第六章结构的变形
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(x) [1 (dy )2 ]3/2
dx 在小变形dy/dx<<1, 可忽略,上式简化为
1
(x)
d2 y dx2
wk.baidu.com
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程 挠曲线近似微分方程
d2 y M (x)
dx2
EI
正负号取决于坐标系的
选择和弯矩正负号规定:
挠曲线近似微分方程:
d2y d2x
极小。可用：
tg
dy
dx
O
P yA
A (x) dy f (x)
B
dx
A A
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程
纯弯梁的曲率方程
1/=M/EI
横向弯曲时, 各截面曲率随M(x)而变, 忽略剪力V
的影响后 1/(x)=M(x)/EI d2 y
由高等数学可知: 1 dx2
利用边界条件确定积分常数：
x 0，y 0； C2 0
q
x l，y
0
C1
ql 3 24
A
x
(x) 1 (ql3 6qlx2 4qx3) Amax
L
24EIZ
y(x) qx (l3 2lx2 x3)
24EIZ
x 0，x l，max
max
ql 3 24 EI Z
B
ym a x
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
3.确定积分常数
边界条件: x=0, =y´=0 C=0
x=0, y=0 D=0 4.列转角和挠度方程
= (Plx-Px2/2)/EI
y=(Plx2/2-Px3/6)EI 5.求最大挠度fB: 将x=l代入:
fB=Pl3/3EI (挠度向下)
符号：挠度向下为正， 向上为负。 单位：mm
§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.1弯曲变形的概念
（2）转角：横截面绕中性轴所转过的角度。
符号：顺时针转动为正。
单位：弧度
P
A
O
yA
B
A A
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
（3）截面挠度与转角的关系
挠曲线的斜率： dy tg
dx
工程中由于是小变形，
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
第六章 结构的变形
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
Bmax
x
l 2
，ymax
ymax
5ql 4 384 EI Z
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.4 用叠加法计算梁的变形
用叠加法计算梁的变形
▪ 叠加法：几个荷载共同作用下引起梁的的变形, 等于各个荷载单独作用下引起的梁变形的叠加。
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
• 积分法的应用
例1: 求图示悬臂梁的(x)和y(x),并求挠度fB.
1.列弯矩方程: M(x)=-P(l-x)
2.挠曲线近似微分方程 EIy´´=-M(x)=P(l-x)
积分一次得: EIy´=EI=Plx-Px2/2+C
再积分一次: EIy=Plx2/2-Px3/6+Cx+D
A
引起结构位移的原因 还有什么原
为P什位么移要?计A算 A Ay
因荷会载使结构产 温度生改位变移?
Ax
支座移动
制造误差 等
t
第六章 结构的变形
二、 计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。
虎克定律
当杆的应力未超过某一极限时，纵向变形L与轴力N、 杆长L及横截面面积A之间存在如下比例关系： L= NL/ EA
弹性模量E：数值随材料而异，通过试验测定。
杆件抗拉（压）刚度： EA
将= L/L，=N/A代入，则：=E·
虎克定律：杆件应力不超过某一限值（材料的比例极
限p ）时，应力与应变成正比。
§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系
轴向拉（压）杆的变形
纵向拉长：L=L1-L, 纵向线应变 ： = L/L 横向缩小：d=d1-d, 横向线应变 ´ ： ´ = d/d 拉杆 为正， ´ 为负； 压杆 为负， ´ 为正。
§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系
例题2：求该简支梁的最大挠度和转角
A
x
Amax
q
B
L
ym a x
Bmax
解：
建立坐标、 写弯矩方程
M (x) 1 qlx 1 qx2 22
挠曲线近似微分方程
EI Z
y( x)
M (x)
1 2
qx 2
1 2
qlx
积分一次：
EI
Z
(x)
1 6
qx3
1 4
qlx 2
C1
再次积分： EIZ y(x) 1 qx4 1 qlx3 C1x C2
§6-2 梁在弯曲时的变形
❖弯曲变形的概念 ❖梁的挠曲线近似微分方程 ❖用积分法计算梁的变形 ❖用叠加法计算梁的变形 ❖梁的刚度校核 ❖提高梁弯曲刚度的措施
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
1、挠曲线：
在平面弯曲情况，梁变形后的轴线将成为xoy 平面内的一条曲线。这条连续、光滑 的曲线—梁的挠曲线。 （弹性曲线）
f
(x) M (x) EIZ
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3 用积分法计算梁的变形
d2y d2x
f (x)
M (x) EIZ
积分一次：
挠曲线近似微分方程
EIZ x EIZ f x M x dx C1
再次积分：
EIZ yx M x dx dx C1x C2
积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。
P
A
O
yA
B
A A
§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.1弯曲变形的概念
2、截面转角和挠度（梁弯曲变形的两个基本量）
（1）挠度：梁变形后，横截面的形心在垂直于梁轴线（x 轴） 方向上所产生的线位移，称为梁横截面的挠度。
P
A
O
yA
B
A A
的规横律截用面挠挠曲度线随方截程面表位示置。（即：x 轴y）而改f（变x）
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
P
A Ay
A A
线位移 位移
转角位移
Ax A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
dx 在小变形dy/dx<<1, 可忽略,上式简化为
1
(x)
d2 y dx2
wk.baidu.com
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程 挠曲线近似微分方程
d2 y M (x)
dx2
EI
正负号取决于坐标系的
选择和弯矩正负号规定:
挠曲线近似微分方程:
d2y d2x
极小。可用：
tg
dy
dx
O
P yA
A (x) dy f (x)
B
dx
A A
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程
纯弯梁的曲率方程
1/=M/EI
横向弯曲时, 各截面曲率随M(x)而变, 忽略剪力V
的影响后 1/(x)=M(x)/EI d2 y
由高等数学可知: 1 dx2
利用边界条件确定积分常数：
x 0，y 0； C2 0
q
x l，y
0
C1
ql 3 24
A
x
(x) 1 (ql3 6qlx2 4qx3) Amax
L
24EIZ
y(x) qx (l3 2lx2 x3)
24EIZ
x 0，x l，max
max
ql 3 24 EI Z
B
ym a x
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
3.确定积分常数
边界条件: x=0, =y´=0 C=0
x=0, y=0 D=0 4.列转角和挠度方程
= (Plx-Px2/2)/EI
y=(Plx2/2-Px3/6)EI 5.求最大挠度fB: 将x=l代入:
fB=Pl3/3EI (挠度向下)
符号：挠度向下为正， 向上为负。 单位：mm
§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.1弯曲变形的概念
（2）转角：横截面绕中性轴所转过的角度。
符号：顺时针转动为正。
单位：弧度
P
A
O
yA
B
A A
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
（3）截面挠度与转角的关系
挠曲线的斜率： dy tg
dx
工程中由于是小变形，
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
第六章 结构的变形
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
Bmax
x
l 2
，ymax
ymax
5ql 4 384 EI Z
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.4 用叠加法计算梁的变形
用叠加法计算梁的变形
▪ 叠加法：几个荷载共同作用下引起梁的的变形, 等于各个荷载单独作用下引起的梁变形的叠加。
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
• 积分法的应用
例1: 求图示悬臂梁的(x)和y(x),并求挠度fB.
1.列弯矩方程: M(x)=-P(l-x)
2.挠曲线近似微分方程 EIy´´=-M(x)=P(l-x)
积分一次得: EIy´=EI=Plx-Px2/2+C
再积分一次: EIy=Plx2/2-Px3/6+Cx+D
A
引起结构位移的原因 还有什么原
为P什位么移要?计A算 A Ay
因荷会载使结构产 温度生改位变移?
Ax
支座移动
制造误差 等
t
第六章 结构的变形
二、 计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。
虎克定律
当杆的应力未超过某一极限时，纵向变形L与轴力N、 杆长L及横截面面积A之间存在如下比例关系： L= NL/ EA
弹性模量E：数值随材料而异，通过试验测定。
杆件抗拉（压）刚度： EA
将= L/L，=N/A代入，则：=E·
虎克定律：杆件应力不超过某一限值（材料的比例极
限p ）时，应力与应变成正比。
§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系
轴向拉（压）杆的变形
纵向拉长：L=L1-L, 纵向线应变 ： = L/L 横向缩小：d=d1-d, 横向线应变 ´ ： ´ = d/d 拉杆 为正， ´ 为负； 压杆 为负， ´ 为正。
§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系
例题2：求该简支梁的最大挠度和转角
A
x
Amax
q
B
L
ym a x
Bmax
解：
建立坐标、 写弯矩方程
M (x) 1 qlx 1 qx2 22
挠曲线近似微分方程
EI Z
y( x)
M (x)
1 2
qx 2
1 2
qlx
积分一次：
EI
Z
(x)
1 6
qx3
1 4
qlx 2
C1
再次积分： EIZ y(x) 1 qx4 1 qlx3 C1x C2
§6-2 梁在弯曲时的变形
❖弯曲变形的概念 ❖梁的挠曲线近似微分方程 ❖用积分法计算梁的变形 ❖用叠加法计算梁的变形 ❖梁的刚度校核 ❖提高梁弯曲刚度的措施
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
1、挠曲线：
在平面弯曲情况，梁变形后的轴线将成为xoy 平面内的一条曲线。这条连续、光滑 的曲线—梁的挠曲线。 （弹性曲线）
f
(x) M (x) EIZ
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3 用积分法计算梁的变形
d2y d2x
f (x)
M (x) EIZ
积分一次：
挠曲线近似微分方程
EIZ x EIZ f x M x dx C1
再次积分：
EIZ yx M x dx dx C1x C2
积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。
P
A
O
yA
B
A A
§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.1弯曲变形的概念
2、截面转角和挠度（梁弯曲变形的两个基本量）
（1）挠度：梁变形后，横截面的形心在垂直于梁轴线（x 轴） 方向上所产生的线位移，称为梁横截面的挠度。
P
A
O
yA
B
A A
的规横律截用面挠挠曲度线随方截程面表位示置。（即：x 轴y）而改f（变x）
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
P
A Ay
A A
线位移 位移
转角位移
Ax A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)