第六章结构的变形
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框架结构体系
适用范围：厂房、仓库、商店
对称不等跨式柱网
二、柱网尺寸
（二）基本要求： １框架的柱网布置应力求简单、规则、
整齐； ２要满足生产工艺和建筑平面布置的要
求； ３要使结构受力合理，施工方便； ４柱网尺寸应符合经济原则和尽量符合
模数。
❖ 框架结构的柱网布置既要满足生产工艺和建筑平面布置的要 求，又要使结构受力合理，施工方便。
运输困难，吊装内力大，长度不宜超过１６米 （3）组合单元式：接头少，增加了结构的整体性；构件制作复杂，
运输困难，起重吨位大
5、装配（整体）式框架的接头型式
1.梁与柱的接头 暗牛腿刚接方式 明牛腿刚接方式 2.柱与柱的接头方式--焊接连接 3.梁与板的接头方式--迭合梁式
6、按所用材料划分
按所用材料：
(3) 对称不等跨柱网常用于建筑平面宽度较大的厂房，常用的 柱网有( 5.8+6.2+6.2+5.8 )×6.0m、 ( 7.5+7.5+12.0+7.5+7.5 )×6.0m， ( 8.0+12.0+8.0 )×6.0m。
2、柱网布置应满足建筑平面布置的要求
(1) 在旅馆、办公楼等民用建筑中，柱网布置应与建筑分隔墙 布置相协调。
一、框架的布置
按承重框架布置方向分为三种： 1.主要承重框架横向布置 2.主要承重框架纵向布置 3.主要承重框架纵横两向布置
对称不等跨式柱网
二、柱网尺寸
（二）基本要求： １框架的柱网布置应力求简单、规则、
整齐； ２要满足生产工艺和建筑平面布置的要
求； ３要使结构受力合理，施工方便； ４柱网尺寸应符合经济原则和尽量符合
模数。
❖ 框架结构的柱网布置既要满足生产工艺和建筑平面布置的要 求，又要使结构受力合理，施工方便。
运输困难，吊装内力大，长度不宜超过１６米 （3）组合单元式：接头少，增加了结构的整体性；构件制作复杂，
运输困难，起重吨位大
5、装配（整体）式框架的接头型式
1.梁与柱的接头 暗牛腿刚接方式 明牛腿刚接方式 2.柱与柱的接头方式--焊接连接 3.梁与板的接头方式--迭合梁式
6、按所用材料划分
按所用材料：
(3) 对称不等跨柱网常用于建筑平面宽度较大的厂房，常用的 柱网有( 5.8+6.2+6.2+5.8 )×6.0m、 ( 7.5+7.5+12.0+7.5+7.5 )×6.0m， ( 8.0+12.0+8.0 )×6.0m。
2、柱网布置应满足建筑平面布置的要求
(1) 在旅馆、办公楼等民用建筑中，柱网布置应与建筑分隔墙 布置相协调。
一、框架的布置
按承重框架布置方向分为三种： 1.主要承重框架横向布置 2.主要承重框架纵向布置 3.主要承重框架纵横两向布置
结构力学：第六章 结构位移计算
W F 'dΔ' 0
F
F
A
l
F'
O 'd ' B F
§6-2 变形体系的虚功原理
设线弹性材料的弹性系数为k，则
F
F ' kΔ'
F
A
l
F'
所以
O 'd ' B F
W kΔ'dΔ' 1 kΔ2 1 FΔ F 2
0
2
2
2k
实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。实 功是外力的非线性函数，计算外力实功不能应用 叠加原理。
δWe δWi
需注意：
——这就是虚功方程。 （证明略）
⑴ 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；
§6-2 变形体系的虚功原理
⑵ 位移必须满足虚位移的条件——满足约束条件 的非常微小的连续位移；
⑶ 外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平 衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微 小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移 状态的位移上做功之和(外力虚功)等于力状态的内力在位 移状态的变形上做功之和(内力虚功)。
义力 P=1
(3) 求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。 特点: 是用静力平衡法来解几何问题。
总的来讲： 单位位移法的虚功方程
结构力学6 结构位移计算
若用 MP、NP、QP 表示实际状态中微段上 的内力。 由材料力学知：
QP (c) : p ds ds k GA
Q ( ) GA
G
其中：
E——材料的弹性模量 I ——杆件截面的惯性矩 A——杆件截面的面积 G——材料的剪切模量 k——剪应力沿截面分布不均匀引用的改正系数 矩形： 圆形：
平面杆件结构：
力：
位移：
γ
γ
—— 变形体系的虚功方程
几点说明：
⒈ 没有涉及到材料的物理性质。 ⒉ 如无变形（刚体），则 W外=0。 ⒊ 两种状态 —— 虚位移原理 ——虚力原理
§6-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法 平面杆件结构的虚功方程:
—— 虚力原理 求位移
求任意指定点K沿任一指定方向k-k上的位移△k？
重点：掌握计算位移的基本方法 ——单位荷载法。 熟练正确地运用图乘法。
难点：虚拟状态的建立；各类图形的图乘。
⒊ 本章的教学安排
计划用五至六次课（十至十二节 课）的时间，讲完本章§6-1到§6-8的 内容。*§6-9的内容不作要求。
⒋ 本章在本书中的地位
要计算静定结构的位移，必须先求 出静定结构的内力。因此本章可以说是 对前面所学的各类静定结构内力计算的 复习。同时，位移计算又是下章即将开 始学习超静定结构的基础。 因而,从全课程来看，本章是承上启 下的一章，也是十分重要的一章。
第六章 结构位移计算
kFS FSP ds GA
梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为：
ΔKP
桁架（只有轴力）的位移计算公式为：
MM Pds EI
ΔKP
FN FNPds EA
FN FNPl EA
组合结构（受弯杆件+链杆）的位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds FN FNPl
EI
EA
第6章
例6-1 试求图a所示刚架A点的竖向位移△Ay。各杆的材料相
三、计算位移的有关假定
1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
北京建筑工程学院专业基础部
第6章
第6 章 结构位移计算
6.1 概述
变形：结构形状的改变。 位移：结构各处位置的移动。
线段AA’—A点的线位移，计为ΔA。
截面A转动的角度—截面A的角位移， 计为φA。
ΔA—可用水平分量ΔAx和竖向分量 ΔAy 表示。
材料力学习题册答案_第6章_弯曲变形
36 120l
边界条件为 x=0 y=0
x=l y=0
得
D=0
C = 7ql 2
360
则可得挠曲线方程为 EI y= qx (10l 2 x2 3x4 7l 4 )
360
求 W max
令 EI ql x2 q x4 7ql 3 0
12 24l 360
即 2l 2 x2 x4 7 l 4 0
解 ① 对于 OA 段： 弯矩方程为 即 EIy’’=- 1 Pl-Px
2
M(x)=- 1 Pl-Px
2
EIy’=-
1 2
Plx-
1 2
P
x
2
+
C1
EIy=-
1 4
Plx
2
-
1 6
P
x
3
+
C1
x+
C
2
边界条件 x=0 y’=0
x=0 y=0
由此边界条件可解得
将 C1 =C2 =0 及
C1 =C2 =0
现 4 个积分常数，这些积分常数需要用梁的 边界 条件和 光滑连
续 条件来确定。
2. 用积分法求图 2 所示梁变形法时，边界条件为：YA 0,A 0,YD 0 ；
连续条件为：
YA
1
YA
2
,
B
1
边界条件为 x=0 y=0
x=l y=0
得
D=0
C = 7ql 2
360
则可得挠曲线方程为 EI y= qx (10l 2 x2 3x4 7l 4 )
360
求 W max
令 EI ql x2 q x4 7ql 3 0
12 24l 360
即 2l 2 x2 x4 7 l 4 0
解 ① 对于 OA 段： 弯矩方程为 即 EIy’’=- 1 Pl-Px
2
M(x)=- 1 Pl-Px
2
EIy’=-
1 2
Plx-
1 2
P
x
2
+
C1
EIy=-
1 4
Plx
2
-
1 6
P
x
3
+
C1
x+
C
2
边界条件 x=0 y’=0
x=0 y=0
由此边界条件可解得
将 C1 =C2 =0 及
C1 =C2 =0
现 4 个积分常数，这些积分常数需要用梁的 边界 条件和 光滑连
续 条件来确定。
2. 用积分法求图 2 所示梁变形法时，边界条件为：YA 0,A 0,YD 0 ；
连续条件为：
YA
1
YA
2
,
B
1
第六章分子结构
1 反键电子数） 键级 = （成键电子数 − 反键电子数） 2
例：
1 O 2的键级 = （ − 4 = 2 8 ） 2
三、应用： 应用： 分子轨道理论可处理同核双原子分子的结构。 分子轨道理论可处理同核双原子分子的结构。 阐明分子中价键数量和类型， 阐明分子中价键数量和类型，预测分子是否存 判断分子磁性，比较分子稳定性。 在，判断分子磁性，比较分子稳定性。
等性杂化轨道： 等性杂化轨道：几个能量相近的原 子轨道经杂化后形成的各杂化 4.杂化 杂化 轨道 轨道所含成分完全相同。 轨道所含成分完全相同。
不等性杂化轨道：几个能量相近的原 不等性杂化轨道： 子轨道经杂化后形成的各杂化轨 道所含成分不完全相同。 道所含成分不完全相同。
二、杂化方式： 杂化方式： 1.等性杂化 等性杂化 杂化： （1）sp杂化： 直线形 ） 杂化 例：HgCl2 Hg：5d106s2 ：
3.共价键的特征： 共价键的特征： 共价键的特征 （1）饱和性： 一个原子含有几个未成对电子，通 ）饱和性： 一个原子含有几个未成对电子，
常就能与其他原子的几个自旋相反的 未成对电子配对形成共价键。 未成对电子配对形成共价键。
（2）方向性： ）方向性： 例如： 例如：HCl
+
+
+
1S
Cl
H
HCl
3.杂化轨道理论的要点：P153 杂化轨道理论的要点： 杂化轨道理论的要点 （1）同一原子中能量相近的几个原子轨道可 以叠加起来形成成键能力更强的新轨 以叠加起来形成成键能力更强的新轨 即杂化轨道。 道，即杂化轨道。 （2）原子轨道杂化时一般使成对电子激发到 ） 空轨道而成单个电子， 空轨道而成单个电子，其所需的能量完 全可用成键时放出的能量予以补偿。 全可用成键时放出的能量予以补偿。 个原子轨道发生杂化后只能得到n个杂 （3）n个原子轨道发生杂化后只能得到 个杂 ） 个原子轨道发生杂化后只能得到 化轨道。 化轨道。即杂化前后原子轨道的总数不 变。
例：
1 O 2的键级 = （ − 4 = 2 8 ） 2
三、应用： 应用： 分子轨道理论可处理同核双原子分子的结构。 分子轨道理论可处理同核双原子分子的结构。 阐明分子中价键数量和类型， 阐明分子中价键数量和类型，预测分子是否存 判断分子磁性，比较分子稳定性。 在，判断分子磁性，比较分子稳定性。
等性杂化轨道： 等性杂化轨道：几个能量相近的原 子轨道经杂化后形成的各杂化 4.杂化 杂化 轨道 轨道所含成分完全相同。 轨道所含成分完全相同。
不等性杂化轨道：几个能量相近的原 不等性杂化轨道： 子轨道经杂化后形成的各杂化轨 道所含成分不完全相同。 道所含成分不完全相同。
二、杂化方式： 杂化方式： 1.等性杂化 等性杂化 杂化： （1）sp杂化： 直线形 ） 杂化 例：HgCl2 Hg：5d106s2 ：
3.共价键的特征： 共价键的特征： 共价键的特征 （1）饱和性： 一个原子含有几个未成对电子，通 ）饱和性： 一个原子含有几个未成对电子，
常就能与其他原子的几个自旋相反的 未成对电子配对形成共价键。 未成对电子配对形成共价键。
（2）方向性： ）方向性： 例如： 例如：HCl
+
+
+
1S
Cl
H
HCl
3.杂化轨道理论的要点：P153 杂化轨道理论的要点： 杂化轨道理论的要点 （1）同一原子中能量相近的几个原子轨道可 以叠加起来形成成键能力更强的新轨 以叠加起来形成成键能力更强的新轨 即杂化轨道。 道，即杂化轨道。 （2）原子轨道杂化时一般使成对电子激发到 ） 空轨道而成单个电子， 空轨道而成单个电子，其所需的能量完 全可用成键时放出的能量予以补偿。 全可用成键时放出的能量予以补偿。 个原子轨道发生杂化后只能得到n个杂 （3）n个原子轨道发生杂化后只能得到 个杂 ） 个原子轨道发生杂化后只能得到 化轨道。 化轨道。即杂化前后原子轨道的总数不 变。
塑性力学第六章
第三个假定在不涉及结构稳定时用。该假 定用了弹性结构中关于小变形的假定。
第四个假定是为了简化计算。 剪力和轴力的影响是减少极限弯矩，而材 料的强化及梁的实际跨度的减少则将提高极 限荷载，两种影响互相补偿，因此根据这种 假定计算出来的结果与实际结果比较吻合。 二、极限分析的两个定理 对于一次比例加载的情形，加载过程可以 用一个变量 （P荷载参数）或称荷载因子来 表示。以 （PP荷载参数的极限值）表示结构 的真实破损荷载参数，且设荷载参数 时P，0 可能在结构中找出一套适合平衡条件的弯矩， 并且它处处都不超过构件的极限弯矩，这样
在用机动法时，注意塑性铰转动的方向总 是与极限弯矩 的M 方P 向一致的。故极限弯矩 所做的M 内P 功总是正的。所以可以不考虑内力 功的正负问题。
P
M
p
2
M
p
Ppl
Pp
3M l
p
P
1
l 1
2
2
l
1
l
,2
l
l
M
p
1
M
p
1
2
Pp
Pp
M
p
2
l
1
l 1
2P
P
l
1.5l
l
l
1.5
下面举例说明。
例1、求qP（杆件的极限弯矩 M已P 知）
解：
第四个假定是为了简化计算。 剪力和轴力的影响是减少极限弯矩，而材 料的强化及梁的实际跨度的减少则将提高极 限荷载，两种影响互相补偿，因此根据这种 假定计算出来的结果与实际结果比较吻合。 二、极限分析的两个定理 对于一次比例加载的情形，加载过程可以 用一个变量 （P荷载参数）或称荷载因子来 表示。以 （PP荷载参数的极限值）表示结构 的真实破损荷载参数，且设荷载参数 时P，0 可能在结构中找出一套适合平衡条件的弯矩， 并且它处处都不超过构件的极限弯矩，这样
在用机动法时，注意塑性铰转动的方向总 是与极限弯矩 的M 方P 向一致的。故极限弯矩 所做的M 内P 功总是正的。所以可以不考虑内力 功的正负问题。
P
M
p
2
M
p
Ppl
Pp
3M l
p
P
1
l 1
2
2
l
1
l
,2
l
l
M
p
1
M
p
1
2
Pp
Pp
M
p
2
l
1
l 1
2P
P
l
1.5l
l
l
1.5
下面举例说明。
例1、求qP（杆件的极限弯矩 M已P 知）
解：
第六章其它荷载与作用
冰胶结了土颗粒形成的一种特殊连结的土，称为冻土。
多年冻土
根据存在时间长短分为
季节性冻土
瞬时冻土
季节性冻土地基在冻结和融化过程中，往往产生冻胀和融陷，过大的 冻融变形，将造成结构物的损伤和破坏。
第三节 冻胀力
冻胀力
土体冻结体积增大，土体膨胀变形受到约束时产生，约束 越强，冻胀力也就越大。当冻胀力达到一定界限时不再增 加，这时的冻胀力就是最大冻胀力。
NP
杆件的 图的面积， 图为虚拟状态下轴力大小沿杆件的分布图；
MP
杆件的 图的面积， 图为虚拟状态下弯矩大小沿杆件的分布图。
第一节 温度作用
表6-1 常用材料的线膨胀系数
材料 轻骨料混凝土 普通混凝土
砌块 钢、锻铁、铸铁
不锈钢 铝、铝合金
线膨胀系数/(×10-6/℃) 7 10
6～10 12 16 24
建造在冻胀土上的结构物，相当于对地基的冻胀变形施加 约束，使得地基土不能自由膨胀产生冻胀力，地基的冻胀 力作用在结构物基础上，引起结构发生变形产生内力。
第三节 冻胀力
地基土的冻胀性可根据平均冻胀率分类 平均冻胀率 地面最大冻胀量与土的冻结深度之比。
根据冻胀率的不同，地基土可分为不冻胀、弱冻胀、冻胀、 强冻胀和特强冻胀五类。 《建筑地基基础设计规范》给出了地基土的冻胀性分类， 见表6.2。 冻胀力分为：切向冻胀力、法向冻胀力和水平冻胀力。
多年冻土
根据存在时间长短分为
季节性冻土
瞬时冻土
季节性冻土地基在冻结和融化过程中，往往产生冻胀和融陷，过大的 冻融变形，将造成结构物的损伤和破坏。
第三节 冻胀力
冻胀力
土体冻结体积增大，土体膨胀变形受到约束时产生，约束 越强，冻胀力也就越大。当冻胀力达到一定界限时不再增 加，这时的冻胀力就是最大冻胀力。
NP
杆件的 图的面积， 图为虚拟状态下轴力大小沿杆件的分布图；
MP
杆件的 图的面积， 图为虚拟状态下弯矩大小沿杆件的分布图。
第一节 温度作用
表6-1 常用材料的线膨胀系数
材料 轻骨料混凝土 普通混凝土
砌块 钢、锻铁、铸铁
不锈钢 铝、铝合金
线膨胀系数/(×10-6/℃) 7 10
6～10 12 16 24
建造在冻胀土上的结构物，相当于对地基的冻胀变形施加 约束，使得地基土不能自由膨胀产生冻胀力，地基的冻胀 力作用在结构物基础上，引起结构发生变形产生内力。
第三节 冻胀力
地基土的冻胀性可根据平均冻胀率分类 平均冻胀率 地面最大冻胀量与土的冻结深度之比。
根据冻胀率的不同，地基土可分为不冻胀、弱冻胀、冻胀、 强冻胀和特强冻胀五类。 《建筑地基基础设计规范》给出了地基土的冻胀性分类， 见表6.2。 冻胀力分为：切向冻胀力、法向冻胀力和水平冻胀力。
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
(b)
2 23
题中边界条件为：在x =0处，w=0；在x=0处，w 0
图6-7 例题 6-1 图
将边界条件代入(a)、(b)两式，得到C=0和D=0。
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在平面弯曲情况下，梁的轴线在形心主惯性平面平面内弯成一条平面曲线， 此曲线称为梁的挠曲线。
图6-4
梁的轴线上任一点截面形心C在垂直于x轴方向的位移CC'，称为该点的挠 度，用w表示。
梁变形后，其任一横截面将绕中性轴转过一个角度，这一角度称为该截面 的转角，用θ表示。
w ql3 ql x2 q x3
(c)
24EI 4EI 6EI
6第六章结构位移计算
4EA4GA4E移I的影响可略去不计
§ 6.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 二.位移计算公式
1.梁与刚架
4.拱
ip
MPMds EI
ip
[MPMNPN]ds EI EA
2.桁架
ip
NPNd s EA
NP Nl EA
这些公式的适 用条件是什么?
3.组合结构
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当
发生任意一个虚位移时，变形体所受外力
在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变
形体各微段外力在微段变形位移上作的虚
功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
δWe =δWi
外力虚功 = 变形虚功
变形体虚功原理的证明:
qx
ab
a b 1.利用变形连续条件计算
对于细长杆,剪切变何形确定的? Q 1
lx
对位移的贡献与弯曲变
M 100
形相比可略去不计.
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
P B
P=1
P
QP M P
R A
θ
R
NP R θ
O
解：构M造P 虚设PR的si力n状, M态如设 图R:A 示sM in bh4 ,P IE3R b,IhQ 3/ 14 2,kG kP,6A /R N 5, 4P E
第六章 简单超静定问题
(
)
∆l1
例题
图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同 根杆的抗拉刚度相同， EA， 图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同，均为 EA， 3 杆比设计尺寸短了δ，若：3根杆均为圆钢杆 杆比设计尺寸短了δ d = 40mm, E = 200GPa, l =1 , δ = 0.5mm,α = 300 m
D
2
C
3
α α
l A a
1
2
α B
a
a
F
解： 本问题为一次超静定 对杆AB 对杆AB
FN1
A l 1 2 α B a F a a F
FN2
B
A
∑M
A
=0
FN1 ⋅ a + FN2 cosα ⋅ 2a − F ⋅ 3a = 0
FN1 + 2FN2 cosα = 3F (a)
得到: 得到:
由结构的变形图, 由结构的变形图,得到
§6-2
拉压超静定问题
一、拉压超静定问题的求解 二、温度应力和装配应力
一、拉压超静定问题的求解
例题： 例题：求图示杆的支反力 解： AB 杆受力如图 由： A a F B b
F B A
FA
a
∑F
y
=0
A B 得： F + F = F
b
F B 本问题为共线力系， 本问题为共线力系，只有一个独立平衡方程
第六章弯曲变形分析
第六章 弯曲变形分析
梁是机械与工程结构中最常见的构件。本章内容包括梁的内力、平面弯曲中横截面上的正应力和切应力分布规律，以及梁的变形计算。
6.1 梁的内力
● 梁的概念
当杆件受到矢量方向垂直于轴线的外力或外力偶作用时，其轴线将由直线变为曲线，如图6–1(a)。以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲，凡是以弯曲变形为主的杆件，工程上称为梁，如车辆的轮轴、房屋的梁及桥梁等。在分析计算中，通常用梁的轴线代表梁，如图6–1(b)。
在工程实际中，大多数梁都具有一个纵向对称面；而外力也作用在该对称面内。在这种情况下，梁的变形对称于纵向对称面，且变形后的轴线也在对称
图6–1 梁 图6–2 对称弯曲
图6–3 梁的约束 图6–4 三类静定梁
面内，即所谓的对称弯曲，如图6–2。它是弯曲问题中最基本、最常见的情况。本章只讨论梁的对称弯曲。
图6–3表示了梁的三种常见约束形式及相应的约束力：可动铰支座(图6–3(a))，固定铰支座(图6–3(b))和(平面)固定端约束(图6–3(c))。在以上三种约束方式下，有三种常见的梁形式，如图6–4所示。图6–4(a)为简支梁，两端分别为固定铰支座和活动铰支座；图6–4(b)为悬臂梁，一端固定端约束，一端自由；图6–4(b)为外伸梁，它是具有一个或两个外伸部分的简支梁。这三种梁都是静定梁。
作用在梁上的外载荷，常见的有集中力偶M (图6–5(a))、分布载荷q (图6–5(b))和集中力F (图6–5(c))。在实际问题中，q 为常数的均布载荷较为常见。 ● 梁的剪力与弯矩
结构力学——第6章结构位移计算讲解
虚拟状态各杆内力如图b （左半部）。
注意桁架杆件轴力是正对称的
ΔD
FN FNPl 8mm() EA
§6-5 图乘法
梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为 ΔKP
MM Pds EI
公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时：
（1）杆轴为直线； （2）EI=常数；
计算可以简化
（3）M 和MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形。
§6-5 图乘法
常用简单图形的面积和形心
§6-5 图乘法
两个梯形相乘时： 将MP图分解为两个三角形（或一个 矩形和一个三角形）。
ya
2 3
c
1 3
d
yb
1c 3
2 3
d
两个图的竖标a、b或c、d不在基线同 一测时：可分解为位于基线两侧的两 个三角形，在进行图乘。
§6-5 图乘法
均布荷载作用下的任何一段直杆： 弯矩图=一个梯形+一个标准抛物 线图形如图a。
AB杆的角位移
AB
ΔA
d
ΔB
荷载所做的虚功
1 d
ΔA
1 d
ΔB
ΔA
d
ΔB
AB
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合
胡克定律。
求图a所示结构K点的竖向位
注意桁架杆件轴力是正对称的
ΔD
FN FNPl 8mm() EA
§6-5 图乘法
梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为 ΔKP
MM Pds EI
公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时：
（1）杆轴为直线； （2）EI=常数；
计算可以简化
（3）M 和MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形。
§6-5 图乘法
常用简单图形的面积和形心
§6-5 图乘法
两个梯形相乘时： 将MP图分解为两个三角形（或一个 矩形和一个三角形）。
ya
2 3
c
1 3
d
yb
1c 3
2 3
d
两个图的竖标a、b或c、d不在基线同 一测时：可分解为位于基线两侧的两 个三角形，在进行图乘。
§6-5 图乘法
均布荷载作用下的任何一段直杆： 弯矩图=一个梯形+一个标准抛物 线图形如图a。
AB杆的角位移
AB
ΔA
d
ΔB
荷载所做的虚功
1 d
ΔA
1 d
ΔB
ΔA
d
ΔB
AB
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合
胡克定律。
求图a所示结构K点的竖向位
结构力学第六章
3 3 3 6
(4 次)
3 3 5 4
8 3 18 6
X2
(6 次)
X1
X7
X5
X3
X4
X8
X9
X6
X10
6 3 8 10
作业
• 6-1a,b,c,h
§6-2力法(Force Method)的基本概念
1. 基本思路 待解的未知问题
1
基本体系
1 0
5)最后内力
系数行列式之值>0 主系数 ii 0
0 副系数 ij 0 0
M M 1 X 1 M 2 X 2 .......... ... M n X n M P
§6-3超静定刚架和排架
1. 刚架
3 q=1kN/m 3m 2I FP=3kN 4
X1 1
X2 1
12
（1）基本体系
基本结构为悬臂刚架
（2）基本未知力 X 1 , X 2 （3）基本方程
1 0 2 0
X1
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
（4）系数与自由项 （5）解力法方程 （6）内力
1 1 3 2 2 (2 2 2 )a X 1 FP a 0 EA EA 2
1）
结构力学课件第六章结构位移计算
，=10－5，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。
t1
A
1
L
t2
A
实
虚1
L
化
解： 外侧温度变化
t2=0℃－20℃=－20℃
。t1=t－=(1t10+℃t2)－/2=20－℃2=5℃－3,0△℃t,=t2－内t侧1=温10度℃变
绘 图， 代入式（6—11），并注意正负号(判断)， 可得
△Ay
返回
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
§6—8 线弹性结构的互等定理
（1）功的互等定理：第一状态的外力在第二状态的位移上所作
的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。
1 P1
2
1
2 P2
△21
△12
第一状态
第二状态
M1、N1、Q1、P1、△21
M2、N2、Q2、P2、△12
证明如下： 据虚功原理有 W12= P1△12
W12=Wi12 ， W21=Wi21
-
21EI(L‧
32L) P4L=
1P6LE2I返（回↓）
例 6—4 求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。
EI=常数。
q
解：1. 作MP图
A
B
C
2. 作 图
L
3. 图乘计算
y1=
y2=
《材料力学》第六章 弯曲变形
第六章 弯曲变形
§6—1 概述
一、挠曲线：梁变形后的轴线。
性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。
二、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。用 “w ” 表示。
w =w （x ） ……挠曲线方程。挠度向上为正；向下为负。
三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“θ” 表示。
θ=θ(x)……转角方程。由变形前的横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。
四、挠度和转角的关系
w =w （x ）上任一点处——w x w dx
dw tg '='==)(θ w tg '=⇒≈θθθ §6—2 梁的挠曲线近似微分方程 一、曲率与弯矩的关系：EI
x M x EI M x )()(1)(1=→=ρρ （1） 二、曲率与挠曲线的关系：[]232)(1)(1w w x '+''±=ρ→w x ''±=)
(1ρ （2） 三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得 →
w x ''±=EI M )( → )(x w M ±=''EI
结论：挠曲线近似微分方程——)(x w M =''EI
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs ”、 2)(w '对变形的影响。
使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
§6—3 积分法计算梁的变形
步骤：（EI 为常量）
1、根据荷载分段列出弯矩方程 M （x ）。
2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
)()(x M x w EI =''
1)()(C dx x M x w EI +='⎰
21))(()(C x C dx dx x M x EIw ++=⎰⎰
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
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(x) [1 (dy )2 ]3/2
dx 在小变形dy/dx<<1, 可忽略,上式简化为
1
(x)
d2 y dx2
wk.baidu.com
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程 挠曲线近似微分方程
d2 y M (x)
dx2
EI
正负号取决于坐标系的
选择和弯矩正负号规定:
挠曲线近似微分方程:
d2y d2x
极小。可用：
tg
dy
dx
O
P yA
A (x) dy f (x)
B
dx
A A
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程
纯弯梁的曲率方程
1/=M/EI
横向弯曲时, 各截面曲率随M(x)而变, 忽略剪力V
的影响后 1/(x)=M(x)/EI d2 y
由高等数学可知: 1 dx2
利用边界条件确定积分常数：
x 0，y 0； C2 0
q
x l，y
0
C1
ql 3 24
A
x
(x) 1 (ql3 6qlx2 4qx3) Amax
L
24EIZ
y(x) qx (l3 2lx2 x3)
24EIZ
x 0，x l，max
max
ql 3 24 EI Z
B
ym a x
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
3.确定积分常数
边界条件: x=0, =y´=0 C=0
x=0, y=0 D=0 4.列转角和挠度方程
= (Plx-Px2/2)/EI
y=(Plx2/2-Px3/6)EI 5.求最大挠度fB: 将x=l代入:
fB=Pl3/3EI (挠度向下)
符号：挠度向下为正， 向上为负。 单位：mm
§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.1弯曲变形的概念
（2）转角：横截面绕中性轴所转过的角度。
符号：顺时针转动为正。
单位：弧度
P
A
O
yA
B
A A
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
（3）截面挠度与转角的关系
挠曲线的斜率： dy tg
dx
工程中由于是小变形，
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
第六章 结构的变形
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
Bmax
x
l 2
，ymax
ymax
5ql 4 384 EI Z
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.4 用叠加法计算梁的变形
用叠加法计算梁的变形
▪ 叠加法：几个荷载共同作用下引起梁的的变形, 等于各个荷载单独作用下引起的梁变形的叠加。
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
• 积分法的应用
例1: 求图示悬臂梁的(x)和y(x),并求挠度fB.
1.列弯矩方程: M(x)=-P(l-x)
2.挠曲线近似微分方程 EIy´´=-M(x)=P(l-x)
积分一次得: EIy´=EI=Plx-Px2/2+C
再积分一次: EIy=Plx2/2-Px3/6+Cx+D
A
引起结构位移的原因 还有什么原
为P什位么移要?计A算 A Ay
因荷会载使结构产 温度生改位变移?
Ax
支座移动
制造误差 等
t
第六章 结构的变形
二、 计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。
虎克定律
当杆的应力未超过某一极限时，纵向变形L与轴力N、 杆长L及横截面面积A之间存在如下比例关系： L= NL/ EA
弹性模量E：数值随材料而异，通过试验测定。
杆件抗拉（压）刚度： EA
将= L/L，=N/A代入，则：=E·
虎克定律：杆件应力不超过某一限值（材料的比例极
限p ）时，应力与应变成正比。
§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系
轴向拉（压）杆的变形
纵向拉长：L=L1-L, 纵向线应变 ： = L/L 横向缩小：d=d1-d, 横向线应变 ´ ： ´ = d/d 拉杆 为正， ´ 为负； 压杆 为负， ´ 为正。
§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系
例题2：求该简支梁的最大挠度和转角
A
x
Amax
q
B
L
ym a x
Bmax
解：
建立坐标、 写弯矩方程
M (x) 1 qlx 1 qx2 22
挠曲线近似微分方程
EI Z
y( x)
M (x)
1 2
qx 2
1 2
qlx
积分一次：
EI
Z
(x)
1 6
qx3
1 4
qlx 2
C1
再次积分： EIZ y(x) 1 qx4 1 qlx3 C1x C2
§6-2 梁在弯曲时的变形
❖弯曲变形的概念 ❖梁的挠曲线近似微分方程 ❖用积分法计算梁的变形 ❖用叠加法计算梁的变形 ❖梁的刚度校核 ❖提高梁弯曲刚度的措施
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
1、挠曲线：
在平面弯曲情况，梁变形后的轴线将成为xoy 平面内的一条曲线。这条连续、光滑 的曲线—梁的挠曲线。 （弹性曲线）
f
(x) M (x) EIZ
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3 用积分法计算梁的变形
d2y d2x
f (x)
M (x) EIZ
积分一次：
挠曲线近似微分方程
EIZ x EIZ f x M x dx C1
再次积分：
EIZ yx M x dx dx C1x C2
积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。
P
A
O
yA
B
A A
§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.1弯曲变形的概念
2、截面转角和挠度（梁弯曲变形的两个基本量）
（1）挠度：梁变形后，横截面的形心在垂直于梁轴线（x 轴） 方向上所产生的线位移，称为梁横截面的挠度。
P
A
O
yA
B
A A
的规横律截用面挠挠曲度线随方截程面表位示置。（即：x 轴y）而改f（变x）
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
P
A Ay
A A
线位移 位移
转角位移
Ax A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
dx 在小变形dy/dx<<1, 可忽略,上式简化为
1
(x)
d2 y dx2
wk.baidu.com
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程 挠曲线近似微分方程
d2 y M (x)
dx2
EI
正负号取决于坐标系的
选择和弯矩正负号规定:
挠曲线近似微分方程:
d2y d2x
极小。可用：
tg
dy
dx
O
P yA
A (x) dy f (x)
B
dx
A A
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程
纯弯梁的曲率方程
1/=M/EI
横向弯曲时, 各截面曲率随M(x)而变, 忽略剪力V
的影响后 1/(x)=M(x)/EI d2 y
由高等数学可知: 1 dx2
利用边界条件确定积分常数：
x 0，y 0； C2 0
q
x l，y
0
C1
ql 3 24
A
x
(x) 1 (ql3 6qlx2 4qx3) Amax
L
24EIZ
y(x) qx (l3 2lx2 x3)
24EIZ
x 0，x l，max
max
ql 3 24 EI Z
B
ym a x
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
3.确定积分常数
边界条件: x=0, =y´=0 C=0
x=0, y=0 D=0 4.列转角和挠度方程
= (Plx-Px2/2)/EI
y=(Plx2/2-Px3/6)EI 5.求最大挠度fB: 将x=l代入:
fB=Pl3/3EI (挠度向下)
符号：挠度向下为正， 向上为负。 单位：mm
§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.1弯曲变形的概念
（2）转角：横截面绕中性轴所转过的角度。
符号：顺时针转动为正。
单位：弧度
P
A
O
yA
B
A A
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
（3）截面挠度与转角的关系
挠曲线的斜率： dy tg
dx
工程中由于是小变形，
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
第六章 结构的变形
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
Bmax
x
l 2
，ymax
ymax
5ql 4 384 EI Z
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.4 用叠加法计算梁的变形
用叠加法计算梁的变形
▪ 叠加法：几个荷载共同作用下引起梁的的变形, 等于各个荷载单独作用下引起的梁变形的叠加。
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
• 积分法的应用
例1: 求图示悬臂梁的(x)和y(x),并求挠度fB.
1.列弯矩方程: M(x)=-P(l-x)
2.挠曲线近似微分方程 EIy´´=-M(x)=P(l-x)
积分一次得: EIy´=EI=Plx-Px2/2+C
再积分一次: EIy=Plx2/2-Px3/6+Cx+D
A
引起结构位移的原因 还有什么原
为P什位么移要?计A算 A Ay
因荷会载使结构产 温度生改位变移?
Ax
支座移动
制造误差 等
t
第六章 结构的变形
二、 计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。
虎克定律
当杆的应力未超过某一极限时，纵向变形L与轴力N、 杆长L及横截面面积A之间存在如下比例关系： L= NL/ EA
弹性模量E：数值随材料而异，通过试验测定。
杆件抗拉（压）刚度： EA
将= L/L，=N/A代入，则：=E·
虎克定律：杆件应力不超过某一限值（材料的比例极
限p ）时，应力与应变成正比。
§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系
轴向拉（压）杆的变形
纵向拉长：L=L1-L, 纵向线应变 ： = L/L 横向缩小：d=d1-d, 横向线应变 ´ ： ´ = d/d 拉杆 为正， ´ 为负； 压杆 为负， ´ 为正。
§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系
例题2：求该简支梁的最大挠度和转角
A
x
Amax
q
B
L
ym a x
Bmax
解：
建立坐标、 写弯矩方程
M (x) 1 qlx 1 qx2 22
挠曲线近似微分方程
EI Z
y( x)
M (x)
1 2
qx 2
1 2
qlx
积分一次：
EI
Z
(x)
1 6
qx3
1 4
qlx 2
C1
再次积分： EIZ y(x) 1 qx4 1 qlx3 C1x C2
§6-2 梁在弯曲时的变形
❖弯曲变形的概念 ❖梁的挠曲线近似微分方程 ❖用积分法计算梁的变形 ❖用叠加法计算梁的变形 ❖梁的刚度校核 ❖提高梁弯曲刚度的措施
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
1、挠曲线：
在平面弯曲情况，梁变形后的轴线将成为xoy 平面内的一条曲线。这条连续、光滑 的曲线—梁的挠曲线。 （弹性曲线）
f
(x) M (x) EIZ
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3 用积分法计算梁的变形
d2y d2x
f (x)
M (x) EIZ
积分一次：
挠曲线近似微分方程
EIZ x EIZ f x M x dx C1
再次积分：
EIZ yx M x dx dx C1x C2
积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。
P
A
O
yA
B
A A
§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.1弯曲变形的概念
2、截面转角和挠度（梁弯曲变形的两个基本量）
（1）挠度：梁变形后，横截面的形心在垂直于梁轴线（x 轴） 方向上所产生的线位移，称为梁横截面的挠度。
P
A
O
yA
B
A A
的规横律截用面挠挠曲度线随方截程面表位示置。（即：x 轴y）而改f（变x）
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
P
A Ay
A A
线位移 位移
转角位移
Ax A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)