =-+；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解. 12．【答案】 1；【解析】C(2，-6)，可求932y x =-+与x 轴交于2(,0)3，与y 轴交于(0，3)，∴ 123123S =⨯⨯=. 三、解答题13.【答案与解析】x … 0 1 2 3 4 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …（2）由图象可知：当y ＜0时x 的取值范围是0＜x ＜4． 14.【答案与解析】（1）由212y x =-向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是21(1)22y x =--+．∴ 12a =-，1h =，2k =．（2）函数21(1)22y x =--+与212y x =-的图象如图所示．（3）观察2()y a x h k =-+的图象，当1x <时，y 随x 的增大而增大；当1x =时，函数y 有最大值，最大值是2y =．（4）由图象知，对于一切x 的值，总有函数值2y ≤． 15.【答案与解析】（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，∴2a+b=0；（2）解：∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b﹣8=0， ∵2a+b=0， ∴b=﹣2a ，∴16a﹣8a ﹣8=0，解得：a=1，则b=﹣2，∴ax 2+bx ﹣8=0为：x 2﹣2x ﹣8=0，则（x ﹣4）（x+2）=0，解得：x 1=4，x 2=﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1. 会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3.经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++．2.一般式化成顶点式2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭．对照2()y a x h k =-+，可知2bh a=-，244ac b k a -=．∴ 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．要点诠释：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象与性质2.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2bx a=-时，244ac b y a-=最值．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当2bx a=-时，244ac b y a -=最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，222y ax bx c =++最大值；当x ＝x 1时，211y ax bx c =++最小值，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，2b x a=-时y 值的情况．【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质1．求抛物线2142y x x =-+-的对称轴和顶点坐标．【答案与解析】解法1（配方法）：2221114(2)4(211)4222y x x x x x x =-+-=---=--+-- 211(1)422x =--+-217(1)22x =---．∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =．解法2（公式法）：∵ 12a =-，1b =，4c =-，∴ 11122()2b x a=-=-=⨯-，2214(4)147214242ac b a ⎛⎫⨯-⨯-- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． ∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =．解法3（代入法）：∵ 12a =-，1b =，4c =-， ∴ 111222b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．将1x =代入解析式中得，21711422y =-⨯+-=-．∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =．【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．举一反三：【课程名称：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 392790 例题1】【变式】把一般式2286y x x =-+-化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2). （2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.2．（2016•泰安）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由y=ax 2+bx+c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到一次函数y=ax+b 的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．【答案】A ．【解析】解：∵y=ax 2+bx+c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y=ax+b 的图象经过一，二，三象限．故选A ．【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的取值范围．类型二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值3．求二次函数211322y x x =++的最小值. 【答案与解析】解法1(配方法)：∵ 2221111(6)(639)2222y x x x x =++=++-+ 21(3)42x =+-，∴ 当x ＝-3时，4y =-最小．解法2(公式法)：∵ 102a =>，b ＝3，12c = ∴ 当331222b x a =-=-=-⨯时，22114341922414242ac b y a ⨯⨯---====-⨯最小．解法3(判别式法)：∵ 211322y x x =++，∴ 26(12)0x x y ++-=．∵ x 是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4．∴ y 有最小值-4，此时2690x x ++=，即x ＝-3．【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择．举一反三：【课程名称：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 392790 例题2】【变式】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩形场地的面积S 最大？【答案】(30)S L L =-2(30)L L =-- 2(15)225L =--+（0<L <30）．15L ∴=（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2．类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠性质的综合应用4．已知二次函数21y x bx c =+++的图象过点P(2，1)．（1）求证：24c b =--；（2）求bc 的最大值．【答案与解析】（1）∵ 21y x bx c =+++的图象过点P(2，1)，∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．（2）22(24)2(2)2(1)2bc b b b b b =--=-+=-++．∴ 当1b =-时，bc 有最大值．最大值为2．【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b 、c 的关系即可．（2）利用（1）中b 与c 的关系，用b 表示bc ，利用函数性质求解．举一反三：【变式】（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A. 1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4，①正确；∵x=2时，y ＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B ．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 将二次函数223=-+的形式，结果为（）．()y x h k=-+化为2y x xA．2y x=++D．2y x=-+(1)2(1)2=-+C．2(1)4y x=++B．2y x(1)42．（2016•益阳）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小3．若二次函数25y x k=-+，则b、k的值分别为（）．=++配方后为2y x bx(2)A．0，5 B．0，1 C．-4，5 D．-4，14．抛物线2=++的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式y x bx c为223=--，则b、c的值为（）．y x xA.b=2，c=2B. b=2，c=0C. b= -2，c= -1D. b= -3，c=25．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值( )A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题7．（2015•怀化）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．8．已知二次函数22=-+，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．y ax ax c9．二次函数2y x bx c=++的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．10．二次函数23=-+的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m的值是________．y x mx第10题第11题11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___ ；第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __. 12．（2016•玄武区一模）如图为函数：y=x 2﹣1，y=x 2+6x+8，y=x 2﹣6x+8，y=x 2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x 2﹣6x+8的图象的序号是．三、解答题 13．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．14. 如图所示，抛物线254y ax ax a =-+与x 轴相交于点A 、B ，且过点C （5，4）．（1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．15.已知抛物线215322y x x =---： (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x 取何值时，y 随x 的增大而增大？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？函数y 有最大值还是最小值？最值为多少？【答案与解析】一、选择题。

华师大版数学九年级下二次函数综合复习

二次函数综合一．选择题（共8小题）1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．3．以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤24．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+46．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或37．将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3 C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣38．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，其中，正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共9小题）9．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是．10．二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为．11．将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为．12．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．13．某学习小组为了探究函数y=x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m=．x …﹣2 ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 …y … 2 0.75 0 ﹣0.25 0 ﹣0.25 0 m 2 …14．设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为．15．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图形经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号是．16．已知而成函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y=x+m 有三个不同公共点时m的值是．17．抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．三．解答题18．已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．19．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．22．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？23．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？24．图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=，tan，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）求点P的坐标；（2）水面上升1m，水面宽多少（取1.41，结果精确到0.1m）？25．课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．26．如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．27．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？28．如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．①求点P的运动路程；②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．29．如图1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧上一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为4，tan∠EAH=，求EH的长．30．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．2017年02月07日490671802的初中数学组卷参考答案一．选择题（共8小题）1．C；2．A；3．A；4．C；5．B；6．B；7．D；8．B；二．填空题（共9小题）9．（1，4）；10．-4；11．y=2（x+2）2-2；12．y3＞y1＞y2；13．0.75；14．y=x2-x+2或y=-x2+x+2；15．①②；16．1或；17．；三．解答题（共13小题）18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；。

2023-2024学年华东师大版九年级数学下册综合复习题(含解析)

华东师大版九年级数学下册综合复习题一、单选题1．如图所示，的顶点A ，B ，C 均在上，若，则的大小是（）.A ．B ．C ．D ．2．抛物线y=x 2-2x+3的对称轴是（）A ．直线x=1B ．直线x=2C ．直线x=-1D ．直线x=-23．抛物线上有、两点，则和的大小关系一定为（）A ．B ．C ．D ．4．将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，已知△ABC ，O 为AC 上一点，以OB 为半径的圆经过点A ，且与BC 、OC交于点D 、E ，设∠A=α，∠C=β，（）A ．若α+β=70°，则的度数为20°B ．若α+β=70°，则的度数为40°C ．若α-β=70°，则的度数为20°ABC O 90ABC AOC ︒∠+∠=AOC∠30︒45︒60︒70︒22y x x a =--()14A y -，()22B y ，1y 2y 21y y <12y y <210y y <<120y y <<22y x =()2213y x =--()2213y x =-+()2213y x =+-()2213y x =++ DEDEDED ．若α-β=70°，则的度数为40°6．某校七（二）班班长统计了今年1﹣8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图，下列说法错误的是（）A ．阅读量最多的是8月份B ．阅读量最少的是6月份C ．3月份和5月份的阅读量相等D ．每月阅读量超过40本的有5个月7．二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是（）A ．B ．b ＞0C ．c ＞0D ．8．已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，抛物线的对称轴是，并与x 轴交于A ，B 两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m 为任意实数，则，正确的个数是（）DE()2y ax bx c a 0=++≠a 0<2b 4ac 0->()2230y ax ax a =-+>()11A y -，()22B y ，()34C y ，1y 2y 3y 123y y y <<213y y y <<312y y y <<231y y y <<()20y ax bx c a =++≠2x =-5OA OB =0abc >()220a c b +-=940a c +<224am bm b a ++≥A ．1B ．2C ．3D ．410．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是A ．B ．C ．D ．二、填空题11．经调查，某班的45名学生上学所用的交通工具中，自行车占40%，则该班骑自行车上学的学生有名.12．二次函数y=x 2+2ax+a 在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a 的值为　　．13．在直角坐标平面中，将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是．14．自行车车轮的辐条编制方式是多种多样的，同样大小的车轮，辐条编法不同，辐条的长度是不一样的，图2和图3是某种“24吋（指轮圈直径）”车轮一侧的辐条编法示意图，两个同心圆分别代表轮圈和花鼓，连接两圆的线段代表辐条，轮圈和花鼓上的穿辐条的孔都等分圆周，图2是直拉式编法，每根辐条的延长线都过圆心，优点是编法简单，缺点是轮强度较低，且力传递的效果较差，所以一般都采用如图3（两图中孔的位置一样）这样的错位式编法，若弧DC 的长度和弧AB 相等，则BE 的长度为　　吋.y ax b =+DE x =()221y x =+三、解答题15．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，是的中点，连接BC ，， BD.求的大小.16．已知△ABC 中∠ACB=90°，E 在AB 上，以AE 为直径的⊙O 与BC 相切于D ，与AC相交于F ，连接AD ．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）连接OC ，如果∠B=30°，CF=1，求OC 的长．17．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ．求证：DC 是⊙O 的切线．18．如图，已知三角形ABC 的边AB 是⊙0的切线，切点为B ．AC 经过圆心0并与圆相交于点D 、C ，过C 作直线CE 丄AB ，交AB 的延长线于点E．E OD AO C（1）求证：CB 平分∠ACE ；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O 的半径．19．为宣传世界海洋日，某校八年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的如识竞赛活动．为了解全年级600名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：知识竞赛成绩分组统计表组别分数/分频数A B 11C 16D24（1）本次调查一共随机抽取了名参赛学生的成绩；（2）统计表中　；（3）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到70分以上（含70分）的学生约有多少人．20．某超市经销一种商品，每千克成本为50元．试销发现该种商品每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，规定利润率不得高于30%，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表：销售单价x （元/千克）5560n706070x ≤<a7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤≤a =销售量y （千克）70m 5040（1）求y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式．（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？21．如图，是的直径，D 是延长线上的一点，点C 在上，交的延长线于点E ，平分．（1）求证：是的切线；（2）若，求的直径．22．如图，△ABC 为的内接三角形，且AB 为的直径，DE 与相切于点D ，交AB 的延长线于点E ，连接OD 交BC 于点F ，连接AD 、CD ，．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若，，求的半径r ．23．（1）问题提出如图1，在中，，，，求的AB O AB O BC BD AE CD =⊥，DC AC BAE ∠CD O 6CD =O O O O E ADC ∠=∠2CF DF =6AC =O ABC75A ∠=︒60C ∠=︒AC =ABC外接圆半径R 的值；（2）问题探究如图2，在中，，，，点D 为边BC 上的动点，连接AD 以AD 为直径作交边AB 、AC 分别于点E 、F ，接E 、F ，求EF 的最小值；（3）问题解决如图3，在四边形ABCD 中，，，，，连接AC ，线段AC 的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由.ABC 60BAC ∠=︒45C ∠=︒AC =O 90BAD ∠=︒30BCD ∠=︒AB AD=BC CD +=答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC ，∴∠AOC=2∠ABC ，∵∠ABC+∠AOC=90°，∴3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°.故答案为：C.【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC=2∠ABC ，再结合∠ABC+∠AOC=90°可求出∠ABC 的度数，从而即可得出∠AOC 的度数.2．【答案】A【解析】【解答】解：，∴抛物线的对称轴为：x=1，故答案为：A ．【分析】将函数解析式化为顶点式，即可得出抛物线的对称轴。

2019-九年级数学下册26二次函数复习题(新版)华东师大版

2019-2020 年九年级数学下册26 二次函数复习题（新版）华东师大版一、选择题1、抛物线 y=x2﹣ 2x+1 与坐标轴交点为（）A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点2、已知抛物线2与 x 轴的一个交点为（m， 0），则代数式2y=x ﹣ x﹣ 1m﹣ m+2013的值为（）A．2011B． 2012C． 2013D．20143、已知二次函数y=ax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值以下表：则以下判断中正确的选项是（）A．抛物线张口向上B．抛物线与y 轴交于负半轴C．当x=3时， y＜ 0D．方程ax2+bx+c=0 有两个相等实数根4、二次函数 y=x 2+bx 的图象如图，对称轴为直线t=0 （ t 为实数）在﹣ 1＜ x＜ 4 的范围内有解，则x=1，若对于 x 的一元二次方程 t的取值范围是（）x2+bx﹣A．t ≥﹣ 1 B．﹣ 1≤ t ＜ 3C．﹣ 1≤ t ＜ 8D．3＜ t ＜ 85、某企业在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售收益y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别知足：y1=﹣ x2+10x， y2=2x，若该企业在甲，乙两地共销售15 辆该品牌的汽车，则能获取的最大收益为（）A．30 万元B． 40 万元C． 45 万元D．46 万元6、烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新式礼炮，这类礼炮的升空高度h（m）与飞翔时间 t （ s）的关系式是，若这类礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．2s B． 4s C． 6s D．8s7、以下图形中，暗影部分的面积为 2 的有（）个．A． 4 个B．3 个 C．2 个 D． 1 个8、如图，二次函数y=﹣ x2﹣ 2x 的图象与x 轴交于点A、 O，在抛物线上有一点P，知足S△AOP=3，则点 P 的坐标是（）A．（﹣ 3，﹣ 3）B．（1，﹣3）C．（﹣ 3，﹣ 3）或（﹣ 3， 1）D．（﹣3，﹣3）或（1，﹣3）9、抛物线 y=ax 2+bx+c 如图，考察下述结论：①b＜0；② a﹣b+c＞ 0；③ b2＞ 4ac；④ 2a+b＜0．正确的有（）①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 2O顺时针旋转90°，获取△ OCD，边 CD与该抛物线交于点P，则点 P 的坐标为（）A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）二、填空题21、如图，抛物线y=ax +bx+c （ a＞ 0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线，若点P（ 4， 0）在该抛物线上，则4a﹣ 2b+c 的值为．2、已知抛物线y=x 2﹣ k 的极点为P，与 x 轴交于点A， B，且△ ABP是正三角形，则k 的值是．3、如图是函数 y=x 2+bx﹣1 的图象，依据图象供给的信息，确立使﹣1≤y≤ 2 的自变量x 的取值范围是．4、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米，水面降落 1 米时，水面的宽度为米．5、如图，正方形ABCD边AB在x 轴上，且坐标分别为A（1， 0）， B（﹣ 1，0），若抛物线经过A，B 两点，将正方形绕 A 点顺时针旋转30°后D点转到D′地点，且D′在抛物线上，则抛物线的分析式为．A，对称轴6、已知：如图，过原点的抛物线的极点为M（﹣ 2， 4），与 x 轴负半轴交于点与 x 轴交于点 B，点 P 是抛物线上一个动点，过点P 作 PQ⊥ MA于点 Q．（1）抛物线分析式为．（2）若△ MPQ与△ MAB相像，则知足条件的点P 的坐标为．三、解答题1、某机械企业经销一种部件，已知这类部件的成本为每件20 元，检查发现当销售价为24元时，均匀每日能售出32 件，而当销售价每上升 2 元，均匀每日就少售出 4 件．（1）若企业每日的现售价为x 元时则每日销售量为多少？（2）假如物价部门规定这类部件的销售价不得高于每件28 元，该企业想要每日获取150元的销售收益，销售价应该为多少元？2、某经销商销售一种产品，这类产品的成本价为10元 / 千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这类产品的销售价不高于18 元 / 千克，市场检查发现，该产品每日的销售量 y（千克）与销售价x（元 / 千克）之间的函数关系以下图：（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）求每日的销售收益 W（元）与销售价 x（元 / 千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每日的销售收益最大？最大收益是多少？（3）该经销商想要每日获取 150 元的销售收益，销售价应定为多少？3、如图，抛物线y=﹣ x2+3x+4 与 x 轴交于 A、 B 两点，与y 轴交于 C点，点 D在抛物线上且横坐标为3．（1）求 tan ∠ DBC的值；（2）点 P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P 的坐标．4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx2﹣ 2x 与 x 轴正半轴交于点A，极点为B．（1）求点 B 的坐标（用含m的代数式表示）；（2）已知点C（ 0，﹣ 2），直线AC与 BO订交于点D，与该抛物线对称轴交于点E，且△OCD≌△ BED，求 m的值；（3）在由（ 2）确立的抛物线上有一点N（ n，﹣），N在对称轴的左边，点F，G在对称轴上， F 在 G上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长最小时：①求点 F 的坐标；②设点 P 在抛物线上，在y 轴上能否存在点H，使以 N， F， H， P 为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明原因．5、如图，二次函数y= x2+bx+c 的图象交x 轴于 A、 D两点，并经过 B 点，已知 A 点坐标是（2， 0）， B 点的坐标是（ 8， 6）．（1）求二次函数的分析式．（2）求函数图象的极点坐标及D 点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交 x 轴于 C点．连结 BC，并延伸 BC交抛物线于 E点，连结 BD，DE，求△ BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与 A， D两点组成△ ADP，能否存在S△ADP= S△BCD？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在．请说明原因．华师大版九年级下册26 章二次函数单元复习题答案一、选择题ADCCD BBDBC二、填空题1、 02、 33、 2≤ x≤3 或﹣ 1≤x≤ 04、5、 y=（x+1）（x﹣1）（或y=x2﹣）6、 y=﹣ x2﹣ 4x；（﹣，）、（﹣，）三、解答题1、解：（ 1）由题意，得32﹣×4=80﹣2x．答：每日的现售价为x 元时则每日销售量为（80﹣ 2x）件；（2）由题意，得（x﹣20）（80﹣2x）=150，解得： x1=25，x2=35．∵x≤ 28，∴x=25 ．答：想要每日获取150 元的销售收益，销售价应该为25 元．2、解：（ 1）设 y 与 x 之间的函数关系式y=kx+b ，把（ 10， 40），（ 18， 24）代入得，解得，∴y 与 x 之间的函数关系式y=﹣ 2x+60 （10≤ x≤ 18）；（2） W=（ x﹣ 10）（﹣ 2x+60）=﹣ 2x2+80x ﹣600，对称轴 x=20，在对称轴的左边y 跟着 x 的增大而增大，∵10≤ x≤ 18，∴当 x=18 时， W最大，最大为192．即当销售价为 18 元时，每日的销售收益最大，最大收益是192 元．（3）由 150=﹣ 2x2+80x﹣ 600，解得 x1=15， x2 =25（不合题意，舍去）答：该经销商想要每日获取150 元的销售收益，销售价应定为15 元．3、解：（ 1）令 y=0，则﹣ x2+3x+4=﹣（ x+1）（ x﹣4） =0，解得 x 1=﹣ 1，x2=4．∴A（﹣ 1，0）， B（4， 0）．当 x=3 时， y=﹣ 32+3×3+4=4，∴D（ 3， 4）．如图，连结 CD，过点 D 作 DE⊥ BC于点E．∵C（ 0， 4），∴CD∥ AB，∴∠ BCD=∠ABC=45°．在直角△ OBC中，∵ OC=OB=4，∴BC=4 ．在直角△ CDE中， CD=3．∴CE=ED=，∴B E=BC﹣ CE=．∴t an ∠ DBC= = ；（2）过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F．∵∠ CBF=∠DBP=45°，∴∠ PBF=∠DBC，∴tan ∠ PBF= ．设 P（ x，﹣ x2+3x+4），则= ，解得 x 1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．4、解：（ 1）∵ y=mx2﹣2x=m（ x﹣）2﹣，∴极点 B 的坐标为（，﹣）；（2）∵点 C（ 0，﹣ 2），∴OC=2．设抛物线的对称轴与 x 轴交于点M．∵ME∥ y 轴，∴△ AME∽△ AOC，∴= = ，∴ME= OC=1．∵△ OCD≌△ BED，∴O C=BE=2，∴B M=BE+ME=3，∴﹣=﹣ 3，∴m= ；（3）由（ 2）得抛物线的分析式为y= x2﹣ 2x，其对称轴是直线x=3， A（ 6，0）．①∵点 N（n，﹣）在此抛物线上，∴﹣=n2﹣ 2n，解得 n1=1， n2=5．∵点 N 在对称轴的左边，∴n=1，∴N（ 1，﹣）．将点 N 向上平移 1 个单位获取N′（ 1，﹣），连结AN′，与对称轴的交点即为所求点F．在对称轴大将点 F 向下平移 1 个单位获取点 G，连结 NG， OF，可知此时获取的四边形ONGF的周长最小（由 N′ F′+AF′＞ AN′，可得 NG′ +OF′＞ NG+OF）．设直线 AN′的分析式为 y=kx+b ，把 N′（ 1，﹣），A（6，0）代入，得，解得，∴y= x﹣．∵点 F 是 AN′与对称轴是直线x=3 的交点，∴F（ 3，﹣）；②N（ 1，﹣），F（3，﹣），设H（0，y）．分两种状况议论：Ⅰ）当 NF为平行四边形的边时，FH∥NP， FH=NP．假如 NFHP为平行四边形，∵点 F 向左平移 3 个单位横坐标为0，∴点 P 的横坐标为1﹣ 3=﹣ 2，当 x=﹣ 2 时， y= x2﹣ 2x=×（﹣2）2﹣2×（﹣2）=，∴P（﹣ 2，），∴N 点先向左平移 3 个单位，再向上平移﹣（﹣）=7个单位到点P，∴H 点纵坐标为﹣+7=，∴H 点坐标为（ 0，）；假如 NFPH为平行四边形，∵点 N 向左平移 1 个单位横坐标为0，∴点 P 的横坐标为3﹣ 1=2，当x=22时，y=x﹣2x=2×2﹣ 2× 2=﹣，∴P（ 2，﹣），∴F 点先向左平移 1 个单位，再向下平移﹣﹣（﹣）=个单位到点P，∴H 点纵坐标为﹣﹣=﹣，∴H 点坐标为（ 0，﹣）；Ⅱ）当 NF为平行四边形的对角线时，∵NF 的中点坐标为（2，﹣），∴HP的中点坐标为（2，﹣），∵H（ 0， y），∴点 P 的横坐标为4，当x=42时，y=x﹣2x=2×4﹣ 2× 4=﹣，∴P（ 4，﹣），∴H 点纵坐标为2×（﹣）﹣（﹣）=，∴H 点坐标为（ 0，）；综上所述，所求H 点坐标为（ 0，）或（0，﹣）或（0，）．5、解：（ 1）∵二次函数y= x2+bx+c 的图象过A（ 2，0）， B（8， 6）∴，解得∴二次函数分析式为：y=x2﹣ 4x+6，（2）由 y= x2﹣ 4x+6，得 y= （ x﹣ 4）2﹣2，∴函数图象的极点坐标为（ 4，﹣ 2），∵点 A， D是 y= x2+bx+c 与 x 轴的两个交点，又∵点 A（2， 0），对称轴为x=4，∴点 D 的坐标为（ 6， 0）．（3）∵二次函数的对称轴交x 轴于C点．∴C 点的坐标为（4， 0）∵B（ 8， 6），设 BC所在的直线分析式为y=kx+b ，∴解得∴BC所在的直线分析式为y=x﹣ 6，∵E 点是 y= x﹣ 6 与 y=x2﹣ 4x+6 的交点，∴x﹣6= x2﹣ 4x+6解得 x1=3， x2=8（舍去），当 x=3 时， y=﹣，∴E（ 3，﹣），∴△ BDE的面积 =△ CDB的面积 +△ CDE的面积 = ×2× 6+ ×2× =7.5 ．（4）存在，设点 P 到 x 轴的距离为h，∵S△BCD= ×2× 6=6， S△ADP= ×4× h=2h∵S△ADP= S△BCD∴2h=6×，解得 h= ，当 P 在 x 轴上方时，= x2﹣ 4x+6，解得 x1=4+，x2=4﹣，当当 P 在 x 轴下方时，﹣= x2﹣ 4x+6，解得 x1=3， x2=5，∴P1（ 4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）．。

(期末复习)华师大版九年级数学下册期末综合检测试卷(有答案)

期末专题复习：华师大版九年级数学下册期末综合检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.二次函数y＝－2(x－1)2＋3的图象的顶点坐标是（）A. （1，3）B. （－1，3）C. （1，－3）D. （－1，－3）2.把二次函数y=x2−2x−1配方成顶点式为( )A. y=(x−1)2B. y=(x−1)2−2C. y=(x+1)2+1D. y=(x+1)2−23.下列说法，正确的是( )A. 半径相等的两个圆大小相等B. 长度相等的两条弧是等弧C. 直径不一定是圆中最长的弦D. 圆上两点之间的部分叫做弦4.如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（）A. 68°B. 88°C. 90°D. 112°5.半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（－3，4）与⊙O的位置关系是（）.A. 在⊙O内B. 在⊙O上C. 在⊙O外D. 不能确定6.（2016•温州）如图是九（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．由图可知，人数最多的一组是（）A. 2～4小时B. 4～6小时C. 6～8小时D. 8～10小时7.如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD=20，则△ABC的周长为（）A. 20B. 30C. 40D. 508.如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（）A. 4π cmB. 3π cmC. 2π cmD. π cm9.如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为( )A. 70°B. 90°C. 110°D. 120°10.如图，点P为正方形ABCD的边CD上一点，BP的垂直平分线EF分别交BC、AD于E、F两点，GP⊥EP 交AD于点G，连接BG交EF于点H，下列结论：①BP=EF；②∠FHG=45°；③以BA为半径⊙B与GP 相切；④若G为AD的中点，则DP=2CP．其中正确结论的序号是（）A. ①②③④B. 只有①②③C. 只有①②④D. 只有①③④二、填空题（共10题；共30分）11.如图，点A、B把⊙O分成2：7两条弧，则∠AOB=________．12.已知函数y=(m−1)x m2+1+5x+3是关于x的二次函数，则m的值为________．13.二次函数y=x2－2x－3与x轴交点交于A、B两点，交y轴于点C，则△OAC的面积为________.14.对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法：①最小值为2；②图象的顶点是(3，2)；③图象与x轴没有交点；④当x＜－1时，y随x的增大而增大．其中正确的是________．15.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C 是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P的圆心的坐标是________．16.生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为________只．17.某二次函数的图象的顶点坐标（4，﹣1），且它的形状、开口方向与抛物线y=﹣x2相同，则这个二次函数的解析式为________．̂的三等分点，连接OC，OD，AC，18.如图，在圆心角为135°的扇形OAB中，半径OA=2cm，点C，D为ABCD，BD，则图中阴影部分的面积为________cm2．19.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AF=________．20.如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在边CD上点F处，连接AF.在AF上取点O，以点O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P.若AB=6，BC=3√3，给出下列结论① F是CD的中点;②⊙O的半径是2; ③ AE=92CE;④ S阴影=√32.其中正确的是________.(填序号)三、解答题（共9题；共60分）21.如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径．22.某农户承包荒山种了44棵苹果树．现在进入第三年收获期．收获时，先随意摘了5棵树上的苹果，称得每棵树摘得的苹果重量如下（单位：千克）35 35 34 39 37（1）在这个问题中，总体指的是？个体指的是？样本是？样本容量是？（2）试根据样本平均数去估计总体情况，你认为该农户可收获苹果大约多少千克？23.已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点（-1，0）和点（2，-9）．（1）求该二次函数的解析式并写出其对称轴；（2）已知点P（2，-2），连结OP，在x轴上找一点M，使△OPM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）．24.如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，①判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。

华东师范大学出版社九年级下册数学知识点总结归纳

精心整理华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，1.二次函数基本形式：2=的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

y ax2.2y ax c =+的性质：()2a x h =- ()2a x h k=-+ 三、二次函数图方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2.平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵yy =k ，确y 1.当2a 24a a ⎪⎝⎭，。

当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-。

2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。

当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-。

七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3.. 1.⑴当⑵当的正负决定开口方向，a2.在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴。

九年级数学华师大九下《二次函数》复习题

二次函数1、经过A （0;1）点作一条与x 轴平行的直线;这条直线与抛物线24x y =相交于点M 、N;则M 、N 两点的坐标分别为2、直线y=3与抛物线1282-+-=x x y 的两个交点坐标分别是A （）B （）若抛物线1282-+-=x x y 的顶点为D;则△ABD 的面积是 3、若二次函数22-=mmx y 有最大值;则m=4、抛物线2ax y =（a ≠0）是一条不经过一、二象限的抛物线;则点（-a;a-1）在象限。

5、在边长为4的正方形木板中间挖去一个长为x 的小正方形木板;则剩余木板的面积y 与x 之间的函数关系为6、抛物线2ax y =是一条不经过一、二象限的抛物线;则点（-a;a-1）在第象限。

7、在边长为4的正方形木板中间挖去一个长x 的小正方形木板;则剩下木板的面积y 与x 之间的函数关系式为8、经过A （0;1）点作一条与x 轴平行的直线;这条直线与抛物线24x y =相交于点M 、N;则M 、N 两点的坐标分别为 9、若函数()4112+--=x m x y 恒正;则m 的取值范围是。

10、把函数23x y -=的图象沿x 轴折叠;得到的图象的解析式为11、函数23+-=x y 在()13≤≤-x （区间）的最大值是 ;最小值是。

函数()132-≤≤-=x xy 的最大值是 ;最小值是。

12、开口向下的抛物线对称轴是x =2;当自变量x 取2;–1;6;–3时;对应函数值为a 、b 、c 、d ;则a 、b 、c 、d 的大小关系是。

13、开口向上的抛物线对称轴是x=2;当自变量x 取2;π;0时;对应函数值为y 1;y 2;y 3;则y 1;y 2;y 3的大小关系是。

14、抛物线362+-=x x y 在区间()40≤≤x 内的最大值是 ;最小值是 ;函数432++-=x x y 在区间()25-≤≤-x 内的最大值是 ;最小值是。

华师大版九年级数学下册期末综合检测试卷(含答案解析).doc

华师大版九年级数学下册期末综合检测试卷一、单选题（共10题；共30分）2要得到y=（x—3）2—2的图象，只要将y=x?的图象（）A.由向左平移3个单位，再向上平移2个单位；B.由向右平移3个单位，再向下平移2个单位；C.由向右平移3个单位，再向上平移2个单位；D.由向左平移3个单位，再向下平移2个单位.2.为了解某一路口某一时段的汽车流量，小明同学10天中在同一时段统计通过该路口的汽车数量（单位: 辆），将统计结杲绘制成如下折线统计图：20W0090807060 2 2 2 1111算:天第:天每天綽天篤5天第6天ST天都天确扶頌0天时间由此估计一个月（30天）该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的天数为（）A. 9B. 10C. 12D. 153.如图，。

0是AABC的内切圆，则点0是AABC的（）A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点4.如图，AB为O0的直径，CD为的弦，ZABD=63°,则ZBCD为（）nA. 37°B. 47°C. 27°D. 63°5. 已知二次函数y = %2 - 3% + m （m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1, 0）,则关于x的一元二次方程* - 3x + m = 0的两实数根是A. Xi = l, x2= —1B. Xi = l, X2=2C. X I =1, X2=0D. X I =1, X2=36. 如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（-1, 0） , （2, 0） , （0, 2）,则当y>2时，自变量x的取A.0VX 弓B.OVxVl C1<x<1D*xV27. 二次函数y=x 2+5x+4,下列说法正确的是（）A.抛物线的开口向下B.当x>・3时，y 随x 的增大而增大C.二次函数的最小值是・2D.抛物线的对称轴是x=・|8. 若一个正六边形的半径为2,则它的边心距等于（）.A. 2B. 1C. ^3D. 2忑9. 如图，直线AB 与O0相切于点A, O0的半径为2,若ZOBA = 30°,则OB 的长为（）10.抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，其屮-2<h< - 1, - l<x B <0,下列结论®abc<0；②（4a ・ b ）（2a+b ） V0；③ 4a ・ c<0；④若 OC=OB,则（a+l ）（c+l ）>0,正确的为（11•圆锥底而圆的半径为2,母线长为5,它的侧面积等于 ____________ （结果保留Ji ）.12. _________________________________________________________________ 如果抛物线y=ax 2+5的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是 _______________________________________ .13. 在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小红在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳〃进行测试, 并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值, 不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳〃次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，估计该校学生“一分钟跳绳〃成绩优秀的人数为 _______ 人.14•如图，四边形ABCD 为（30的内接四边形，己知ZBCD=110\则ZBAD= __________ 度.B. 4C. 2V3D. 2A.①②③④B.①②④ 二、填空题（共10题；共30分）C.①③④D.①②③A. 4V3彌（人数）15•如图，正六边形ABCDEF内接于圆6 半径为4,则这个正六边形的边心距OM为16. （2017＞莱芜）圆锥的底面周长为y ,母线长为2,点P是母线0A的中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆锥侧面一・周回到点P，则细绳的最短长度为 _______17•在同圆屮，若亦二2五八则AB ________ 2CD （填＜,=）.18.已知函数尸（k+2）xQ+k-4是关于X的二次函数，则心 __________ .19•如图，AD 是O0 的直径，弦BC丄AD,连接AB、AC、0C,若ZCOD=60°,则ZBAD= ___________20.如图，正方形ABCD的边长为8, M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM,以点P为圆心，PM 长为半径作OP.当OP与正方形ABCD的边相切时，BP的长为___________ o三.解答题（共8题；共60分）21.如图。

华东师大版初中数学九年级下册综合测试与复习二次函数的图像1

二次函数y=ax 2的图像 [内容]二次函数y=ax 2的图像教学目标(一)知道二次函数的意义；(二)会画y=x 2,y=ax 2的图象，并了解a 的变化图形的影响；(三)会根据已知条件用待定系数法求出函数式y=ax 2;(四)掌握抛物线y=ax 2图象的性质； (五)加深对于数形结合思想认识. 教学重点和难点重点：知识二次函数的意义；会求二次函数式y=ax 2;会画y=ax 2的图象.难点：描点法画二次函数y=ax 2的图象，数与形相互联系. 教学过程设计 (一)复习1.一次函数式的一般形式是什么?(y=kx+b(k ≠0，k 是常数))2.一次函数中的“次”字是指什么?(函数中自变量的指数) (二)新课我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面三个例子中，函数y 与自变量x 之间的函数式是什么形式.1.正方体的一边长为x(cm)，那么它的表面积y(cm 2)与x 关系式是 _____.答：y:6x 2. ①2.如图13-61，苗圃的形状是直角梯形ABCD,AB ∥DC ，BC ⊥CD.其中AB ，AD 是已有的墙， ∠BAD=135°，另外两边BC 与CD 的长度之和为30米，如果梯形的高BC 为变量x(米)，梯形面积为y(米2)，则y 与x 的关系式是 ____.解：作AE ⊥CD 于点E ，则有因为∠BAD=135°，则∠ADC=45°.所以BC=AE=ED.又因为BC+CE+ED=30,则AB=30-2x,CD=30-x,故y=21(AB+CD)·BC=21[(30-2x)+(30-x)]·x.所以y=-23x 2+30x ②(其中0＜x ＜30).3.化工厂在一月份生产某种产品200吨，三月份生产y 吨，则y 与月平均增长率x(自变量的关系是_____.解：一月份为200吨，二月份为200x+200=200(x+1)，三月份为200(x+1)x+200(x+1)=200(x+1)(x+1)=200(x+1)2.所以y=200(x+1)2.即y=200x 2+400x+200. ③在 y=6x 2, ①y=-23x 2+30x, ②y=200x 2+400x+200, ③这三个式子中，虽然函有一项的、两项的、三项的，但自变量的最高次项都是二次.一般地，如果y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)④，那么，y 叫做x 的二次函数. 注意：(1)必须a ≠0,否则就不是二次函数了.而b,c 两数可以是零.(2) 在④式中，x 的取值范围是任意实数.例1 下列解析式中，哪些是二次函式?分析：必须是整式才能谈次数”.其中(1)，(2)是分式，(5)是无理式，所以都不是二次函数.(6)是四次函数，(4)展开整理后是y=3x ，是一次函数，所以只有(3)是二次函数，y=x x 21412+ 二次函数式的一般形式是 y=ax 2+bx+c (a ≠0).我们先从最简单的y=ax 2入手研究它.先画y=x 2,初步了解图象形状；再画y=21x 2,y=2x 2,y=31-x 2,y=-3x 2，从对比中，找出系数a 对图像的影响.列表时的x 取值，以原点O 为中心为好.按照表格，描出各点(图13-62).然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来(图13-63)从表格及图13-63可见，y=x 2有以下性质 (1) x 取值范围是实数集；(2)当两点的横坐标互为相反数时，函数y 值相等；对应在图象中是，图象关于y 轴对称；(3)当x ＜0时，y 值随x 的增大而减小；当x ≥0时，y 值随x 的增大而增大.对应在图象中是，在x 轴的负半轴，当点的横坐标由小到大变化时，点的位置逐渐下降；在x 轴正半轴，当点的横坐标由小到大变化时，点的位置逐渐上升；(4)图像的最低点是原点 (0，0). 例2 在同一坐标平面中(1) 画出y=21x 2,y=2x2=,y=-31x2,y=-3x2的图象； (2) 根据图象说明系数21，2，-31,-3对图象的影响及这些图象之间的关系.解：(1)见图13-64.(说明) ：为了避免图形画得太长，图中的横轴单位长与纵轴单位长不相同)(2) ① 因为x 2≥0，所以y=21x 2≥0，y=2x 2≥0;y=-31x2≤0,y=-3x 2≤0.这个数量关系联系到图象，就是对y=ax2的图像.当a ＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a ＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)； ②当a 的绝对值越大，则图象越靠近y 轴；③y=ax 2(a ≠0),的图象叫做抛物线，图象关于y 轴对称.对称轴与抛物的交点叫做抛物线的顶点； ④对于y=ax 2(a ≠0),自变量由负向正逐渐增大时；当a ＞0时，图象上的点，先下降到顶点，然后再上升，即函数值y ，先减小到0，然后再增大；当a ＜时，图象上的点，先上升到顶点，然后再下降.即函数值y ，先增大到0，然后再减小.例3 已知抛物线y=ax 2经过点A(-2,-8). (1) 判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上； (2) 求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.分析：因为y=ax中只有一个待定系数a ，所以有一个条件就可求出a ，从而求出此抛物线的函数式.解：(1)把(-2,-8)代入y=ax 2,得-8=a(-2)2,解出a=-2，所求函数为y=-2x 2,因为-4≠-2(-1)2,所以点B(-1,-4)不在此抛物线上；(2)由-6=-2x 2,得x 2=3,x=±3.所以此抛物线上，纵坐标为-6的点有两个，它们分别(3，6)与(-3,-6).(三)课堂练习顶点在原点且以y 轴为对称轴的抛物线过(2,-4)，则此抛物线上纵坐轴为-10的点的坐标是 ____.分析：y=ax 2,由-4=a ·4,a=-1.所以 y=-x 2.再由-10=-x 2,x ±10.所以点为 (-10,-10)和(10,-10).(四)小结>1.二次函数式了一般形式是y=ax 2+bx+c(a ≠0,a,b,c 是常数).2.y=ax 2的图像是抛物线，关于y 轴对称，顶点是原点.a>0时，开口向上；a<0时，开口向下，|a|越大，图象越靠近y 轴.3．有时，二次函数图象不是抛物线全部，像圆面积A 与半径r 的函数关系；A=2r ,其图象是r>0的那部分.4.用描点法所画出的图形是部分的，近似的.5.求y=ax 2的解析式，需要一个条件. 五（作业）1. 1. 已知a ≠0,b<0，一次函数是y=ax+b ，二次函数是y=ax 2，则下面图13-65中，可以成立的是（） 2.填空：已知二次函数y=-x 2; ① y=253x ;②y=15x 2;③ y=-4x 2;④y=-109x 2; ⑤ y=4x 2.⑥(1)其中开口向上的有_______(填题号)；(2)其中开口向下且开口最大的是________(填题号)；(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后渐变小的有________(填题号).3.m 是什么值时，函数y=(m-4)x m2-5m+6是关于x 的二次函数?4.已知函数y=ax 2+bx+c.(1) 当a,b,c 是怎样的数时，它是正比例函数?答：______； (2) 当a,b,c 是怎样的数时，它是一次函数?答：______； (3) 当a,b,c 是怎样的数时，它是二次函数?答：______.5.下列各函数中，哪是正比例函数?哪是一次函数?哪是二次函数?答：其中是正比例函数的有______(填题号)；其中是一次函数的有______(填题号)；其中是二次函数的有______(填题号).6.正方形边长是3，若边长增加x ，则面积增加y ，求y 与x 之间的函数关系.7.已知函数y=ax 2的图象过点(21,2).求此图象上纵坐标为21时的点的坐标 .8.从图象上看，函数y=-5x 2有最大值还是有最小值?如果有，是最大值还是最小值?这个值是多少?作业的答案或提示1.选(C).因为在(A)中，直线的a ＞0而抛物线的a ＜0，不能成立.在(B)，(D)中，直线的b ＞0与已知予盾.2.(1)开口向上的有②，③，⑥；(2)开口向下且开口最大的是⑤；(3)①，④，⑤.3.令m 2-5m+6=2,得m=1,m=4(舍去).m=1时，y=-3x 2.4.(1)a=0且c=0且b ≠0; (2)a=0且b ≠0; (3)a ≠0.5.是正比例函数的有②，⑧，是一次函数的有②，④，⑧，是二次函数的有③，⑦.6.y=(3+x)2-32=x 2+6x..8.y=-5x 2图象开口向下，有最大值.这个最大值是0. 课堂教学设计说明这节课要使学生明了y=ax 2，的图象是抛物线，这是研究一般二次函数图象的基础.能过列表及画图，要使学生理解y=ax 2的性质.本节课在一开始，由三个实际问题引出三个不同形式的解析式y=6x 2,y=-23x 2+30x,y=200x 2+400x+200.然后介绍二次函数一般式的定义.并设计了例1，让学生辨认哪个是二次函数.接着讲解y=x 2的图象画法(这是画抛物线的基本步骤，务必掌握)，并总结出的性质.为了说明y=ax 2中系数a 对图形影响，设计了例2，并作出了规律性的结论，例2的相互制约的思想.还培养学生以运动的运动的观点来认识事物.例3的设计思想是求函数y=ax 2的解析式，利用“点在图象上相当于上点的坐标适合函数式”这个数形结合的思想，各利用特定系数法求系数 a.再利用上述数形结合思想，判断某点是否在图像上及已知点的纵坐标求横坐标.作业中补充的第1题，综合了二次函数与一次函数对图形的影响.补充的第3题仅加深了二次函数概念，还训练学生审题的能力(应舍去m=4).。

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函数的图象和性质
一次函数
函
定义二次函数
练习
数
反比例函数
的
一次函数
图
图象二次函数
反比例函数
象
和
一次函数
性
性质二次函数反比例函数
质
应用
形如：
y ax2 bxc (a、b、c是常数，且a 0）
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的函数是二次函数。
y=kx+b
( k、b 为常数且 k 0）形如这样的函数是一次函数。
一次函数的图象是一条直线
二次函数的图象是一条抛物线
反比例函数的图象是二条双曲线
y=kx+b(k、b为常数,且k 0)
y=kx+b
增减性
与y轴的交点
k>0 K<0
b>0 b<0 b>0
b<0
y随x的增大而增大
图象与y轴的交点在y轴的正半轴
图象与y轴的交点
在y轴的负半轴
y随x的增大
a<0
向下
x
b
(
2a b
， 4a 4ac
b
）
பைடு நூலகம்
c>0
在轴的正半轴
2a
2 c<0 在轴的负半轴
幻灯片 2
y
k x
(k为常数，且k
0)
y k
图象所在增减性的象限
x
k>0
第一、三在每一象限内随
象限
的增大而减小
k<0
第二、四在每一象限内随
象限
的增大而增大
幻灯片 2
形如:y
k x
(k是常数，
且k 0)的函数是反
图象与y轴的交点在y轴的正半轴
而增小
图象与y轴的交点在y轴的负半轴
幻灯片
y ax2 bx c(a、b、c是常数，且a 0）
开口对称
y ax2 bx c 方向轴顶点坐标与y轴交点的位置
c>0 在轴的正半轴
a>0
向上
x b 2a
( b ，4ac b2 ） 2a 4a
c<0
在轴的负半轴
k <0 b<0
制
李
作人
鲁庄二中
幸文
比例函数.
1.已知二次函数 y ax2 bxc 的图象如图所示，则下列六个代数式
b2-4ac,abc,a-b+c,2a-b,a+b+c,9a-4b
中值为负的式子的个数为（）
y
A. 1
B. 2
ox
C. 3
D. 4
X=-1
分析
y
ox
y
ox
y
o
x
y
ox
k >0 b >0
k >0 b<0
k <0 b> 0