第五章 频率分析法解析
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自控理论第五章频率分析法
尼柯尔斯图（对数幅相图）：将构成对数频率特性的幅频 特性和相频特性集中绘制于一图。
（1）幅相曲线
绘制幅相曲线时，以ω为参变量（ω：0→+∞），将
幅频特性和相频特性同时表示在复平面上。
例如：RC网络的频率特 性，根据其A（ω）和φ （ω）的表达式，在参 变量ω∈[0→∞）时，可 绘制RC网络的幅相曲线 如右图所示。
Uo(s) Ui (s) T (sUo(s) uo0 ) Uo(s) TsUo(s) Ui (s) Tuo0
1
1 A
Uo (s)
Ts
1[Ui (s)
Tuo0 ]
Ts
[ 1
s
2
2
Tuo0 ]
取拉氏反变换，
uo
(t
)
(uo0
1
AT T 2
2
)e
t T
A sin(t arctanT ) 1 T 22
G（s）︱s=jω = G（jω）
实际上，稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅氏变换的比。
即：对于一个线性定常系统，若已知其传递函数G（s），只 要将 G（s）中的 s 以jω来代替，便可以得到系统的频率特性表 达式。
证明如下
设系统的传递函数为：
(s)
bm s m an s n
bm1sm1 b0 an1sn1 a0
Q() = 0
（1）幅相曲线
绘制幅相曲线时，以ω为参变量（ω：0→+∞），将
幅频特性和相频特性同时表示在复平面上。
例如：RC网络的频率特 性，根据其A（ω）和φ （ω）的表达式，在参 变量ω∈[0→∞）时，可 绘制RC网络的幅相曲线 如右图所示。
Uo(s) Ui (s) T (sUo(s) uo0 ) Uo(s) TsUo(s) Ui (s) Tuo0
1
1 A
Uo (s)
Ts
1[Ui (s)
Tuo0 ]
Ts
[ 1
s
2
2
Tuo0 ]
取拉氏反变换，
uo
(t
)
(uo0
1
AT T 2
2
)e
t T
A sin(t arctanT ) 1 T 22
G（s）︱s=jω = G（jω）
实际上，稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅氏变换的比。
即：对于一个线性定常系统，若已知其传递函数G（s），只 要将 G（s）中的 s 以jω来代替，便可以得到系统的频率特性表 达式。
证明如下
设系统的传递函数为：
(s)
bm s m an s n
bm1sm1 b0 an1sn1 a0
Q() = 0
自动控制原理第5章频域分析法
针对复杂系统和非线性 系统，研究更有效的频 域分析方法。
结合现代控制理论和计 算机技术，开发适用于 实际工程应用的频域分 析工具和软件包。
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感谢聆听
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自动控制原理第5章频域分析 法
目
CONTENCT
录
• 引言 • 频域分析法的基本概念 • 频域分析法的计算方法 • 频域分析法的应用实例 • 总结与展望
目
CONTENCT
录
• 引言 • 频域分析法的基本概念 • 频域分析法的计算方法 • 频域分析法的应用实例 • 总结与展望
01
引言
01
引言
频域分析法的定义
控制算法设计
PID控制算法
根据系统频率响应的特点，设计 合适的PID控制算法，实现系统的 有效控制。
状态反馈控制算法
根据系统状态变量的频率响应， 设计状态反馈控制算法，提高系 统的控制精度和响应速度。
鲁棒控制算法
针对具有不确定性的系统，设计 鲁棒控制算法，保证系统在不确 定性影响下的稳定性和性能。
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
频率特性分析方法
矢量 G( j)的端点在实轴与虚轴上的投影分别为 G( j) 的实部 U() 和虚部坐标 V () ，它们分别叫作实频 特性和虚频特性， 即： G( j) U() jV ()
(2)、极坐标图的获得
根据频率特性的两种表示方式做图。 1、已知 G( j)，将不同的ω代入，计算 G( j) 和 G( j)
G(s) Y (s) X (s)
G( j yss A s in t
3、频率特性能反映系统的动态特性。
(2)、实验测定频率特性
方法① 用频率或超低频信号发生器，作为输入信号 加在系统的输入端，当系统稳定后，同时记录系统输 入和输出数据。找到在此刻频率下的幅值比和相位差。 然后改变ω，逐一记录B/A(ω)和φ(ω)，就获得了 频率特性。
Qs
Qs
Qs
h1 T1 Qs
h2 Q出
t
T2
h3 T3
Q出
Q出
hss h3
h2 h1
t
Qs
Qs
Qs
h1 T1 Qs
h2 Q出
t
T2
h3 T3
Q出
Q出
hss h3
h2 h1
t
对输出波形从物理意义上进行分析。
截面积小的水槽对输入信号响应快，稳定后，液位 波动的量大； 截面积大的水槽对输入响应慢，稳定后，液位波动 的量小; 截面积的大小反映的是系统动态参数－时间常数的 大小。
第五章频域分析法简化PPT课件
低频段（ω<<T-1）：认为ωT=0，则 L(ω)=0dB，为低频段的渐近线。
高频段（ ω>>T-1 ）:近似取 L(ω)=-20(lgω-lgT-1),斜率为-20dB/dec(分贝 每十倍频程)的直线，是高频段的渐近线。
➢ 两渐近线的交点频率为ω=T-1，称为转折频率（ 转角频率、交接频率）。
➢ 用分段直线近似表达幅频特性，最大误差发生在 转折频率处。如需精确曲线，要在转折频率附近 修正。
（3）可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适 用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节的 系统和部分非线性系统的分析。
（4）用频率法设计系统，可以方便的设计出 能有效 抑 制噪声的系统。
（5）频率特性可反映系统的结构、参数与性能的关系。 由频率特性可了解如何通过改变结构参数来改善系统的性能。
相频特性——由各典型环节相频特性之和。
例G j
10j3
jj2 j2j2
1、 化 成 典 型 环 节式串：联 形
1031 j1
Gj
22 3
j1 j1
1
2j2
1
j1
2
2
2
25
2、五个典型环节，确定 各转角频率及相应斜率 ：
G 1 j 7.5
G 2 j
1 j
20lg71.15、7化.5成典型环节式串：联形
高频段（ ω>>T-1 ）:近似取 L(ω)=-20(lgω-lgT-1),斜率为-20dB/dec(分贝 每十倍频程)的直线，是高频段的渐近线。
➢ 两渐近线的交点频率为ω=T-1，称为转折频率（ 转角频率、交接频率）。
➢ 用分段直线近似表达幅频特性，最大误差发生在 转折频率处。如需精确曲线，要在转折频率附近 修正。
（3）可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适 用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节的 系统和部分非线性系统的分析。
（4）用频率法设计系统，可以方便的设计出 能有效 抑 制噪声的系统。
（5）频率特性可反映系统的结构、参数与性能的关系。 由频率特性可了解如何通过改变结构参数来改善系统的性能。
相频特性——由各典型环节相频特性之和。
例G j
10j3
jj2 j2j2
1、 化 成 典 型 环 节式串：联 形
1031 j1
Gj
22 3
j1 j1
1
2j2
1
j1
2
2
2
25
2、五个典型环节，确定 各转角频率及相应斜率 ：
G 1 j 7.5
G 2 j
1 j
20lg71.15、7化.5成典型环节式串：联形
第五章 频率响应法1
本章用到的基础知识
欧拉公式：cosθ sinθ
1 2 1
e jθ e jθ e jθ e jθ
2j
log
a
b1
b2
bn
log
a
b1
log
a
b2
log
a
bn
对数运ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：log
a
b1 b2
log
a b1
log
a
b2
log abx xlog ab
复数运算：a
c
jb jd
a c
jbc jd c
绘制时：
以频率特性的实部 ReG j 作为横坐标， 以频率特性的虚部 ImG j 作为纵坐标，
以 为参变量的幅值与相位的图形表示法。
24
1.典型环节
一、最小相位环节（开环极、零点都位于S左半平面）
(1)比例环节 K, (K 0)
(4)惯性环节
1, Ts 1
(T 0)
(2)积分环节
1 s
(3) 微分环节 s
s (Tj s 1) (Tl2s2 2 lTl s 1)
j1
l 1
相应的频率特性为：
m1
m2
K ( j i 1)
1 k2 2 j2 k k e j
G( j)
i 1 n1
k 1 n2
欧拉公式：cosθ sinθ
1 2 1
e jθ e jθ e jθ e jθ
2j
log
a
b1
b2
bn
log
a
b1
log
a
b2
log
a
bn
对数运ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：log
a
b1 b2
log
a b1
log
a
b2
log abx xlog ab
复数运算：a
c
jb jd
a c
jbc jd c
绘制时：
以频率特性的实部 ReG j 作为横坐标， 以频率特性的虚部 ImG j 作为纵坐标，
以 为参变量的幅值与相位的图形表示法。
24
1.典型环节
一、最小相位环节（开环极、零点都位于S左半平面）
(1)比例环节 K, (K 0)
(4)惯性环节
1, Ts 1
(T 0)
(2)积分环节
1 s
(3) 微分环节 s
s (Tj s 1) (Tl2s2 2 lTl s 1)
j1
l 1
相应的频率特性为：
m1
m2
K ( j i 1)
1 k2 2 j2 k k e j
G( j)
i 1 n1
k 1 n2
自动控制理论第五章频率分析法1.详解
1. 将开环传递函数化为各典型环节传递函数相乘的形 式，并将分子分母中各因式常数项系数化为1。转化为 开环对数幅频特性；
2.确定出系统开环增益K，并计算 20lg K 。
3.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率 标注在半对数坐标的横轴上。 4.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标等于20lgK dB的 点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20νdB/dec。当ν=0, ν=1, ν=2时，斜率分别是(0，-20，-40)dB/dec。
1
1 2ζ ζ
2
对数幅频特性
L ω 20lg 1 T ω
2
2 2
2ζ Tω
2
对数相频特性
2ζ Tω ω tg 2 2 1 T ω
1
低频段，即ωT<<1时
L ω 20lg1＝ 0 dB
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
基本概念
系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的 稳态响应。
r(t)
系统
c(t)
一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入
r (t ) Ar sin t
其稳态输出可写为
c(t ) Ac sin( t )
Ac-稳态输出的振幅 -稳态输出的相角
2.确定出系统开环增益K，并计算 20lg K 。
3.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率 标注在半对数坐标的横轴上。 4.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标等于20lgK dB的 点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20νdB/dec。当ν=0, ν=1, ν=2时，斜率分别是(0，-20，-40)dB/dec。
1
1 2ζ ζ
2
对数幅频特性
L ω 20lg 1 T ω
2
2 2
2ζ Tω
2
对数相频特性
2ζ Tω ω tg 2 2 1 T ω
1
低频段，即ωT<<1时
L ω 20lg1＝ 0 dB
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
基本概念
系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的 稳态响应。
r(t)
系统
c(t)
一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入
r (t ) Ar sin t
其稳态输出可写为
c(t ) Ac sin( t )
Ac-稳态输出的振幅 -稳态输出的相角
自动控制原理 第五章(第一次课)
autocumt@126.com
1
中国矿业大学信电学院 常俊林
第五章 线性系统的频率分析法
自动控制原理
频率响应法主要通过闭环系统中的开环频率特性 的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算 的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算 的特点。 量少的特点 量少的特点。 用频域法设计控制系统，可以兼顾动态、 用频域法设计控制系统，可以兼顾动态、稳态和 兼顾动态 噪声抑制三方面要求。 噪声抑制三方面要求。 频率响应法也适用于含滞后环节系统和 频率响应法也适用于含滞后环节系统和部分非线 含滞后环节系统 性控制系统的分析。 性控制系统的分析。 的分析
autocumt@126.com
2
中国矿业大学信电学院 常俊林
5-1 频率特性
自动控制原理
设系统结构如图， 由劳斯判据知系统稳定。 设系统结构如图， 由劳斯判据知系统稳定。
输入一个幅值不变，频率不断增大的正弦信号。 输入一个幅值不变，频率不断增大的正弦信号。 幅值不变 不断增大的正弦信号 曲线如下:
2 j +1 Φe ( jω ) ω =2 = = 2j+2
(1) + 12 (tg e (1)2 + 22
2
−1 1 −tg −1 1 1 2
)j
= 0.63e
18.40 j
(2)2 +12 (tg e (2)2 + 22
第五章(1,2) 线性系统的频域分析法解析
本节内容
1.典型环节 2.最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 3.非最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 4.系统的开环幅相曲线（Nyquist图） 5.系统的开环对数频率特性曲线（bode图） 6.传递函数的频域实验确定 7.延迟环节和延迟系统
重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的 考试不考，考研可能考。
对数幅相图实质上将伯德图的两张图合成一张图。
5-2 典型环节与开环系统的频率特性
设典型的线性系统结构如图所示，闭环系统的很多 性能可通过研究开环系统的频率特性来得到。
该线性系统的开环传递函数为 G(s，)H (为s) 了研究开 环系统频率特性曲线，本节先研究开环系统典型环节 的频率特性，进一步研究开环系统的频率特性。
第五章 线性系统的频域分析法
时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直 观、精确。但往往需要求解复杂的微分方程。
复域分析法(根轨迹法)是一种在S平面上由开环零 极点绘制闭环系统特征根的图形分析法。
频域分析法也是一种图解分析法。依据系统的频 率特性，间接地揭示系统正弦输入信号下的暂态特 性和稳态特性。也是一种工程上常用的方法。
2）开环幅相曲线的起点：G( j0 ) 900 终点：G( j) 0 1800
3）与实轴的交点： 当 T1T2 时，存在交点。
T1 T2
自动控制原理-第五章-频域分析法
n
51
渐近线对数幅频特性引起的误差:
L(,) 20log
2
(1
)2
4
2
2
n2
n2
n
L(,)20log (12)2 42 2 20log( )2
n2
n2
n
n
L ( ,) L ( ) L a( )
L ( ) L a( ) L ( ,)
52
振荡环节的幅相特性
振荡环节的对数幅频渐进特性
53
七、二阶微分环节
1、幅频特性、相频特性、幅相特性
G(j)G(j) G(j) A()ej()
:0
A()~为系统的 幅频特性 。
()~ 为系统的 相频特性 。
15
RC 网络的幅频特性和相频特性
16
0 1/T
RC
G(j)
1 1/ 2 0
网 络
G(j) 00 45o 90o
的
幅
相
特
性
曲 线
17
2、对数频率特性
❖ 对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图,包括对 数幅频和对数相频两条曲线。
( j)
2
j[ຫໍສະໝຸດ Baidu j)]
Are
2
7
同理:
(j)
j[(j)]
B 2 Are
2
将B、D代入c(t),则:
第五章 频域分析法-频率法
第五章频域分析法-频率法
基本要求
正确理解频率特性的物理意义、定义及求取方法，并
能根据定义进行分析计算
熟记典型环节频率特性G(j ω）、| G(j ω）|、∠G(j ω）20log| G(j ω）|及其特征点的特征值
熟练掌握绘制开环对数幅频和相频特性的方法。已知最小相位系统开环对数幅频，应会反求其传递函数 正确运用对数频率判据判定闭环系统的稳定性，并能正确计算模稳定裕度和相稳定裕度
正确理解零频幅比A(0)、峰值M r (A m )、频宽ωb 、穿越频率（截止频率）ωc 、相裕度γ、模裕度L b 以及三频段的概念，明确其和系统阶跃响应的定性关系
时域和频域
自动控制系统控制过程的性能指标：
稳定性、快速性和稳态精度
时域方法：
建立对象的模型（微分方程、传递函数）
求解闭环特征方程判断稳定性
求解典输下间响应、稳解
求解典型输入下的时间响应、稳态解
前提：准确建立对象的数学模型
实际的物理系统非常复杂、建模困难；面对高阶系实际的物理系统非常复杂建模困难面对高阶系统、很难用解析方法进行分析；目前还没有直接按给出的时域指标进行系统设计的通用方法
时域和频域
频率域方法
是一种间接研究控制系统性能的工程方法
是一种实验方法，不必直接求解系统的微分方程 是种实验方法，不必直接求解系统的微分方程、而是间接的运用系统的开环特性分析闭环的响应，
给分析问题提供了方便
是一种图解方法
有明确的物理意义
不仅适用于线性定常系统，也可推广用于某些非线性系统
适用于处理存在噪声的自动控制系统设计
时域和频域
时域: 系统的响应随时间t的变化关系c(t)
第五章(5) 线性系统的频域分析法
5-5 闭环系统的频域性能指标
本节内容
1.闭环系统的频率特性 2.由开环频率特性求取闭环频率特性 1）利用等M圆和等N圆求单位反馈系统 的闭环频率特性 2）利用尼克尔斯图求单位反馈系统的闭 环频率特性 3.闭环频域指标和时域指标的关系
1.闭环系统的频率特性（定义与解析法）
G( s) H ( s) G( j ) ( s ) ( j ) M ( )e j ( ) 1 G( s) H ( s) 1 G( j ) H ( j )
( j 0) 1 ，按带宽定义， 因为开环系统为1型，
2 b2 2 b 2 1 2 4 2 n n
于是
b n 1 2 2
1 2
2 2
1
1 2
b n (1 2 2 ) (1 2 2 )2 1
Mr 1 2 1 2
谐振频率为： r n 1 2 2
0.707时， Mr与是单调 关系，Mr小 大 % 小
Mr
3db
r B
3)、系统带宽 b
度量闭环系统具有或保持一定的信号复现能力的频率范围。
设一阶系统的闭环传递函数为 ( j 0) 1， 因为开环系统为1型，
作 业
5.3 5.5 5.7 5.8 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.19 5.21 5.22 5.23 5.24 5.26
本节内容
1.闭环系统的频率特性 2.由开环频率特性求取闭环频率特性 1）利用等M圆和等N圆求单位反馈系统 的闭环频率特性 2）利用尼克尔斯图求单位反馈系统的闭 环频率特性 3.闭环频域指标和时域指标的关系
1.闭环系统的频率特性（定义与解析法）
G( s) H ( s) G( j ) ( s ) ( j ) M ( )e j ( ) 1 G( s) H ( s) 1 G( j ) H ( j )
( j 0) 1 ，按带宽定义， 因为开环系统为1型，
2 b2 2 b 2 1 2 4 2 n n
于是
b n 1 2 2
1 2
2 2
1
1 2
b n (1 2 2 ) (1 2 2 )2 1
Mr 1 2 1 2
谐振频率为： r n 1 2 2
0.707时， Mr与是单调 关系，Mr小 大 % 小
Mr
3db
r B
3)、系统带宽 b
度量闭环系统具有或保持一定的信号复现能力的频率范围。
设一阶系统的闭环传递函数为 ( j 0) 1， 因为开环系统为1型，
作 业
5.3 5.5 5.7 5.8 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.19 5.21 5.22 5.23 5.24 5.26
自动控制原理 第5章 控制系统的频率法分析
一阶微分环节
(n 0, 0 1)
2 二阶微分环节 s 2 / n 2 s / n 1
Ts 1
振荡环节
(T 0)
积分环节1/s； 微分环节s；
二阶微分环节 2 s 2 / n 2 s / n 1
22 (n 0, 0 1)
k k k k1 k 2 ... n c1 c 2 s p1 s p2 s p n s j s j
6
拉氏反变换为：
c(t ) k1e p1t k2e p2t ... kn e pnt kc1e jt kc 2e jt
若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 t ，即稳态时：
2
特点
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验 的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或 系统来说，具有重要的实际意义。
（2）控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声 抑制两方面的要求。
（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，还可推 广应用于部分非线性系统的分析。 （4）控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析 法和试验方法获得，并可以用多种形式的曲线表示，因 此系统分析和控制器设计可以用图解法进行。
号的相位移特性；
10
幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量G( j ) :
G ( j ) A( )e
自动控制原理 第五章 控制系统的频域分析法
cs
(t)
=
lim c(t)
t →∞
=
Be− jω t
+
De jω t
(5.6)
式(5.6)中的 B 和 D 求取如下
B
=
C(s)(s
+
jω )
|s=− jω
=
G(s)
Arω s2 +ω2
(s
+
jω )
|s=− jω
=
G(s)
(s
+
Arω jω )(s
−
jω )
(s
+
jω )
|s=− jω
= G(− jω) Ar −2 j
第 5 章 控制系统的频域分析法
·127·
5.1 频 率 特 性
5.1.1 频率特性的基本概念
频域分析法是利用频率特性这一数学模型在频率域中对系统进行分析的图解法。那么 什么是频率特性？先看一个实例。 【例 5.1】 已知 RC 电路如图 5.1 所示，求正弦输入信号作用下的稳态解。 解：由图 5.1 中各量可知
如系统稳定，可取σ = 0 ，则
∫ c(t) = 1 j∞ G(s)R(s)estds 2πj − j∞
·130·
第 5 章 控制系统的频域分析法
·131·
设 r(t) 的傅氏变换存在，可令 s = jω
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法
第五章 线性系统的频域分析法
1、基本内容和要点 （l ）频率特性
系统的稳态频率响应，频率响应的物理概念及数学定义；求取频率特性的分析法和实验法。 （2）典型环节的频率特性
比例、惯性、积分、微分、振荡、延迟环节的频率特性和对数频率特性。非最小相位环节的频率特性。
（3）反馈控制系统的开环频率特性
研究系统开环频率特性的意义。单环系统开环对数频率持性的求取与绘制。最小相位系统开环对数幅频特性与相频特性间的对应关系。
（4）奈奎斯特稳定判据
幅角定理。S 平面与F 平面的映射关系。根据开环频率特性判别闭环系统稳定性的奈氏判据。奈氏判据在多环系统中的应用和推广。系统的相对稳定性。相角与增益稳定裕量。
（5）二阶和高阶系统的频率域性能指标与时域性指标。
系统频率域性能指标。二阶和高阶系统暂态响应性能指标与频率域性能指标间的解析关系及近似关系。
（6）系统的闭环频率特性
开环频率特性与闭环频率特性间的解析关系。用等M 圆线从开环频率特性求取闭环频率特性。用尼氏图线从开环对数频率特性求取闭环频率特性。
2、重点
（l ）系统稳态频率响应和暂态时域响应的关系。
（2）系统开环频率特性的绘制，最小相位系统开环频率特性的特点。 （3）奈奎斯特稳定判据和稳定裕量。
5-1 引言
第三章，时域分析，分析系统零、极点与系统时域指标的关系；典型二阶系统极点或ζ和n ω与时域指标p t 、σ和s t 、r t 及稳态误差等的关系，及高阶系统的近似指标计算；
第四章，根轨迹分析，研究系统某一个参数变化对系统闭环极点的影响；
本章讨论系统零、极点对系统频率域指标的关系，频域指标又分开环频域指标和闭环频域指标，它们都是在频域上评价系统性能的参数。频域分析是控制理论的一个重要分析方法。
第五章频率响应分析法
( n m)
p1 , p2 ,, pn 为传函的极点。
输入 r (t ) Ar sin t 输出的拉氏变换
Ar Ar R( s ) 2 s 2 ( s j )( s j )
待定系数
n a P( s ) Ar b b C ( s ) 源自文库 ( s ) R( s ) i 1 2 ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) ( s j )( s j ) i 1 s pi s j s j
稳定的线性定常系统，正弦信号的作用下 输出的稳态分量也是正弦信号，和输入频率相同; 振幅与输入信号振幅之比为幅频特性 A( )； 相位与输入信号相位差为相频特性 ( ) 。 输出稳态分量与输入正弦信号的复数比得频率特性。
G( j) A()e j ( )
幅频特性A( ) 系统对不同频率输入信号在稳态情况下的衰减 （或放大）特性； 相频特性 ( ) 系统稳态输出对不同频率输入信号的相位滞后 （或超前）特性。 理论上可将频率特性的概念推广到不稳定系统，但是不稳定系 统的瞬态分量不会消失，瞬态分量和稳态分量始终同时存在， 不稳定系统的频率特性观察不到； 频率特性也是描述系统的一种动态数学模型，即频率响应法； 从频率特性出发研究系统的动态特性和稳态特性。 13
求拉氏反变换，得系统输出
n i 1
对于稳定系统，极点实部一定为负
自动控制原理 第五章(第一次课)
lg 7 0.845 lg 8 3lg 2 0.903 lg 9 2lg 3 0.954
5-2 典型环节与开环系统频率特性
自动控制原理
R(S)
任何一个复杂系统都是
E(S) G(S) C(S)
由有限个典型环节组成。
B(S)
H (S )
l
1 (ml ) 2
KeTS
( iS 1)
(
2 i
S
=
B A
360o
②该角度与输入信 号的初始角度无关
A与B比值不变
5-1 频率特性
自动控制原理
1. 频率特性的基本概念
稳定的线性系统，Css(t)输出与输入r(t)具有相同频率 的正弦信号
频率特性定义：零初始条件时线性系统在正弦信号 作用下，输出响应的稳态分量与输入量之比。
更为广泛的定义：输出量的与输入量的傅立叶变换之比。 G( j) C( j) R( j)
其中: c1 C(s)(s j) s j
G(s)
A
(s j)
(s j)(s j)
s j
8
5-1 频率特性
自动控制原理
c1
G(
j)
A 2 j
A 2j
G(
j) e j ()
G( j) a() jb () G( j) e j () c() jd ()
|
5-2 典型环节与开环系统频率特性
自动控制原理
R(S)
任何一个复杂系统都是
E(S) G(S) C(S)
由有限个典型环节组成。
B(S)
H (S )
l
1 (ml ) 2
KeTS
( iS 1)
(
2 i
S
=
B A
360o
②该角度与输入信 号的初始角度无关
A与B比值不变
5-1 频率特性
自动控制原理
1. 频率特性的基本概念
稳定的线性系统，Css(t)输出与输入r(t)具有相同频率 的正弦信号
频率特性定义：零初始条件时线性系统在正弦信号 作用下，输出响应的稳态分量与输入量之比。
更为广泛的定义：输出量的与输入量的傅立叶变换之比。 G( j) C( j) R( j)
其中: c1 C(s)(s j) s j
G(s)
A
(s j)
(s j)(s j)
s j
8
5-1 频率特性
自动控制原理
c1
G(
j)
A 2 j
A 2j
G(
j) e j ()
G( j) a() jb () G( j) e j () c() jd ()
|
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X j)(s
j)
(s
j) |s j
G( j)X
2j
G( j) | G( j) | e j G( j) | G( j) | e j | G( j) | e j G( j)、G( j)共轭
y(t) X | G( j) | e j[t] e j[t]
2j
X | G( j) | sin(t ) Y sin(t y )
2 21
lg2 lg1 lg2 / 1 lg 2 0.301
频率由1到10的对数分度：
对数坐标图的纵坐标：
• 对数幅频特性曲线的纵坐标：
L() 20lg A() 均匀分度，单位分贝(db)
• 相频特性曲线的纵坐标： 一般以度或弧度为单位进行线性分度。
对数频率特性曲线一般画在半对数坐标纸上。
对数频率特性曲线
伯德(Bode)曲线，包括对数幅频特性曲线和相频 特性曲线，应用最多。
对数坐标图的横坐标：横坐标按ω的对数lgω
线性分度，标以ω。
横轴上每一线性单位表示频率的十倍变化，称十 倍频或十倍频程，用符号dec表示。
2 101
lg2 lg1 lg2 / 1 lg10 1
如果ω变化1倍，在对数坐标上变化0.301，称为 倍频程。
幅频特性： 相频特性：
A() Y | G( j) |
X () y x G( j)
得到频率特性和传函的关系为：
A()e j() G(s) |s j G( j)
说明：
1. 频率特性适合线性系统或元件； 2. A(ω)和φ(ω)是频率ω的函数，随输入频率变
化而变化，与输入幅值和相角无关； 3. 微分方程、传递函数、频率特性之间具有内
uo (t)
1
UiT T 2
2
t
e T
Ui sin(t tan1 T) 1 T 22
当 t 时，有：
lim
t
uo
(t)
Ui sin(t tan1 T) 1 T 22
Uo sin(t uo )
比较输入信号
ui (t) Ui sin t
1、输出电压稳态值是与输入信号同频率的正弦信号； 2、幅值和相角与输入不同，与频率ω和系统参数T有关；
第五章 频率分析法
引言 第一节 频率特性的基本概念及作图 第二节 典型环节频率特性图 第三节 开环频率特性绘制 第四节 Nyquist稳定判据 第五节 稳定裕度 第六节 开环频率特性与时域指标间关系 第七节 闭环频率特性简介 本章小结
引言
频率响应是指系统对正弦输入的稳态响应 频率响应法是以频率特性为基础研究系统的性能 频率分析法特点：
极坐标频率特性曲线
ω：0→∞向量G(jω)在复平面上的运动轨迹。
G(-jω)、 G(jωΒιβλιοθήκη Baidu共轭，频率特性曲线对称于实轴。
绘制极坐标曲线的方法： 方法一：计算实部和虚部，描点。
G( j) P() jQ()
方法二：计算幅值和相角，描点。
G( j) | G( j) | G( j) A()()
绘制极坐标草图的方法： 1、计算起点和终点； ω为0、∞时，G(jω) 2、计算关键点； 3、给出曲线走向； 4、画出草图。
在联系，可相互转化。
频率特性是频域 中的数学模型。
三、频率特性作图
极坐标频率特性曲线 对数频率特性曲线 对数幅相特性曲线
代数式： G( j) P() jQ() P()——实部； Q() ——虚部；
极坐标式： G( j) | G( j) | G( j) A()() 指数式： G( j) | G( j) | e jG( j) A()e j ()
1. 应用奈奎斯特判据，根据系统的开环频率特性来分析 闭环系统稳定性；
2. 根据频率特性和性能指标的关系分析系统的瞬态性能 和稳定性指标；
3. 频率特性可以通过实验方法测得； 4. 可以推广应用于某些非线性系统； 5. 图解方法，直观性强，在工程上得到广泛应用。
5.1 频率特性的基本概念及作图
频率特性定义 频率特性和传递函数的关系 频率特性作图
一、频率特性定义
例：一阶RC网络的频率特性
微分方程：
T
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
若 ui (t) Ui sin t
G(s) Uo(s) 1 Ui (s) Ts 1
则
Ui
(s)
Ui s2 2
Uo(s)
1 Ts
1Ui
(s)
1 Ts 1
Ui s2 2
A Ts 1
Bs c
s2 2
采用对数坐标图的优势：
① 可以展宽频带； ② 对数特性将乘除变为加减运算； ③ 典型环节可用分段直线（或渐近线）近似表
示； ④ 可用实验方法确定系统的频率特性表达式。
对数幅相特性曲线
尼柯尔斯(Nichols)曲线。对数幅相图的横坐标为 相角，纵坐标为对数幅频特性幅值的分贝数。横 坐标、纵坐标都是线性分度。而ω作为参变量标 在曲线相应点的旁边。
n
Ki Kc
Kc
i1 s pi s j s j
n
y(t) Kie pit Kce jt Kce jt i 1
当系统稳定时：
y(t) |t Kce jt Kce jt
写出稳态响应表达式：
Kc
G(s) (s
X j)(s
j)
(s
j) |s j
G( j)X
2j
Kc
G(s)
(s
令： A() Uo
1
Ui 1 T 2 2
() tan1 T 0 tan1 T
A(ω)和φ(ω)反映了RC网络频率响应的振幅和相位随频率变换的规律。
:0
A(ω)和φ(ω)联合起来称为系统的频 率特性。
二、频率特性和传函的关系
结论： A()e j() G(s) |s j G( j)
A() | G( j) | ——幅频特性； ()=G( j) ——相频特性；
关系：
P() A() cos() Q() A() sin()
A() P2 () Q2 () () tan1 Q()
P()
频率特性曲线：
1、极坐标频率特性曲线——奈奎斯特(Nyquist)曲线； 2、对数频率特性曲线——伯德(Bode)曲线； 3、对数幅相特性曲线——尼柯尔斯(Nichols)曲线。
为讨论方便，不考虑重极点
G(s) Y (s) N(s)
N (s)
X (s) D(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
x(t) X sin t
X (s) X
X
s2 2 (s j)(s j)
N (s)
X
Y (s) G(s) X (s) (s p1) (s pn ) s2 2