空间曲线的切线与法平面
空间曲线的切线与法平面切线方程切线的方向向量
k
R 2
k
法平面方程
3 R( x R ) R ( y 3 R)+k(z k) 0
2
22 2
3
2. 曲线为一般式的情况
光滑曲线
:
F(x, y, z) G(x, y, z)
0 0
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
割线 MM的方程:
切线方程
x x0
(t0 )
y
y0 (t0 )
z z0
(t0 )
切线的方向向量: T ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
称为曲线的切向量 .
T
M
一个平面通过空间曲线 C 上一点 M ( x0, y0, z0 ),且与 过点M的切线垂直，称此平面是空间曲线C在点M的 法平面
1 1 yz
zx, yz
dz dx
1 1 yz
xy yz
11
11
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
切向量
T 1 ,
dy dx
,
M
空间曲线的切线
空间光滑曲线在点M 处的切线为此点处割线的极限位置 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
M
T
给定光滑曲线 : x x(t), y y(t), z z(t),t [, ]
设 上的点M (x0 , y0, z0 )对应 t t0 , x(t0), y(t0 ), z(t0 ) 不全为0 则 点M的切向量：T {x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )}
法平面方程：
x 1 y 1 z 2 4 5 3
4(x 1) 5y 1 3z 2 0
因此，根据隐函数求导方法,得
2
x
2y
dy dx
2z
dz dx
0,
y
x
dy dx
dz dx
0.
从而得到：
dy
x yz ,
dx y xz
dz x2 y2 dx y xz
因此，切向量
T
{1, dy , dz} {1, 5 , 3}
M
dx dx M
44
于是，曲线在M处的切线方程：
解：曲线在M点出切向量为
T {1,2t,3t2} {1,2,3}
M
t1
因此M 处的切线方程：
法平面方程：
x 1 y 1 z 1 123
(x 1) 2y 1 3z 1 0
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
空间曲线在一点处的切线方程可以通过以下步骤求得：
1. 求出曲线在该点处的切向量，假设曲线的参数方程为
$r(t)=(x(t), y(t), z(t))$，则曲线在该点处的切向量为
$r'(t_0)=(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$，其中 $t_0$ 是曲线参数在该点处的取值。
2. 将切向量除以它的长度 $|r'(t_0)|$，得到单位切向量
$T=\frac{r'(t_0)}{|r'(t_0)|}$。
3. 曲线在该点处的切线方程为 $r(t_0)+sT$，其中 $s$ 是实数。
空间曲线在一点处的法平面方程可以通过以下步骤求得：
1. 求出曲线在该点处的切向量，根据上面的求法，可以得到单位切向量 $T=\frac{r'(t_0)}{|r'(t_0)|}$。
2. 求出曲线在该点处的法向量，假设曲线的参数方程为
$r(t)=(x(t),y(t),z(t))$，则法向量为
$N=\frac{d^2r}{dt^2}|_{t=t_0}\times T$，其中 $\times$ 表示向量的叉积运算符。
3. 法平面方程为 $N\cdot(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)$，其中
$(x_0,y_0,z_0)$ 是曲线在该点处的一个点。
空间曲线的切线与空间曲面的切平面
第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面
一、空间曲线的切线与法平面
设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：⎪⎩
⎪
⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,),(βα∈t ．
设),(,10βα∈t t ,)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点,B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线,当A B →时,若AB 趋于一条直线,则此直线称为曲线C 在点A 的切线．
如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零即空间的曲线C 为光滑曲线,则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为
也可以写为
当A B →时,0t t →,割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x ''',此即为切线的方向向量,所以切线方程为
)
()
()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-．
过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点)(),(),((000t z t y t x A 的法平面,法平面方程为
如果空间的曲线C 由方程为
且)(),(0'
0'x z x y 存在,则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是
法平面方程为
如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交,由方程组 确定时,假设在),,(000z y x A 有0)
7曲线的切线与法平面
z − z0 .
ω′(t0 )
法平面： ϕ′(t0)(x − x0) +ψ ′(t0)(y − y0) + ω′(t0)(z − z0) = 0.
4.注：1).空间曲线的切线的方向向量也称为切向量。 2).切向量的几种形式
(1)T {= x′(t0),y′(t0),z′(t0)} {ϕ′(t0),ψ ′(t0),ω′(t0)}; (2)T = {x′(t0),y′(t0),z′(t0)}dt
dx
1 + y′2dx, x ∈ [a, b]
∫ ∫ ⇒ 弧= 长：s
b
d= s(x )
a
b 1 + y′2dx
a
工科数学分析（网课）
2、设L:
x = x(t) y = y(t)
,t ∈ [α,
β]
.
则
ds = (x ′(t) ⋅dt)2 + (y′(t) ⋅= dt)2 x′2(t) + y′2(t) dt
x0 x + 2 y0 y + 3z0z = 30 即 x − 2 y + 9z = 30
∴切线方程为2xx−+23yy+−9zz
= 30 =−4
工科数学分析（网课）
三、 平面曲线的弧长
设 L 为一条光滑曲线段,
∴ 自变量的微元为 (x,x + dx ) ,
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
2x0( x x0 ) 4 y0( y y0 ) 6z0(z z0 ) 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x0 4 y0 6z0 , 1 46
2x0
y0 z0 .
因为 ( x0 , y是0曲, z面0上) 的切点，
满足方程
x0 1,
所求切点为
(1,2,2), (1,2,2),
x 0 y 1 z 2,
1
2
3
x 2( y 1) 3(z 2) 0,
即 x 2 y 3z 8 0.
特殊地：
空间曲线方程为
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
y z
( (
x) ,
x)
切线方程为
法平面方程为
x x0 y y0 z z0 ,
1 ( x0 ) ( x0 )
对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 M的M方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0 x y z
x
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以
t ,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
•M
o
y
当M M ,即t 0时 ,
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以用参数方程或者向量函数的形式来表示。在研究空间曲线的性质时，我们需要求出曲线在某一点处的切线方程和法平面方程。
切线方程
切线是空间曲线在某一点处的切线，它是曲线在该点处的局部近似线性。对于曲线上的一点P，它的切线方程可以用向量函数表示为：
r = rP + t(T)
其中，r表示曲线上任意一点的向量，rP表示曲线上的点P的向量，t是一个参数，T表示曲线在点P处的单位切向量。单位切向量是曲线在该点处的切线方向上的单位向量。
切向量可以通过求导得到，即
T = r'(t)
这里，r'(t)是曲线在点P处的斜率向量，也可以写成曲线的导数。
法平面方程
与切线相对应的是法平面，它是垂直于曲线的平面。在曲线上任意一点P处，法平面垂直于该点处的切向量。
法平面方程可以用点法式表示为：
n · (r - rP) = 0
其中，n表示法平面的法向量，r表示曲线上任意一点的向量，rP表示曲线上的点P的向量。点法式要求法向量n必须是单
位向量，这意味着我们需要对它进行归一化处理。
法向量n可以通过求曲线在点P处的曲率向量得到，即
K = r''(t) / ||r'(t)||^3
曲率向量是曲线在该点处的曲率方向上的单位向量。曲线的曲率 K 表示曲线在该点处的弯曲程度。曲率越大，曲线在该点
处的弯曲程度就越大。
然后，我们可以将曲率向量进行归一化处理得到法向量n，即
n = K / ||K||
综上所述，求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程的基本方法是：
1. 求出曲线在该点处的切向量 T = r'(t)。
一,空间曲线的切线与法平面
F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z , ( 化为隐式 )
n = f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),−1 ,
(
)
故曲面在M 处的切平面方程为
f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) = z − z0 ,
【分析】为隐式情形（待定常数法） 【解】 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点, 切平面方程为
2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 ⇒ 2 x = y = z . = = , 0 0 0 1 4 6
( x − x0 ) + ϕ ′( x0 )( y − y0 ) + ψ ′( x0 )( z − z0 ) = 0.
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结束
⎧F ( x, y, z ) = 0 3. Γ为 ⎨ 型 ——【特殊情形2】 ⎩G ( x , y , z ) = 0
⎧ F ( x, y, z ) = 0 ,（一般式） 基本情形 空间曲线Г方程为 ⎨ ⎩G ( x , y , z ) = 0 ⎧ x= x y = y( x ) ⎧ ⎪ 确定隐函数组 ⎨ ⎨ y = y( x ) ⎩ z = z( x ) ⎪ z = z( x ) ⎩
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
空间曲线的切线方程和法平面方程是解析几何中的重要概念，用于描述曲线在特定点的几何性质。在三维空间中，曲线的切线方程是曲线在某一点处的瞬时方向，而法平面方程则描述了曲线在该点处的法向量所确定的平面。
首先，我们来讨论空间曲线的切线方程。对于参数方程形式的曲线，我们可以通过求导来获得曲线在某一点处的切向量（或切线方向）。对于曲线的参数方程：
\[x = f(t)\]
\[y = g(t)\]
\[z = h(t)\]
其中，x、y、z分别是曲线上一点P的坐标，而t是曲线的参数。
在给定参数值t0的情况下，P在曲线上的坐标为：
\[x_0 = f(t_0)\]
\[y_0 = g(t_0)\]
\[z_0 = h(t_0)\]
我们可以通过求导来计算参数方程关于t的导数。导数表示了曲线的切线在每个点上的瞬时方向。对于曲线的参数方程，它的切向量可以表示为：
\[\vec{T} = \frac{{d\vec{r}}}{{dt}}\]
其中，\(\vec{r}\)是曲线上任意一点P的位置矢量（\(\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\)）。
即使我们不知道\(\vec{r}\)的具体表达式，我们仍然可以使用
参数方程计算切向量。根据链式法则，我们有：
\[\vec{T} = \frac{{d\vec{r}}}{{dt}} = \frac{{dx}}{{dt}}\vec{i}
+ \frac{{dy}}{{dt}}\vec{j} + \frac{{dz}}{{dt}}\vec{k}\]
第14章第4节空间曲线的切线与法平面
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§14.4. 空间曲线的切线与法平面
所以过点 1, 2,1的切线方程为 X 1 Y 2 Z 1 1 0 1
所以过点 1, 2,1的法平面方程为
X 1 0 Y Z Z 1 0
即 XZ 0
10
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
按题设，应有 1 解之，得 t 1 或 t . 3 T n 1 4t 3t 2 0.
于是所求的点为 M1 1,1, 1 1 1 1 或 M2 , , . 3 9 27
13
例3 求两柱面 x y R , x z R
2 2 2 2 2
2
Z
R R R 的交线在点： , ,
处的切线方程。
2
2
2
M0
O
X
T
解:
x 2 y 2 R2 ,
中分别对
x 求导数，得
x 2 z 2 R2
Y
dy 2x 2 y 0 dx 解方程组得 2 x 2 z dz 0 dx
即
2 x R ( 2 y R) ( 2z R)
此直线可看作是
x y 2R 平面与平面 y z
的交线。
12
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
空间曲线的切线与法平面的求法及教学
空间曲线的切线与法平面的求法及教学空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以用参数方程或者向量函数来表示。在研究空间曲线的性质时，我们需要求出它在某一点处的切线和法平面。
切线的求法：
假设空间曲线的参数方程为：
$$
begin{cases}
x=f(t)
y=g(t)
z=h(t)
end{cases}
$$
在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 处，曲线的切向量为：
$$
boldsymbol{T}=frac{dboldsymbol{r}}{dt}bigg|_{t=t_0}=frac{dx }{dt}boldsymbol{i}+frac{dy}{dt}boldsymbol{j}+frac{dz}{dt}bo ldsymbol{k}bigg|_{t=t_0}
$$
其中，$boldsymbol{i},boldsymbol{j},boldsymbol{k}$ 分别是$x,y,z$ 轴上的单位向量。
法平面的求法：
在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 处，曲线的法向量为：
$$
boldsymbol{N}=boldsymbol{T}'=frac{dboldsymbol{T}}{dt}bigg|_ {t=t_0}=frac{d^2boldsymbol{r}}{dt^2}bigg|_{t=t_0}
$$
然后可以取点 $P$ 为法平面上的一个点，法向量为$boldsymbol{N}$，建立法平面的方程：
$$
boldsymbol{N}cdot(boldsymbol{r}-boldsymbol{r_0})=0
$$
其中，$boldsymbol{r_0}=(x_0,y_0,z_0)$。
空间曲线的切线与法平面
空间曲线的切线与法平面
在几何学中，空间曲线是指在三维空间中描述的曲线。当我们想要解析描述曲线上某一点的性质时，切线和法线是重要的概念。切线是曲线上的一条直线，与曲线在该点处相切；而法平面是与切线垂直的平面。本文将探讨空间曲线的切线与法平面的概念、性质及应用。
一、切线的定义和性质
在平面几何中，我们已经熟悉了曲线的切线的概念和性质。在三维空间中，切线的定义稍有不同，但总体思路是一致的。对于空间曲线上的点P，曲线在该点处有且仅有一条直线与曲线相切，这条直线就是切线。切线具有以下性质：
1. 切线在曲线上的位置：切线与曲线在点P处相切，即切线与曲线有公共点。
2. 切线的方向：切线的方向与曲线在该点的切向量（或切矢）方向一致。切向量的方向可以通过曲线在该点处的导数来确定。
3. 切线的斜率：切线的斜率等于曲线在该点处的导数值。具体计算切线的斜率可以通过求取曲线在该点处的切向量的斜率。
4. 切线的直线方程：通过切线上的一点和切线的方向向量，可以得到切线的直线方程。
二、法平面的定义和性质
与切线相对应的是法平面，它是与切线垂直的平面。法平面的定义
和性质如下：
1. 法平面的法向量：法平面的法向量与切线的方向向量垂直，即它
们的内积为零。法向量的方向可以通过求取切线方向向量的垂直向量
来确定。
2. 法平面的方程：通过法平面上的一点和法平面的法向量，可以得
到法平面的方程。
3. 法平面与切线的关系：切线在曲线上的位置决定了法平面与曲线
的交点。曲线在某一点上的切线与该点上的法平面有公共点。
三、切线和法平面的应用
切线和法平面的概念在几何学、微积分以及物理学等领域有着广泛
空间曲线的切线与空间曲面的切平面
第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面
一、空间曲线的切线与法平面
工X 二x(t)
设空间的曲线C由参数方程的形式给出：《y = y(t) , t€(o(,P).
z = z(t)
设tot C，J, A(x(t o), y(t o), z(t o)、B(x(t i), y(t i),z(t i))为曲线上两点,A, B 的连线AB称为曲线C的割线，当B > A时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A的切线.
如果x = x(t), y = y(t), z = z(t)对于t的导数都连续且不全为零(即空间的曲线C为光滑曲线)，则曲线在点A切线是存在的•因为割线的方程为
x — x(t°)y — y(t°) z—z(t°)
x(tj — x(t o) y(tj — y(t o) z(t i) — z(t o)
也可以写为
x — x(t。)_ y — y(t。)_ z — z(t。)
x(tj - x(t。) y(tj - y(t。) z(tj —z(t。)
t -t o t - t o t - t o
当B > A时，t > t o，割线的方向向量的极限为fx(t o), y(t o), z(t o)1，此即为切线的
方向向量，所以切线方程为
X — x(t o) _ y — y(t o) _ z _z(t o)
x(t。)「y(t。)「z(t o).
过点A(x(t o), y(t o), z(t o)且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点A(x(t o), y(t o), z(t o)的法平面，法平面方程为
空间曲线的切线与法平面
由于 l 的任意性，可见曲面上过 M 0 的任一条曲线 在 该点的切线都与 n 正交，因此这些切线应在同一平面 上，这个平面称为曲面在 M 0 点的切平面，而 n 就是 切平面的法向量。 从而曲面在 M 0 点的切平面方程为
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曲线在点 M 0 的法平面就是过 M 0 点且与该点的切线垂直的 平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过
点的法平面方程是
x(t0 )( X x0 ) y(t0 )(Y y0 ) z(t0 )(Z z0 ) 0
y y( x), z z ( x)
x 1 2( y 1) 3( z 1) 0
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例 求两柱面
x2 y 2 R2 , x 2 z 2 R2
Z
的交线在点：
R R R , , 2 2 2
M0
O
X
T
处的切线方程。
Y
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解
在方程组
x2 y 2 R2 , x 2 z 2 R2
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㈢ 一般地，如果曲线表示为两个曲面的 交线：
F ( x, y, z ) 0 G( x, y, z ) 0
D( F , G ) 0 ，设上述方程组在点 M 0 确定了一对函数 设 D( y, z ) M 0
空间曲线的切线与法平面
2)
一般式情况. 空间光滑曲线
:
F ( x, G ( x,
y, y,
z) z)
0 0
i jk
切向量 Fx Fy Fz
Gx Gy Gz M0
将点 M 1,2,1 带入方程组得
y dy z dz x dx dx dy dz 1 dx dx
2 dy dz 1
dx dx dy dz 1
解得
dy 0, dx
dz 1 dx
dx dx
曲线在点 M 1,2,1 处
切向量 1 ,
dy dx
,
M
dz dx
1,
0,
1
M
来自百度文库间曲线的切线与法平面
M
O
y
x
M (x0 x, y0 y, z0 z) 对应于 t t0 t.
空间曲线的切线与法平面
割线 MM 的方程为 x x0 y y0 z z0 x y z
割线的极限位置即为切线,
x x0 y y0 z z0 , x y z x
t
t
t
当 M M , 即 t 0 , 对上式取极限
空间曲线的切线与法平面
1, y x0 , z x0
(F,G) (F,G) (F,G) { ( y, z) , (z, x) , (x, y) }M0
i jk
Fx Fy Fz
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n1 = (2x − 3, 2 y , 2z ) (1,1,1) = (−1, 2, 2)
n2 = (2, − 3, 5)
因此切线的方向向量为 l = n1 × n2 = (16, 9, −1) x −1 y −1 z −1 = = 由此得切线:
16
9
−1
法平面: 16(x −1) + 9( y −1) − (z −1) = 0 即
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第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面和法线
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一、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点 M 处的切线 切线为此点处割线的极限 切线 位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 法 平面. 平面
在同一平面上. 此平面称为 ∑ 在该点的切平面 切平面. 切平面
Γ
下面证明: ∑ 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
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证:
在 ∑ 上,
∴ F(ϕ (t) , ψ (t) , ω (t) ) ≡ 0
两边在 t = t0 处求导,注意t = t0 对应点M ,
得
T
M
法平面方程 − R x + k( z − π k ) = 0 2 即
o
Rx−k
π k 2= 0 z+
2
x
y
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曲线x=ϕ(t), y=ψ(t), z=ω(t)在t=t0所对应的点M0的切向 量为T=(ϕ′(t0), ψ′(t0), ω′(t0)). 讨论: 1. 若曲线的方程为y=ϕ(x), z=ψ(x), 则切向量T=? 2. 若曲线的方程为F(x, y, z)=0, G(x, y, z)=0, 则切向量 T=?
x − x0 y − y0 z − z0 = = 或 . ∆x ∆y ∆z ∆t ∆t ∆t 当M→M0, 即∆t→0时, 得曲线在点M0处的切线方程为 x − x0 y − y0 z − z0 . = = ϕ′(t0) ψ′(t0) ω′(t0)
x − x0 y − y0 z − z0 = = , ∆x ∆y ∆z
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例3. 求椭球面 x2 + 2 y2 + 3z 2 = 36在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 令 法向量
n = (2 x, 4 y, 6 z)
n
(1, 2, 3)
= (2, 8, 18)
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程
提示:
1. 曲线的参数方程可视为: x=x, y=ϕ(x), z=ψ(x), 切向量为T =(1, ϕ′(x), ψ′(x)). 2. 两方程可确定两个隐函数: y=ϕ(x), z=ψ(x). 切向量为T =(1, ϕ′(x), ψ′(x)), 而ϕ′(x), ψ′(x)要通过解方程 组得到.
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y −x 1 −1 x− y = y z y−z 1 1
= (1, 0, −1)
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点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T = (1, 0, −1)
切线方程
即 法平面方程 1⋅ (x −1) + 0 ⋅ ( y + 2) + (−1) ⋅ (z −1) = 0 即
T
M
Γ
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特别, 特别 当光滑曲面∑ 的方程为显式
时, 令
F(x, y, z) = f (x, y) − z
则在点 (x, y, z), 故当函数 在点 ( x0 , y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
Σ 在点( x0 , y0 , z0 ) 有
切平面方程
z − z0 = f x (x0 , y0 ) (x − x0 )+ f y (x0 , y0 ) ( y − y0 )
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主讲人： 苏本堂
例5. 确定正数σ 使曲面 x y z = σ 与球面 在点 M (x0 , y0 , z0 ) 相切. 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为
n2 = (x0 , y0 , z0 )
二曲面在点 M 相切, 故 n1 // n2 , 因此有 x0 y0 z0 x0 y0 z0 x0 y0 z0 2 = y2 = z 2 x0 0 0
Γ
Fx (x0 , y0 , z0 ) ϕ′(t0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )ψ ′(t0 )
+ Fz (x0 , y0 , z0 )ω′(t0 ) = 0
令 T = (ϕ′(t0 ) , ψ ′(t0 ) , ω′(t0 ))
n = (Fx (x0 , y0 , z0 ) , Fy (x0 , y0 , z0 ) , Fz (x0 , y0 , z0 ))
x−z =0
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二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点
任意引一条光滑曲线 不全为0 . 则 Γ 在
设 t = t0 对应点 M, 且
点 M 的切向量 切向量为 切向量
T
M
T = (ϕ′ (t0 ) , ψ ′ (t0 ) , ω′ (t0 )) x − x0 y − y0 z − z0 = = 切线方程为 ϕ′ (t0 ) ψ ′ (t0 ) ω′ (t0 )
π
M
T
Γ
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一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线Γ的参数方程为 x=ϕ(t), y=ψ(t), z=ω(t), 这里假定ϕ(t), ψ(t), ω(t)都在[α, β]上可导. 设t=t0和t=t0+∆t分别对应于曲线上的 点M0(x0, y0, z0)和M(x0+∆x, y0+∆y, z0+∆z). 作曲线的割线MM0, 其方程为
16x + 9 y − z − 24 = 0
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作业： 习题9-6 作业：p-100 习题 3，4，5，8,10
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2 2 2 例2. 求曲线 x + y + z = 6, x + y + z = 0 在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解. 方程组两边对 x 求导, 得
−x z −1 1 z − x dz dy = = , = 解得 y z y − z dx dx 1 1 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量 T = 1 , dy , dz dx M dx M
r n (2,1,4) = (2 x, 2 y, − 1) (2,1,4) = (4, 2, −1),
切平面方程为 4( x − 2) + 2( y − 1) − ( z − 4) = 0,
⇒ 4 x + 2 y − z − 6 = 0,
x − 2 y −1 z −4 . = = 4 2 −1
法线方程为
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例1. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 解: 由于 对应的切向量为 T = (−R, 0, k), 故 z −π k y−R x 2 切线方程 = = 0 −R k 即
在
M0 (0, R , π k) 2 z
k x + Rz − π R k = 0 2 y−R=0
切向量 T ⊥ n
由于曲线 Γ 的任意性 , 表明这些切线都在以 的平面上 , 从而切平面存在 . 为法向量
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曲面 ∑ 在点 M 的法向量 法向量
n = ( Fx (x0 , y0 , z0 ) , Fy (x0 , y0 , z0 ) , Fz (x0 , y0 , z0 ))
又点 M 在球面上, 于是有
a σ = x0 y0 z0 = 3 3
3
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x2 + y2 + z 2 − 3x = 0 例6. 求曲线 在点(1,1,1) 的切线 2x − 3y + 5z − 4 = 0 与法平面. 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
切平面方程
Fx (x0 , y0 , z0 ) (x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 ) ( y − y0 )
+ Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
法线方程 x − x0
y − y0 z − z0 = = Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
法线方程
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用 向上,
表示法向量的方向角, 并假定法向量方向
法向量 n = ( − f x ( x0 , y0 ) , − f y ( x0 , y0 ) , 1) 将 f x (x0 , y0 ) , f y (x0 , y0 ) 分别记为 f x , f y , 则 法向量的方向余弦： 法向量的方向余弦： 方向余弦
2(x −1) + 8( y − 2) +18(z − 3) = 0
x −1 y − 2 z − 3 = = 4 1 9
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例4求旋转抛物面 z = x 2 + y 2 − 1, 在点(2,1,4) 处的切平面及法线方程. 解
f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 1,
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一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线Γ的参数方程为 x=ϕ(t), y=ψ(t), z=ω(t), 这里假定ϕ(t), ψ(t), ω(t)都在[α, β]上可导. 过曲线Γ上t=t0所对应的点M0切线方 程为 x − x0 y − y0 z − z0 . = = ϕ′(t0) ψ′(t0) ω′(t0) 向量T=(ϕ′(t0), ψ′(t0), ω′(t0))称为曲线Γ在点M0的切向量. 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线Γ在点M0处的法 平面, 其法平面方程为 ϕ′(t0)(x−x0)+ψ′(t0)(y−y0)+ω′(t0)(z−z0)=0.