最大似然估计值
最大似然估计计算公式
最大似然估计计算公式
最大似然估计是一种统计方法，用于估计一个模型中的未知参数值。
它基于观察到的数据，通过找到使得观察数据出现的概率最大的参数值来进行估计。
最大似然估计的计算公式如下：
假设我们有一个总体数据集，其中包含n个观测值。
我们希望估计一个参数θ，使得在给定这些观测值的情况下，出现这些观测值的概率最大。
我们可以利用似然函数L(θ)来表示这个概率。
似然函数L(θ)可以定义为观测值的联合概率密度函数（如果观测值是连续的）或联合概率质量函数（如果观测值是离散的）。
假设每个观测值都是独立同分布的，那么似然函数可以写作L(θ) = f(x₁;θ) * f(x ₂;θ) * ... * f(xₙ;θ)，其中f(x;θ)表示观测值x在给定参数θ下的概率密度函数或概率质量函数。
为了找到最大似然估计，我们需要最大化似然函数L(θ)关于参数θ的值。
通常是通过对似然函数取对数，将乘法转化为加法，从而简化计算。
我们得到对数似然函数logL(θ) = log(f(x₁;θ)) + log(f(x₂;θ)) + ... + log(f(xₙ;θ))。
最大似然估计的计算公式可以写作：
θ^ = argmax(logL(θ))
即找到使得logL(θ)取得最大值的参数θ^。
一般情况下，我们使用数值优化方法（如梯度下降法或牛顿方法）来求解这个最优化问题，找到使得logL(θ)最大化的参数值θ^。
最终，θ^就是对未知参数θ的最大似然估计值。
通过最大似然估计，我们可以使用观测数据来估计模型中的未知参数，从而使得模型能更好地拟合观测数据，并进行各种统计推断和预测。
二项分布的矩估计量和最大似然估计量
二项分布的矩估计量和最大似然估计量
二项分布的矩估计量和最大似然估计量是对于二项分布参数的估计方法。
矩估计量是通过对随机变量的矩进行估计来得到参数的估计值。
对于二项分布，它有两个参数：试验次数n和成功概率p。
设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则X的矩估计量可以通过样本
观测值的矩来计算。
例如对于二项分布的第一矩（均值）E(X) = np，可以通过样本均值的估计值来估计参数p。
最大似然估计量是基于样本数据的概率分布模型来计算参数。
对于二项分布，最大似然估计量通过最大化给定样本的似然函数来找到参数的估计值。
似然函数是样本中观测值的联合概率密度函数（或质量函数）关于参数的函数。
对于二项分布，似然函数可以表示为L(p) = (n choose x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中n是试验次数，x是成功的观测值次数。
最大似然估计量就是找到
能使似然函数取得最大值的参数值。
总结起来，矩估计量是通过样本观测值的矩计算参数的估计值，而最大似然估计量是通过最大化给定样本的似然函数来计算参数的估计值。
两种方法在实际应用中经常被使用，具体选择哪种方法取决于具体情况和假设的合理性。
最大似然估计及三大检验(Wald-LM-LR)资料
第二章 线性回归模型回顾与拓展 （12-15学时）第四节 三大检验（LR Wald LM ） 一、极大似然估计法（ML ）（一）极大似然原理假设对于给定样本{},Y X ,其联合概率分布存在，(),;f Y X ξ。
将该联合概率密度函数视为未知参数ξ的函数，则(),;f Y X ξ称为似然函数（Likelihood Function ）。
极大似然原理就是寻找未知参数ξ的估计ˆξ，使得似然函数达到最大，或者说寻找使得样本{},Y X 出现的概率最大ˆξ。
（二）条件似然函数VS 无条件似然函数()()(),;;;f Y X f Y X f X ξθϕ=若θ与ϕ没有关系，则最大化无条件似然函数(),;f Y X ξ等价于分别最大化条件似然函数();f Y X θ和边际似然函数();f X ϕ，从而θ的最大似然估计就是最大化条件似然函数();f Y X θ。
（三）线性回归模型最大似然估计Y X u β=+，2(0,)u N I σ→2222()()(,;,)(2)exp{}2nY X Y X L Y X βββσπσσ-'--=-对数似然函数：22()()2222n n Y X Y X l LnL Ln Ln ββπσσ'--==---于是 22241ˆ(22)0ˆˆ21ˆˆ()()0ˆˆˆ22l X Y X X l n Y X Y X βσβββσσσ∂⎧''=--+=⎪⎪∂⎨∂⎪'=-+--=⎪∂⎩得到 12ˆ()1ˆMLML X X X Y e e n βσ-⎧''=⎪⎨'=⎪⎩（三）得分（Score ）和信息矩阵（Information Matrix ）(;,)lf Y X θθ∂=∂称为得分； 12...k l l l l θθθθ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥=∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦得分向量；（Gradient ） 海瑟矩阵（Hessian Matrix ）:2l H θθ∂='∂∂信息矩阵：三*、带约束条件的最小二乘估计（拉格朗日估计）在计量经济分析中，通常是通过样本信息对未知参数进行估计。
概率论与数理统计PPT课件第七章最大似然估计
• 最大似然估计的概述 • 最大似然估计的数学基础 • 最大似然估计的实现 • 最大似然估计的应用 • 最大似然估计的扩展
01
最大似然估计的概述
定义与性质
定义
最大似然估计是一种参数估计方法， 通过最大化样本数据的似然函数来估 计参数。
性质
最大似然估计是一种非线性、非参数 的统计方法，具有一致性、无偏性和 有效性等优良性质。
无偏性
在某些条件下，最大似然估计的参数估计值是无偏的，即其期望值等于真实值。
最大似然估计的优缺点
• 有效性：在某些条件下，最大似然估计具有最小方差性质， 即其方差达到最小。
最大似然估计的优缺点
非线性
01
最大似然估计是非线性估计方法，对参数的估计可能存在局部
最优解而非全局最优解。
对初值敏感
02
最大似然估计对初值的选择敏感，不同的初值可能导致不同的
04
最大似然估计的应用
在回归分析中的应用
线性回归
最大似然估计常用于线性回归模型的参数估计，通过最大化似然函 数来估计回归系数。
非线性回归
对于非线性回归模型，最大似然估计同样适用，通过将非线性模型 转换为似然函数的形式进行参数估计。
多元回归
在多元回归分析中，最大似然估计能够处理多个自变量对因变量的影 响，并给出最佳参数估计。
最大熵原理与最大似然估计在某些方面具有相似性，例如都追求最大化某种度量， 但在应用场景和约束条件上有所不同。
THANKS
感谢观看
连续型随机变量的概率密度函数
然函数
基于样本数据和假设的概率模型， 计算样本数据在该模型下的可能 性。
似然函数的性质
非负性、归一化、随着样本数据的 增加而增加。
深度学习之最大似然估计
深度学习之最⼤似然估计⼀、定义⼆、知识解读 极⼤似然估计，通俗理解来说，就是利⽤已知的样本结果信息，反推最具有可能（最⼤概率）导致这些样本结果出现的模型参数值！ 换句话说，极⼤似然估计提供了⼀种给定观察数据来评估模型参数的⽅法，即：“模型已定，参数未知”。
可能有⼩伙伴就要说了，还是有点抽象呀。
我们这样想，⼀当模型满⾜某个分布，它的参数值我通过极⼤似然估计法求出来的话。
⽐如正态分布中公式如下： 如果我通过极⼤似然估计，得到模型中参数和的值，那么这个模型的均值和⽅差以及其它所有的信息我们是不是就知道了呢。
确实是这样的。
极⼤似然估计中采样需满⾜⼀个重要的假设，就是所有的采样都是独⽴同分布的。
下⾯我通过俩个例⼦来帮助理解⼀下最⼤似然估计 但是⾸先看⼀下似然函数的理解： 对于这个函数：输⼊有两个：x表⽰某⼀个具体的数据；表⽰模型的参数 如果是已知确定的，是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点，其出现概率是多少。
如果是已知确定的，是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现这个样本点的概率是多少。
这有点像“⼀菜两吃”的意思。
其实这样的形式我们以前也不是没遇到过。
例如， , 即x的y次⽅。
如果x是已知确定的(例如x=2)，这就是 , 这是指数函数。
如果y是已知确定的(例如y=2)，这就是，这是⼆次函数。
同⼀个数学形式，从不同的变量⾓度观察，可以有不同的名字。
这么说应该清楚了吧？如果还没讲清楚，别急，下⽂会有具体例⼦。
现在真要先讲讲MLE了。
例⼦⼀ 别⼈博客的⼀个例⼦。
假如有⼀个罐⼦，⾥⾯有⿊⽩两种颜⾊的球，数⽬多少不知，两种颜⾊的⽐例也不知。
我们想知道罐中⽩球和⿊球的⽐例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。
现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿⼀个球出来，记录球的颜⾊，然后把拿出来的球再放回罐中。
python3 最大似然函数求估计值
python3 最大似然函数求估计值Python3最大似然函数求估计值估计值是统计学中非常重要的一个概念，用于对未知参数进行估计。
而最大似然估计是一种常用的参数估计方法，通过最大化样本观测数据的似然函数来确定未知参数的值。
在Python3中，我们可以使用各种统计库来实现最大似然估计。
本文将使用Python3来演示如何使用最大似然方法来估计未知参数的值。
我们将通过一步步的介绍和示例代码来说明Python3中最大似然估计的过程。
# 第一步：理解最大似然估计方法最大似然估计是一种基于样本数据的参数估计方法，它的核心思想是选择未知参数的值，使得样本观测数据出现的概率最大。
在概率统计学中，似然函数是一个用来描述未知参数和样本观测数据之间关系的函数。
为了更好地理解最大似然估计方法，在接下来的示例中，我们将使用一个简单的问题来说明。
假设我们有一组观测数据，服从正态分布，并且我们想要估计未知参数的值。
# 第二步：定义似然函数在用最大似然方法估计未知参数之前，我们首先需要定义一个似然函数。
对于服从正态分布的观测数据来说，似然函数可以使用正态分布的概率密度函数表示。
在Python3中，我们可以使用`scipy.stats`库来定义似然函数。
具体代码如下所示：pythonimport scipy.stats as statsdef likelihood(params, x):mu, sigma = paramsreturn stats.norm.pdf(x, mu, sigma)在上面的代码中，`params`表示未知参数列表，`x`表示观测数据。
`stats.norm.pdf(x, mu, sigma)`表示正态分布的概率密度函数。
# 第三步：计算似然函数在最大似然估计中，我们需要计算似然函数在给定未知参数下的取值。
通过遍历参数空间，并计算每个参数空间点下似然函数的取值，我们可以得到似然函数在参数空间中的分布。
具体的计算过程如下所示：pythondef compute_likelihood(params, xs):likelihoods = []for param in params:likelihoods.append(likelihood(param, xs))return likelihoods在上面的代码中，`params`是一个参数列表，`xs`是一组观测数据。
最大似然估计计算公式
最大似然估计计算公式
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过寻找最大化给定数据集的概率来估计参数的值。
在统计学中，我们经常面对未知参数的情况，而最大似然估计提供了一种有效的方法来估计这些参数。
在最大似然估计中，我们假设数据是从一个特定的概率分布中抽取的，并且我们希望找到使得这个数据集出现的概率最大的参数值。
换句话说，最大似然估计就是在给定数据集的情况下，寻找最有可能产生这个数据集的参数值。
举个例子来说，假设我们有一个硬币，我们不知道它是正面朝上的概率是多少。
我们可以进行一系列的抛硬币实验，然后利用这些实验的结果来估计这个概率。
最大似然估计就是通过最大化观测到的数据集出现的概率，来估计这个硬币正面朝上的概率。
在实际应用中，最大似然估计通常会涉及到一些复杂的数学计算，但是其基本思想是非常直观的。
通过找到使得观测数据出现概率最大的参数值，我们可以得到对未知参数的估计，从而对数据进行分析和预测。
最大似然估计在统计学中有着广泛的应用，比如在线性回归、逻辑回归、朴素贝叶斯分类器等模型中都会用到最大似然估计来估计参数。
它不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也被广泛采用。
总的来说，最大似然估计是一种重要的参数估计方法，通过最大化观测数据的出现概率来估计参数的值。
它在统计学中有着广泛的应用，是数据分析和模型建立中不可或缺的一部分。
通过深入理解最大似然估计的原理和应用，我们可以更好地理解数据背后的规律，从而做出更准确的预测和决策。
参数估计中的常用公式总结
参数估计中的常用公式总结参数估计是统计学中重要的一部分，用于通过样本数据对总体参数进行估计。
在参数估计中，有一些常用的公式被广泛应用。
本文将总结这些常用的参数估计公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是一种常见的参数估计方法，用于通过最大化似然函数来估计参数。
在最大似然估计中，常用的参数估计公式如下：1. 似然函数（Likelihood Function）:似然函数L(θ)定义为给定参数θ下的样本观测值的联合概率密度函数或概率质量函数。
在连续型分布的情况下，似然函数可以表示为：L(θ) = f(x₁; θ) * f(x₂; θ) * ... * f(xₙ; θ)其中x₁, x₂, ..., xₙ为样本观测值。
2. 对数似然函数（Log-Likelihood Function）:对数似然函数l(θ)定义为似然函数的对数：l(θ) = log(L(θ))3. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）:最大似然估计通过最大化对数似然函数l(θ)来估计参数θ，常用的公式为：θ̂= argmaxₐ l(θ)其中θ̂表示参数的最大似然估计值。
二、最小二乘估计（Least Squares Estimation）最小二乘估计是一种常见的参数估计方法，用于对线性回归模型中的参数进行估计。
在最小二乘估计中，常用的参数估计公式如下：1. 残差平方和（Sum of Squares of Residuals）:残差平方和定义为观测值与回归直线（或曲线）之间的差异的平方和。
最小二乘法通过最小化残差平方和来估计参数。
2. 最小二乘估计（Least Squares Estimation）:最小二乘估计通过最小化残差平方和来估计参数。
对于简单线性回归模型，估计参数b₀和b₁的公式分别为：b₁ = Σ((xᵢ - x)(yᵢ - ȳ)) / Σ((xᵢ - x)²)b₀ = ȳ - b₁x其中xᵢ为自变量的观测值，yᵢ为因变量的观测值，x和ȳ分别为自变量和因变量的样本均值。
常用的参数估计方法
常用的参数估计方法参数估计是统计分析中的一个重要概念，指的是通过已有的样本数据来估计未知的参数。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计两种。
下面将分别介绍这两种方法及其常见的应用。
一、点估计点估计是通过样本数据来估计总体参数的方法之一，通常用样本的统计量（如样本均值、样本方差等）作为总体参数的估计值。
点估计的特点是简单直观，易于计算。
但是点估计的精度不高，误差较大，因此一般用在总体分布已知的情况下，用于快速估计总体参数。
常见的点估计方法包括最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计。
1.最大似然估计最大似然估计是目前最常用的点估计方法之一。
其基本思想是在已知的样本信息下，寻找一个未知参数的最大似然估计值，使得这个样本出现的概率最大。
最大似然估计的优点是可以利用样本数据来估计参数，估计量具有一定的无偏性和效率，并且通常具有渐进正常性。
常见的应用包括二项分布、正态分布、泊松分布等。
2.矩估计矩估计是另一种常用的点估计方法，其基本思想是利用样本矩（如一阶矩、二阶矩等）与相应的总体矩之间的关系，来进行未知参数的估计。
矩估计的优点是计算简单，适用范围广泛，并且具有一定的无偏性。
常见的应用包括指数分布、伽马分布、weibull分布等。
3.贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的点估计方法，其基本思想是先对未知参数进行一个先验分布假设，然后基于样本数据对先验分布进行修正，得到一个后验分布，再用后验分布来作为估计值。
贝叶斯估计的优点是能够有效处理小样本和先验信息问题，并且可以将先验偏好考虑进去。
常见的应用包括正态分布、伽马分布等。
二、区间估计区间估计是通过样本数据来构造总体参数的置信区间，从而给出总体参数的不确定性范围。
区间估计的特点是精度高，抗扰动性强，但是计算复杂度高，需要计算和估计的样本量都很大。
常见的区间估计方法包括正态分布区间估计、t分布区间估计、置信区间估计等。
1.正态分布区间估计正态分布区间估计是一种用于总体均值和总体方差的区间估计方法，其基本思想是在已知样本数据的均值和标准差的情况下，根据正态分布的性质得到总体均值和总体方差的置信区间。
最大似然估计
n
p( xi , )
L( ) i1
n
f
(
xi ,
)
i 1
X是离散型随机变量 X是连续型随机变量
2.写出似然方程
d L( ) 0 d
或
d ln L( ) d
1
L( )
d
L( ) d
0
3.求解似然方程
得到驻点， 并判断驻点是否为
最大值点.
几种常见分布的 最大似然估计量
1.0—1分布
设总体
X
~
设其密度函数为
X ~ f ( x; )
其中θ是待估参数,
记
n
L(
)
f
(
x1;
)
f
(
x2;
) ...
f
(
xn;
)
i 1
f
(
xi ;
)
为待估参数θ的函数,
它的大小反映了
( X1, X2 ,..., Xn ) 落在 ( x1, x2 ,..., xn ) 附近的概率的大小.
L( ) 称为似然函数.
若 L( ) 在 ˆ处达到最大值,
记为
p( x1;
) p(
x2;
)... p(
xn;
)
i 1
p(
xi ;
)
L(
)
L( )为待估参数θ的函数,
称为似然函数.
若 L( )在 ˆ处达到最大值,
则称 为ˆ参数 的 最大
似然估计值. 相应的估计量 ˆ( X1, X2,..., Xn ) 称为θ
的最大似然估计量.
统称为θ的 最大似然估计.
当 X是 连续型随机变量时,
2
最大似然估计法的步骤
最大似然估计法的步骤
最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据的观测结果，通过寻找最大化概率的参数值来估计真实参数值。
以下是最大似然估计法的步骤：
1. 理解问题：首先，我们需要明确要解决的问题是什么，以及需要估计的参数是什么。
这可以通过问题的背景和给定的数据来确定。
2. 建立模型：根据问题的特点和要求，我们需要选择合适的概率分布模型来描述数据的分布。
常见的模型包括正态分布、伯努利分布等。
3. 定义似然函数：根据所选的模型，我们可以定义似然函数。
似然函数描述了参数取值下观测到给定数据的概率。
4. 取对数：为了方便计算和优化，通常我们会取似然函数的对数，得到对数似然函数。
5. 构建似然方程：通过对对数似然函数求导，我们可以得到似然方程。
将似然方程设为零，求解参数的估计值。
6. 求解参数：根据似然方程，我们可以使用数值方法（如牛顿法、梯度下降法）或解析方法（如求导）来求解参数的估计值。
7. 检验结果：在求解参数后，我们需要对估计结果进行检验。
可以利用统计方法进行假设检验或计算置信区间来评估估计结果的可靠
性。
8. 解释结果：最后，我们需要解释参数估计的意义和结果。
这可以通过与问题的实际意义和背景相结合来完成。
最大似然估计法是一种常用且有效的参数估计方法，它在统计学和机器学习领域得到了广泛应用。
通过合理选择模型和构建似然函数，最大似然估计法可以帮助我们从有限的样本数据中推断出参数的最佳估计值，为问题的解决提供了有力的工具和方法。
正态分布的矩估计量和最大似然估计量
正态分布的矩估计量和最大似然估计量正态分布是概率论中非常重要的一种概率分布，其密度函数是：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$$其中，$\mu$ 表示均值，$\sigma$ 表示标准差。
在实际问题中，我们需要通过数据对这些参数进行估计，以期望找到分布的特征和随机变量的性质。
在本文中，我们将着重介绍正态分布的矩估计量和最大似然估计量的应用与实现。
矩估计量矩估计量是一种参数估计方法，其中各参数的值是用样本矩来估计。
在正态分布中，我们可以通过样本平均数和样本标准差来估计均值和标准差。
设 $X_1,X_2,...,X_n$ 是来自正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 的一个样本，则该样本的均值和标准差分别为：其中，$\bar{X}$ 表示样本均值，$S^2$ 表示样本的无偏方差。
因此，我们可以采用样本矩来估计正态分布的参数，得到：由于使用了样本矩进行估计，因此得到的估计值称为矩估计量。
矩估计量具有简单易懂、计算方便等优点，并且在大样本情况下具有良好的性质。
但是，在小样本情况下可能存在精度不够的问题。
最大似然估计量对该式求对数可得到：为了取得最大的概率，我们需要对该式进行最大化。
首先，对于 $\mu$ 的估计，我们需要对其进行求导，并使其等于 0：解得：$$\frac{\partial \log L(\mu,\sigma^2|x)}{\partial\sigma^2}=-\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{2\sigma^4}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2=0$$其中，$\hat{\mu}$ 是 $\mu$ 的最大似然估计值。
由于使用了最大似然估计法进行估计，因此得到的估计值称为最大似然估计量。
最大似然估计量具有良好的渐进性质，即在大样本情况下可以得到渐进效率最高的估计值。
正态分布的矩估计量和最大似然估计量
正态分布的矩估计量和最大似然估计量正态分布是统计学中最常见的分布之一，它的概率密度函数具有一个峰值，两侧逐渐下降，呈钟形曲线。
在实际应用中，我们经常需要对正态分布的参数进行估计，其中最常用的方法是矩估计量和最大似然估计量。
矩估计量是一种基于样本矩的估计方法，它的基本思想是用样本矩去估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。
对于正态分布，我们可以用样本均值和样本方差来估计总体均值和总体方差。
具体地，设样本均值为$\bar{X}$，样本方差为$S^2$，则总体均值的矩估计量为$\bar{X}$，总体方差的矩估计量为$S^2$。
这种方法的优点是计算简单，但是当样本量较小时，估计结果可能不够准确。
最大似然估计量是一种基于样本数据的估计方法，它的基本思想是选择最能解释观测数据的参数值作为总体参数的估计值。
对于正态分布，我们可以用样本均值和样本方差的最大似然估计量来估计总体均值和总体方差。
具体地，设样本均值为$\bar{X}$，样本方差为$S^2$，则总体均值的最大似然估计量为$\bar{X}$，总体方差的最大似然估计量为$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$。
这种方法的优点是在样本量较小时也能得到较为准确的估计结果，但是计算较为复杂。
总的来说，矩估计量和最大似然估计量都是常用的正态分布参数估
计方法，它们各有优缺点，应根据具体情况选择合适的方法。
在实际应用中，我们可以通过比较两种方法得到的估计结果的差异来评估样本量的大小对估计结果的影响，从而选择合适的估计方法。
(完整word版)最大似然估计的原理及其应用
最大似然估计的原理及其应用摘要:了解最大似然估计的原理，并通过其原理来解决生活中的某些概率与统计的问题。
引言:似然函数 是θ的函数,表示由参数θ产生样本值 的“可能性”大小.将样本观察看成“结果"，θ是产生结果的“原因”，则是度量产生该结果的各种 “原因"的机会。
因此，θ的一个合理的估计应使这种机会（即)达到最大的那个值。
关键词:似然函数，最大似然估计,最大似然估计值。
（1）似然函数 设描述总体的随机变量Ｘ的概率密度函数为，其中k θθθ,,,21⋯都是总体的未知参数（若Ｘ是离散型的，则约定表示概率分布，总体的样本Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn 的测量值为n x x x ,,,21⋯，也可以理解为是ｎ维独立随机向量（Ｘ1，Ｘ2，…, Ｘn)的一个测量值.即是说，对一维随机变量进行ｎ次测量得到的ｎ个测量值可以看成是对ｎ维独立的随机向量进行一次测量得到的ｎ个测量值。
由于ｎ维随机向量的联合概率密度为∏=⋯n i k i x f 121),,;(θθθ显然，对于样本的一个测量值，它是k θθθ,,,21⋯的函数，记为并称它为似然函数,简记为Ｌ。
对于离散型随机变量。
应该注意，似然函数与参数k θθθ,,,21⋯有关,对于给定的样本值，它是这些参数的函数.（2） 最大似然估计值设总体含未知参数k θθθ,,,21⋯,对于给定的样本值如有 ∏∏==⋯>⋯ni k i n i k i x f x f 121121)'',';()ˆ,,ˆ,ˆ;(θθθθθθ 其中k θθθˆ,,ˆ,ˆ21⋯为未知参数k θθθ,,,21⋯可能取的某一组值，而k '','21θθθ⋯为k θθθ⋯21,的一切其他可能取值，此时,我们可认为k θθθˆ,,ˆ,ˆ21⋯，比k '','21θθθ⋯作为k θθθ,,,21⋯的估值要好些。
这是因为不等式说明，k θθθ,,,21⋯取k θθθˆ,,ˆ,ˆ21⋯时得到样本值n x x x ,,,21⋯的可能性最大,这样的估计值就是k θθθ,,,21⋯的最大似然估计值。
说明最大似然估计的原理,并推导证明正态分布下的似然估计的计算公式
最大似然估计的原理是通过最大化对数似然函数，找到使得这个函数取得最大值的参数值θ_hat。可以使用梯度下降等优化算法来实现。
对于正态分布（高斯分布）情况下的似然估计，假设观测值x_1, x_2, ..., x_n独立同分布，且服从均值为μ，方差为σ^2的正态分布。则正态分布的概率密度函数为：
f(x|μ, σ^2) = (1/(σ*√(2π))) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))
将上述概率密度函数代入对数似然函数中，得到：
μ_hat = (1/n) * Σ x_i
σ_hat^2 = (1/n) * Σ (x_i - μ_hat)^2
其中，μ_hat和σ_hat是对于观测值的最大似然估计值。它们分别表示数据的样本均值和样本方差。
l(θ|x_1, x_2, ..., x_n) = -[log(1/(σ*√(2π))) + ((x_1-μ)^2/(2σ^2)) + ((x_2-μ)^2/(2σ^2)) + ... + ((x_n-μ)^2/(2σ^2))]
通过对l(θ|x_1为0，可以得到最大似然估计的计算公式：
说明最大似然估计的原理,并推导证明正态分布下的似然估计的计算公式
最大似然估计(MLE)是一种参数估计方法，用于在给定一组数据观测值的情况下，通过寻找最有可能产生这些观测值的模型参数值来估计未知参数。
假设有一个随机变量X，其具有某个参数θ控制的分布，记作f(x|θ)，其中x是观测值。最大似然估计的目标是找到使得给定观测值的条件下，参数θ取值的概率最大的值。
最大似然估计法
n
i
例
设总体 X ~N( μ , σ 2 , μ , σ 2未知 . x1 , , xn )
是来自 X 的样本值 , 试求 μ , σ 2的最大似然估计量 . 解 X 的概率密度为
f ( x) 1 2
( x )2 2 2
e
, x
似然函数为
L( μ, σ )
设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的样本。
似然函数为：
L( p)
i 1
n
P ( x i , p)
i 1
n
p x i (1 p )1 x i
p i 1 (1 p)
n
xi
n
n
xi
i 1
n i
n
l n L( p) (
x ) l n p (n x ) l n (1 p)
L( ) L( x1 ,, x n ; )
p( x ; ), .
i i 1
n
它是的函数。 ( )称为样本的 L 似然函数 。
由 极 大 似 然 估 计 法 ： 固 x1 , , x n ; 挑 选 使 概 率 定 ˆ L( x , , x ; )达 到 最 大 的 参 数， 作 为 的 估 计 值 ，
取对数
ln L( ) n ln ( 1)
ln x
i 1
n
i
求导并令其为0
d ln L( ) n d
ln x
i 1
n
i
=0
从中解得
n
n
ln x
i 1
n
i
, ,
最大似然估计算法
最大似然估计算法
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种通过模型参数来估计样本的概率分布的方法。
它的基本思想是，在给定某些模型参数时，找到同一模型下使得观测数据出现的概率最大的这些参数值。
具体来说，最大似然估计法是指：在已知观测数据X 的基础上，通过调整模型参数的取值，使得观测数据出现的概率最大。
对于一个已知的概率分布模型，我们可以首先确定其概率密度函数或概率质量函数，然后假设样本是从这个分布中独立地抽取而来的，那么给定模型参数θ时，样本 X=x 的可能性就是这个分布的密度函数/质量函数在 x 处的取值。
我们希望找到一个θ值，使得样本 X=x 出现的可能性最大。
这个问题可以转化为最大化似然函数L(θ|x)，也就是在给定样本 X=x 的情况下，关于模型参数θ的似然函数 L(θ|x) 取最大值时的θ值。
通常使用对数似然函数进行求解，原因是取对数后可以把乘积转化为和，比较方便计算和处理。
因此，通常利用对数似然函数来计算最大似然估计。
最终求解过程通常使用数值优化算法，如梯度下降法、牛顿迭代法等进行求解。
最大似然估计是一种比较常见的统计方法，可以应用于很多
领域，如回归模型、分类模型等。
其优点是简单易用，而缺点则是容易出现过拟合等问题。
最大似然估计(maximum likelihood estimation, MLE)一种重要而普遍的求估计量的方法。
第六章最大似然估计
第六章数理统计的基本概念一、基本教学要求与主要内容(一)教学要求1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。
2．了解分布、t分布和F分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计算。
3．掌握正态总体的某些常用统计量的分布。
4．了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。
本章重点：统计量的概念及其分布。
(二)主要内容1．总体、个体我们把研究对象的全体称为总体(或母体)，把组成总体的每个成员称为个体。
在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。
设x为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体X。
X的分布函数称为总体分布函数。
当X为离散型随机变量时，称X的概率函数为总体概率函数。
当X为连续型随机变量时，称X的密度函数为总体密度函数。
当X服从正态分布时，称总体X为正态总体。
正态总体有以下三种类型：(1)未知，但已知；(2)未知，但已知；(3)和均未知。
2．简单随机样本数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。
要作统计推断，首先要依照一定的规则抽取n个个体，然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据，这一过程称为抽样。
由于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为，n维随机向量()称为样本。
n称为样本容量。
(）称为样本观测值。
如果样本()满足（1）相互独立；(2) 服从相同的分布，即总体分布；则称()为简单随机样本。
简称样本。
设总体X的概率函数(密度函数)为，则样本（)的联合概率函数(联合密度函数为)3. 统计量完全由样本确定的量，是样本的函数。
即：设是来自总体X的一个样本，是一个n元函数，如果中不含任何总体的未知参数，则称为一个统计量，经过抽样后得到一组样本观测值，则称为统计量观测值或统计量值。
4. 常用统计量（1）样本均值：（2）样本方差：（3）样本标准差：它们的观察值分别为：这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。
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1 n Xi , Y Yj i 1 n2 j 1
2
X Y U
1
2
1
2
2
2
n1
2
~ N 0,1.
6
n2
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识 2 12 Y ~ N 2 2 , . 证： X ~ N , . 1 n
f 2 x
2 0.05 2 0.01
O
2 2 32) P ( 1 32) 1 P ( 1
1 0.01 0.99
2 0.01
(16) 32.0
25 .0
32 .0
x
2 16 ( 16 1 ) S 1 2 2 (2) 2 15, X X ~ 2 i 2 2 2 2 i 1 16 16 2 1 100 2 P P 22 X i X 22 X i X 100 i 1 i 1
1
2
定理7 设总体 X ~ N 1 , 1 2 , Y ~ N 2 , 2 2 , 则
1 1 n1 n2
~ N 0,1.
X Y T
Sw
1 2
1 1 n1 n2
～ t n1 n2 2,
2 ( n1 1) S 12 ( n2 1) S 2 其中S w n1 n2 2
3.统计量 t 4.统计量
X n
2
1 2
S
~ t n 1.
2 2 n X ~ i i 1 n
标准变量的分布
样本的标准变量 平方的和的分布
( n 1) S 2
5.样本均值X与样本方差S 2独立且： 2
1 2
X
i 1
n
i
X
2 1 0 . 05 0 . 95 0.05 (15) 25.0 P ( 25) 1 P ( 25)
2 2
2 2
5
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
五、两个正态总体的统计量的分布
从总体X 中抽取容量为 n1 的样本 X1 , X 2 ,, X n
i 1
Hale Waihona Puke 抽取容量为16的样本
4
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
解 (1)
1 2 2
2 1 2 2 X ~ (16) i i 1 16
16 2 P X i 128 i 1
1 P 22
X
i 1
16
2 i
128 2 2
解 （1） u
X 4 9 X 2 P X 2 P 4 9 4 9 ~ N (0,1),
f t x
O
t
x
P | u | 1.5
1.5 1.5 0.8664
3
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
从总体Y 中抽取容量为 n2 的样本 Y1 ,Y2 ,,Yn2 及 Y j j 1,2,, n2 都是相互独立的. 样本均值：
1 X n1
n1
1
假设所有的试验都是独立的，所以样本 X i i 1,2,, n1
n2 n1 1 2 2 1 S2 Yj Y 样本方差： S 12 Xi X n2 1 j 1 n1 1 i 1 定理6 设总体 X ~ N 1 , 1 2 , Y ~ N 2 , 2 2 , 则
7
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
证：
X Y U
1
2
1
2
查表得： t 0 .10 ( 8 ) 1 . 397
1 0.10 2 0.80
例题13-5-2 设总体 X ~ N ,2 2 ,
16 2 （1）已知 0，求P X i 128 ; i 1 16 2 （2） 未知，求P X X 100 i .
2 1 2 2 将 X Y标准化即得结论 . X Y ~ N , . 2 1 n n 1 2 2 2 则 Y ~ N , 推论 设总体 X ~ N 1 , , 2
n1
2
X Y U
2
~ 2 n 1或
2
~ 2 ( n 1)
2
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
例题13-5-1 设总体 X ~ N , 2 , 抽取容量为9的样本，求样本均值 X 与总体 之差的绝对值小于2的概率，如果 （1）若已知σ=4; （2）若σ未知,但已知样本方差的观测值 s 2 18.45.
（2） t
X 18.45 / 9 ~ t 8
P X 2
P(| t | 1.397) 1 P t 1.397
| X | 2 P 18 . 45 / 9 18 . 45 / 9
1 2 P t 1.397
第十四讲
参数估计
本次课结束第五章并讲授第六章点估计
下次课讲授区间估计并结束第六章，讲 授第七章假设检验第一节
下次上课时交作业：P61—P62 重点：点估计
难点：点估计的计算
1
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
五、单个正态总体统计量的分布 定理: 设总体 X ~ N , 2 , 则：
n 2 2 1 1.样本均值 X X i 服从正 态分布 N , , 即 X ~ N , n i 1 n n X 2.统计量 u ~ N 0,1. 样本均值的 n