空间曲线的切线与法平面

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空间曲线的切线及空间曲面的切平面

第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ．设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线．如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为)()()()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=--也可以写为010********)()()()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=---当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为)()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-．过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点)(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为0))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x如果空间的曲线C 由方程为)(),(x z z x y y ==且)(),(0'0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是)()()()(100000x z x z z x y x y y x x '-='-=-法平面方程为0))()(())()(()(00'00'0=-+-+-x z z x z x y y x y x x如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交，由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(:z y x G z y x F c ，确定时，假设在),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂=Az y G F J ，在),,(000z y x A 某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，在点),,(000z y x A 附近能确定隐函数)(),(x z z x y y ==有)(),(0000x z z x y y ==，),(),(1,),(),(1x y G F J dx dz z x G F J dx dy ∂∂-=∂∂-=。

空间曲线的切线与空间曲面的切平面

§14-6 空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线和法平面概念:曲线在某点切线及法平面. 光滑曲线.推导:已知:曲线Γ(光滑):⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x βα≤≤t),,(000z y x P 0t t = 取),,(000z z y y x x Q ∆+∆+∆+则割线 zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 切线: )()()(0'00'00'0t z z z t y y y t x x x -=-=- 曲线Γ在P 处的切线向量:{}ρ)(),(),('''t z t y t x T =→法平面: 0))(())(())((00'00'0'=-+-+-z z t z y y t y x x t x例1:求曲线 t x 2=, 23-=t y , 22t t z -=在点(1)1=t (2))0,6,4(M 处的切线及法平面方程.(1) )1,1,2(1-↔=P t {}{}0,3,222,3,212=-==→t P t t T切线: 013122-=+=-z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-013122z y x (严格表示) (2) 2)0,6,4(=↔t M {}{}{}1,6,122,12,222,3,222-=-=-==→t m t t T 切线:16614-=-=-z y x 法平面:0)6(6)4(=--+-z y x 即0406=--+z y x例2:求曲线Γ⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-M 处切线及法平面方程.解: Γ的常数方程⎪⎩⎪⎨⎧===)()(x z z x y y x x {})(),(,1''x z x y T =→将⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 两边对x 求导⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+1dxdz dx dy x dx dz z dx dy y 代入法成代数法z y x z dx dy --= z y y x dx dz --= {}1,0,1,,1)1,2,1(-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-→dx dz dx dy T M 切线: 110211--=+=-z z x <说明> 法平面: 0)1()1(=---z x 即 0=-z x解二:见例3后二、空间曲面的切平面与法线概念：曲面在P 处的切平面及法线推导：（思路）具连续偏导曲面∑ 0),,(=z y x F点P ),,(000z y x P 0t t =↔∑上过P 任一曲线Γ：)(t x x = )(t y y = )(t z z = 0t t P =↔Γ⇒过P 的切线向量{})(),(),(0'0'0't z t y t x T =→“-”另Γ代入∑ []0)(),(),(≡t z t y t x F对t 求导，0t t = 0)(),,()(),,()(),,(0'000'0'000'0'000'=++t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y t于是，若记{}),,(),,,(),,,(000'000'000'z y x F z y x F z y x F n z y x =→存在且不全为0 →n 与→T 垂直2，Γ的任意性；→n 与Γ无关仅与∑及P 有关故，→n 与∑上过P 的任意曲线的切线垂直⇒→n 是切平面法向量切平面：0))(,,())(,,())(,,(0000'0000'0000'=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x （曲面法向量： →n ）法线： ),,(),,(),,(000'0000'0000'0z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 例3：求旋转抛物面122-+=y x z 在点P （2，1，4）的切平面，法线方程，关键法向量.设z y x z y x F --+=1),,(22 (隐←显){}{}{}1,2,41,2,2,,)4,1,2()4,1,2('''-=-==→y x F F F n z y x切平面: 0)4()1(2)2(4=---+-z y x 即0624=--+z y x 法线: 142142--=-=-z y x 说明: 例2的解法二思路～65P 例4作业: 79P 44 45(1) 46 47（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

空间曲线的切线与法平面

空间曲线的切线与法平面空间曲线是指在三维空间中具有一定形状的曲线。

研究空间曲线的性质和特点，尤其是切线和法平面的关系，对于数学、物理等学科具有重要意义。

本文将探讨空间曲线的切线与法平面的相关概念与定理，以及它们在实际问题中的应用。

一、切线的定义与性质在平面曲线研究中，我们已经熟悉了切线的概念和性质。

在空间曲线的研究中，切线的定义与平面曲线类似。

设有空间曲线C，过曲线上一点P，可以做出唯一的切线l。

与平面曲线不同的是，在空间中，切线除了具有方向性和位置性外，还具有一个关键的性质：与曲线C相切的平面即为切线平面。

根据切线的定义和性质，我们可以得出切线的一些重要结论。

首先，切线过曲线上一点与该点的切线向量相同。

其次，切线上的所有点都在切线平面上。

最后，两个相交曲线的切线平面是同一个平面。

这些结论为我们研究空间曲线的切线与法平面提供了基础。

二、曲线的切线方程与法平面定义对于给定的空间曲线C，经过曲线上任意一点P的切线方程是研究曲线性质和计算切线的重要工具。

在二维平面中，我们使用斜率来表示切线的方程。

在三维空间中，切线的方程由曲线上的一点和切线的方向向量确定。

设曲线C的参数方程为：x = x(t),y = y(t),z = z(t),其中t为参数。

过曲线上参数为t的点P，切线的方向向量为V，则切线的参数方程为：x = x(t) + V1t,y = y(t) + V2t,z = z(t) + V3t。

法平面与曲线的切线密切相关。

在平面几何中，我们已经熟悉了平面的法线向量与法线方程。

对于空间中的曲线C，过切点P的法线向量与切线V垂直，并与曲线C相切于切点P。

法平面的法线向量即为曲线C在切点P处的切线向量V。

三、切线与法平面的求解如何求解空间曲线的切线与法平面呢？一般情况下，我们先求出曲线C的参数方程，然后根据切线的特性，求出切线的参数方程。

接下来，找到切线上的一点，并求出该点的切线向量。

这样，我们就得到了切线的方程与切线的方向向量。

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
空间曲线在一点处的切线方程可以通过以下步骤求得：
1. 求出曲线在该点处的切向量，假设曲线的参数方程为
$r(t)=(x(t), y(t), z(t))$，则曲线在该点处的切向量为
$r'(t_0)=(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$，其中 $t_0$ 是曲线参数在该点处的取值。

2. 将切向量除以它的长度 $|r'(t_0)|$，得到单位切向量
$T=\frac{r'(t_0)}{|r'(t_0)|}$。

3. 曲线在该点处的切线方程为 $r(t_0)+sT$，其中 $s$ 是实数。

空间曲线在一点处的法平面方程可以通过以下步骤求得：
1. 求出曲线在该点处的切向量，根据上面的求法，可以得到单位切向量 $T=\frac{r'(t_0)}{|r'(t_0)|}$。

2. 求出曲线在该点处的法向量，假设曲线的参数方程为
$r(t)=(x(t),y(t),z(t))$，则法向量为
$N=\frac{d^2r}{dt^2}|_{t=t_0}\times T$，其中 $\times$ 表示向量的叉积运算符。

3. 法平面方程为 $N\cdot(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)$，其中
$(x_0,y_0,z_0)$ 是曲线在该点处的一个点。

空间曲面的切平面与法线

曲面在M处的法线方程为: x x0 y y0 z z0 .
f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
第5页/共10页
例4 求球面 x2 y2 z2 1在点( 1 , 1 , 1 )处的 333
切平面和法线方程.
解令F ( x, y, z) x2 y2 z2 1, 所求切平面的法向量为: n { 2 , 2 , 2 }, 333 切平面方程为:
即
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
则
n T,
切平面方程为:
Fx (M )( x x0 ) Fy (M )( y y0 ) Fz (M )(z z0 ) 0
法线方程为: x x0 y y0 z z0 . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
( x 1 ) ( y 1 ) (z 1 ) 0,
3
3
3
即 x y z 3;
法线方程为: x y z.
第6页/共10页
◆全微分的几何意义: 曲面: z = f ( x, y ) 在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
切平面上点的竖坐标的增量
函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的全微分
z f ( x, y)在( x0 , y0 )的全微分，表示曲面 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 , z0 ) 处的
切平面上的点的竖坐标的增量.
第7页/共10页

一,空间曲线的切线与法平面

切向量为
T = (1, y′( x0 ), z′( x0 ))
其中 y′( x0 ), z′( x0 ) 由方程组确定的隐函数求导法求, 将切向量 T 代入基本情形即得切线方程和法线方程
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【例 2】求曲线 x 2 + y 2 + z 2 = 6 ， x + y + z = 0 在点(1,−2, 1)处的切线及法平面方程.
一元函数微分几何意义 dy = f ′( x0 )Δx
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因为曲面在M 处的切平面方程为
z − z0 = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 )
切平面上点的竖坐标的增量
函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )的全微分
【分析】为隐式情形（待定常数法）【解】设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点, 切平面方程为
2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 ⇒ 2 x = y = z . = = , 0 0 0 1 4 6
dz x − y = , dx y − z
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⇒
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量 T
( 1 , − 2 ,1 )

空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线

切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
切平面方程
4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面 x 4 y 6z 0的各切平面方程. 解设 ( x0 , y0为,曲z0面)上的切点,
第六节微分在几何中的应用
空间曲线的切线和法平面方程空间曲面的切平面和法线方程小结思考题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x (t)
y
(t
)
z (t )
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
Fx ( x0 , y0 , z0 )(x x0 )
Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 条则曲线n，T它, 们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n任垂意直一，故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.

7曲线的切线与法平面

dx
1 + y′2dx, x ∈ [a, b]
∫ ∫ ⇒ 弧= 长：s
b
d= s(x )
a
b 1 + y′2dx
a
工科数学分析（网课）
2、设L:
x = x(t) y = y(t)
,t ∈ [α,
β]
.
则
ds = (x ′(t) ⋅dt)2 + (y′(t) ⋅= dt)2 x′2(t) + y′2(t) dt
工科数学分析（网课） 2
2
2
例 5 求星形线 x 3 + y 3 = a 3 (a > 0) 的全长.
z = ω(t)
工科数学分析（网课）
F (ϕ(t),ψ (t),ω(t)) = 0两边求t的导数：
即 Fx (M ) ⋅ ϕ′(t0) + Fy (M ) ⋅ψ ′(t0) + Fz (M ) ⋅ ω′(t0) = 0
令T = (ϕ′(t0),ψ ′(t0), ω′(t0))， n = (Fx (M ), Fy (M ), Fz (M ))，
2 −
=0 y−1
=
0
,
法平面方程 x + 2( y + 1) = 0 ,即 x + 2 y + 2 = 0 。
工科数学分析（网课）
例 5：求曲线
x x
2 + y2 + y+
+ z
z2 = =0
6
，
在 (1,−2, 1) 处的切线及法平面方程。
解：设=x x= ,y y (x )、=z z (x ),
将方程的两边对x求导,
2x + 1 + y

一,空间曲线的切线与法平面

基本情形
⎧ x = x ⎪ 对此类空间曲线Г可看成以x为参数的方程：⎨ y = ϕ ( x ) , ⎪z = ψ (x) ⎩ 故在 M ( x , y , z )处,
0 0 0
切向量：
T = (1,ϕ ( x0 ),ψ ′( x0 ) )
切线方程为
法平面方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = , ϕ ′( x 0 ) ψ ′ ( x 0 ) 1
T
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
n⊥T d 事实上,由 F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] ≡ 0 ⇒ F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] = 0 dt 即 Fx ⋅ ϕ ′( t0 ) + Fy ⋅ψ ′( t0 ) + Fz ⋅ ω ′( t0 ) = 0
dz x − y = , dx y − z
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⇒
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量 T
( 1 , − 2 ,1 )
= (1, 0,−1),
所求切线方程为 x − 1 = y + 2 = z − 1 , −1 1 0 法平面方程为 ( x − 1) + 0 ⋅ ( y + 2) − ( z − 1) = 0,
【分析】为隐式情形【解】令 F ( x , y , z ) = z − e z + 2 xy − 3,
Fx′ (1, 2 , 0 ) = 2 y (1, 2 , 0 ) = 4,

9-2空间曲线的切线与法平面

通过切点P0而垂直于切线的平面称为曲线Γ在P0点处的法平面．法平面方程为
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0.
P0
T

切向量为((t0 ), (t0 ), (t0 ))
例1. 求曲线 x = 2cos t , y = 2sin t , z = 4t 在t＝π/4 所对
法平面为即
1 1 (x ) - 2 y + (z + ) = 0. 2 2
x - 2 y + z = 0.
练习. 求曲线 x y z 6 , x y z 0 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
2
2
2
解方程组两边对 x 求导, 得
x 1 dy 解得 y dx 1
点 M (1,–2, 1) 处的切向量平面方程 1 ( x 1) 0 ( y 2) (1) ( z 1) 0
即
xz 0
内容小结
1. 空间曲线的切线与法平面
x (t ) 1) 参数式情况. 空间光滑曲线 : y (t ) z (t )
z 1 z 1
y x 1 1 x y z x dz , y z yz y z dx 1 1
2 2 2
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量
y z d dy z6 x T 1, , (1, 0 , 1) z0 x M dx M x dy
x - x0 y - y0 z - z0 = = 1 yⅱ ( x0 ) z ( x0 )
法平面为
( x - x0 ) + yⅱ ( x0 )( y - y0 ) + z ( x0 )( z - z0 ) = 0.

空间曲线的切线与法平面掌握空间曲线的切线与法平面的计算方法

空间曲线的切线与法平面掌握空间曲线的切线与法平面的计算方法空间曲线是三维几何中的重要概念，理解和掌握空间曲线的切线与法平面的计算方法对于解决相关问题具有关键作用。

本文将介绍空间曲线的定义以及切线与法平面的计算方法，帮助读者更好地理解和应用。

一、空间曲线的定义空间曲线是三维空间中的曲线，由于其存在弯曲和变化的特性，我们需要研究曲线上某一点的切线方向和曲线在该点的法平面。

切线与法平面是通过对曲线在该点的局部线性逼近得到的，具体计算方法如下。

二、切线的计算方法在空间曲线上选择一点P，我们想要求解此点处的切线方向。

切线的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲线上该点的参数方程形式。

假设曲线的参数方程为x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)，其中t为参数。

2. 然后，我们需要求解参数方程在该点的导数。

将参数t代入参数方程中，得到此点处的切向量，即曲线在该点的切线方向。

切向量的表示形式为T = (x'(t), y'(t), z'(t))。

3. 最后，我们可以得到切线的方向向量。

对切向量进行归一化处理，得到的单位向量即为切线的方向向量。

通过以上计算过程，我们可以得到空间曲线在选定点处的切线方向，从而进一步分析曲线的性质和特点。

三、法平面的计算方法在空间曲线上选择一点P，我们想要求解此点处的法平面。

法平面与切线垂直，并与曲线在该点的切线相切。

法平面的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲线上该点的参数方程形式，与求解切线相同。

2. 然后，我们可以先求解切线的方向向量T。

3. 接着，我们需要找到与切线方向向量垂直的向量N。

可以通过以下方法得到：a. 找到切线方向向量与任意向量都垂直的向量V。

b. 通过向量叉乘的方式，得到N = T × V。

4. 最后，我们需要找到一个过该点的平面，且法向量为N。

这个平面即为法平面。

通过以上计算过程，我们可以得到空间曲线在选定点处的法平面，从而进一步分析曲线的性质和特点。

空间曲线的切线与法平面探讨

知识文库第04期126空间曲线的切线与法平面探讨余小飞设空间曲线Γ：()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩， Γ在点000(,,)x y z 处的切向量为{}000(),(),()x t y t z t '''，切线方程为：000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''，法平面方程为：000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=．如果空间曲线是方程组(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩表示，则可将一个变量（如x ）看作参量，利用隐函数求导法，求出()y x '，()z x '，则切向量为{}1,(),()y x z x ''．例1 求曲线y x =，2z x =在点(1,1,1)M 处的切线和法平面方程．解析设x t =，则有y t=，2z t=．于是{}(1)1,1,2v =，因此切线方程为111112x y z ---==，法平面方程为 (1)(1)2(1)0x y z -+-+-=即24x y z ++=．例 2 求曲线2210x z +=，2210y z +=在点(1,1,3)M 处的切线和法平面方程．解析当曲线以两个曲面方程 1(,,)0F x y z =，2(,,)0F x y z =交线形式给出时，可先求出两曲面在交点处的法向量：{}1111,,x y z n F F F '''= ，{}2222,,x y z n F F F '''=则曲线在该点的切向量为11111112222222,,yz xyzx y z x yzx F F F F F F n n n F F F F F F ''''⎧⎫''⎪⎪=⨯=⎨⎬''''''⎪⎪⎩⎭，本题中，{}12,0,6n =，{}20,2,6n =，{}{}{}1,0,30,1,33,3,1v =⨯=--．于是，切线方程为113331x y z ---==--或 113x y z ---==．法平面方程为3(1)3(1)(3)0x y z ----+-=即333x y z +-=．例3证明曲线cos t x ae t =，sin t y ae t =，t z ae =与锥面222x y z +=的各母线相交的角度相同．解析圆锥222x y z +=的顶点在原点，过圆锥上任一点(,,)P x y z 的母线也过原点．因此，母线的方向向量{}1,,v x y z =．曲线在点(,,)P x y z 的切向量为{}{}2,,(cos sin ),(cos sin ),t t t v x y z ae t t ae t t ae '''==-+{},,x y x y z =-+．因为222x y z +=，所以有^121212cos (,)v v v v v v ⋅=2==例4求函数u (1,2,2)M -沿曲线x t =，y =，4在此点的切线方向上的导函数．解析2232222()u y z xx y z ∂+=∂++，32222()u xyyx y z ∂=∂++，32222()u xz zx y z ∂=∂++，在点(1,2,2)M -，它们的值分别是822,,272727-．又曲线在该点的切线的方向余弦为148,,999-．于是所求的导数为81242816()(279279279243M u l ∂=⋅+-⋅+⋅-=-∂．（作者单位：河南工业职业技术学院）. All Rights Reserved.。

空间曲线的切线与法平面

空间曲线的切线与法平面在几何学中，空间曲线是指在三维空间中描述的曲线。

当我们想要解析描述曲线上某一点的性质时，切线和法线是重要的概念。

切线是曲线上的一条直线，与曲线在该点处相切；而法平面是与切线垂直的平面。

本文将探讨空间曲线的切线与法平面的概念、性质及应用。

一、切线的定义和性质在平面几何中，我们已经熟悉了曲线的切线的概念和性质。

在三维空间中，切线的定义稍有不同，但总体思路是一致的。

对于空间曲线上的点P，曲线在该点处有且仅有一条直线与曲线相切，这条直线就是切线。

切线具有以下性质：1. 切线在曲线上的位置：切线与曲线在点P处相切，即切线与曲线有公共点。

2. 切线的方向：切线的方向与曲线在该点的切向量（或切矢）方向一致。

切向量的方向可以通过曲线在该点处的导数来确定。

3. 切线的斜率：切线的斜率等于曲线在该点处的导数值。

具体计算切线的斜率可以通过求取曲线在该点处的切向量的斜率。

4. 切线的直线方程：通过切线上的一点和切线的方向向量，可以得到切线的直线方程。

二、法平面的定义和性质与切线相对应的是法平面，它是与切线垂直的平面。

法平面的定义和性质如下：1. 法平面的法向量：法平面的法向量与切线的方向向量垂直，即它们的内积为零。

法向量的方向可以通过求取切线方向向量的垂直向量来确定。

2. 法平面的方程：通过法平面上的一点和法平面的法向量，可以得到法平面的方程。

3. 法平面与切线的关系：切线在曲线上的位置决定了法平面与曲线的交点。

曲线在某一点上的切线与该点上的法平面有公共点。

三、切线和法平面的应用切线和法平面的概念在几何学、微积分以及物理学等领域有着广泛的应用。

1. 几何学中的应用：切线和法平面的概念可以用于求解空间曲线的性质，如拐点、凸凹性等。

此外，在计算曲线与平面的交点时，也需要用到切线和法平面的概念。

2. 微积分中的应用：切线和法平面的概念是微积分中重要的工具。

通过求取曲线在某一点处的切线斜率，可以得到函数在该点处的导数值。

空间曲线的切线与法平面的求法及教学

空间曲线的切线与法平面的求法及教学空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以用参数方程或者向量函数来表示。

在研究空间曲线的性质时，我们需要求出它在某一点处的切线和法平面。

切线的求法：假设空间曲线的参数方程为：$$begin{cases}x=f(t)y=g(t)z=h(t)end{cases}$$在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 处，曲线的切向量为：$$boldsymbol{T}=frac{dboldsymbol{r}}{dt}bigg|_{t=t_0}=frac{dx }{dt}boldsymbol{i}+frac{dy}{dt}boldsymbol{j}+frac{dz}{dt}bo ldsymbol{k}bigg|_{t=t_0}$$其中，$boldsymbol{i},boldsymbol{j},boldsymbol{k}$ 分别是$x,y,z$ 轴上的单位向量。

法平面的求法：在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 处，曲线的法向量为：$$boldsymbol{N}=boldsymbol{T}'=frac{dboldsymbol{T}}{dt}bigg|_ {t=t_0}=frac{d^2boldsymbol{r}}{dt^2}bigg|_{t=t_0}$$然后可以取点 $P$ 为法平面上的一个点，法向量为$boldsymbol{N}$，建立法平面的方程：$$boldsymbol{N}cdot(boldsymbol{r}-boldsymbol{r_0})=0$$其中，$boldsymbol{r_0}=(x_0,y_0,z_0)$。

教学：在教学过程中，可以用具体的例子来讲解空间曲线的切线和法平面的求法。

例如，求空间曲线 $x=acos t,y=asin t,z=bt$ 在点$(a,0,0)$ 处的切线和法平面。

首先，求出曲线在点 $(a,0,0)$ 处的切向量：$$boldsymbol{T}=frac{dboldsymbol{r}}{dt}bigg|_{t=0}=-asin tboldsymbol{i}+acostboldsymbol{j}+bboldsymbol{k}bigg|_{t=0}=aboldsymbol{j}+bboldsymbol{k}$$然后，求出曲线在点 $(a,0,0)$ 处的法向量：$$boldsymbol{N}=boldsymbol{T}'=frac{dboldsymbol{T}}{dt}bigg|_ {t=0}=-acos tboldsymbol{i}-asintboldsymbol{j}bigg|_{t=0}=-aboldsymbol{i}$$取点 $(a,0,0)$ 为法平面上的一个点，法向量为$boldsymbol{N}=-aboldsymbol{i}$，建立法平面的方程：$$-a(x-a)=0$$即 $x=a$，是一个平行于 $yz$ 平面的平面。

空间曲线的切线与法平面探讨

空间曲线的切线与法平面探讨
设空间曲线：
，
在点处的切向量为
，
切线方程为：
，
法平面方程为：
.
如果空间曲线是方程组表示，则可将一个变量（如）看作参量，利用隐函数求导法，求出，，则切向量为.
例1 求曲线，在点处的切线和法平面方程.
解析设，则有，.于是，因此切线方程为
，
法平面方程为
即
.
例2 求曲线，在点处的切线和法平面方程.
解析当曲线以两个曲面方程
，
交线形式给出时，可先求出两曲面在交点处的法向量：
，
则曲线在该点的切向量为
，
本题中，，，
.
于是，切线方程为
或
.
法平面方程为
即
.
例3证明曲线
，，
与锥面的各母线相交的角度相同.
解析圆锥的顶点在原点，过圆锥上任一点的母线也过原点.因此，母线的方向向量.
曲线在点的切向量为
.
因为，所以有
，
于是，交角相同.
例4求函数在点沿曲线
，，
在此点的切线方向上的导函数.
解析，
，
，
在点，它们的值分别是.
又曲線在该点的切线的方向余弦为.于是所求的导数为.。

空间曲线的切线与法平面方程

空间曲线的切线与法平面方程空间曲线是三维坐标系中的曲线，其切线和法平面方程是重要的概念。

在数学中，切线是曲线上一点的局部近似线性近似。

而法平面是指通过曲线上某一点且垂直于该点的切线的平面。

一、空间曲线的切线切线是空间曲线在某一点上的线性近似，可以用来描述曲线在该点附近的变化趋势。

以参数方程表示的空间曲线可以通过微分来求解切线。

设空间曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)首先，我们需要求得曲线上某一点的切向量。

切向量的方向与曲线的切线方向一致，而模长则表征了曲线在该点上变化的快慢。

切向量的计算公式为：r'(t) = dx/dt * i + dy/dt * j + dz/dt * k其中i, j, k分别表示笛卡尔坐标系的基本单位向量。

然后，我们取曲线上的某一点P，求得该点的切向量r'(t0)。

这个切向量就是曲线在点P处的切向量。

最后，利用点法式方程求解切线方程。

设切线上的一点为P(x, y, z)，坐标为(x0, y0, z0)。

切线的方向向量为r'(t0) = (dx/dt0, dy/dt0, dz/dt0)。

切线方程的计算公式为：(x - x0)/dx = (y - y0)/dy = (z - z0)/dz二、空间曲线的法平面方程法平面是通过曲线上某一点且垂直于该点的切线的平面。

法平面可以用点法式方程来描述。

设曲线上某点P(x0, y0, z0)，曲线的切向量为r'(t0) = (dx/dt0, dy/dt0, dz/dt0)。

法平面的法向量为切向量r'(t0)。

利用点法式方程可以求解法平面的方程。

法平面方程的计算公式为：r'(t0)·(x - x0, y - y0, z - z0) = 0其中·表示点积运算。

综上所述，空间曲线的切线与法平面方程可以用参数方程表示曲线，通过求解切向量和法向量得到切线方程和法平面方程。

空间曲线的切线与法平面

x0
y0 z0 y02

x0 y0 z0 z02
又点 M 在球面上,
于是有

x0
y0
z0

a3 33
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
例6.
求曲线
2x2x

y2 3y

z2 5z

3x 40
0
在点(1,1,1) 的切线
与法平面.
解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
将 f x (x0 , y0 ), f y (x0 , y0 )分别记为 f x , f y , 则
法向量的方向余弦：
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例3. 求椭球面 x2 2 y2 3z2 36在点(1 , 2 , 3) 处的切
平面及法线方程. 解: 令
法向量
n (2 x, 4 y, 6 z)
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
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特别, 当光滑曲面的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
在点 ( x0 , y0 , z0 ) 有
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第六节多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面和法线
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一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.